初二上册数学：第五章知识点总结

八年级第五章知识点总结第五章是八年级数学中的一章，主要讲解了三角形及相关定理、勾股定理、解直角三角形、三角函数等内容。

下面将对这些知识点进行总结，以便帮助同学们更好地理解和掌握数学知识。

一、三角形及相关定理1. 定义：三角形是由三条线段组成的图形，其三个端点不共线。

2. 三角形分类：根据边的长度，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

根据角的大小，三角形可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。

3. 相关定理：（1）三角形内角和定理：任意三角形三个内角和等于180度。

（2）三角形外角定理：三角形的一个外角等于两个不相邻内角的和。

（3）等角定理：两个角度相等的三角形相似。

二、勾股定理1. 定义：勾股定理又称毕达哥拉斯定理，是指在一个直角三角形中，直角的对边平方等于两直角边平方和。

2. 作用：勾股定理可以方便地求出一个直角三角形的边长。

三、解直角三角形1. 三角函数：正弦、余弦和正切是三角函数的基本概念，代表着一个角的三条边之间的比例关系。

2. 相关公式：（1）正弦公式：a/sinA=b/sinB=c/sinC（a、b、c为三角形三边长，A、B、C为三角形三个角的对应角度）（2）余弦公式：a²=b²+c²-2bc*cosA（3）正切公式：tanA=a/b四、三角形相似定理1. 相似定义：两个图形形状相同，但大小不同，称为相似图形。

2. 相似定理：AA、SAS、SSS三种定理可以用于证明两个三角形相似。

以上是本章主要内容的总结。

希望同学们通过这些知识点的学习，更好地掌握数学知识，为将来的学习打下坚实的基础。

鲁教版八年级数学上册第五章知识点汇总鲁教版八年级数学上册第五章知识点汇总第五章平面直角坐标系5.1确定位置引例:电影票、角、教室座位、经纬度在平面上确定物体的位置一般需要两个数据a 和b记作（a ，b），a表示:排、行、经度、角度……b表示:号、列、纬度、距离……生活中还有哪些确定位置的其他方法？(1)如果全班同学站成一列做早操，现在教师想找某个同学，是否还需要用2个数据呢？(2)多层电影院确定座位位置用两个数据够用吗？必须有三个数据（a，b，c），其中a表示层数，b表示排号，c表示座号，即“a层b排c号”。

(3)确定小区中住户的位置必须有四个数据，分别为楼号a，单元号b，层数c和住户号d，即“a楼b单元c层d 号。

”(4)区域定位法：绘出所在区域代号如B3，D5等。

排球比赛队员场上的位置等。

准确定位需几个独立数据？(1)已知在某列或某行上,只需一个数据定位；(2)在一个平面内确定物体位置,需两个数据；(3)在空间中确定物体位置,需要三个独立数据。

5.2平面直角坐标系1.平面直角坐标系:平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系。

坐标原点(0,0),第一二三四象限,注意:坐标轴上的点不属于任何象限。

2.坐标:在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反之，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示。

这样的有序实数对叫做点的坐标。

规律1:⑴点P（x，y）在第一象限←→x＞0，y＞0；点P（x，y）在第二象限←→x＜0，y＞0；点P（x，y）在第三象限←→x＜0，y＜0；点P（x，y）在第四象限←→x＞0，y＜0。

⑵x轴上的点的纵坐标为0，表示为（x，0）,y轴上的点的横坐标为0，表示为（0，y)点P（x，y）到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,到原点的距离是。

例:到x轴的距离为2,到,y轴的距离为3的点有________个,它们是________。

规律2:⑴关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数；⑵关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数；⑶关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数。

八年级上册5单元知识点八年级上册第五单元是一个较为重要的单元，它涉及到数学中的一些基础概念，对于高中数学的学习打下了比较好的基础。

下面，我们来仔细了解一下这个单元的知识点，以及它们的实际应用。

1. 平面直角坐标系平面直角坐标系是数学中最重要的基础概念之一。

在平面直角坐标系中，可以通过两条互相垂直的坐标轴来定位一个点的位置。

坐标轴上的数值就是该点的坐标，一般用(x,y)表示。

在现实生活中，平面直角坐标系被广泛应用在地理定位、电子地图、计算机图像处理等领域中。

2. 线段的长度线段的长度是数学中的一个重要属性。

它可以通过坐标系中的两个点来确定。

例如，一个由点A(2,3)和点B(5,7)所连成的线段，其长度就可以通过勾股定理算出，即AB的长度=sqrt[(5-2)^2+(7-3)^2]。

在现实生活中，线段的长度经常用来测量物体的大小、距离等。

3. 图形的面积图形面积的计算是数学中的一个重要问题。

对于直角三角形、平行四边形、梯形、圆等常见几何形状，它们的面积可以通过一些公式来计算。

例如，对于直角三角形，其面积等于底边长和高的乘积的一半。

在现实生活中，图形的面积常常被用来计算土地面积、房屋面积、画布面积等。

4. 几何体的表面积和体积几何体的表面积和体积是本单元的重点之一。

不同几何体的表面积和体积计算方法不同，需要通过具体公式来计算。

例如，球体的面积等于4πr^2，体积等于4/3πr^3。

在现实生活中，几何体的表面积和体积常常被用来计算带电粒子的电荷分布、计算液体的密度和质量等。

5. 三角函数三角函数是数学中的一个重要分支。

正弦函数、余弦函数、正切函数等都是三角函数的一种形式。

它们在三角形的一些计算和圆的相关计算中都有广泛应用。

例如，正弦函数可以用来计算一个三角形的斜边与对边的比值，余弦函数可以用来计算一个三角形的斜边与邻边的比值。

在现实生活中，三角函数被广泛应用在航空、海洋、地质勘探等领域。

综上所述，八年级上册第五单元的知识点涵盖了平面直角坐标系、线段的长度、图形的面积、几何体的表面积和体积以及三角函数等方面，这些概念是高中数学学习的基础，掌握它们对于学生未来的学习和职业发展都有很重要的意义。

第五章知识要点总结一、平移1.纵坐标不变，横坐标分别增加（或减少）a个单位时，图形向右（或向左）平移a个单位。

<(X,Y) ——(X+a,Y) 或(X-a,Y)>.2.横坐标不变，纵坐标分别增加（或减少）a个单位时，图形向上（或向下）平移a个单位。

<(X,Y)——(X,Y+a) 或(X,Y-a)>.二、伸长（压缩）1.纵坐标不变，横坐标分别变为原来的a倍，图形横向伸长为原来的a倍（a>1），或图形横向缩短为原来的a倍(0<a<1)。

<(X,Y)——(aX,Y) >.2. 横坐标不变，纵坐标分别变为原来的a倍，图形纵向伸长为原来的a倍（a>1），或图形纵向缩短为原来的a倍（0<a<1）。

<(X,Y)——(X,aY) >.3.横坐标与纵坐标同时变为原来的a倍，图形纵、横向同时伸长为原来的a倍(a>1) ，图形纵、横向同时缩短为原来的a倍（0<a<1）。

<(X,Y)——(aX,aY) >.三、对称1. 纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，图形关于y轴对称。

<(X,Y)——(-X,Y) >.2. 横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，图形关于x轴对称。

<(X,Y)——(X,-Y) >.3. 横坐标与纵坐标同时都乘以-1，图形关于原点成中心对称图形。

<(X,Y)——(-X,-Y) >.四、点对称的极坐标1.点A(X,Y)关于X 轴对称，则点A 的对称点A ′的坐标为（X,-Y ）。

2.点A(X,Y)关于Y 轴对称，则点A 的对称点A ′的坐标为（-X, Y ）。

3. 点A(X,Y)关于原点对称，则点A 的对称点A ′的坐标为（-X,-Y ）。

五、平面直角坐标系以及各象限点的坐标的符号-3 -2 -1 O1 2 3 4 -44–1–2 –3 –41 2 3 4x 第一象限 （+，+） 第二象限（﹣，+）第三象限 （﹣，﹣）第四象限 （﹣，+）y。

八年级上册数学五章知识点本文主要讲解了八年级上册数学第五章的知识点，此章节主要涉及到三角形的相关知识。

一、三角形的概念三角形是由三条线段所围成的图形，其中两条线段之和必须大于第三条线段，否则无法围成三角形。

在三角形中，我们常常会用三角形的三个顶点代表这个三角形，如下图所示：A/ \/ \B-----C这里的三角形ABC可以用三个顶点A、B、C表示。

二、三角形的分类按照三角形的角度和边长，我们可以将三角形分为以下几类：1.按照角度分类（1）锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。

（2）钝角三角形：其中一个角是钝角的三角形。

（3）直角三角形：其中一个角是直角的三角形。

2.按照边长分类（1）等边三角形：三条边都相等的三角形。

（2）等腰三角形：两条边相等的三角形。

（3）普通三角形：即不是等边三角形也不是等腰三角形的三角形。

三、三角形的性质1.三角形的内角和定理三角形的三个内角之和等于180度。

也就是说，对于一个三角形ABC，在角A、角B、角C三个角上，有：∠A + ∠B + ∠C = 180°2.三角形的角平分线定理三角形中，从一个角的顶点引出一条线段，使这条线段把这个角分成两个相等的角，这条线段就被称为这个角的角平分线。

3.三角形的中线定理三角形的三条中线交于一点，这个点被称为三角形的重心。

4.三角形的垂心定理三角形的三条高交于一点，这个点被称为三角形的垂心。

四、三角形的计算在计算三角形的面积和周长时，我们主要需要用到以下公式：1.三角形面积公式对于任意一个三角形ABC，其面积S等于底边长度b与高h的乘积的一半，即：S = 1/2 * b * h其中b为三角形任意一边的长度，h为该边上的高的长度。

2.三角形周长公式对于任意一个三角形ABC，其周长L等于其三条边长的和，即： L = AB + BC + AC其中AB、BC、AC分别为三角形三边的长度。

五、小结本章节主要涉及到三角形的相关知识，包括三角形的概念、分类、性质和计算方法。

八年级上册数学第五章一、二元一次方程的概念。

1. 定义。

- 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

例如：x + y=5，这里x和y是两个未知数，且x、y的次数都是1，整个方程是整式方程。

2. 一般形式。

- 二元一次方程的一般形式为ax+by = c（a、b、c是常数，a≠0，b≠0）。

二、二元一次方程组的概念。

1. 定义。

- 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

例如x + y=3 x - y = 1就是一个二元一次方程组。

2. 解二元一次方程组的基本思想。

- 消元思想，即将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解。

三、解二元一次方程组的方法。

1. 代入消元法。

- 步骤：- 从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。

例如对于方程组y=x + 1 2x+y=5，由第一个方程y=x + 1，我们可以将y代入第二个方程。

- 将变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。

把y=x + 1代入2x + y=5，得到2x+(x + 1)=5，即3x+1 = 5。

- 解这个一元一次方程，求出未知数的值。

解得x=(4)/(3)。

- 把求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值。

把x = (4)/(3)代入y=x + 1，得y=(4)/(3)+1=(7)/(3)。

2. 加减消元法。

- 步骤：- 当方程组中两个方程的同一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边分别相减或相加，消去这个未知数，得到一个一元一次方程。

例如对于方程组2x + 3y=8 3x - 3y=3，因为y的系数互为相反数，将两个方程相加，得到(2x+3y)+(3x - 3y)=8 + 3，即5x=11。

- 解这个一元一次方程，求出未知数的值。

解得x=(11)/(5)。

- 把求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。

平面直角坐标系章节知识点一、基础知识点1、平面直角坐标系：平面上有公共_______且互相_______的两条_______构成平面直角坐标系。

两条数轴统称为_______，公共原点称为___________。

水平的数轴称为__________，习惯上取______方向为正方向；竖直的数轴称为__________，取______方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的_______，用O表示．2、坐标：能够确定点的位置的有序实数对。

（如P（a,b）,a、b分别为点P的横纵坐标，规定横坐标写在前）；3、象限：两条坐标轴将平面分成的4个区域称为象限，按逆时针顺序从左上角起分别记为第一、二、三、四象限。

坐标轴不属于任何象限。

4、坐标与位置关系：若点P(x，y)在：(1)第一象限，则x_____0，y_____0；(2)第二象限，则x____0，y_____0；(3)第三象限，则x_____0，y_____0；(4)第四象限，则x____0，y_____0；若点P(x，y)在：(1)x轴正半轴上，则x____0，y_____0；(2) x轴负半轴上，则x____0，y_____0；(3)y轴正半轴上，则x____0，y_____0；(4) y轴负半轴上，则x____0，y_____0；二、小结与归纳：1、点P(a，b)到x轴、y轴、原点的距离(1)点P(a，b)到x轴的距离为________(2)点P(a，b)到y轴的距离为________(3)点P(a，b)到原点的距离为________(4) P(a，b)关于x轴的对称的点的坐标为(5) P(a，b)关于y轴的对称的点的坐标为(6) P(a，b)关于原点对称的点的坐标为2、点的平移：（左减右加变x轴，上加下减变y轴）(1)将点A(x，y)向左平移a个单位长度，得到对应点A，( )；(2)将点A(x，y)向右平移a个单位长度，得到对应点A，( )；(3)将点A(x，y)向上平移a个单位长度，得到对应点A，( )；(4)将点A(x，y)向下平移a个单位长度，得到对应点A，( )。

八年级数学上册第五章知识点归纳八年级数学上册第五章学问点归纳11、二元一次方程①二元一次方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

②二元一次方程的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

2、二元一次方程组①含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

②二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

③二元一次方程组的解法代入〔消元〕法加减〔消元〕法④一次函数与二元一次方程〔组〕的关系：一次函数与二元一次方程的关系：直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx-y+b=0的解一次函数与二元一次方程组的关系：二元一次方程组的解可看作两个一次函数和的图象的交点。

当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象〔直线〕平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解。

八年级数学上册第五章学问点归纳21、实数的概念及分类①实数的分类②无理数无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环〞这一时之，归纳起来有四类：开方开不尽的数，如√7 ,3 √2等；有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π /?+8等；有特定结构的数，如0.1010010001…等;某些三角函数值，如sin60°等2、实数的倒数、相反数和肯定值①相反数实数与它的相反数是一对数〔只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零〕，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，假如a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。

②肯定值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的肯定值。

|a|≥0。

0的肯定值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。

③倒数假如a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

八年级上册数学第五章全部知识点本章内容主要讲述圆的相关知识，包括圆的定义、圆的元素、圆的相关定理等。

以下将对本章全部知识点进行详细介绍。

一、圆的定义圆是由平面上所有到一个确定点的距离都相等的点组成的图形。

这个点被称为圆心，到圆心距离相等的线段称为半径，距离为半径长的线段称为直径，圆周上所有点构成的线段称为圆周。

二、圆的元素圆的元素有圆心、半径、直径、圆周、弧、圆上方的切线和弦等。

1. 圆心：圆心是指圆周上到每个点距离相等的点，用O表示。

2. 半径：半径是指圆心到圆周上某个点的距离，用r表示。

3. 直径：直径是指经过圆心且在圆上的一条线段，用d表示。

直径长等于半径长的两倍。

4. 圆周：圆周是指圆上所有点构成的线段，其长度称为圆周长，用C表示。

5. 弧：圆上的一段连续的弧叫做圆弧，圆上任意两点所对的弧叫做弧。

弧长是指圆周长的一部分，用l表示。

6. 圆上方的切线与弦：圆上方的切线是指切于圆周上某一点的线段，与该点所在切线交点和圆心所在的线段称为弦。

三、圆的相关定理本章还介绍了一系列圆的相关定理，包括相切线之间的关系、内切、外接、切线定理、弦长定理、圆的面积和弧长之间的关系等。

1. 相切线之间的关系：如果两条直线都与一个圆相切，并且它们从圆的同一点出发，那么它们一定互相垂直。

2. 内切和外接：如果一个圆刚好与一个多边形相切，那么这个圆叫做该多边形的内切圆；如果一个多边形的内角平分线交于一点，且该点到多变形各顶点的距离相等，那么这个点的圆叫做该多边形的外接圆。

3. 切线定理：如果一个线段与某个圆相交，以该线段中点为圆心作一条半径，所画出的切线与该线段垂直。

4. 弦长定理：在圆内向两点引弦，由这两点所对应的圆弧所对应的弧长相等。

5. 圆的面积和弧长之间的关系：圆的面积等于圆周长与直径之积的一半，公式为：S=πr²。

以上就是本章全部知识点的详细介绍，希望对同学们的学习有所帮助。

第5章一次函数综合复习一、知识回顾：1.常量与变量：①常量：在一个变化的过程中，固定不变的量叫做常量。

比如在我们的生活中，一天24小时，这个24小时每天都是不变的，那就是常量。

②变量：与常量不同的是变量，可以取不同的数值的量称为变量。

③变量分为：自变量和因变量题型练习：1. 圆的面积公式为s=πr2，其中变量是（），常量是（）A．s B．π C．r D．s和r2.小明放学去玩，每分钟走60米，走了一段时间后停止，请问其中的常量是（）A.小明B.路程C.速度2.函数：①定义：每当X有一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，（x叫做自变量）解释：每个鼻子，都对应一个不同的人，如将鼻子定义为X，不同的人定义为y，那么对应的人（y）就是鼻子（x）的函数②函数的表达方法：㈠解析法：如：y=3x+2，m=10n，这类型，用一个等式来表示的函数关系，那么这种关系就叫做函数表达式，简称函数式，或叫解析法。

㈡列表法：通过表格的形式表达自变量与函数的关系方法，叫做表格法㈢图像法：通过图像，将函数的自变量（x）与因变量（y）的函数关系表达出来的方法就叫做图像法。

③自变量的取值范围：在函数中，自变量x的取值会有自己的范围，如0<x<10等，这类型根据题目的具体情况，自行判断。

④函数值（因变量）的范围：随着自变量x 的范围，函数值也会有自己的范围。

跟踪练习：1．（2019·哈尔滨市第四十七中学中考模拟）函数21y x =-中自变量x 的取值范围是 ；函数y =中自变量x 的取值范围是 ．【答案】1x ≠，2x ≥【解析】 根据题意若函数21y x =-有意义， 可得x -1≠0；解得x ≠1；若函数y =则2x -4≥0，解得x ≥2．故答案为x ≠1，x ≥2．2．（2019·上海八年级期末）已知函数37y x =-+，当2x >时，函数值y 的取值范围是_____________【答案】1y <【分析】依据k 的值得到一次函数的增减性，然后结合自变量的取值范围，得到函数值的取值范围即可．【详解】∵函数y ＝−3x ＋7中，k ＝−3＜0，∴y 随着x 的增大而减小，当x ＝2时，y ＝−3×2＋7＝1，∴当x ＞2时，y ＜1，故答案为：y ＜1．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y ＝ax ＋b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y ＝kx ＋b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．3．函数y=中自变量x 的取值范围是 ．考点：函数自变量的取值范围．【答案】【解析】试题分析:根据分式有意义，分母不等于0解答．解：函数y=中自变量x 的取值范围是x ≠0．故答案为：x ≠0．4．在函数y ＝中，自变量x 的取值范围是________________；在函数y ＝中，自变量x 的取值范围是________________．【答案】x ≠32x ≥－2 【详解】在分式中分母≠0，所以2x －3≠0，解得x ≠32二次根号下的式子≥0，所以x+2≥0，解得x ≥－25．（2019·河北八年级期末）函数3y x =-中，若自变量x 的取值范围是21x -<<，则函数值y 的取值范围为__________．【答案】52y -<<-【解析】【分析】根据不等式性质：不等式两边同时减去一个数，不等号不变，即可得到答案.【详解】解：∵2x 1-<<，∴23x 313--<-<-∴5x 32-<-<-,即：5y 2-<<-.故答案为：5y 2-<<-.【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边同时减去一个数，不等号不变是本题解题的关键.6．图中折线是某个函数的图象，根据图象解答下列问题．（1）写出自变量x 的取值范围：____________，函数值y 的取值范围：_____________．（2）自变量x=1.5时，求函数值．【答案】（1）0≤x ≤12；0≤y ≤15．（2）当x=1.5时，y=7.5．【解析】试题分析：（1）直接利用图象得出x ，y 的取值范围即可；（2）首先求出图象解析式，进而得出x=1.5时的函数值．试题解析：（1）由图象可得：自变量x 的取值范围：0≤x ≤12；函数值y 的取值范围：0≤y ≤15；（2）设直线AO 的解析式为：y=kx ，则15=3k ，解得：k=5，故直线AO 的解析式为：y=5x ，当x=1.5时，y=7.5．考点：一次函数的图象．3、一次函数①一次函数：形如y=kx+b 的形式，（k ，b 为常数，k ≠0）的函数就叫做一次函数。

八年级上册第五章知识点八年级上册第五章主要涉及到三个部分：数学方程、解方程、实际问题解决。

它是数学学科中的基础知识，对于学习数学有很重要的作用。

下面将逐一介绍这三个方面的知识点。

数学方程方程是用符号来表示两个表达式相等的数学语句，即含有一个未知量（或几个未知量）的数学语句。

方程的一般形式为：$f(x) = 0$。

在代数学中，方程的解是指满足方程条件的符号为数值。

当未知量只有一个时，这个方程称为一元方程，如 $ax + b = c$，其中 $a$，$b$，$c$ 是已知的常数，$x$ 是未知数。

解方程解方程就是求出未知量使这个方程能够成立。

解方程的方法大致分为两种：移项和因式分解。

移项即将方程中的已知量和未知量按照等式的变形进行移项，使得所有未知量都在等式的一边，已知量都在另一边；因式分解即把方程化简为一些更易求解的小方程。

实际问题解决我们在学习方程的过程中，特别需要注意实际问题的解决。

实际问题解决就是把实际问题转化为一个数学方程的过程。

通常情况下，我们需要阅读题目，分析题意，明确所求未知量，建立数学模型，列出方程，解方程，最后分析解的意义，得到答案。

这里给出一个例子：堆肥。

甲、乙两人以相同的速度施堆肥，乙20天后完成了甲施堆肥的工作量的五分之三，再用10天时间，施堆肥成功。

求两人分别完成这份事业的时间。

解题步骤：1.建立数学模型，设甲、乙单日的工作量分别为 $x$ 和 $y$。

2.解方程，通过题目中的信息得到下列两个方程：$$20x=\frac{5}{3}(20y+x)$$$$10(y+x)=1$$3.分别求出 $x$ 和 $y$ 的值，最终得到甲、乙两人分别完成工作的时间为：$26.67$ 天和 $22.45$天。

总结在学习数学方程的过程中，我们需要注意掌握方程的定义、解方程的方法以及实际问题的解决方法。

熟练掌握这些知识点，能够使我们更好地理解数学方程及其应用，为教育生活及将来的工作打下更坚实的基础。

八年级上数学第五章知识点八年级数学第五章是一篇比较重要的知识点，其中包含了多重重要的数学概念和技巧，掌握这些内容可以帮助学生快速提高数学能力。

下面是第五章的主要知识点以及掌握方法。

1.平面直角坐标系平面直角坐标系是描述平面上点之间位置关系的一种方法，它把平面上的每一个点都与一对有序实数联系在一起，从而使得建立在平面上的几何图形可以用坐标方程来描述。

在平面直角坐标系中，坐标轴被分成了两条数轴，水平的数轴称为x轴，垂直的数轴称为y轴。

一个点的坐标就是它在x轴和y 轴上对应的实数值。

2.坐标系上的距离和斜率在平面直角坐标系中，两个点的距离可以根据勾股定理求得，即点(x1, y1)和点(x2, y2)之间的距离为：d=sqrt[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]。

其中sqrt表示平方根的意思。

斜率是一条直线在平面直角坐标系中的指标，它代表的是这条直线上两个点的纵向距离与横向距离的比值。

计算斜率的公式为：k=(y2-y1)/(x2-x1)。

3.平面图形的性质平面图形是平面上的几何元素，它们是由点、直线、线段、弧线、圆等基本几何元素组合而成的。

在第五章中，平面图形的性质主要包括以下几个方面：(1) 直线和线段的性质：两点确定一条直线，即任何一条经过两点的连续无限延伸的曲线。

线段是直线上的一段有限长度的线。

(2) 角和角度的性质：夹角是两条直线或线段之间的角度，通常用θ来表示。

(3) 圆和圆内外角的性质：圆是平面上一组点的集合，这些点到一个已知点O的距离相等。

圆内外角是以圆心为顶点的角度，相邻的圆内外角互补。

(4) 多边形和对称性的性质：多边形是平面上由有限条线段首尾相连形成的闭合图形，有时也被称为多角形。

4. 几何运算的基本步骤几何运算是数学中的一项基本技能，它包括加、减、乘、除、幂等多个方面。

几何运算的基本步骤是：确定运算式的运算顺序，计算数据值，根据定义检验结果。

确定运算式的运算顺序涉及到数学运算的单向性原则，在多个运算符的运算过程中每个运算符的运算顺序都固定不变。

必备的初二上册数学第五章知识点：二元一次方程组成绩的提高是同学们提高总体学习成绩的重要途径，大伙儿一定要在平常的练习中不断积存，小编为大伙儿预备了必备的初二上册数学第五章知识点：二元一次方程组，期望同学们不断取得进步!1.判定一个方程是不是二元一次方程，一样要将方程化为一样形式后再依照定义判定。

2.二元一次方程的解:一个二元一次方程有许多个解，而每一个解差不多上一对数值。

求二元一次方程的解的方法：若方程中的未知数为x，y，可任取x的一些值，相应的可算出y的值，如此，就会得到满足需要的数对。

3.二元一次方程组:两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

作为二元一次方程组的两个方程，不一定都含有两个未知数，能够其中一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程。

4.二元一次方程组的解:使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

检验一对数值是不是二元一次方程组的解的方法是，将两个未知数分别代入方程组中的两个方程，假如都能满足这两个方程，那么它确实是方程组的解。

5.运用代入法解方程组应注意的事项：(1)不能将变形后的方程再代入变形前的那个方程。

(2)运用代入法要使解方程组过程简单化，即选取系数较小的方程变形。

(3)要判定求得的结果是否正确。

6.对二元一次方程组的解的明白得：(1)方程组的解是指方程组里各个方程的公共解。

(2)“公共解”的意思，实际上包含以下两个方面的含义：①因为任何一个二元一次方程都有许多个解，因此方程组的解必须是方程组里某一个方程的一个解。

②而那个解必须同时满足方程组里其中任何一个方程，因此二元一次方程组的解一定同时满足那个方程组里两个方程的任何一个方程。

与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟专门貌，属句有夙性，说字惊老师。

”因此看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。

最新八年级上册数学知识点：认识二元一次方程组（第五章）
6.代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

7.加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

只要这样踏踏实实完成每天的计划和小目标，就可以自如地应对新学习，达到长远目标。

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苏教版八年级上册数学《平面直角坐标系》一、本章的主要知识点(一）有序数对:有顺序的两个数a 与b 组成的数对。

1、记作（a ,b ）；横坐标写在前,纵坐标写在后 2、注意：a 、b 的先后顺序对位置的影响. （二）平面直角坐标系 简称直角坐标系1、历史：法国数学家笛卡儿最早引入坐标系,用代数方法研究几何图形 ;2、构成坐标系的各种名称；3、各种特殊点的坐标特点。

（三）坐标方法的简单应用1、用坐标表示地理位置；2、用坐标表示平移。

二、平行于坐标轴的直线的点的坐标特点：平行于x 轴（或横轴）的直线上的点的纵坐标相同； 平行于y 轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。

三、各象限的角平分线上的点的坐标特点：第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同； 第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。

四、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点：关于x 轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数 关于y 轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数 关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数 五、特殊位置点的特殊坐标：六、用坐标表示平移：见下图平面直角坐标系 同步练习题 一、判断题（1）坐标平面上的点与全体实数一一对应（ ）（2)横坐标为0的点在轴上( )（3）纵坐标小于0的点一定在轴下方（ ）（4）到轴、轴距离相等的点一定满足横坐标等于纵坐标（ ） (5）若直线轴，则上的点横坐标一定相同（ )坐标轴上 点P （x ，y ） 连线平行于 坐标轴的点 点P （x ，y ）在各象限 的坐标特点 象限角平分线上 的点 X 轴 Y 轴 原点平行X 轴平行Y 轴 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 第一、 三象限 第二、四象限 （x ，0）（0,y ）(0,0) 纵坐标相同横坐标不同横坐标相同纵坐标不同x ＞0 y ＞0x ＜0 y ＞0x ＜0 y ＜0x ＞0 y ＜0(m,m ）(m,-m)P （x ，y ）P （x ，y －a ）P （x －a ，y ）P （x ＋a ，y ）P （x ，y ＋a ）向上平移a 个单位向下平移a 个单位向右平移a 个单位向左平移a 个单位(6)若，则点P(）在第二或第三象限（ ）（7)若，则点P （)在轴或第一、三象限（ ）二、选择题1、若点P ()n m ,在第二象限，则点Q ()n m --,在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2、点P 的横坐标是-3，且到x 轴的距离为5，则P 点的坐标是（ ）A. （5，-3）或(—5，—3）B. (—3，5）或（—3，—5) C 。

初二上册数学：第五章知识点一、在平面内，确定物体的位置普通需求两个数据。

二、平面直角坐标系及有关概念1、平面直角坐标系在平面内，两条相互垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。

它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；树立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

2、为了便于描画坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴联系而成的四个局部，区分叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

留意：x轴和y轴上的点〔坐标轴上的点〕，不属于任何一个象限。

3、点的坐标的概念关于平面内恣意一点P，过点P区分x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b区分叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对〔a，b〕叫做点P的坐标。

点的坐标用〔a，b〕表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有〝，〞分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。

平面内点的坐标是有序实数对，事先，〔a，b〕和〔b，a〕是两个不同点的坐标。

平面内点的与有序实数对是逐一对应的。

4、不同位置的点的坐标的特征〔1〕、各象限内点的坐标的特征点P〔x，y〕在第一象限：x；0，y；0点P〔x，y〕在第二象限：x；0，y；0点P〔x，y〕在第三象限：x；0，y；0点P〔x，y〕在第四象限：x；0，y；0〔2〕、坐标轴上的点的特征点P〔x，y〕在x轴上，y=0，x为恣意实数点P〔x，y〕在y轴上，x=0，y为恣意实数点P〔x，y〕既在x轴上，又在y轴上，x，y同时为零，即点P坐标为〔0，0〕即原点〔3〕、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P〔x，y〕在第一、三象限夹角平分线〔直线y=x〕上，x与y相等点P〔x，y〕在第二、四象限夹角平分线上，x与y互为相反数〔4〕、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相反。

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相反。

八年级上册数学第五单元知识点总结
1、相反数
实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，那么有a+b=0，a=-b，反之亦成立。

2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。

零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，假设|a|=a，那么
a≥0;假设|a|=-a，那么a≤0。

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

3、倒数
如果a与b互为倒数，那么有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

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