2014中考数学分类汇编：勾股定理

勾股定理知识点总结大全一、勾股定理的定义勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它是指：在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边的平方和。

具体表达方式是：设直角三角形的两个直角边分别为a、b，斜边为c，则有a²+b²=c²。

这就是著名的毕达哥拉斯定理，也是勾股定理的核心概念。

二、勾股定理的证明1. 几何证明勾股定理有多种证明方法，其中有几何证明是最常见的。

几何证明主要通过图形的构造和变换，利用几何形状的属性，从而证明勾股定理。

常见的几何证明方法包括利用正方形、相似三角形、垂直平分线、圆的性质等，通过构造等辅助图形，最终得到a²+b²=c²的结论。

2. 代数证明另外，勾股定理也可以通过代数方法进行证明。

代数证明主要通过变换方程、化简运算，利用数学公式和规律，从而得到a²+b²=c²的结论。

通过几何和代数两种证明方法，可以更全面地理解勾股定理的内涵和外延，为后续的学习和应用打下坚实的基础。

三、勾股定理的性质1. 勾股三元数根据勾股定理，我们可以找到很多满足a²+b²=c²的整数解组，这样的整数解组叫做勾股三元数。

例如：3²+4²=5²、5²+12²=13²、9²+40²=41²等。

勾股三元数的性质是研究勾股定理的重要方面，它们具有很多有趣的特性和规律，对于数论的研究有着重要的意义。

2. 勾股定理的逆定理对于一个三元数组(a, b, c)，如果它满足a²+b²=c²，则称它是勾股三元数。

而勾股定理的逆定理表明，每个整数对(a, b)，都可以构成一个勾股三元数。

这个逆定理的证明非常复杂，它涉及到模运算、费马大定理、椭圆曲线等高深的数学知识，是数论和代数学研究的重要课题之一。

3. 勾股定理的推广在直角三角形外，勾股定理也有很多推广成立的情况。

开放性问题1. （2014•四川巴中，第28题10分）如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF．（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明．（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．考点：矩形的判定．分析：（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH，（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形．解答：（1）答：添加：EH=FH，证明：∵点H是BC的中点，∴BH=CH，在△△BEH和△CFH中，，∴△BEH≌△CFH（SAS）；（2）解：∵BH=CH，EH=FH，∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），∵当BH=EH时，则BC=EF，∴平行四边形BFCE为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，是基础题，难度不大．2. （2014•山东威海，第24题11分）猜想与证明：如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为DM=DE．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．，发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F 的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP 的最小值．考点：全等三角形，正方形的性质，勾股定理，运动与变化的思想.分析：（1）AE=DF，AE⊥DF．先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（2）是．四边形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以△ADE ≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因为∠CDF+∠ADF=90°，∠DAE+∠ADF=90°，所以AE⊥DF；（3）成立．由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF，延长FD交AE于点G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（4）由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得OC的长，再求CP即可．解答：（1）AE=DF，AE⊥DF．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．∵DE=CF，∴△ADE≌△DCF．∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90°，∴∠DAE+∠ADF=90°．∴AE⊥DF；（2）是；（3）成立．理由：由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF延长FD交AE于点G，则∠CDF+∠ADG=90°，∴∠ADG+∠DAE=90°．∴AE⊥DF；（4）如图：由于点P在运动中保持∠APD=90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△ODC中，OC=，∴CP=OC﹣OP=．点评：本题主要考查了四边形的综合知识．综合性较强，特别是第（4）题要认真分析．5. （2014•浙江杭州，第23题，12分）复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2﹣（4kx+1）x﹣k+1（k是实数）．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：①存在函数，其图象经过（1，0）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．，﹣﹣。

阅读理解、图表信息一、选择题1. （2014•广西贺州，第12题3分）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（x+）；当矩形成为正方形时，就有x=（0＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x+）=4最小，因此x+（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子（x＞，得到+≥2=6，，，（、底边上的高是=∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1．∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b﹣4）x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．解得：．∴函数y2的表达式为：y2=5x2﹣10x+5．∴y2=5x2﹣10x+5=5（x﹣1）2．∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小．∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5（0﹣1）2=5．②当1＜x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大．∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5（3﹣1）2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．点评：本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质（开口方向、增减性），考查了分类讨论的思想，考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键．（1）如图①，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．=．4.（2014·浙江金华，第22题10分）（1（2【答案】. 【解析】∴n m ⎧=⎪⎨⎪⎩∴点F （2设点F考点：1. 阅读理解型问题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.正方形的和矩形性质；5.全等、相似多边形的判定和性质；6.反证法的应用.5. （2014年江苏南京，第27题）【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．（第1题图）【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据HL，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．考点：全等三角形的判定与性质分析：（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明；（2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作DH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等；（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF 与△ABC不全等；（4）根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可．解答：（1）解：HL；（2）证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作DH⊥DE交DE的延长线于H，∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，∴180°﹣∠B=180°﹣∠E，即∠CBG=∠FEH，在△CBG和△FEH中，，∴△CBG≌△FEH（AAS），∴CG=FH，在Rt△ACG和Rt△DFH中，，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），∴∠A=∠D，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）；（3）解：如图，△DEF和△ABC不全等；（4）解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．故答案为：（1）HL；（4）∠B≥∠A．=（其中==B 的不等式组恰好有==1；＜≤，2≤＜﹣=，=BC+AC+AB（AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r；（2）理解应用：如图（3），在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值．、=+++=，．===5=20=126==66===。

勾股定理（1课时）自学目标：勾股定理的内容是什么？它成立的条件是什么？你会用面积割补法（或拼图法）验证勾股定理吗？已知直角三角形任意两边的长，你能熟练的求出第三边的长度吗？活动一：阅读课本64页----65页探究探究结果：A S =＿＿＿, B S =＿＿＿, C S =＿＿＿.则 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿ A S '=＿＿＿, B S '=＿＿＿, C S '=＿＿＿,则＿＿＿＿＿＿＿＿＿勾股定理内容：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

活动二：证明勾股定理赵爽 面积割补法：如图是东汉末年我国数学家赵爽第一次用面积割补法明确给出勾股定理的理论证明。

其证法是：“弦图又可以勾股相乘为朱实二，倍之，为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加实际亦成弦实。

”其中，朱，黄为所涂颜色，实为面积。

证明：222222222442ab S ab S b a S S S cab b a c a b c =∴=-=∴+==∴+-=+= 朱朱黄朱黄又（）弦实（）即其他证明方法:教材72页 思考讨论完成。

活动三：勾股定理应用：例：在Rt △ABC 中，∠C=90 ,AB=17,BC=8,求AC 的长。

解：由勾股定理，得222AC BC AB +=22215AC AB BCAC ∴=-∴=== 自主练习：已知在Rt △ABC 中，∠A=90（1） 若AB=8,BC=10,求AC 的长。

（2） 若AC=12,AB=13,求BC 的长（3） 若∠C=30,BC=16求AB,AC 的长（4） 若∠C=45 ，BC=16求AB,AC 的长。

勾股定理常见考点分类例析勾股定理是数学中最重要的定理之一，学好勾股定理对我们的学习有很多的帮助，为了使同学们更好地复习本章，本文从部分省市的中考题中撷取数例加以说明，共同学们复习时参考.考点1：利用勾股定理求面积例1 图1是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（ ）A.13B.26C.47D.94分析：根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，得正方形A 、正方形B 的面积和为正方形甲的面积； 正方形C 、正方形D 的面积和为正方形乙的面积； 正方形甲、正方形乙的面积和为正方形E 的面积； 即正方形E 的面积为正方形A 、B 、C 、D 的面积和. 解：最大正方形E 的面积为32+52+22+32=47.故选C.点评：本题看似无法求解，但抓住直角三角形中的勾股定理，把正方形E 的面积转化为四个正方形A 、B 、C 、D 的面积和，使得问题简捷获解.考点2：利用勾股定理求周长例2 图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.在Rt △ABC 中，若直角边AC=6，BC=5，将四个直角三甲乙图1AD角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是__________.解析：结合图甲、图乙可知：AD=BC=5，DE=AC=6，DF=2DE=2×6=12.在Rt △ADF 中，由勾股定理得，AF=22DF AD +=22125+=13.所以这个风车的周长为4EF+4AF=4×6+4×13=76.点评：勾股定理反映了三角形三边之间的数量关系，因而只要存在直角三角形，就可联想到勾股定理，进而利用它来求一些线段的长.考点3：确定点的位置例2 如图3所示，A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ）A ．AB 中点 B ．BC 中点C ．AC 中点D ．∠C 的平分线与AB 的交点解析：在△ABC 中，因为BC 2+AC 2=6002+8002=1000000=10002=AB 2，根据勾股定理的逆定理可知，△ABC 为直角三角形，且∠C 为直角.显然AB 的中点到点A 、B 、C 的距离均相等，故选A.点评：本题是勾股定理的逆定理在实际问题中的应用. 考点4：利用勾股定理求最短路程例4 如图4，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ）A.215B.25C.5510+D.35解析：可将该长方体的右表面翻折至前表面，然后运用勾股定理求解即可.CB图3连接AB ，线段AB 的长度即为最短距离（如图5所示）.由勾股定理可知AB=22BD AD +=221520+=25.故选B.点评：运用勾股定理解题时要注意转化思想的运用，具体说来，如把四边形转化为三角形、通过把一般三角形问题转化为直角三角形问题，把立体图形问题转化为平面图形等等.考点5：验证勾股定理例5 如图6是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a 、b ，斜边长为c 和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的示意图.（1）画出拼成的这个图形的示意图. （2）证明勾股定理.解析：方法一解：（1）如图7.（2）证明：∵大正方形的面积表示为（a+b ）2， 大正方形的面积也可表示为c 2+4×21ab. ∴（a+b ）2=c 2+4×21ab.图6图7 图8图4 B AC D图5∴a 2+b 2=c 2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 方法二解：（1）如图8.（2）证明：∵大正方形的面积可表示为：c 2. 又可以表示为：21ab ×4+（b-a ）2. ∴c 2=21ab ×4+（b-a ）2，∴c 2=a 2+b 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.点评：本题考查了勾股定理的验证，方法多种多样，有兴趣的同学们不妨探讨其他拼图及证明方法.。

勾股定理500种证明方法
勾股定理，即边长为a、b、c的直角三角形满足a^2+b^2=c^2，是几何学中最为重要的定理之一、据说已经有超过500种不同的证明方法。

下面简要介绍其中的一些方法：
1.几何法：通过构造直角三角形，利用图形的性质来证明勾股定理。

例如，将正方形分为两个直角三角形，利用正方形边长的关系得到证明。

2.代数法：通过代数运算来证明勾股定理。

例如，设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，通过代数运算推导得到a^2+b^2=c^2
3.统计法：通过大量的实例来验证勾股定理。

例如，构造多个直角三角形，随机选择边长，计算并统计结果，验证a^2+b^2=c^2
4.数学归纳法：首先证明直角边长度为1和2的直角三角形满足勾股定理，然后利用数学归纳法证明任意长度的直角三角形都满足勾股定理。

5.微积分法：通过对直角三角形的边长关系进行微分或积分运算，推导出勾股定理。

6.反证法：假设存在一个三角形，满足a^2+b^2=c^2不成立，进而推出矛盾，以此证明勾股定理。

7.证明固定直角三角形的勾股定理，然后通过旋转、平移等变换，得到任意直角三角形的勾股定理。

8.二次函数法：将直角三角形的边长平方表示为二次函数，并证明该函数的图像与勾股定理相符。

9.数列法：通过构造特定的数列，利用数列的性质证明勾股定理。

上述只是列举了部分勾股定理的证明方法，实际上还有许多其他的方法。

不同的证明方法体现了数学的多样性和灵活性。

通过多种证明方法的探索和研究，我们可以更加深入地理解和应用勾股定理。

全等三角形一、选择题1. (2014•年山东东营,第4题3分)下列命题中是真命题的是（）A．如果a2=b2，那么a=bB．对角线互相垂直的四边形是菱形C．旋转前后的两个图形，对应点所连线段相等D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等考点：命题与定理．分析：利用菱形的判定、旋转的性质及垂直平分线的性质对每个选项进行判断后即可得到正确的选项．解答：解：A、错误，如3与﹣3；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；C、旋转前后的两个图形，对应点所连线段不一定相等，故错误，是假命题；D、正确，是真命题，故选D．点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是理解菱形的判定、旋转的性质及垂直平分线的性质．2．（2014•四川遂宁，第9题，4分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）3．（2014•四川南充，第5题，3分）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（）A．（﹣，1）B．（﹣1，）C．（，1）D．（﹣，﹣1）分析：过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可．解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，∵四边形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°，又∵∠OAD+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠COE，在△AOD和△OCE中，，∴△AOD≌△OCE（AAS），∴OE=AD=，CE=OD=1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（﹣，1）．故选A．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．二、填空题1．（2014•福建福州,第15题4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使1CF BC2..若AB=10，则EF的长是．2．（2014•广州,第15题3分）已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：_________，该逆命题是_____命题（填“真”或“假”）．【考点】命题的考察以及全等三角形的判定【分析】本题主要考察命题与逆命题的转换，以及命题真假性的判断【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．假命题．三、解答题1．（2014•湖南怀化，第19题，10分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=∠AFE，EA是∠BEF 的角平分线．求证：（1）△ABE≌△AFE；（2）∠FAD=∠CDE．，2.（2014•湖南张家界，第24题，10分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD 相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．（1）证明：△CBF≌△CDF；（2）若AC=2，BD=2，求四边形ABCD的周长；（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．，，=3. （2014山东济南，第23题，7分）（本小题满分7分）（1）如图，在四边形ABCD 是矩形，点E 是AD 的中点，求证：EC EB =．【解析】在ABE ∆和DCE ∆中，EDC EAB DE AE DC AB ∠=∠==,,,于是有 DCE ABE ∆≅∆，所以EC EB =．4．（2014•山东聊城，第20题，8分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，作AF ∥CE ，BE ∥DF ，AF 交BE 与G 点，交DF 与F 点，CE 交DF 于H 点、交BE 于E 点．求证：△EBC ≌△FDA ．A BCDE 第23题（1）图5. （2014•浙江杭州，第18题，8分）在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．求证：PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段．6.（2014•遵义24．（10分））如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．（1）求证：BO=DO；（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长．==，∠C．8.（( 2014年河南) 22.10分）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE 填空：（1）∠AEB的度数为 60 ；（2）线段AD、BE之间的数量关系是AD=BE。

第七章勾股定理第一节勾股定理及其逆定理1.如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．【考点】矩形的性质；角平分线的性质．【分析】（1）由折叠性质得∠MAN=∠DAM，证出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函数得出DM=AD•tan∠DAM=即可；（2）延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4，AQ=5，即可求出△ABN的面积；（3）过点A作AH⊥BF于点H，证明△ABH∽△BFC，得出对应边成比例=，得出当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M 三点共线，由折叠性质得：AD=AH，由AAS证明△ABH≌△BFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出结果．【解答】解：（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DA M，∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=3×=；（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，∴（x+1）2=32+x2，解得：x=4，∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，∴S△NAB=S△NAQ=×AN•NQ=××3×4=；（3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠HBA=∠BFC，∵∠AHB=∠BCF=90°，∴△ABH∽△BFC，∴=，∵AH≤AN=3，AB=4，∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD=AH，∵AD=BC，∴AH=BC，在△ABH和△BFC中，，∴△ABH≌△BFC（AAS），∴CF=BH，由勾股定理得：BH===，∴CF=，∴DF的最大值=DC﹣CF=4﹣．【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．2.（2016黄冈）如图，在 ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H.求证：AG=CHA E DGHB F C（第17题）【考点】平行四边形的判定和性质、三角形全等的判定和性质.【分析】要证明边相等，考虑运用三角形全等来证明。

2013中考全国100份试卷分类汇编勾股定理1、（2013?昆明）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A , B重合），对角线AC，BD相交于点O,过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E, F, 交AD，BC于点M，N .下列结论：2 2 2①△ APE AME ;② PM+PN=AC ;③ PE +PF =PO ；④△ POF s △ BNF ;⑤当△ PMN AMP时，点P是AB的中点.其中正确的结论有（）A . 5个B . 4个C. 3个 D . 2个考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质分析：依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△ APM和厶BPN以及△ APE、△ BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断.解答：解：•••四边形ABCD是正方形，••• / BAC= / DAC=45 °•/在厶APE和△ AME中，[ZBAC=ZDACAE=AE ,ZAEP=ZAEN• △ APE◎△ AME，故① 正确；• PE=EM==PM,同理，FP=FN=2NP.[2•/正方形ABCD中AC丄BD ,又•/ PE丄AC , PF丄BD ,• / PEO= / EOF= / PFO=90 ° 且△ APE 中AE=PE•四边形PEOF是矩形.• PF=OE,• PE+PF=OA ,又••• PE=EM=^PM , FP=FN=^NP, OA』AC ,2 2 2• PM+PN=AC，故② 正确；•••四边形PEOF是矩形，• PE=OF,2 2 2在直角△ OPF 中，OF +PF =PO ,••• PE2+PF2=PO2，故③正确.•/ △ BNF是等腰直角三角形，而△ POF不- -定是，故④错误；•/ △ AMP是等腰直角三角形，当△ PMN AMP时，△ PMN是等腰直角三角形.• PM=PN,又•••△ AMP和厶BPN都是等腰直角三角形，• AP=BP，即P时AB的中点.故⑤正确.故选B.点评：本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用，认识△ APM和厶BPN以及厶APE、△ BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形是关键.2、（2013 达州）如图，在Rt △ ABC 中，/ B=90 °, AB=3, BC=4,点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有D ADCE中，DE最小的值是（）A . 2B . 3C. 4 D . 5答案：B解析：由勾股定理，得AC = 5,因为平行边形的对角线互相平分，所以，DE 一定经过AC中点0,当DE丄BC时，DE最小，3此时0D = ?,所以最小值DE = 323、（2013?自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6 , AD=9 , / BAD的平分线交BC于E,交DC的延长线于F, BG丄AE于G, BG= ，则△ EFC的周长为（）C. 9考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质.分析：判断出△ ADF是等腰三角形，△ ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△ BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△ EFC的周长.解答：解：•.•在？ABCD中，AB=CD=6 , AD=BC=9 , / BAD的平分线交BC于点E, •/ BAF= / DAF ,•/ AB // DF , AD // BC,•/ BAF= / F=Z DAF , / BAE= / AEB ,• AB=BE=6 , AD=DF=9 ,•△ ADF是等腰三角形，△ ABE是等腰三角形，（第9题图｝•/ AD // BC ,•△ EFC是等腰三角形，且FC=CE,••• EC=FC=9 - 6=3,在厶ABG 中，BG 丄AE , AB=6 , BG=4 -：,• AG=」.]_ | :' J=2，• AE=2AG=4 ,•△ ABE的周长等于16 ,又•••△ CEF s △ BEA，相似比为1: 2,•△ CEF的周长为8点评：本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大.4、（2013?资阳）如图，点E在正方形ABCD内，满足/ AEB=90 ° AE=6 , BE=8，则阴影部分的面积是（）考点：勾股定理；正方形的性质.分析：由已知得厶ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，用S阴影部分=S正方形ABCD - S A ABE 求面积.解答：解:•/ / AEB=90 °, AE=6 , BE=8 ,2 2 2•在Rt A ABE 中，AB2=AE2+BE2=100 ,2 1• S 阴影部分=S 正方形ABCD - S A ABE=AB - —MAE X3E|2=100 -4x5>82=76.故选C.点评：本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质.关键是判断△ ABE为直角三角形，运用勾股定理及面积公式求解.5、（2012?泸州）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6 , BD=4 ,则菱形ABCD 的周长是（）B . 60 C. 76 D. 80A . 48考点：菱形的性质；勾股定理.分析：由菱形ABCD 的两条对角线相交于O , AC=6 , BD=4，即可得AC 丄BD ，求得OA 与 OB 的长，然后利用勾股定理，求得AB 的长，继而求得答案.解答：解：•••四边形ABCD 是菱形，AC=6 , BD=4 ,••• AC 丄 BD , OA=AC=3 , 0B=BD=2 , AB=BC=CD=AD , •••在 Rt A AOB 中，AB= -i 【上常， •菱形的周长是：4AB=4 V 故选C .点评：此题考查了菱形的性质与勾股定理•此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.6、（ 2013泰安）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=4 , / BAD 的平分线与 BC 的延长线 交于点E ,与DC 交于点F ，且点F 为边DC 的中点，DG 丄AE ，垂足为G ,若DG=1，则考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含 30度角的直角三角形；勾股定理. 专题：计算题.分析：由AE 为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD 为平行四边形，得到 AD 与BE 平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF ，由F 为DC 中点，AB=CD ，求出AD 与DF 的长，得出三角形 ADF 为等腰三角形，根据三线 合一得到G 为AF 中点，在直角三角形 ADG 中，由AD 与DG 的长，利用勾股定理求出 AG 的长，进而求出 AF 的长，再由三角形 ADF 与三角形ECF 全等，得出AF=EF ，即可求出 AE 的长. 解答：解：•/ AE 为/ ADB 的平分线， • / DAE= / BAE , •/ DC // AB , • / BAE= / DFA , • / DAE= / DFA , • AD=FD , 又F 为DC 的中点，B . 16C . 4 I';DA . 242••• DF=CF ,••• AD=DF=DC=AB=2 ,在Rt △ ADG 中，根据勾股定理得： AG=.二 则 AF=2AG=2 .；, 在厶ADF 和厶ECF 中，ZDAF=ZE DF^CF• △ ADF ◎△ ECF （AAS ）,• AF=EF ,则 AE=2AF=4 .「；. 故选B点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质， 勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键.7、（ 2013?苏州）如图，在平面直角坐标系中， Rt A OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上.顶点 B 的坐标为（3，頒）点C 的坐标为（吉，0）,点P 为斜边OB 上的一个动点，则 PA+PC考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质.分析：作A 关于OB 的对称点D ，连接CD 交OB 于P ,连接AP ,过D 作DN 丄OA 于N , 则此时PA+PC 的值最小，求出 AM ，求出AD ，求出DN 、CN ，根据勾股定理求出 CD ，即可得出答案.解答：解：作A 关于OB 的对称点D ,连接CD 交OB 于P ,连接AP ，过D 作DN 丄OA 于N ,则此时PA+PC 的值最小， •/ DP=PA ,• PA+PC=PD+PC=CD , ••• B （ 3,乎），• AB=M^, OA=3 , / B=60 ° 由勾股定理得：OB=2、/^ , 由三角形面积公式得： 丄 >OA >AB=¥ >OB >AM ,幺 龙3• AM#,[C .丨••D . 2 -的最小值为（A . 8B . 8C . 10D . 12••• AD=2 ==3,1•/ Z AMB=90 ° /B=60 ° • Z BAM=30 ° •/ Z BAO=90 ° • Z OAM=60 ° , •/ DN 丄 OA , • Z NDA=30 ° °• AN =2AD =£，由勾股定理得:2 2•- C （二，0）,11 3• • CN=3 一 ^一 一=1 ,2 2即PA+PC 的最小值是二_!■2点评：本题考查了三角形的内角和定理，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含 30度角的8、( 2013?鄂州)如图，已知直线 a // b ,且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为 2,点B 到直线b 的距离为3, AB=.试在直线a 上找一点M ,在直线b 上找一点N ,满足MN 丄a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时 AM+NB=()在Rt △ DNC 中，由勾股定理得:直角三角形性质的应用，关键是求出P 点的位置，题目比较好，难度适中. 故选B ・考点：勾股定理的应用；线段的性质：两点之间线段最短；平行线之间的距离.分析：MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可，作点A关于直线a的对称点A连接A 'B交直线b与点N,过点N作NM丄直线a,连接AM，则可判断四边形AA NM是平行四边形，得出AM=A 'N，由两点之间线段最短，可得此时AM+NB的值最小.过点B作BE丄AA :交AA于点E,在Rt△ ABE 中求出BE，在Rt△ A BE 中求出 A B即可得出AM+NB .解答：解：作点A关于直线a的对称点A '，连接A B交直线b与点N，过点N作NM丄直线a,连接AM ,•/ A到直线a的距离为2, a与b之间的距离为4,••• AA =MN=4 ,•••四边形AA NM是平行四边形，• AM+NB=A N+NB=A B,过点B作BE丄A A '，交AA于点E,易得AE=2+4+3=9 , AB=2』订-，A E=2+3=5 ,在Rt△ AEB中，BE= J胡2 _人护応^,在Rt△ A EB 中，A B= 「=8.点评：本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M、点N 的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短.9、（2013?绥化）已知：如图在△ ABC , △ ADE 中，/ BAC= / DAE=90 ° AB=AC , AD=AE , 点C, D, E三点在同一条直线上，连接BD , BE .以下四个结论：2 2 2①BD=CE ;② BD 丄CE;③ / ACE+ / DBC=45 ° ④ BE =2 （AD +AB ）,其中结论正确的个数是（）A . 1B . 2 C. 3 D. 4考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形.专题：计算题.分析：①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD 与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE，本选项正确；②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；③由等腰直角三角形的性质得到 / ABD+ / DBC=45 °等量代换得到/ ACE+ / DBC=45 °本选项正确；④由BD垂直于CE,在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断.解答：解：①••• / BAC= / DAE=90 °••• / BAC+ / CAD= / DAE+ / CAD，即 / BAD= / CAE ,•••在△ BAD 和厶CAE中，[AB=ACZBAT^ZCAE ,AD=AE• △ BAD ◎△ CAE （SAS）,• BD=CE，本选项正确；②•/ △ BAD ◎△ CAE ,• / ABD= / ACE ,•/ / ABD+ / DBC=45 °• / ACE+ / DBC=45 °• / DBC+ / DCB= / DBC+ / ACE+ / ACB=90 °则BD丄CE，本选项正确；③•/ △ ABC为等腰直角三角形，• / ABC= / ACB=45 °• / ABD+ / DBC=45 °•/ / ABD= / ACE• / ACE+ / DBC=45 °本选项正确；④•/ BD 丄CE ,•在RtA BDE中，利用勾股定理得：BE2=BD2+DE2,••• △ ADE为等腰直角三角形，• DE= 一'AD，即DE2=2AD2,2 2 2 2 2• BE =BD +DE =BD +2AD ,而BD2吃AB2,本选项错误，综上，正确的个数为3个.故选C点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.10、（2013?黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4 .则第三边的长为（）A . 5B .「C. 口D. 5 或一丁E -------------------------- D点评：本题考查正确运用勾股定理•善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.12、（2013年佛山市）如图，若/ A=60° , AC=20m ,贝U BC 大约是（结果精确到0.1m ）（A . 34.64m D . 17.3mB . 34.6mC . 28.3m 分析：首先计算出/ B 的度数，再根据直角三角形的性质可得 AB=40m ，再利用勾股定理计算出BC 长即可解：•••/ A=60 °, / C=90 °, •••/ B=30 °, ••• AB=2AC , v AC=20m , AB=40m ,考点：勾股定理. 专题：分类讨论.分析：本题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析. 解答：解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5,（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为 [-.：■ ■ ■!，故选D .点评：题主要考查学生对勾股定理的运用，注意分情况进行分析.11、（2013安顺）如图，有两颗树，一颗高 10米，另一颗高4米，两树相距8米.一只鸟 从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（） A . 8 米 B . 10 米 C . 12 米 D . 14 米 考点：勾股定理的应用. 专题：应用题.分析：根据两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最 短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出. 解答：解：如图，设大树高为 AB=10m ,小树高为CD=4m ,过C 点作CE 丄AB 于E ,贝U EBDC 是矩形， 连接AC ,/• EB=4m , EC=8m , AE=AB - EB=10 - 4=6m , 在 Rt △ AEC 中，AC=] ” …=10m ,故选B .AC第7题图二 BC珂qoo W1 颁3 詣4.6 （m ）,故选：B -点评：此题主要考查了勾股定理， 以及直角三角形的性质， 关键是掌握在直角三角形中， 30角所对的直角边等于斜边的一半. 在任何一个直角三角形中， 两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方13、（2013台湾、14）如图，△ ABC 中，D 为AB 中点，E 在AC 上，且BE 丄AC .若DE=10 , ）12 D . 13 考点：勾股定理；直角三角形斜边上的中线. 分析：根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半着一性质可求出 据勾股定理即可求出 BE 的长.解答：解：T BE 丄AC , • △ AEB 是直角三角形，•/ D 为 AB 中点，DE=10 ,• AB=20 ,•/ AE=16 ,故选C .点评：本题考查了勾股定理的运用、 直角三角形的性质： 直角三角形中，斜边上的中线等于 斜边的一半，题目的综合性很好，难度不大.14、（ 10-4图形变换综合与创新• 2013东营中考）如图，圆柱形容器中，高为1.2m , 底面周长为1m ，在容器内壁.离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器 外壁，离容器上沿0.3m 与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m （容器厚度忽略不计）.AB 的长，再根••• BE= A /AB 2 - AE 2=12,16. 1.3.解析：因为壁虎与蚊子在相对的位置，则壁虎在圆柱展开图矩形两边中点的连线上，如图所示，要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EF上找一点P,使PA+PB最短，过A作EF的对称点A，连接A B，则A B与EF的交点就是所求的点P,过B作BM AA于点M,在Rt A MB 中，AM 1.2，BM 1，所以A B A M 2BM 2 1.3，因2为AB AP PB，所以壁虎捉蚊子的最短距离为 1.3m.15、（2013?滨州）在△ ABC 中，/ C=90 ° AB=7 , BC=5，则边AC 的长为考点：勾股定理.专题：计算题.分析：根据勾股定理列式计算即可得解.解答：解：•••/ C=90 ° AB=7 , BC=5 ,•-AC=J配2 _氏2=弁_5览2后•故答案为：2.・.点评：本题考查了勾股定理的应用，是基础题，作出图形更形象直观.16、（2013山西，1，2分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上,将厶DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处，则AE的长为【答案】3【解析】由勾股定理求得:DA=D A'=BC=5 ,Z D A'E=Z DAE=90，设AE=x,贝U A' E=x, BE=12- x, B A'=13-5 = 8,10 10解得：x=，即AE的长为3 317、（2013?黄冈）已知△ ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E,使CE=CD=1 , 连接DE,贝U DE=_考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质.分析：根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD=DE，求出BC,在Rt△△ BDC中，由勾股定理求出BD即可.解答：解：•••△ ABC为等边三角形，••• / ABC= / ACB=60 °, AB=BC ,••• BD为中线，BD=13 ,在Rt△ E A'B 中，(12 x)2• / DBC=2/ ABC=30 °,•/ CD=CE ,• / E=Z CDE ,•/ / E+Z CDE= / ACB ,••• Z E=30 °Z DBC ,••• BD=DE ,•/ BD 是AC 中线，CD=1 ,• AD=DC=1 ,••• △ABC是等边三角形，• BC=AC=1 + 1=2 , BD 丄AC ,在Rt△△ BDC中，由勾股定理得：BD=Jrj2 _即DE=BD= 故答案为：J H.点评：本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出DE=BD和求出BD的长.18、（2013四川宜宾）如图，在厶ABC中，Z ABC=90 ° BD为AC的中线，过点C作CE丄BD 于点E,过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD ,连接BG、DF .若AG=13 , CF=6，则四边形BDFG的周长为20 .考点：菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理.分析：首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BGFD是菱形，设GF=x,则AF=13 - x,AC=2x,在Rt A ACF 中利用勾股定理可求出x的值.解答：解：•/ AG// BD, BD=FG ,•四边形BGFD是平行四边形，•/ CF 丄BD,• CF 丄AG,又•••点D是AC中点，•BD=DF=AC,•四边形BGFD是菱形，设GF=x，贝U AF=13 - x, AC=2x,在 Rt A ACF 中,AF 2+CF 2=AC 2,即(13 -x ) 2+62= (2x ) 2, 解得：x=5,故四边形BDFG 的周长=4GF=20 . 故答案为：20.点评：本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质， 解答本题的关键是判断出四边形 BGFD 是菱形. Rt A ABC 中，/ ACB=90 ° D 是AB 的中点，过 D 点作AB 的sinA=F ，贝U DE= ―:.5-4-考点： 解直角三角形；线段垂直平分线的性质；勾股定理. 分析： 在Rt △ ABC 中，先求出 AB , AC 继而得出 AD ，再由△ ADE ACB ，利用对应边成比例可求出 DE . 解答: 解: •/ BC=6 , sinA=t ,5••• AB=10 ,••• AC= 」=8,•/ D 是AB 的中点,•/ △ ADE ACB , .DE AD 日 口 D£ 5… = ，即 =,BC AC 6 8解得：DE= —.故答案为：一.点评：本题考查了解直角三角形的知识,定理的表达式.20、（2013?张家界）如图， OP=1，过P 作PP 1丄OP ,得OP 仁一：；再过P 1作P 1P 2丄OP 1且 P 1P 2=1，得OP 2=.；；又过P 2作P 2P 3丄OP 2且P 2P 3=1，得OP 3=2 ； ••依此法继续作下去，得 OP 2012=—I " _.19、（2013?荆门）如图，在 垂线交AC 于点E , BC=6 ,解答本题的关键是熟练掌握三角函数的定义及勾股AD=考点：勾股定理.专题：规律型.分析：首先根据勾股定理求出0P4,再由0P1 , 0P2, 0P3的长度找到规律进而求出OP2012 的长.解已°解：由勾股定理得：0P4^y2十],••• OP1= . :■:; 得0P2― ■；；依此类推可得0P n=. ,• •• 0P2O12h jL[ ’ ,故答案为：一」；.点评：本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律.21、（2013?包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE ,将△ ABE绕点B 顺时针旋转90°到厶CBE的位置.若AE=1 , BE=2 , CE=3，则/ BE C= 135 度.考点：勾股定理的逆定理；正方形的性质；旋转的性质.分析：首先根据旋转的性质得出 / EBE =90°, BE=BE =2 , AE=E C=1，进而根据勾股定理的逆定理求出△ EE C是直角三角形，进而得出答案.解答：解：连接EE•••将△ ABE绕点B顺时针旋转90°到厶CBE的位置，AE=1 , BE=2 , CE=3,•/ EBE =90 ° BE=BE =2 , AE=E C=1 ,• EE =2 二，/ BE E=45 °•/ E 'E2+E 'C2=8+1=9 ,2EC =9,222• E E +E C =EC ,•△ EE C是直角三角形，•/ EE C=90 °•/ BE C=135 °故答案为：135.4n点评：此题主要考查了勾股定理以及逆定理，根据已知得出△ EE'C是直角三角形是解题关键.22、 (2013?巴中)若直角三角形的两直角边长为a、b,且满足-:一一-卜-一-,则该直角三角形的斜边长为 5 .考点：勾股定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根.分析：根据非负数的性质求得a、b的值，然后利用勾股定理即可求得该直角三角形的斜边长.解答.解：••冷/ _ 6乩+9+ q |二0，2a—6a+9=0, b - 4=0,解得a=3, b=4,T直角三角形的两直角边长为a、b,•••该直角三角形的斜边长=_ •]'=；二‘=5.故答案是：5.点评：本题考查了勾股定理，非负数的性质-绝对值、算术平方根.任意一个数的绝对值(二次根式)都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.23、(2013?雅安)在平面直角坐标系中，已知点A (-ME, 0) , B 伍,0)，点C在坐标轴上，且AC+BC=6 ,写出满足条件的所有点C的坐标(0, 2), (0, - 2), (- 3, 0), ( 3, 0)_.考点：勾股定理；坐标与图形性质.专题：分类讨论.分析：需要分类讨论：①当点C位于x轴上时，根据线段间的和差关系即可求得点C的坐标；②当点C位于y轴上时，根据勾股定理求点C的坐标.解答：解：如图，①当点C位于y轴上时，设C (0, b).则.I - -- + } 2=6，解得，b=2 或b=- 2,此时 C (0, 2),或 C (0,- 2).如图，②当点C位于x轴上时，设C (a, 0).则|-卜刃-a|+|a—一刁=6, 即卩2a=6 或-2a=6,解得a=3或a= - 3,此时 C (- 3, 0),或 C (3, 0).综上所述，点 C 的坐标是：(0, 2), ( 0,- 2) , (- 3, 0), (3, 0).故答案是： (0, 2), (0, - 2), (- 3, 0), (3, 0).点评：本题考查了勾股定理、坐标与图形的性质•解题时，要分类讨论，以防漏解•另外, 当点C在y 轴上时，也可以根据两点间的距离公式来求点C的坐标.24、（2013?眉山）如图， / BAC= / DAF=90 ° AB=AC , AD=AF，点D、E 为BC 边上的两点，且/ DAE=45 °连接EF、BF，则下列结论：2 2 2①△ AED AEF ;②△ ABE ACD ;③ BE+DC > DE ;④ BE +DC =DE , 其中正确的有（）个.A . 1B . 2 C. 3 D. 4考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理.分析：根据/DAF=90 ° / DAE=45 ° 得出 / FAE=45 ° 利用SAS 证明△ AED AEF，判定①正确；如果△ ABE s △ ACD ,那么 / BAE= / CAD ,由 / ABE= / C=45 ° ,贝U / AED= / ADE , AD=AE ,而由已知不能得出此条件，判定② 错误；先由/ BAC= / DAF=90 ° ° 得出/ CAD= / BAF ,再利用SAS 证明△ ACD 也△ ABF , 得出CD=BF ,又①知DE=EF ,那么在△ BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF > EF ,等量代换后判定③ 正确；先由△ ACD ◎△ ABF ,得出/ C= / ABF=45 ° 进而得出 / EBF=90 ° ° 然后在Rt△ BEF 中，运用勾股定理得出BE2+BF2=EF2 ,等量代换后判定④正确.解答:解：①•••/ DAF=90 ° , / DAE=45 ° ,••• / FAE= / DAF - / DAE=45 ° 在厶AED与厶AEF中，AD=AF ZEAE=Z?AE=456 ，AE=AE:,△ AED ◎△ AEF ( SAS ),① 正确； ② •/ / BAC=90 ° AB=AC ,••• / ABE= / C=45 °•••点D 、E 为BC 边上的两点， / DAE=45 °• AD 与AE 不一定相等， / AED 与/ ADE 不一定相等， •/ / AED=45 ° / BAE , / ADE=45 ° / CAD , • / BAE 与/ CAD 不一定相等，• △ ABE 与厶ACD 不一定相似， ② 错误； ③ •/ / BAC= / DAF=90 °• / BAC - / BAD= / DAF - / BAD ，即 / CAD= / BAF . 在厶ACD 与厶ABF 中，AC=AB AD=AF• △ ACD ◎△ ABF ( SAS ), • CD=BF ,由①知厶AED ◎△ AEF , • DE=EF .在厶 BEF 中，•/ BE+BF > EF , • BE+DC > DE ,③ 正确； ④由③知厶ACD ABF ,• / C=Z ABF=45 °•/ / ABE=45 °,• / EBF= / ABE+ / ABF=90 °,在Rt △ BEF 中，由勾股定理，得 BE 2+BF 2=EF 2 , •/ BF=DC , EF=DE , • BE 2+DC 2=DE 2,④ 正确. 所以正确的结论有①③④ .故选C .点评：本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细1[分析，有一定难度.25、（2013哈尔滨）在厶ABC中，AB=2..2 , BC=1, / ABC=45°,以AB为一边作等腰直角三角形ABD使/ ABD=90,连接CD则线段CD的长为____________________________ .考点：解直角三角形，钝角三角形的高分析：双解问题，画等腰直角三角形ABD使/ ABD=90,分两种情况，点D与C在AB同侧，D与C在AB异侧，考虑要全面；J2解答：当点D与C在AB同侧，BD=AB=2 2 ,作CEL BD于E,CD=BD^ ,23 2 —ED= ,由勾股定理CD= 5当点D与C在AB异侧，BD=AB=2 2 , / BDC=135,作DE L 2BC于E,BE=ED=2,EC=3 由勾股定理CD=/i3故填5或1326、（2013哈尔滨）如图。