论文定积分元素法

本科学年论文论文题目：积分在计算物体体积和质量等问题中的应用学生姓名:学号：专业：班级：指导教师:完成日期： 2011年１２月 20 日目录内容摘要ﻩ错误!未定义书签。

关键词......................................................................... 错误!未定义书签。

序言............................................................................. 错误!未定义书签。

一、定积分的微小元素法 ........................................ 错误!未定义书签。

１、内容要点ﻩ错误!未定义书签。

2、曲边梯形的面积计算方法,定积分的定义ﻩ错误!未定义书签。

3、计算面积的元素法步骤:ﻩ错误!未定义书签。

二、空间立体的体积ﻩ错误!未定义书签。

1、平行截面面积为已知的立体体积ﻩ错误!未定义书签。

2、旋转体的体积................................................ 错误!未定义书签。

三、重积分在几何中的应用ﻩ错误!未定义书签。

四、重积分在物理学中的应用ﻩ错误!未定义书签。

１、三重积分的概念ﻩ错误!未定义书签。

2.三重积分的定义.............................................. 错误!未定义书签。

３、三重积分的物理意义:................................ 错误!未定义书签。

４、三重积分的性质.......................................... 错误!未定义书签。

五、质量..................................................................... 错误!未定义书签。

定积分的元素法定积分的元素法一、问题的提出回顾：曲边梯形求面积的问题曲边梯形由连续曲线)(x f y =)0)((≥x f 、x 轴与两条直线a x =、b x =所围成。

面积表示为定积分的步骤如下（1）把区间],[b a 分成n 个长度为i x ?的小区间，相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形，第i 个小窄曲边梯形的面积为i A ?，则∑=?=n i i A A 1 （2）计算i A ?的近似值（3）求和，得A 的近似值（4）求极限，得A 的精确值若用A ? 表示任一小区间],[x x x ?+上的窄曲边梯形的面积，则∑?=A A ，并取dx x f A )(≈?，于是∑≈dx x f A )(ab i i i x f A ?≈?)(ξi i x ?∈ξ.)(1i i n i x f A ?≈∑=ξi i n i x f A ?=∑=→)(lim 10ξλ?=b a dx x f )(∑=dx x f A )(lim.)(?=ba dx x f当所求量U 符合下列条件：（1）U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的量；（2）U 对于区间[]b a ,具有可加性，就是说，如果把区间[]b a ,分成许多部分区间，则U 相应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之和；（3）部分量i U ?的近似值可表示为i i x f ?)(ξ；就可以考虑用定积分来表达这个量U元素法的一般步骤：1) 根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a2）设想把区间],[b a 分成n 个小区间，取其中任一小区间并记为],[dx x x +，求出相应于这小区间的部分量U ?的近似值.如果U ?能近似地表示为],[b a 上的一个连续函数在x 处的值)(x f 与dx 的乘积，就把dx x f )(称为量U 的元素且记作dU ，即dx x f dU )(=；3）以所求量U 的元素dx x f )(为被积表达式，在区间],[b a 上作定积分，得?=ba dx x f U )(，即为所求量U 的积分表达式.这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．§6. 2 定积分在几何上的应用一、平面图形的面积1．直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为dx x f x f S ba ?-=)]()([下上.类似地, 由左右两条曲线x =?左(y )与x =?右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为-=dc dy y y S )]()([左右??.例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积.解 (1)画图.(2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1].(3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上.(4)计算积分31]3132[)(10323102=-=-=?x x dx x x S . 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积.解 (1)画图.(2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4].(3)确定左右曲线: 4)( ,21)(2+==y y y y 右左??. (4)计算积分--+=422)214(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y . 例3 求椭圆12222=+by a x所围成的图形的面积. 解设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以 ?=aydx S 04. 椭圆的参数方程为:x =a cos t , y =b sin t ,于是 ?=a ydx S 04?=02)cos (sin 4πt a td b-=022sin 4πtdt ab ?-=20)2cos 1(2πdt t ab ππab ab =?=22.2．极坐标情形曲边扇形及曲边扇形的面积元素:由曲线ρ=?(θ)及射线θ =α, θ =β围成的图形称为曲边扇形. 曲边扇形的面积元素为θθ?d dS 2)]([21=. 曲边扇形的面积为=βαθθ?d S 2)]([21. 例4. 计算阿基米德螺线ρ=a θ (a >0)上相应于θ从0变到2π 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.解: ?=πθθ202)(21d a S 32203234]31[21πθπa a ==. 例5. 计算心形线ρ=a (1+cos θ ) (a >0) 所围成的图形的面积.解: ?+=πθθ02]cos 1([212d a S ?++=πθθθ02)2cos 21cos 221(d a πθθθπ20223]2sin 41sin 223[a a =++=.二、体积1．旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴.常见的旋转体: 圆柱、圆锥、圆台、球体.旋转体都可以看作是由连续曲线y =f (x )、直线x =a 、a =b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体.设过区间[a , b ]内点x 且垂直于x 轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x ), 当平面左右平移dx 后, 体积的增量近似为?V =π[f (x )]2dx , 于是体积元素为dV = π[f (x )]2dx ,旋转体的体积为dx x f V ba 2)]([π?=.例1 连接坐标原点O 及点P (h , r )的直线、直线x =h 及x 轴围成一个直角三角形. 将它绕x 轴旋转构成一个底半径为r 、高为h 的圆锥体. 计算这圆锥体的体积.解: 直角三角形斜边的直线方程为x hr y =. 所求圆锥体的体积为dx x h r V h 20)(π?=h x h r 0322]31[π=231hr π=. 例2. 计算由椭圆12222=+by a x所成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积. 解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 22x a ab y -= 及x 轴围成的图形绕x 轴旋转而成的立体. 体积元素为dV = π y 2dx ,于是所求旋转椭球体的体积为--=aa dx x a ab V )(2222πa a x x a a b --=]31[3222π234ab π=. 例2 求星形线323232a y x =+)0(>a 绕x 轴旋转构成旋转体的体积. 解：323232x a y -=332322???? ??-=∴x a y ],[a a x -∈旋转体的体积dx x a V a a 33232???? ??-=?-π.105323a π=例3 计算由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱, 直线y =0所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积.解所给图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为=a x dx y V ππ202?-?-=ππ2022)cos 1()cos 1(dt t a t a-+-=ππ20323)cos cos 3cos 31(dt t t t a=5π 2a 3.所给图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差. 设曲线左半边为x =x 1(y )、右半边为x =x 2(y ). 则-=a a y dy y x dy y x V 20212022)()(ππ --?-=πππππ022222sin )sin (sin )sin (tdt a t t a tdt a t t a--=ππ2023sin )sin (tdt t t a =6π 3a 3 .2．平行截面面积为已知的立体的体积设立体在x 轴的投影区间为[a , b ], 过点x 且垂直于x 轴的平面与立体相截, 截面面积为A (x ), 则体积元素为A (x )dx , 立体的体积为dx x A V ba )(?=.例4 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角α. 计算这平面截圆柱所得立体的体积.解: 取这平面与圆柱体的底面的交线为x 轴, 底面上过圆中心、且垂直于x 轴的直线为y 轴. 那么底圆的方程为x 2 +y 2=R 2. 立体中过点x 且垂直于x 轴的截面是一个直角三角形. 两个直角边分别为22x R -及αtan 22x R -. 因而截面积为αtan )(21)(22x R x A -=. 于是所求的立体体积为dx x R V R R αtan )(2122-=?-ααtan 32]31[t an 21332R x x R R R =-=-. 例5. 求以半径为R 的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h 的正劈锥体的体积.解: 取底圆所在的平面为x O y 平面, 圆心为原点, 并使x 轴与正劈锥的顶平行. 底圆的方程为x 2 +y 2=R 2. 过x 轴上的点x (-R <="" 轴的平面,="">. 这截面的面积为22)(x R h y h x A -=?=.于是所求正劈锥体的体积为--=R R dx x R h V 22h R d h R 2202221c o s 2πθθπ==? . 三、平面曲线的弧长设A , B 是曲线弧上的两个端点. 在弧AB 上任取分点A =M 0, M 1, M 2, ? ? ? , M i -1, M i , ? ? ?, M n -1, M n =B , 并依次连接相邻的分点得一内接折线. 当分点的数目无限增加且每个小段M i -1M i 都缩向一点时, 如果此折线的长∑=-ni i i M M 11||的极限存在, 则称此极限为曲线弧AB 的弧长, 并称此曲线弧AB 是可求长的.定理光滑曲线弧是可求长的.1．直角坐标情形设曲线弧由直角坐标方程y =f (x ) (a ≤x ≤b )给出, 其中f (x )在区间[a , b ]上具有一阶连续导数. 现在来计算这曲线弧的长度.取横坐标x 为积分变量, 它的变化区间为[a , b ]. 曲线y =f (x )上相应于[a , b ]上任一小区间[x , x +dx ]的一段弧的长度, 可以用该曲线在点(x , f (x ))处的切线上相应的一小段的长度来近似代替. 而切线上这相应的小段的长度为dx y dy dx 2221)()('+=+,从而得弧长元素(即弧微分)dx y ds 21'+=. 以dx y 21'+为被积表达式, 在闭区间[a , b ]上作定积分, 便得所求的弧长为'+=ba dx y s 21. 在曲率一节中, 我们已经知道弧微分的表达式为dx y ds 21'+=, 这也就是弧长元素. 因此例1. 计算曲线2332x y =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度. 解: 21x y =', 从而弧长元素dx x dx y ds +='+=112.因此, 所求弧长为b a b a x dx x s ])1(32[123+=+=?])1()1[(322323a b +-+=. .2．参数方程情形设曲线弧由参数方程x =?(t )、y =ψ(t ) (α≤t ≤β )给出, 其中?(t )、ψ(t )在[α, β]上具有连续导数.因为)()(t t dx dy ?ψ''=, dx =?'(t )d t , 所以弧长元素为 dt t t dt t t t ds )()()()()(12222ψψ'+'='''+=. 所求弧长为'+'=βαψ?dt t t s )()(22. 例2．计算摆线x =a (θ-sin θ), y =a (1-cos θ)的一拱(0 ≤θ ≤2π )的长度.解: 弧长元素为θθθd a a ds 2222sin )cos 1(+-=θθd a )cos 1(2-=θθd a 2sin 2=.所求弧长为=πθθ202sin 2d a s πθ20]2cos 2[2-=a =8a . 3．极坐标情形设曲线弧由极坐标方程ρ=ρ(θ) (α ≤ θ ≤ β )给出, 其中r (θ)在[α, β]上具有连续导数. 由直角坐标与极坐标的关系可得x =ρ(θ)cos θ , y =ρ(θ)sin θ(α ≤θ ≤ β ).于是得弧长元素为θθθd y x ds )()(22'+'=θθρθρd )()(22'+=.从而所求弧长为'+=βαθθρθρd s )()(22.例14. 求阿基米德螺线ρ=a θ (a >0)相应于θ 从0到2π 一段的弧长.解: 弧长元素为θθθθd a d a a ds 22221+=+=.于是所求弧长为+=πθθ2021d a s )]412ln(412[222ππππ++++=a .。

试论述定积分元素法的思想并举例说明其应用
“元素法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法，在这个方法里充分的体现了积分的思想。

定积分的元素法是在应用定积分的理论来分析和解决一些几何，物理中的问题时，需要将一个量表达成为定积分的分析方法。

定积分在物理上的应用 1、变速直线运动的位移设物体作变速直线运动，其速度为，求物体在时间间隔内的位移
由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量。

的变动区间[a,b]上的改变量(增量)就等于它们各自边际在区间
定积分的元素法是在应用定积分的理论来分析和解决一些几何，物理中的问题时，需要将一个量表达成为定积分的分析方法。

定积分的应用一、几何应用1、平面图形的面积计算面积，可以在平面域上对1使用二重积分2、旋转体的体积问题绕x轴旋转：积分单位是圆柱。

定积分元素法，也称为“积分分离法”，是一种数学方法，用于解决多元一次方程组。

定积分元素法的思想是，对于一个多元一次方程组，首先选取其中一个方程作为“定积分元素方程”，将其中的未知数单独提出来，然后利用其他方程对这个未知数求解。

换句话说，定积分元素法是通过利用其他方程对某一未知数进行“积分”，从而将这一未知数“分离”出来。

定积分元素法的基本步骤是：1 选择一个方程作为“定积分元素方程”，将其中的未知数单独提出来。

2 利用其他方程对所提出的未知数求解。

3 将所求得的结果代入“定积分元素方程”，求解其他未知数。

4 重复以上步骤，直到所有未知数都被求解出来。

定积分元素法的思想是将多元一次方程组分解为若干个单元素方程，通过对这些单元素方程进行求解，最终得到多元一次方程组的解。

它的优点在于可以清晰地表示出各个未知数的关系，方便求解。

另外，定积分元素法还具有较高的通用性，可以应用于解决不同类型的多元一次方程组。

定积分元素法的应用广泛，在工程、物理、化学等领域都有广泛的应用。

在工程领域，它可以用来解决各种结构的力学问题；在物理领域，它可以用来求解物理模型的参数；在化学领域，它可以用来解决各种反应平衡问题等。

尽管定积分元素法具有许多优点，但它也存在一些局限性。

例如，在解决某些特殊的多元一次方程组时，可能会出现无解或多解的情况，此时定积分元素法就不适用。

另外，定积分元素法的求解过程较为复杂，需要对方程的结构和性质有较深的了解。

总之，定积分元素法是一种有效的、通用的方法，可以帮助我们解决多元一次方程组。

但是，在使用时需要注意它的局限性，并适当运用其他方法来解决复杂的问题。

2012 届学士学位论文定积分的元素法及其应用系别:数学系专业:数学与应用数学学号:姓名: _指导教师:指导教师职称:定积分的元素法及其应用摘要合理选取积分元素是运用定积分元素法解决具体问题的关键. 理解了积分元素的本质,就会避免实际应用中的随意性和盲目性,达到正确有效地选取积分元素的目的.积分元素，也称微元或元素，是定积分“化曲为直，以直代曲”思想的具体表现，是定积分应用中所谓“元素法”的核心的精华所在。

寻求积分元素问题是用定积分解决实际问题的关键一步。

定积分是微积分中的重要内容，而定积分元素法经常被用在解决许多实际问题，如利用定积分元素法去求解几何、物理甚至是经济方面的问题。

在数学分析中，我们经常用定积分的元素法求旋转体体积，利用定积分元素法求解第一、二型曲面积分，被积函数是单变量函数或可化为单变量函数的函数，利用积分元素法，能将其直接化为定积分计算，这种简单的算法还可以推广到计算具有类似特征的三重积分。

关键词：定积分，元素法，简单应用，微分Element method of definite integral and its applicationAbstract: Reasonable selection of integral element is the use of the definite integral element method to solve specific problems . The key to understand the essence of integral element, can avoid the practical application of the randomness and blindness, to properly select the integral element. Element of the integral, also known as the element or elements, is the definite integral" for straight and curly, straight generation of song " of the thought specific performance, is the application of definite integral in the so-called" element " of the core essence. Seeking integral element is integral to solve practical problems with the key step. A definite integral is an important content in the calculus, and definite integral element method is used to solve many practical problems, such as the use of the definite integral element method to solving geometric, physical and economic aspects. In mathematical analysis, we often use element method of definite integral calculating the volume of rotating object, using the definite integral element method for solving the first, the two type of integral, the integrand is a function of a single variable or as a function of a single variable function, using the integral element method, can be directly into definite integral calculation, this simple algorithm can also be extended to calculate with similar characteristics of three triple integral.Key words:Definite integra , Element method , A simple application , Differential目录一、元素法及其例题和积分元素的本质 (5)1.1 元素法及其例题 (5)1.2 积分元素的本质 (7)二、应用定积分元素法求旋转体体积 (8)三、利用元素法简化第一型曲面积分的计算 (13)四、用元素法把二重积分直接化为单积分命题及其典型例题 (15)1.1用元素法把二重积分直接化为单积分命题 (15)1.2典型例题 (16)参考文献 (18)致谢 (18)一． 元素法及其例题和积分元素的本质 1.1 元素法及其例题严格地说，用定积分解决实际问题都应当经过“分割”，“近似”，“求和”，“取极限”四个步骤。

应用定积分元素法求旋转体体积**旋转体体积的计算：应用定积分元素法**
空间几何学中，球体、圆柱体和圆台是一些典型的旋转体，用于描述真实世界
普遍存在的物体形状。

由于它们的复杂结构，引申出计算它们体积的怎么办这一问题，而此问题的解决很容易使用定积分元素法求解。

定积分元素法是指将要计算的物体抽象为几何形状的离散形式，根据抽象出的
形式和数学关系，使用定积分的方法对对应的体积元素依次求和。

具体实现方式是，将旋转体切分为一定空间形状上等份的微元，将投影到某一轴上（以圆柱体为例，一般选择z轴）为圆形，求其面积。

然后，选择合适的极坐标系，计算每个微元的体积 elementDV，它的表达式如下：
elementDV= (∂θ/∂φ)*(∂z/∂θ)*(φ dθ dz)
最后，将所有单元面积求和即可求出旋转体的体积：
V=∑elementDV
总结来说，计算旋转体体积的定积分元素法的基本思路是，将旋转体切分为一
定空间形状上等份的微元，将投影到某一轴上为圆形，求出其体积元素，最后它们依次求和。

这种方式能够尽可能地准确简单地计算出旋转体的体积，已经得到了广泛的应用。