上海市16区2013届高三二模数学(文)试题分类汇编5：数列-Word版含答案

上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编5：数列姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题1 ．（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题 ）数列{}n a 前n 项和为n S ,已知115a =,且对任意正整数,m n ,都有m n m n a a a +=⋅,若n S a <恒成立,则实数a 的最小值为 （ ）A ．14B ．34C ．43D ．42 ．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）设等比数列{}n a 的前n项和为n S ,则“10a >”是“32S S >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 二、填空题 3 ．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））给出30行30列的数表A :⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1074216183150117216342720131832721159150201510511713951ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ,其特点是每行每列都构成等差数列,记数表主对角线上的数10743421101，，，，，Λ按顺序构成数列{}n b ,存在正整数)1(t s t s <<、使t s b b b ,,1成等差数列,试写出一组),(t s 的值_____________.4 ．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）已知数列{}n a 满足134n n a a ++= (n∈N*)且1a =9,其前n 项和为S n ,则满足不等式|S n ―n―6|<1251的最小整数n 是 ( )A.5B.6C.7D.85 ．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）对于自然数*∈N i ,设)1(3,--=k i a k i (1,2,3,)k =⋅⋅⋅,如6)14(334,3-=--=a ,对于自然数m n ,,当2,2≥≥m n 时,设n i i i i a a a a n i b ,3,2,1,),(+⋅⋅⋅+++=,(,)(1,)S m n b n =+(2,)b n +),(),3(n m b n b +⋅⋅⋅+,则=)6,10(S ____________.6 ．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若5,10105-==S S ,则公差为____.7 ．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）等差数列{}n a 的前10项和为30,则14710a a a a +++=___________.8 ．（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题 ）设)2(log 1+=+n a n n )(*∈N n ,称k a a a a Λ321为整数的k 为“希望数”,则在)2013,1(内所有“希望数”的个数为___________.9 ．（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题 ）数列{}n a 的通项2sinπn n a n ⋅=,前n 项和为n S ,则=13S ____________.10．（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题 ）设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ,若{}n a 和{n S }都是等差数列,且公差相等, 则=+d a 1________11．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题 ）(理)设n S 为数列{}n a 的前n项和,若不等式21222ma nS a n n≥+对任意等差数列{}n a 及任意正整数n 都成立,则实数m的最大值为._______12．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）设等差数列{}n a 满足:公差*d N ∈,*n a N ∈,且{}n a 中任意两项之和也是该数列中的一项. 若513a =,则d的所有可能取值之和为_______.13．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）已知{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,若36a =,312S =,则公差d =_____.14．（2013年上海市高三七校联考（理））设等差数列}{n a 的公差为正,若212313a a a a ==-，,则456a a a ++=____.15．（2013届浦东二模卷理科题）数列}{n a 满足1241+-=+n n n a a a (*∈N n ).①存在1a 可以生成的数列}{n a 是常数数列; ②“数列}{n a 中存在某一项6549=k a ”是“数列}{n a 为有穷数列”的充要条件; ③若{}n a 为单调递增数列,则1a 的取值范围是)2,1()1,(Y --∞;④只要k k k k a 232311--≠+,其中*∈N k ,则n n a ∞→lim 一定存在; 其中正确命题的序号为____________.16．（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）公差为d ,各项均为正整数的等差数列{}n a 中,若11,73n a a ==,则n d +的最小值等于_________________. 三、解答题17．（上海徐汇、松江、金山区2013年高考二模理科数学试题）已知数列{}*()n a n N ∈的前n 项和为n S ,数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为0,公差为12的等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设()*42()15n an b n N =⋅-∈,对任意的正整数k ,将集合{}21221,,k k k b b b -+中的三个元素排成一个递增的等差数列,其公差为k d ,求证:数列{}k d 为等比数列; (3)对(2)题中的k d ,求集合{}1,k k x d x d x Z +<<∈的元素个数.18．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））本题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足a a =1 (3≠a ),nn n S a 31+=+,设n n n S b 3-=,*∈N n .(1)求证:数列{}n b 是等比数列;(2)若1+n a ≥n a ,*∈N n ,求实数a 的最小值;(3)当4=a 时,给出一个新数列{}n e ,其中⎩⎨⎧≥==2,1,3n b n e nn ,设这个新数列的前n项和为n C ,若n C 可以写成p t (*∈N p t ,且1,1>>p t )的形式,则称n C 为“指数型和”.问{}n C 中的项是否存在“指数型和”,若存在,求出所有“指数型和”;若不存在,请说明理由.19．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(理)试卷）本题满分16分,第1小题满分8分,第2小题满分8分设数列{}n a 与}{n b 满足:对任意*∈N n ,都有()21nn n ba b S -=-,12-⋅-=n n n n a b .其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.(1)当2b =时,求数列{}n a 与}{n b 的通项公式; (2)当2≠b 时,求数列{}n a 的前n 项和n S .20．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.如果存在常数a 使得数列{}n a 满足:若x 是数列{}n a 中的一项,则a x -也是数列{}n a 中的一项,称数列{}n a 是关于常数a 的“兑换数列”.(1) 若数列:1,2,4,(4)m m >是关于a 的“兑换数列”,求m 和a 的值;(2) 已知项数为0n (03n ≥)有限．．等差数列{}n b ,其所有项的和是B ,求证:数列{}n b 是关于常数2Bn 的“兑换数列”. (3) 对于一个不少于3项,且各项皆为正整数的递增等比数列{}n c ,是否是“兑换数列”?若是,请求出常数a 的值;否则请说明理由. 21．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）本大题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分 ,第3小题满分8分.对于任意的*N n ∈,若数列}{n a 同时满足下列两个条件,则称数列}{n a 具有“性质m ”:①122++<+n n n a a a ; ②存在实数M ,使得M a n ≤成立. (1)数列}{n a 、}{n b 中,n a n =、6sin 2πn b n =(5,4,3,2,1=n ),判断}{n a 、}{n b 是否具有“性质m ”;(2)若各项为正数的等比数列}{n c 的前n 项和为n S ,且413=c ,473=S ,证明:数列}{n S 具有“性质m ”,并指出M 的取值范围;(3)若数列}{n d 的通项公式nn n n t d 21)23(+-⋅=(*N n ∈).对于任意的3≥n (*N n ∈),数列}{n d 具有“性质m ”,且对满足条件的M 的最小值90=M ,求整数t 的值 22．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.已知数列{}n a 具有性质:①1a 为整数;②对于任意的正整数n ,当n a 为偶数时,12n n a a +=;当n a 为奇数时,112n n a a +-=. (1)若1a 为偶数,且123,,a a a 成等差数列,求1a 的值;(2)设123m a =+(3m >且m ∈N),数列{}n a 的前n 项和为n S ,求证:123m n S +≤+;(3)若1a 为正整数,求证:当211log n a >+(n ∈N)时,都有0n a =.23．（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题 ）已知复数i b a z n n n ⋅+=,其中R a n ∈,R b n ∈,*∈N n ,i 是虚数单位,且i z z z n n n 221++=+,i z +=11.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (2)求和:①13221++++n n a a a a a a Λ;②1154433221)1(++-++-+-n n n b b b b b b b b b b Λ.24．（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题 ）已知数列{a n }中,a 2=1,前n 项和为S n ,且1()2n n n a a S -=. (1)求a 1,a 3;(2)求证:数列{a n }为等差数列,并写出其通项公式; (3)设1lg 3n n na b +=,试问是否存在正整数p ,q (其中1<p <q ),使b 1,b p ,b q 成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组(p ,q );若不存在,说明理由.25．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题 ）(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题6分)(理)已知三个互不相等的正数a ,b ,c 成等比数列,公比为q .在a ,b 之间和b ,c 之间共插入n 个数,使这3+n 个数构成等差数列. (1)若1=a ,在b ,c 之间插入一个数,求q 的值;(2)设c b a <<,4=n ,问在a ,b 之间和b ,c 之间各插入几个数,请说明理由; (3)若插入的n 个数中,有s 个位于a ,b 之间,个位于b ,c 之间,试比较s 与的大小.26．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）(本题满分18分;第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分)对于数列123:,,(,1,2,3)i A a a a a i ∈=N ,定义“T 变换”:T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ,其中1||(1,2)i i i b a a i +=-=,且331||b a a =-.这种“T 变换”记作()B T A =.继续对数列B 进行“T 变换”,得到数列123:,,C c c c ,依此类推,当得到的数列各项均为0时变换结束.(1)试问:2,6,4A 经过不断的“T 变换”能否结束?若能,请依次写出经过“T 变换”得到的各数列;若不能,说明理由;(2)设123:,,A a a a ,()B T A =.若:,2,()B b a a b ≥,且B 的各项之和为2012.求a ,b ;(3)在(2)的条件下,若数列B 再经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小,求k 的最小值,并说明理由. 27．（2013年上海市高三七校联考（理））本题共有3小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分.一青蛙从点000( )A x y ，开始依次水平向右和竖直向上跳动,其落点坐标依次是( )()i i i A x y i N *∈，,(如图所示,000( )A x y ，坐标以已知条件为准),n S 表示青蛙从点0A 到点n A 所经过的路程.(1)若点000( )A x y ，为抛物线22y px =(0)p >准线上一点,点1A 、2A 均在该抛物线上,并且直线1A 2A 经过该抛物线的焦点,证明23S p =.(2)若点( )n n n A x y ，要么落在y x =所表示的曲线上,要么落在2y x =所表示的曲线上,并且011( )22A ，,试写出lim n n S →+∞(请简要说明理由); (3)若点( )n n n A x y ，要么落在y x =所表示的曲线上,要么落在2y x =所表示的曲线上,并且01( 1)2A ，,求n S 的表达式.28．（2013届浦东二模卷理科题）本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分6分.OA 3 yx…A 0 A 1 A 2 A 4已知直角ABC ∆的三边长,,a b c ,满足a b c ≤<(1)在,a b 之间插入2011个数,使这2013个数构成以a 为首项的等差数列{}n a ,且它们的和为2013,求c 的最小值;(2)已知,,a b c 均为正整数,且,,a b c 成等差数列,将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列n S S S S ,,,,321Λ,且n nn S S S S T )1(321-++-+-=Λ,求满足不等式1226+⋅>n n T 的所有n 的值;(3)已知,,a b c 成等比数列,若数列{}n X 满足5()nnn c a X n N a c *⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,证明:数列{}n X 中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形,且n X 是正整数.29．（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分8分.如图,过坐标原点O 作倾斜角为60o的直线交抛物线2:y x Γ=于1P 点,过1P 点作倾斜角为120o 的直线交x 轴于1Q 点,交Γ于2P 点;过2P 点作倾斜角为60o的直线交x 轴于2Q 点,交Γ于3P 点;过3P 点作倾斜角为120o 的直线,交x 轴于3Q 点,交Γ于4P 点;如此下去.又设线段112231n n OQ Q Q Q Q Q Q -，，，，，L L的长分别为123,,,,,n a a a a L L ,11122OPQ Q P Q ∆∆，，2331n n n Q PQ Q P Q -∆∆，，，L L 的面积分别为123,,,,,,n G G G G L L 数列{}n a 的前n 项的和为n S .(1)求12,a a ; (2)求n a ,limnn nG S →∞;(3)设(01)n an b a a a =>≠且,数列{}n b 的前n 项和为n T ,对于正整数,,,p q r s ,若p q r s <<<,且p s q r +=+,试比较p s T T ⋅与q r T T ⋅的大小.上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编5：数列参考答案一、选择题 1. A 2. C 二、填空题 3. )25,17(.4. C5. 120-6. 1-7. 12 8. 9; 9. 7; 10.4311.5112. 364 13. 214. 21 15. ①④ 16. 18; 三、解答题17.本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分, 第(3)小题满分6分.解:(1)由条件得10(1)2n S n n =+-,即(1)2n nS n =-, 所以,*1()n a n n N =-∈(2) 由(1)可知1*4(2)()15n n b n N -=⋅-∈ 所以,22222144(2)21515k k k b ---=-=⋅,2121244(2)21515k k k b --=-=-⋅,222144(2)21515k k k b +=-=⋅,由212212k k k b b b -+=+及22121k k k b b b -+<<得22121,,k k k b b b -+依次成递增的等差数列,所以22221214442215155kk k k k k d b b -+-=-=⋅-⋅=, 满足14k kd d +=为常数,所以数列{}k d 为等比数列(3)①当k 为奇数时,112211223101555(1)4(51)55515555(1)5k k k k k k kk k k k k k k k k k C C d C C C --------+-+--====-+-+--L L ,同样,可得111122011114(51)15555(1)555k k k k k k kk k k k d C C C ++--++++-===-+-+-+L , 所以,集合{}1,k k x d x d x Z +<<∈的元素个数为111()()155k k d d +--++133(41)55k k k d d ++=-+=;②当k 为偶数时,同理可得集合{}1,k k x d x d x Z +<<∈的元素个数为3(41)5k ⋅-18.本题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.解:(1)⇒+=+nn n S a 31n n n S S 321+=+,n n n S b 3-=,*∈N n ,当3≠a 时,1111323333n n n n n n n nn n n b S S b S S ++++-+-==--=2,所以{}n b 为等比数列. 3311-=-=a S b ,12)3(-⨯-=n n a b .(2) 由(1)可得12)3(3-⨯-=-n n n a S*-∈≥-=N n n S S a n n n ,2,1212)3(3221≥=⎩⎨⎧⨯-+⨯=--n n a a a n n n ; n n a a ≥+1,2112>⎩⎨⎧>>+n a a a a n n ,9-≥a所以9-≥a ,且3≠a .所以a 的最小值为(3)由(1)当4=a 时,12-=n n b当2≥n 时,n n C 2423++++=Λ12+=n,31=C , 所以对正整数n 都有12+=nn C .由12+=n pt,n p t 21=-,(*∈N p t ,且1,1>>p t ),t 只能是不小于3的奇数.①当p 为偶数时,n p p pt t t 2)1)(1(122=-+=-,因为12+p t和12-p t 都是大于1的正整数,所以存在正整数h g ,,使得gp t 212=+,h p t 212=-,222=-h g ,2)12(2=--h g h ,所以22=h 且112=--h g 2,1==⇒g h ,相应的3=n ,即有233=C ,3C 为“指数型和”;②当p 为奇数时,)1)(1(112-++++-=-p ptt t t t Λ,由于121-++++p t t t Λ是p个奇数之和,仍为奇数,又1-t 为正偶数,所以n p tt t t 2)1)(1(12=++++--Λ 不成立,此时没有“指数型和”.19.解:由题意知12a =,且()21n n n ba b S -=- ()11121n n n ba b S +++-=-两式相减得()()1121nn n n b a a b a ++--=-即12nn n a ba +=+ ① (1)当2b =时,由①知122nn n a a +=+于是()()1122212nnnn n a n a n +-+⋅=+-+⋅()122n n a n -=-⋅又111210n a --⋅=≠,所以{}12n n a n --⋅是首项为1,公比为2的等比数列.故知,12-=n n b , 再由12-⋅-=n n n n a b ,得()112n n a n -=+.另解:111222n n n n a a ++=+ 2n n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是首项为1112a =,公差为12的等差数列,111222n n a n n -+∴=+=()112n n a n -∴=+⋅ ()1111222n n n n b n n ---=+⋅-⋅=(2)当2b ≠时,由①得1111122222n n n n n a ba b b +++-⋅=+-⋅--122n n b a b ⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭若0=b ,nn S 2= 若1=b ,nn a 2=,221-=+n n S若10、≠b ,数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅--n n b a 221是以b b --2)1(2为首项,以b 为公比的等比数列,故 12)1(2221-⋅--=⋅--n n n b b b b a , ()[]122221--+-=n n n b b b a()()1213212)1(2222221-+⋅⋅⋅+++--++⋅⋅⋅+++-=n n n b b b b b b S2(2)2n n n b S b-=-1b =时,122n n S +=-符合上式所以,当0≠b 时,2(2)2n n n b S b-=-当0=b 时,nn S 2=另解:当1n =时,112S a == 当2n ≥时,()21nn n ba b S -=-Q()()121n n n n b S S b S -∴--=-12n n n S bS -∴=+若0=b ,nn S 2=若0≠b ,两边同除以2n得111222n n n n S S b --=⋅+ 令111222n n n n S S b m m --+=⋅++,即1122()222n n n n S S b mm b--++=⋅+ 由22m m b +=得22m b =- 2{}22n nS b ∴+-是以2b b -为首项,2b 为公比的等比数列 12()2222n n n S b b b b -∴+=⋅--, 所以,当0≠b 时,2(2)2n n n b S b-=-20.21.解:(1)在数列}{n a 中,取1=n ,则23122a a a ==+,不满足条件①,所以数列}{n a 不具有“m 性质”;在数列}{n b 中,11=b ,32=b ,23=b ,34=b ,15=b ,则2312323b b b =<=+,3422432b b b =<=+,4532323b b b =<=+,所以满足条件①;26sin2≤=πn b n (5,4,3,2,1=n )满足条件②,所以数列}{n b 具有“性质m ”(2)因为数列}{n c 是各项为正数的等比数列,则公比0>q , 将413=c 代入=3S 473323=++c q c q c 得,0162=--q q ,解得21=q 或31-=q (舍去), 所以11=c ,121-=n n c ,1212--=n n S对于任意的*N n ∈,122212212122+++=-<--=+n n n n n n S S S ,且2<n S 所以数列数列}{n S 具有“m 性质”2≥M(3)由于n d n tn t 213--=,则1121)1(3++-+-=n n n t t d ,2221)2(3++-+-=n n n t t d 由于任意],3[∞+∈n 且*N n ∈,数列}{n d 具有“性质m ”,所以122++<+n n n d d d即+-n tn 21221)2(+-+n n t 121)1(2+-+⨯>n n t ,化简得,1)2(>-n t 即21->n t 对于任意),3[∞+∈n 且*N n ∈恒成立,所以1>t ①1121)1(21++-+--=-n n n n n t tn d d =121)1(+--n n t 由于3≥n 及①,所以n n d d >+1 即3≥n 时,数列}{n d 是单调递增数列,且t tn t d n n n n 3)213(lim lim =--=→∞→∞只需93≤t ,解得3≤t ②由① ②得31≤<t ,所以满足条件的整数t 的值为2和3. 经检验2=t 不合题意,舍去,满足条件的整数只有3=t22. 【解析】⑴设12a k =,2a k =,则:322k a k +=,30a =分两种情况: k 是奇数,则2311022a k a --===,1k =,1232,1,0a a a === 若k 是偶数,则23022a ka ===,0k =,1230,0,0a a a === ⑵当3m >时,123123423,21,2,2,m m m m a a a a ---=+=+==45122,,2,1,0m m m m n a a a a a ++-======L L∴1124223n m m mS S +≤=++++=+L⑶∵211log n a >+,∴211log n a ->,∴112n a ->由定义可知:1,212,2nnn n n na a a a a a +⎧⎪⎪=≤⎨-⎪⎪⎩是偶数是奇数 ∴112n n a a +≤∴1211112112n n n n n n a a a a a a a a a ----=⋅⋅⋅≤⋅L ∴111212n n n a --<⋅= ∵n a N ∈,∴0n a =,综上可知:当211log n a >+()n N ∈时,都有0n a =23. (14分)解:(1)Θi i b a z +=⋅+=1111,∴11=a ,11=b .由iz z z n n n 221++=+得i b a i i b a i b a i b a n n n n n n n n ⋅++=+⋅-+⋅+=⋅+++)2(32)()(211,∴⎩⎨⎧+==++2311n n nn b b a a∴数列{}n a 是以1为首项公比为3的等比数列,数列{}n b 是以1为首项公差为2的等差数列,∴13-=n n a ,12-=n b n(2)①由(1)知13-=n n a ,Θ2113=-+kk k k a a a a ,∴数列{}1+n n a a 是以3为首项,公比为23的等比数列.Θ838391)31(312213221-=--=+++++n n n n a a a a a a Λ②当k n 2=,*∈N k 时,)()()()1(122212544332211154433221+-++-++-+-=-++-+-k k k k n n n b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b ΛΛn n k k b b k b b b b b b k k k 22482)(4)(44442222242242--=--=+⋅-=+++-=----=ΛΛ当12+=k n ,*∈N k 时,1154433221)1(++-++-+-n n n b b b b b b b b b b Λ122)34)(14(48)()()(22221212221254433221-+=+++--=+-++-+-=+++-n n k k k k b b b b b b b b b b b b b b k k k k k k Λ又1=n 也满足上式∴⎪⎩⎪⎨⎧---+=-++-+-++为偶数时当为奇数时当n n n n n n b b b b b b b b b b n n n 22122)1(221154433221Λ24.解:(1)令n =1,则a 1=S 1=111()2a a -=0 ; a 3=2; (2)由1()2n n n a a S -=,即2n n na S =, ① 得 11(1)2n n n a S +++=. ② ②-①,得 1(1)n n n a na +-=. ③ 于是,21(1)n n na n a ++=+. ④ ③+④,得212n n n na na na +++=,即212n n n a a a +++= 又a 1=0,a 2=1,a 2-a 1=1,所以,数列{a n }是以0为首项,1为公差的等差数列. 所以,a n =n -1法二②-①,得 1(1)n n n a na +-=. ③于是,121,1211an a n a n a n a n n n n ==-=-∴-=-+Λ 11=-∴n a n所以,a n =n -1. (3)假设存在正整数数组(p ,q ),使b 1,b p ,b q 成等比数列, 则lg b 1,lg b p ,lg b q 成等差数列, 于是,21333p qp q =+ 所以,213()33q p p q =-(☆).易知(p ,q )=(2,3)为方程(☆)的一组解 当p ≥3,且p ∈N*时,112(1)224333p p p p p p+++--=<0, 故数列{23pp}(p ≥3)为递减数列 于是2133p p -≤323133⨯-<0,所以此时方程(☆)无正整数解 综上,存在唯一正整数数对(p ,q )=(2,3),使b 1,b p ,b q 成等比数列25. (本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题6分)解:(1)因为a ,b ,c 是互不相等的正数,所以0>q 且1≠q . 由已知,a ,b ,c 是首项为,公比为q 的等比数列,则q b =,2q c =,当插入的一个数位于b ,c 之间, 设由4个数构成的等差数列的公差为d ,则⎩⎨⎧+=+=dq d q 3112,消去d 得02322=+-q q , 因为1≠q ,所以2=q(2)设所构成的等差数列的公差为d ,由题意,0>d ,共插入4个数.若在a ,b 之间插入个数,在b ,c 之间插入3个数,则⎩⎨⎧+=+=db c da b 42,于是42b c a b -=-,b c a b -=-22,0232=+-q q ,解得2=q 若在a ,b 之间插入3个数,在b ,c 之间插入个数,则⎩⎨⎧+=+=db c da b 24,于是24b c a b -=-,a b b c -=-22解得21=q (不合题意,舍去) 若a ,b 之间和b ,c 之间各插入2个数,则⎩⎨⎧+=+=d b c d a b 33,b c a b -=-,解得1=q (不合题意,舍去)综上,a ,b 之间插入个数,在b ,c 之间插入3个数(3)设所构成的等差数列的公差为d ,由题意,d s a b )1(++=,1+-=s a b d ,又d t b c )1(++=,1+-=t cb d , 所以11+-=+-t bc s a b ,即1)1(11+-=+-t q q s q ,因为1≠q ,所以q s t =++11所以,当1>q ,即c b a <<时,t s <;当10<<q ,即c b a >>时,t s >. 26.27.解:(1)设00( )2p A y -，,由于青蛙依次向右向上跳动, 所以10( )2p A y ，,20( )2pA y -，,由抛物线定义知:23S p =(2) 依题意,*2122122121 ()n n n n n n x x x y y x n N +-+-====∈，011223342221212lim ||||||||||||n n n n n n S A A A A A A A A A A A A ---→∞=+++++++L L1021324354212221()()()()()()()n n n n x x y y x x y y x x x x y y --=-+-+-+-+-++-+-+L L 1032542122()2()2()2()n n x x x x x x x x -=-+-+-++-+L L随着n 的增大,点n A 无限接近点(1 1)， 横向路程之和无限接近11122-=,纵向路程之和无限接近11122-= 所以 lim n n S →+∞=11122+= (注:只要能说明横纵坐标的变化趋势,用文字表达也行)(3)设点222212121( ) ( )k k k k k k A x y A x y +++，，，,由题意,n A 的坐标满足如下递推关系: 00112x y ==，,且2122122(0 1 2 3 ) (0 1 2 3 )k k k k y y k x x k +++====L L ，，，，，，，，， 其中212122 2k k k k y x y x ++==，,∴212222k k k x x x ++==, (方法一)∴2{}k x 是以012x =为首项,2为公比的等比数列,∴2122k k x =⨯,22kk y = 即当n 为偶数时,2122nn x =⨯,22nn y =又21222k k k x x ++==,21212kk k y x ++==,∴当n 为奇数时,11222 2n n n n x y --==，于是,当n 为偶数时,011223342221212||||||||||||k k k k A A A A A A A A A A A A ---++++++L10213243542122221()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x x x y y ---=-+-+-+-+-++-+-L10203142532123222()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x x x y y ---=-+-+-+-+-++-+-L 220033()()222k k k x y x y =+-+=⨯-当n 为奇数时,011223342221221||||||||||||k k k k A A A A A A A A A A A A --+++++++L1021324354221212()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x y y x x -+=-+-+-+-+-++-+-L10203142532122121()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x y y x x ++-=-+-+-+-+-++-+-L 2121003()()222k k k x y x y ++=+-+=⨯-∴12232 23(21) 2n nn n S n +⎧-⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数 (方法二)∴2{}k x 是以012x =为首项,2为公比的等差数列,∴2122k k x =⨯,22kk y =又21222k k k x x ++==,21212kk k y x ++==∴2121122222kk kk k x x +-=-⨯=⨯,12221222k k k k k y y +++-=-= 于是,当n 为偶数时,011223342221212||||||||||||k k k k A A A A A A A A A A A A ---++++++L10213243542122221()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x x x y y ---=-+-+-+-+-++-+-L1111(122)(122)22k k --=++++⨯++++L L 33222k =⨯- 当n 为奇数时,011223342221221||||||||||||k k k k A A A A A A A A A A A A --+++++++L1021324354221212()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x y y x x -+=-+-+-+-+-++-+-L111(122)(122)22k k -=++++⨯++++L L 3222k =⨯- ∴12232 23(21) 2n nn n S n +⎧-⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数 . (注:本小题若没有写出递推关系,直接归纳得到正确结论而没有证明,扣4分)28.解:(1){}n a 是等差数列,∴20132)(2013=+⋅b a ,即2=+b a所以2222≥=+=Λb a c ,c 的最小值为2;(2)设,,a b c 的公差为()d d Z ∈,则222()(2)a a d a d ++=+3a d ∴= 设三角形的三边长为3,4,5d d d ,面积21346()2d S d d d d Z =⨯⨯=∈,26n S n =,])2(4321[62222223212n S S S S T n n +-+-+-=++-+-=ΛΛn n n 612)24321(62+=++++++=Λ由1226+⋅>n n T 得n n n 2212>+, 当5≥n 时,n n n n n n n n n21)(222)1(1222+>-++≥+-++=Λ,经检验当4,3,2=n 时,n n n 2212>+,当1=n 时,nn n 2212<+综上所述,满足不等式1226+⋅>n n T 的所有n 的值为2、3、4(3)证明:因为,,a b c 成等比数列,ac b =2.由于,,a b c 为直角三角形的三边长,知22c ac a =+,251+=a c ,()nnn c a n N a c *⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得nnn X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2512515, 于是11125125125125155+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n nnn n X X2225251251+++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n X12+n n n X X X ++∴=,则有)222+∴=.故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形因为111=1X ⎫⎪=-⎬⎪⎭,222=1X ⎫⎪-⎬⎪⎭*∈=+=⇒N X X X 2213,由21++=+n n n X X X ,同理可得*+*+*∈⇒∈∈N X N X N X n n n 21,,故对于任意的n N *∈都有n X 是正整数29. [解] (1)如图,由11OQ P ∆是边长为1a 的等边三角形,得点1P的坐标为11(,)22a ,又1P 11(,)22a 在抛物线2y x =上,所以211342a a =,得123a =同理2P 222(,)322a +-在抛物线2y x =上,得243a = (2)如图,法1:点1n Q -的坐标为1231(,0)n a a a a -+++⋅⋅⋅+,即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，,所以直线1n n Q P -的方程为1)n y x S --或1)n y x S -=-,因此,点n P的坐标满足21)n y x y x S -⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 消去x210n y --= ,所以y =又sin 60n n y a =⋅=o,故31n a =从而21324n n n a a S --= ① 由①有211324n n n a a S ++-= ②②-①得22113()2()4n n n n n a a a a a ++---=即11()(332)0n n n n a a a a +++--=,又0n a >,于是123n n a a +-= 所以{}n a 是以23为首项、23为公差的等差数,12(1)3n a a n d n =+-= 1()1(1)23n n a a n S n n +==+2249n n G a n ==,lim n n n nG S →∞→∞==理2分 法2:点1n Q -的坐标为1231(,0)n a a a a -+++⋅⋅⋅+,即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，,所以直线1n n Q P -的方程为1)n y x S --或1)n y x S -=-因此,点(,)n P x y的坐标满足21)n y x y x S -⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得213()n x S x --=,又12n n a x S -=+,所以213()22n n n a a S -=+,从而21324n n n a a S --= ①以下各步同法1法3:点1n Q -的坐标为1231(,0)n a a a a -+++⋅⋅⋅+,即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，,所以1(2n n n a P S -+,又1(2n n n a P S -+在抛物线2y x =上,得21342n n n a a S -=+ 即21324n n n a a S --=以下各步同法1(3)(理)因为2(1)231323n n n nb aa b a++==,所以数列{}n b 是正项等比数列,且公比2301q a =≠,首项2310b a q ==,则100(1)1p p b q T q -=-,100(1)1q q b q T q -=-,100(1)1r r b q T q -=-,100(1)1ss b q T q -=-p s T T ⋅q r T T -⋅=21000020(1)(1)(1)(1)(1)p s q rb q q q q q ⎡⎤⋅-----⎣⎦-(注意00p s q r q q ++=) 21000020()()(1)q r p sb q q q q q ⎡⎤=⋅+-+⎣⎦- 而00000000()()()()q r p s q p s rq q q q q q q q +-+=---0000000(1)(1)(1)()p q p r s r q p p rq q q q q q q ---=---=--(注意q p s r -=-) 000000(1)(1)(1)(1)q p p r p p q p r p q q q q q q ----=--=---因为01a a >≠且,所以230001q a q =>≠且 又,q p r p --均为正整数,所以0(1)q pq --与0(1)r pq --同号,故000(1)(1)0p q p r pq q q -----<,所以,p s T T ⋅q r T T <⋅(第(3)问只写出正确结论的,给1分)。

第6题图 闵行区2012学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（文科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名填写清楚，并填涂准考证号．选择题部分必须使用2B 铅笔填涂；非选择题部分使用黑色字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写． 2．本试卷共有23道题，共5页．满分150分，考试时间120分钟． 3．考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留．一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．方程组25038x y x y --=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为 ．2．已知集合{}2|4,=<∈R M x x x ，{}2|log 0N x x =>，则集合M N =I ． 3. 若12122,23i Z a i Z =+=，且21z z 为实数，则实数a 的值为 ． 4. 用二分法研究方程3310x x +-=的近似解0x x =，借助计算器经过若干次运算得下表：若精确到0.1，至少运算n 次，则0n x +的值为 ．5．已知12e e r r 、是夹角为2π的两个单位向量，向量12122,,a e e b ke e =-=+r r r r r r 若//a b r r ，则实数k 的值为 ．6．某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[]96,106，样本中净重在区间[)96100，的产品个数是24，则样本中净重在区间[)100,104的产品个数是 ． 7.一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为3π，则该圆锥的侧面积为 ． 学校 班 准考证 姓…………………密○……………………………………封○……………………………………○线……………………………8. 公差为d ，各项均为正整数的等差数列{}n a 中，若11,65n a a ==，则n d +的最小值等于 ．9. 设双曲线226x y -=的左右顶点分别为1A 、2A ，P 为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线1PA 、2PA 的斜率分别为1k 、2k ，则12k k ⋅的值为 ．10. 设ABC ∆的三个内角A B C 、、所对的边长依次为a b c 、、，若ABC ∆的面积为S ，且22()S a b c =--，则sin 1cos AA=- ．11. 袋中装有7个大小相同的小球，每个小球上标记一个正整数号码，号码各不相同，且成等差数列，这7个号码的和为49，现从袋中任取两个小球，则这两个小球上的号码均小于7的概率为 ．12. 设，且，则)2(f 的最大值为 ．13. 已知ABC ∆的重心为O ，6,7,8,AC BC AB ===则AO BC ⋅=uuu r uu u r．14．设()f x 是定义在R 上的函数，若81)0(=f ，且对任意的x ∈R，满足(2)()3,(4)x xf x f x f x f x +-≤+-+≥⨯，则(8)f =____________．二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．二项式61()x x-展开式中4x 的系数为 ( ) （A ）15． （B ）15-． （C ）6． （D ）6-．16．在ABC ∆中，“0AB AC ⋅<uu u r uuu r”是“ABC ∆是钝角三角形”的 ( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件17．设函数()|sin |cos 2,,22f x x x x ππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是 ( ) （A ）1-． （B ）0． （C ）12． （D ）98． 18．给出下列四个命题：①如果复数z 满足||||2z i z i ++-=，则复数z 在复平面的对应点的轨迹是椭圆．bx ax x f +=2)(4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f fABCEC 1 A 1 B 1F②若对任意的n *∈N ，11(1)(2)0n n n n a a a a ++---=恒成立，则数列{}n a 是等差数列或等比数列． ③设()f x 是定义在R 上的函数，且对任意的∈R x ，|()||()|f x f x =-恒成立，则()f x 是R 上的奇函数或偶函数．④已知曲线1C =和两定点()()5,05,0E F -、，若()y x P ,是C 上的动点， 则6PE PF -<．上述命题中错误的个数是 （ ）（A ）1． （B ）2． （C ）3． （D ）4．三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，.第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分． 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，2AB AC ==，16AA =，点E F 、分别在棱11AA CC 、上，且12AE C F ==．（1）求三棱锥111A B C F -的体积；（2）求异面直线BE 与1A F 所成的角的大小．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．如图，在半径为20cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答．．．．．．即可： ①设BOC θ∠=，矩形ABCD 的面积为()S g θ=，求()g θ的表达式，并写出θ的范围．②设(cm)BC x =，矩形ABCD 的面积为()S f x =，求()f x 的表达式，并写出x 的范围． （2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．解：21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，且经过(2,1),M N 两点．（1）求椭圆的方程；（2）若平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)b b <，直线l 交椭圆E 于两个不同点A B 、，直线MA 与MB 的斜率分别为12k k 、，求证：120k k +=．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分．已知函数1()||,4=--∈R f x x x a x ．（1）当1a =时，指出()f x 的单调递减区间和奇偶性(不需说明理由)； （2）当1a =时，求函数(2)xy f =的零点；（3）若对任何[]0,1x ∈不等式()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．过坐标原点O 作倾斜角为60的直线交抛物线2:y x Γ=于1P 点，过1P 点作倾斜角为120的直线交x 轴于1Q 点，交Γ于2P 点；过2P 点作倾斜角为60的直线交x 轴于2Q 点，交Γ于3P 点；过3P 点作倾斜角为120的直线，交x 轴于3Q 点，交Γ于4P 点；如此下去……．又设线段112231n n OQ Q Q Q Q Q Q -，，，，，L L 的长分别为123,,,,,n a a a a L L ，数列{}n a 的前n 项的和为n S ．（1）求12,a a ； （2）求n a ，n S ；（3）设(01)n an b a a a =>≠且，数列{}n b 的前n 项和为n T 若正整数,,,p q r s 成等差数列，且p q r s <<<，试比较p s T T ⋅与q r T T ⋅的大小．E闵行区2012学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准说明：1．本解答仅列出试题的一种或两种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分标准进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 一、（第1题至第14题）1．125318-⎛⎫⎪⎝⎭； 2．()1,2； 3．32-； 4．5.3； 5．12-； 6．44； 7．8π； 8．理8，文17； 9． 1； 10． 4； 11．理34，文17； 12．理18，文14； 13．理14-，文283-； 14．理832014，文86561388或． 二、（第15题至第18题）15．D ； 16．A ； 17．B ； 18．D ． 三、（第19题至第23题）19. (理) 20 . (文) [解]①由BOC θ∠=，得20cos ,20sin OB BC θθ==，其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭理2分，文3分 所以()2800sin cos 400sin 2S g AB BC OB BC θθθθ==⋅=⋅==即()400sin 2g θθ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭………………………………文理4分②连接OC ，则OB (020)x << ……………………理2分，文3分所以()2S f x AB BC ==⋅=(020)x <<即()2f x =(020)x <<． ……………………文理4分 （2）①由()400sin 2S g θθ== 得当sin 21θ=即当4πθ=时，S 取最大值2400cm ．……理4分，文5分此时20sin4BC π==，当BC 取时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为2400cm ．…文理2分②22()2(400)400f x x x ==≤+-=，当且仅当22400x x =-，即x =S 取最大值2400cm ．……理4分，文5分 当BC 取时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为2400cm ．…文理2分 19. (文) [解]（1）111111111111142223323A B C F F A B C A B C V V S C F --∆==⋅=⋅⋅⨯⨯= …6分 （2）连接CE ,由条件知1//CE FA ,所以CEB ∠就是异面直线BE 与1A F 所成的角．2分 在CEB ∆中，BC CE BE ===60CEB ∠=， ………………2分 所以异面直线BE 与1A F 所成的角为60． …………………………………2分 20.（理） [解]（1）B AEFC V -=111(42)224332AEFC S AB =⋅=⋅⋅+⨯⨯=……7分 （2）建立如图所示的直角坐标系，则)0,0,0(A ,(0,2,0)B ,(0,0,2)E ,(2,0,4)F ，(2,0,2)EF =,(0,2,2)EB =- ……………………2分 设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =，则22011,1220n EF x z z x y n EF y z ⎧⋅=+=⎪⇒==-=⎨⋅=-=⎪⎩取得， 所以(1,1,1)n =- ……………………………2分平面ABC 的法向量为1(0,0,1)n =，则11cos 3n n n n θ⋅===⋅ 所以BEF ∆所在半平面与ABC ∆所在半平面所成二面角θ．…3分 21. [解]（1）设椭圆E 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠将(2,1),M N 代入椭圆E 的方程，得4181m n m +=⎧⎨=⎩ ………理2分，文3分解得11,82m n ==，所以椭圆的方程为22182x y += …………理2分，文3分 设点P 的坐标为00,)x y （，则22200OP x y =+． E又00(,)P x y 是E 上的动点，所以2200182x y +=，得220084x y =-，代入上式得222200083OP x y y =+=-，0y ⎡∈⎣ 故00y =时，max OP=OP的最大值为 ………………理2分 （2）因为直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为b ，又12OM k =，所以直线l 的方程为12y x b =+．由2212182y x b x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得222240x bx b ++-= ………………文理2分 设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则212122,24x x b x x b +=-=-．又1111,2y k x -=-2221,2y k x -=- 故1212121122y y k k x x --+=+--122112(1)(2)(1)(2)(2)(2)y x y x x x --+--=--．………文理2分 又112211,22y x b y x b =+=+， 所以上式分子122111(1)(2)(1)(2)22x b x x b x =+--++-- …………文理2分21212(2)()4(1)24(2)(2)4(1)0x x b x x b b b b b =+-+--=-+----=故120k k +=．………………………………………………………………文2分 所以直线MA 与直线MB 的倾斜角互补．…………………………………理2分 22. [解]（理）（1）当1,0a b ==时，()|1|f x x x =-既不是奇函数也不是偶函数．……2分 ∵(1)2,(1)0f f -=-=，∴(1)(1),(1)(1)f f f f -≠-≠-所以()f x 既不是奇函数，也不是偶函数．………………………………………2分 （2）当1,1a b ==时，()|1|1f x x x =-+， 由5(2)4x f =得52|21|14x x -+= ……………………………2分即2211(2)204x x x ⎧≥⎪⎨--=⎪⎩或2211(2)204x x x⎧<⎪⎨-+=⎪⎩ ………………………2分解得111222222xx x +===（舍），或所以221log log (112x +==-或1x =-． ………………2分 （3）当0x =时，a 取任意实数，不等式()0f x <恒成立， 故只需考虑(]0,1x ∈，此时原不等式变为||bx a x--< 即b bx a x x x +<<- ………………………………………………………2分 故(]max min ()(),0,1b bx a x x x x+<<-∈又函数()b g x x x =+在(]0,1上单调递增，所以max ()(1)1bx g b x +==+；对于函数(](),0,1bh x x x x=-∈①当1b <-时，在(]0,1上()h x 单调递减，min ()(1)1bx h b x-==-，又11b b ->+，所以，此时a 的取值范围是(1,1)b b +-． ……………………………………2分 ②当10b -≤<，在(]0,1上，()bh x x x=-≥当x =min ()bx x-=a 存在，必须有110b b ⎧+<⎪⎨-≤<⎪⎩即13b -≤<，此时a的取值范围是(1,b +综上，当1b <-时，a 的取值范围是(1,1)b b +-；当13b -≤<时，a的取值范围是(1,b +；当30b ≤<时，a 的取值范围是∅． ……………………………2分 [解]（文）（1）当1a =时，函数的单调递减区间为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦………………2分 函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数． ………………2分（2）当1a =时，1()|1|4f x x x =--， 由(2)0xf =得12|21|04x x --= ………………2分 即2211(2)204x x x ⎧≥⎪⎨--=⎪⎩或2211(2)204x x x⎧<⎪⎨-+=⎪⎩ ………………2分解得111222222xx x +===（舍），或所以221log log (112x +==-或1x =-． ………………2分 （3）当0x =时，a 取任意实数，不等式()0f x <恒成立， 故只需考虑(]0,1x ∈，此时原不等式变为1||4x a x-< 即1144x a x x x -<<+…………………………2分 故(]max min 11()(),0,144x a x x x x-<<+∈又函数1()4g x x x =-在(]0,1上单调递增，∴max 13()(1)44x g x -==………2分函数1()4h x x x =+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴min 11()()142x h x +==；所以314a <<，即实数a 的取值范围是3,14⎛⎫⎪⎝⎭．……2分 23. [解] （1）如图，由11OQ P ∆是边长为1a 的等边三角形，得点1P的坐标为1(2a ，又1P 1(2a 在抛物线2y x =上，所以211342a a =，得123a = ………………2分 同理2P 22(,32a +在抛物线2y x =上，得243a = ………………2分 （2）如图，法1：点1n Q -的坐标为1231(,0)n a a a a -+++⋅⋅⋅+，即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，，所以直线1n n Q P -的方程为1)n y x S --或1)n y x S -=-，因此，点n P的坐标满足21)n y x y x S -⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x210n y --= ，所以y =又3sin 602n n ya a =⋅=，故31n a =+从而21324n n n a a S --= ……① ……………………………………………2分 由①有211324n n n a a S ++-= ……②②-①得22113()2()4n n n n n a a a a a ++---=即11()(332)0n n n n a a a a +++--=，又0n a >，于是123n n a a +-= 所以{}n a 是以23为首项、23为公差的等差数，12(1)3n a a n d n =+-= …………2分 （文）1()1(1)23n n a a n S n n +==+ (2)（理）1()1(1)23n n a a n Sn n +==+22n n G ==，2lim lim 3(1)3n n n nG S n n →∞→∞==+ ……………………理2分 法2：点1n Q -的坐标为1231(,0)n a a a a -+++⋅⋅⋅+，即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，，所以直线1n n Q P -的方程为1)n y x S -=-或1)n y x S -=-因此，点(,)n P x y 的坐标满足21)n y x y x S -⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得213()n x S x --=，又12n n a x S -=+，所以213()22n n n a a S -=+，从而21324n n n a a S --= …① ……2分以下各步同法1法3：点1n Q -的坐标为1231(,0)n a a a a -+++⋅⋅⋅+，即点100(,0)(=0)nS Q S -点与原点重合，，所以1(,)22n nn n aP S -+， 又1(,)22n n n n a P S -+在抛物线2y x =上，得21342n n n a a S -=+ 即21324n n n a a S --= …………………………………………………………2分以下各步同法1（3）（文）因为2(1)231323n n nn b a a b a ++==，所以数列{}n b 是正项等比数列，且公比2301q a =≠，首项2310b a q ==，因正整数,,,p q r s 成等差数列，且p q r s <<<，设其公差为d ，则 d 为正整数，所以q p d =+，2r p d =+，3s p d =+ 则100(1)1p p b q T q -=-，100(1)1p d q b q T q +-=-，2100(1)1p d r b q T q +-=-，3100(1)1p d s b q T q +-=-… 2分 p s T T ⋅q r T T -⋅=2321000020(1)(1)(1)(1)(1)p p d p d p d b q q q q q +++⎡⎤⋅-----⎣⎦- 2231000020()()(1)p d p d p p d b q q q q q +++⎡⎤=⋅+-+⎣⎦- ………………………… 2分 而23200000000()()(1)(1)p d p d p p d p d p d d q q q q q q q q +++++-+=---2000(1)()d p p d q q q +=--22000000(1)(1)(1)(1)d p d p d d q q q q q q =--=--- …………… 2分 因为01a a >≠且，所以230001q a q =>≠且，又d 为正整数，所以0(1)d q -与20(1)d q -同号，故2000(1)(1)0---<p d d q q q ，所以，p s T T ⋅q r T T <⋅． ………………… 2分 （理）因为2(1)231323n n nn b a a b a ++==，所以数列{}n b 是正项等比数列，且公比2301q a =≠，首项2310b a q ==， 则100(1)1p p b q T q -=-，100(1)1q q b q T q -=-，100(1)1r r b q T q -=-，100(1)1s s b q T q -=- …… 2分 p s T T ⋅q r T T -⋅=21000020(1)(1)(1)(1)(1)p s q r b q q q q q ⎡⎤⋅-----⎣⎦-（注意00p s q r q q ++=） 21000020()()(1)q r p s b q q q q q ⎡⎤=⋅+-+⎣⎦- ………………………… 2分而00000000()()()()q r p s q p s r q q q q q q q q +-+=--- 0000000(1)(1)(1)()p q p r s r q p p r q q q q q q q ---=---=--（注意q p s r -=-） 000000(1)(1)(1)(1)q p p r p p q p r p q q q q q q ----=--=--- ……………………… 2分 因为01a a >≠且，所以230001q a q =>≠且 又,q p r p --均为正整数，所以0(1)q p q --与0(1)r p q --同号，故000(1)(1)0p q p r p q q q -----<，所以，p s T T ⋅q r T T <⋅．………………… 2分 （第（3）问只写出正确结论的，给1分）。

2013高三文科二模数学试卷（杨浦等地有答案）2012学年静安、杨浦、青浦宝山区高三年级高考模拟考试数学试卷（文科）2013.04.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集，集合，则.2．若复数满足（是虚数单位），则.3．已知直线的倾斜角大小是，则.4．若关于的二元一次方程组有唯一一组解，则实数的取值范围是. 5．已知函数和函数的图像关于直线对称，则函数的解析式为.到渐近线的距离为.7．函数的最小正周期.8．若，则目标函数的最小值为.9．执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输出的值是. 10．已知圆锥底面半径与球的半径都是，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为．11．某中学在高一年级开设了门选修课，每名学生必须参加这门选修课中的一门，对于该年级的甲乙名学生，这名学生选择的选修课相同的概率是(结果用最简分数表示)．12．各项为正数的无穷等比数列的前项和为，若，则其公比的取值范围是.13．已知函数.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是.14．函数的定义域为，其图像上任一点满足．①函数一定是偶函数；②函数可能既不是偶函数，也不是奇函数；③函数可以是奇函数；④函数如果是偶函数，则值域是或；⑤函数值域是，则一定是奇函数．其中正确命题的序号是（填上所有正确的序号）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．已知，，则的值等于………………………（）（A）.（B）.（C）.（D）.16．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于…（）（A）.（B）.（C）.（D）.17．若直线通过点，则………………………………（）（A）.（B）.（C）.（D）.18．某同学为了研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设，则．那么，可推知方程解的个数是………………………………………………………（）（A）.（B）.（C）.（D）.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是米，底面的边长是米．（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？(精确到米2) 20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点．（1）若是的中点，求；（2）设，求△周长的最大值及此时的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆.（1）直线过椭圆的中心交椭圆于两点，是它的右顶点，当直线的斜率为时，求△的面积；（2）设直线与椭圆交于两点，且线段的垂直平分线过椭圆与轴负半轴的交点，求实数的值．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数．（1）若函数的图像过原点，求的解析式；（2）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，令，问是否存在实数，使在上是减函数，在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列的前项和为，且，．从中抽出部分项,组成的数列是等比数列，设该等比数列的公比为，其中．（1）求的值；（2）当取最小时，求的通项公式；（3）求的值．四区联考2012学年度第二学期高三数学一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．4；9．；10．；11．；12．；13．；14．②③⑤二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．D；16．B；17．B；18．C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．解：（1）如图正四棱锥底面的边长是米，高是米所以这个四棱锥冷水塔的容积是．(2)如图，取底面边长的中点，连接，答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解:（1）在△中，，由得，解得．（2）∵∥，∴，在△中，由正弦定理得，即∴,又．记△的周长为，则=∴时，取得最大值为.21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：(1)依题意，，，由，得，设，∴；(2)如图，由得，依题意，，设，线段的中点，则，，，由，得，∴22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.解:（1）过原点，得或（2）是偶函数，即，又恒成立即当时当时，，当时，，综上：（3）是偶函数，要使在上是减函数在上是增函数，即只要满足在区间上是增函数在上是减函数．令，当时；时，由于时，是增函数记，故与在区间上有相同的增减性，当二次函数在区间上是增函数在上是减函数，其对称轴方程为．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）令得，即；又（2）由和，所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，所以．解法一：数列是正项递增等差数列，故数列的公比，若，则由得，此时，由解得，所以，同理；若，则由得，此时组成等比数列，所以，，对任何正整数，只要取，即是数列的第项．最小的公比．所以．………（10分）解法二:数列是正项递增等差数列，故数列的公比，设存在组成的数列是等比数列，则，即因为所以必有因数，即可设，当数列的公比最小时，即，最小的公比．所以．（3）由（2）可得从中抽出部分项组成的数列是等比数列，其中，那么的公比是，其中由解法二可得．，所以。

2013年上海市徐汇、松江、金山区高考数学二模试卷（文科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 若函数f(x)=a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(2, −1)，则a =________．2. 若直线l 1:2x +my +1=0与直线l 2:y =3x −1平行，则m =________．3. 若正整数n 使得行列式|1n 2−n3n|=6，则P 7n=________．4. 已知函数f(x)=x 13，x ∈(1,27)的值域为A ，集合B ={x|x 2−2x <0, x ∈R}，则A ∩B =________．5. 已知α∈(−π2，0)，且cosα=45，则sin2α=________．6. 已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为________（结果保留π）．7. 已知x =−3−2i （i 为虚数单位）是一元二次方程x 2+ax +b =0（a ，b 均为实数）的一个根，则a +b =________．8. 如图给出的是计算1+13+15+⋯+12013的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入i =________．9. 某国际体操比赛，我国将派5名正式运动员和3名替补运动员参加，最终将有3人上场比赛，其中甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是________（结果用最简分数表示）． 10. 满足条件的目标函数P ＝x 2+y 2的最大值是________．11. 在二项式(ax +3x )6(a ∈R)的展开式中，常数项的值是−20，则limn →∞(a +a 2+a 3+⋯+a n )=________． 12. 已知椭圆x 225+y 216=1内有两点A(1, 3)，B(3, 0)，P 为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为________．13.如图，有以下命题成立：设点P ，Q 是线段AB 的三等分点，则有OP →+OQ →=OA →+OB →．将此命题推广，设点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5是线段AB 的六等分点，则OA 1→+OA 2→+OA 3→+OA 4→+OA 5→=________(OA →+OB →)．14. 如图，对正方形纸片ABCD进行如下操作：第一步，过点D任作一条直线与BC边相交于点E1，记∠CDE1=α1；第二步，作∠ADE1的平分线交AB边于点E2，记∠ADE2=α2；第三步，作∠CDE2的平分线交BC边于点E3，记∠CDE3=α3；按此作法从第二步起重复以上步骤…，得到α1，α2，…，αn，…，则用αn和αn+1表示的递推关系式是αn+1=________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. 已知a，b为实数，命题甲：ab>b2，命题乙：1b <1a<0，则甲是乙的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件16. 已知函数f(x)={1,x>00,x=0−1,x<0，设F(x)=x2⋅f(x)，则F(x)是（）A 奇函数，在(−∞, +∞)上单调递减B 奇函数，在(−∞, +∞)上单调递增C 偶函数，在(−∞, 0)上递减，在(0, +∞)上递增D 偶函数，在(−∞, 0)上递增，在(0, +∞)上递减17. 如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是（）A B C D18. 气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 (∘C)”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区有（）A 0个B 1个C 2个D 3个三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且sinAcosC +cosAsinC =√32，若b =√7，△ABC 的面积S △ABC =34√3，求a +c 的值．20. 某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k ．轮船的最大速度为15海里/小时．当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度v 匀速航行．（1）求k 的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W （燃料费+航行运作费用）的最小值．21.如图，已知ABC −A 1B 1C 1是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2．（1）求异面直线A 1C 与B 1C 1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求三棱锥C −ABC 1的体积V C−ABC 1．22. 已知双曲线C 的中心在原点，D(1, 0)是它的一个顶点，d →=(1,√2)是它的一条渐近线的一个方向向量．（1）求双曲线C 的方程；（2）若过点(−3, 0)任意作一条直线与双曲线C 交于A ，B 两点 (A ，B 都不同于点D)，求DA →⋅DB →的值；（3）对于双曲线Γ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0,a ≠b)，E 为它的右顶点，M ，N 为双曲线Γ上的两点(M ，N 都不同于点E)，且EM ⊥EN ，求证：直线MN 与x 轴的交点是一个定点． 23. 已知数列{a n }(n ∈N ∗)的前n 项和为S n ，数列{Sn n}是首项为0，公差为12的等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =415⋅(−2)a n (n ∈N ∗)，对任意的正整数k ，将集合{b 2k−1, b 2k , b 2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d k ，求d k ；（3）对（2）题中的d k ，设A(1, 5d 1)，B(2, 5d 2)，动点M ，N 满足MN →=AB →，点N 的轨迹是函数y =g(x)的图象，其中g(x)是以3为周期的周期函数，且当x ∈(0, 3]时，g(x)=lgx ，动点M 的轨迹是函数f(x)的图象，求f(x)．2013年上海市徐汇、松江、金山区高考数学二模试卷（文科）答案1. 122. −233. 424. (1, 2)5. −2425 6. 12π 7. 19 8. i +2 9. 51410. 4 11. −14 12. 15 13. 52 14.π−2αn415. B 16. B 17. B 18. C19. 解：在△ABC 中，由条件sinAcosC +cosAsinC =√32可知，sin(A +C)=√32， 即sinB =√32，∵ S △ABC =12acsinB =34√3，∴ ac =3． 根据b =√7，若B 为锐角，则cosB =12，由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ，得b 2=(a +c)2−2ac −2accosB ，于是，7=(a +c)2−2⋅3(1+12)，∴ a +c =4．若B 为钝角，则cosB =−12，由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ，得b 2=(a +c)2−2ac −2accosB ，于是，7=(a +c)2−2⋅3(1−12)，解得a +c =√10．此时，∵ (a −c)2=(a +c)2−4ac =10−12=−2，矛盾，故a +c =√10是不可能的，即B 不能为钝角，综上可得，a +c =4． 20. （1）k 值为0.96，（2）该轮船航行100海里的总费用W 的最小值为2400（元）． 21. 解：（1）连接A 1B ，∵ 正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，C 1B 1 // CB ，∴∠A 1CB （或其补角）是异面直线A 1C 与B 1C 1所成角．∵ 四边形AA 1C 1C 与AA 1B 1B 都是边长为2的正方形 ∴ |A 1C|=|A 1B|=2√2，△A 1CB 中根据余弦定理，得cos∠A 1CB =8+4−82×2√2×2=√24因此，∠A 1CB =arccos√24， 即异面直线A 1C 与B 1C 1所成角的大小为arccos √24． （2）由题意得 ∵ △ABC 的面积S △ABC =√34⋅22=√3，高CC 1=2∴ 正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积为V =S △ABC ×CC 1=2√3 而三棱锥C 1−ABC 与正三棱柱ABC −A 1B 1C 1同底等高 ∴ 三棱锥C 1−ABC 的体积为V C 1−ABC =13V ABC−A 1B 1C 1=23√3， ∵ V C−ABC 1=V C 1−ABC ，∴ 三棱锥C −ABC 1的体积为23√3． 22. （1）解：设双曲线C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，则a =1，又ba =√2，得b =√2，所以，双曲线C 的方程为x 2−y 22=1．（2）解：当直线AB 垂直于x 轴时，其方程为x =−3，A ，B 的坐标为(−3, 4)、(−3, −4)，DA →=(−4,4)，DB →=(−4,−4)，所以DA →⋅DB →=0． 当直线AB 不与x 轴垂直时，设此直线方程为y =k(x +3)， 由{y =k(x +3)2x 2−y 2=2得(2−k 2)x 2−6k 2x −9k 2−2=0． 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=6k 22−k2，x 1⋅x 2=−9k 2−22−k 2，故DA →⋅DB →=(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=(x 1−1)(x 2−1)+k 2(x 1+3)(x 2+3)=(k 2+1)x 1x 2+(3k 2−1)(x 1+x 2)+9k 2+1=(k 2+1)−9k 2−22−k 2+(3k 2−1)6k 22−k 2+9k 2+1=0．综上，DA →⋅DB →=0．（3）证明：设直线MN 的方程为：x =my +t ，由{x =my +t b 2x 2−a 2y 2=a 2b 2，得(b 2m 2−a 2)y 2+2b 2mty +b 2(t 2−a 2)=0， 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则y 1+y 2=−2b 2mtb 2m 2−a 2，y 1y 2=b 2(t 2−a 2)b 2m 2−a 2，分由EM ⊥EN ，得(x 1−a)(x 2−a)+y 1y 2=0，(my 1+t −a)(my 2+t −a)+y 1y 2=0 即(1+m 2)y 1y 2+m(t −a)(y 1+y 2)+(t −a)2=0，(1+m 2)b 2(t 2−a 2)b 2m 2−a 2−m(t −a)2b 2mt b 2m 2−a 2+(t −a)2=0，化简得，t =a(a 2+b 2)a 2−b 2或t =a （舍），所以，直线MN 过定点(a(a 2+b 2)a 2−b 2, 0)．23. 解：（1）由条件得Snn =0+(n −1)12，即S n =n2(n −1)所以a n =n −1(n ∈N ∗)． （2）由（1）可知b n =415⋅(−2)n−1(n ∈N ∗)，所以b 2k−1=415(−2)2k−2=415⋅22k−2，b 2k =415(−2)2k−1=−415⋅22k−1b 2k+1=415(−2)2k =415⋅22k ．由2b 2k−1=b 2k +b 2k+1及b 2k <b 2k−1<b 2k+1得b 2k ，b 2k−1g(x)，b 2k+1依次成递增的等差数列，所以d k =b 2k+1−b 2k−1=415⋅22k −415⋅22k−2=4k 5．（3）由（2）得A(1, 4)，B(2, 16)，即MN →=AB →=(1, 12)当3m <x ≤3(m +1)(m ∈Z)时，g(x)=lg(x −3m)，(0<x −3m ≤3)， 由y =g(x)是以3为周期的周期函数得，g(x)=g(x −3m)=lg(x −3m)， 设M(x, y)是函数图象上的任意点，并设点N 的坐标为(x N , y N )， 则{x N −x =1y N −y =12． 而y N =lg(x N −3m)，（3m <x N ≤3m +3(m ∈Z)）， 于是，y +12=lg(x +1−3m)，（3m <x +1≤3m +3(m ∈Z)）， 所以，f(x)=lg(x +1−3m)−12，（3m −1<x ≤3m +2(m ∈Z)）．。

上海市普陀区2013届高三4月质量调研（二模）文科数学考生注意： 2013.41.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 函数)1(log 2-=x y 的定义域为 . 2. 若53sin =θ且02sin <θ，则θtan = . 3. 若点)2,4(在幂函数)(x f 的图像上，则函数)(x f 的反函数)(1x f -= .4. 若i a z 21+=，i z +=12（表示虚数单位），且21z z 为纯虚数，则实数=a . 5. 若5522105)12(x a x a x a a x ++++=+ ，则=++-++25312420)()(a a a a a a .6. 若函数1)(2++=ax x x f 是偶函数，则函数||)(x x f y =的最小值为 . 7. 若双曲线C :22221x y a b-=的焦距为10，点)1,2(P 在C 的渐近线上，则C 的方程为 .8. 若某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，则至少选出2名男生的概率为 .9. 若实数,x y 满足不等式组0220x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 .10. 若三条直线03=++y ax 02=++y x 和012=+-y x 相交于一点，则行列式11221131-a 的值为 .11. △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若3π=A ，c b 2=，则C = .12. 若圆C 的半径为3，单位向量e所在的直线与圆相切于定点A ，点B 是圆上的动点，则e AB ⋅的最大值为13. 已知函数⎩⎨⎧<≥=0,10,2)(x x x f x ，若)2()1(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是 .14. 若,i j a 表示n n ⨯阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n a n ,853543211111中第行、第j 列的元素，其中第行的元素均为，第列的元素为n ,,3,2,1 ，且1,11,,i j i j i j a a a +++=+（、1,,3,2,1-=n j ）,则=∞→2,3limn a n n .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 若集合},4|{2R y x y x A ∈==，1{|0}2xB x x-=≥+，则A B = ………………（ ） A . [0,1]. B .(2,1]-. C . (2,)-+∞. D . [1,)+∞.16. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ，则1S :2S =………………………………………………………………………………………………( )A . 1:1.B . 2：1.C . 3:2.D . 4:1.17. 若R a ∈，则“关于x 的方程012=++ax x 无实根”是“i a a z )1()12(-+-=（其中表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的…………………………………（ ）A .充分非必要条件.B .必要非充分条件.C .充要条件.D .既非充分又非必要条件.18.如图，△ABC 是边长为的正三角形，点P 在△ABC 所在的平面内，且++22||||PB PAa PC =2||（a 为常数）.下列结论中，正确的是……………………………………………（ ）A .当10<<a 时，满足条件的点P 有且只有一个.B .当1=a 时，满足条件的点P 有三个.C .当1>a 时，满足条件的点P 有无数个.D .当a 为任意正实数时，满足条件的点P 是有限个.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知函数)cos()(ϕω+=x A x f （0>A ,0>ω,02<<-ϕπ）的图像与y 轴的交点为)1,0(，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为)2,(0x 和)2,2(0-+πx（1）求函数)(x f 的解析式； （2）若锐角θ满足31cos =θ，求)2(θf 的值.20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1B B 、DC 的中点. （1）求三棱锥1E FCC -的体积.（2）求异面直线1D F 与1A E 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. ABCP第18题第19题1C1D21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.已知0>a 且1≠a ，函数)1(log )(+=x x f a ，xx g a-=11log )(，记)()(2)(x g x f x F +=（1）求函数)(x F 的定义域D 及其零点；（2）若关于x 的方程0)(=-m x F 在区间)1,0[内有解，求实数m 的取值范围.、22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，方向向量为),1(k d =的直线经过椭圆191822=+y x 的右焦点F ，与椭圆相交于A 、B 两点（1）若点A 在x 轴的上方，且||||OF OA =，求直线的方程； （2）若1=k ，)0,6(P ，求△PAB 的面积；（3）当k （R k ∈且0≠k ）变化时，试求一点)0,(0x C ，使得直线AC和BC 的斜率之和为0.第22题Oxy F23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.对于任意的*N n ∈，若数列}{n a 同时满足下列两个条件，则称数列}{n a 具有“性质m ”：①122++<+n n n a a a ； ②存在实数M ,使得M a n ≤成立. （1）数列}{n a 、}{n b 中，n a n =、6sin 2πn b n =（5,4,3,2,1=n ），判断}{n a 、}{n b 是否具有“性质m ”；（2）若各项为正数的等比数列}{n c 的前n 项和为n S ，且413=c ，473=S ，求证：数列}{n S 具有“性质m ”；（3）数列}{n d 的通项公式nn n n t d 21)23(+-⋅=（*N n ∈）.对于任意]100,3[∈n 且*N n ∈，数列}{n d 具有“性质m ”，求实数的取值范围.上海市普陀区2013年高考二模数学试题（文科）参考答案一.填空题1.}1|{>x x2.43- 3.=-)(1x f 2x （0≥x ）4. 2- 5.243- 6.2 7.152022=-y x8.549.6 10.0 11. 6π12.3 13.121-<<-a 14.21二.选择题题 号 15 16 1718答 案A CB C三.解答题19.[解]（1）由题意可得2=A ……………………………………………………………1分π22=T 即π4=T ，21=ω……………………………………………… 3分 )21cos(2)(ϕ+=x x f ，1)0(=f由21cos =ϕ且02<<-ϕπ，得3πϕ-= (5)分函数)321cos(2)(π-=x x f ...... (6)分（2）由于1cos 3θ=且θ为锐角，所以322sin =θ…… ………………………………8分)2(θf )3sin sin 3cos(cos 2)3cos(2πθπθπθ+=-=……………………………10分)233222131(2⨯+⨯⋅=3621+=……………12分 20.[解]（1）=-1FCC E V 1ECC F V -…………………………1分 由题意得⊥FC 平面1ECC 且1=FC …………………………3分222211=⨯⨯=∆ECC S …………………………5分 CD1A1B1C1DEF1ECC F V -322131311=⨯⨯=⨯⨯=∆FC S ECC =-1FCC E V 32…………………………6分 （2）取AB 的中点为G ，连接G A 1,GE由于F D G A 11//,所以直线G A 1与E A 1所成的锐角或直角即为异面直线E A 1与F D 1所成的角……9分 在GE A 1∆中，51=G A ,2=GE ,51=E A由余弦定理得，54552255cos 1=⨯⨯-+=∠E GA 0>……12分 所以54arccos1=∠E GA 即异面直线E A 1与F D 1所成的角的大小为54arccos …………14分21. 解：（1）)()(2)(x g x f x F +=xx a a -++=11log )1(log 2（0>a 且1≠a ） ⎩⎨⎧>->+0101x x ，解得11<<-x ，所以函数)(x F 的定义域为)1,1(-……2分令)(x F 0=，则011log )1(log 2=-++xx a a …（*） ……3分 方程变为)1(log )1(log 2x x a a -=+x x -=+1)1(2，即032=+x x ……………………5分解得01=x ，32-=x ，经检验3-=x 是（*）的增根，所以方程（*）的解为0=x 即函数)(x F 的零点为0.……6分 （2）xx m aa -++=11log )1(log 2（10<≤x ） =)4141(log 112log 2--+-=-++x x x x x a a ……8分4141--+-=xx a m ，设]1,0(1∈=-t x ……9分 函数tt y 4+=在区间]1,0(上是减函数……………………11分 当1=t 时，此时1=x ，5min =y ，所以1≥m a ………………12分①若1>a ，则0≥m ，方程有解…………………………13分 ②若10<<a ，则0≤m ，方程有解.…………………………14分22.【解】（1）由题意182=a ，92=b 得3=c ，所以)0,3(F ………………………………1分||||OF OA =且点A 在x 轴的上方，得)3,0(A ………………………………2分1-=k ，)1,1(-=d ……………………………………3分直线：113--=-y x ，即直线的方程为03=-+y x …………………………4分 （2）设),(11y x A 、),(22y x B ，当1=k 时，直线：3-=x y …………5分将直线与椭圆方程联立⎪⎩⎪⎨⎧-==+3191822x y y x ，……………………7分 消去x 得，0322=-+y y ，解得31-=y ，12=y ……………………9分4||21=-y y ，所以64321||||2121=⨯⨯=-⨯⨯=∆y y PF S PAB ……10分（3）假设存在这样的点)0,(0x C ，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0,由题意得，直线：)3(-=x k y （0≠k ）⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(191822x k y y x ，消去y 得，0)1(1812)21(2222=-+-+k x k x k ……12分 0>∆恒成立，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+=+2221222121)1(182112k k x x k k x x ……13分011x x y k AD -=，022x x y k BD -=……14分+-=+011x x y k k BD AD 022x x y -0))(())(3())(3()3()3(0201012021022011=----+--=--+--=x x x x x x x k x x x k x x x k x x x k所以06))(3(2021021=+++-kx x x x k x kx ……15分0621)3(1221)1(36020322=+++-+-kx k x k k k k解得60=x ，所以存在一点)0,6(，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0.…16分 23.解：（1）在数列}{n a 中，取1=n ，则23122a a a ==+，不满足条件①，所以数列}{n a 不具有“m 性质”；……2分在数列}{n b 中，11=b ，32=b ，23=b ，34=b ，15=b ，则2312323b b b =<=+，3422432b b b =<=+，4532323b b b =<=+，所以满足条件①；26sin 2≤=πn b n （5,4,3,2,1=n ）满足条件②，所以数列}{n b 具有“性质m ”。

上海市16区2013届高三二模数学（文）试题分类汇编15：其它选修部分
姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、选择题
．（上海市奉贤区2013届高考二模数学（文）试题 ）已知各项均为正数的等比数列的前项和为,若, 则公比的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
二、填空题
．（上海市徐汇、松江、金山2013届高三4月学习能力诊断数学（文）试题）在二项式的展开式中,常数项的值是,则=________.
【答案】
．（上海市浦东区2013年高考二模数学（文）试题 ）记直线:()与坐标轴所围成的直角三角形的面积为,则
__________.
【答案】;
．（上海市闵行区2013届高三4月质量调研考试数学(文)试题）方程组的增广矩阵为
___________________________.
【答案】;
．（上海市静安、杨浦、青浦、宝山区2013届高三4月高考模拟数学(文)试题）各项为正数的无穷等比数列的前项和为,若, 则其公比的取值范围是____.
【答案】
．（上海市黄浦区2013年4月高考（二模）模拟考试数学（文）试题）已知,且,则_________.
【答案】;
．（上海市虹口区2013届高三（二模）数学（文）试卷）设展开式中二项式系数之和为,各项系数之和为,则_____. 【答案】;。

2013年上海市长宁、嘉定区高考数学二模试卷（文科）一．填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题4分）1．（4分）（2012•上海）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为π．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T=中，即可求出函数的最小正周期．解答：解：f（x）=sin（2x+），∵ω=2，∴T==π，则函数的最小正周期为π．故答案为：π点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．2．（4分）（2013•嘉定区二模）若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），且实数f（1）＜0，则m= ．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：依题意，1是2x2﹣3x+a=0的根，将1代入可求得a=1，从而可求得m的值．解答：解：∵x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），∴1是2x2﹣3x+a=0的根，∴2×1﹣3×1+a=0∴a=1，∴2x2﹣3x+1=0的解集为（，0），∵不等式2x2﹣3x+1＜0的解集为（m，1），∴m=．故答案为：．点评：本题考查一元二次不等式的解法，求得a的值是关键，属于基础题．3．（4分）（2013•嘉定区二模）（文）已知集合A={﹣1，0，a}，B={x|1＜3x＜9，x∈Z}，若A∩B≠∅，则实数a的值是 1 ．考点：指数函数单调性的应用；集合关系中的参数取值问题．专题：函数的性质及应用．分析：解指数不等式得到集合B，根据A∩B≠∅即可求得a的值．解答：解：由1＜3x＜9，得：0＜x＜2，又x∈Z，所以x=1，所以B={x|1＜3x＜9，x∈Z}={1}，再由A={﹣1，0，a}，A∩B≠∅，所以a=1．故答案为1．点评：本题考查了指数函数的单调性，考查了集合的交集运算，是基础题．4．（4分）（2013•嘉定区二模）已知复数z满足（i为参数单位），则复数z的实部与虚部之和为．考点：复数的基本概念；虚数单位i及其性质．专题：待定系数法．分析：复数z=a+bi （a、b∈R），代入已知的等式，利用两个复数代数形式的乘除法法则及两个复数相等的充要条件，解方程组求出复数的实部和虚部．解答：解：设复数z=a+bi （a、b∈R），代入已知的等式得=3，=3，=3，∴a=1，b=，∴a+b=1+=，故答案为：．点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的条件及复数实部、虚部的定义．5．（4分）（2013•嘉定区二模）求值：= ﹣1 ．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：由二项式定理可知=（1﹣2）2013可求解答：解：∵=（1﹣2）2013=﹣1故答案为：﹣1点评：本题主要考查了二项式定理的逆应用，解题的关键是熟练掌握基本公式6．（4分）（2005•湖北）已知向量不超过5，则k的取值范围是[﹣6，2] ．考点：向量的模．分析：根据向量模的计算公式，列出一个关于K不等式，解不等式，即可求出K的取值范围．解答：解：∵≤5∴﹣6≤k≤2故答案为：[﹣6，2]点评：求常用的方法有：①若已知，则=；②若已知表示的有向线段的两端点A、B坐标，则=|AB|=③构造关于的方程，解方程求．7．（4分）（2013•嘉定区二模）设a＞0，a≠1，行列式中第3行第2列的代数余子式记作y，函数y=f（x）的反函数图象经过点（2，1），则a= 4 ．考点：三阶矩阵．专题：函数的性质及应用．分析：根据余子式的定义可知，在行列式中划去第3行第2列后所余下的2阶行列式为第3行第2列元素的代数余子式，求出值即可．函数y=f（x）的反函数图象经过点（2，1），可知点点（1，2）在函数y=﹣a x+6的图象上，由此代入数值即可求得a．解答：解：由题意得第3行第2列元素的代数余子式M32=﹣=﹣a x+6依题意，点（1，2）在函数y=﹣a x+6的图象上，将x=1，y=2，代入y=﹣a x+6中，得﹣a+6=2，解得a=4．故答案为：4．点评：此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义、反函数以及原函数与反函数之间的关系，会进行矩阵的运算，是一道基础题．8．（4分）（2013•嘉定区二模）已知，且，则sinα=．考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由α和β的范围求出α﹣β的范围，根据cos（α﹣β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α﹣β）的值，再由sinβ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosβ的值，然后将所求式子中的角α变为（α﹣β）+β，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．解答：解：∵α∈（0，），β∈（﹣，0），∴α﹣β∈（0，π），又cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，∴sin（α﹣β）==，cosβ==，则sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=×+×（﹣）=．故答案为：点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围．9．（4分）（2013•嘉定区二模）（理）如图是一个算法框图，则输出的k的值是 6 ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，从而到结论．解答：解：由于k2﹣6k+5＞0⇒k＜1或k＞5．第1次循环，k=1+1=2，第2次循环，k=2+1=3，第3次循环，k=3+1=4，第4次循环，k=4+1=5，第6次循环，k=5+1=6，6＞5满足k2﹣6k+5＞0，退出循环，输出的结果为6，故答案为：6．点本题主要考查了循环结构，是当型循环，当不满足条件，执行循环，属于基础题．评：10．（4分）（2013•嘉定区二模）（文）设函数的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积4π．定积分在求面积中的应用．考点：专计算题．题：分析：函数等价于，可得曲线绕x轴旋转一周所得几何体为半径R=1的球，由球的表面积公式可得答案．解答：解：函数等价于，故其图象为单位圆在x轴上方的部分，故曲线绕x轴旋转一周所得几何体为半径R=1的球，故其表面积为S=4πR2=4π，故答案为：4π本题考查几何体表面积的求解，得出几何体为球是解决问题的关键，属中档题．点评：11．（4分）（2013•嘉定区二模）（文）从4名男生和3名女生中任选3人参加会议，则选出3人中至少有1名女生的概率是．考古典概型及其概率计算公式．点：专题：概率与统计．分析：利用枚举法写出从4名男生和3名女生中任选3人基本事件总数，找出选出3人中至少有1名女生的事件个数，利用古典概率计算公式求出概率．解答：解：设4名男生分别为A、B、C、D，3名女生分别为1、2、3，则从4名男生和3名女生中任选3人的方法种数为（ABC），（ABD），（ACD），（BCD），（AB1），（AB2），（AB3），（AC1），（AC2），（AC3），（AD1），（AD2），（AD3），（BC1），（BC2），（BC3），（BD1），（BD2），（BD3），（CD1），（CD2），（CD3），（123），（12A），（12B），（12C），（12D），（13A），（13B），（13C），（13D），（23A），（23B），（23C），（23D），（12D）共35种．其中仅有男生的4种，所以至少有1名女生的共31中．所以选出3人中至少有1名女生的概率是．故答案为．点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键是枚举时做到不重不漏，此题是基础题．12．（4分）（2013•嘉定区二模）（文）函数f（x）=|x2﹣4|+x2﹣4x的单调递减区间是（﹣∞，2）．考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：对x2﹣4与0的大小比较进行分类讨论，将函数f（x）=|x2﹣4|+x2﹣4x去掉绝对值化成分段函数的形式，再结合图象写出函数的单调减区间．解答：解：函数f（x）=|x2﹣4|+x2﹣4x=，如图所示，故函数f（x）的减区间为（﹣∞，2），故答案为：（﹣∞，2）．点评：本题主要考查带有绝对值的函数的单调性，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．13．（4分）（2006•重庆）已知变量x，y满足约束条件．若目标函数z=ax+y （其中a＞0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为a．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值．解答：解：画出可行域如图所示，其中B（3，0），C（1，1），D（0，1），若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）取得最大值，由图知，﹣a＜﹣解得a＞故答案为a＞点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．14．（4分）（2013•嘉定区二模）（文）设数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=2，a3=6，若自然数n1，n2，…n k，…满足3＜n1＜n2＜…＜n k＜…，且是等比数列，则n k= 3k+1．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意a1=2，a3=6，从而a n=2n，再由题设条件知a=2•3k+1，再由a=2n k知2n k=2•3k+1，所以n k=3k+1．解答：解：由题意a1=2，a3=6，从而a n=2n，得构成以2为首项，3为公比的等比数列，即：a=2•3 k+1又a=2n k，故2n k=2•3k+1，∴n k=3k+1故答案为：3k+1点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，解题时要认真审题，仔细解答．二．选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题5分）15．（5分）（2013•嘉定区二模）已知A（a1，b1），B（a2，b2）是坐标平面上不与原点重合的两个点，则的充要条件是（）A．B．a1a2+b1b2=0C．D．a1b2=a2b1考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：利用⇔即可得出．解答：解：⇔⇔a1a2+b1b2=0．故选B．点评：熟练掌握⇔是解题的关键．16．（5分）（2013•浙江模拟）关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m B．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，m⊥l，则m⊥α考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．分析：由线面平行的性质定理和面面平行的判定定理判断A、B；再由线面和面面垂直的定理判断C、D．解答：解：A不对，由线面平行的性质定理知必须l⊂β；B不对，由面面平行的判定定理知两条直线必须相交；D不对，有条件有可能m⊂α；C正确，由l∥β知在β内有与l平行的直线，再由l⊥α和面面垂直的判定定理得α⊥β．故选C．点评：本题考查了空间中线面位置关系，主要根据线面和面面平行及垂直的定理进行判断，考查了学生对定理的运用能力和空间想象能力．17．（5分）（2013•嘉定区二模）过点P（1，1）作直线与双曲线交于A、B两点，使点P为AB中点，则这样的直线（）A．存在一条，且方程为2x﹣y﹣1=0 B．存在无数条C．存在两条，方程为2x±（y+1）=0 D．不存在考直线与圆锥曲线的关系．点：专题：计算题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：利用平方差法：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线方程然后作差，由中点坐标公式及斜率公式可求得直线l的斜率，再用点斜式即可求得直线方程，然后再检验直线与曲线方程联立的方程的解的存在的情况解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=2，则x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减得（x1﹣x2）（x1+x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴，即k AB=2，故所求直线方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0．联立可得2x2﹣4x+3=0，但此方程没有实数解故这样的直线不存在故选D点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查直线方程的求法，涉及弦中点问题，往往考虑利用“平方差法”加以解决．但是一定要检验所求直线与椭圆的方程的解的存在情况18．（5分）（2013•嘉定区二模）已知函数f（x）=2x﹣1，g（x）=1﹣x2，构造函数F（x），定义如下：当|f（x）|≥g（x）时，F（x）=|f（x）|，当|f（x）|＜g（x）时，F（x）=﹣g（x），那么F（x）（）A．有最小值0，无最大值B．有最小值﹣1，无最大值C．有最大值1，无最小值D．无最小值，也无最大值考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．分析：在同一坐标系中先画出f（x）与g（x）的图象，然后根据定义画出F（x），就容易看出F（x）无最大值，有最小值﹣1．解答：解：在同一坐标系中先画出f（x）与g（x）的图象，然后根据定义画出F（x），就容易看出F（x）无最大值，有最小值﹣1．故选B．点评：此题考查阅读能力和函数图象的画法，必须弄懂F（x）是什么．先画出|f（x）|及g （x）与﹣g（x）的图象．再比较|f（x）|与g（x）的大小，然后确定F（x）的图象．这是一道创新性较强的试题．三．解答题（本大题满分74分，共5小题）19．（12分）（2013•嘉定区二模）如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO1的表面积为24π，OA=2，∠AOP=120°．（1）求三棱锥A1﹣APB的体积．（2）求异面直线A1B与OP所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；转化思想．分析：（1）由题意圆柱OO1的表面积为24π，OA=2，∠AOP=120°建立关于圆柱高的方程求出AA1=4，即得棱锥的高，再由，∠AOP=120°解出解出AP，进而解出BP，即可解出底面积，再棱锥的体积公式求体积即可；（2）取AA1中点Q，连接OQ，PQ，可证得∠POQ或它的补角为异面直线A1B与OP所成的角，在三角形POQ中求异面直线所成的角即可．解答：解：（1）由题意S表=2π•22+2π•2•AA1=24π，解得AA1=4．（2分）在△AOP中，OA=OP=2，∠AOP=120°，所以（3分）在△BOP中，OB=OP=2，∠BOP=60°，所以BP=2（4分）（5分）=（6分）（2）取AA1中点Q，连接OQ，PQ，则OQ∥A1B，得∠POQ或它的补角为异面直线A1B与OP所成的角．（8分）又，AQ=AO=2，得，PQ=4，（10分）由余弦定理得，（12分）得异面直线A1B与OP所成的角为．（14分）点评：本题考查了求三棱锥的体积与求两异面直线所成的角，在圆柱这一背景下，考查这两个问题方式比较新颖，解答本题关键是正确理解这些几何图形之间的位置关系的转化．20．（12分）（2013•嘉定区二模）在△AB C中，角A，B，C所对应的边a，b，c成等比数列．（1）求证：；（2）求的取值范围．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：（1）由余弦定理求得cosB的值，利用基本不等式求得cosB的范围，即可求得B的范围．（2）根据三角恒等变换化简y的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，求得y 的范围．解答：解：（1）由已知，b2=ac，所以由余弦定理，得由基本不等式a2+c2≥2ac，得．所以．因此，．（2），由（1），，所以，所以，所以，的取值范围是．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．21．（14分）（2013•嘉定区二模）函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且≠1）是定义域为R 的奇函数．（1）求k值；（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的取值范围．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，由此求得k值．（2）由f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得1＞a＞0，f（x）在R上单调递减，不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4），即x2+（t﹣1）x+4＞0 恒成立，由△＜0求得t的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴1﹣（k﹣1）=0，∴k=2．当k=2时，f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），∴f（﹣x）=﹣f（x）成立∴f（x）是定义域为R的奇函数；（2）函数f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），∵f（1）＜0，∴a﹣＜0，∵a＞0，∴1＞a＞0．由于y=a x单调递减，y=a﹣x单调递增，故f（x）在R上单调递减．不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0，可化为f（x2+tx）＜f（x﹣4）．∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0 恒成立，∴△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t＜5．点评：本题考查指数型复合函数的性质以及应用，考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．22．（18分）（2013•嘉定区二模）如图，已知点F（0，1），直线m：y=﹣1，P为平面上的动点，过点P作m的垂线，垂足为点Q，且．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）（文）过轨迹C的准线与y轴的交点M作方向向量为=（a，1）的直线m′与轨迹C交于不同两点A、B，问是否存在实数a使得FA⊥FB？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由；（3）（文）在问题（2）中，设线段AB的垂直平分线与y轴的交点为D（0，y0），求y0的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设P（x，y），由题意，Q（x，﹣1），利用向量的运算即可得出；（2）由（1）可知：轨迹C为抛物线，准线方程为y=﹣1，即直线m，所以M（0，﹣1），当a=0时，直线m'的方程为x=0，与曲线C只有一个公共点，故a≠0．把直线m'的方程与抛物线的方程联立，利用判别式△、根与系数的关系、向量的运算FA⊥FB⇔，即可得出a；（3）由（2），得线段AB的中点为，线段AB的垂直平分线的一个法向量为，即可得到线段AB的垂直平分线的方程，利用（2）的a 的取值范围即可得出．解答：解：（1）设P（x，y），由题意，Q（x，﹣1），，，，，由，得2（y+1）=x2﹣2（y﹣1），化简得x2=4y．所以，动点P的轨迹C的方程为x2=4y．（2）轨迹C为抛物线，准线方程为y=﹣1，即直线m，所以M（0，﹣1），当a=0时，直线m'的方程为x=0，与曲线C只有一个公共点，故a≠0．所以直线m'的方程为，由得a2y2+（2a2﹣4）y+a2=0，由△=4（a2﹣2）2﹣4a4＞0，得0＜a2＜1．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1y2=1，所以，x1x2=4，若FA⊥FB，则，即（x1，y1﹣1）•（x2，y2﹣1）=0，x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1=0，，解得．所以．（3）由（2），得线段AB的中点为，线段AB的垂直平分线的一个法向量为，所以线段AB的垂直平分线的方程为，令x=0，，因为0＜a2＜1，所以．所以y0的取值范围是（3，+∞）．点评：本题主要考查抛物线的方程与性质、向量的运算及其数量积、直线与抛物线的位置关系、线段的垂直平分线等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．23．（18分）（2013•嘉定区二模）（文）已知数列{a n}的前n项和为S n，且对于任意n∈N*，总有S n=2（a n﹣1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成等差数列，当公差d满足3＜d＜4时，求n的值并求这个等差数列所有项的和T；（3）记a n=f（n），如果（n∈N*），问是否存在正实数m，使得数列{c n}是单调递减数列？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）当n=1时，可求得a1=2，当n≥2时S n﹣1=2（a n﹣1﹣1），与已知关系式相减，可求得a n=2a n﹣1，利用等比数列的概念即可求得数列{a n}的通项公式；（2）由题意，a n+1=a n+（n+1）d，可求得d=，利用3＜d＜4，可求得d=，从而可知等差数列首项为16，公差为，共有6项，利用等差数列的求和公式即可求得所有项的和T；（3）（1）知f（n）=2n，依题意可求得c n=n•m2n，由c n+1＜c n，可求得m2＜1﹣对任意n∈N*成立，构造函数g（n）=1﹣，利用g（n）在n∈N*上单调递增的性质，得m的取值范围是（0，）时，数列{c n}是单调递减数列．解答：解：（1）当n=1时，由已知a1=2（a1﹣1），得a1=2．当n≥2时，由S n=2（a n﹣1），S n﹣1=2（a n﹣1﹣1），两式相减得a n=2a n﹣2a n﹣1，即a n=2a n﹣1，所以{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．所以，a n=2n（n∈N*）．（2）由题意，a n+1=a n+（n+1）d，故d=，即d=，因为3＜d＜4，所以3＜＜4，即3n+3＜2n＜4n+4，解得n=4，所以d=．所以所得等差数列首项为16，公差为，共有6项．所以这个等差数列所有项的和T==144．所以，n=4，T=144．（3）由（1）知f（n）=2n，所以c n=n•f（n•）=n•=n•=n•=n•=n•m2n．由题意，c n+1＜c n，即（n+1）•m2n+2＜n•m2n对任意n∈N*成立，所以m2＜1﹣对任意n∈N*成立．因为g（n）=1﹣在n∈N*上是单调递增的，所以g（n）的最小值为g（1）=．所以m2＜．由m＞0得m的取值范围是（0，）．所以，当m∈（0，）时，数列{c n}是单调递减数列．点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，突出等比数列的确定与等差数列的求和，考查构造函数思想与单调性的分析应用，属于难题．。

普陀区2012学年第二学期高三文科数学质量调研考生注意：2013.41.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 函数)1(log 2-=x y 的定义域为 . 2. 若53sin =θ且02sin <θ，则θtan = . 3. 若点)2,4(在幂函数)(x f 的图像上，则函数)(x f 的反函数)(1x f -= .4. 若i a z 21+=，i z +=12（i 表示虚数单位），且21z z 为纯虚数，则实数=a . 5. 若5522105)12(x a x a x a a x ++++=+ ，则=++-++25312420)()(a a a a a a .6. 若函数1)(2++=ax x x f 是偶函数，则函数||)(x x f y =的最小值为 . 7. 若双曲线C :22221x y a b-=的焦距为10，点)1,2(P 在C 的渐近线上，则C 的方程为 .8. 若某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，则至少选出2名男生的概率为 .9. 若实数,x y 满足不等式组0220x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 .10. 若三条直线03=++y ax ,02=++y x 和012=+-y x 相交于一点，则行列式11221131-a 的值为 .11. △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若3π=A ，c b 2=，则C = .12. 若圆C 的半径为3，单位向量e 所在的直线与圆相切于定点A ，点B 是圆上的动点，则e AB ⋅ 的最大值为13. 已知函数⎩⎨⎧<≥=0,10,2)(x x x f x ，若)2()1(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是 .14. 若,i j a 表示n n ⨯阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n a n ,853543211111 中第i 行、第j 列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为n ,,3,2,1 ，且1,11,,i j i j i j a a a +++=+（i 、1,,3,2,1-=n j ）,则=∞→2,3limn a n n .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 若集合},4|{2R y x y x A ∈==，1{|0}2xB x x-=≥+，则A B =………………（ ） A . [0,1]. B .(2,1]-. C . (2,)-+∞. D . [1,)+∞.16. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ，则1S :2S =…………………………………………………………( )A . 1:1.B . 2：1.C . 3:2.D . 4:1.17. 若R a ∈，则“关于x 的方程012=++ax x 无实根”是“i a a z )1()12(-+-=（其中i 表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的…………………………（ ）A .充分非必要条件.B .必要非充分条件.C .充要条件.D .既非充分又非必要条件.18.如图，△ABC 是边长为1的正三角形，点P 在△ABC 所在的平面内，且++22||||PB PA a PC =2||（a 为常数）.下列结论中，正确的是……………………………………………（ ）A .当10<<a 时，满足条件的点P 有且只有一个.B .当1=a 时，满足条件的点P 有三个.C .当1>a 时，满足条件的点P 有无数个.D .当a 为任意正实数时，满足条件的点P 是有限个.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知函数)cos()(ϕω+=x A x f （0>A ,0>ω,02<<-ϕπ）的图像与y 轴的交点为)1,0(，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为)2,(0x 和)2,2(0-+πx（1）求函数)(x f 的解析式； （2）若锐角θ满足31cos =θ，求)2(θf 的值.20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1B B 、DC 的中点. （1）求三棱锥1E FCC -的体积.（2）求异面直线1D F 与1A E 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.C第18题第19题B1C1D21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.已知0>a 且1≠a ，函数)1(log )(+=x x f a ，xx g a-=11log )(，记)()(2)(x g x f x F +=（1）求函数)(x F 的定义域D 及其零点；（2）若关于x 的方程0)(=-m x F 在区间)1,0[内有解，求实数m 的取值范围. 、22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，方向向量为),1(k =的直线l 经过椭圆191822=+y x 的右焦点F ，与椭圆相交于A 、B 两点（1）若点A 在x 轴的上方，且||||OF OA =，求直线l 的方程； （2）若1=k ，)0,6(P ，求△PAB 的面积；（3）当k （R k ∈且0≠k ）变化时，试求一点)0,(0x C ，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0.23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.对于任意的*N n ∈，若数列}{n a 同时满足下列两个条件，则称数列}{n a 具有“性质m ”：①122++<+n n n a a a ； ②存在实数M ,使得M a n ≤成立. （1）数列}{n a 、}{n b 中，n a n =、6sin 2πn b n =（5,4,3,2,1=n ），判断}{n a 、}{n b 是否具有“性质m ”；（2）若各项为正数的等比数列}{n c 的前n 项和为n S ，且413=c ，473=S ，求证：数列}{n S 具有“性质m ”；（3）数列}{n d 的通项公式nn n n t d 21)23(+-⋅=（*N n ∈）.对于任意]100,3[∈n 且*N n ∈，数列}{n d 具有“性质m ”，求实数t 的取值范围.普陀区2012学年第二学期高三文科数学质量调研试题答案一.填空题1.}1|{>x x2.43- 3.=-)(1x f 2x （0≥x ）4. 2- 5.243- 6.2 7.152022=-y x 8.549.6 10.0 11. 6π12.3 13.121-<<-a 14.21 二.选择题三.解答题19.[解]（1）由题意可得2=A ……………………………………………………………1分π22=T 即π4=T ，21=ω……………………………………………… 3分 )21cos(2)(ϕ+=x x f ，1)0(=f由21cos =ϕ且02<<-ϕπ，得3πϕ-= ………………………………5分函数)321cos(2)(π-=x x f …… …………………………………………6分（2）由于1cos 3θ=且θ为锐角，所以322sin =θ…… ………………………8分 )2(θf )3sin sin 3cos(cos 2)3cos(2πθπθπθ+=-=……………………10分)233222131(2⨯+⨯⋅=3621+=……………12分20.[解]（1）=-1FCC E V 1ECC F V -…………………………1分由题意得⊥FC 平面1ECC 且1=FC …………………………3分 222211=⨯⨯=∆ECC S …………………………5分 1ECC F V -322131311=⨯⨯=⨯⨯=∆FC S ECC =-1FCC E V 32…………………………6分 1A1B1C1DE（2）取AB 的中点为G ，连接G A 1,GE由于F D G A 11//,所以直线G A 1与E A 1所成的锐角或直角即为异面直线E A 1与F D 1所成的角……9分 在GE A 1∆中，51=G A ,2=GE ,51=E A由余弦定理得，54552255cos 1=⨯⨯-+=∠E GA 0>……12分 所以54arccos 1=∠E GA即异面直线E A 1与F D 1所成的角的大小为54arccos …………14分21. 解：（1）)()(2)(x g x f x F +=xx a a -++=11log )1(log 2（0>a 且1≠a ） ⎩⎨⎧>->+0101x x ，解得11<<-x ，所以函数)(x F 的定义域为)1,1(-……2分令)(x F 0=，则011log )1(log 2=-++xx aa …（*） ……3分 方程变为)1(log )1(log 2x x a a -=+x x -=+1)1(2，即032=+x x ……………………5分解得01=x ，32-=x ，经检验3-=x 是（*）的增根，所以方程（*）的解为0=x 即函数)(x F 的零点为0.……6分 （2）xx m aa -++=11log )1(log 2（10<≤x ） =)4141(log 112log 2--+-=-++xx x x x a a……8分 4141--+-=xx a m ，设]1,0(1∈=-t x ……9分 函数tt y 4+=在区间]1,0(上是减函数……………………11分 当1=t 时，此时1=x ，5min =y ，所以1≥ma ………………12分 ①若1>a ，则0≥m ，方程有解…………………………13分②若10<<a ，则0≤m ，方程有解.…………………………14分22.【解】（1）由题意182=a ，92=b 得3=c ，所以)0,3(F ………………………………1分||||=且点A 在x 轴的上方，得)3,0(A ………………………………2分 1-=k ，)1,1(-= ……………………………………3分直线l ：113--=-y x ，即直线l 的方程为03=-+y x …………………………4分 （2）设),(11y x A 、),(22y x B ，当1=k 时，直线l ：3-=x y …………5分将直线与椭圆方程联立⎪⎩⎪⎨⎧-==+3191822x y y x ，……………………7分 消去x 得，0322=-+y y ，解得31-=y ，12=y ……………………9分4||21=-y y ，所以64321||||2121=⨯⨯=-⨯⨯=∆y y PF S PAB ……10分（3）假设存在这样的点)0,(0x C ，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0,由题意得，直线l ：)3(-=x k y （0≠k ）⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(191822x k y y x ，消去y 得，0)1(1812)21(2222=-+-+k x k x k ……12分 0>∆恒成立，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+=+2221222121)1(182112k k x x k k x x ……13分 011x x y k AD -=，022x x y k BD -=……14分+-=+011x x y k k BD AD 022x x y -0))(())(3())(3()3()3(0201012021022011=----+--=--+--=x x x x x x x k x x x k x x x k x x x k所以06))(3(2021021=+++-kx x x x k x kx ……15分0621)3(1221)1(36020322=+++-+-kx k x k k k k解得60=x ，所以存在一点)0,6(，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0.…16分 23.解：（1）在数列}{n a 中，取1=n ，则23122a a a ==+，不满足条件①，所以数列}{n a 不具有“m 性质”；……2分在数列}{n b 中，11=b ，32=b ，23=b ，34=b ，15=b ，则2312323b b b =<=+，3422432b b b =<=+，4532323b b b =<=+，所以满足条件①；26sin 2≤=πn b n （5,4,3,2,1=n ）满足条件②，所以数列}{n b 具有“性质m ”。

2013年上海市闵行区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 方程组{x −2y −5=03x +y =8的增广矩阵为________．2. 已知集合M ={x|x 2<4, x ∈R}，N ={x|log 2x >0}，则集合M ∩N =________．3. 若Z 1=a +2i ，Z 2=|12i23|，且z 1z 2为实数，则实数a 的值为________．4. 用二分法研究方程x 3+3x −1=0的近似解x =x 0，借助计算器经过若干次运算得下表：若精确到0.1，至少运算n 次，则n +x 0的值为________．5. 已知e →1、e →2是夹角为π2的两个单位向量，向量a→=e →1−2e →2，b→=ke →1+e →2，若a → // b →，则实数k 的值为________．6. 某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96, 106]，样本中净重在区间[96, 100)的产品个数是24，则样本中净重在区间[100, 104)的产品个数是________．7. 一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为π3，则该圆锥的侧面积为________．8. 公差为d ，各项均为正整数的等差数列{a n }中，若a 1=1，a n =65，则n +d 的最小值等于________．9. 设双曲线x 2−y 2=6的左右顶点分别为A 1、A 2，P 为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线PA 1、PA 2的斜率分别为k 1、k 2，则k 1⋅k 2的值为________．10. 设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长依次为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且S =a 2−(b −c)2，则sinA 1−cosA=________．11. 袋中装有7个大小相同的小球，每个小球上标记一个正整数号码，号码各不相同，且成等差数列，这7个号码的和为49，现从袋中任取两个小球，则这两个小球上的号码均小于7的概率为________．12. 设f(x)=ax 2+bx ，且1≤f(−1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(2)的最大值为________． 13. 已知△ABC 的重心为O ，AC =6，BC =7，AB =8，则AO →⋅BC →=________．14. 设f(x)是定义在R 上的函数，若f(0)=18，且对任意的x ∈R ，满足f(x +2)−f(x)≤3x ，f(x +4)−f(x +2)≥9×3x ，则f(8)=________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15. 二项式(x −1x )6展开式中x 4的系数为（ ） A 15 B −15 C 6 D −616. 在△ABC 中，“AB →⋅AC →<0”是“△ABC 是钝角三角形”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 17. 设函数f(x)=|sinx|+cos2x,x ∈[−π2，π2]，则函数f(x)的最小值是（ ）A −1B 0C 12D 9818. 给出下列四个命题：①如果复数z 满足|z +i|+|z −i|=2，则复数z 在复平面的对应点的轨迹是椭圆．②若对任意的n ∈N ∗，(a n+1−a n −1)(a n+1−2a n )=0恒成立，则数列{a n }是等差数列或等比数列．③设f(x)是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，|f(x)|=|f(−x)|恒成立，则f(x)是R 上的奇函数或偶函数． ④已知曲线C ：√x 29−√y 216=1和两定点E(−5, 0)、F(5, 0)，若P(x, y)是C 上的动点，则||PE|−|PF||<6．上述命题中错误的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19.如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC =π2，AB =AC =2，AA 1=6，点E 、F 分别在棱AA 1、CC 1上，且AE =C 1F =2．(1)求三棱锥A1−B1C1F的体积；(2)求异面直线BE与A1F所成的角的大小．20. 如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：①设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g(θ)，求g(θ)的表达式，并写出θ的范围．②设BC=x(cm)，矩形ABCD的面积为S=f(x)，求f(x)的表达式，并写出x的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．21. 已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过M(2,1),N(2√2，0)两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b(b<0)，直线l交椭圆E于两个不同点A、B，直线MA与MB的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2=0．22. 已知函数f(x)=x|x−a|−1，x∈R．4（1）当a=1时，指出f(x)的单调递减区间和奇偶性（不需说明理由）；（2）当a=1时，求函数y=f(2x)的零点；（3）若对任何x∈[0, 1]不等式f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围．23. 过坐标原点O作倾斜角为60∘的直线交抛物线Γ：y2=x于P1点，过P1点作倾斜角为120∘的直线交x轴于Q1点，交Γ于P2点；过P2点作倾斜角为60∘的直线交x轴于Q2点，交Γ于P3点；过P3点作倾斜角为120∘的直线，交x轴于Q3点，交Γ于P4点；如此下去…．又设线段OQ1，Q1Q2，Q2Q3，…，Q n−1Q n，…的长分别为a1，a2，a3，…，a n，…，数列{a n}的前n项的和为S n．（1）求a1，a2；（2）求a n，S n；（3）设b n=a a n(a>0且a≠1)，数列{b n}的前n项和为T n，若正整数p，q，r，s成等差数列，且p<q<r<s，试比较T p⋅T s与T q⋅T r的大小．2013年上海市闵行区高考数学二模试卷（文科）答案]1. [1−253182. {x|1<x<2}3. −324. 5.35. −126. 447. 8π8. 179. 1 10. 4 11. 17 12. 14 13. −28314.6561815. D 16. A 17. B 18. B19. 解：(1)在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，FC 1⊥平面A 1B 1C 1， 故FC 1=2是三棱锥A 1−B 1C 1F 的高．而直角三角形的S △A 1B 1C 1=12A 1B 1×A 1C 1=12×2×2=2． ∴ 三棱锥A 1−B 1C 1F 的体积=V F−A 1B 1C 1 =13S △A 1B 1C 1×FC 1 =13×2×2=43．(2)连接EC ，∵ A 1E // FC ，A 1E =FC =4， ∴ 四边形A 1ECF 是平行四边形， ∴ A 1C // EC ，∴ ∠BEC 是异面直线A 1F 与BE 所成的角或其补角．∵ AE ⊥AB ，AE ⊥AC ，AC ⊥AB ，AE =AB =AC =2， ∴ EC =EB =BC =2√2． ∴ △BCE 是等边三角形．∴ ∠BEC =60∘，即为异面直线BE 与A 1F 所成的角．20. 解：如图所示，（1）①连接OC ，设∠BOC =θ，矩形ABCD 的 面积为S ，则BC =20sinθ，OB =20cosθ（其中0<θ<π2）；∴ S =AB ⋅BC =2OB ⋅BC =400sin2θ，且当sin2θ=1，即θ=π4时，S 取最大值为400，此时BC =10√2；所以，取BC =10√2时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为400cm 2．②连接OC ，设BC =x ，矩形ABCD 的面积为S ；则AB =2√400−x 2（其中0<x <30）， ∴ S =2x√400−x 2=2√x 2(400−x 2)≤x 2+(400−x 2)=400，当且仅当x 2=400−x 2，即x =10√2时，S 取最大值400；所以，取BC =10√2cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为400cm 2．（2）由（1）知，取∠BOC =π4时，得到C 点，从而截得的矩形ABCD ，此时截得的矩形ABCD 的面积最大，最大值为400cm 2． 21. 解：（1）设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1(m >0, n >0, m ≠n) 将M(2,1),N(2√2，0)代入椭圆E 的方程，得{4m +n =18m =1解得m =18，n =12，所以椭圆E 的方程为x 28+y 22=1．（2）∵ 直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为b ，又k OM =12， ∴ 直线l 的方程为y =12x +b ．由{y =12x +b x 28+y 22=1得x 2+2bx +2b 2−4=0，设A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−2b ，x 1x 2=2b 2−4． 又k 1=y 1−1x 1−2，k 2=y 2−1x 2−2，故k 1+k 2=y 1−1x 1−2+y 2−1x 2−2=(y 1−1)(x 2−2)+(y 2−1)(x 1−2)(x 1−2)(x 2−2)．又y 1=12x 1+b ，y 2=12x 2+b ，所以上式分子=(12x 1+b −1)(x 2−2)+(12x 2+b −1)(x 1−2)=x 1x 2+(b −2)(x 1+x 2)−4(b −1)=2b 2−4+(b −2)(−2b)−4(b −1)=0 故k 1+k 2=0．22. 解：（1）当a=1时，函数的单调递减区间为[12，1]…函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．…（2）当a=1时，f(x)=x|x−1|−14，由f(2x)=0得2x|2x−1|−14=0…即{2x≥1(2x)2−2x−14=0或{2x<1(2x)2−2x+14=0…解得2x=1+√22或2x=1−√22(舍)，或2x=12所以x=log21+√22=log2(1+√2)−1或x=−1．…（3）当x=0时，a取任意实数，不等式f(x)<0恒成立，故只需考虑x∈(0, 1]，此时原不等式变为|x−a|<14x即x−14x <a<x+14x…故(x−14x )max<a<(x+14x)min，x∈(0,1]又函数g(x)=x−14x 在(0, 1]上单调递增，∴ (x−14x)max=g(1)=34…函数ℎ(x)=x+14x 在(0,12]上单调递减，在[12，1]上单调递增，∴ (x+14x )min=ℎ(12)=1；所以34<a<1，即实数a的取值范围是(34，1)．…23. 解：（1）如图，由△OQ1P1是边长为a1的等边三角形，得点P1的坐标为(a12，√3a12)，又∵ P1(a12，√3a12)在抛物线y2=x上，∴ 3a124=a12，得a1=23…同理根据P2(23+a22，−√3a22)在抛物线y2=x上，可得a2=43…（2）如图，因为点Q n−1的坐标为(a 1+a 2+a 3+...+a n−1, 0)，即点(S n−1, 0)（点Q 0与原点重合，S 0=0）， 所以直线Q n−1P n 的方程为y =√3(x −S n−1)或y =−√3(x −S n−1)，因此，点P n 的坐标满足{y 2=x|y|=√3(x −S n−1)消去x 得√3y 2−|y|−√3S n−1=0，所以|y|=√1+12S n−12√3…又|y|=a n ⋅sin60∘=√32a n，故3a n =1+√1+12S n−1从而3a n 2−2a n =4S n−1…①由①有3a n+12−2a n+1=4S n …②②-①得3(a n+12−a n 2)−2(a n+1−a n )=4a n即(a n+1+a n )(3a n+1−3a n −2)=0，又a n >0，于是a n+1−a n =23 所以{a n }是以23为首项、23为公差的等差数列，a n =a 1+(n −1)d =23n由此可得：S n =(a 1+a n )n2=13n(n +1)…（3）∵b n+1b n=a2(n+1)3a 2n 3=a 23，∴ 数列{b n }是正项等比数列，且公比q 0=a 23≠1，首项b 1=a 23=q 0，∵ 正整数p ，q ，r ，s 成等差数列，且p <q <r <s ，设其公差为d ，则d 为正整数， ∴ q =p +d ，r =p +2d ，s =p +3d 则T p =b 1(1−q 0p)1−q 0，T q =b 1(1−q 0p+d)1−q 0，T r =b 1(1−q 0p+2d)1−q 0，T s =b 1(1−q 0p+3d)1−q 0…T p ⋅T s −T q ⋅T r =b 12(1−q0)2⋅[(1−q 0p)(1−q 0p+3d)−(1−q 0p+d)(1−q 0p+2d )]=b 12(1−q0)2⋅[(q 0p+d+q 0p+2d)−(q 0p+q 0p+3d)]…而(q 0p+d +q 0p+2d )−(q 0p +q 0p+3d )=q 0p (q 0d −1)−q 0p+2d (q 0d −1)=(q 0d −1)(q 0p −q 0p+2d )=(q 0d −1)q 0p (1−q 02d )=−q 0p (q 0d −1)(q 02d−1)… 由于a >0且a ≠1，可得q 0=a 23>0且q 0≠1，又∵ d 为正整数，∴ (q 0d −1)与(q 02d −1)同号，因此，−q 0p (q 0d −1)(q 02d−1)<0，可得T p ⋅T s <T q ⋅T r ．综上所述，可得若正整数p ，q ，r ，s 成等差数列，且p <q <r <s ，必定有T p ⋅T s <T q ⋅T r ．…。

上海市16区2013届高三二模数学（文）试题分类汇编4：平面向量一、选择题1 ．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（文）试题）如图,△ABC是边长为1的正三角形,点P 在△ABC 所在的平面内,且++22||||PB PA a PC =2||(a 为常数).下列结论中,正确的是A .当10<<a 时,满足条件的点P 有且只有一个.B .当1=a 时,满足条件的点P 有三个.C .当1>a 时,满足条件的点P 有无数个.D .当a 为任意正实数时,满足条件的点P 是有限个.2 ．（上海市浦东区2013年高考二模数学（文）试题 ）已知,4,33)3()(=+⋅+则a 与b 的夹角为)(A 6π3)(πB )(C 32π )(D 65π 二、填空题3 ．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(文)试卷）在平面直角坐标系xOy 中,以向量()21,a a a =与向量()21,b b b =为邻边的平行四边形的面积为____.4 ．（上海市徐汇、松江、金山2013届高三4月学习能力诊断数学（文）试题）如图,有以下命题成立:设点,P Q 是线段AB 的三等分点,则有OP OQ OA OB +=+.将此命题推广,设点12345,,,,A A A A A 是线段AB 的六等分点,则()12345OA OA OA OA OA OA OB ++++=+ .C第18题5 ．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（文）试题）若圆C 的半径为3,单位向量e 所在的直线与圆相切于定点A ,点B 是圆上的动点,则e AB ⋅ 的最大值为___________6 ．（上海市闵行区2013届高三4月质量调研考试数学(文)试题）已知ABC ∆的重心为O ,6,7,8,AC BC AB ===则AO BC ⋅=____________.7 ．（上海市闵行区2013届高三4月质量调研考试数学(文)试题）已知12e e 、是夹角为2π的两个单位向量,向量12122,,a e e b ke e =-=+若//a b ,则实数k 的值为_____________. 8 ．（上海市黄浦区2013年4月高考（二模）模拟考试数学（文）试题）在正△ABC 中,若2AB =,则AB AC ⋅=_____.9．（上海市虹口区2013届高三（二模）数学（文）试卷）在ABC∆中,1=AB ,2=AC ,2)(=⋅+,则ABC ∆面积等于__________.10．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（文）试题）已知向量||).,5(),2,2(k +=-=若不超过5,则k 的取值范围是____________.三、解答题11．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(文)试卷）本题满分14分 已知)sin ,(cos θθ=和)cos ,sin 2(θθ-=,)2,(ππθ∈,且528||=+,求θsin 的值.12．（上海市浦东区2013年高考二模数学（文）试题 ）本题共有2个小题,第(1)小题满分5分,第(2)小题满分9分.已知向量()1,1,m =向量n 与向量m 的夹角为34π,且1m n ⋅=-. (1)求向量n ;(2)若向量n 与(1,0)q =共线,向量22cos ,cos 2C p A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中A 、C 为ABC ∆的内角,且A 、B 、C 依次成等差数列,求n p +的取值范围.QPO BA第13题图上海市16区2013届高三二模数学（文）试题分类汇编4：平面向量参考答案一、选择题1. C2. C ;二、填空题 3.1221b a b a -; 4. 52; 5. 3 6. 283-; 7. 12-; 8. 2; 9. 23; 10. ]6,2[-三、解答题 11. )sin cos ,2sin (cos θθθθ++-=+=+||b a 22)sin (cos )2sin (cos θθθθ+++-)sin (cos 224θθ-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=4cos 12πθ. 由528||=+,得.2574cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθ .25244cos 14sin 2±=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-±=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴πθπθ 502314sin 4cos 4cos 4sin 44sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∴ππθππθππθθ或50217 πθπ2<< ,.50231sin -=∴θ另解:(2sin cos ,sin cos )a b θθθθ+=-++ 222128(2sin cos )(sin cos )4cos )25a b θθθθθθ∴+=-+++=--=sin cos θθ∴-= ① 由298(sin cos )12sin cos 625θθθθ-=-=,得5272sin cos 0625θθ=>, 3(,)2θππ∴∈sin cos 25θθ∴+==- ② 由①、②得50231sin -=θ 12.解:(1)设(,)n x y =.由1m n ⋅=-,得1x y +=- ①又向量n 与向量m 的夹角为34π,得221x y += ② 由①、②解得10x y =-⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=-⎩,(1,0)n ∴=-或(0,1)n =-(2)向量n 与(1,0)q =共线知(1,0)n =-;由2B A C =+知22,,0333B A C A πππ=+=<< ()212cos ,cos cos ,cos 2C n p A C A ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭, 2221cos 21cos 2cos cos 22A C n p C A --∴+=+=+ 1411cos 2cos 21cos 22323A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2510,2,1cos 2333332A A A πππππ⎛⎫<<<+<∴-≤+< ⎪⎝⎭, 得151cos 2234A π⎛⎫≤++< ⎪⎝⎭,即215,24n p ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭,2n p ⎡∴+∈⎢。