2018版高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性学案 新人教A版必修1

2018版高中数学第一章集合与函数概念1.3.2 奇偶性学案新人教A版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第一章集合与函数概念1.3.2 奇偶性学案新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.2 奇偶性1．结合具体函数了解函数奇偶性的含义．（难点）2．会判断函数奇偶性的方法．(重点、难点）3．能运用函数图象理解和研究函数的奇偶性，了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．（易混点)［基础·初探]教材整理1 偶函数阅读教材P33～P34“观察”以上部分，完成下列问题．偶函数条件对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x)结论函数f(x)叫做偶函数图象特征偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数。

已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时,f（x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x）在y轴左侧的图象,如图1。

3。

4所示，请补出完整函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f(x）的增区间．图1.3。

4【解】由题意做出函数图象如下:据图可知，单调增区间为（－1，0)，(1，＋∞)．教材整理2 奇函数阅读教材P34“观察”至P35“例5"以上部分,完成下列问题．奇函数条件对于函数f（x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)结论函数f（x)叫做奇函数图象特征奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数。

§1.3.2奇偶性班级姓名座号【学习目标】1. 理解函数的奇偶性及其几何意义；2. 学会判断函数的奇偶性；3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.【自主学习】一、回顾：复习1：指出下列函数的单调区间及单调性.（1）2()1f x x=-；（2）1 ()f xx=复习2：对于f(x)＝x、f(x)＝x2、f(x)＝x3、f(x)＝x4，分别比较f(x)与f(－x).二、课前预习：预习教材P33~ P36，找出疑惑之处三、自学检测【课堂探究】：奇函数、偶函数的概念思考：在同一坐标系分别作出两组函数的图象：（1）()f x x=、1()f xx=、3()f x x=；（2）2()f x x=、()||f x x=.观察各组图象有什么共同特征？函数解析式在函数值方面有什么特征？新知：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）.试试：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function ）的定义.反思：① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别？② 奇函数、偶函数的定义域关于 对称，图象关于 对称.试试：已知函数21()f x x =在y 轴左边的图象如图所示，画出它右边的图象.典型例题例1 判别下列函数的奇偶性：（1）()f x （2）()f x =（3）42()35f x x x =-+； （4）31()f x x =.小结：判别方法，先看定义域是否关于原点对称，再计算()f x -，并与()f x 进行比较. 试试：判别下列函数的奇偶性：（1）f (x )＝|x ＋1|+|x －1|； （2）f (x )＝x ＋1x ；（3）f (x )＝21x x+； （4）f (x )＝x 2, x ∈[-2,3].例2 已知f (x )是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，判断f (x )的(-∞,0)上的单调性，并给出证明.变式：已知f (x )是偶函数，且在[a ,b ]上是减函数，试判断f (x )在[-b ,-a ]上的单调性，并给出证明.小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论.※ 动手试试练习：若3()5f x ax bx =++，且(7)17f -=，求(7)f .【当堂训练】1. 对于定义域是R 的任意奇函数()f x 有（ ）.A ．()()0f x f x --=B ．()()0f x f x +-=C ．()()0f x f x -=D ．(0)0f ≠2.已知()f x 是定义(,)-∞+∞上的奇函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数. 下列关系式中正确的是（ ）A. (5)(5)f f >-B.(4)(3)f f >C. (2)(2)f f-> D.(8)(8)f f-=3. 下列说法错误的是（）.A.1()f x xx=+是奇函数B. ()|2|f x x=-是偶函数C. ()0,[6,6]f x x=∈-既是奇函数，又是偶函数D.32()1x xf xx-=-既不是奇函数，又不是偶函数4. 函数()|2||2|f x x x=-++的奇偶性是 .5. 已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是函数，且最值为 .【小结与反馈】1. 奇函数、偶函数的定义及图象特征；2. 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.3. 判断函数奇偶性的方法：图象法、定义法.【拓展练习】1. 已知()f x是奇函数，()g x是偶函数，且1()()1f xg xx-=+，求()f x、()g x.2. 设()f x在R上是奇函数，当x>0时，()(1)f x x x=-，试问：当x<0时，()f x的表达式是什么？。

1.3.2 奇偶性课堂导学三点剖析一、函数的奇偶性概念【例1】 判断下列论断是否正确：(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数；(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称；(3)如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数为偶函数.思路分析：通过本题的研究，深刻理解函数的奇偶性的内涵.解：（1）一个函数的定义域关于原点对称，是一个函数成为奇偶函数的必要条件，还必须要看f(-x)与-f(x)是否相等，故（1）是错误的，（2）（3）正确.二、函数奇偶性的判断【例2】 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=1-x +x -1; (2)f(x)=12-x +21x -; (3)f(x)=xx ||; (4)f(x)=kx+b(k ≠0); (5)f(x)=x+x a (a ≠0); (6)f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0).解：(1)由⎩⎨⎧≥-≥-01,01x x 得x=1，函数定义域为{x|x=1}.定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数.(2)由⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-,01,0122x x 得x 2=1，函数定义域为{x|x=±1}.f(x)=0,f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x).函数是既奇又偶函数.(3)函数定义域为{x|x ≠0}且f(-x)=xx --||=-f(x).f(x)为奇函数. (4)函数定义域为R ，当b=0时，f(-x)=-f(x)，为奇函数；当b ≠0时，为非奇非偶函数.(5)函数定义域为{x|x ≠0}，且f(-x)=-x-xa =-f(x).函数为奇函数. (6)函数定义域为R ，当b=0时，f(-x)=f(x)为偶函数；b ≠0时，为非奇非偶函数. 温馨提示1.判断函数奇偶性的步骤：先看定义域是否关于原点对称；再看f(-x)与f(x)的关系，即f(-x)=±f(x)或f(-x)±f(x)=0.也可以通过图象是否关于原点、y 轴对称来判断.2.若定义域关于原点对称，且f(x)=0，则函数是既奇又偶的函数.3.一次函数y=kx+b 为奇函数b=0.4.二次函数y=ax 2+bx+c 为偶函数b=0.【例3】 已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，当x>0时，f(x)=x(1+3x ),求：(1)f(-8);(2)x<0时，f(x)的解析式.思路分析：已知条件中的解析式是x>0,f(x)=x(1+3x ),所求的f(-8)、x<0时的f(x)最终要利用奇偶性化归为f(8)、f(-x)来表示.解：由于函数是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，因此对于任意的x 都有f(-x)=-f(x),即f(x)=-f(-x). (1)f(-8)=-f(8),f(8)=8(1+38)=8×(1+2)=24,∴f(-8)=-f(8)=-8(1+38)=-8(1+2)=-24.(2)当x<0时，f(x)=-f(-x).∵-x>0,f(-x)=-x(1+3x -)=-x(1-3x ),∴f(x)=-［-x(1-3x )］=x(1-3x ).三、函数奇偶性的应用举例【例4】 已知f(x)是偶函数，而且在(0,+∞)上是减函数，判断f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数，并加以证明.思路分析：利用函数奇偶性及图象特征比较容易对函数单调性进行判断，但是证明单调性必须用定义证明.解：f(x)在(-∞,0)上是增函数.证明如下：设x 1<x 2<0,-x 1>-x 2>0,∴f(-x 1)<f(-x 2).由于f(x)是偶函数，因此f(-x 1)=f(x 1),f(-x 2)=f(x 2).∴f(x 1)<f(x 2)，即f(x)在(-∞,0)上是增函数.温馨提示利用函数的奇偶性研究关于原点对称区间上的问题，需特别注意求解哪个区间的问题，就设哪个区间的变量，然后利用函数的奇偶性转到已知区间上去，进而利用已知去解决问题.【例5】 判断下面函数的奇偶性：f(x)=2|2|42-+-x x ∵f(-x)= 2|2|)(42-+---x x =2|2|42---x x ，故f(x)为非奇非偶函数. 错因分析：上述解法产生错误的原因是忽略了函数的定义域，导致错误.正解：由⎩⎨⎧≠-+≥-,02|2|,042x x 得-2≤x ≤2且x ≠0,∴函数的定义域为［-2，0］∪(0,2)，此时f(x)=x x 24-,有f(-x)=x x ---2)(4=x x 24-=-f(x)，∴函数f(x)为奇函数. 温馨提示1.判断函数的奇偶性首先求函数的定义域，初学者最容易忽略这一点，若定义域关于原点对称再进一步判断f(-x)与f(x)的关系.2.当判断f(-x)与f(x)的关系比较困难时，有时可以改为判断f(x)±f(-x)是否为0或)()(x f x f -是否为1. 各个击破类题演练1下面四个结论中正确命题的个数是（ ）①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)A.1B.2C.3D.4 解析：偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交.反例：y=x -2,y=x 0等.故①错误，③正确.奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点.反例：y=x -1，故②错误.若y=f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但未必x∈R.反例：f(x)=21x -·12-x ,其定义域为{-1，1}，故④错误.从而选A. 答案：A类题演练2判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=|x|-2x ; (2)f(x)=|3|1-x -|3|1+x ; (3)f(x)=|2|212+--x x ; (4)f(x)=x -x.答案：（1）既奇又偶函数； （2）奇函数； (3)奇函数； （4）非奇非偶函数. 温馨提示判断函数的奇偶性，首先求出函数的定义域，在此基础上，可对函数解析式进行化简，化简后再判断.如（3）若不化简解析式，则判断不出奇偶性,只能得出非奇非偶的判断. 变式提升2判断⎩⎨⎧<+>-0),1(,0),1(x x x x x x 的奇偶性.解析：当x>0时，则-x<0,∴f(-x)=-x ［1+(-x)］=-x(1-x)=-f(x),当x<0时，则-x>0,∴f(-x)=-x ［1-(-x)］=-x(1+x)=-f(x).于是f(-x)=⎩⎨⎧<+->--).0(),1(),0(),1(x x x x x x∴f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函数.类题演练3若f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，且x>0时，f(x)=2x(1-x),求f(x)的解析式. 解析：设x<0时，则-x>0,∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-2x(1+x),∴f(x)=2x(1+x).∵f(0)=0,∴f(x)=⎩⎨⎧≤+>-.0),1(2,0),1(2x x x x x x变式提升3设函数y=f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0,f(x)=x 2-2x+3,试求出f(x)在R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出单调区间.解析：∵f(x)是R 上的奇函数，∴f(0)=0.当x<0时，则-x>0,∴f(x)=-f(-x)=-(x 2+2x+3),∴f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<---=>+-.0,32,0,0,0,3222x x x x x x x 其图象如右上图所示.由图象得单调增区间是（-∞,-1），［1,+∞］，单调减区间是［-1,0］,(0,1).类题演练4已知f(x)是偶函数，而且f(x)在［a,b ］上是增函数，判断f(x)在［-b,-a ］上是增函数还是减函数，并证明.解析：减函数.证明如下：设［-b,-a ］上任意两个自变量x 1,x 2，且x 1<x 2，则b>-x 1>-x 2>a,∵f(x)在［a,b ］上是增函数，∴f(-x 1)>f(-x 2).∵f(x)是偶函数，∴f(x 1)>f(x 2),∴f(x)在［-b,-a ］上是减函数.变式提升4若f(x)是R 上的偶函数，且在［0,+∞］上是减函数，求满足f(π)<f(m)的实数m 的取值范围. 解析：f(π)<f(m)f(π)<f(|m|).∵f(x)在［0，+∞］上是减函数，∴π>|m|,∴-π<m<π.类题演练5（2006全国Ⅱ文，13）已知函数f(x)=a-121+x ,若f(x)为奇函数，则a=_______________. 解析:由奇函数的定义：f(-x)=-f(x)，解a-121+-x =-(a-121+x ),得a=21. 答案:21 变式提升5已知奇函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,试问F(x)=)(1x f 在(-∞,0)上是增函数还是减函数?证明你的结论.解：减函数.证明如下:任取x 1,x 2∈(-∞,0),且x 1<x 2,则有:-x 1>-x 2>0,∵y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,∴f(-x 2)<f(-x 1)<0,又∵f(x)是奇函数,∴f(-x 2)=-f(x 2),f(-x 1)=-f(x 1),∴-f(x 2)<-f(x 1)<0,∴f(x 2)>f(x 1)>0,F(x 1)-F(x 2)=)(11x f -)(12x f =)()()()(2112x f x f x f x f •->0,即F(x 1)>F(x 2), ∴F(x)=)(1x f 在（-∞,0）上是减函数.。

2018版高中数学第一章集合与函数概念1.1.3 集合的基本运算（第2课时）补集及综合应用学案新人教A版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第一章集合与函数概念1.1.3 集合的基本运算（第2课时）补集及综合应用学案新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高中数学第一章集合与函数概念1.1.3 集合的基本运算（第2课时）补集及综合应用学案新人教A版必修1的全部内容。

第2课时补集及综合应用1．了解全集的含义及其符号表示．（易混点）2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点）3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点)[基础·初探]教材整理补集阅读教材P10补集以下部分，完成下列问题．1．全集(1）定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．（2)记法:全集通常记作U。

2．补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝｛x|x∈U，且x∉A}图形语言3∁U U＝∅,∁U∅＝U，∁U（∁U A）＝A.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”）(1)只有实数R才可以做为全集U.（）(2）一个集合的补集一定含有元素．( ）(3）集合∁Z N与集合∁Z N＊相等．（)【解析】（1）×.由全集的定义可知，所有的集合都可以做为全集．(2)×。

∵∁U U＝∅,∴（2）错．(3）×.∵0∉∁Z N,而0∈∁Z N＊，∴(3）错．【答案】（1)×（2)×（3）×2．已知全集U＝{x｜|x｜<5,x∈Z｝，A＝{0,1，2｝，则∁U A＝________。

第一章集合与函数概念章末复习课网络构建核心归纳1．集合的“三性”正确理解集合元素的三性，即确定性、互异性和无序性．在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参集合问题时应格外注意．2．集合与集合之间的关系集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等．判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据．空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．解题时，已知条件中出现A⊆B时，不要遗漏A＝∅.3．集合与集合之间的运算并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具．注意集合之间的运算与集合间的关系之间的转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.4．函数与映射的概念(1)已知A，B是两个非空集合，在对应关系f的作用下，对于A中的任意一个元素x，在B 中都有唯一的一个元素与之对应，这个对应叫做从A 到B 的映射，记作f ：A →B .若f ：A →B 是从A 到B 的映射，且B 中任一元素在A 中有且只有一个元素与之对应，则这样的映射叫做从A 到B 的一一映射．(2)函数是一个特殊的映射，其特殊点在于A ，B 都为非空数集，函数有三要素：定义域、值域、对应关系．两个函数只有当定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一函数．5．函数的单调性(1)函数的单调性主要涉及求函数的单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，利用函数的单调性解不等式等相关问题．深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键．(2)函数单调性的证明根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明，步骤如下： ①取值：任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2，得x 2－x 1>0；②作差变形：Δy ＝y 2－y 1＝f (x 2)－f (x 1)＝…，向有利于判断差的符号的方向变形； ③判断符号：确定Δy 的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论； ④下结论：根据定义得出结论． (3)证明函数单调性的等价变形：①f (x )是单调递增函数⇔任意x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)⇔f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔[f (x 1)－f (x 2)]·(x 1－x 2)>0；②f (x )是单调递减函数⇔任意x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2)⇔f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔[f (x 1)－f (x 2)]·(x 1－x 2)<0.6．函数的奇偶性判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f (x )的定义域是否关于原点对称，再检验f (－x )与f (x )的关系；二是用其图象判断，考察函数的图象是否关于原点或y 轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提．要点一 集合的基本概念 解决集合的概念问题的两个注意点(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素．然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清元素表示的意义是什么．(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．【例1】 集合M ＝{x |ax 2－3x －2＝0，a ∈R }中只有一个元素，求a 的取值范围．解 由题意可知若集合M 中只有一个元素，则方程ax 2－3x －2＝0只有一个根，当a ＝0时，方程为－3x －2＝0，只有一个根x ＝－23；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4×a ×(－2)＝0，得a ＝－98.综上所述，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－98.【训练1】 已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解析 因为3∈A ，则m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，当m ＋2＝3，即m ＝1时，m ＋2＝2m 2＋m ，不符合题意，故舍去；当2m 2＋m ＝3，即m ＝1或m ＝－32，m ＝1不合题意，若m ＝－32，m ＋2≠2m 2＋m ，满足题意，故m ＝－32.答案 －32要点二 集合间的基本关系 两集合间关系的判断 (1)定义法．①判断一个集合A 中的任意元素是否属于另一集合B ，若是，则A ⊆B ，否则A 不是B 的子集；②判断另一个集合B 中的任意元素是否属于第一个集合A ，若是，则B ⊆A ，否则B 不是A 的子集；若既有A ⊆B ，又有B ⊆A ，则A ＝B .(2)数形结合法．对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取值．【例2】 已知集合A ＝{x |2x －3≥3x ＋5}，B ＝{x |x ≤2m －1}，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________．解析 解不等式2x －3≥3x ＋5得x ≤－8，即A ＝{x |x ≤－8}，因为A ⊆B ，所以2m －1≥－8，解得m ≥－72.答案 m ≥－72【训练2】 已知集合A ＝{x |x ＝x 2－2，x ∈R }，B ＝{1，m }，若A ⊆B ，则m 的值为( )A ．2B ．－1C ．－1或2D ．2或 2解析 由x ＝x 2－2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－2≥0，x ＝x 2－2，解得x ＝2，∴A ＝{2}，又∵B ＝{1，m }，A ⊆B ，∴m ＝2.答案 A(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)进行集合的运算时要看集合的组成，并且要对有的集合进行化简． (3)涉及含字母的集合时，要注意该集合是否可能为空集． 方向1 集合的运算【例3－1】 设全集U ＝{x ∈N *|x <6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )等于( ) A ．{1,4} B ．{1,5}C ．{2,5}D ．{2,4}解析 U ＝{1,2,3,4,5}，A ∪B ＝{1,3,5}，所以∁U (A ∪B )＝{2,4}． 答案 D方向2 利用集合运算求参数【例3－2】 (1)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3C ．1或 3D ．1或3(2)设集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x >a }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a ≥1C ．a ≥0D ．a ≤0解析 (1)由A ∪B ＝A 知B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，若m ＝3，A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，满足A ∪B ＝A ；若m ＝m ，即m ＝1或0，当m ＝1时，m ＝1，不合题意，舍去，当m ＝0时，A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}，满足A ∪B ＝A ，故选B ．(2)因为A ∩B ＝∅，所以0∉B ，且1∉B ，所以a ≥1. 答案 (1)B (2)B【训练3】 (1)已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B 等于( ) A ．{x ∈R |x ≤2} B ．{x ∈R |1≤x ≤2} C ．{x ∈R |－2≤x ≤2}D ．{x ∈R |－2≤x ≤1}(2)设集合M ＝{x |－3≤x ＜7}，N ＝{x |2x ＋k ≤0}，若M ∩N ≠∅，则实数k 的取值范围为________．解析 (1)A ＝{x ∈R ||x |≤2}＝{x ∈R |－2≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x ∈R |－2≤x ≤2}∩{x ∈R |x ≤1}＝{x ∈R |－2≤x ≤1}．(2)因为N ＝{x |2x ＋k ≤0}＝{x |x ≤－k2}，且M ∩N ≠∅，所以－k2≥－3⇒k ≤6.答案 (1)D (2)k ≤6 要点四 求函数的定义域 求函数定义域的类型与方法(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． (2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义． (3)复合函数问题：①若f (x )的定义域为[a ，b ]，f (g (x ))的定义域应由a ≤g (x )≤b 解出； ②若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在[a ，b ]上的值域． 注意：①f (x )中的x 与f (g (x ))中的g (x )地位相同； ②定义域所指永远是x 的范围． 【例4】 (1)函数f (x )＝2x21－x＋(2x －1)0的定义域为( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 (2)已知函数y ＝f (x －1)的定义域是[－1,2]，则y ＝f (1－3x )的定义域为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，0 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，3 C ．[0,1]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1 解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，2x －1≠0，解得x <1且x ≠12，即f (x )的定义域是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(2)由y ＝f (x －1)的定义域是[－1,2]，则x －1∈[－2,1]，即f (x )的定义域是[－2,1]，令－2≤1－3x ≤1解得0≤x ≤1，即y ＝f (1－3x )的定义域为[0,1]．答案 (1)D (2)C【训练4】 已知函数f (x )＝－2x ＋3的值域为[－5,5]，则它的定义域为( ) A ．[－5,5] B ．[－7,13]C．[－1,4]D ．[－4,1]解析 可以画出函数y ＝－2x ＋3的图象，再根据图象来求；还可以运用观察法来求，当f (x )＝－5时，x ＝4；当f (x )＝5时，x ＝－1，所以定义域为[－1,4]．答案 C要点五 求函数的解析式求函数解析式的题型与相应的解法(1)已知形如f (g (x ))的解析式求f (x )的解析式，使用换元法或配凑法． (2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数，使用待定系数法)．(3)含f (x )与f (－x )或f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x，使用解方程组法． (4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法． 【例5】 (1)已知f (2x －3)＝2x 2－3x ，则f (x )＝________. (2)已知f (x )－3f (－x )＝2x －1，则f (x )＝________.解析 (1)令2x －3＝t ，得x ＝12(t ＋3)，则f (t )＝2×14(t ＋3)2－32(t ＋3)＝12t 2＋32t ，所以f (x )＝12x 2＋32x .(2)因为f (x )－3f (－x )＝2x －1，以－x 代替x 得f (－x )－3f (x )＝－2x －1，两式联立得f (x )＝12x ＋12.答案 (1)12x 2＋32x (2)12x ＋12【训练5】 已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．解 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，不论x 为何值都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，所以f (x )＝2x ＋7.要点六 函数的概念与性质 函数单调性与奇偶性应用的常见题型(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性． (2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间． (3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式． (4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围．【例6】 已知函数f (x )＝mx 2＋23x ＋n 是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数m 和n 的值；(2)求函数f (x )在区间[－2，－1]上的最值． 解 (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴mx 2＋2－3x ＋n ＝－mx 2＋23x ＋n ＝mx 2＋2－3x －n. 比较得n ＝－n ，n ＝0.又f (2)＝53，∴4m ＋26＝53，解得m ＝2.因此，实数m 和n 的值分别是2和0. (2)由(1)知f (x )＝2x 2＋23x ＝2x 3＋23x .任取x 1，x 2∈[－2，－1]，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝23(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2 ＝23(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2. ∵－2≤x 1＜x 2≤－1，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，x 1x 2－1＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． ∴函数f (x )在[－2，－1]上为增函数， ∴f (x )max ＝f (－1)＝－43，f (x )min ＝f (－2)＝－53.【训练6】 设f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (－x )＝f (x )，f (x )在(－∞，0)上单调递增，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－4a ＋3)，求a 的取值范围．解 ∵f (x )是定义在R 上的函数，且f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．又f (x )在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减．又2a 2＋a ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋142＋78>0，2a 2－4a ＋3＝2(a －1)2＋1>0， 由f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－4a ＋3)知， 2a 2＋a ＋1>2a 2－4a ＋3， 得5a >2，a >25.∴a 的取值范围是a >25.要点七 函数的图象及应用 作函数图象的方法(1)描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线．(2)变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转． ①平移：y ＝f (x ) ――――→左加右减y ＝f (x ±h )；y ＝f (x ) ――――→上加下减y ＝f (x )±k .(其中h >0，k >0)②对称：y ＝f (x )←――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； y ＝f (x )←――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )；y ＝f (x ) ←―――――→关于原点轴对称y ＝－f (－x )．特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图． 【例7】 已知函数f (x )＝x 2－2|x |＋a ，其中x ∈[－3,3]． (1)判断函数f (x )的奇偶性．(2)若a ＝－1，试说明函数f (x )的单调性，并求出函数f (x )的值域． 解 (1)因为定义域[－3,3]关于原点对称，f (－x )＝(－x )2－2|－x |＋a＝x 2－2|x |＋a ＝f (x )， 即f (－x )＝f (x )， 所以f (x )是偶函数．(2)当0≤x ≤3时，f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2； 当－3≤x <0时，f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2－2，0≤x ≤3，x ＋2－2，－3≤x <0.根据二次函数的作图方法，可得函数的图象，如图所示．函数f (x )的单调区间为[－3，－1]，(－1,0)，[0,1]，(1,3]．f (x )在区间[－3，－1]，[0,1]上为减函数，在(－1,0)，(1,3]上为增函数．当0≤x ≤3时，函数f (x )＝(x －1)2－2的最小值为f (1)＝－2，最大值为f (3)＝2； 当－3≤x <0时，函数f (x )＝(x ＋1)2－2的最小值为f (－1)＝－2，最大值为f (－3)＝2.故函数f (x )的值域为[－2,2]．【训练7】 对于任意x ∈R ，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中的较大者，则f (x )的最小值是________．解析 首先应理解题意，“函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中最大的一个．如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A (0,3)，B (1,2)，C (5,8)．从图象观察可得函数f (x )的表达式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋ 3 x ，－x ＋3x ，32x ＋12 x ，x 2－4x ＋3xf (x )的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B (1,2)，所以f (x )的最小值是2.答案 2。

1.3.2奇偶性整体设计教学分析本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的．教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇(偶)函数的概念．因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形的结合更加自然．值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念．教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y＝x与y＝2x－1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明．三维目标1．理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力．2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想．重点难点教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．课时安排1课时教学过程导入新课思路1．同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……)今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？(学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立平面直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？(学生发现：图象关于y轴对称)数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究．思路2．结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y＝x2和y＝x31的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性．推进新课Error!Error!(1)如图1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．图1(2)如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？表1x －3 －2 －1 0 1 2 3f(x)＝x2表2x －3 －2 －1 0 1 2 3f(x)＝|x|(3)请给出偶函数的定义．(4)偶函数的图象有什么特征？(5)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数吗？(6)偶函数的定义域有什么特征？1(7)观察函数f(x)＝x和f(x)＝的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和x性质？活动：教师从以下几点引导学生：(1)观察图象的对称性．(2)学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数．(3)利用函数的解析式来描述．(4)偶函数的性质：图象关于y轴对称．(5)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]的图象关于y轴不对称；对定义域[－1,2]内x＝2，f(－2)2不存在，即其函数的定义域中任意一个x的相反数－x不一定也在定义域内，即f(－x)＝f(x) 不恒成立．(6)偶函数的定义域中任意一个x的相反数－x一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称．(7)先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质．给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义，可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)；③具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；④可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；⑤函数的奇偶性是函数在定义域上的性质，是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质，是“局部”性质．讨论结果：(1)这两个函数之间的图象都关于y轴对称．(2)表1x －3 －2 －1 0 1 2 3f(x)＝x2 9 4 1 0 1 4 9表2x －3 －2 －1 0 1 2 3f(x)＝3 2 1 0 1 2 3|x|这两个函数的解析式都满足：f(－3)＝f(3)；f(－2)＝f(2)；f(－1)＝f(1)．可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任一个x，都有f(－x)＝f(x)．(3)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．(4)偶函数的图象关于y轴对称．(5)不是偶函数．(6)偶函数的定义域关于原点对称．(7)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函3数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点对称．Error!思路1例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x4；(2)f(x)＝x5；1(3)f(x)＝x＋；x1(4)f(x)＝.x2活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性．先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)．解：(1)函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，所以函数f(x)＝x4是偶函数．(2)函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)，所以函数f(x)＝x5是奇函数．(3)函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－x＋1 1－x(x＋x)＝－＝－f(x)，1 所以函数f(x)＝x＋是奇函数．x1(4)函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝(－x)21 1＝＝f(x)，所以函数f(x)＝是偶函数．x2 x2点评：本题主要考查函数的奇偶性．函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数－x也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．变式训练设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()4A．f(x)f(－x)是奇函数B．f(x)|f(－x)|是奇函数C．f(x)－f(－x)是偶函数D．f(x)＋f(－x)是偶函数解析：A中设F(x)＝f(x)f(－x)，则F(－x)＝f(－x)f(x)＝F(x)，即函数F(x)＝f(x)f(－x)为偶函数；B中设F(x)＝f(x)|f(－x)|，F(－x)＝f(－x)|f(x)|，此时F(x)与F(－x)的关系不能确定，即函数F(x)＝f(x)|f(－x)|的奇偶性不确定；C中设F(x)＝f(x)－f(－x)，F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－F(x)，即函数F(x)＝f(x)－f(－x)为奇函数；D中设F(x)＝f(x)＋f(－x)，F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，即函数F(x)＝f(x)＋f(－x)为偶函数．答案：D例2 已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝__________.活动：学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间(0，＋∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(－∞，0)上的自变量对应的函数值．利用偶函数的性质f(x)＝f(－x)，将在区间(0，＋∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(－∞，0)上的自变量对应的函数值．解析：当x∈(0，＋∞)时，则－x＜0.又∵当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，∴f(x)＝f(－x)＝(－x)－(－x)4＝－x－x4.答案：－x－x4点评：本题主要考查函数的解析式和奇偶性．已知函数的奇偶性，求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性，将所求解析式的区间上自变量对应的函数值转化为已知解析式的区间上自变量对应的函数值．变式训练已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2＋3 x，求f(x)．解：当x＝0时，f(－0)＝－f(0)，则f(0)＝0；当x＜0时，－x＞0，由于函数f(x)是奇函数，则f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3 －x]＝－x2＋3 x，综上所得，f(x)＝23x x,x0,0,x0,23x x x,0.5思路2例1 判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝2x4，x∈[－1,2]；x3－x2(2)f(x)＝；x－1(3)f(x)＝x2－4＋4－x2；1＋x2＋x－1(4)f(x)＝.1＋x2＋x＋1活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法．先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．在(4)中注意定义域的求法，对任意x∈R，有1＋x 2＞x2＝|x|≥－x，则1＋x2＋x＞0.则函数的定义域是R.解：(1)∵它的定义域关于原点不对称，∴函数f(x)＝2x4，x∈[－1,2]既不是奇函数也不是偶函数．x3－x2(2)∵它的定义域为{x|x∈R，且x≠1}，并不关于原点对称，∴函数f(x)＝既不是x－1奇函数也不是偶函数．(3)∵x2－4≥0且4－x2≥0，∴x＝±2，即f(x)的定义域是{－2,2}．∵f(2)＝0，f(－2)＝0，∴f(2)＝f(－2)，f(2)＝－f(2)．∴f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)．∴f(x)既是奇函数也是偶函数．(4)函数的定义域是R.∵f(－x)＋f(x)1＋x2－x－1 ＝＋1＋x2－x＋1 1＋x2＋x－1 1＋x2＋x＋11＋x2－(x＋1)2＋1＋x2－(x－1)2＝(\r(1＋x2)－x＋1)(\r(1＋x2)＋x＋1)1＋x2－x2－2x－1＋1＋x2－x2＋2x－1 ＝(\r(1＋x2)－x＋1)(\r(1＋x2)＋x＋1)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．点评：本题主要考查函数的奇偶性．定义法判断函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则6此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(－x)与f(x)或－f(x) 是否相等；(2)当f(－x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(－x)＝－f(x)时，此函数是奇函数；(3) 当f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．判断解析式复杂的函数的奇偶性时，如果定义域关于原点对称时，通常化简f(－x)＋f(x) 来判断f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)是否成立．变式训练f(x) 函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋x ∞)上一定()A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数解析：函数f(x)＝x2－2ax＋a的对称轴是直线x＝a，由于函数f(x)在开区间(－∞，1)上有最小值，所以直线x＝a位于区间(－∞，1)内，f(x) a即a＜1.g(x)＝＝x＋－2，x x下面用定义法判断函数g(x)在区间(1，＋∞)上的单调性．设1＜x1＜x2，a a则g(x1)－g(x2)＝(x1＋－2)－x1 (x2＋－2)x2a a＝(x1－x2)＋(x2)－x1a ＝(x1－x2)(1－x1x2)x1x2－a＝(x1－x2) .x1x2∵1＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1＞0.又∵a＜1，∴x1x2＞a.∴x1x2－a＞0.∴g(x1)－g(x2)＜0.∴g(x1)＜g(x2)．∴函数g(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，函数g(x)在区间(1，＋∞)上没有最值．答案：D例2 已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1·x2) ＝f(x1)＋f(x2)，且当x＞1时f(x)＞0，f(2)＝1，7(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；5 7(－2 )与f(4 )的大小．(3)试比较f活动：(1)转化为证明f(－x)＝f(x)，利用赋值法证明f(－x)＝f(x)；(2)利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；(3)利用函数的单调性比较它们的大小，利用5 7(－2 )和f(4 )转化为同一个单调区间上的函数值．函数的奇偶性，将函数值f(1)证明：令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.令x1＝x2＝－1，得f(1)＝f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，∴2f(－1)＝0.∴f(－1)＝0.∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．∴f(x)是偶函数．(2)证明：设x2＞x1＞0，则x2 x2 x2f(x2)－f(x1)＝f(x－f(x1)＝f(x1)＋f x1 )－f(x1)＝f(x1 ).1·x1)(x2 x2∵x2＞x1＞0，∴＞1.∴f＞0，即f(x2)－f(x1)＞0.x1 (x1 )∴f(x2)＞f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．5 5(－2 )＝f(2 ).(3)解：由(1)知f(x)是偶函数，则有f5 7 5 7 由(2)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f(2 )＞f(4 ).∴f(－2 )＞f(4 ).点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用．判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较．其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值．变式训练已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x，y，f(x)都满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)．(1)求f(1)，f(－1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．分析：(1)利用赋值法，令x＝y＝1得f(1)的值，令x＝y＝－1，得f(－1)的值；(2)利用定义法证明f(x)是奇函数，要借助于赋值法得f(－x)＝－f(x)．解：(1)∵f(x)对任意x，y都有f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，∴令x＝y＝1时，有f(1×1)＝1×f(1)＋1×f(1)．∴f(1)＝0.∴令x＝y＝－1时，有f[(－1)×(－1)]＝(－1)×f(－1)＋(－1)×f(－1)．∴f(－1)＝0.8(2)是奇函数．∵f(x)对任意x，y都有f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，∴令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)．将f(－1)＝0代入得f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数.Error!课本本节练习，1,2.【补充练习】1．设函数y＝f(x)是奇函数．若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝__________.解析：∵函数y＝f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1)．∴－f(2)－f(1)－3＝f(1)＋f(2)＋3.∴2[f(1)＋f(2)]＝－6.∴f(1)＋f(2)＝－3.答案：－32．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝__________，b＝__________.1解析：∵偶函数的定义域关于原点对称，∴a－1＋2a＝0.∴a＝.31∴f(x)＝x2＋bx＋1＋b.又∵f(x)是偶函数，∴b＝0.31答案：033．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为()A．－1B．0C．1D．2解析：f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2)＝f(2)＝f(2＋0)＝－f(0)．又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.∴f(6)＝0.故选B.答案：BError!问题：基本初等函数的奇偶性．探究：利用判断函数的奇偶性的方法：定义法和图象法，可得9正比例函数y＝kx(k≠0)是奇函数；k反比例函数y＝(k≠0)是奇函数；x一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当b＝0时是奇函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数；二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当b＝0时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数．Error!本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．Error!课本习题1.3A组6，B组 3.设计感想单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求．备课资料奇、偶函数的性质(1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立．(3)f(－x)＝f(x)⇔f(x)是偶函数，f(－x)＝－f(x)⇔f(x)是奇函数．(4)f(－x)＝f(x)⇔f(x)－f(－x)＝0，f(－x)＝－f(x)⇔f(x)＋f(－x)＝0.(5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数．奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数；如果函数y＝f(x)和y＝g(x)的奇偶性相同，那么复合函数y＝f[g(x)]是偶函数，如果函数y＝f(x)和y＝g(x)的奇偶性相反，那么复合函数y＝f[g(x)]是奇函数，简称为“同偶异奇”．(6)如果函数y＝f(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a，b)和(－b，－a)上具有相同的单调性；如果函数y＝f(x)是偶函数，那么f(x)在区间(a，b)和(－b，－a)上具有相反的单调性．(7)定义域关于原点对称的任意函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x)－f(－x) f(x)＋f(－x)f(x)＝＋.2 2(8)若f(x)是(－a，a)(a＞0)上的奇函数，则f(0)＝0；若函数f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)＝f(－|x|)．10若函数y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，则有f(x)＝0.11。

函数的奇偶性一．教学背景分析1 . 教材的地位与作用(1)本节课内容选自（人教A版）普通高中课程标准实验教科书《数学必修Ⅰ》第一章第三节第二课；(2)函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,是函数的重要性质之一,对它的研究也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入学习起着重要的铺垫作用；（3）奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。

2 . 学情分析（1）已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法已经有了一定的了解。

尽管他们尚不知函数奇偶性,但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对图象的特殊对称性早已有一定的感性认识；（2）在研究函数的单调性方面，学生懂得了由形象到具体,然后再由具体到一般的科学处理方法,具备一定数学研究方法的感性认识；（3）所任教班级的学生虽然基础比较弱，但也具备一定的观察能力，只是观察的深刻性及稳定性还有待进一步提高；他们有明确的学习动机，能主动自觉配合教师完成教学内容。

二、教学目标1、知识与技能：（1）通过观察一些函数图象的对称性，形成奇偶性的直观认识。

然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立奇偶函数的概念。

（2）通过对典型例子的探讨，加深对奇偶性实质的理解，形成判断奇偶性的步骤，从而能应用到简单的数学问题中去。

（3）经历从直观到抽象，从图形语言到数学语言积累，理解奇函数、偶函数概念的本质特征。

在这个过程中，通过师生共同探究活动，体验数学概念的形成过程；通过积极的数学思考，培养和提升数学思维能力。

2、过程与方法通过“观察”“思考”“探究”与“合作交流”等一系列教学活动，利用多媒体辅助教学，培养学生的类比，观察,归纳能力；渗透数形结合的思想方法；感悟由形象到具体,再从具体到一般的研究方法。

3、情感态度与价值观培养合作、交流的能力；培养学生善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；同时通过欣赏生活中一些对称的图形，感受数学美，陶冶情操。