2016届高考数学复习 第六章 第一节 数列的概念及简单表示法 理(全国通用)

第六章数列第一节数列的概念与简单表示双流艺体李林学习目标1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.3.由a n与S n的关系求a n4.由递推关系求通项公式评价任务：自主完成活动一，检测目标1自主完成活动二，检测目标1，2自主完成活动三，检测目标35年高考统计1.20xx·全国卷Ⅰ(理)·T14(a n与S n的关系2.20xx·全国卷Ⅰ(理)·T17(递推、通项、求和)活动一：根底知识梳理1．数列的概念(1)数列的定义：按照排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．(3)数列有三种表示法，它们分别是_______、______和_______法．2．数列的分类(1)按照项数有限和无限分：(2)按单调性来分：3．数列的两种常用的表示方法(1)通项公式：如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)递推公式：如果数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．活动二 根底自测1．(必修5P 33A 组T 4改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53C.85D.232．(必修5P 67A 组T 2改编)数列{a n }的前几项为12，3，112，8，212，…，则此数列的通项可能是( )A ．a n ＝5n －42B ．a n ＝3n －22C ．a n ＝6n －52D ．a n ＝10n －923．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2中，0.08是它的第________项．4．在数列{a n }中，a n ＝－n 2＋6n ＋7，当其前n 项和S n 取最大值时，n ＝________.活动三 互动探究考点一 由a n 与S n 的关系求通项a n[例1] (1)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝13a n ＋23，则{a n }的通项公式a n ＝________.(3)数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，则a n ＝________.变式练习1：1．数列{a n}的前n项和S n＝3n＋1，则a n＝________.2．(20xx·全国卷Ⅰ改编)记S n为数列{a n}的前n项和．假设S n＝2a n＋1，则a n＝________.小结：1．S n求a n的3个步骤2．S n与a n关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．(1)利用a n＝S n－S n－1(n≥2)转化为只含S n，S n－1的关系式，再求解．(2)利用S n－S n－1＝a n(n≥2)转化为只含a n，a n－1的关系式，再求解．考点二由数列的递推关系求通项公式[例2]设数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋n＋1，则a n＝________.(变条件)假设将“a n＋1＝a n＋n＋1〞改为“a n＋1＝nn＋1a n〞，如何求解？.(变条件)假设将“a n＋1＝a n＋n＋1〞改为“a n＋1＝2a n＋3〞，如何求解？小结：(1)累加法(2)累乘法变式练习2：1．数列{a n}中，a1＝1中，a n＋1＝a n＋n(n∈N*)中，则a4＝________，a n＝________.2．设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则通项公式a n ＝________.3．在数列{a n }中，a 1＝3，且点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，则数列{a n }的通项公式为________．考点三 数列的性质及应用考向(一) 数列的周期性[例3－1] (多项选择)数列{a n }满足a n ＋1＝1－1a n (n ∈N *)，且a 1＝2，则( )A ．a 3＝－1B ．a 2 019＝12C ．S 6＝3D ．2S 2 019＝2 019小结：解决数列周期性问题的方法考向(二) 数列的单调性(最值)[例3－2] 等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且a n ＝2n ＋λ，假设数列{S n }(n ≥7，n ∈N *)为递增数列，则实数λ的取值范围为________．小结：解决数列的单调性问题的3种方法 作差比拟法 作商比拟法 数形结合法变式练习3：1．假设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，则a 2 020的值为( )A ．2B ．－3C ．－12 D.132．假设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{na n }中数值最小的项是( )A ．第2项B ．第3项C ．第4项D ．第5项活动四 课后训练案1．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －3B ．a n ＝2n ＋3C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ＋3，n ≥22．(20xx·福建四联考)假设数列的前4项分别是12，－13，14，－15，则此数列的一个通项公式为( )A.(－1)n ＋1n ＋1 B.(－1)n n ＋1 C.(－1)n n D.(－1)n －1n3．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38 4．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 020等于( ) A ．1 B ．0 C ．2 017 D ．－2 017 5．数列32，54，76，9m －n ，m ＋n 10，…，根据前3项给出的规律，实数对(m ，n )为________．6．(20xx·衡阳四联考)数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝4a n ＋3. (1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{a n }的通项公式； (2)证明：a n ＋1＋1a n ＋1＝4.。

第一节 数列的概念及简单表示法A 组 专项基础测试 三年模拟精选一、选择题1．(2015·玉溪一中模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n （n 为正奇数），a n ＋1（n 为正偶数），则其前6项之和是( ) A ．16B ．20C ．33D ．120解析 a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，∴S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33. 答案 C2．(2015·天津南开中学月考)下列可作为数列{a n }：1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是( ) A ．a n ＝1B ．a n ＝（－1）n＋12C ．a n ＝2－|sinn π2|D ．a n ＝（－1）n －1＋32解析 A 项显然不成立；n ＝1时，a 1＝－1＋12＝0，故B 项不正确；n ＝2时，a 2＝（－1）2－1＋32＝1，故D 项不正确．由a n ＝2－|sin n π2|可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，…，故选C.答案 C3．(2014·济南外国语学校模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于( )A ．44B ．3×44＋1 C ．3×44D ．44＋1解析 由a n ＋1＝3S n (n ≥1)得a n ＋2＝3S n ＋1，两式相减得a n ＋2－a n ＋1＝3a n ＋1， ∴a n ＋2＝4a n ＋1，即a n ＋2a n ＋1＝4，a 2＝3S 1＝3，∴a 6＝a 244＝3×44.答案 C4．(2014·北大附中模拟)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 013的值是( ) A ．8B ．6C ．4D ．2解析 a 1a 2＝2×7＝14，∴a 3＝4，4×7＝28，∴a 4＝8，4×8＝32，∴a 5＝2，2×8＝16，∴a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2，∴从第三项起，a n 的值成周期排列，周期数为6，2 013＝335×6＋3，∴a 2 013＝a 3＝4. 答案 C5．(2013·潍坊模拟)已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }的各项排列成如下的三角形状，记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (10，12)＝( )a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1393B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1392C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1394D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13112解析 前9行共有1＋3＋5＋…＋17＝（1＋17）×92＝81(项)，∴A (10，12)为数列中的第81＋12＝93(项)，∴a 93＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1393. 答案 A 二、填空题6．(2014·山东聊城二模)如图所示是一个类似杨辉三角的数阵，则第n (n ≥2)行的第2个数为________．1 3 3 5 6 5 7 11 11 7 9 18 22 18 9……解析 每行的第2个数构成一个数列{a n }，由题意知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝11，a 5＝18，所以 a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5－a 4＝7，…，a n －a n －1＝2(n －1)－1＝2n －3，由累加法得a n －a 2＝[（2n －3）＋3]×（n －2）2＝n 2－2n ，所以a n ＝n 2－2n ＋a 2＝n 2－2n ＋3(n ≥2)．答案 n 2－2n ＋3一年创新演练7．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝15，且对任意正整数m ，n ，都有a m ＋n ＝a m a n ，若S n <t恒成立，则实数t 的最小值为________． 解析 令m ＝1，则a n ＋1a n＝a 1， ∴{a n }是以a 1为首项，15为公比的等比数列．∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15n. ∴S n ＝15－⎝ ⎛⎭⎪⎫15n ＋11－15＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－15n ＝14－14·5n <14.由S n <t 恒成立，∴t >S n 的最大值，可知t ＝14.答案 148．我们可以利用数列{a n }的递推公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数时，a n 2，n 为偶数时(n ∈N *)，求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a 24＋a 25＝________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项． 解析 a 24＋a 25＝a 12＋25＝a 6＋25＝a 3＋25＝3＋25＝ 28.5＝a 5＝a 10＝a 20＝a 40＝a 80＝a 160＝a 320＝a 640. 答案 28 640B 组 专项提升测试 三年模拟精选一、选择题9．(2015·广东佛山一模)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋sin2n π2a n ＋4cos2n π2，则a 9，a 10的大小关系为( )A ．a 9>a 10B ．a 9＝a 10C ．a 9<a 10D ．大小关系不确定解析 n 为奇数时，a 3＝2a 1＝2，a 5＝2a 3＝22，a 7＝2a 5＝23，a 9＝2a 7＝24；n 为偶数时，a 4＝a 2＋4＝5，a 6＝a 4＋4＝9，a 8＝a 6＋4＝13，a 10＝a 8＋4＝17.所以a 9<a 10.故选C. 答案 C 二、填空题10．(2015·合肥模拟)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12<a n<1，a 1＝35，则数列的第2 013项为________．解析 ∵a 1＝35，∴a 2＝2a 1－1＝15.∴a 3＝2a 2＝25.∴a 4＝2a 3＝45，a 5＝2a 4－1＝35，a 6＝2a 5－1＝15，…，∴该数列的周期T ＝4.∴a 2 013＝a 1＝35.答案 3511．(2014·温州质检)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫78n，则当a n 取得最大值时，n 等于________．解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ≥（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n －1，（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ≥（n ＋3）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5.∴n ＝5或6.答案 5或612．(2014·天津新华中学模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a nn≤2的正整数n 的集合为________．解析 因为S n ＝2a n －1， 所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1， 整理得a n ＝2a n －1，所以{a n }是公比为2的等比数列． 又因为a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1， 故a n ＝2n －1，而a n n≤2，即2n －1≤2n ，所以有n ∈{1，2，3，4}． 答案 {1，2，3，4}13．(2013·江苏期末调研)对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的差数列．若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析 由已知a n ＋1－a n ＝2n ，a 1＝2得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…，a n －a n －1＝2n －1，由累加法得a n ＝2＋2＋22＋…＋2n －1＝2n，从而S n ＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2.答案 2n ＋1－2三、解答题14．(2014·青岛一中模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值． 解 (1)当n ≥2时，由题可得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n .①a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，②②－①得na n ＝n ＋12a n ＋1－n2a n ，即(n ＋1)a n ＋1＝3na n ，（n ＋1）a n ＋1na n＝3，∴{na n }是以2a 2＝2为首项，3为公比的等比数列(n ≥2)， ∴na n ＝2·3n －2，∴a n ＝2n·3n －2(n ≥2)，∵a 1＝1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n·3n －2，n ≥2. (2)a n ≤(n ＋1)λ⇔λ≥a n n ＋1，由(1)可知当n ≥2时，a nn ＋1＝2·3n －2n （n ＋1），设f (n )＝n （n ＋1）2·3n(n ≥2，n ∈N *)，a nn ＋1＝132·1f （n ）， 则f (n ＋1)－f (n )＝2（n ＋1）（1－n ）2·3n ＋1<0， ∴1f （n ＋1）>1f （n ）(n ≥2)，又132·1f （2）＝13及a 12＝12， ∴所求实数λ的最小值为13.一年创新演练15．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，∴5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.。

第1讲 数列的概念及简单表示法最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类函数．知 识 梳 理1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．(×)(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(√) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(×)(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＝S n －S n －1.(×) 2．(2014·保定调研)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式为a n ＝( )A ．2n －1B ．2n －1＋1C ．2n －1D ．2(n －1)解析 法一 由a n ＋1＝2a n ＋1，可求a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，…，验证可知a n ＝2n －1.法二 由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1. 答案 A3．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64解析 当n ＝8时，a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15. 答案 A4．(2014·新课标全国Ⅱ卷)数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________．解析 由a n ＋1＝11－a n ，得a n ＝1－1a n ＋1，∵a 8＝2，∴a 7＝1－12＝12，a 6＝1－1a 7＝－1，a 5＝1－1a 6＝2，…，∴{a n }是以3为周期的数列，∴a 1＝a 7＝12.答案 125．(人教A 必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________．答案 5n －4考点一 由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5，55，555，5 555，….解 (1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n ，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．故所求数列的一个通项公式为a n ＝2n（2n －1）（2n ＋1）.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22.(4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n －1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1)．规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．【训练1】 (1)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝________．(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝________．解析 (1)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶然项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n 1n （n ＋1）.(2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.答案 (1)(－1)n1n （n ＋1） (2)2n ＋1n 2＋1考点二 利用S n 与a n 的关系求通项【例2】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *. (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)令n ＝1时，T 1＝2S 1－1， ∵T 1＝S 1＝a 1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. (2)n ≥2时，T n －1＝2S n －1－(n －1)2， 则S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2] ＝2(S n －S n －1)－2n ＋1＝2a n －2n ＋1. 因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式， 所以S n ＝2a n －2n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，所以a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)，所以a n ＋2＝2(a n －1＋2)， 因为a 1＋2＝3≠0，所以数列{a n ＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列． 所以a n ＋2＝3×2n －1，∴a n ＝3×2n －1－2，当n ＝1时也成立， 所以a n ＝3×2n －1－2.规律方法 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．【训练2】 (1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1 (2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________． 解析 (1)∵S n ＝2a n ＋1， ∴当n ≥2时，S n －1＝2a n ， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n (n ≥2)， 即a n ＋1a n ＝32(n ≥2)， 又a 2＝12，∴a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1≠12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝13，∴a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2，∴S n ＝2a n ＋1＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5. 显然当n ＝1时，不满足上式， 故数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.答案 (1)B (2)a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝16n －5，n ≥2考点三 由递推关系求通项 【例3】 在数列{a n }中，(1)若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________； (2)若a 1＝1，S n ＝n ＋23a n ，则通项a n ＝________．深度思考 本题中a n ＋1－a n ＝n ＋1与a n ＋1a n ＝n ＋1n 中的n ＋1与n ＋1n 不是同一常数，由此想到推导等差、等比数列通项的方法：累加法与累乘法． 解析 (1)由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋（n －1）（2＋n ）2＝n （n ＋1）2＋1.又a 1＝2＝1×（1＋1）2＋1，符合上式，因此a n＝n （n ＋1）2＋1. (2)由题设知，a 1＝1.当n ＞1时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1， ∴a n a n －1＝n ＋1n －1， ∴a n a n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53，a 3a 2＝42，a 2a 1＝3. 以上n －1个式子的等号两端分别相乘，得到a n a 1＝n （n ＋1）2，又∵a 1＝1，∴a n＝n （n ＋1）2. 答案 (1)n （n ＋1）2＋1 (2)n （n ＋1）2规律方法 已知递推关系式求通项，一般用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．【训练3】 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则它的一个通项公式为a n ＝________．(2)设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1，2，3，…)，则它的通项公式a n ＝________．解析 (1)a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3， 法一 a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3.将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n. 因为a 1＝1，所以a n ＋1＋11＋1＝3n，即a n ＋1＝2×3n －1(n ≥1)，所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故a n ＝2×3n －1－1. 法二 由a n ＋1＋1a n ＋1＝3， 即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，当n ≥2时，a n ＋1＝3(a n －1＋1)，∴a n ＋1＝3(a n －1＋1)＝32(a n －2＋1)＝33(a n －3＋1)＝… ＝3n －1(a 1＋1)＝2×3n －1， ∴a n ＝2×3n －1－1；当n ＝1时，a 1＝1＝2×31－1－1也满足．∴a n ＝2×3n －1－1. 法三 由a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，所以a n ＋1＝2×3n －1，即a n ＝2×3n －1－1.(2)∵(n ＋1)a 2n ＋1＋a n ＋1·a n －na 2n ＝0，∴(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0， 又a n ＋1＋a n ＞0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， 即a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12×23×34×45×…×n －1n ，∴a n ＝1n. 答案 (1)2×3n －1－1 (2)1n 微型专题 数列问题中的函数思想数列的单调性问题作为高考考查的一个难点，掌握其处理的方法非常关键，由于数列可看作关于n 的函数，所以可借助函数单调性的处理方法来解决．常见的处理方法如下：一是利用作差法比较a n ＋1与a n 的大小；二是借助常见函数的图象判断数列单调性；三是利用导函数． 【例4】 数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．(2)对于n ∈N *，都有a n ＋1＞a n .求实数k 的取值范围．点拨 (1)求使a n ＜0的n 值；从二次函数看a n 的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f (n )＝n 2＋kn ＋4.f (n )在N *上单调递增，可利用二次函数的对称轴研究单调性，但应注意数列通项中n 的取值． 解 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.∵n ∈N *，∴n ＝2，3.∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. (2)由a n ＋1＞a n 知该数列是一个递增数列， 又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *， 所以－k 2＜32，即得k ＞－3.点评 (1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N *上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k 的取值范围，使问题得到解决．(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取．(3)易错分析：本题易错答案为k ＞－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.[思想方法]1．由数列的前几项求数列通项，通常用观察法(对于交错数列一般有(－1)n 或(－1)n ＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法． 2．强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）.3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有两种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加或累乘法求数列的通项公式． [易错防范]1．数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列a n ＝f (n )和函数y ＝f (x )的单调性是不同的． 2．数列的通项公式不一定唯一．3．在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形．基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是a n 等于 ( )A.（－1）n ＋12B ．cos n π2C ．cos n ＋12πD ．cos n ＋22π解析 令n ＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确． 答案 D2．(2014·开封摸底考试)数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析 依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4. 答案 D3．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于 ( ) A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1解析 当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1， ∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列． 又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2. ∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44. 答案 A4．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( )A.163B.133C ．4D ．0解析 ∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0. 答案 D5．(2014·东北三校联考)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)，则“λ＜1”是“数列{a n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 若数列{a n }为递增数列，则有a n ＋1－a n ＞0，即2n ＋1＞2λ对任意的n ∈N *都成立，于是有3＞2λ，λ＜32.由λ＜1可推得λ＜32，但反过来，由λ＜32不能得到λ＜1，因此“λ＜1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件，故选A. 答案 A二、填空题6．(2015·大连双基测试)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________．解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.答案 ⎩⎨⎧4，n ＝12n ＋1，n ≥27．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________．解析 由题意知：a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －12(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝6116. 答案 61168．数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则a 7＝________． 解析 由已知a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a 1＝1，a 2＝2，能够计算出a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1.答案 1三、解答题9．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)． (1)若a ＝－7，求数列{a n }的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求实数a 的取值范围．解 (1)因为a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)， 又a ＝－7，所以a n ＝1＋12n －9. 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性， 可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4，a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N *)．所以数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a 2. 因为对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性， 所以5＜2－a 2＜6，解得－10＜a ＜－8.故实数a 的取值范围是(－10，－8)．10．(2015·陕西五校模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －p ，其中p 是不为零的常数．(1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)当p ＝3时，数列{b n }满足b n ＋1＝b n ＋a n (n ∈N *)，b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．(1)证明 因为S n ＝4a n －p ，所以S n －1＝4a n －1－p (n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n a n －1＝43. 由S n ＝4a n －p ，令n ＝1，得a 1＝4a 1－p ，解得a 1＝p 3.所以{a n }是首项为p 3，公比为43的等比数列．(2)解 当p ＝3时，由(1)知，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1， 由b n ＋1＝b n ＋a n ，得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1， 当n ≥2时，可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1，当n ＝1时，上式也成立．∴数列{b n }的通项公式为b n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1. 能力提升题组(建议用时：25分钟)11．数列{a n }的通项a n ＝n n 2＋90，则数列{a n }中的最大项是 ( ) A ．310B ．19 C.119 D.1060解析 因为a n ＝1n ＋90n ，运用基本不等式得，1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或10时，a n ＝119最大．答案 C12．(2015·大庆质量检测)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( ) A ．a 2 014＝－1，S 2 014＝2B ．a 2 014＝－3，S 2 014＝5C ．a 2 014＝－3，S 2 014＝2D ．a 2 014＝－1，S 2 014＝5 解析 由a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，知a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a n ＋2＝－a n －1(n ≥2)，a n ＋3＝－a n ，…，a n ＋6＝a n ，又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝2，a 4＝－1，a 5＝－3，a 6＝－2，所以当k ∈N 时，a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋3＋a k ＋4＋a k ＋5＋a k ＋6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，所以a 2 014＝a 4＝－1，S 2 014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋3＋2＋(－1)＝5. 答案 D13．(2014·山西四校联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝________．解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －n －2a n －1＋(n －1)，即a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.答案 2n －114．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *.(1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，又S 1－31＝a －3(a ≠3)，故数列{S n －3n }是首项为a －3，公比为2的等比数列， 因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，当n ＝1时，a 1＝a 不适合上式，故a n ＝⎩⎨⎧a ，n ＝1，2×3n －1＋（a －3）2n －2，n ≥2.a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3， 当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇔12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0⇔a ≥－9. 又a 2＝a 1＋3>a 1.综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞).第2讲 等差数列及其前n 项和最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．知 识 梳 理1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)．2．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ． 通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)．(2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d (其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项)．3．等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．(5)S 2n －1＝(2n －1)a n .(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd 2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．4．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．5．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(√)(3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．(√)(4)数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝n ，则数列{a n }是等差数列．(×)2．(2014·福建卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )A ．8B ．10C ．12D ．14解析 由题知3a 1＋3×22d ＝12，∵a 1＝2，解得d ＝2，又a 6＝a 1＋5d ，∴a 6＝12.故选C.答案 C3．(2013·新课标全国Ⅰ卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析 ∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列． ∴S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0， 解得m ＝5，经检验为原方程的解，故选C.答案 C4．(2014·北京卷)若等差数列{a n}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{a n}的前n项和最大．解析因为数列{a n}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.∴当n＝8时，其前n项和最大．答案85．(人教A必修5P68A8改编)在等差数列{a n}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________．解析由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.答案180考点一等差数列的性质及基本量的求解【例1】(1)设S n为等差数列{a n}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝() A．－6 B．－4 C．－2 D．2解析法一(常规解法)：设公差为d，则8a1＋28d＝4a1＋8d，即a1＝－5d，a7＝a1＋6d＝－5d＋6d＝d＝－2，所以a9＝a7＋2d＝－6.法二(结合性质求解)：根据等差数列的定义和性质可得，S8＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.答案 A(2)(2014·浙江卷)已知等差数列{a n}的公差d＞0.设{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S2·S3＝36.①求d及S n；②求m，k(m，k∈N*)的值，使得a m＋a m＋1＋a m＋2＋…＋a m＋k＝65.解①由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，将a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.因为d＞0，所以d＝2.从而a n＝2n－1，S n＝n2(n∈N*)．②由①得a m＋a m＋1＋a m＋2＋…＋a m＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1＞1，故⎩⎨⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5， 所以⎩⎨⎧m ＝5，k ＝4.规律方法 (1)一般地，运用等差数列性质，可以化繁为简、优化解题过程．但要注意性质运用的条件，如m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)，只有当序号之和相等、项数相同时才成立．(2)在求解等差数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．【训练1】 (1)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( )A ．0B ．37C ．100D ．－37(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )A ．13B ．12C ．11D ．10(3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________． 解析 (1)设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100.(2)因为a 1＋a 2＋a 3＝34，a n －2＋a n －1＋a n ＝146，a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180，又因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，所以3(a 1＋a n )＝180，从而a 1＋a n ＝60，所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n ·602＝390，即n ＝13. (3)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20，∴40＝10＋S 30－30，∴S 30＝60.答案 (1)C (2)A (3)60考点二 等差数列的判定与证明【例2】 (2014·梅州调研改编)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n－1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2， 又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)可得1S n＝2n ，∴S n ＝12n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）. 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.规律方法 证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)；二是等差中项法，证明2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．【训练2】 (2015·西安模拟)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝S n n ＋c，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d ＞0，由等差数列的性质，得a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝22，所以a 3，a 4是关于x 的方程x 2－22x ＋117＝0的解，所以a 3＝9，a 4＝13，易知a 1＝1，d ＝4，故通项为a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.(2)由(1)知S n ＝n （1＋4n －3）2＝2n 2－n ，所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c. 法一 所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c(c ≠0)． 令2b 2＝b 1＋b 3，解得c ＝－12. 当c ＝－12时，b n ＝2n 2－n n －12＝2n ，当n ≥2时，b n －b n －1＝2.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．法二 由b n ＝S n n ＋c ＝n （1＋4n －3）2n ＋c ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c， ∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n .∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)，∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列．考点三 等差数列前n 项和的最值问题【例3】 等差数列{a n }的首项a 1＞0，设其前n 项和为S n ，且S 5＝S 12，则当n 为何值时，S n 有最大值？深度思考 解决此类问题你首先想到的是哪种方法？在这里提醒大家：本题可用四种方法，请大家先思考．解 法一 由题意知d ＜0，因为S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ， 则可设f (x )＝d 2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x ，如图：由S 5＝S 12知，抛物线的对称轴为x ＝5＋122＝172， 由图可知，当1≤n ≤8时，S n 单调递增； 当n ≥9时，S n 单调递减．又n ∈N *，所以当n ＝8或9时，S n 最大．法二 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝S 12得5a 1＋10d ＝12a 1＋66d ， d ＝－18a 1＜0.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝na 1＋n （n －1）2·(－18a 1) ＝－116a 1(n 2－17n )＝－116a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1722＋28964a 1，因为a 1＞0，n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值． 法三 设等差数列{a n }的公差为d ，由法二得d ＝－18a 1＜0. 设此数列的前n 项和最大，则⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋（n －1）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a 1≥0，a n ＋1＝a 1＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a 1≤0，解得⎩⎨⎧n ≤9，n ≥8，即8≤n ≤9，又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值． 法四 同法二得d ＝－18a 1＜0，又S 5＝S 12，得a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝0， ∴7a 9＝0，∴a 9＝0，∴当n ＝8或9时，S n 有最大值．规律方法 求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值．【训练3】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8(2)(2014·望江中学模拟)设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．5或6 D ．11(3)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________．解析 (1)依题意得2a 6＝4，2a 7＝－2，a 6＝2＞0，a 7＝－1＜0；又数列{a n }是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当S n 取最大值时，n ＝6，选B.(2)由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大，选C.(3)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，代入求和公式得， S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝20n －n （n －1）2×2＝－n 2＋21n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2122，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110. 答案 (1)B (2)C (3)110[思想方法]1．判断数列为等差数列的方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列．2．方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．3．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a ，a ＋d ，a ＋2d ；(2)a －d ，a ，a ＋d ；(3)a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等，可视具体情况而定． [易错防范]1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数，当公差d ＝0时，a n 为常数．2．公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列． 3．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件．若对称轴取不到，需考虑最接近对称轴的自变量n (n 为正整数)；若对称轴对应两个正整数的中间，此时应有两个符合题意的n 值．基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·温州二模)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 33－S 22＝1，则其公差d ＝( )A.12B ．2C ．3D ．4解析 由S 33－S 22＝1，得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝1，即a 1＋d －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋d 2＝1，∴d ＝2.答案 B2．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝ ( )A ．2B ．－2C.12D ．－12解析 由题意知S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以S 22＝S 1·S 4，即(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12，故选D. 答案 D3．(2015·石家庄模拟)已知等差数列{a n }，且3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48，则数列{a n }的前13项之和为( )A ．24B ．39C ．104D ．52解析 因为{a n }是等差数列，所以3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝6a 4＋6a 10＝48，所以a 4＋a 10＝8，其前13项的和为13（a 1＋a 13）2＝13（a 4＋a 10）2＝13×82＝52，故选D. 答案 D4．(2015·广州综合测试)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，公差d ≠0，若S 11＝132，a 3＋a k ＝24，则正整数k 的值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析 依题意得S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11a 6＝132，a 6＝12，于是有a 3＋a k ＝24＝2a 6，因此3＋k ＝2×6＝12，k ＝9，故选A. 答案 A5．(2014·武汉调研)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( )A ．7B ．8C ．7或8D ．8或9解析 由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－ 57(n －1)＝40－5n 7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或8，故选C. 答案 C 二、填空题6．(2014·肇庆二模)在等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________．解析 a 25－a 15＝10d ＝66－33＝33，∴a 35＝a 25＋10d ＝66＋33＝99. 答案 997．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________． 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝6a 1＋6×52d ，a 1＋3d ＝1，解得⎩⎨⎧a 1＝7，d ＝－2，∴a 5＝a 4＋d ＝1＋(－2)＝－1.答案 －18．已知等差数列{a n }中，S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝________． 解析 ∵{a n }为等差数列，∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列， ∴2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6 ＝2(S 6－S 3)－S 3 ＝2(36－9)－9＝45. 答案 45 三、解答题9．(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． (1)证明 由题设知，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1. 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)解 由题设知，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1.令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得 {a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 015＝0. (1)求S n 的最小值及此时n 的值； (2)求n 的取值集合，使a n ≥S n . 解 (1)设公差为d ，则由S 2 015＝0⇒ 2 015a 1＋2 015×2 0142d ＝0⇒a 1＋1 007d ＝0，d ＝－11 007a 1，a 1＋a n ＝2 015－n 1 007a 1，∴S n ＝n 2(a 1＋a n )＝n 2·2 015－n 1 007a 1＝a 12 014(2 015n －n 2)． ∵a 1<0，n ∈N *，∴当n ＝1 007或1 008时，S n 取最小值504a 1. (2)a n ＝1 008－n1 007a 1，S n ≤a n ⇔a 12 014(2 015n －n 2)≤1 008－n 1 007a 1. ∵a 1<0，∴n 2－2 017n ＋2 016≤0， 即(n －1)(n －2 016)≤0，解得1≤n ≤2 016. 故所求n 的取值集合为{n |1≤n ≤2 016，n ∈N *}．能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．(2015·东北三省四市联考)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为 ( ) A.53B.103C.56D.116解析 依题意，设这100份面包所分成的五份由小到大依次为a －2m ，a －m ，a ，a ＋m ，a ＋2m ，则有⎩⎨⎧5a ＝100，a ＋（a ＋m ）＋（a ＋2m ）＝7（a －2m ＋a －m ），解得a ＝20，m ＝11a 24，a －2m ＝a 12＝53，即其中最小一份为53，故选A.答案 A12．(2014·杭州质量检测)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则( )A ．S n 的最大值是S 8B ．S n 的最小值是S 8C ．S n 的最大值是S 7D ．S n 的最小值是S 7解析 由条件得S n n ＜S n ＋1n ＋1，即n （a 1＋a n ）2n ＜（n ＋1）（a 1＋a n ＋1）2（n ＋1），所以a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }为递增数列．又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，即数列{a n }前7项均小于0，第8项大于零，所以S n 的最小值为S 7，故选D. 答案 D13．(2014·陕西卷)已知f (x )＝x1＋x ，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N *，则f 2 014(x )的表达式为________． 解析 由已知易知f n (x )＞0， ∵f n ＋1(x )＝f (f n (x ))＝f n （x ）1＋f n （x ），∴1f n ＋1（x ）＝1＋f n （x ）f n （x ）＝1f n （x ）＋1⇒1f n ＋1（x ）－1f n （x ）＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1f n （x ）是以1f 1（x ）＝1＋x x 为首项，1为公差的等差数列．∴1f n （x ）＝1＋x x ＋(n －1)×1＝1＋nx x ， ∴f n (x )＝x 1＋nx ，∴f 2 014(x )＝x1＋2 014x .答案 x1＋2 014x14．已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S nn ，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n . 解 (1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2， 所以S k ＝ka 1＋k （k －1）2·d ＝2k ＋k （k －1）2×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)由(1)得S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)，则b n＝S nn ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以T n ＝n （2＋n ＋1）2＝n （n ＋3）2.第3讲 等比数列及其前n 项和最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n 项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系．知 识 梳 理1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示．数学语言表达式：a n a n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数)，或a n ＋1a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数)．2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q.3．等比数列及前n 项和的性质(1)如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab .(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n ． (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m ．(4)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ．诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．(×) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .(×)(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a （1－a n ）1－a.(×)(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．(×) 2．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10等于( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7解析 法一 由题意得⎩⎨⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，∴⎩⎨⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 法二 由⎩⎨⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎨⎧a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎨⎧a 4＝4，a 7＝－2.∴⎩⎨⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 答案 D3．(2014·大纲全国卷)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64解析 由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C. 答案 C4．(2014·广东卷)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则lna 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．解析 由等比数列的性质可知，a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，所以a 10·a 11＝e 5，于是 ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝10ln(a 10·a 11)＝10ln e 5＝50. 答案 505．(人教A 必修5P54A8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 答案 27，81考点一 等比数列中基本量的求解【例1】 (1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.152 B.314 C.334 D.172(2)在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝16，则a n ＝________．(3)在等比数列{a n }中，a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，则n ＝________．解析(1)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎨⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1（1－q 3）1－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝314. (2)由a 7a 4＝q 3＝8，知q ＝2，所以a n ＝a 4q n －4＝2·2n －4＝2n －3.(3)因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12，由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32， 所以a n ＝a 1q n －1＝1，解得n ＝6. 答案 (1)B (2)2n －3 (3)6规律方法 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．【训练1】 在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．解 设该数列的公比为q ，由已知可得a 1q －a 1＝2， 4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0， 解得q ＝3或q ＝1.由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去． 故公比q ＝3，首项a 1＝1. 所以数列的前n 项和S n ＝3n －12. 考点二 等比数列的性质及应用【例2】 (1)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7(2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________．解析 (1)法一 由等比中项的性质得a 3a 11＝a 27＝16，又数列{a n }各项为正，所以a 7＝4.所以a 10＝a 7×q 3＝32.所以log 2a 10＝5. 法二 设等比数列的公比为q ，由题意知，a n ＞0，则a 3·a 11＝a 27＝⎝⎛⎭⎪⎫a 10q 32＝126a 210＝24，所以a 210＝210，解得a 10＝25.故log 2a 10＝5.(2)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，则S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－132，q＝－1 2.答案(1)B(2)－1 2规律方法(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．【训练2】(1)已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz的值为()A．－3 B．±3 C．－3 3 D．±3 3(2)已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于()A．5 2 B．7 C．6 D．4 2解析(1)由等比中项知y2＝3，∴y＝±3，又∵y与－1，－3符号相同，∴y＝－3，y2＝xz，所以xyz＝y3＝－3 3.(2)把a1a2a3，a2a3a4，…，a7a8a9各看成一个整体，由题意知它们分别是一个等比数列的第1项、第4项和第7项，这里的第4项刚好是第1项与第7项的等比中项．因为数列{a n}的各项均为正数，所以a4a5a6＝（a1a2a3）·（a7a8a9）＝5×10＝5 2.答案(1)C(2)A考点三等比数列的判定与证明【例3】已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}中，b1＝a1，b n＝a n－a n－1(n≥2)，且a n＋S n＝n.(1)设c n＝a n－1，求证：{c n}是等比数列；(2)求数列{b n}的通项公式．深度思考 若本题除去第(1)问后如何求b n ？在这里给大家介绍一种方法：构造法，如本例中构造等比数列{a n －1}． (1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1， ∴2a n ＋1＝a n ＋1， ∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{a n －1}是等比数列．又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12，∵首项c 1＝a 1－1，∴c 1＝－12， 公比q ＝12.又c n ＝a n －1，∴{c n }是以－12为首项，以12为公比的等比数列． (2)解 由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.规律方法 证明数列{a n }是等比数列常用的方法：一是定义法，证明a na n －1＝q (n ≥2，q 为常数)；二是等比中项法，证明a 2n ＝a n －1·a n ＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．【训练3】 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．(1)解 设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意，得a －d ＋a。