2015北京高三数学各区一模汇编：导数(全)

（18）（本小题共13分）已知函数x xax x f ln )(++=，a ∈R . （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（Ⅱ）若)(x f 在区间)2,1(上单调递增, 求a 的取值范围； （Ⅲ）讨论函数x x f x g -'=)()(的零点个数.解：（Ⅰ）因为22211)('xax x x x a x f -+=+-=， 由已知()f x 在1x =处取得极值，所以'(1)0f =.解得2a =，经检验2a =时，()f x 在1x =处取得极小值.所以2a =. ……3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，22211)('x ax x x x a x f -+=+-=，0x >.因为)(x f 在区间)2,1(上单调递增，所以0)('≥x f 在区间)2,1(上恒成立. 即x x a +≤2在区间)2,1(上恒成立.所以2≤a . ……8分（Ⅱ）因为x x f x g -'=)()(， 所以21()1a g x x x x=-+-，0>x . 令0)(=x g 得x x x a ++-=23，令x x x x h ++-=23)(，0>x .)1)(13(123)(2-+-=++-='x x x x x h .当)1,0(∈x 时，0)(>'x h ，)(x h 在)1,0(上单调递增， ),1(+∞∈x 时，0)(<'x h ，)(x h 在),1(+∞上单调递减. 所以max ()(1)1h x h ==.综上：当1>a 时，函数)(x g 无零点，当1=a 或0≤a 时，函数)(x g 有一个零点，当10<<a 时，函数)(x g 有两个零点. ……13分（18）（本小题共13分） 已知函数()exf x x a -=+⋅．（Ⅰ）当2e a =时，求()f x 在区间[1,3]上的最小值； （Ⅱ）求证：存在实数0[3,3]x ∈-，有0()f x a >.解：（Ⅰ）当2e a =时，2()exf x x -=+，]3,1[∈x .因为2'()1e x f x -=-， 由0)(='x f ，2=x .则x ，)(x f '，)(x f 关系如下：所以当2=x 时，)(x f 有最小值为3. ………5分 （Ⅱ）“存在实数，有”等价于()f x 的最大值大于a . 因为'()1e x f x a -=-，所以当0≤a 时，]3,3[-∈x ，0)('>x f ，)(x f 在)3,3(-上单调递增， 所以()f x 的最大值为(3)(0)f f a >=. 所以当0≤a 时命题成立.当0>a 时，由0)(='x f 得a x ln =. 则x ∈R 时，x ，)(x f '，)(x f 关系如下：（1）当3e a ≥时 ，3ln ≥a ，)(x f 在)3,3(-上单调递减， 所以()f x 的最大值(3)(0)f f a ->=. 所以当3e a ≥时命题成立.（2）当33e e a -<<时，3ln 3<<-a ，所以)(x f 在)ln ,3(a -上单调递减，在)3,(ln a 上单调递增. 所以()f x 的最大值为(3)f -或(3)f .且a f f =>-)0()3(与a f f =>)0()3(必有一成立， 所以当33ee a -<<时命题成立.0[3,3]x ∈-a x f >)(（3） 当30e a -<≤时 ，3ln -≤a ， 所以)(x f 在)3,3(-上单调递增， 所以()f x 的最大值为(3)(0)f f a >=. 所以当30e a -<≤时命题成立.综上：对任意实数a 都存在]3,3[-∈x 使a x f >)(成立. ……13分2015西城一模18．（本小题满分13分）设*n ∈N ，函数ln ()n x f x x =，函数e ()xn g x x=，(0,)x ∈+∞.（Ⅰ）当1n =时，写出函数()1y f x =-零点个数，并说明理由；（Ⅱ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线1l y =：的两侧，求n 的所有可能取值. （Ⅰ）证明：结论：函数()1y f x =-不存在零点. ……………1分 当1n =时，ln ()x f x x =，求导得21ln ()xf x x -'=， ……………2分 令()0f x '=，解得e x =. ……………3分 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以函数()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，则当e x =时，函数()f x 有最大值1(e)e f =. ……………4分 所以函数()1y f x =-的最大值为1(e)110ef -=-<，所以函数()1y f x =-不存在零点. ……………5分 （Ⅱ）解：由函数ln ()n x f x x =求导，得 11ln ()n n xf x x +-'=，令()0f x '=，解得1e nx =. 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：……………7分 所以函数()f x 在1(0,e )n 上单调递增，在1(e ,)n+∞上单调递减，则当1e nx =时，函数()f x 有最大值11(e )enf n =； ……………8分 由函数e ()x n g x x =，(0,)x ∈+∞求导，得 1e ()()x n x n g x x+-'=， ……………9分 令 ()0g x '=，解得x n =. 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：所以函数()g x 在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，则当x n =时，函数()g x 有最小值e ()()ng n n=. ……………11分因为*n ∀∈N ，函数()f x 有最大值11(e )1enf n =<， 所以曲线ln n xy x =在直线1l y =：的下方，而曲线e x n y x=在直线1l y =：的上方，所以e ()1nn>， ……………12分解得e n <.所以n 的取值集合为{1,2}. ……………13分2015西城二模18．（本小题满分13分） 已知函数21()1x f x ax-=+，其中a ∈R .（Ⅰ）当14a =-时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，证明：存在实数0m >，使得对于任意的实数x ，都有|()|f x m ≤成立.（Ⅰ）解：当14a =-时，函数21()114xf x x -=-， 其定义域为{|2}x x ∈≠±R . ……………… 1分求导，得22222224(1)3()0114(1)4(1)44x x x f x x x -+----'==<--， ……………… 4分 所以函数()f x 在区间(,2)-∞-，(2,2)-，(2,)+∞上单调递减. ……………… 5分（Ⅱ）证明：当0a >时，21()1xf x ax -=+的定义域为R .求导，得22221()(1)ax ax f x ax --'=+， ……………… 6分令()0f x '=，解得110x =<，211x =>， ……………… 7分当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：……………… 10分所以函数()f x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减. 又因为(1)0f =，当1x <时，21()01x f x ax -=>+；当1x >时，21()01x f x ax -=<+，所以当1x ≤时，10()()f x f x ≤≤；当1x >时，2()()0f x f x <≤. ……………… 12分 记12max{()|,()|}||M f x f x =，其中12max{()|,()|}||f x f x 为两数1()||f x ， 2()||f x 中最大的数， 综上，当0a >时，存在实数[,)m M ∈+∞，使得对任意的实数x ，不等式|()|f x m ≤恒 成立. ……………… 13分2015海淀一模（18）（本小题满分13分） 已知函数1()ln (0)f x a x a x=+≠. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若{()0}[,]x f x b c ≤=（其中b c <），求a 的取值范围，并说明[,](0,1)b c ⊆.解：（Ⅰ）2211'()(0)a ax f x x x x x-=-=>. ………………2分 （ⅰ）当0a <时，'()0f x <，则函数()f x 的单调递减区间是(0,)+∞.………………3分（ⅱ）当0a >时，令'()0f x =，得1x a=.当x 变化时，'()f x ,()f x 的变化情况如下表所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)a ，单调递增区间是(,)a+∞. ………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当0a <时，函数()f x 在区间(0,)+∞内是减函数，所以，函数()f x 至多存在一个零点，不符合题意. ………………6分当0a >时，因为 ()f x 在1(0,)a 内是减函数，在1(,)a+∞内是增函数， 所以 要使{()0}[,]x f x b c ≤=，必须1()0f a <，即1ln 0a a a+<.所以 e a >. ………………7分 当e a >时，222211()ln()2ln (2ln )f a a a a a a a a a a=+=-+=⋅-. 令()2ln (e)g x x x x =-≥，则22'()1(e)x g x x x x-=-=≥. 当e x >时，'()0g x >，所以，()g x 在[e,)+∞上是增函数. 所以 当e a >时，()2ln (e)e 20g a a a g =->=->. 所以 21()0f a>. ………………9分 因为2111a a <<，1()0f a<，(1)10f =>， 所以 ()f x 在211(,)a a内存在一个零点，不妨记为b ， 在1(,1)a内存在一个零点，不妨记为c . ……11分 因为 ()f x 在1(0,)a 内是减函数，在1(,)a+∞内是增函数， 所以 {()0}[,]x f x b c ≤=.综上所述，a 的取值范围是(e,+)∞. ………………12分 因为 211(,)b a a ∈，1(,1)c a∈，所以 [,](0,1)b c ⊆.…13分2015海淀二模（18）（本小题满分14分） 已知函数21ln ()xf x x-=. （Ⅰ）求函数()f x 的零点及单调区间； （Ⅱ）求证：曲线ln xy x=存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标01y <-.解：（Ⅰ）令()0f x =，得e x =.故()f x 的零点为e . ………………1分22231()(1ln )22ln 3'()()x x xx x f x x x -⋅--⋅-==（0x >）. ………………3分令 '()0f x =，解得 32e x =.当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：所以 ()f x 的单调递减区间为32(0,e )，单调递增区间为32(e ,)+∞. ………………6分（Ⅱ）令ln ()x g x x =.则2211ln 1ln '()()x xx x g x f x x x ⋅-⋅-===. ………………7分 因为 11()44ln 244622f =+>+⨯=，(e)0f =，且由（Ⅰ）得，()f x 在(0,e)内是减函数，所以 存在唯一的01(,e)2x ∈，使得00'()()6g x f x ==.当[e,)x ∈+∞时，()0f x ≤. 所以 曲线ln xy x=存在以00(,())x g x 为切点，斜率为6的切线. ………………10分 由0021ln '()6x g x x -==得：200ln 16x x =-.所以 20000000ln 161()6x x g x x x x x -===-.因为 012x >,所以12x <，063x -<-.所以 00()1y g x =<-. …13分2015朝阳一模18．（本小题满分13分）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，a ∈R ．（Ⅰ） 当1a =-时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ） 当1a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >.当1a =-时，2()ln 2x f x x =-+.211(1)(1)()x x x f x x x x x -+-'=-+==. 由(1)(1)0x x x +->()0x >解得1x >；由(1)(1)0x x x +-<()0x >解得01x <<. 所以()f x 在区间(0,1)单调递减, 在区间(1,)+∞单调递增. 所以1x =时,函数()f x 取得最小值1(1)2f =. ……………….5分 （Ⅱ）(1)()()x x a f x x--'=,0x >.（1）当0a ≤时，(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数; (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()f x 在1x =时取得最小值1(1)2f a =--. （ⅰ）当0a =时，2()2x f x x =-，由于0x >，令()0f x =，2x =，则()f x 在(0,)+∞上有一个零点；（ⅱ）当12a =-时，即(1)0f =时，()f x 有一个零点；（ⅲ）当12a <-时，即(1)0f >时，()f x 无零点.（ⅳ）当102a -<<时，即(1)0f <时，由于0x →（从右侧趋近0）时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞， 所以()f x 有两个零点. (2)当01a <<时，(0,)x a ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数; (,1)x a ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()f x 在x a =处取极大值，()f x 在1x =处取极小值.21()ln (1)2f a a a a a a =+-+21ln 2a a a a =--.当01a <<时，()0f a <,即在(0,1)x ∈时，()0f x <.而()f x 在(1,)x ∈+∞时为增函数，且x →+∞时，()f x →+∞， 所以此时()f x 有一个零点.(3)当1a =时，2(1)()0x f x x-'=≥在()0,+∞上恒成立，所以()f x 为增函数.且0x →（从右侧趋近0）时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞. 所以()f x 有一个零点.综上所述，01a ≤≤或12a =-时()f x 有一个零点；12a <-时，()f x 无零点；102a -<<()f x 有两个零点.…………….13分2015朝阳二模19．（本小题共14分）已知函数． （Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若在区间(1,2)上存在不相等的实数成立，求的取值范围； （Ⅲ）若函数有两个不同的极值点，，求证：．解：（Ⅰ）当时，，．由，解得，． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增．所以的单调增区间为，单调减区间为．（Ⅱ）依题意即求使函数在上不为单调函数的的取值范围．，设，则，．因为在上为增函数．当，即当时，函数在上有且只有一个零点，设为，当时，，即，为减函数；当时，，即，为增函数，满足在上不为单调函数．当时，，，所以在上成立（因在上为增函数），所以在上成立，即在上为增函数，不合题意．同理时，可判断在为减函数，不合题意．综上．（Ⅲ）．因为函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，即方程的判别式，解得．由，解得，．此时，．随着变化，和的变化情况如下：+ +极大值极小值所以是的极大值点，是的极小值点，所以是极大值，是极小值所以因为，所以，所以．。

2015年北京市通州区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 复数z＝(2−i)2在复平面内对应的点所在的象限是（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2. 已知双曲线x24−y2b2=1(b>0)离心率是√52，那么b等于（）A 1B 2C √5D 2√53. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知M，N分别是A1B1，BB1的中点，过M，N，C1的截面截正方体所得的几何体，如图所示，那么该几何体的侧视图是（）A B C D4. 设a＝−1，b＝21og3m，那么“a＝b”是“m=√33”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件5. 已知函数f(x)={2x，x>0−2−x，x<0那么该函数是（）A 奇函数，且在定义域内单调递减B 奇函数，且在定义域内单调递增C 非奇非偶函数，且在(0, +∞)上单调递增D 偶函数，且在(0, +∞)上单调递增6. 将函数f(x)=cos(x+π3)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是（）A x=π3 B x=−π6C x=−π3D x=−2π37. 李江同学在某商场运动品专柜买一件运动服，获100元的代金券一张，此代金券可以用于购买指定的价格分别为18元、30元、39元的3款运动袜，规定代金券必须一次性用完，且剩余额不能兑换成现金．李江同学不想再添现金，使代金券的利用率超过95%，不同的选择方式的种数是（）A 3B 4C 5D 68. 已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，若存在实数t，使得f(x+ t)+tf(x)=0对任意x都成立，则称f(x)是“回旋函数”．给下列四个命题：①函数f(x)=x+1不是“回旋函数”；②函数f(x)=x2是“回旋函数”；③若函数f(x)=a x(a>1)是“回旋函数”，则t<0；④若函数f(x)是t=2时的“回旋函数”，则f(x)在[0, 4030]上至少有2015个零点．其中为真命题的个数是（）A 1B 2C 3D 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上． 9. 已知集合A ={1, 2, 3, 4}，B ={1, 3, m}，且B ⊆A ，那么实数m =________．10. 已知数列{a n }中，a 2=2，a n+1−2a n =0，那么数列{a n }的前6项和是________． 11. 已知某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出的结果是________．12. 如图，已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PC 过圆心O ，且与圆O 交于B ，C 两点，过C 点作CD ⊥PA ，垂足为D ，PA =4，BC =6，那么CD =________．13. 11位数的手机号码，前七位是1581870，如果后四位只能从数字1，3，7中选取，且每个数字至少出现一次，那么存在1与3相邻的手机号码的个数是________．14. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =90∘，∠ADC =120∘，AD =DC =2，AB =4，动点M 在△BCD 内（含边界）运动，设AM →=λAB →+μAD →，则λ+μ的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c =5，B =2π3，△ABC 的面积是15√34． （1）求b 的值；（2）求cos2A 的值．16. 随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取了5人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：中各随机选取2人，进行跟踪调查．(Ⅰ)求年龄在[25, 30)的被调查者中选取的2人都是赞成的概率； (Ⅱ)求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；(Ⅲ)若选中的4人中，不赞成的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17.如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，且∠A 1AC =π3，点O 为AC 的中点．（1）求证：AC ⊥平面A 1OB ；（2）求二面角B 1−AC −B 的余弦值；（3）若点B 关于AC 的对称点是D ，在直线A 1A 上是否存在点P ，使DP // 平面AB 1C ．若存在，请确定点P 的位置；若不存在，请说明理由．18. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点是F(−1, 0)，上顶点是B ，且|BF|=2，直线y =k(x +1)与椭圆C 相交于M ，N 两点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若在x 轴上存在点P ，使得PM →⋅PN →与k 的取值无关，求点P 的坐标． 19. 已知函数f(x)=ae −x −x +1，a ∈R ．（1）当a =1时，求曲线y =f(x)在（0, f(0)）处的切线方程； （2）若对任意x ∈(0, +∞)，f(x)<0恒成立，求a 的取值范围； （3）当x ∈(0, +∞)时，求证：2e −x −2<12x 2−x ．20. 设函数f(x)=xm(x+2)，方程f(x)=x 有唯一解，数列{a n }满足f(a n )=a n+1(n ∈N ∗)，且f(1)=23数列{b n }满足b n =4−3a n a n(n ∈N ∗)．（1）求证：数列{1a n}是等差数列； （2）数列{c n }满足c n =1b n ⋅b n+1(n ∈N ∗)，其前n 项和为S n ，若存在n ∈N ∗，使kS n =12n +4(k ∈R)成立，求k 的最小值； （3）若对任意n ∈N ∗，使不等式t(1b 1+1)(1b 2+1)…(1b n+1)≤√2n+1成立，求实数t 的最大值．2015年北京市通州区高考数学一模试卷（理科）答案1. D2. A3. B4. C5. B6. D7. A8. C9. 2或4 10. 63 11. 0 12. 24513. 16 14. [1, √34+32]15. 解：（1）因为△ABC 的面积是15√34，c =5，B =2π3，所以12acsinB =15√34，即12a ⋅5⋅√32=15√34，求得a =3．由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ，得b 2=25+9−2×5×3×cos 2π3=49，求得b =7．（2）由正弦定理asinA =bsinB ，可得sinA =37×√32=3√314，∴ cos2A =1−2sin 2A =1−2×(3√314)2=7198．16. （1） 设“年龄在[25, 30)的被调查者中选取的2人都是赞成”为事件A ， 所以P(A)=C 32C 52=310．（2） 设“选中的4人中，至少有3人赞成”为事件B ， 所以P(B)=C 32C21C11C 52C32+C 31C21C22C 52C32+C32C22C 52C32=12．(Ⅲ)X 的可能取值为0，1，2，3． 所以P(X =0)=C32C22C 52C32=110，P(X =1)=C 31C21C22+C 32C21C11C 52C32=25，P(X =2)=C 22C22+C 31C21C21C11C 52C32=1330，P(X =3)=C 22C21C11C 52C32=115．所以X 的分布列是所以EX ＝0×110+1×25+2×1330+3×115=2215．17.（1）证明：连结A 1C ，因为AC =AA 1，∠A 1AC =π3，AB =BC ，点O 为AC 的中点，所以A 1O ⊥AC ，BO ⊥AC ． 因为A 1O ∩BO =O ， 所以AC ⊥平面A 1OB ．…（2）解：因为侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ， 所以A 1O ⊥平面ABC ．所以A 1O ⊥BO ．…所以以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 所以A(0, −1, 0)，B(√3，0，0)，C(0, 1, 0)，A 1(0,0,√3)，B 1(√3,1,√3)， 所以AA 1→=(0,1,√3)，AB 1→=(√3,2,√3)，AC →=(0,2,0)．设平面AB 1C 的法向量为n →=(x,y,z)，所以{n →⋅AC →˙即{√3x +2y +√3z =02y =0.所以n →=(−1,0,1)．…因为平面ABC 的法向量为A 1O →=(0,0,√3)， 所以<cos⟨AA 1→，n >=√3⋅=√22． 所以二面角B 1−AC −B 的余弦值是√22．… （3）解：存在．因为点B 关于AC 的对称点是D ，所以点D(−√3，0，0)．…假设在直线A 1A 上存在点P 符合题意，则点P 的坐标设为(x, y, z)，AP →=λAA 1→． 所以AP →=(x,y +1,z)．所以P(0,λ−1,√3λ)． 所以DP →=(√3,λ−1,√3λ)．…因为DP // 平面AB 1C ，平面AB 1C 的法向量为n →=(−1,0,1)， 所以由DP →⋅n →=0，得−√3+√3λ=0．所以λ=1．…所以在直线A 1A 上存在点P ，使DP // 平面AB 1C ，且点P 恰为A 1点．… 18. 解：（1）∵ 椭圆C 的左焦点是F(−1, 0)，且|BF|=2， ∴ c =1，a =2．由a 2=b 2+c 2，得b 2=3．∴ 椭圆C 的标准方程是x 24+y 23=1．（2）∵ 直线y =k(x +1)与椭圆C 相交于M ，N 两点，联立方程组{y =k(x +1)x 24+y 23=1消去y ，得(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−12=0．∴ △=144k 2+144>0．设点M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，P(x 0, 0)， ∴ x 1+x 2=−8k 23+4k 2，x 1⋅x 2=4k 2−123+4k 2．∴ PM →⋅PN →=(x 1−x 0,y 1)⋅(x 2−x 0,y 2) =(x 1−x 0)•(x 2−x 0)+y 1y 2=x 1⋅x 2−x 0(x 1+x 2)+x 02+k 2(x 1+1)(x 2+1)=(1+k 2)x 1⋅x 2+(k 2−x 0)(x 1+x 2)+k 2+x 02=(1+k 2)⋅4k 2−123+4k 2+(k 2−x 0)⋅−8k 23+4k2+k 2+x 02 =4k 2−12+4k 4−12k 2−8k 4+8x 0k 2+3k 2+4k 43+4k 2+x 02=(8x 0−5)k 2−123+4k 2+x 02，∵ PM →⋅PN →与k 的取值无关， ∴8x 0−5−12=43．∴ x 0=−118． ∴ 点P 的坐标是(−118，0)．19. 解：（1）因为f(x)=ae −x −x +1，a =1，所以f(x)=e −x −x +1．所以f ′(x)=−e −x −1． 所以f(0)=2，f ′(0)=−2．所以切线方程是y −2=−2x ，即2x +y −2=0． （2）由f(x)<0可得ae −x −x +1<0． 所以a <(x −1)e x ．令g(x)=(x −1)e x ．所以g ′(x)=xe x >0． 所以g(x)在(0, +∞)上单调递增． 所以−1<g(x)<0．所以a ≤−1． （3）令ℎ(x)=2e −x −2−12x 2+x ．所以ℎ′(x)=−2e −x −x 2+1．…由（2）可知，当a =−2时，f(x)=−2e −x −x +1<0． 所以ℎ′(x)<0．所以ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减．所以ℎ(x)<ℎ(0)=0． 所以2e −x −2<12x 2−x ．20. 解：（1）∵ f(x)=xm(x+2)，方程f(x)=x 有唯一解，∴ xm(x+2)=x ，即mx 2+(2m −1)x =0(m ≠0)有唯一解． ∴ △=4m 2−4m +1=0．所以m =12， ∴ f(x)=2xx+2，∴ f(a n )=2a nan +2=a n+1，∴ a n a n+1+2a n+1−2a n =0， ∴ 1+2a n−2an+1=0，∴1a n+1−1a n=12，∵ f(a 1)=23，∴ 2a 1a1+2=23，解得a 1=1． 所以数列{1a n}首项为1，公差为12的等差数列； （2） 由（1）得 1a n=12n +12，∴ a n =2n+1．∵ b n =4−3a n a n ，∴ b n =2n −1，∴ c n =1bn ⋅b n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴ S n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1， ∵ kS n =12n +4，∴ k =n 2+172n+4n=n +4n +172，所以k ≥4+172=252，当且仅当n =4n ，即n =2时等号成立． 所以k 的最小值是252； （3）∵ t(1b 1+1)(1b 2+1)…(1b n+1)≤√2n+1，∴ t ≤(1b 1+1)(1b 2+1)…(1b n+1)√2n+1． 令g(n)=(1b 1+1)(1b 2+1)…(1b n+1)√2n+1，∵ 1b n+1=12n−1+1=2n2n−1>0，∴ g(n)>0，∴g(n+1)g(n)=(1b n+1+1)√2n+1√2n+3=√4n 2+8+3=√4(n+1)2−1>1，∴ g(n)是递增数列，从而g(n)≥g(1)=2√33，∴ t ≤2√33． 所以t 的最大值是2√33．。

2015北京高考数学 各区一模试题汇编--解析几何--弦长与面积问题19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(2,0)F F的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 中点为D ，O 为坐标原点，过O ，D 的直线 交椭圆于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求四边形面积的最大值．19．（本小题满分14分）设1F ，2F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a b ya x E 的左、右焦点，点)23,1(P 在椭圆E 上，且点P 和1F 关于点)43,0(C 对称.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.19.（本小题满分14分）已知椭圆223412.C x y +=：（I ）求椭圆C 的离心率；（II ）设椭圆C 上在第二象限的点P 的横坐标为1-，过点P 的直线12,l l 与椭圆C 的另一交点分别为,A B .且12,l l 的斜率互为相反数，,A B 两点关于坐标原点O 的对称点分别为,M N ,求四边形ABMN 的面积的最大值.中点与垂直问题（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -，离心率为3．过焦点2F 的直线l （斜率不为0）与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当四边形12MF NF 为矩形时，求直线l 的方程．19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，右顶点A 是抛物线28y x =的焦点．直线l ：(1)y k x =-与椭圆C 相交于P ，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如果AM AP AQ =+u u u u r u u u r u u u r，点M 关于直线l 的对称点N 在y 轴上，求k 的值．（19）（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>过点(0,1)-，且离心率e =.（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）是否存在菱形ABCD ，同时满足下列三个条件：①点A 在直线2y =上；②点B ，C ，D 在椭圆M 上； ③直线BD 的斜率等于1.如果存在，求出点坐标；如果不存在，说明理由.19．（本小题满分14分）设1F ，2F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a b ya x E 的左、右焦点，点)23,1(P 在椭圆E 上，且点P 和1F 关于点)43,0(C 对称.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.19.(本小题满分14分) 已知椭圆22:416C x y +=. (I)求椭圆C 的离心率;(II)设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆2212x y +=的位置关系.单动点消元问题已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，M为椭圆上任意一点且△12MF F 的周长等于6． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）以M 为圆心，1MF 为半径作圆M ，当圆M 与直线 l 4x =：有公共点时，求△12MF F 面积的最大值．19．（本小题满分14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>离心率2e =，短轴长为．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线P A ，QA 分别 与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过 定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．在平面直角坐标系中xOy 中，动点E 到定点(1,0)的距离与它到直线1x =-的距离相等．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设动直线:l y kx b =+与曲线C 相切于点P ，与直线1x =-相交于点Q ．证明：以PQ 为直径的圆恒过x 轴上某定点．定点与定值问题已知椭圆W ：12222=+by a x )0(>>b a 的离心率为21，Q 是椭圆上的任意一点，且点Q 到椭圆左右焦点1F ，2F 的距离和为4． （Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）经过点()1,0且互相垂直的直线1l 、2l 分别与椭圆交于A 、B 和C 、D 两点（A 、B 、C 、D 都不与椭圆的顶点重合），E 、F 分别是线段AB 、CD 的中点，O 为坐标原点，若OE k 、OF k 分别是直线OE 、OF 的斜率，求证：OE OF k k ⋅为定值．动点),(y x P 到定点)0,1(F 的距离与它到定直线4:=x l 的距离之比为21. (Ⅰ) 求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ） 已知定点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(4,)Q t 在直线l 上，作直线AQ 与轨迹C 的另一个交点为M ,作直线BQ 与轨迹C 的另一个交点为N ，证明：,,M N F 三点共线.（19）（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b ab+=>>过点(0,1)A -，且离心率e =.（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称,求k 的所有取值构成的集合S ，并证明对于k S ∀∈，BC 的中点恒在一条定直线上.19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a ay b x 的离心率2e =，短轴的右端点为B ， M（1，0）为线段OB 的中点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点M 任意作一条直线与椭圆C 相交于两点P ，Q 试问在x 轴上是否存在定点N ，使得∠PNM =∠QNM ？ 若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．19．（本小题满分14分）设点F 为椭圆2222 1(0)x y E a b a b +=>>：的右焦点，点3(1,)2P 在椭圆E 上，已知椭圆E 的离心率为12.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过右焦点F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，记ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积为t ，求t 的最大值.。

北京市西城区2015 年高三一模试卷数学（理科）2015.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至6 页，共150 分。

考试时长120 分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共40 分）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

＝，则实数a的取值范围是（）1．设集合A ={0，1}，集合B ={x | x > a}，若A BA．a≤1 B．a≥1 C．a≥0 D．a≤02．复数z 满足z ⋅i = 3 − i，则在复平面内，复数z 对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在极坐标系中，曲线ρ = 2cosθ 是（）A．过极点的直线B．半径为2 的圆C．半于极点对称的图形D．关于极轴对称的图形4．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的n 的值为（）A．4 B．5 C．6 D．75．设函数f (x)的定义域为R，则“∀x∈R，f (x +1) > f (x) ”是“函数f (x)为增函数”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是( )7． 已知6 枝玫瑰与3 枝康乃馨的价格之和大于24 元，而4 枝玫瑰与4 枝康乃馨的价格之和小于20 元，那么2 枝玫瑰和3 枝康乃馨的价格的比较结果是 ( )A ．2 枝玫瑰的价格高B ．3 枝康乃馨的价格高C ．价格相同D ．不确定8． 已知抛物线所围成的封闭曲线如图所示，给定点 A (0，a )，若 在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(1，3)B ．(2，4)C ．（32，3）D ．（52，3） 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.9． 已知平面向量a , b 满足a = (1, −1), (a + b ) ⊥ (a − b ),那么｜b ｜＝ .10．已知双曲线()222210x y a b a b=>>0－，的一个焦点是抛物线 y 2 = 8x 的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为 .11．在△ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,若则a = .12．若数列{a n }满足a 1 = 2，且对于任意的m , n ∈N ＊，都有m n m n a a a +=+ , 则3a = ； 数列{ a n } 前10 项的和S 10 = .13．某种产品的加工需要 A , B , C , D , E 五道工艺，其中 A 必须在D 的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间， B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种. （用数字作答）14．如图，四面体 ABCD 的一条棱长为 x ，其余棱长均为 1，记四面体 ABCD 的体积为F (x )，则函数F(x)的单调增区间是；最大值为.三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13 分）设函数（Ⅰ）当，时，求函数 f (x)的值域；（Ⅱ）已知函数y = f (x)的图象与直线y =1有交点，求相邻两个交点间的最短距离．16．（本小题满分13 分）2014 年12 月28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价．具体如下表．（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1 人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记X 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．（只需写出结论）17．（本小题满分14 分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD是边长为4 的正方形，EF∥AD ，平面ADEF ⊥平面ABCD，且BC = 2EF ，AE = AF ，点G 是EF 的中点。

高考衣食住用行衣：高考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。

穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。

食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。

如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。

另外，进考场前一定要少喝水！住：考前休息很重要。

好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。

考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。

用：出门考试之前，一定要检查文具包。

看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。

行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（北京卷，含解析）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1．复数()i 2i -=A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】A 【解析】试题分析：(2)12i i i -=+ 考点：复数运算2.若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．1 C．32D ．2【答案】D【解析】试题分析：如图，先画出可行域，由于2z x y =+，则1122y x z =-+，令0Z =，作直线12y x =-，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取得最小值2. 考点：线性规划；3.执行如图所示的程序框图，输出的结果为A ．()22-，B ．()40-，C ．()44--，D ．()08-，开始x=1，y=1，k=0s=x-y，t=x+yx=s，y=tk=k+1k≥3输出(x，y)结束是否【答案】B考点：程序框图4.设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα⊂．“mβ∥”是“αβ∥”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：因为α，β是两个不同的平面，m是直线且mα⊂．若“mβ∥”，则平面、αβ可能相交也可能平行，不能推出//αβ，反过来若//αβ，mα⊂，则有mβ∥，则“mβ∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件.考点：1.空间直线与平面的位置关系；2.充要条件.5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是正(主)视图11俯视图侧(左)视图21A．25+ B．45+ C．225+ D．5【答案】C【解析】试题分析：根据三视图恢复成三棱锥P-ABC，其中PC⊥平面ABC，取AB棱的中点D，连接CD、PD，有,PD AB CD AB⊥⊥，底面ABC为等腰三角形底边AB上的高CD为2，AD=BD=1,PC=1,5,ABCPD S∆=1222,2=⨯⨯=,12552PABS∆=⨯⨯=,AC BC=5=，1512PAC PBCS S∆∆==⨯⨯5=,三棱锥表面积表252S=+.考点：1.三视图；2.三棱锥的表面积.6.设{}n a是等差数列. 下列结论中正确的是A．若12a a+>，则23a a+> B．若13a a+<，则12a a+<C．若120a a<<，则213a a a> D．若1a<，则()()2123a a a a-->【答案】C考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法7.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是A B Oxy -122CA ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤【答案】C 【解析】考点：1.函数图象；2.解不等式.8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】【解析】试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误，C 中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km ，消耗8升汽油，C 错误，D 中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选D.考点：1.函数应用问题；2.对“燃油效率”新定义的理解；3.对图象的理解.第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分） 9.在()52x +的展开式中，3x 的系数为．（用数字作答）【答案】40 【解析】试题分析：利用通项公式，5152r r r r T C x -+=⋅，令3r =，得出3x 的系数为325240C ⋅=考点：二项式定理10.已知双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线为30x y +=，则a =．【答案】33考点：双曲线的几何性质11.在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 3sin 6ρθθ=的距离为．【答案】1 【解析】试题分析：先把点(2,)3π极坐标化为直角坐标3)，再把直线的极坐标方程()cos 3sin 6ρθθ=化为直角坐标方程360x y +-=，利用点到直线距离公式136113d +-==+.考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线距离. 12.在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1 【解析】试题分析：222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc +-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯ 考点：正弦定理、余弦定理13.在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =u u u u r u u u u r ，BN NC =u u u r u u u r ．若MN x AB y AC =+u u u u r u u u r u u u r，则x =；y =．【答案】11,26- 【解析】试题分析：特殊化，不妨设,4,3AC AB AB AC ⊥==，利用坐标法，以A 为原点，AB 为x 轴，AC为y 轴，建立直角坐标系，3(0,0),(0,2),(0,3),(4,0),(2,)2A M CB N ，1(2,),(4,0),2MN AB =-=u u u ru u r (0,3)AC =u u u r ，则1(2,)(4,0)(0,3)2x y -=+，11142,3,,226x y x y ==-∴==-. 考点：平面向量14.设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a =，则()f x 的最小值为；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．【答案】(1)1，(2)112a ≤<或2a ≥.考点：1.函数的图象；2.函数的零点；3.分类讨论思想.三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15．（本小题13分）已知函数2()2sin cos 2sin 222x x xf x =-．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值． 【答案】（1）2π，（2）21-- 【解析】试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为()sin()f x A x mωϕ=++形式，再利用周期公式2T πω=求出周期，第二步由于0,x π-≤≤则可求出3444x πππ-≤+≤，借助正弦函数图象 找出在这个范围内当42x ππ+=-，即34x π=-时，()f x 取得最小值为：212--. 试题解析：(Ⅰ) 211cos ()2sincos2sin 2sin 222222xxxxf x x -=-=⋅-⋅=222sin cos 222x x =+-2sin()42x π=+- (1)()f x 的最小正周期为221T ππ==； (2)30,444x x ππππ-≤≤∴-≤+≤Q ，当3,424x x πππ+=-=-时，()f x 取得最小值为：212--考点： 1.三角函数式的恒等变形；2.三角函数图像与性质. 16.（本小题13分）A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16B 组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；(Ⅱ) 如果25a =，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ) 当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 【答案】（1）37，（2）1049，（3）11a =或1817.（本小题14分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点．(Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值； (Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．O FECBA【答案】(1)证明见解析，（2）55-，（3）43a = 【解析】试题分析：证明线线垂直可寻求线面垂直，利用题目提供的面面垂直平面AEF ⊥平面EFCB ，借助性质定理证明AO ⊥平面EFCB ，进而得出线线垂直，第二步建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，平面AEF 的法向量易得，只需求平面AEB 的法向量，设平面AEB 的法向量，利用线线垂直，数量积为零，列方程求出法向量，再根据二面角公式求出法向量的余弦值；第三步由于AO BE ⊥，要想BE ⊥平面AOC ，只需BE OC ⊥，利用向量、BE OC u u r u u r的坐标，借助数量积为零，求出a 的值，根据实际问题予以取舍.试题解析：(Ⅰ)由于平面AEF ⊥平面EFCB ，AEF △为等边三角形，O 为EF 的中点，则AO EF ⊥，根据面面垂直性质定理，所以AO ⊥平面EFCB ，又BE ⊂平面EFCB ，则AO BE ⊥.(Ⅱ)取CB 的中点D ，连接OD,以O 为原点，分别以、、OE OD OA 为、、x y z 轴建立空间直角坐标系，(0,03)A a ，(,0,0),(2,233,0),(,0,3)E a B a AE a a -=-u u r ，(2,233,0)EB a a =--u u r，由于平面AEF 与y 轴垂直，则设平面AEF 的法向量为1(0,1,0)n =u u r，设平面AEB 的法向量2(,,1)n x y =u u r ，2,-30,3n AE ax a x ⊥==u u r u u r，2,(2)(233)0,1n EB a x a y y ⊥-+-==-u u ru u r，则2n =u u r(3,1,1)-，二面角F AE B --的余弦值12121215cos ,55n n n n n n ⋅〈〉===-⋅u u r u u ru u r u u r u u r u u r ，由二面角F AE B --为钝二面角，所以二面角F AE B --的余弦值为55-. （Ⅲ）有（1）知AO ⊥平面EFCB ，则AO BE ⊥，若BE ⊥平面AOC ，只需BE OC ⊥，(2,EB a =-u u r 233,0)a -，又(2,233,0)OC a =--u u r，22(2)(233)0BE OC a a ⋅=--+-=u u ru u r，解得2a =或43a =，由于2a <，则43a =. 考点：1.线线垂直的证明；2.利用法向量求二面角；3.利用数量积解决垂直问题. 18.（本小题13分）已知函数()1ln1xf x x+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值． 【答案】（Ⅰ）20x y -=，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为2.试题解析：（Ⅰ）212()ln,(1,1),(),(0)2,(0)011x f x x f x f f x x+''=∈-===--，曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为20x y -=；（Ⅱ）当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，即不等式3()2()03x f x x -+>，对(0,1)x ∀∈成立，设331()ln 2()ln(1)ln(1)2()133x x x F x x x x x x +=-+=+---+-，则422()1x F x x'=-，当()01x ∈，时，()0F x '>，故()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F >=，因此对(0,1)x ∀∈，3()2()3x f x x >+成立；（Ⅲ）使()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭成立，()01x ∈，，等价于31()ln()013x x F x k x x +=-+>-，()01x ∈，；422222()(1)11kx k F x k x x x +-'=-+=--，当[0,2]k ∈时，()0F x '≥，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F >=，符合题意；当2k >时，令402()0,(0,1)k F x x k-'==∈，()(0)F x F <，显然不成立，综上所述可知：k 的最大值为2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论. 19.（本小题14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】 【解析】试题分析：椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，点()01P ，在椭圆上，利用条件列方程组，解出待定系数222,1ab ==，写出椭圆方程；由点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠，写出PA 直线方程，令0y =求出x 值，写出直线与x 轴交点坐标；由点(0,1),(,)P B m n -，写出直线PB 的方程，令0y =求出x 值，写出点N 的坐标，设0(0,)Q y ，,tan tan OQM ONQ OQM ONQ ∠=∠∴∠=∠Q求出tan OQM ∠和tan ONQ ∠，利用二者相等，求出0y =Q （0，±使得OQM ONQ ∠=∠.试题解析：（Ⅰ）由于椭圆C ：()222210x y ab a b +=>>过点()01P ，且离心率为2，2211,1,b b==222c e a=22221112a b a a -==-=，22a =，椭圆C 的方程为2212x y +=. (0,1),(,)P A m n Q ,直线PA 的方程为：11n y x m -=+，令0,1m y x n ==-，(,0)1mM n∴-； 考点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题. 20.（本小题13分）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．【答案】（1）{6,12,24}M =，（2）证明见解析，（3）8 【解析】①试题分析：（Ⅰ）由16a =，可知23412,24,12,a a a ===则{6,12,24}M =；（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数，当1k =时，则M 中的所有元素都是3的倍数，如果1k >时，因为12k k a a -=或1236k a --，所以12k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，类似可得，21,......k a a -都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.第二步集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，，用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数；第三步由于M 中的元素都不超过36，M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由n a 的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，由定义可知，1n a +和2n a 除以9的余数一样，分n a 中有3的倍数和n a 中没有3的倍数两种情况，研究集合M 中的元素个数，最后得出结论集合M 的元素个数的最大值为8.试题解析：（Ⅰ）由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，可知：12346,12,24,12,a a a a ===={6,12,24}M ∴=（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，，可用用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数，当1k =时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果1k >时，因为12k k a a -=或1236k a --，所以12k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，类似可得，21,......k a a -都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.（Ⅲ）由于M 中的元素都不超过36，由136a ≤，易得236a ≤，类似可得36n a ≤，其次M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由n a 的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M 中的数除以9的余数,由定义可知，1n a +和2n a 除以9的余数一样，考点：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.。

2015北京各区一模试题汇编——导数题（含答案解析）[海淀 理]（18）（本小题满分13分） 已知函数1()ln (0)f x a x a x=+≠. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若{()0}[,]x f x b c ≤=（其中b c <），求a 的取值范围，并说明[,](0,1)b c ⊆.[西城 理]18．（本小题满分13分）设*n ∈N ，函数ln ()n x f x x =，函数e ()xn g x x =，(0,)x ∈+∞. （Ⅰ）当1n =时，写出函数()1y f x =-零点个数，并说明理由；（Ⅱ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线1l y =：的两侧，求n 的所有可能取值.[东城 理]（18）（本小题共13分） 已知函数x xa x x f ln )(++=，a ∈R . （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（Ⅱ）若)(x f 在区间)2,1(上单调递增, 求a 的取值范围；（Ⅲ）讨论函数x x f x g -'=)()(的零点个数.[丰台 理]18.（本小题共13分）设函数()x f x e ax =-，x R ∈．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证： ()0f x >；（Ⅲ）当1a >时，求函数()f x 在[0,]a 上的最大值．[房山 理]18．（本小题共13分） 已知21()ln(1)2f x ax x x =-+-+，其中0>a ． (Ⅰ)若函数()f x 在点(3,(3))f 处切线斜率为0，求a 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)若()f x 在[)0,+∞上的最大值是0，求a 的取值范围．[顺义 理]3. 已知函数()22ln f x a x ax x =+-.(I)当0a >时,求函数()f x 的单调区间;(II)设()()22g x a x f x =-,且函数()g x 在点1x =处的切线为l ,直线//l l ',且l '在y 轴上的截距为1,求证:无论a 取任何实数,函数()g x 的图像恒在直线l '的下方;(III)已知点()()()()001,1,,A g Q x g x ,且当01x >时,直线QA 的斜率恒小于2,求实数a 的取值范围.[石景山 理]18．（本小题满分13分） 已知函数1()ln ,()(0)a f x x a x g x a x+=-=->． (Ⅰ)若1a =，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若存在0[1,]x e ∈，使得00()()f x g x <成立，求a 的取值范围． 1. 已知函数21()ln 22f x x ax x =--. （Ⅰ）若函数()f x 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若12a =-，且关于x 的方程1()2f x x b =-+在[1,4]上恰有两个不等的实根，求实数b 的取值范围；2.设函数()x f x e ax =-，x R ∈．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证： ()0f x >；（Ⅲ）当1a >时，求函数()f x 在[0,]a 上的最大值．。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类）2015．4一、选择题：（1）已知全集{,,,}U a b c d =，集合{,},{,}A a b B b c ==，则()UA B 等于（ ）A ．{}bB ．{}dC ．{,,}a c dD ．{,,}a b c【难度】1【考点】集合的运算 【答案】B 【解析】 由题意得：{},,A B a b c =，所以{}()U A B d =故选B（2）已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）A ．:p ⌝x ∀∈R ，sin 1x ≥B ．:p ⌝x ∀∈R , sin 1x >C ．:p ⌝0x ∃∈R , 0sin 1x ≥D ．:p ⌝ 0x ∃∈R ，0sin 1x > 【难度】1【考点】全称量词与存在性量词 【答案】D 【解析】全称命题的否定是存在性命题，所以命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤的否定为：:p ⌝ 0x ∃∈R ，0sin 1x >故选D（3）若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线222x y -=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A B ．2 C ．4 D ．【难度】1 【考点】抛物线 【答案】C 【解析】由题意得：抛物线22(0)y px p =>的焦点为(,0)2p双曲线222x y -=的右焦点为(2,0) 所以，4p = 故选C（4）如图所示的程序框图表示的算法功能是（ ）A ．计算123456S =⨯⨯⨯⨯⨯的值B ．计算12345S =⨯⨯⨯⨯的值C ．计算1234S =⨯⨯⨯的值D ．计算1357S =⨯⨯⨯的值 【难度】2【考点】算法和程序框图 【答案】B 【解析】程序执行过程如下：1,2S t ==，符合条件100S ≤，进入循环体； 122,3S t =⨯==，符合条件100S ≤，进入循环体； 236,4S t =⨯==，符合条件100S ≤，进入循环体； 6424,5S t =⨯==，符合条件100S ≤，进入循环体； 245120,6S t =⨯==，不符合条件100S ≤，跳出循环体；输出120S =；所以该程序是计算12345S =⨯⨯⨯⨯的值， 故选B （5）已知113log 2x =，1222x -=，3x 满足3331()log 3x x =，则（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x << 【难度】2【考点】零点与方程 【答案】A 【解析】 分别作出13log y x =，2x y =，1()3x y =，3log y x =的图象有图可知：110x -<<，201x <<，312x << 所以，123x x x << 故选A（6）函数ππ()2sin()cos()66f x x x =--图象的一条对称轴方程是（ ）A ．π6x =B. π3x =C. 5π12x =D. 2π3x = 【难度】2【考点】三角函数的图像与性质 【答案】C 【解析】把选项依次代入函数ππ()2sin()cos()66f x x x=--只有C选项得到的值为1故选C（7）已知实数x，y满足20,20,0,x yx yy t+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩其中0t>．若3z x y=+的最大值为5，则z的最小值为（）A．52B．1C．0D．1-【难度】2【考点】线性规划【答案】D【解析】作出可行域如下图：由题意可知当z取最大值时，目标函数为：35y x=-+联立235y xy x=⎧⎨=-+⎩得：(1,2)；所以2t=联立22y xy=-⎧⎨=⎩得：(1,2)-，代入目标函数可求得：min1z=-故选D（8）已知边长为3的正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，M为线段CD上的动点（不含端点），过M作//MH DE交CE于H，作//MG AD交BD于G，连结GH．设CM x=(03)x<<，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C GHM-的体积y与变量x变化关系的是（）【难度】3 【考点】函数综合 【答案】A【解析】如图所示：由题意得：CM MH x ==,3DM GM x ==-;11(3)22GMH S GM MH x x ∆=⋅=-231111(3)(3)3326C MGH GMH V S CM x x x x x -∆=⋅=⋅-⋅=-1()(2)2V x x x '=-，所以x(0,2) 2 (2,3)3()f x '+-()f x(0)0f =单增单减(3)0f =故选A 二、填空题：（9）i 为虚数单位，计算1i1i+-= ． 【难度】1【考点】复数综合运算 【答案】i【解析】1i (1i)(1+i)21i (1i)(1+i)2ii ++===-- 故答案为i（10）已知平面向量a ，b 满足1==a b ，a 与b 的夹角为60︒，则()⋅+=a a b ． 【难度】1【考点】数量积的应用 【答案】32【解析】2()cos ,a a b a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅⋅<>1311122=+⨯⨯= 故答案为32（11）圆22:(2)(2)8C x y -+-=与y 轴相交于,A B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为 ． 【难度】2【考点】直线与圆的位置关系 【答案】90 【解析】由题意得：令0y =，解得：0x =或4x =即(0,0)A ，(4,0)B ，4AB =，又CA CB ==所以，ABC ∆为等腰直角三角形，其中90BCA ∠= 故答案为90（12）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是 ，四棱锥侧面中最大侧面的面积是 ．【难度】2【考点】空间几何体的三视图与直观图【答案】36；74【解析】由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，直观图如下：其中底面是边长为1的正方形，高为32 PH=其体积为13311326V=⨯⨯⨯=;由直观图可知，四个侧面分别为：,,,PAB PBC PCD PDA∆∆∆∆这四个三角形均可看成以P为顶点的三角形，显然，PBC∆的高PE是四个三角形最长的高，所以2113711222PBCS BC PE∆⎛⎫==⨯+=⎪⎪⎝⎭37（13）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用.适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额－800）×20%×（1－30%） （2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1－20%）×20%×（1－30%）. 已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前．．．)为 元． 【难度】3 【考点】函数综合 【答案】2800 【解析】由题意得：设此人应得稿费(扣税前．．．)为x 元 先假设此人一份书稿稿费(扣税前．．．)符合条件（1），即4000x ≤ 则：280(800)20%(130%)x =-⨯⨯-， 解得：28004000x =≤，符合条件（1）再假设此人一份书稿稿费(扣税前．．．)符合条件（2），即4000x > 则：280(120%)20%(130%)x =⋅-⨯⨯-， 解得：25004000x =≤，不符合条件（2） 故答案为2800（14）记12x x -为区间12[,]x x 的长度．已知函数2xy =，x ∈[]2,a -(0a ≥)，其值域为[],m n ，则区间[],m n 的长度的最小值是 ． 【难度】3【考点】函数的定义域与值域 【答案】3 【解析】由题意得，函数2xy =的图像如图所示：当01a ≤≤时，函数2xy =的值域为[1,4]，此时[],m n 的长度为3；当1a >时，函数2xy =的值域为[1,()]f a ，此时[],m n 的长度大于3；故答案为3 三、解答题：（15）在ABC ∆中，π3A =，6cos 3B =，6BC =． （Ⅰ）求AC 的长； （Ⅱ）求ABC ∆的面积． 【难度】3【考点】解斜三角形 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）因为6cos 3B =，(0,)B ∈π，又22sin cos 1B B +=， 所以3sin 3B =.由正弦定理得，sin sin AC BC B A =.33=. 所以4AC =.（Ⅱ）在ABC ∆中，sin sin(60)C B =+sin cos60cos sin 60B B =+13sin 2B B ==133623+32.所以1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅=1462⨯⨯⨯3+32=23+62. （16）某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）：（Ⅰ）请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水平较高（直接写出结果）；（Ⅱ）若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中， 甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．【难度】3 【考点】概率综合 【答案】见解析 【解析】解：（Ⅰ）从茎叶图可以看出，乙校10名学生的考试成绩的平均分 高于甲校10名学生的考试成绩平均分，故乙校的数学成绩整体水平较高． （Ⅱ）设事件M ：分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学， 抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩． 由茎叶图可知，甲校成绩不低于90分的同学有2人，从小到大依次记为12,A A ；乙校成绩不低于90分的同学有5人， 从小到大依次记为12345,,,,B B B B B ． 其中121234592,93,90,91,95,96,98.A A B B B B B分别从甲、乙两校各随机抽取1名成绩不低于90分的同学共有11121314152122232425,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 这10种可能．其中满足“抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩”共有11122122,,,A B A B A B A B 这4种可能．所以42()105P M ==． 即分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学， 抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率为25. （17）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，各个侧面均是边长为2的正方形，D 为线段AC 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面11A ACC ；（Ⅱ）求证：直线1AB ∥平面D BC 1；（Ⅲ）设M 为线段1BC 上任意一点，在D BC 1内的平面区域（包括边界）是否存在点E ，使CE ⊥DM ，并说明理由．【难度】3【考点】立体几何综合【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明：因为三棱柱的侧面是正方形，所以11,CC BC CC AC ,BC AC C . 所以1CC 底面ABC ． 因为BD 底面ABC ，所以1CC BD ．由已知可得，底面ABC 为正三角形．因为D 是AC 中点，所以BDAC ． 因为1AC CC C ，所以BD平面11ACC A ． （Ⅱ）证明：如图，连接1B C 交1BC 于点O ，连接OD ．显然点O 为1B C 的中点．因为D 是AC 中点， 所以1//AB OD ．又因为OD平面1BC D ，1AB 平面1BC D ， 所以直线1//AB 平面1BC D ．（Ⅲ）在D BC 1内的平面区域（包括边界）存在一点E ，使CE ⊥DM ．此时点E 是在线段1C D 上.证明如下：过C 作1CE C D ⊥交线段1C D 于E ，由（Ⅰ）可知BD平面11ACC A ，而CE ⊂平面11ACC A ， 所以BD CE ．又1CE C D ⊥，1BDC D D ，所以CE 平面D BC 1． 又DM ⊂平面D BC 1，所以CE ⊥DM ．（18）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a =，1n n a S +=，n *∈N .（Ⅰ）写出2a ，3a ，4a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）已知等差数列{}n b 中，有22b a =， 33b a =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．【难度】3【考点】数列综合应用【答案】见解析【解析】（Ⅰ）解：因为14a =，1n n a S +=，所以2114a S a ===，3212448a S a a ==+=+=，4312344816a S a a a ==++=++=．（Ⅱ）当2n ≥时，11222n n n n n n a S S +-=-=-=．又当1n =时，114a S ==．所以4,1,2, 2.n n n a n =⎧=⎨≥⎩（Ⅲ）依题意，224b a ==，338b a ==.则由11428b d b d +=⎧⎨+=⎩得，10b =，4d =,则4(1)n b n =-. 所以20,1,(1)2, 2.n n n n a b n n +=⎧⋅=⎨-≥⎩所以2(1)2(*)n n n a b n n +⋅=-∈N .因为n T =1122334411...n n n n a b a b a b a b a b a b --++++++456120122232...(2)2(1)2n n n n ++=+⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，所以567232122232...(2)2(1)2n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯.所以4567232222...2(1)2n n n T n ++-=+++++--⨯41332(12)(1)216(2)212n n n n n -++-=--⨯=---⨯- . 所以316(2)2n n T n +=+-⨯.（19）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -2F 的直线l （斜率不为0）与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当四边形12MF NF 为矩形时，求直线l 的方程．【难度】4【考点】圆锥曲线综合【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）由题意可得2222,,3,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b =故椭圆的方程为22162x y +=． （Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --， 由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 所以21221213k x x k +=+． 因为121224(4)13k y y k x x k-+=+-=+， 所以AB 中点22262(,)1313k k D k k-++． 因此直线OD 方程为30x ky +=0k ．由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+，333x ky =-． 因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ⋅=，即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=．所以223340x y --=． 所以222(91)4013k k+-=+．解得k =．故直线l的方程为2)y x =-． （20）已知函数()()e xa f x x x =+，a ∈R ．（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当1a =-时，求证：()f x 在(0,)+∞上为增函数；（Ⅲ）若()f x 在区间(0,1)上有且只有一个极值点，求a 的取值范围．【难度】4【考点】导数的综合运用【答案】见解析【解析】 解：函数()f x 定义域为{0}x x ≠，322()e x x x ax a f x x++-'=. （Ⅰ）当0a =时，()e x f x x =⋅，()f x '=(1)e x x +.所以(1)e,(1)2e f f '==.所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是e 2e(1)y x -=-，即2e e =0x y --.（Ⅱ） 当1a =-时，()f x '=3221e x x x x x +-+. 设()g x =321x x x +-+，则2()321(31)(1)g x x x x x '=+-=-+.令()(31)(1)0g x x x '=-+>得，13x >或1x <-，注意到0x >，所以13x >. 令()(31)(1)0g x x x '=-+<得，注意到0x >，得103x <<. 所以函数()g x 在1(0,)3上是减函数，在1(,)3+∞上是增函数. 所以函数()g x 在13x =时取得最小值，且122()0327g =>. 所以()g x 在(0,)+∞上恒大于零.于是，当(0,)x ∈+∞，()f x '=3221e 0x x x x x+-+>恒成立. 所以当1a =-时，函数()f x 在()0,+∞上为增函数.（Ⅱ）问另一方法提示：当1a =-时，()f x '=3221e x x x x x +-+. 由于3210x x x +-+>在()0,+∞上成立，即可证明函数()f x 在()0,+∞上为增函数.（Ⅲ）（Ⅱ）322()e ()xx x ax a f x x ++-'=. 设()h x =32x x ax a ++-，2()32h x x x a '=++.(1) 当0a >时，()0h x '>在(0,)+∞上恒成立，即函数()h x 在(0,)+∞上为增函数.而(0)0h a =-<，(1)20h =>，则函数()h x 在区间()0,1上有且只有一个零点0x ， 使0()0f x '=,且在0(0,)x 上，()0f x ，在0,1x 上，()0f x ，故0x 为函数()f x 在区间()0,1上唯一的极小值点;（2）当0a =时，当x ()0,1时，2()320h x x x '=+>成立，函数()h x 在区间()0,1上为增函数，又此时(0)0h =，所以函数()0h x >在区间()0,1恒成立，即()0f x ，故函数()f x 在区间()0,1为单调递增函数，所以()f x 在区间()0,1上无极值；（3）当0a <时，()h x =3232(1)x x ax a x x a x ++-=++-. 当()0,1x ∈时，总有()0h x >成立，即()0f x '>成立， 故函数()f x 在区间()0,1上为单调递增函数，所以()f x 在区间()0,1上无极值.综上所述0a >.。

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专题2 不等式、函数与导数 第4讲 导数与定积分(B 卷）一、选择题（每题5分，共30分）1、（2015·山东省滕州市第五中学高三模拟考试·4)01()x x e dx --⎰=( ）A ．11e--B ．1-C ．312e-+D ．32-622a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开2．(2015·德州市高三二模（4月）数学（理)试题·9）式的常数项是15，右图阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a x+=及轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ )A ．146π- B ．146π+C ．4πD ．163。

(江西省新八校2014—2015学年度第二次联考·12)已知定义域为R 的奇函数)(x f 的导函数)(x f ',当0≠x 时，0)()(>+'xx f x f ，若)1(sin 1sin f a ⋅=，)3(3--=f b ，)3(ln 3ln f c =，则下列关于c b a ,,的大小关系正确的是( ）A.a c b >>B.b c a >>> C 。

a b c >>D 。

北京市西城区2015年高三一模试卷数 学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合0,1{}A =，集合{|}B x x a =>，若AB =∅，则实数a 的范围是（ ）（A ）1a ≤ （B ）1a ≥ （C ）0a ≥ （D ）0a ≤ 【答案】B 【解析】 试题分析：因为AB =∅，所以0{|}x x a ∉>，且1{|}x x a ∉>，即0a ≥且1a ≥，从而1a ≥，选B.考点：集合的运算.2.复数z 满足i 3i z ⋅=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】C 【解析】试题分析：由i 3i z ⋅=-得3i13iz i -==--，对应点为(1,3)--，位于第三象限，选C. 考点：复数运算3.关于函数3()log ()f x x =-和()3x g x -=，下列说法中正确的是（ ）（A ）都是奇函数 （B ）都是偶函数 （C ）函数()f x 的值域为R （D ）函数()g x 的值域为R 【答案】C 【解析】试题分析：3()log ()f x x =-的定义域为(0)-∞，，所以()f x 为非奇非偶函数，()f x 在定义域上为单调减函数，值域为R ；()3x g x -=的定义域为(+)-∞∞，，且()3(),x g x g x -=≠±，所以()g x 为非奇非偶函数，()g x 在定义域上为单调减函数，值域为(0,).+∞；因此选C.考点：函数性质4.执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的n 的值为______. （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7【答案】B 【解析】试题分析：第一次循环：9,2;x n ==第二次循环：27,3;x n ==第三次循环：81,4;x n ==第四次循环：243100,5;x n =>=结束循环，输出5,n =选B. 考点：循环结构流程图5.设,P Q 分别为直线0x y -=和圆22(6)2x y +-=上的点，则||PQ 的最小值为（ ） （A） （B）（C）（D ）4 【答案】A 【解析】试题分析：设圆心为C ，直线:0l x y -=，则||||C l PQ PC r d r -≥-≥-以选A.考点：直线与圆位置关系6.设函数()f x 的定义域为R ，则“x ∀∈R ，(1)()f x f x +>”是“函数()f x 为增函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：由增函数定义知：若函数()f x 为增函数，则x ∀∈R ，(1)()f x f x +>，必要性成立；反之充分性不成立，如非单调函数()=[x]f x （取整函数），满足x ∀∈R ，(1)()f x f x +>，所以选B. 考点：充要关系7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ） （A ）7 （B ）152 （C ）233 （D ）476【答案】D 【解析】试题分析：几何体为一个正方体截去一个角（三棱锥），所以体积为321147211326-⨯⨯⨯=，选D.考点：三视图8.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ）（A ）2枝玫瑰的价格高 （B ）3枝康乃馨的价格高 （C ）价格相同 （D ）不确定 【答案】A 【解析】试题分析：设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格分别为,x y 元，则侧(左)视图 正(主)视图 俯视图6324,442028,5x y x y x y x y +>+<⇒+>+< ，因此235(2)8()58850x y x y x y -=+-+>⨯-⨯=，因此2枝玫瑰的价格高，选A.考点：不等式比较大小第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知平面向量,a b 满足(1,1)=-a ，()()+⊥-a b a b ，那么|b |= ____.【解析】试题分析：22()()()()0||+⊥-⇒+⋅-=⇒=⇒=a b a b a b a b a b b |a |= 考点：向量运算10.函数22()sin cos f x x x =-的最小正周期是____. 【答案】π 【解析】试题分析：因为22()sin cos cos2f x x x x =-=-，所以其最小正周期是2=π.2π考点：三角函数周期11.在区间[2,1]-上随机取一个实数x ，则x 使不等式1|1|x -≤成立的概率为____. 【答案】13【解析】试题分析：102|1|x x ⇒≤≤-≤，又[2,1]x ∈-，所以[0,1]x ∈，因为测度为长度，所以所求概率为101.1(2)3-=--考点：几何概型概率12.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点是抛物线28y x =的焦点，且双曲线 C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为____；渐近线方程是____.【答案】2213y x -=,y =【解析】试题分析：抛物线28y x =的焦点为(2,0)，所以2c =，又双曲线 C 的离心率为2，所以1,a b =因此双曲线C 的方程为2213y x -=，渐近线方程是2203y x -=，即y =考点：双曲线方程及渐近线13.设函数20,1,()4,0.x x x f x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪-<⎩则[(1)]f f -=____；函数()f x 的极小值是____. 【答案】103,2 【解析】试题分析：110[(1)](14)(3)333f f f f -=-+==+=，当0x >时，211()()1f x x f x x x'=+=-，，，由()0f x '=得1x =，（负值舍去），因此当0,1)(x ∈时，()0f x '<；当1,)(x +∞∈时，()0f x '>；从而函数()f x 在1x =取极小值为2；当0x <时，2()4x f x x -=-，，因此当2,0)(x ∈-时，()f x 单调递减；当(,2)x ∈-∞-时，()f x 单调递增；从而函数()f x 在2x =-取极大值为4； 从而函数()f x 的极小值是2 考点：分段函数求值，函数极值14.某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件.制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异. 现有甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求)，甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表：则组委会定做该工艺品的费用总和最低为 元. 【答案】4900 【解析】试题分析：设在甲厂做一等奖奖品x 件，二等奖奖品y 件，则[0,3],[0,6],4,,x y x y x y N ∈∈+≤∈,组委会定做该工艺品的费用总和为500400800(3)600(6)100(6032)z x y x y x y =++-+-=--，可行域为一个直角梯形OABC 内整数点（包含边界）,其中(0,0),(3,0),(3,1),(0,4).O A B C 当直线100(6032)z x y =--过点(3,1)B 时费用总和取最小值：4900考点：线性规划求最值三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，且4AD DC =.（Ⅰ）求BD 的长； （Ⅱ）求sin CBD ∠的值.【答案】（Ⅰ）5104=BD（Ⅱ）sin CDB ∠=【解析】试题分析：（Ⅰ）在直角三角形ABC 中，易得5=AC ，从而有1=DC ，在BCD ∆中，由余弦定理，可得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅223323123155=+-⨯⨯⨯=，即5104=BD （Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin CD BD CBD C =∠，所以sin CDB ∠=试题解析：（Ⅰ）解：因为 90=∠ABC ，4=AB ，3=BC ， 所以3cos 5C =，4sin 5C =，5=AC ， ..................... 3分 又因为DC AD 4=，所以4=AD ，1=DC . (4)分在BCD ∆中，由余弦定理，B CAD得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅ ………………… 7分223323123155=+-⨯⨯⨯=，所以 5104=BD . (9)分（Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin CD BDCBD C=∠，所以154sin 5CBD=∠， ………………… 12分所以sin CDB ∠=………………… 13分 考点：正余弦定理 16.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32a =，57S a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；（Ⅱ）若444,,m n a a a ++（*,m n ∈N ）成等比数列，求n 的最小值． 【答案】（Ⅰ）24n a n =-,23n S n n =-（Ⅱ）6． 【解析】试题分析：（Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式，一般利用待定系数法，即设公差为d ，则可得方程组11122,15546,2a d a d a d +=⎧⎪⎨+⨯⨯=+⎪⎩解得12a =-，2d =，所以2(1)224n a n n =-+-⨯=-，212(1)232n S n n n n n =-+-⨯=-（Ⅱ）因为444,,m n a a a ++成等比数列，可得等量关系2(24)4(24)m n +=+，可看做二次函数21(2)22n m =+-，根据对称轴及正整数限制条件可得当2m =时，n 有最小值6． 试题解析：（Ⅰ）解：设公差为d ，由题意，得11122,15546,2a d a d a d +=⎧⎪⎨+⨯⨯=+⎪⎩ ………………… 4分 解得12a =-，2d =，…………………5分所以2(1)224n a n n =-+-⨯=-， ………………… 6分212(1)232n S n n n n n =-+-⨯=-． ………………… 7分（Ⅱ）解：因为444,,m n a a a ++成等比数列，所以2444m n a a a ++=， ………………… 9分即2(24)4(24)m n +=+， ………………… 10分化简，得21(2)22n m =+-， ………………… 11分考察函数21()(2)22f x x =+-，知()f x 在(0,)+∞上单调递增，又因为5(1)2f =，(2)6f =，*n ∈N ，所以当2m =时，n 有最小值6． ………………… 13分 考点：等差数列的通项及和项 17.（本小题满分14分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，//EF AD ， 平面ADEF ⊥平面ABCD ，且2BC EF =,AE AF =，点G 是EF 的中点. （Ⅰ）证明：AG ⊥CD ； （Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且13AM MC=，求证：GM //平面ABF ；（Ⅲ）已知空间中有一点O 到,,,,A B C D G 五点的距离相等，请指出点O 的位置. (只需写出结论)FCA DBG EFCADBG EMN【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）点O 为线段GC 的中点. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由面面垂直性质定理，可得线面垂直：AG ⊥平面ABCD ，再由线面垂直性质定理可得AG ⊥CD .注意写全定理条件（Ⅱ）证明线面平行，一般利用其判定定理，即从线线平行出发，利用平几知识，可过点M 作MN //BC ，且交AB 于点N ，从而可推出GF //MN ，GF MN =.即四边形GFNM 是平行四边形. 所以 //GM FN .（Ⅲ）利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，可找出满足条件的点O 为GC 的中点. 试题解析：（Ⅰ）证明：因为AE AF =，点G是EF 的中点，所以 AG EF ⊥. …………………1分 又因为 //EF AD ，所以 AG AD ⊥.…………………2分因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，AG ⊂平面ADEF ，所以 AG ⊥平面ABCD . …………………4分 因为 CD ⊂平面ABCD ，所以 AG ⊥CD . …………………5分 （Ⅱ）证明：如图，过点M 作MN //BC ，且交AB 于点N ，连结NF ， 因为13AM MC=，所以14MN AM BCAC==， …………………6分因为 2BC EF =，点G 是EF 的中点， 所以 4BC GF =，又因为 //EF AD ，四边形ABCD 为正方形， 所以 GF //MN ，GF MN =. 所以四边形GFNM 是平行四边形.所以 //GM FN . ……………8分 又因为GM ⊄平面ABF ，FN ⊂平面ABF ，所以 GM //平面ABF . …………………11分 （Ⅲ）解：点O 为线段GC 的中点. …………………14分考点：面面垂直性质定理，线面平行判定定理 18.（本小题满分13分）2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；（Ⅱ）已知选出的120人中有6名学生，且这6人乘坐地铁的票价情形恰好与按票价．．．从．这．120人中．．分层．．抽样．．所选的结果相同，现从这6人中随机选出2人，求这2人的票价和恰好为8元的概率；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．(只需写出结论)【答案】（Ⅰ）56（Ⅱ）415（Ⅲ）(20,22]s ∈【解析】试题分析：（Ⅰ）由票价统计图知120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人），所以票价小于5元的有6040100+=（人）．从而根据古典概型概率计算得56（Ⅱ）先根据分层抽样，确定6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人）.再根据枚举法列出基本事件，最后确定2人的票价和恰好为8元基本事件包含数，求出其概率（Ⅲ）由题意得乘坐地铁12公里至22公里（含）5元，所以(12,22]s ∈,乘公共电汽车10公里（含）内2元；10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）.因此5元乘公里数必大于10+52=20⨯，所以(20,22]s ∈试题解析：（Ⅰ）解：记事件A 为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， …………………1分由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人）. 所以票价小于5元的有6040100+=（人）． …………………2分故120人中票价小于5元的频率是10051206=． 所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率5()=6P A ． …………………4分（Ⅱ）解：记事件B 为“这2人的票价和恰好为8元”， …………………5分 由统计图，得120人中票价为3元、4元、5元的人数比为60:40:203:2:1=，则6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人）. …………6分 记票价为3元的同学为,,a b c ，票价为4元的同学为,d e ，票价为5元的同学为f ， 从这6人中随机选出2人，所有可能的选出结果共有15种，它们是：(,),(,)c a b a ， (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)d e f c d e f d e f e a a a b b b b c c c d , (,),(,)f f d e . …………………8分 其中事件B 的结果有4种，它们是： (,),(,),(,),(,)f f f e a b c d . …………9分 所以这2人的票价和恰好为8元的概率为4()15P B =. ………………… 10分（Ⅲ）解：(20,22]s ∈． …………………13分 考点：古典概型概率，分层抽样 19.（本小题满分14分）设点F 为椭圆2222 1(0)x y E a b a b+=>>：的右焦点，点3(1,)2P 在椭圆E 上，已知椭圆E 的离心率为12.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过右焦点F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，记ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积为t ，求t 的最大值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）964【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，一般需列出两个独立条件：21=a c 及点)23,1(P 在椭圆上，解方程组得椭圆方程为 22143x y +=. （Ⅱ）由题意得需根据直线l 斜率表示ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积，由直线与椭圆联立方程组解得2221438k k x x +=+，212241234k x x k -=+，从而PA PB t k k k =⨯⨯1212332211y y k x x --=⨯⨯--12121233[(1)][(1)]22()1k x k x k x x x x --⨯--=⨯-++122121239(2)24[]()1k x x k k x x x x -+-+=+⨯-++233()44k k k k =--⨯=--，再根据二次函数求出其最大值.试题解析：（Ⅰ）解：设22b ac -=，由题意，得21=a c ，所以 2a c =，b =. …………………2分则椭圆方程为 2222143x y c c+=，又点)23,1(P 在椭圆上， 所以2213144c c+=，解得21c =， 故椭圆方程为 22143x y +=. ………………… 5分（Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，右焦点(1,0)F ， ………………… 6分 设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， ……… 7分由 22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得 2222(34)84120k x k x k +-+-=. ………………… 8分由题意，可知0>∆，则有 2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ………… 9分 所以直线PA 的斜率11321PAy k x -=-，直线PB 的斜率22321PB y k x -=-， …………… 10分 所以PA PB t k k k =⨯⨯1212332211y y k x x --=⨯⨯--12121233[(1)][(1)]22()1k x k x k x x x x --⨯--=⨯-++2121212121239[()1](2)24()1k x x x x k x x k x x x x -++-+-+=⨯-++122121239(2)24[]()1k x x k k x x x x -+-+=+⨯-++233()44k k k k =--⨯=--. ………………… 12分 即 22339()4864t k k k =--=-++，所以当38k =-时，ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积t 有最大值964. ………14分考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系 20.（本小题满分13分）设*n ∈N ，函数ln ()n x f x x =，函数e ()xn g x x=，(0,)x ∈+∞.（Ⅰ）判断函数()f x 在区间(0,)+∞上是否为单调函数，并说明理由；（Ⅱ）若当1n =时，对任意的12,(0,)x x ∈+∞， 都有12()()g x f x t ≤≤成立，求实数t 的取值范围；（Ⅲ）当2n >时，若存在直线l y t =：（t ∈R ），使得曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线l 的两侧，写出n 的所有可能取值. (只需写出结论) 【答案】（Ⅰ）不是单调函数（Ⅱ）1e et ≤≤（Ⅲ）{3,4} 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数研究函数单调性，先求导数：11ln ()n n xf x x +-'=，再求导函数零点1e nx =，列表分析得函数()f x 在区间1(0,e )n上为单调递增，区间1(e ,)n+∞上为单调递减.即函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. （Ⅱ）先转化条件为：当(0,)x ∈+∞时，max min ()()g f x t x ≤≤，因此求实数t 的取值范围，就是分别求max min ()()g f x x ，，这可利用导数求函数最值（Ⅲ）由题意得：直线l 为曲线()y f x =与曲线()y g x =分割线，由（Ⅱ）得1()()ng f e n ≤，因此n 的所有可能取值为{3,4}试题解析：（Ⅰ）解：结论：函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. …………………1分 求导，得 11ln ()n n xf x x +-'=， …………………2分 令 ()0f x '=，解得1e n x =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以函数()f x 在区间1(0,e )n上为单调递增，区间1(e ,)n+∞上为单调递减. 所以函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. …………………4分（Ⅱ）解：当1n =时，函数ln ()x f x x =，e ()xg x x=，0x >.由题意，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞， 都有12()()g x f x t ≤≤恒成立，只需当(0,)x ∈+∞时，max min ()()g f x t x ≤≤. …………………5分 因为 21ln ()xf x x-'=. 令()0f x '=，解得e x =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以max ()(e)ef x f ==. …………………7分 又因为2e (1)()x x g x x-'=. 令 ()0g x '=，解得1x =.当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：所以min ()(1)e g x g ==. …………………9分 综上所述，得1e et ≤≤. …………………10分 （Ⅲ）解：满足条件的n 的取值集合为{3,4}. …………………13分 考点：利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数最值。