九年级数学上册 2_1 认识一元二次方程导学案2(无答案)(新版)北师大版

用因式分解法求解一元二次方程（导学案）目标：1、学会用分解因式法（提公因式法、公式法）解一些简单的一元二次方程；2、能根据具体的一元二次方程的特征灵活选择适当的解法，体会解决问题方法的多样性和选择性。

重点：分解因式法解一元二次方程。

难点：根据具体的方程灵活的选择适当的解法。

学法指导1、预习（1）阅读并理解教材P46—P47，知道什么是分解因式法，注意分解因式法解一元二次方程的基本步骤。

把存在的疑惑标注出来。

（2）在阅读理解课本内容的基础上，逐步完成导学案，并把存在的问题标注出来。

2、展示（1）小展示:小组内对学群学，解决独学所存在的问题。

（2）大展示:小组派代表在全班展示（没有展示的同学观察和思考其他组展示的内容）。

3、反馈：（目标检测）一、学前准备1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为的形式。

2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为。

3、选择合适的方法解下列方程：①x2-6x=7 ②3x2+8x-3=0二、探究活动【合作·沟通】1、自主探究·解决问题一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？说明：如果ab=0，那么a=0或b=0，“或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况，二者同时成立；二者有一个成立。

“且”是“二者同时成立”的意思。

★分解因式法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个因式的乘积时，令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，分别解之，得到的解就是原方程的解，这种解方程的方法称为分解因式法。

一般步骤如下：(1) 把方程整理使其右边化为0；(2) 把方程左边分解成两个一次因式的乘积；(3) 令每个因式分别等于零，得到两个一元一次方程；(4) 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

2、师生探究·合作交流例：解下列方程 ：(1). 5x 2=4 x (2). x -2= x (x -2) (3).( x +1)2-25=0三、拓展提高1、选择适当的方法解一元二次方程（1） x x x 22)1(3-=- （2）2422+=+y y y2、一个数平方的两倍等于这个数的7倍，求这个数？四、学习收获：（师生互相交流总结）1、分解因式法解一元二次方程的基本思路和关键。

3 用公式法求解一元二次方程教学目标【知识与技能】1.理解求根公式的推导过程和判别公式.2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程. 【过程与方法】通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想. 【情感态度】让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感.【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用. 【教学难点】理解求根公式的推导过程及判别公式的应用. 教学过程一、情境导入,初步认识用配方法解方程： （1）x 2+3x+2=0 （2）2x 2-3x+5=0【教学说明】学生板演，复习旧知. 二、思考探究，获取新知1.探究：用配方法解方程：ax 2+bx+c=0（a ≠0）.分析：前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a 、b 、c 也当成具体数字，根据配方法的解题步骤推下去.解：移项，得：ax 2+bx=-c因为a ≠0，所以方程两边同除以a ，得： x 2+b a x=c a- 配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=c a -+（2b a）2即（x+2b a ）2=2244b aca- ∵a ≠0，∴4a 2>0，当 b 2-4ac ≥0时，2244b ac a -≥0∴x+2b a =即∴x 1=2b a -+x 2=2b a-【归纳总结】由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子b 2-4ac ≥0），就可求出方程的根；（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式； （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法； （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：（1）将a 、b 、c 的值代入公式时，一定要注意符号不能出错；（2）式子b2-4ac ≥0是公式的一部分.【教学说明】让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 能否用配方法求出它的解，通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式.2.用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？ （1）2x 2-3x=0；（2）3x 2；（3）4x 2+x+1=0.【归纳总结】（1）当Δ=b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不相等的实数根，即x 1x 2；（2）当Δ=b 2-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根即x 1=x 2=-2ba； （3）当Δ=b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）没有实数根. 【教学说明】进一步体会一元二次方程的根与b 2-4ac 的关系. 三、运用新知，深化理解1.用公式法解下列方程. （1）2x 2-x-1=0； （2）x 2+1.5=-3x ；（3）x 2；（4）4x 2-3x+2=0.分析：用公式法解一元二次方程，需先确定a、b、c的值，再算出b2-4ac的值，最后代入求根公式求解.【教学说明】（1）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c 确定的；（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入（3）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.2.不解方程，判定方程根的情况（1）16x2+8x=-3；（2）9x2+6x+1=0；（3）2x2-9x+8=0；（4）x2-7x-18=0.分析：不解方程，判定方程根的情况，只需根据b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可.b2-4ac的值是在一元二次方程一般形式下得出的，所以首先必须将方程化为一般形式.3.若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）.分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0.因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0，就可求出a的取值范围.解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根.∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0∴a<-2∵ax+3>0即ax>-3，∴x<-3/a，∴所求不等式的解集为x<-3/a.【教学说明】主体探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式.四、师生互动，课堂小结本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况.教材反思通过复习配方法使学生对一元二次方程的定义及解法有一个深刻的印象.然后让学生用配方法推导一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的解，并掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，使学生的推理能力得到加强.切线的性质和判定学习目标1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明(重点)；2．掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明(重点，难点)；3．能运用直线与圆的位置关系解决实际问题．教学过程一、情境导入约在6000年前，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆形的木盘，你能设计一个办法测量这个圆形物体的半径吗？二、合作探究探究点一：切线的性质【类型一】切线的性质的运用如图，点O是∠BAC的边AC上的一点，⊙O与边AB相切于点D，与线段AO相交于点E，若点P是⊙O上一点，且∠EPD＝35°，则∠BAC的度数为( )A．20° B．35° C．55° D．70°解析：连接OD，∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AD，∴∠ADO＝90°.∵∠EPD＝35°，∴∠EOD＝2∠EPD＝70°，∴∠BAC＝90°－∠EOD＝20°.故选A.方法总结：此题考查了切线的性质以及圆周角定理．解题时要注意运用切线的性质，注意掌握辅助线的作法，灵活运用数形结合思想．【类型二】利用切线的性质进行证明和计算如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点．直线PO 与⊙O 交于B.C 两点，∠P ＝30°，连接AO 、AB.AC.(1)求证：△ACB ≌△APO ； (2)若AP ＝3，求⊙O 的半径．(1)证明：∵PA 为⊙O 的切线，A 为切点，∴∠OAP ＝90°.又∵∠P ＝30°，∴∠AOB ＝60°，又OA ＝OB ，∴△AOB 为等边三角形．∴AB ＝AO ，∠ABO ＝60°.又∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°.在△ACB 和△APO 中，∠BAC ＝∠OAP ，AB ＝AO ，∠ABO ＝∠AOB ，∴△ACB ≌△APO ；(2)解：在Rt △AOP 中，∠P ＝30°，AP ＝3，∴AO ＝1，即⊙O 的半径为1.方法总结：运用切线进行证明和计算时，一般连接切点与圆心，根据切线的性质转化已知条件，构造出等量关系求解． 【类型三】 探究圆的切线的条件如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，P 是BC ︵上的一个动点，过点P 作BC 的平行线交AB 的延长线于点D.(1)当点P 在什么位置时，DP 是⊙O 的切线？请说明理由； (2)当DP 为⊙O 的切线时，求线段BP 的长．解析：(1)当点P 是BC ︵的中点时，得PBA ︵＝PCA ︵，得出PA 是⊙O 的直径，再利用DP ∥BC ，得出DP ⊥PA ，问题得证；(2)利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出AB 的长，在Rt △ABP 中再次利用勾股定理即可求出BP 的长．解：(1)当点P 是BC ︵的中点时，DP 是⊙O 的切线．理由如下：∵AB ＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵，又∵PB ︵＝PC ︵，∴PBA ︵＝PCA ︵，∴PA 是⊙O 的直径．∵PB ︵＝PC ︵，∴∠1＝∠2，又∵AB ＝AC ，∴PA ⊥BC.又∵DP ∥BC ，∴DP ⊥PA ，∴DP 是⊙O 的切线．(2)连接OB ，设PA 交BC 于点E.由垂径定理，得BE ＝12BC ＝6.在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AE ＝AB2－BE2＝8.设⊙O 的半径为r ，则OE ＝8－r ，在Rt △OBE 中，由勾股定理，得r2＝62＋(8－r)2，解得r ＝254.在Rt △ABP 中，AP ＝2r ＝252，AB ＝10，∴BP ＝（252）2－102＝152. 方法总结：判定直线是否为圆的切线时要从切线的性质入手，结合垂径定理与勾股定理，合理转化已知条件，得出结论． 探究点二：切线的判定 【类型一】 判定圆的切线如图，点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，AC ＝CD ，∠D ＝30°，求证：CD 是⊙O 的切线．证明：连接OC ，∵AC ＝CD ，∠D ＝30°，∴∠A ＝∠D ＝30°.∵OA ＝OC ，∴∠2＝∠A ＝30°，∴∠1＝60°，∴∠OCD ＝90°，∴OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线．方法总结：切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径长的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【类型二】 切线的性质与判定的综合应用如图，AB 是⊙O 的直径，点F 、C 是⊙O 上的两点，且AF ︵＝FC ︵＝CB ︵，连接AC.AF ，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于点D ，垂足为D. (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若CD ＝23，求⊙O 的半径．分析：(1)连接OC ，由弧相等得到相等的圆周角，根据等角的余角相等推得∠ACD ＝∠B ，再根据等量代换得到∠ACO ＋∠ACD ＝90°，从而证明CD 是⊙O 的切线；(2)由AF ︵＝FC ︵＝CB︵推得∠DAC ＝∠BAC ＝30°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求得AB 的长，进而求得⊙O 的半径．(1)证明：连接OC ，BC.∵FC ︵＝CB ︵，∴∠DAC ＝∠BAC.∵CD ⊥AF ，∴∠ADC ＝90°.∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠ACD ＝∠B.∵BO ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∵∠ACO ＋∠OCB ＝90°，∠OCB ＝∠OBC ，∠ACD ＝∠ABC ，∴∠ACO ＋∠ACD ＝90°，即OC ⊥CD.又∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线；(2)解：∵AF ︵＝FC ︵＝CB ︵，∴∠DAC ＝∠BAC ＝30°.∵CD ⊥AF ，CD ＝23，∴AC ＝4 3.在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，AC ＝43，∴BC ＝4，AB ＝8，∴⊙O 的半径为4.方法总结：若证明切线时有交点，需“连半径，证垂直”然后利用切线的性质构造直角三角形，在解直角三角形时常运用勾股定理求边长． 板书设计 1．切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径． 2．切线的判定经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 教学反思教学过程中，经历切线性质的探究，从中可得出判定切线的条件，整个学习过程是一个逐层深入的过程．因此教师应当对学生在探究过程中遇到的问题及时进行解决，使学生能更全面的掌握知识.投影教学目标知识与技能1.在具体的实例中认识投影、投影面、投影线、平行投影、中心投影、正投影的概念；2.理解平行投影和中心投影的区别；3.掌握“一维”“二维”正投影的性质。

第2课时 利用一元二次方程解决面积问题一、学习目标：1、在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对生活中的实际问题进行数学建模解决问题，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。

2、积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，提高自己的数学应用能力。

3、感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯。

二、知识准备解方程2708250x x -+=，并叙述解一元二次方程的解法。

三、学习内容（一）情景问题小明把一张边长为10cm 的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方形盒子。

（1）如果要求长方体的底面面积为81cm 2，那么剪去的小正方形边长为多少？（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？（二）、尝试解决问题1、长方形的底面、正方形的边长与正方形硬纸板中的什么量有关系？（长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长有关系）2、长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长存在什么关系？（长方形的底面正方形的边长等于正方形硬纸板的边长减去剪去的小正方形边长的2倍）3、你能否用数量关系表示出这种关系呢？并求出剪去的小正方形的边长。

解：设剪去的正方形边长为xcm ，依题意得： 2(10)81x -=，109x -=±，11x =，29x =，因为正方形硬纸板的边长为10cm ，所以剪去的正方形边长为1cm 。

4、请问长方体的高与正方形硬纸板中的什么量有关系？求出此时长方体的体积。

（长方体的高与正方形硬纸板式剪去的小正方形的边长一样；体积为381181cm ⨯=）5、完成表格，与你的同伴一起交流，并讨论剪去的正方形边长发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？6、在你观察到的变化中、你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况？以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体体积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点，看看与你的感觉是否一致。

第二章 一元二次方程2.1 认识一元二次方程（2）第1题． 若方程2231kx x x +=+是一元二次方程，则k 的取值范围是．第2题． 下列方程中，不是整式方程的是（）Ａ．21523x x += 3720x +-= Ｃ．2213x x+=Ｄ．1725x -=第3题． 下列各方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（ ）Ａ．234x x m =+ Ｂ．280ax -= Ｃ．20x y +=Ｄ．560xy x -+=第4题． 若方程2(1)1m x -=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）Ａ．1m ≠ Ｂ．m ≥0 Ｃ．0m ≥且1m ≠ Ｄ．m 为任意实数第5题． 把下列方程整理成一般形式，然后写出其二次项系数，一次项系数及常数项． （1）232232m x mx m x nx px q +=+++（2）2)(3)x x x =-第6题． 设33100a x x -+-=和34680b xx -++=都是一元二次方程，求2002002))b 的值．第7题． 关于x 的方程1(1)10k k xkx -+++=是一元二次方程，求k 的值．第8题． 方程214y y --=-化为一般形式后，二次项系数是，一次项系数是，常数项是．第9题． 若2950ax x -+=是一元二次方程，则不等式360a +>的解集是 ．第10题． 下列方程中，不是整式方程的是（）Ａ．21523x x += 3720x +-= Ｃ．2213x x+=Ｄ．1725x -=第11题． 若方程2(1)1m x -=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） Ａ．1m ≠Ｂ．m ≥0Ｃ．0m ≥且1m ≠Ｄ．m 为任意实数第12题． 求关于x 的一元二次方程222(31)(1)m mx m x m x -+-=+的二次项系数、一次项系数及常数项．第13题． 下列各方程中属于一元二次方程的是（ ） （1）214y y -= （2）22t = （3）213x =（40= （5）325x x -= （6）22(1)20x x ++-=Ａ．（1）（2）（3）． Ｂ．（2）（3）（4）． Ｃ．（1）（2）（6）． Ｄ．（1）（2）．第14题． 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）22469154x x x x +=-+；（2）2(31)(2)51x x x x -+=-++（3）22(23)2(5)41t t +--=-．第15题． 不解方程，估计方程2410x x --=的根的大小（精确到0．1）第16题． 下列方程中属于一元二次方程的是（ ） Ａ．22(3)4x x-=-+． Ｂ．0ax b +=．25x -=． 21x =+．第17题． 关于x 的一元二次方程22(32)0x m x n n ---=中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）Ａ．1，3mn ，22mn n -． Ｂ．1，3m -，22mn n -． Ｃ．1，m -，2n -． Ｄ．1，3m ，22mn n -．第18题． 在下列方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（ ）Ａ．29ax bx c ++=． Ｂ．3560k x k ++=．202x x -=． Ｄ．2(3)30m x --=．一般形式第20题． 若方程210ax bx c ++-=是一元二次方程，则必须满足条件 ． 若此方程是一元一次方程，则必须满足条件 ．第21题． 当k 时，方程2223kx x x -=-是关于x 的一元二次方程．第22题． 关于x 的一元二次方程(3)(3)2(2)4x x a x a -+-+=，化成一般形式是 ．二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．第23题． 解方程2214133x x x x -+=-时，设21xy x =-，则原方程化成关于y 的整式方程是 ．．第24题． 已知a ，b ，c 均为有理数，判定关于x 的方程2231ax x c b -+=-是不是一元二次方程？如果是，请写出二次项系数、一次项系数及常数项．如果不是，请说明理由．第25题．m 为何值时，关于x 的方程2(31m m x mx m --=是一元二次方程？写出这个一元二次方程的一般形式．第26题． 下列各式哪个不是二次三项式（ ） Ａ．2(0)ax bx c a ++≠，a ，b ，c 为实数 Ｂ．22285x xy y +-Ｃ．2132x x -- Ｄ．2132x x --第27题． 将方程25x x =化成一般形式是 ．第28题． 用一块长宽分别为8cm ，6cm 的矩形薄铁片，在四个角处裁去四个相同的小正方形，再折叠成一个无盖且底面积为15cm 2的长方体盒子，据上述题意，可得方程： ．第29题． 若1x =-是20(0)ax bx c a ++=≠的一个解，你能求出b a c --的值吗？第30题． k 时，关于x 的方程22(1)(1)10k x k x ---+=是一元二次方程．第31题． 某种洗衣机的包装箱外形是长方体，其高为1．2米，体积 为1．2立方米，底面是正方形，则该包装箱的底面边长为 米．1.答案：3k ≠2.答案：Ｃ3.答案：Ａ4.答案：（1）2()0m n x px q ---=，二次项系数为：m n -，一次项系数p -，常数项为q -． （2）22630x x --=，二次项系数为2，一次项系数为6-，常数项为3-．5.答案：Ｃ6.答案：32342a b -=⎧⎨-=⎩12a b =⎧⎨=⎩∴20042002220022200222002()(1(12)3a b ==-=-=-7.答案：123131.10k k k k k k ⎧-===-⎧⎪=⎨⎨≠-+≠⎪⎩⎩或，，∴∴8.答案：1，4-，1 9.答案：2a >-且0a ≠10.答案：Ｃ 11.答案：Ｃ12.答案：解：将方程222(31)(1)m mx m x m x -+-=+化为一般式：223(31)0mx m x m m -++-=．∵已知该方程是一元二次方程，所以0m ≠．此方程的二次项系数为3m ，一次项系数为(31)m -+，常数项为2m m -．13.答案：Ｄ15.答案：解：分别取0.3x =-与0.2x =-时，有：2(0.3)4(0.3)10.09 1.210.290--⨯--=+-=>，2(0.2)4(0.2)10.160----=<．于是，方程2410x x --=必有一根在0.3-与0.2-之间． 分别取 4.2x =与 4.3x =时，有：24.24 4.210.160-⨯-=-<，24.34 4.310.290-⨯-=>因此，方程2410x x --=必有一根在4．2与4．3之间．16.答案：Ｃ 17.答案：Ｂ 18.答案：Ｃ20答案：；， 21.答案：3k ≠-22.答案：一般形式是22890x ax a ++-=；二次项系数是1，一次项系数是2a ，常数项是89a -．23.答案：23410y y -+=24.答案：是一元二次方程，二次项系数为a +，一次项系数为3-，常数项为1c b -+．25.答案：m =，一般形式为210-= 26.答案：Ｄ27.答案：251)0x x -= 28.答案：(82)(62)15x x --= 29.答案：130.答案：1≠±31.答案：0，将1x =-代入20ax bx c ++=，得0a b c -+=，从而0b c a --=。

2 用配方法求解一元二次方程教学目标【知识与技能】理解配方法的意义，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.【过程与方法】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣.【教学重点】运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.【教学难点】了解并掌握用配方求解一元二次方程.教学过程一、情境导入,初步认识1.根据完全平方公式填空：（1）x2+6x+9=（）2（2）x2-8x+16=（）2（3）x2+10x+（）2=（）2（4）x2-3x+（）2=（）22.解下列方程：（1）（x+3）2=25；（2）12（x-2）2-9=0.3.你会解方程x2+6x-16=0吗？你会将它变成（x+m）2=n（n为非负数）的形式吗？试试看，如果是方程2x2+1=3x呢？【教学说明】利用完全平方知识填空，为后面学习打下基础.二、思考探究，获取新知思考：怎样解方程x2+6x-16=0？x2+6x-16=0移项：x2+6x=16两边都加上9,即262⎛⎫⎪⎝⎭，使左边配成x2+2bx+b2的形式：x2+6x+9，右边为：16+9；写成平方形式：（x+3）2=25降次：x+3=±5解一次方程：x+3=5，x+3=-5，∴x 1=2，x 2=-8【教学说明】通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能逆向转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将x 2+px+q=0形式转化为（x+m ）2=n （n ≥0）的形式.【归纳结论】通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种方法称为配方法.三、运用新知，深化理解1.解方程（注：学生练习，教师巡视，适当辅导）.（1）x 2-10x+24=0；（2）(2x-1)(x+3)=5；（3）3x 2-6x+4=0.解：（1）移项，得x 2-10x=-24配方，得x 2-10x+25=-24+25，由此可得(x-5)2=1，x-5=±1，∴x 1=6，x 2=4（2）整理，得2x 2+5x-8=0.移项，得2x 2+5x=8二次项系数化为1得x 2+52x=4配方，得 x 2+52x+（54）2=4+（54）2由此可得（x+54）2=8916x+54=∴x 1， x 2（3）移项，得3x 2-6x=-4二次项系数化为1，得x 2-2x=4-3配方，得x 2-2x+12=4-3+12(x-1)2=1-3因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x-1)2都是非负数，上式不成立，即原方程无实数根.2.用配方法将下列各式化为a（x+h）2+k的形式.（1）-3x2-6x+1；（2）23y2+13y-2；（3）0.4x-0.8x-1.【教学说明】化二次三项式ax2+bx+c(a≠0)为a(x+h)2+k形式分以下几个步骤：（1）提取二次项系数使括号内的二次项系数为1；（2）配方：在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去一次项系数一半的平方；（3）化简、整理.本题既让学生巩固配方法，又为后面学习二次函数打下基础.四、师生互动，课堂小结1.本节课学习的数学知识是用配方法解一元二次方程；2.本节课学习的数学方法是：①转化思想，②根据实际问题建立数学模型；3.用配方法求解一元二次方程的一般步骤是什么？(1)把二次项系数化为1，方程的两边同时除以二次项系数；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；(3)配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为(x+h)2=k的形式；(4)用直接开平方法解变形后的方程.【教学说明】使学生在直观的基础上学习归纳，促进学生形成科学的、系统的数学知识体系. 教材反思在教学过程中，由简单到复杂，由特殊到一般的原则，采用了观察对比，合作探究等不同的学习方式，充分发挥学生的主体作用，让学生主动探究并发现结论，教师做学生学习的引导者、合作者、促进者，要适时鼓励学生，实现师生互动.同时，我认识到教师不仅仅要教给学生知识，更要在教学中渗透数学中的思想方法，培养学生良好的数学素养和学习能力，让学生学会学习.特殊的平行四边形教学反思对于矩形、菱形、正方形的性质及判定学生已经有所了解。

2.1 认识一元二次方程一、判断题（下列方程中是一元二次方程的在括号内划“√”，不是一元二次方程的，在括号内划“×”）（ ）1. 5x 2+1=0 （ ）2. 3x 2+x1+1=0（ ）3. 4x 2=ax(其中a 为常数) （ ）4. 2x 2+3x=0（ ）5. 5132+x =2x （ ）6. 22)(x x + =2x（ ）7. ｜x 2+2x ｜=4二、填空题1. 一元二次方程的一般形式是____________________。

2. 将方程－5x 2+1=6x 化为一般形式为____________________。

3. 将方程(x+1)2=2x 化成一般形式为____________________。

4. 方程2x 2=－8化成一般形式后，一次项系数为__________，常数项为__________。

5. 方程5(x 2－2x+1)=－32x+2的一般形式是____________________，其二次项是__________，一次项是__________，常数项是__________。

6. 若ab ≠0，则a 1x 2+b 1x=0的常数项是__________。

7. 如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a 的取值范围是_______。

8. 关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m_____时，是一元二次方程，当m_____时，是一元一次方程。

9、若方程2231kx x x +=+是一元二次方程，则k 的取值范围是。

10、方程214y y --=-化为一般形式后，二次项系数是 ，一次项系数是，常数项是。

11、 若2950ax x -+=是一元二次方程，则不等式360a +>的解集是。

三、选择题1. 下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）A. 2x 2+7=0B. 2x 2+23x+1=0C. 5x 2+x1+4=0 D. 3x 2+(1+x) 2+1=0 2. 方程x 2－2(3x －2)+(x+1)=0的一般形式是（ ）A. x 2－5x+5=0B. x 2+5x+5=0C. x 2+5x －5=0D. x 2+5=0 3. 一元二次方程7x 2－2x=0的二次项、一次项、常数项依次是（ ）A. 7x 2,2x,0B. 7x 2,－2x ，无常数项C. 7x 2,0,2xD. 7x 2,－2x,0 4. 方程x 2－3=(1－2)x 化为一般形式，它的各项系数之和可能是（ ）A.2B.－2C.32-D.3221-+5. 若关于x 的方程a(x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是（ ）A. 2B. －2C. 0D. 不等于2 6. 关于x 2=－2的说法，正确的是（ ）A.由于x 2≥0，故x 2不可能等于－2，因此这不是一个方程B.x 2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程C.x 2=－2是一个一元二次方程D.x 2=－2是一个一元二次方程，但不能解 7、下列方程中，不是整式方程的是（ ）A ．21523x x +=B 3720x +-=C ．2213x x+=D ．1725x -=8、下列各方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．234x x m =+B ．280ax -=C ．20x y +=D ．560xy x -+=9、若方程2(1)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．1m ≠B ．m ≥0C ．0m ≥且1m ≠D ．m 为任意实数 10、下列各方程中属于一元二次方程的是（ ）（1）214yy -= （2）22t = （3）213x =（40= （5）325x x -= （6）22(1)20x x ++-=A ．（1）（2）（3）B ．（2）（3）（4）C ．（1）（2）（6）D ．（1）（2）11、关于x 的一元二次方程22(32)0x m x n n ---=中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） Ａ．1，3mn ，22mn n - Ｂ．1，3m -，22mn n - Ｃ．1，m -，2n - Ｄ．1，3m ，22mn n -四、填表2.1 认识一元二次方程参考答案一、1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.√二、1. ax 2+bx+c=0(a ≠0) 2. 5x 2+6x －1=0 3. x 2+1=0 4. 0 85. 5x 2－22x+3=0；5x 2；－22x ；36. 07. ≠18. ≠4 =49.3k ≠ 10.1，4-，1 11.答案：2a >-且0a ≠三、1.C 2.A 3.D 4.C 5.D 6.D 7. C 8.A 9.C 10.D 11.B。

课题：§2.1 认识一元二次方程（第1课时）【北师大版九年级上学期】宁德市福安县（市、区）学校福安三中姓名罗清声内容分析：1. 课标要求北师大版九年级上学期“§2.1认识一元二次方程”一节包括一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解的概念．《义务教育数学课程标准》对一元二次方程一节相关的内容没有提出具体的教学要求，但可以参照对方程概念的要求，即能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型．2. 教材分析知识层面：教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇，并在第一节中又给出两个实际问题，通过建立方程，并引导学生思考这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念．在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法．一般形式也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数和“项数”等角度进行归纳的结果；a≠0的规定是由“二次”所要求的，这实际上也是从不同侧面理解一元二次方程概念的契机．本节以实际问题为背景，引出一元二次方程的概念，归纳出一元二次方程的一般形式，给出一元二次方程的根的概念，并指出一元二次方程的根不唯一。

本节内容实在前面所学方程的基础上进行学习，也是后面学习二次函数的一个基础。

这些概念是全章后继内容的基础。

能力层面：本章开篇，教科书利用花边有多宽这一典型的数学生活问题，通过建立数学模型得到一个一元二次方程，由此引发学习本章内容的需要．接着，通过五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和的问题以及梯子的底端滑动距离的问题，又得到两个一元二次方程，然后引导学生从“未知数的个数”和“最高次数”两个方面进行归纳，抽象出一元二次方程的概念及其数学符号表示（一元二次方程的一般形式）．这样编排，不仅可以使学生认识到学习一元二次方程是解决实际问题的需要，而且还可以使学生体验运用数学知识解决实际问题的基本过程，积累数学活动经验，从而培养模型思想，逐步形成应用意识．思想层面：引入一元二次方程概念的过程中，教科书在“边空”中多次安排提示性设问“方程中未知数的个数和最高次数各是多少？”再在“思考”栏目中提出归纳几个方程共同特点的学习任务；在给出一元二次方程概念、一般形式后，通过“为什么规定a≠0？”引导学生辨析概念；最后通过例题，让学生用概念做判断．这样安排，体现了概念学习的一般过程，教科书在归纳具体方程的共同特点、辨析概念的关键词等关键环节中设置问题，引导学生进行独立思考与发现．3. 学情分析本班为自己任课的班级，学生基础较差，教学中应给予充分思考的时间，谨防填塞式教学。

《认识一元二次方程》◆教材分析学生的知识技能基础：学生在七年级上学期学习的一元一次方程中，已经学习过方程的解的概念，此后又分别在二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程中多次学习了关于方程(或方程组)的求解的过程。

因此对本章中的“使一元二次方程的左右两边的值相等的未知数的值即为该一元二次方程的解”的概念不难理解；学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经初步感受到了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验，解决了一些实际问题。

同时通过上一节课的学习，学生发现，一元二次方程在生活中也有着广泛的应用，而列方程、解方程和应用方程是一体的。

在学生已有的估算能力的基础上，引导学生在具体的问题情境中，经历估计近似解的过程，寻找方程的解。

同时，在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

◆教学目标【知识与能力目标】让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想。

【过程与方法目标】1、结合上一节课的实际问题中所建立的一元二次方程模型，激发学生求解的意识。

2、经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力。

【情感态度价值观目标】进一步提高学生分析问题的能力，培养学生大胆尝试的精神，在尝试的过程中体验到学习数学的乐趣，培养学生的合作学习意识，学会在合作学习中相互交流。

◆教学重难点◆【教学重点】探索满足一元二次方程解或近似解的过程。

【教学难点】由具体问题抽象出方程的过程。

◆课前准备◆课件。

◆教学过程一、情境导入思考：1、你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗？2、你能根据商品的销售利润作出一定决策吗？得出新知：与一次方程和分式方程一样,一元二次方程也是刻画现实的有效数学模型这就是这节课要学习的内容。

二、合作探究给出例子：例1：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为8m，宽为5m．如果地毯中央长方形图案的面积为18m²，则花边多宽？先让同学们自行思考或者相互讨论，应该怎样解决这个问题呢？老师一步步给出解答，在解答中适当设置填空，考察同学们的能力。

第二章一元二次方程2．1 认识一元二次方程（一）课题 2.1 认识一元二次方程课型新授课教学目标1．要求学生会根据具体问题列出一元二次方程。

通过“未铺地毯区域有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的提出，让学生列出方程，体会方程的模型思想，培养学生把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。

2．通过教师的讲解和引导，使学生抽象出一元二次方程的概念，培养学生归纳分析的能力。

教学重点一元二次方程的概念教学难点如何把实际问题转化为数学方程学情分析本课通过丰富的实例：未铺地毯区域有多宽、梯子的底端滑动多少米，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。

学生在以前的学习中已经了解了方程的概念，但对于一元二次方程没有深入的理解。

通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数学模型。

教学后记教学内容及过程教师活动学生活动一、通过实例引入新课1．在开始新的一个单元的时候，要向学生讲清楚本单元的主要内容和总体目标，这样可以让学生对本单元的内容做到整体把握和概览。

2．进人本单元的第一节：认识一元二次方程? 板书课题，明确本节课的中心任务。

3．播放“未铺地毯区域有多宽”的课件，说明题目的条件和要求，课件要求制作得精美并且可以清楚得显示出各个量之间的关系。

4．给学生时间思考：如何明确并用数学式子表示出题目中的各个量？5．让学生回答他们的答案是什么，给予点评，让学生核对答案，可以以学生举手示意的方式掌握全班的情况。

6．继续进行下二个问题：板书P31的等式，提出问题：你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?8．让学生说出自己的答案，点评，其他学1．认真听讲，对本单元(一元二次方程) 有了一个较好的总体认识，为新的内容的学习作好准备。

2．进入良好的学习状态，在教师的引导下顺利进入到新课的学习中，新颖的标题也引起了学生的兴趣；3．很有兴趣地观看课件，对“未铺地毯区域有多宽”的问题产生了很强的探究的欲望，但大部分学生不知道如何找到解决问题的方法，新的任务与原来的认知结构发生冲突。

一元二次方程的概念与解法讲义【学习目标】1．了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数； 2．了解一元二次方程的根的意义；3．能够根据一元二次方程的定义求解待定字母的值；4．会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．【教学重难点】掌握一元二次方程的解法．考点1：一元二次方程的概念 知识点与方法技巧梳理：1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2，这样的整式方程叫做一元二次方程． 我们把ax2＋bx ＋c ＝0（a ，b ，c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx ，c 分别称为二次项、一次项和常数项，a ，b 分别称为二次项系数和一次项系数．【例1】1下列方程：①13122=-xx ；②05222=+-y xy x ；③0172=+x ；④022=y ． 其中一元二次方程是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和③ 【变式】下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．20y x-= B ．210x y -+= C ．3210x x -+= D ．220x x +-=【例2】关于x 的方程01)2(22=-+--mx x m m 是一元二次方程，则m ＝___________．【变式1】已知2(4)(4)30m m xm x --+--=是关于x 的一元二次方程，则m ＝___________．【变式2】若1-=x 是关于x 的一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的一个根，求代数式22016()a b c -+的值．【例3】把一元二次方程)1(2)2)(1(2-=+-x x x 化成一般形式为______________________． 【变式】把一元二次方程(82)(52)18x x --=化成一般形式______________________．考点2：用直接开平方法解一元二次方程 知识点与方法技巧梳理：直接开平方法：如果方程2()x m n +=（n ≥0），那么就可以用两边开平方来求出方程的解． 【例】用直接开平方法解下列方程： （1）2250x -=（2）212(1)90x +-=【变式】用直接开平方法解下列方程： （1）214m +=（2）24(31)124x --=（3）900)12(16002=-x （4）08)12(212=--x （5）22(32)(4)x x -=+（6）224(2)(23)x x -=+考点3：用配方法解一元二次方程 知识点与方法技巧梳理：配方法：通过配成完全平方公式的方法来求出方程的解．用配方法解一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的一般步骤是： ①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使得方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化原方程为2()x m n +=；⑤如果n ≥0就可以用两边直接开平方法来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无实数解．注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如22(4)3(4)x x -+=+中，不能随便约去(4)x +． 【例】用配方法解下列方程： （1）2147x x -=（2）23395x x x ++=+【变式】用配方法解下列方程： （1）0342=+-x x （2）212280x x +-= （3）22129x x -=（4）161442=++x x （5）2132x x x ++=-+（6）24123x x x -+=+考点4：用公式法解一元二次方程 知识点与方法技巧梳理：公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．求根公式是通过配方推导出来的． 一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的求根公式是24b b ac x -±-（b2－4ac ≥0）．应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定系数a 、b 、c 的值；③求出b2－4ac 的值； ④若b2－4ac ≥0，则代入求根公式，求出x 1、x 2；若b2－4ac ＜0，则方程无实数解． 【例】用公式法解下列方程：（1）0232=--x x（2）52)2)(1(+=++x x x【变式】用公式法解下列方程： （1）0822=--x x （2）02722=+-x x （3）2134x x =（4）(2)50x x --=考点5：用因式分解法解一元二次方程 知识点与方法技巧梳理：因式分解法：用因式分解求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法． 因式分解法的理论根据是：由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0．因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积（提公因式或乘法公式或十字相乘法等） ③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个方程，它们的解就是原一元二次方程的解． 注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如22(4)3(4)x x -+=+中，不能随便约去(4)x +． ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外），但又必须熟练掌握．解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法． 【例】用因式分解法解下列方程： （1）0232=+-x x （2）01762=+-x x （3）272x x =（4）3(23)23x x x +=+【变式】用因式分解法解下列方程： （1）23x x =（2）4(21)3(21)x x x -=- （3）2(31)31x x x -=-（4）23(2)4(2)x x -=- （5）22150x x --=（6）246100x x --=【能力提升】 1．已知11(1)401m x m x m ++--=+是关于x 的一元二次方程，则m 的值为___________． 2．关于x 的方程是(m2－1)x2＋(m －1)x －2＝0．①当m __________时，方程为一元二次方程；②当m __________时，方程为一元一次方程．3．已知关于x 的一元二次方程22(1)a x x a --+＝1有一个根为0，则a 的值为___________． 4．一元二次方程264x x -+＝0可以化成2()x m +＝n 的形式，则m ＝_________，n ＝_________． 5．已知三角形的两边长分别是2和9，第三边长是一元二次方程21448x x -+＝0的两根，则这个三角形的周长是（ ）A ．11B ．17C ．17或19D ．19 6．方程2230x x --=的解是______________．7．设a ，b 是一个直角三角形两条直角边的长，且2222()(1)a b a b +++＝12，则这个直角三角形的斜边长为___________．8．已知一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0的一个根是1，且b 112a a --，则此一元二次方程的解是______________．9．已知x 1，x 2是二次方程ax2＋bx ＋c ＝0的两根，记S 1＝x 1＋x 2，S 2＝x 12＋x 22，…，S n ＝x 1n ＋x 2n ，则 aS n ＋bS n －1＋cS n －2的值为___________．10．已知a 是方程x2－3x ＋1＝0的一个根，求下列各式的值：（1）24291a a a -+ （2）223251a a a -++． ★★熟记一元二次方程的概念和几种解法，下次课要背或默写． 作业1．用配方法解一元二次方程2810x x --=，配方后得（ ）A ．2(4)17x +=B ．2(4)15x +=C ．2(4)17x -=D ．2(4)15x -= 2．已知2是关于x 的方程x2－2a ＝0的一个解，则2a －1的值为___________．3．已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a2－1＝0的一个根是0，则a 的值为___________．4．一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0若有两根1和－1，那么a ＋b ＋c ＝_________，a －b ＋c ＝_________．5．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程268x x -+＝0的根，则该三角形的周长为（ ）A ．8B ．10C ．8或10D ．12 6．解下列方程： （1）211063x x +-=（2）)3)(21()12(5+-=-x x x。