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高考数学第一轮章节复习课件 第二节 等差数列及其前n项和

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高考数学第一轮知识点 第2课时 等差数列及其前n项和课时复习课件 理

高考数学第一轮知识点 第2课时 等差数列及其前n项和课时复习课件 理
∴n－n 1＝43.∴n＝4，an＝11.
∴数列的中间项为 11，项数为 7.
【变式训练】 3.在等差数列{an}中，Sn 表示其 前 n 项和． (1)若 a3＋a17＝10，求 S19 的值； (2)若 S4＝124，Sn－4＝54，Sn＝210，求项数 n； (3)若 S4＝1，S8＝4，求 a17＋a18＋a19＋a20 的值．
解析： (1)S19＝a1＋a219×19＝a3＋a217×19
＝95.
(2)SS4n＝－aS1n＋－4＝a2＋an＋a3＋ana－41＝＋1a2n－42，＋an－3＝156，
由两式相加得 a1＋an＝70. ∴Sn＝a1＋a2n×n＝70×2 n＝210. ∴n＝6. (3)S4＝1，S8－S4＝3，S12－S8，S16－S12，S20 －S16 成等差数列，首项为 1，公差为 2，
解得ad1＝＝21. 2，
所以 an＝2n＋10.
(2)由 Sn＝na1＋nn2－1d，Sn＝242， 得 12n＋nn2－1×2＝242.解得 n＝11 或 n＝ －22(舍去)．
等差数列的性质
1．等差数列的单调性 等差数列公差为 d，若 d＞0，则数列递增； 若 d＜0，则数列递减；若 d＝0，则数列为常数 列． 2．等差数列的最值 若{an}是等差数列，求前 n 项和的最值时， (1)若 a1＞0，d＜0，且满足aann≥ ＋1≤0，0， 前 n 项和 Sn 最大；
等差数列的判断与证明
判断或证明数列{an}为等差数列，常见的方法 有以下几种： (1)利用定义：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)； (2)利用等差中项：2an＋1＝an＋an＋2；
(3)利用通项公式：an＝dn＋c(d、c 为常数)，d 为公差．当 d≠0 时，通项公式 an 是关于 n 的 一次函数；d＝0 时为常函数，也是等差数列； (4)利用前 n 项和公式：Sn＝an2＋bn(a、b 为常 数)．若一个数列的前 n 项和为关于 n 的二次

高考数学一轮复习课件5.2等差数列

高考数学一轮复习课件5.2等差数列
一个小题或在解答题中出现，在解题时，应 熟练掌握通项公式与前n项和公式，规范答题 避免不必要的失分．
• (1)(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中， 已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝ ()
•A．58 D．176
B．88
C．143
•(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6 项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n ＞6)，则a9＋a10＝
【尝试解答】 (1)S11＝11（a12＋a11）＝11（a42＋a8）＝ 88.
法二 同法一得d＝－53.
又由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0. ∴当n＝12或13时，Sn有最大值， 且最大值为S12＝S13＝130.
求等差数列前n项和的最值常用的方法
(1)先求an，再利用
an≥0
aห้องสมุดไป่ตู้＋1≤0
或
an≤0
an＋1≥
0
求出其正负转折
•【思路点拨】 (1)由S2＝a3求{an}的公差d， 进而代入求a2与Sn； •(2)易求d＝－2，从而可求an；求出Sn后，根 据方程Sk＝－35，求k值．
【尝试解答】 (1)由 S2＝a3，得 a1＋a2＝a3，
∴d＝a3－a2＝a1＝12，
因此 a2＝a1＋d＝1，Sn＝n42＋n4.
【答案】
【解析】 设自上第一节竹子容量为a1，则第9节 容量为a9，且数列{an}为等差数列．
则aa71＋＋aa82＋＋aa93＝＋3aa4＝1＋42a11＋d＝6d4＝. 3，
解之得a1＝1232，d＝676，故a5＝a1＋4d＝6676.
【答案】
67 66

高考数学一轮复习 第5章 数列 第2讲 等差数列及其前n 项和课件

高考数学一轮复习 第5章 数列 第2讲 等差数列及其前n 项和课件
12/11/2021
题组一 走出误区 1．(多选题)下列命题正确的是( BD ) A．若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等 差数列 B．等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的 C．等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数 D．若{an}是等差数列，公差为 d，则数列{a3n}也是等差数列
(3)(2019·全国卷Ⅲ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a1≠0，a2＝3a1，则SS150＝ __4___.
12/11/2021
[解析] (1)本题主要考查等差数列的通项公式．设等差数列{an}的公差为 d，则 a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝2a1＋5d＝6＋5d＝36，∴d＝6，∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋6(n －1)＝6n－3.
12/11/2021
知识点二 等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn 是其前 n 项和． (1)若 m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则 am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋… ＋ank.特别地，若 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝___a_p_＋__a_q __. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为____kd__. (3)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (4){Snn}为等差数列．
A．an＝2n－5
B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n
D．Sn＝12n2－2n
[解析] 解法一：设等差数列{an}的公差为 d，
∵Sa45＝ ＝05， ，
∴4a1＋4×2 3d＝0， a1＋4d＝5，
解得ad1＝＝2－，3，
∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋nn2－1d＝n2－4n.故选 A．

高考数学一轮复习第四章第二讲等差数列及其前n项和课件

高考数学一轮复习第四章第二讲等差数列及其前n项和课件

考向 2 等差数列前 n 项和的性质
[例 3](1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，
则 S15 等于( )
A.35
B.42
C.49
D.63
解析：由题意知，S5，S10－S5，S15－S10 成等差数列，即 7， 14，S15－21 成等差数列，∴S15－21＋7＝28，∴S15＝42.故选 B.
答案：C
2.(2023 年全国甲卷文科)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.若
a2＋a6＝10，a4a8＝45，则 S5＝( )
A.25
B.22
C.20
D.15
解析：等差数列{an}中，a2＋a6＝2a4＝10， 所以 a4＝5.所以 a4a8＝5a8＝45，故 a8＝9，则 d＝a88－－4a4＝1， 所以 a1＝a4－3d＝5－3＝2，则 S5＝5a1＋5×2 4d＝10＋10＝20. 故选 C.
2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式 是an＝a1＋(n－1)d(n∈N*). 3.等差中项
如果 A＝a＋2 b，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.
4.等差数列的前 n 项和公式
设等差数列{an}的公差为 d，其前 n 项和 Sn＝n(a12＋an)或 Sn＝na1＋n(n2－1)d(n∈N*).
适合题型
解答题中 证明问题
选择、填 空题中的 判定问题
【变式训练】 (2022 年全国甲卷文科)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知2nSn＋
n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若 a4，a7，a9 成等比数列，求 Sn 的最小值.
(1)证明：由已知得2Sn＋n2＝2nan＋n，①

高考数学一轮复习第六章数列第二节等差数列及其前n项

高考数学一轮复习第六章数列第二节等差数列及其前n项
[解析] (1)因为{an}是等差数列，所以 a1＋a9＝a4＋a6＝
9a1＋a9 2a5.又 a4＋a5＋a6＝21， 所以 a1＋a9＝14， 所以 S9＝ ＝ 2 9×14 ＝63. 2
解析：由题意知 Sn＋2－Sn＝an＋1＋an＋2＝2a1＋(2n＋1)d＝2＋ 2(2n＋1)＝36，解得 n＝8.
答案：8
3．(2017· 全国卷Ⅰ改编)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a4 ＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为________．
解析：设等差数列{an}的公差为 d，
(5)S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，遇见 S 奇，S 偶时可分别运用性质及有关公式求解． an (6){an}，{bn}均为等差数列且其前 n 项和为 Sn，Tn，则b n S2n－1 ＝ . T2n－1
Sn (7)若{an}是等差数列， 则 n 也是等差数列， 其首项与{an}
1 的首项相同，公差是{an}的公差的 . 2
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
等差数列的性质
[例 1]
(1)(2017· 南京一模)设{an}是等差数列，若 a4＋a5
＋a6＝21，则 S9＝________. (2)已知{an}，{bn}都是等差数列，若 a1＋b10＝9，a3＋b8 ＝15，则 a5＋b6＝________.
[方法技巧] 1．等差数列运算问题的通性通法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a1 和公差 d，然 后由通项公式或前 n 项和公式转化为方程(组)求解． (2)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1， an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想． 2.等差数列设项技巧 若奇数个数成等差数列且和为定值时， 可设中间三项为 a－d， a，a＋d；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为 a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.

高中数学一轮专题复习：等差数列及其前n项和课件

高中数学一轮专题复习：等差数列及其前n项和课件

∵a7＋a10=a8＋a9<0 ∴a9<0
∴等差数列{an}的前8项都为正，第9项开始为负
∴当n=8时，{an}的前n项和最大
题型四、等差数列的判定与证明
例6：若数列{an}前n项和为Sn，且an+2SnSn-1＝0(n≥2)，
a1
=
1 2
.（ 1）求证：数列
1 Sn
是等差数列；(2)求数列an
an = a1 + (n－1)d
an = am + (n－m)d
一、基础知识梳理 3.等差数列的前n项和公式
①Sn
n(a1 2
an )
(Sn，a1，n，an知三求一)
代入an a1 n 1d
②Sn
na1
n(n 1) 2
d
(Sn，a1, n, d知三求一)
一、基础知识梳理
4.等差数列的性质
角度二：求前n项和 变式2：在等差数列{an}中：a3+a7-a10=-1，a11-a4=21，
则数列{an}的前8项和S8=( D )
A.50 B.70 C.120 D.100
解析：设数列{an}的公差为d，则 a11-a4= 7d=21，∴d=3
∵a3+a7-a10=（a1+2d）+（a1+6d）-（a1+9d）=a1-d =a1-3=-1
解析：由{an}是等差数列，得 S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，
即 2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 即S9－S6＝2S6－3S3 ＝2×36－3×9＝45 即 S9－S6＝a7＋a8＋a9 ＝45
题型三、等差数列前n项和的最值问题
例5：（1）在等差数列{an}中，a1＝20，前n项和为Sn，且 S10＝S15，则Sn取最大值时，n的值为( )

高考数学一轮总复习第6章数列第二节等差数列及其前n项和课件理


的等差中项且 A＝a＋2 b
.
3.通项公式
(1)如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么通项公 式为 an＝ a1＋(n－1)d，n∈N*. (2)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
►三个定义
[①等差数列的定义；②等差中项的定义；③等差数列的通项 公式.] (1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋3，则该数列的通项公式 为an＝________. 解析 {an}为等差数列，a1＝1，公差d＝an＋1－an＝3.通项公 式an＝a1＋(n－1)d＝3n－2. 答案 3n－2
解析
答案 2 000 [点评] 每两个树坑间的距离都是10米，表示出每个树坑与 第i个树坑间的距离，得出等差数列，然后求和，根据i的取值 求出最小值.
方程思想在等差数列中的应用 【示例】 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝8，S3＝6.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}的前k项和S＝72，求k的值.
第二节 等差数列及其前n项和
知识点一 等差数列的有关概念
1.等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于 同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常 数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义的表达式为 an＋1－an＝d .
2.等差中项：如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b
【例1】 (1)(2016·江西重点中学十校联考)已知等差数列{an}
的前n项和为Sn，a4＝2，S10＝10，则a7的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
(2)(2016·黑龙江哈六中模拟)已知等差数列{an}中，a2＝6，

2025高考数学一轮复习-4.2.3-第2课时-等差数列前n项和的性质【课件】

第4章 数列
4.2 等差数列 4.2.3 等差数列的前n项和 第2课时 等差数列前n项和的性质
必备知识·情境导学探新知
知识点
1．等差数列前 n 项和公式可以转化为关于 n 的一元二次函数(d≠0) 或一次函数(d＝0).
反过来，如果一个数列的前 n 项和是关于 n 的一元二次函数，那 么该数列一定是等差数列吗？
类型 2 裂项相消法求和 【例 2】 在等差数列{an}中，a1＝3，公差 d＝2，Sn 为前 n 项和，
求S11＋S12＋…＋S1n. [解] ∵等差数列{an}的首项 a1＝3，公差 d＝2， ∴前 n 项和 Sn＝na1＋n(n－ 2 1)d ＝3n＋n(n－2 1)×2＝n2＋2n(n∈N*)， ∴S1n＝n2＋1 2n＝n(n1＋2)＝121n－n＋1 2，
C．11
D．12
B [∵SS偶奇＝n＋n 1， ∴116550＝n＋n 1. ∴n＝10.故选 B.]
关键能力·合作探究释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 “片段和”的性质 【例 1】 在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求 S110. [思路探究] (1)可利用方程(组)思想求解． (2)可利用性质求解，如看作{an}中，依次取 10 项的和所得新数 列的前 11 项的和求解．
2．在项数为 2n 或 2n＋1 的等差数列中，奇数项的和与偶数项的 和存在什么样的关系？
知识点 等差数列前 n 项和的性质 (1)在等差数列{an}中，其前 n 项和为 Sn，则{an}中连续的 n 项和 构成的数列 Sn，___S_2n_－__S_n__，S3n－S2n，__S_4_n－__S_3_n__，…构成等差数列． (2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b 为常数).

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等差数列的判定方法有以下四种：
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N+)；(2)等差中项法： 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N+)；(3)通项公式法：an＝an＋b(a， b是常数，n∈N+)；(4)前n项和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b 为常数)．但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用 定义法或等差中项法．
(2)解 由(1)知，bn＝n－72，则 an＝1＋b1n＝1＋2n2－7，
设函数 f(x)＝1＋2x2－7，
易知 f(x)在区间－∞，72和72，＋∞内均为减函数． ∴结合函数 f(x)的图象可得，当 n＝3 时，an 取得最小值 －1；当 n＝4 时，an 取得最大值 3.
(2)已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，则其n项和Sn ＝________. 解析 (1)∵{an}为等差数列， ∴S3，S6－S3，S9－S6成等差数列， ∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)． ∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2(S6－S3)－S3＝2(36－9)－9＝45. (2)因为a4＋a6＝a3＋a7，则a3a7＝－16，a3＋a7＝0， 所以a3＝4，d＝－2或a3＝－4，d＝2. 所以数列的前n项和是Sn＝n2－9n或Sn＝－n2＋9n. 答案 (1)45 (2)n2－9n或－n2＋9n
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，
m∈N+)是公差为__m_d_的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)若 n 为偶数，则 S
偶－S
奇＝n2d；
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
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答案：第23项与第24项
1.等差数列的判定通常有两种方法： 第一种是利用定义，an－an－1＝d(常数)(n≥2)，第二种是
利 用等差中项，即2an＝an＋1＋an－1(n≥2).
2.解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断. (1)通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an＝ An＋B(A、B是常数)，则{an}是等差数列. (2)前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的
(2)由(1)得cn＝
，所以
Tn＝2×＋3×( )2＋4×( )3＋…＋(n＋1)·( )n， ①
Tn＝2×( )2＋3×( )3＋…＋n·( )n＋(n＋1)·( )n＋1，
由①－②得 Tn＝1＋( )2＋( )3＋…＋( )n－(n＋ 1)·( )n＋1
＝1＋
－(n＋1)( )n＋1＝
∴Tn＝3－
首项a1，末项an
2.等差数列前n项和公式能否看作关于n的函数， 该函数是否有最值？ 提示：当d≠0时，Sn是关于n的且常数项为0的二 次函数，则(n，Sn)是二次函数图象上的一群孤立 的点，由此可得：当d>0时，Sn有最小值；当d<0 时，Sn有最大值.
1.{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝( )
∴a7＝16，即a1＋6d＝16，
①
2a3＋a15＝2(a1＋2d)＋a1＋14d
＝3a1＋18d
＝3(a1＋6d).
②
①代入②得：2a3＋a15＝3×16＝48.
答案：B
3.公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的
等比中项，S8＝32，则S10等于
()
A.18
B.24
C.60
故数列{bn}是等差数列，设其公差为d′， 则b1＝10，b2＝20，d′＝10. 所以b5＝10＋4×10＝50. 所以a41＋a42＋…＋a50＝b5＝50.
等差数列知识在高考中属必考内容，通常直接考查 等差数列的通项公式，前n项和公式的题目为容易题，常 常以选择题、填空题形式出现，而与其他知识(函数、不 等式、解析几何等)相结合的综合题一般为解答题，难易 程度为中档题.[理]2009年湖北卷第19题综合考查了等差 数列的判定通项公式及前n项和的求法，是一道较典型的 数列综合题.[文]2009年福建卷第17题考查了两种特殊数 列的结合，其难度较小
an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180
①＋②得
(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)
＝6(a1＋an)＝216，
∴a1＋an＝36.又Sn＝
=324.
∴18n＝324.∴n＝18.∴a1＋a18＝36.
∴a9＋a10＝a1＋a18＝36.
① ②
(2)∵
∵S15 15b8,
(1)求出a1和d，求an； (2)利用 Sn na1
求解.
【解】 (1)由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，
得方程组
解得a1＝12，d＝2.所以an＝2n＋10.
(2)由Sn＝na1 +
Sn＝242，
得方程12n＋
×2＝242.
解得n＝11或n＝－22(舍去).
2.设{an}是一个公差为d(d≠0)的等差数列，它的前10项和S10 ＝110且a1，a2，a4成等比数列. (1)证明a1＝d； (2)求公差d的值和数列{an}的通项公式.
解：(1)证明：因a1，a2，a4成等比数列，故 ＝a1a4. 而{an}是等差数列，有a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d.于是 (a1＋d)2＝a1(a1＋3d)， 即 ＋2a1d＋d2＝ ＋3a1d.化简得a1＝d. (2)由条件S10＝110和S10＝10a1＋ 得到10a1＋45d＝110. 由(1)，a1＝d，代入上式得55d＝110， 故d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n. 因此，数列{an}的通项公式为an＝2n，n＝1,2,3，….
(1)设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36， Sn＝324，最后6项的和为180(n＞6)，求数列的项数n及a9＋ a10； (2)等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且
求的值.
(1)中利用a1＋an＝a2＋an－1； (2)可利用等差中项求解.
【解】 (1)由题意可知a1＋2＋…＋a6＝36
于是确定Tn与
的大小关系等价于比较2n与2n＋1的大小.
由2＜2×1＋1；22＜2×2＋1；23＞2×3＋1；24＞2×4＋1；
25＞2×5＋1；….
可猜想当n≥3时，2n＞2n＋1.证明如下：
法一：(ⅰ)当n＝3时，由上验算显然成立. (ⅱ)假设当n＝k(k≥3)时，猜想成立，即2k＞2k＋1. 当n＝k＋1时，2k＋1＝2·2k＞2(2k＋1)＝4k＋2＝2(k＋1)＋1 ＋(2k－1) ＞2(k＋1)＋1，所以，当n＝k＋1时，猜想也成立. 综合(ⅰ)、(ⅱ)可知，对一切n≥3的正整数，都有2n＞2n＋1.
1.等差数列的单调性： 等差数列公差为d，若d＞0，则数列递增. 若d＜0，则数列递减. 若d＝0，则数列为常数列.
2.等差数列的简单性质： 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和. (1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. 特别：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差 为kd. (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (4)S2n－1＝(2n－1)an. (5)若n为偶数，则S偶－S奇＝ 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项). (6)数列{c·an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是等差数列，其中c、 p、q均为常数，{bn}是等差数列.
若存在λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1， 即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3. 于是a2－a1＝1－λ＝－2， a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24. 这与{an}为等差数列矛盾. 所以，对任意λ，{an}都不可能是等差数列.
1.等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式Sn＝ 共涉及五个量a1， an，d，
A＝
.
3.通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么通项公式为
An ＝a1＋(n－1)d，n∈N* .
1.已知等差数列{an}的第m项为am，公差为d，
则其第n项an能否用am与d表示？ 提示：能.an＝am＋(n－m)d.
二、等差数列的前n项和
已知 条件 选用 公式
首项a1，公差d
A.－2
B.－
C.
D.2
解析：根据题意得a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－1， ∴a1＝1.又∵a3＝a1＋2d＝0，∴d＝－ .
答案：B
2.在等差数列{an}中，a2＋4a7＋a12＝96，则2a3＋a15的值是
()
A.24
B.48
C.96
D.无法确定
解析：a2＋4a7＋a12＝2a7＋4a7＝6a7＝96，
则
或
an＝a1＋(n－1)d＝2n. 答案：2n
5.数列{an}中，a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N*)，则该数列中 乘
积解是析负：值由的已相知邻得两an项＋为1－an＝－ . ，a1＝15， ∴an＝a1＋(n－1)d＝15 显然a23＞0，a24＜0. ∴该数列中乘积是负值的相邻两项为a23与a24.
n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想 解决问题. 2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用， 而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知 量是常用方法.
【注意】 因为
n+a1 故数列 是等差数列.
等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a10＝30， a20＝50. (1)求通项an； (2)若Sn＝242，求n.
[理](2009·湖北高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－( )n
－1＋2(n为正整数).
(1)令bn＝2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的
通项公式；
(2)令cn＝
，Tn＝c1＋c2＋…＋cn，试比较Tn与
的
大小，并予以证明.
[解] (1)在Sn＝－an－( )n－1＋2中，令n＝1，可得S1＝－ a1－1＋2＝a1，即a1＝ .当n≥2时，Sn－1＝－an－1－ ( )n－2＋2， ∴an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋( )n－1， ∴2an＝an－1＋( )n－1，即2nan＝2n－1an－1＋1. ∵bn＝2nan，∴bn＝bn－1＋1，即当n≥2时，bn－bn－1＝1. 又b1＝2a1＝1，∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列. 于是bn＝1＋(n－1)·1＝n＝2nan，∴an＝
∴ =15b8,T15
3.(1)等差数列中，若3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，求该 数
列前13项的和. (2)已知数列{an}是等差数列，且a1＋a2＋…＋a10＝10，a11 ＋ a12＋…＋a20＝20，求a41＋a42＋…＋a50.
解：(1)∵a3＋a5＝2a4，a7＋a10＋a13＝3a10，
第二节 等差数列及其前n项和
一、等差数列的有关概念
1.等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于 同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫 做等差数列的 公差 ，通常用字母d 表示，定义的表达式为 an＋1－an＝d.
2.等差中项
如果a，A，b成等差数列，那么 A 叫做a与b的等差中项且
1.数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，λ 是常数. (1)当a2＝－1时，求λ及a3的值； (2)数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项 公式；若不可能，说明理由.