二次根式小结(1)

储潭中学数学学案编制：占超根 审核：八年级数学组 使用人 班级 2014、2、14 得数学者得天下用思考历练自己 用智慧塑造人生 知识是学出来的 能力是练出来的1 二次根式 概念性质运算第16章二次根式 单元小结学习目标：1、会识别二次根式以及确定其有意义的条件；2、会根据有关性质化简二次根式；3、会进行二次根式的四则混合运算.学习重点：会正确进行二次根式的混合运算.学习难点：注意二次根式的性质、运算法则的适用条件一、 知识网络二、知识达标1、形如 （ ）的式子称为二次根式.2、二次根式的性质：①a （a ≥0）是一个 数 ；② （a ）2= （a ≥0） ③当a ≥0时，2a =_____；当a<0时，2a =_______， 3、用基本 符号把数或字母连接起来的式子称为代数式.4二次根式的乘、除法则：（逆用时可作为化简二次根式的性质）①a ·b ＝ （ ）② = （ ）5、最简二次根式的条件：① 被开方数中不含 ；②被开方数中不含 的因数或因式（这里指整数或整式）.6、二次根式的加减法则：先化成 二次根式，再将被开方数 的二次根式 .（简单记为“一化二合并”）7、进行二次根式的混合运算①运算顺序：先 、再 、最后 ，有括号时可以先算括号里面的；②整式的运算法则、性质、运算律、乘法公式 和 等仍适用.三、典例引领【例1】当x 是多少时，(1)23x ++11x +在实数范围内有意义？课海拾贝 反思纠错【例2】 (1)已知y=2x -+2x -+5，求xy的值．（2）若 ，求xy 的值【例3】计算 （1）（2） 四、自主检测1、若3x -+3x -有意义，则2x -=_______．2、若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．3、下列各式：①33+3=63；②177=1；③2+6=8=22；④243=22，其中错误的有 （只填序号） 4、已知32,32x y =+=-，求33_________x y xy += 5、先化简再求值：当a=9时，求a+212a a -+的值。

二次根式小结与思考(1)学习目标：理解二次根式概念，掌握二次根式的性质及基本运算法则，能运用二次根式知识解决相关问题。

学习过程：一、复习回顾1、我们把式子_____________________叫二次根式，二次根式有意义的条件是_____________________。

2、二次根式主要有以下性质： ⑴()2a =________（________） ⑵2a =________3、二次根式乘除法法则： ⑴a b = ________（________），反之_____________________ ⑵ab =________（__________），反之______________________4、二次根式化简，就是使二次根式满足：⑴___________________________________________________⑵___________________________________________________⑶___________________________________________________5、_______________________________________________叫同类二次根式。

6、二次根式相加减，先________________，然后___________________。

7、二次根式运算与整式的运算比较，相同点是___________，不同点是_________。

二、典型例题例1、在函数34x y x +=-中，自变量x 的取值范围是____________。

例2、若化简2|1|816x x x ---+的结果为2x －5，则x 的取值范围是（ ）A 、x 为任意实数B 、1≤x ≤4C 、x ≤1D 、x ≥4例3、下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）A 、8B 、0.3C 、23D 、12例4、若一个三角形三边长为a 、b 、c ，设1()2P a b c =++，则这个三角形的面积 ()()()S P P a P b P c =---（海伦——秦九韶公式），当a ＝4，b ＝5，c ＝6时，求S 值。

二次根式必考点归纳总结必考点一 二次根式的概念掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如√a （a ≥0）的式子叫做二次根式，理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 例题1 下列式子一定是二次根式的是（ ） A ．√−x −2B ．√xC ．√a 2+1D ．√x 2−2【解析】根据二次根式的定义可得√a 2+1中得被开方数无论x 为何值都是非负数，选C ．变式1 在式子√x2（x ＞0），√2，√y +1（y ＝﹣2），√−2x （x ＞0），√33，√x 2+1，x +y 中，二次根式有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】√x2（x ＞0），√2，√x 2+1符合二次根式的定义．√y +1（y ＝﹣2），√−2x （x ＞0）无意义，不是二次根式．√33属于三次根式．x +y 不是根式．选B ． 变式2 在式子√π−3.14，√a 2+b 2，√a +5，√−3y 2，√m 2+1，√|ab|中，是二次根式的有（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【解析】在所列式子中是二次根式的有√π−3.14，√a 2+b 2，√m 2+1，√|ab|这4个，选B ． 变式3 下列各式中①√83；②√−(−b)；③√a 2；④√1|x|+0.1；⑤√x 2+2x +1一定是二次根式的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如√a （a ≥0）的式子叫做二次根式，据此逐一判断即可得． 【解析】①√83；②√−(−b)；③√a 2；④√1|x|+0.1；⑤√x 2+2x +1一定是二次根式的是③④⑤，选C ．必考点二 二次根式有意义的条件（求取值范围）对于二次根式有意义的条件求取值范围类题型，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数以及分式分母不为零．例题2 若式子√m−1m−2在实数范围内有意义，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1B ．m ≤1且m ≠2C ．m ≥1且m ≠2D ．m ≠2【分析】分别根据二次根式及分式有意义的条件列出关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可． 【解析】∵√m−1m−2在实数范围内有意义，∴{m −1≥0m −2≠0，解得m ≥1且m ≠2．选C ．变式4 要使√2x −113−x有意义，则x 的取值范围为（ ） A ．12≤x ≤3B ．12＜x ≤3C ．12≤x ＜3D ．12＜x ＜3【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【解析】要使√2x −11√3−x 有意义，则2x ﹣1≥0，3﹣x ＞0，解得：12≤x ＜3．选C ． 变式5 若使式子√2−x ≥√x −1成立，则x 的取值范围是（ ） A ．1.5≤x ≤2B ．x ≤1.5C ．1≤x ≤2D ．1≤x ≤1.5【解析】由题意可得：{2−x ≥0x −1≥02−x ≥x −1，解得：1≤x ≤1.5．选D ．变式6 等式√a−3a−1=√a−3a−1成立的条件是（ ）A ．a ≠1B ．a ≥3且a ≠﹣1C ．a ＞1D ．a ≥3【分析】观察等式右边，根据二次根式有意义和分式的分母不为0的条件列出不等式组，求出a 的范围 【解析】∵等式√a−3a−1=√a−3a−1成立，∴{a −3≥0a −1＞0，∴a ≥3．选D ．必考点三 次根式有意义的条件（被开方数互为相反数）对于解决此类型题目关键从被开方数中找出一对相反数，利用二次根式的被开方数是非负数进行求解即可. 例题3 已知，x 、y 是有理数，且y =√x −2+√2−x −4，则2x +3y 的立方根为 ．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x ＝2，进而可得y 的值，然后计算出2x +3y 的值，进而得立方根． 【解析】由题意得：{x −2≥02−x ≥0，解得：x ＝2，则y ＝﹣4，2x +3y ＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．所以√−83=−2．【小结】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 变式7 若a ，b 为实数，且b =√a 2−9+√9−a 2a+3+4，则a +b 的值为（ ） A ．﹣1 B ．1C ．1或7D ．7【解析】∵b =√a 2−9+√9−a 2a+3+4，∴a 2﹣9＝0且a +3≠0，解得a ＝3，b ＝0+4＝4，则a +b ＝3+4＝7．选D ．变式8 已知√2x +y −3+√x −2y −4=√a +b −2020×√2020−a −b ， （1）求a +b 的值；（2）求7x +y 2020的值． 【分析】（1）根据二次根式有意义即可求出答案．（2）根据二次根式有意义的条件列出方程组求出x 与y 的值即可求出答案．【解析】（1）由题意可知：{a +b −2020≥02020−a −b ≥0，解得：a +b ＝2020．（2）由于√a +b −2020×√2020−a −b =0，∴{2x +y −3=0x −2y −4=0，∴解得：{x =2y =−1∴7x +y 2020＝14+1＝15．变式9 已知√3x +y −z −8+√x +y −z =√x +y −2019+√2019−x −y ，求（z ﹣y ）2的值． 【分析】首先根据二次根式的被开方数是非负数推知：原题中方程右边为0．方程左边也为0，据此求得x 、y 、z 的值；然后代入求值．【解析】由题中方程等号右边知：√x +y −2019有意义，则x +y ﹣2019≥0，即x +y ≥2019，√2019−x −y 有意义，则2019﹣x ﹣y ≥0，即x +y ≤2019，即{x +y ≤2019x +y ≤2019，∴x +y ＝2019．∴√x +y −2019=0，√2019−x −y =0． ∴原题中方程右边为0．∴原题中方程左边也为0，即√3x +y −z −8+√x +y −z =0． ∵√≥0，√x +y −z ≥0．∴3x +y ﹣z ﹣8＝0，x +y ﹣z ＝0． 又x +y ＝2019，∴{3x +y −z −8=0x +y −z =0x +y =2019，∴{x =4y =2015z =2019．∴（z ﹣y ）2＝（2019﹣2015）2＝42＝16．必考点四 二次根式的性质与化简（根据被开方数为非负数）对于解决此类型的题目关键根据被开方数为非负数确定相关字母的符号，利用二次根式的性质即可化简. 例题4 已知a ≠0且a ＜b ，化简二次根式√−a 3b 的正确结果是（ ） A ．a √abB ．﹣a √abC ．a √−abD ．﹣a √−ab【解析】由题意：﹣a 3b ≥0，即ab ≤0，∵a ＜b ，∴a ＜0＜b ， 所以原式＝|a |√−ab =−a √−ab ，选D ．变式10 与根式﹣x √−1x 的值相等的是（ ）A ．−√xB ．﹣x 2√−xC ．−√−xD ．√−x【分析】将原式进行化简后即可确定正确的选项．【解析】∵√−1x 有意义，∴x ＜0，∴﹣x √−1x ＞0，∴﹣x √−1x =−x •√−x−x=√−x ，选D ．【小结】考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，解题的关键是了解原式有意义是x 的取值范围，难度不大．变式11化简﹣a√1a的结果是（）A．√a B．−√a C．−√−a D．√−a【解析】∵1a≥0，∴a＞0，∴﹣a＜0，∴﹣a√1a=−√a，选B．变式12把代数式（a﹣1）√11−a中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（）A．−√1−a B．√a−1C．√1−a D．−√a−1【解析】（a﹣1）√1(1−a)=−（1﹣a）√11−a=−√1−a．选A．必考点五二次根式的性质与化简（根据字母取值范围或数轴）例题5若1≤x≤4，则|1−x|−√(x−4)2化简的结果为（）A．2x﹣5B．3C．3﹣2x D．﹣3【解析】∵1≤x≤4，∴原式＝|1﹣x|﹣|x﹣4|＝x﹣1﹣（4﹣x）＝x﹣1﹣4+x＝2x﹣5，选A．变式13实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简√(a+1)2+√(b−1)2−√(a−b)2的结果是（）A．﹣2B．0C．﹣2a D．2b【解析】由数轴可知﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴√(a2+√(b−1)2−√(a−b)2|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|＝﹣（a+1）+（b﹣1）+（a﹣b）＝﹣2，选A．变式14若a、b、c为三角形的三条边，则√(a+b−c)2+|b﹣a﹣c|＝（）A．2b﹣2c B．2a C．2（a+b﹣c）D．2a﹣2c【解析】∵a、b、c为三角形的三条边，∴a+b＞c，a+c＞b，∴原式＝|a+b﹣c|+|a+c﹣b|＝a+b﹣c+a+c﹣b＝2a．选B．变式15已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简√a2+|a﹣c|+√(b−c)2−|b|．【解析】由数轴可知：c＜a＜0＜b，∴a﹣c＞0，b﹣c＞0，∴原式＝|a|+|a﹣c|+|b﹣c|﹣|b|＝﹣a+（a﹣c）+（b﹣c）﹣b＝﹣2c．必考点六最简二次根式的概念最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．例题6 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A ．√8B ．√2x 2yC ．√ab 2D ．√3x 2+y 2【解析】A .√8=2√2，可化简；B .√2x 2y =|x |√2y ，可化简；C .√ab 2=√2ab 2，可化简； D .√3x 2+y 2不能化简，符合最简二次根式的条件，是最简二次根式；选D ． 变式16 在根式√xy 、√12、√ab2、√x −y 、√x 2y 中，最简二次根式有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】根式√xy 、√12、√ab 2、√x −y 、√x 2y 中，最简二次根式有√xy 、√ab2、√x −y ，共3个，选C ． 变式17 若二次根式√5a +3是最简二次根式，则最小的正整数a 为 2 ． 【解析】若二次根式√5a +3是最简二次根式，则最小的正整数a 为2， 变式18 若√2m+3和√32m−n+1都是最简二次根式，则m +n ＝ ﹣6 ． 【解析】由题意可得：{m +3=12m −n +1=1，解得：{m =−2n =−4，∴m +n ＝﹣6必考点七 同类二次根式的概念同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以合并．例题7 下列二次根式：√32，√18，√43，−√125，√0.48，其中不能与√12合并的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】∵√12=2√3，√18=3√2，√43=2√33，−√125=−5√5，√0.48=2√35， ∴不能与√12合并的是√18、−√125这2个，选B ．变式19 若最简二次根式√x +3与最简二次根式√2x 是同类二次根式，则x 的值为（ ） A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝3【解析】∵最简二次根式√x +3与最简二次根式√2x 是同类二次根式，∴x +3＝2x ，解得：x ＝3，选D ． 变式20 若最简二次根式√3m +n ，2√4m −2可以合并，则m ﹣n 的值为 ．【分析】由题意可知，√3m +n 与2√4m −2同类二次根式，即被开方数相同，由此可列方程求解． 【解析】根据题意3m +n ＝4m ﹣2，即﹣m +n ＝﹣2，所以m ﹣n ＝2．【小结】本题考查同类二次根式的概念：化为最简二次根式后，被开方数相同的根式称为同类二次根式；同类二次根式可以合并．变式21 若最简二次根式√2x +y −53x−10和√x −3y +11是同类二次根式． （1）求x ，y 的值；（2）求√x 2+y 2的值．【解析】（1）根据题意知{3x −10=22x +y −5=x −3y +11，解得：{x =4y =3；（2）当x ＝4、y ＝3时，√x 2+y 2=√42+32=√25=5．必考点八 二次根式的加减运算二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答． 例题8 计算：（1）3√3−√8+√2−√27 （2）7a √7a −4a 2√18a+7a √2a 【解析】（1）原式=3√3−2√2+√2−3√3=−√2， （2）原式=7a √7a −a √2a +7a √2a =7a √7a +6a √2a ． 变式22 计算：（1）2√12−6√13+3√48 （2）5√x 5+52√4x 5−x √20x【解析】（1）原式＝4√3−2√3+12√3＝14√3．（2）原式=√5x +√5x −2√5x ＝0 变式23 计算：（1）2√3+3√12−√48 （2）32√4x −（15√x25−2√x 2）（x ＞0） 【解析】（1）原式＝2√3+6√3−4√3＝4√3；（2）原式=32×2√x −（15×√x5−2x ）＝3√x −3√x +2x ＝2x ． 变式24 计算（1）√27−√45−√20+√75（2）2√a −3√a 2b +5√4a −2b √a 2b (a ≥0，b ＞0) 【解析】（1）原式＝3√3−3√5−2√5+5√3＝8√3−5√5； （2）原式＝2√a −3a √b +10√a −2a √b ＝12√a −5a √b ．必考点九 二次根式的乘除运算掌握二次根式的乘除法法则是解决此类题的关键，①两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变；②两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.例题9 计算：√313÷(25√213)×(4√125)．【解析】√313÷(25√213)×(4√125)＝（1÷25×4）√103÷73×75＝（1×52×4）√103×37×75＝10√2．变式25 计算：n m √n 3m 3⋅(−1m √n 3m 3)÷√n2m3． 【解析】n m √n3m 3⋅(−1m √n 3m 3)÷√n2m3=n m×（−1m）÷1√n 3m 3×n 3m 3×2m 3n=−n m 2√2n 33m 3 =−n m 2×|n|3m 2√6mn ＝±n 23m4√6mn ．变式26 化简：2x3y√2x3y 3⋅(4x √÷(4x 2y √3x 2y)【解析】原式=2x 3y •√2x y 3y •4x •3√xy ÷（4x 2y x √3√y）=√2x 33y 2•√y 4√3x 3y =2√2y 3y 3变式27 计算：2b√ab •（−32√a 3b ）÷13√ba （a ＞0） 【解析】2b√ab •（−32√a 3b ）÷13√b a （a ＞0）=−3b •a 2b ÷13√b a ＝﹣9a 2√a b =−9a 2b √ab ． 必考点十 二次根式的混合运算二次根式的混合运算可以说是二次根式乘、除法、加、减法的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的；②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”；例题10 （1）计算：√3×√12+√6÷√2−√27；（2）化简：√18x +2x √x 32+x ÷√x2．【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；（2）先进行二次根式的除法法则运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可． 【解析】（1）原式=√3×12+√6÷2−3√3＝6+√3−3√3＝6﹣2√3； （2）原式＝3√2x +√2x +x •√2√x＝3√2x +√2x +√2x ＝5√2x ． 【小结】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．变式28 （1）计算：√12×√34+√24÷√6．（2）计算：(√5+√3)2−(√5+√2)(√5−√2)．【解答】（1）原式=14×√12×3+√24÷6=32+2 =72； （2）原式=5+2√15+3−(5−2)=8+2√15−3 =5+2√15．变式29 计算：（1）（2√3−1）2+（√3+2）（√3−2）；（2）√48÷2√3−√27×√63+4√12．【解析】（1）原式＝12﹣4√3+1+3﹣4＝12﹣4√3；（2）原式=12√48÷3−13√27×6+2√2＝2﹣3√2+2√2＝2−√2．变式30 计算：（1）（√3−2）（√3+2）﹣（√3−1）2+5； （2）（2√2x3−√10x •√15）÷√6x 3．【解析】（1）原式＝（3﹣4）﹣（3﹣2√3+1）+5＝﹣1﹣3+2√3−1+5＝2√3； （2）原式＝（23√6x −5√6x ）÷√6x3=−13√6x 3•√6x＝﹣13． 必考点十一 二次根式的化简求值例题11 若x ，y 是实数，且y =√4x −1+√1−4x +13，求（23x √9x +√4xy ）﹣（√x 3+√25xy ）的值．【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x 的值，求出y 的值，再把根式化成最简二次根式，合并后代入求出即可．【解析】∵x ，y 是实数，且y =√4x −1+√1−4x +13，∴4x ﹣1≥0且1﹣4x ≥0，解得：x =14，∴y =13， ∴（23x √9x +√4xy ）﹣（√x 3+√25xy ）＝2x √x +2√xy −x √x −5√xy ＝x √x −3√xy=14√14−3√14×13=18−12√3． 变式31 已知x =1√5−√3y =1√5+√3，求下列各式的值： （1）x 2﹣xy +y 2；（2）y x+x y． 【解析】（1）∵x =1√5−3=√5+√32，y =1√5+3=√5−√32，∴x +y =√5，xy =12，则x 2﹣xy +y 2＝（x +y ）2﹣3xy ＝5−32=72； （2）yx +x y=x 2+y 2xy =(x+y)2−2xy xy =5−112＝8． 变式32 已知x =12(√5+√3)，x =12(√5−√3)，求x 2﹣3xy +y 2的值．【分析】先由x 、y 的值计算出x ﹣y 、xy 的值，再代入原式＝（x ﹣y ）2﹣xy 计算可得．【解析】∵x =12(√5+√3)，y =12(√5−√3)， ∴x ﹣y =12(√5+√3)−12(√5−√3)=√52+√32−√52+√32=√3，xy =12(√5+√3)×12(√5−√3)=14×（5﹣3）=14×2=12， 则原式＝（x ﹣y ）2﹣xy ＝（√3）2−12＝3−12=52． 变式33 已知x =b 2a+b−2a−b ，y =b2a+b+2a−b，求x 2﹣xy +y 2的值．【分析】根据分母有理化化简x 与y ，然后求出x +y 与xy 的表达式即可求出答案． 【解析】∵x =√2a+b−√2a−b ，y =√2a+b+√2a−b，∴x =√2a+b+√2a−b2，y =√2a+b−√2a−b2，∴x +y =√2a +b ，xy =b2，∴原式＝x 2+2xy +y 2﹣3xy ＝（x +y ）2﹣3xy ＝2a +b −3b2＝2a −b2必考点十二 分母有理化二次分母有理化就是通过分子和分母同时乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的． 例题12 阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如√3，√23，√3+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：√3=√3√3×√3=5√33√23=√2×33×3=√63√3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=√3−1)(√3)2−12=√3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简√27（2）化简√5+√3．（3）化简：√3+1+√5+√3+√7+√5+⋯+√2n+1+√2n−1．【分析】（1）分子分母分别乘√3即可；（2）分子分母分别乘√5−√3即可； （3）分母有理化后，合并同类二次根式即可；【解析】（1）√27=√3√27×√3=√33（2）化简√5+√3=√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)=√5−√3（3）化简：√3+1+√5+√3+√7+√5+⋯+√2n+1+√2n−1=12（√3−1+√5−√3+√7−√5+⋯+√2n +1−√2n −1）=12（√2n +1−1） 变式34 阅读下面计算过程：√2+1=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−1；√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2；√5+2=√5−2)(√5+2)(√5−2)=√5−2．求：（1）√7+√6的值．（2）√n+1+√n （n 为正整数）的值．（3）√2+1+√3+√2+√4+√3+⋯+√100+√99的值．【分析】（1）根据给定算式，在分式√7+√6的分母和分子上分别相乘（√7−√6），计算后即可得出结论；（2）根据给定算式，在分式√n+1+√n的分母和分子上分别相乘（√n +1−√n ），计算后即可得出结论； （3）根据（2）的结论即可得出√2+1+√3+√2+√4+√3+⋯+√100+√99=（√2−1）+（√3−√2）+（2−√3）+…+（10−√99），由此即可算出结论． 【解析】（1）√7+√6=√7−√6)(√7+√6)(√7−√6)=√7−√6； （2）√n+1+√n=√n+1−√n)(√n+1+√n)(√n+1−√n)=√n +1−√n ；（3）√2+1+√3+√2+√4+√3+⋯+√100+√99=（√2−1）+（√3−√2）+（2−√3）+…+（10−√99）＝10﹣1＝9．【小结】本题考查了分母有理化，根据给定算式找出利用平方差公式寻找有理化因式是解题的关键． 变式35 观察下列格式，√5−12−√5−1，√8−22−√8−2，√13−32−√13−3，√20−42−√20−4⋯ （1）化简以上各式，并计算出结果；（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果 （3）用含n （n ≥1的整数）的式子写出第n 个式子及结果，并给出证明的过程． 【分析】（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果； （2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果； （3）根据（1）的规律可得√n 2+4−n2−√n 2+4−n，然后分母有理化，求出结果即可．【解析】（1）√5−12−√5−1=√5−12−√5+1)(√5−1)(√5+1)=√5−12−√5+12=−1， √8−22−√8−2=√8−22−√8+22=−2， √13−32−√13−3=√13−32−√13+32=−3， √20−42−√20−4=√20−42−√20+42=−4， （2）√29−52−√29−5=−5，（3）√n 2+4−n2−√n 2+4−n=√n 2+4−n2−√n 2+4+n2=−n ．变式36 【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化 通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的 例如：化简√3+√2【解析】√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2材料二：化简√a ±2√b 的方法：如果能找到两个实数m ，n ，使m 2+n 2＝a ，并且mn =√b ，那么√a ±2√b =√m 2+n 2±2mn =√(m ±n)2=m ±n 例如：化简√3±2√2【解析】√3±2√2=√(√2)2+12±2√2=√(√2±1)2=√2±1 【理解应用】 （1）填空：化简√5+√3√5−√3的结果等于 ；（2）计算： ①√7−2√10；②√2+1+√3+√2+2+√3+⋯+√2018+√2017+√2019+√2018．【解析】（1）原式=√5+√3)(√5+√3)(5+3)(5−3)=8+2√152=4+√15，（2）①√7−2√10=√(√5)2+(√2)2−2√10=√(√5−√2)2=√5−√2；②原式=√2−1+√3−√2+4−√3+⋯+√2019−√2018=√2019−1．必考点十三复合二次根式的化简例题13阅读理解题，下面我们观察：（√2−1）2＝（√2）2﹣2×1×√2+12＝2﹣2√2+1＝3﹣2√2．反之3﹣2√2=2﹣2√2+1＝（√2−1）2，所以3﹣2√2=（√2−1）2，所以√3−2√2=√2−1．完成下列各题：（1）在实数范围内因式分解3+2√2；（2）化简：√4+2√3；（3）化简：√5−2√6．【解析】（1）3+2√2=12+2√2+(√2)2=(1+√2)2；（2）√4+2√3=√(√3+1)2=√3+1；（3）√5−2√6=√(√3−√2)2=√3−√2．变式37观察下式：（√2−1）2＝（√2）2﹣2•√2•1+12＝2﹣2√2+1＝3﹣2√2反之，3﹣2√2=2﹣2√2+1＝（√2−1）2根据以上可求：√3−2√2=√2−2√2+1=√(√2−1)2=√2−1求：（1）√5+2√6；（2）你会算√4−√12吗？【解析】（1）原式=√2+2√6+3=√(√2+√3)2=√2+√3．（2）原式=√3−2√3+1=√(√3−1)2=√3−1变式38阅读下面的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将√a+2√b化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn=√b，则a+2√b可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得√a+2√b，化简：例如：∵5+2√6=3+2+2√6=（√3）2+（√2）2+2√6=（√3+√2）2．∴√5+2√6=√(√3+√2)2=√3+√2．请你仿照上例将下列各式化简：（1）√4+2√3；（2）√7−2√10．【分析】（1）利用完全平方公式把4+2√3化为（1+√3）2，然后利用二次根式的性质化简即可．（2）利用完全平方公式把7﹣2√10化为（√5−√2）2然后利用二次根式的性质化简即可．【解析】（1）∵4+2√3=1+3+2√3=12+(√3)2+2√3=（1+√3）2，∴√4+2√3=√(1+√3)2=1+√3；（2）√7−2√10=√(√5)2+(√2)2−2×√5×√2=√(√5−√2)2=√5−√2．变式39先阅读下列解答过程，然后再解答：形如√m+2√n的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得(√a)2+(√b)2=m，√a×√b=√n，那么便有：√m±2√n=√(√a±√b)2=√a±√b（a＞b）例如：化简√7+4√3：首先把√7+4√3化为√7+2√12，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：(√4)2+(√3)2=7，√4×√3=√12，所以√7+4√3=√7+2√12=√(√4+√3)2=2+√3．问题：①填空：√4+2√3=，√9+4√5=；②化简：√19−4√15（请写出计算过程）．【分析】①②仿照例题、根据完全平方公式、二次根式的性质解答即可．【解析】①√4+2√3=√(√3)2+2√3+12=√(√3+1)2=√3+1，√9+4√5=√(√5)2+4√5+22=√(√5+2)2=√5+2，②√19−4√15=√(√15)2−4√15+22=√(√15−2)2=√15−2．必考点十四含二次根式的数式规律题例题14观察下列各式：√1+112+122=1+11−12=112√1+122+132=1+12−13=116√1+132+142=1+13−14=1112请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）√1+142+152=1120（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：√1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)；（3）利用上述规律计算：√5049+164（仿照上式写出过程）【解析】（1）√1+142+152=1+14−15=1120；故答案为：1120；（2）√1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1=1+1n(n+1)；故答案为：√1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)；（3）√5049+164=√1+172+182=1156．变式40观察下列各式：√1+112+122=1+11×2，√1+122+132=1+12×3，√1+132+142=1+13×4，…请利用你所发现的规律，（1）计算√1+112+122+√1+122+132+√1+132+142+⋯+√1+192+1102（2）根据规律，请写出第n个等式（n≥1，且n为正整数）．【分析】（1）根据所给等式可得规律，然后再计算即可；（2）根据所给等式可得规律，然后再利用含n的式子表示即可．【解析】（1）原式＝1+11×2+1+12×3+1+13×4+⋯⋯+1+19×10＝1+1−12+1+12−13+1+13−14+⋯⋯+1+19−110＝9+1−110＝9910；（2）第n个等式：√1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)．变式41观察下列各式：①√1+13=2√13，②√2+14=3√14；③√3+15=4√15，…（1）请观察规律，并写出第④个等式：；（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：；（3）请证明（2）中的结论．【分析】（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式；（2）根据规律写出含n的式子即可；（3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可．【解析】（1）√4+16=5√16；（2）√n+1n+2=（n+1）√1n+2；（3）√n+1n+2=√n2+2nn+2+1n+2=√n2+2n+1n+2=√(n+1)2n+2＝（n+1）√1n+2．变式42观察下列各式及其验算过程：√2+23=2√23，验证：√2+23=√2×3+23=√233=2√23；√3+38=3√38，验证：√3+38=√3×8+38=√338=3√38（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想√4+415的变形结果并进行验证．（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．【解析】（1）∵√2+23=2√23，√3+38=3√38，∴√4+415=4√415=4√15=8√1515，验证：√4+415=√6415=8√1515，正确；（2）由（1）中的规律可知3＝22﹣1，8＝32﹣1，15＝42﹣1，∴√n+n2=n√n2，验证：√n+n2=√n32=n√n2；正确；二次根式章节巩固练习1．下列式子是二次根式的是（）A．√−7B．√83C．√a D．√x2+1【分析】二次根式的被开方数是非负数，根指数是2，根据以上内容判断即可．【解析】A、√−7无意义，故本选项不符合题意；B、√83的根指数是3，不是2，故本选项不符合题意；C、当a＜0时，根式无意义，故本选项不符合题意；D、该式子符合二次根式的定义，故本选项符合题意；选D．【小结】本题考查了二次根式的定义．一般形如√a （a ≥0）的代数式叫做二次根式．当a ≥0时，√a 表示a 的算术平方根；当a 小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）． 2．下列说法中，正确的是（ ）A ．被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式B ．只有被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式C ．同类二次根式一定都是最简二次根式D ．两个最简二次根式不一定是同类二次根式【解析】A 、被开方数不同的二次根式可以是同类二次根式，故本选项不符合题意； B 、化简后被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式，故本选项不符合题意； C 、同类二次根式不一定都是最简二次根式，故本选项不符合题意； D 、两个最简二次根式不一定是同类二次根式，故本选项符合题意；选D ． 3．代数式√x+4x−2中，x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣4 B ．x ＞2 C ．x ≥﹣4且x ≠2 D ．x ＞﹣4且x ≠2【解析】由题意得：x +4≥0，且x ﹣2≠0， 解得：x ≥﹣4且x ≠2，选C ．4．下列各式中，互为有理化因式的是（ ） A ．√a +b ，√a −bB ．√5−√2，√5−√2C ．√x −1，√x −1D ．−√a +√b ，√a −√b【解析】√x −1与√x −1互为有理化因式，选C ．5．已知n 是一个正整数，√45n 是整数，则n 的最小值是（ ） A ．3B ．5C ．15D ．45【解析】由于45n ＝32×5n ，∴√45n =3√5n ，由于√45n 是整数，∴n 的最小值为5，选B ． 6．实数a 在数轴上的位置如图所示，则√(a −3)2+√(a −10)2化简后为（ ）A ．7B ．﹣7C ．2a ﹣15D ．无法确定【解析】由数轴上点的位置，得4＜a ＜8．√(a −3)2+√(a −10)2=a ﹣3+10﹣a ＝7，选A ． 7．若x +1x =7，则√x 1√x 的值是（ ）A ．3B ．±3C ．√5D ．±√5【解析】∵x +1x =7，∴（√x +√x ）2＝x +2+1x =7+2＝9，∵√x x 0，∴√x x =3，选A ．8．我们把形如a √x +b （a ，b 为有理数，√x 为最简二次根式）的数叫做√x 型无理数，如2√5+3是√5型无理数，则(√2+√6)2是（ ） A ．√2型无理数B ．√3型无理数C ．√6型无理数D ．√12型无理数【解析】(√2+√6)2=2+2√12+6＝4√3+8，所以(√2+√6)2是√3型无理数．选B ．9．如图，从一个大正方形中裁去面积为16cm 2和24cm 2的两个小正方形，则余下的面积为（ ）A ．16√6cm 2B ．40 cm 2C ．8√6cm 2D ．（2√6+4）cm 2【解析】从一个大正方形中裁去面积为16cm 2和24cm 2两个小正方形，大正方形的边长是√16+√24=4+2√6，留下部分（即阴影部分）的面积是（4+2√6）2﹣16﹣24＝16+16√6+24﹣16﹣24＝16√6（cm 2）．选A ． 10．如果一个三角形的三边长分别为1、k 、4．则化简|2k ﹣5|−√k 2−12k +36的结果是（ ） A ．3k ﹣11B ．k +1C ．1D ．11﹣3k【解析】∵三角形的三边长分别为1、k 、4，∴{1+4＞k4−1＜k ，解得，3＜k ＜5，所以，2k ﹣5＞0，k ﹣6＜0，∴|2k ﹣5|−√k 2−12k +36=2k ﹣5−√(k −6)2=2k ﹣5﹣[﹣（k ﹣6）]＝3k ﹣11．选A ．11．在根式√3，√4x ，√35，√0.25，√20，最简二次根式的个数有 1 个．【解析】最简二次根式有√3这1个，12．如果最简二次根式√3a −4与√16−a 可以合并，那么使√5a −2x 有意义的x 的取值范围是 x ≤252． 【解析】∵最简二次根式√3a −4与√16−a 可以合并，∴3a ﹣4＝16﹣a ，解得：a ＝5， ∴√5a −2x =√25−2x ，要使√25−2x 有意义，必须25﹣2x ≥0，解得：x ≤252，13．若式子√(x −2)2=2﹣x 成立，则x 的取值范围为 x ≤2 ． 【解析】由题意得：x ﹣2≤0，解得：x ≤2，14．若y =√x 2−4+√4−x 2+3，则y x ＝ 9或19 ．【分析】根据二次根式有意义的条件可求x ＝±2，进一步求得y 的值，再代值计算即可求解． 15．已知x +y ＝﹣5，xy ＝4，则√y x+√x y=52．【解析】∵x +y ＝﹣5，xy ＝4，∴x ＜0，y ＜0，√yx +√xy =−（√xy x +√xy y）=−√xy(x+y)xy ， ∵x +y ＝﹣5，xy ＝4，∴原式=−√xy(x+y)xy=−√4×(−5)4=52．16．若m 满足等式√m −2020+|2019﹣m |＝m ，则m ﹣20192的值为 2020 ．【分析】根据二次根式有意义的条件可得m ≥2020，再利用绝对值的性质计算√m −2020+|2019﹣m |＝m 即可．【解析】∵m ﹣2020≥0，∴m ≥2020，∴√m −2020+|2019﹣m |＝m ，√m −2020+m ﹣2019＝m ，√m −2020=2019，∴m ﹣2020＝20192，m ﹣20192＝2020， 17．计算题：（1）2√12÷12√50×12√34−35√2；（2）先化简，再求值．（6x √yx +3y √xy 3）﹣（4x √xy +√36xy ），其中x =32，y ＝27． 【分析】（1）先进行二次根式的乘除运算，再进行二次根式的加减运算即可； （2）先化简每个二次根式，再合并同类二次根式，最后代入计算即可．【解析】（1）原式＝2×2×12√12÷50×34−35√2＝2×310√2−35√2=35√2−35√2 ＝0；（2）原式＝6x √y x +3y √xy 3−4x √x y −√36xy ＝6√xy +3√xy −4x y √xy −6√xy ＝（3−4xy ）√xy =3y−4x y √xy ，当x =32，y ＝27时，原式=81−627√812=252√2． 18．计算 （1）√18−√92√3+√63（√3−2）0+√(1−√2)2；（2）（2√3+√6）（2√3−√6）．【解析】（1）原式=3√2−32√2−1−√2+1+√2−1=32√2−1； （2）原式＝（2√3）2﹣（√6）2＝6．【小结】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 19．已知√x−3y+|x 2−9|(x+3)=0，求√x+√y √x−√y −√x−√y√x+√y的值；【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质得出x ，y 的值，进而利用二次根式的性质化简得出答案．【解析】∵√x−3y+|x 2−9|(x+3)2=0，∴x ﹣3y ＝0，x 2﹣9＝0，且x +3≠0，解得：x ＝3，y ＝1，故√x+√y √x−√y −√x−√y√x+√y=√3+1√3−1−√3−1√3+1=(√3+1)22−(√3−1)22 ＝2+√3−（2−√3）＝2√3．20．已知a ，b ，c 满足等式|a −√7|+（c ﹣4√2）2=√b −5+√5−b （1）求a ，b ，c 的值．（2）判断以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三角形？并求出此三角形的面积；若不能，请说明理由．【分析】（1）根据二次根式的被开方数的非负性可得b 的值，再根据绝对值和偶次方的非负性可得a 和c 的值．（2）先计算两条较短边的长度之和大于第三边，则可判断a ，b ，c 为边能构成三角形；再根据勾股定理逆定理可证明此三角形是直角三角形；然后根据直角三角形的面积计算公式求得面积即可． 【解析】（1）∵|a −√7|+（c ﹣4√2）2=√b −5+√5−b∴b ﹣5≥0，5﹣b ≥0，∴b ＝5∴|a −√7|+（c ﹣4√2）2＝0∴a −√7=0，c ﹣4√2=0 ∴a =√7，b ＝5，c ＝4√2．（2）∵a =√7，b ＝5，c ＝4√2．∴a +b =√7+5＞4√2．∴以a ，b ，c 为边能构成三角形； ∵a 2+b 2＝7+25＝32，c 2=(4√2)2=32，∴a 2+b 2＝c 2 ∴此三角形是直角三角形． 此三角形的面积为：12×√7×5=5√72．21．阅读材料：把根式√x ±2√y 进行化简，若能找到两个数m 、n ，是m 2+n 2＝x 且mn =√y ，则把x ±2√y 变成m 2+n 2±2mn ＝（m ±n ）2开方，从而使得√x ±2√y 化简． 例如：化简√3+2√2解析：∵3+2√2=1+2+2√2=12+（√2）2+2×1×√2=（1+√2）2 ∴√3+2√2=√(1+√2)2=1+√2； 请你仿照上面的方法，化简下列各式： （1）√5+2√6；（2）√7−4√3．【解析】（1）∵5+2√6=3+2+2√6＝（√3）2+（√2）2+2×√3×√2＝（√3+√2）2， ∴√5+2√6=√(√3+√2)2=√3+√2；（2）∵7﹣4√3=4+3﹣4√3=22+（√3）2﹣2×2×√3＝（2−√3）2，∴√7−4√3=√(2−√3)2=2−√3．【小结】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．22．材料阅读： 在二次根式的运算中，经常会出现诸如√2，√3−√2的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”√2=√2(√2)2=√22；√3−√2=√3+√2)(√3−√2)×(√3+√2)=√3+2√2(√3)2−(√2)2=2√3+2√23−2=2√3+2√2． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：√2=√21=√2)22=2√3−1√3=√3−1)×(√3+1)√3×(√3+1)=√3)22(√3)2+√3=3+√3=3+√3．根据上述知识，请你完成下列问题：（1）运用分母有理化，化简：√5−2−√5；（2）运用分子有理化，比较√7−√6与√6−√5的大小，并说明理由；（3）计算：1+√2+√2+√3+√3+√4+√4+√5+⋯+√99+√100的值． 【解析】（1）原式=√5+2(5−2)(5+2)√55×5=√5+2−√5 ＝2；（2）√7−√6＜√6−√5．理由如下：∵√7−√6=√7+√6，√6−√5=√6+√5，而√7+√6＞√6+√5，∵√7−√6√6−√5，∴√7−√6＜√6−√5； （3）原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√100−√99=√100−1＝10﹣1＝9．。

二次根式小结笔记二次根式是代数中常见的一种形式，常常在数学问题中出现。

二次根式主要包括平方根、n次根、有理化等操作。

在学习代数的过程中，对二次根式的理解和运用至关重要。

下面将对二次根式进行小结笔记：平方根平方根是指一个数的平方根的一般形式表示为√a，其中a≥0。

平方根的性质包括：•若a≥0，则√a ≥ 0；•若a>b>0，则√a>√b；•若a>0，则√a存在实数解。

n次根n次根是指一个数的n次根的一般形式表示为√n√a，其中n为次数，a≥0。

n次根的性质包括：•若n为偶数且a≥0，则√n√a ≥ 0；•若n为奇数，则√n√a存在实数解。

有理化有理化是指将含有根号的表达式转化为不含根号的表达式。

有理化的方法包括：•有理化分母：分子、分母同乘√a，将分母中的根号消去；•有理化分子：利用公式(a+b)(a-b)=a²-b²，消去分子中的根号；•有理化式的完全平方公式：对于形如a²-√b 或a²+√b的式子，可以利用完全平方公式转化。

运算二次根式的运算主要包括加减乘除四则运算。

在进行运算时，需要注意同类项的相加减，乘法时要注意根号内外的乘法规则，而除法时要注意消去根号以得到最简形式。

实例应用二次根式在数学问题中的应用广泛，例如在代数方程、勾股定理等问题中都会涉及到二次根式的运算和化简。

通过对二次根式的小结笔记，我们可以更好地理解和运用二次根式，加深对代数知识的理解。

熟练掌握二次根式的性质和运算规则，能够更轻松地解决数学问题，提高数学水平。

二次根式小结与复习“温故而知新”【要点归纳】1. 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．2. 二次根式的性质：①②③④3. 二次根式的运算；二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减．（1）二次根式的加减：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．（2）二次根式的乘法：（3）二次根式的除法：注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．（4）二次根式的混合运算：先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数．例如不能写成．（5）有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：①与；②与；③与；④与．说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化．二次根式强化训练与复习巩固自测试题一、填空题：1．化简：______；_________．2．当______时，．3．等式成立的条件是______．4．当，化简_______．5．比较与的大小：_______．6．分母有理化：（1）__________；（2）__________；（3）__________．7．已知，，，那么________．8．计算___．9．如果，那么的值为__．10．若有意义，则的取值范围是___________．二、选择题：（每小题2分，共20分）1．下式中不是二次根式的为( ) A．B．C．D．2．计算得（）A．B．C．D．17 3．若，则化简等于（）A．B．C．D．14．化简的结果是（）A．B．C． D．5．计算的结果是（）A．B．C． D．6．化简的结果是（）A．2 B． C． D．以上答案都不对7．把式子中根号外的移到根号内，得（）A．B．C．D．8．等式成立的条件是（）A．B．C．D．9．的值为（）A．B．C．D．10．若代数式有意义，则的取值范围是（）A．且B．C．且D．且三、计算与化简：（每小题2分，共16分）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）四、求值题：（每小题4分，共16分）1．已知：，求的值．2．已知，求的值。

二次根式数学知识点二次根式数学知识点在日常的学习中，大家最不陌生的就是知识点吧！知识点在教育实践中，是指对某一个知识的泛称。

还在苦恼没有知识点总结吗？下面是店铺精心整理的二次根式数学知识点，欢迎大家分享。

二次根式数学知识点篇11.乘法规定：(a≥0，b≥0)二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。

推广：(1)(a≥0，b≥0，c≥0)(2)(b≥0，d≥0)2.乘法逆用：(a≥0，b≥0)积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。

注意：公式中的a、b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0;3.除法规定：(a≥0，b>0)二次根式相处，把被开方数相除，根指数不变。

推广：，其中a≥0，b>0，。

方法归纳：两个二次根式相除，可采用根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得得结果相乘。

4.除法逆用：(a≥0，b>0)商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

二次根式数学知识点篇2二次根式的概念形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0是√a为二次根式的前提条件，如√5，√（x2+1），√（x—1）（x≥1）等是二次根式，而√（—2），√（—x2—7）等都不是二次根式。

二次根式取值范围1、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时√a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，√a没有意义。

知识点三：二次根式√a（a≥0）的非负性√a（a≥0）表示a的算术平方根，也就是说，√a（a≥0）是一个非负数，即√a≥0（a≥0）。

注：因为二次根式√a表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（a≥0）的算术平方根是非负数，即√a≥0（a≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

二次根式知识点一、二次根式的定义二次根式是指具有形式√a的数，其中a为非负实数。

在二次根式中，根号下的数a叫做被开方数。

二、二次根式的性质1. 二次根式的值始终为非负实数，即√a ≥ 0。

2. 二次根式的积仍然是一个二次根式，即√a · √b = √(a·b)。

3. 二次根式的商仍然是一个二次根式，即√a ÷ √b = √(a÷b)，其中b≠ 0。

4. 二次根式的乘方仍然是一个二次根式，即(√a)^n = √(a^n)，其中n为正整数。

5. 二次根式可以与整数运算，即√a + √b = √a + √b。

6. 同类项相加，即a·√b + c·√b = (a+c)·√b。

三、二次根式的化简1. 将二次根式改写成带有平方数因子的形式，如√(a ·b) = √a · √b。

2. 合并同类项，如√a + √a = 2√a。

3. 分解被开方数的因数，如√(a·a·b) = a√b。

4. 有理化分母，如分母有根号，可以将其乘以一个形如√b/√b的式子，使分母变为有理数。

四、二次根式的运算1. 二次根式的加法：将二次根式看作是整体进行运算，合并同类项，如√a + √b = √a + √b。

2. 二次根式的减法：使用减法的性质，将减法改写为加法，如√a -√b = √a + (-√b)。

3. 二次根式的乘法：使用分配律进行展开，合并同类项，如(√a +√b)·(√c + √d)。

4. 二次根式的除法：利用有理化分母将除法转化为乘法，然后进行乘法运算。

五、二次根式的应用1. 二次根式在几何中的应用：例如计算正方形的对角线长度，三角形中的边长等。

2. 二次根式在物理中的应用：例如求解速度、加速度等问题。

3. 二次根式在方程中的应用：例如求解二次方程的根。

六、常见的二次根式1. 2的二次根式约等于1.414，常用符号表示为√2。