用反比例函数解决问题(最新编写)

27.3 反比例函数的应用一、选择题1．现有一水塔，水塔内装有20 m3水，如果每小时从排水管中放水x m3，那么要经过y h 才能把水放完，则y与x之间的函数关系图像应是图36－K－1中的( )图36－K－12．[2017·保定模拟]在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m的某种气体，当改变容积V时，气体的密度ρ也随之改变，ρ与V在一定范围内满足ρ＝mV，它的图像如图36－K－2所示，则该气体的质量m为( )A．1.4 kg B．5 kg C．7 kg D．6.4 kg图36－K－2 图36－K－33．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图36－K－3所示．设小矩形的长、宽分别为x，y，剪去部分的面积为20.若2≤x≤10，则y与x之间的函数图像是( )图36－K －44．一块蓄电池的电压为定值，把此蓄电池作为电源时，电流I (A)与电阻R (Ω)之间的函数关系如图36－K －5所示．如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10 A ，那么此用电器的可变电阻应( )A ．不小于4.8 ΩB ．不大于4.8 ΩC ．不小于14 ΩD ．不大于14 Ω图36－K －5 图36－K －65．[2017·庆元县期末]为了建设生态丽水，某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造，图36－K －6描述的是月利润y (万元)关于月份x 之间的变化关系，治污改造完成前是反比例函数图像的一部分，治污改造完成后是一次函数图像的一部分，则下列说法不正确的是( )A ．5月份该厂的月利润最低B ．治污改造完成后，每月利润比前一个月增加30万元C ．治污改造前后，共有6个月的月利润不超过120万元D ．治污改造完成后的第8个月，该厂月利润达到300万元 二、填空题6．收音机刻度盘的波长l 和频率f 分别是由米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的，波长和频率的关系为f ＝300000l，这说明波长l 越大，频率f 就越________．7．某商场出售一批贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x (元)与日销售量y (个)之间有如下关系：由表可得y与x之间的函数表达式是________．8．[2017·保定二模]图36－K－7是某蔬菜大棚恒温系统从开启到关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(时)变化的函数图像，其中BC段是反比例函数图像的一部分，则当x＝20时，大棚内的温度约为________℃.图36－K－7 图36－K－89．如图36－K－8所示的是某一蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图像．请你根据图像提供的信息，填空：(1)此蓄水池的蓄水量是________；(2)每小时的排水量V与所用时间t之间的函数表达式是________；(3)若要6 h排完水池中的水，则每小时的排水量应该是________；(4)若每小时的排水量是5 m3，则水池中的水将要________h才能排完．三、解答题10．[2017·雅安]校园超市以4元/件购进某物品，为制定该物品合理的销售价格，对该物品进行试销调查．经调查，发现每天调整不同的销售价，其销售总金额为定值，其中某天该物品的售价为6元/件时，销售量为50件．(1)设售价为x元/件时，销售量为y件．请写出y与x之间的函数表达式；(2)若超市考虑学生的消费实际，计划将该物品每天的销售利润定为60元，则该物品的售价应定为多少元/件？11．制作一种产品，需先将材料加热达到60 ℃后，再进行操作．设该材料温度为y(℃)，从加热开始计算时间为x(分)．据了解，该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系(如图36－K－9)．已知该材料在操作加工前的温度为15 ℃，加热5分钟后温度达到60 ℃.(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数表达式；(2)根据工艺要求，当材料的温度低于15 ℃时，需停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多长时间？(3)该种材料温度维持在40°以上(包括40 ℃)的时间有多长？图36－K－912心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x(分)的变化规律如图36－K－10所示(其中AB，BC分别为线段，CD为双曲线的一部分)．(1)开始上课后第5分钟时与第30分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？(2)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？图36－K－101．C2．C [解析] ∵ρ＝mV ，∴m ＝ρV ，而点(5，1.4)在此反比例的图像上，代入得m ＝5×1.4＝7(kg )．故选C.3．A [解析] ∵2xy ＝20，∴xy ＝10.∴y ＝10x (2≤x≤10)．故选A.4．A5．C [解析] A 选项，由函数图像可得，5月份该厂的月利润最低为60万元，故此选项不合题意；B 选项，治污改造完成后，从5月到7月，利润从60万元到120万元，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选项不合题意；C 选项，设反比例函数的表达式为y ＝a x ，则a ＝300，故y ＝300x ，由120＝300x ，得x ＝52，所以只有3月，4月，5月，6月，7月共5个月的利润不超过120万元，故此选项符合题意；D 选项，设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋b ＝60，7k ＋b ＝120，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝30，b ＝－90， 所以一次函数的表达式为y ＝30x －90. 当y ＝300时，300＝30x －90，解得x ＝13，所以治污改造完成后的第8个月，该厂月利润达到300万元，故此选项不合题意． 故选C.6．小 7.y ＝60x(x>0)8．10.8 [解析] 点B(12，18)在双曲线y ＝kx 上，∴18＝k12，解得k ＝216.当x ＝20时，y ＝21620＝10.8，所以当x ＝20时，大棚内的温度约为10.8 ℃. 故答案为10.8. 9．(1)48 m 3(2)V ＝48t (t ＞0) (3)8 m 3(4)9.610．解：(1)依题意，得xy ＝50×6＝300， 所以y 与x 之间的函数表达式为y ＝300x .(2)设该物品的售价应定为x 元/件． 依题意，得60＝300x(x －4)，解得x ＝5.经检验，x ＝5是方程的根且符合题意． 答：该物品的售价应定为5元/件．11．解：(1)材料加热，即0≤x≤5时，设函数表达式是y ＝ k 1x ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝15，5k 1＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝15，k 1＝9， 则y 与x 的函数表达式是y ＝9x ＋15.停止加热进行操作，即x>5时，设函数表达式为y ＝k 2x ，因为点(5，60)在函数图像上，所以k 2＝300.所以y 与x 的函数表达式是y ＝300x.(2)把y ＝15代入y ＝300x ，得15＝300x，解得x ＝20.所以当材料的温度低于15 ℃时，需停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．(3)把y ＝40代入y ＝9x ＋15得x ＝259；把y ＝40代入y ＝300x ，得x ＝152.所以材料温度维持在40 ℃以上(包括40 ℃)的时间为152－259＝8518(分)．12 解：(1)设线段AB 所在的直线的函数表达式为y 1＝k 1x ＋20. 把B(10，40)代入，得k 1＝2，∴y 1＝2x ＋20. 设C ，D 所在双曲线的函数表达式为y 2＝k 2x .把C(25，40)代入，得k 2＝1000， ∴y 2＝1000x.当x ＝5时，y 1＝2×5＋20＝30. 当x ＝30时，y 2＝100030＝1003，∴y 1＜y 2，∴第30分钟时学生的注意力更集中． (2)令y 1＝36，得36＝2x ＋20，∴x ＝8. 令y 2＝36，∴36＝1000x ，∴x ＝100036≈27.8.∵27.8－8＝19.8(分)＞19分，∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．。

反比例函数是一种常见的数学模型，可以用来解决很多实际问题。

以下是一个例子：
假设一辆汽车行驶的距离与其油耗量是一个反比例关系。

也就是说，当汽车行驶的距离增加时，它消耗的油耗将减少，并且当汽车行驶的距离减少时，它消耗的油耗将增加。

如果我们知道汽车在某一段路程中的油耗量（例如每公里消耗的升数），以及这段路程的总长度，我们可以使用反比例函数来求出它的平均油耗量。

具体步骤如下：
1. 定义变量：假设总距离为 D 千米，油耗量为 H 升/公里，平均油耗为 Y 升/百公里
2. 确定反比例函数：根据定义，可得：H = k / Y，其中 k 是一个常数
3. 求解常数 k：当总距离为 D 时，油耗为 H * D 升。

因此，有：H * D = k / Y，即 Y = k / (H * D)
4. 计算平均油耗：将上一步得到的等式中，代入已知的 H 和 D 值，即可求出平均油耗量 Y 的值。

总结：反比例函数可应用于很多实际问题，如物质的浓度与稀释液的体积关系、人口密度与城市面积的关系等。

在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的变量和反比例函数形式，以获得所需的信息。

用反比例函数解决问题要点一、利用反比例函数解决实际问题1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题.2.一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示.（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数.（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.要点二、反比例函数在其他学科中的应用1.当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；2.当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；3.在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.要点三、反比例函数中的最值问题理论：若0a >，0b >，则a b +³a b =时等号成立）例题：对于函数()10y x x x=+>，当x 取何值时，函数y 的值最小？最小值是多少？0x Q >，12y x x \=+³=，当且仅当1x x =时，等号成立，由1x x=得：1x =或10x =-<（舍去），经检验，1x =是方程1x x =的解，故当x=1时，函数y 的值最小，最小值是2题型一:反比例函数实际问题与图象1．已知矩形的面积为 10，它的长y 与宽x 之间的关系用图象大致可表示为（ ）A ．B ．C ．D ．2．当温度不变时，某气球内的气压(kPa)p 与气体体积2(m )V 成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压120kPa p >时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V 应满足的条件是（ ）A ．不大于24m 5B ．大于25m 4C ．不小于24m 5D ．小于25m 43．伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“标杆原理”的意义和价值．“标杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“标杆原理”．已知阻力1(N)F 和阻力臂1(m)L 的函数图像如图，若小明想使动力2F 不超过150N ，则动力臂2L 至少需要（ ）m ．A ．2B ．1C ．6D ．44．体育课上，甲、乙、丙、丁四位同学进行跑步训练，如图用四个点分别描述四位同学的跑步时间y（分钟）与平均跑步速度x（米/分钟）的关系，其中描述甲、丙两位同学的y与x之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则在这次训练中跑的路程最多的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻110ΩR=，2R是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.012m，压敏电阻2R的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：UIR =，F pS=，1000Pa1kPa=）．则下列说法中不正确的是（）A．当水箱未装水（0mh=）时，压强p为0kPaB．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40NC．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8mD．若想使水深1m时报警，应使定值电阻1R的阻值为12W题型二:利用反比例函数解决实际问题1．如图是某种电子理疗设备工作原理的示意图,其开始工作时的温度是20℃，然后按照一次函数关系一直增加到70℃，这样有利于打通病灶部位的血液循环，在此温度下再沿反比例函数关系缓慢下降至35℃，然后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至70℃，再在此温度下沿着反比例函数关系缓慢下降至，35℃如此循环下去．（1）t的值为；:分钟内温度大于或等于50℃时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持（2）如果在0t续时间为分钟．2．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x （分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：(1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？(2)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？请说明理由.3．某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度()y ℃与时间()h x 之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少℃；(2)求全天的温度y 与时间x 之间的函数关系式；(3)若大棚内的温度低于()10℃不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？4．心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y、分别为线段，CD为双曲线的一部随时间x (分钟)的变化规律如下图所示(其中AB BC分)．(1)求注意力指标数y与时间x (分钟)之间的函数表达式；(2)开始学习后第4分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？(3)某些数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知；自主探索，合作交流；总结归纳，巩固提高”，其中“教师引导，回顾旧知”环节10分钟；重点环节“自主探索，合作交流”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问：这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由．5．如图所示，小明家饮水机中原有水的温度是20，开机通电后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y （°C ）与开机时间x （分）满足一次函数关系．当加热到100°C 时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y （°C ）与开机时间x （分）成反比例关系．当水温降至20°C 时，饮水机又自动开始加热……，不断重复上述程序．根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)当05x ££时，求水温y （°C ）与开机时间x （分）的函数关系式；(2)求图中t 的值；(3)有一天，小明在上午7:20（水温20°C ），开机通电后去上学，11:33放学回到家时，饮水机内水的温度为多少°C ？并求：在7:2011:33——这段时间里，水温共有几次达到100°C ？6．据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患者按规定剂量服用这种抗生素，已知刚服用该抗生素后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成正比例药物浓度达到最高后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成反比例，根据图中所提供的信息，回答下列问题：(1)抗生素服用_______小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有____微克；(2)根据图象求出药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数解析式及定义域；(3)求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量y．题型三：最值问题1．阅读与思考任务：(1)填空：已知0x >，只有当x =______时，4x x+有最小值，最小值为______．(2)如图，P 为双曲线()60y x x =>上的一点，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，PD y ⊥轴于点D ，求PC PD +的最小值．2．【操作发现】由()20a b -³得，222a b ab +³；如果两个正数a ，b ，即0a >，0b >，则有下面的不等式：a b +³，当且仅当a b =时取到等号．例如：已知0x >，求式子4x x +的最小值．解：令a x =，4b x =，则由a b +³44x x +³=，当且仅当4x x =时，即2x =时式子有最小值，最小值为4．(1)【问题解决】请根据上面材料回答下列问题：已知0x >，当x 为多少时，代数式9x x +的最小值为；(2)【灵活运用】当2x >时，求12x x +-的最小值；(3)【学以致用】如图，民民同学想做一个菱形风筝，现在有一根长120cm 的竹竿，他准备把它截成两段做成风筝的龙骨即菱形的对角线AC ，BD ，请你帮他设计一下，当AC 为多少cm 时菱形的面积最大，最大值为2cm （直接写出结果）．3．由2()0a b -³得，222a b ab +³；如果两个正数a ，b ，即0,0a b >>，则有下面的不等式：a b +³，当且仅当a b =时取到等号．例如：已知0x >，求式子4x x+的最小值．解：令4,a x b x ==，则由a b +³44x x +³=，当且仅当4x x =时，即2x =时，式子有最小值，最小值为4．请根据上面材料回答下列问题：(1)当0x >，式子x +16x的最小值为 ；(2)当0x <，代数式364+x x最大值为多少？并求出此时x 的值；(3)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？4．阅读材料：①对于任意实数a 和b ，都有2()0a b -³，∴2220a ab b -+³，得到222a b ab +³，当且仅当a b =时，等号成立．②任意一个非负实数都可写成一个数的平方的形式.即：如果a ≥0，则2a =．如：22=等．例：①用配方法求代数式2283x x -+的最小值．②已知0a >，求证：12a a+>①解：由题意得：222832(2)5x x x -+=--，∵22(2)0x -³，且当2x =时，22(2)0x -=，∴22(2)55x --³-，∴当2x =时，代数式2283x x -+的最小值为：5-；②证明：∵0a >，∴2122a a +=+>=∴12a a +>12a a =，即请解答下列问题：某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成（如图所示）.设垂直于墙的一边长为x 米.(1)若所用的篱笆长为36米，那么：①当花圃的面积为144平方米时，垂直于墙的一边的长为多少米？②设花圃的面积为S 米2，求当垂直于墙的一边的长为多少米时，这个花圃的面积最大？并求出这个最大面积；(2)若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？题型四：反比例函数综合运用1．如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作m T （m 为1～4的整数），函数()0k y x x =>的图象为曲线L ，若曲线L 使得14T T :，这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，则k 的取值范围是（ ）A ．812k ££B ．812k £<C ．812k <£D ．812k <<2．如图，矩形ABCD 对角线的交点为O ，点P 在x 轴的正半轴上，DC 平分BDP Ð，PAD V 的面积为6．若双曲线()0k y x x=>经过点D ，交PD 于点Q ，且PQ DQ =，则k 的值为 ．3．如图，已知点()1,A a 和点()3,B b 是直线y mx n =+与双曲线(0)k y k x =>的交点，AOB V 的面积为43．(1)求k 的值；(2)设()111,P x y ，()222,P x y 是反比例函数在同一象限上任意不重合的两点，1212y y M x x =+，2112y y N x x =+，判断M ，N的大小，并说明理由．4．已知反比例函数k y x =的图象经过点()A ．(1)试确定此反比例函数的解析式；(2)点O 是坐标原点，将线段OA 绕O 点顺时针旋转30°得到线段OB ．判断点B 是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；(3)已知点()6P m +也在此反比例函数的图象上（其中0m <），过P 点作x 轴的垂线，交x 轴于点M ．若线段PM 上存在一点Q ，使得OQM V 的面积是12，设Q 点的纵坐标为n ，求29n -+的值．5．如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，边BC落在x轴上，E是DC的中点，连接AE，反比例函数myx=的图象经过点E，与AB交于点F．(1)求AE的长；(2)若2AF AE-=，求反比例函数的表达式；(3)在（2）的条件下，连接矩形ABCD两对边AD与BC的中点M，N，设线段MN与反比例函数图象交于点P，将线段MN沿x轴向右平移n个单位，若MP NP<，直接写出n的取值范围．课后练习1．已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：W )是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为6W 时，电流为( )A ．3AB ．4AC ．6AD ．8A2．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流()A I ．与电阻()R W 成反比例函数的图象，该图象经过点()880,0.25P ．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）A ．当0.25R <时，880I <B ．I 与R 的函数关系式是()2000I R R=>C ．当1000R >时，0.22I >D ．当8801000R <<时，I 的取值范围是0.220.25I <<3．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度()C y °与时间()h x 之间的函数关系，其中线段AB 、BC 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：(1)求这天的温度y 与时间()024x x ££的函数关系式；(2)若大棚内的温度低于10C °时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？4．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化：开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y 随时间x （分钟）的变化规律如图所示（其中AB BC ，分别为线段，BC x ∥轴，CD 为双曲线的一部分），其中AB 段的关系式为220y x =+．(1)点B 坐标为_______；(2)根据图中数据，求出CD 段双曲线的表达式；(3)一道数学竞赛题，需要讲20分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到32，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?5．为确保身体健康，自来水最好烧开（加热到100℃）后再饮用．某款家用饮水机，具有加热、保温等功能．现将20℃的自来水加入到饮水机中，先加热到100℃．此后停止加热，水温开始下降，达到设置的饮用温度后开始保温．比如事先设置饮用温度为50℃，则水温下降到50℃后不再改变，此时可以正常饮用．整个过程中，水温()y ℃与通电时间()min x 之间的函数关系如图所示．(1)水温从20℃加热到100℃，需要______min ；请直接写出加热过程中水温y 与通电时间x 之间的函数关系式：______；(2)观察判断：在水温下降过程中，y 与x 的函数关系是______函数，并尝试求该函数的解析式；(3)已知冲泡奶粉的最佳温度在40℃左右，某家庭为了给婴儿冲泡奶粉，将饮用温度设置为40℃．现将20℃的自来水加入到饮水机中，此后开始正常加热．则从加入自来水开始，需要等待多长时间才可以接水冲泡奶粉？6．如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作m T （m 为18: 的整数）函数()0k y x x=<的图像为曲线L ，若曲线L 使得18~T T 这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k 的取值范围是（ ）A ．3628k -<<-B ．2214k -<<-C ．2012k -<<-D ．3426k -<<-7．阅读理解：若三个非零实数x ，y ，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x ，y ，z 构成“和谐三数组”．(1)若A(m ，y 1)，B(m ＋1，y 2)，C(m ＋3，y 3)三点均在反比例函数4y x=的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m 的值；(2)若实数a ，b ，c 是“和谐三数组”，且满足a ＞b ＞c ＞0，求点(,)c c P a b与原点O 的距离OP 的取值范围．8．如图直角坐标系中，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，点B 、D 的坐标分别为B （1，0），D （3，3）．（1）点C 的坐标 ；（2）若反比例函数()0k y k x=¹的图象经过直线AC 上的点E ，且点E 的坐标为（2，m ），求m 的值及反比例函数的解析式；（3）若（2）中的反比例函数的图象与CD 相交于点F ，连接EF ，在直线AB 上找一点P ，使得32PEF CEF S S D D =，求点P 的坐标．9．阅读材料：已知,a b 为非负实数，∵2220a b +-=+-=³，∴a b +³“a b =”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知0x >，求函数4y x x =+的最小值．解：令a x =，4b x =，则由a b +³44y x x =+³=．当且仅当4x x=，即2x =时，函数取到最小值，最小值为4．根据以上材料解答下列问题：(1)已知0x >，则当x =______时，函数3y x x=+取到最小值，最小值为______；(2)用篱笆围一个面积为2100m 的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？(3)已知0x >，则自变量x 取何值时，函数229x y x x =-+取到最大值？最大值为多少？。

反⽐例函数解决实际问题
利⽤反⽐例函数解决实际问题的⼀般步骤：
⼀、审题，确定变量间的函数关系，设出含待定系数的函数表达式；
⼆、建⽴适当的平⾯直⾓坐标系；
三、把实际问题中的⼀些数据与点的坐标联系起来；
四、⽤待定系数法求出函数的表达式；
五、利⽤反⽐例函数的图象及其性质去分析解决问题。

注意：
⼀、在实际问题中，⾃变量的取值范围往往会受到实际条件的限制，孩⼦图象通常在第⼀象限，有时会是第⼀象限中的⼀部分；
⼆、要注意函数最值（取值范围）受⾃变量取值⼤⼩的影响；
三、两坐标轴上的单位长度⼀定要根据实际问题来确定，⽽且两坐标轴上的单位长度可以不⼀致。

B A O yx 课型新授课备课时间2016、12.1 授课时间班级课题2６.１.２反比例函数的图象和性质（2）主备人教学目标：1.熟练掌握反比例函数的图象和性质，理解k 的几何意义．2.能综合运用一次函数与反比例函数的图象和性质解题.学习重点：用描点法画反比例函数的图象，掌握反比例函数的性质.学习难点：能综合运用一次函数与反比例函数的图象和性质解题. 一、课前导学：学生自学课本第7—8 页内容，并完成下列问题1.【回忆】：比较正比例函数和反比例函数的图象和性质正比例函数反比例函数解析式图像直线位置k ＞0，象限k ＜0，象限k ＞0，象限k ＜0，象限增减性k ＞0，y 随x 的增大而k ＜0，y 随x 的增大而k ＞0，在每个象限y 随x 的增大而k ＜0，在每个象限y 随x 的增大而2.【探究】问题1：如图，点A 是反比例函数6y x 图像上一点，过点A 作AB ⊥x轴于点B ，连结AO ，⑴若A 点的横坐标为3，则AOB S D =____________；⑵思考：若点A 在函数图像上运动，△AOB 的面积是否发生变化？问题2：如图，点A 是反比例函数6y x 图像上一点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连结AO ，⑴若A 点的横坐标为-3，则AOB S D =____________；⑵思考：若点A 在函数图像上运动，△AOB 的面积是否会否发生变化？归纳：1.若点A 在反比例函数ky x 的图像上，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连结AO ，备注（二次备课）B AO yx可以得到AOB S D =____________.2.从反比例函数x ky （k ≠0）的图象上任一点P （x ，y ）向x 轴、y 轴作垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积S ＝ .二、合作、交流、展示：1．已知反比例函数的图象经过点A （2,6）.（1）这个函数的图象位于哪些象限？y 随x 的增大如何变化？（2）点B （3,4），C （142,425），D （2,5）是否在这个函数的图像上？解：【反思】判断点是否在图像上，只要.2.下列图形中，阴影部分面积最大的是（）A ．B ．C ．D．3.如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数x my 的图象交于A （－2，1）、B （1，n ）两点.（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围；（3）求△AOB 的面积.三、巩固与应用：1.已知点（－1，y 1）、（2，y 2）、（π，y 3）在双曲线x k y 12上，则下列关系式正确的是（）（A ）y 1＞y 2＞y 3（B ）y 1＞y 3＞y 2（C ）y 2＞y 1＞y 3（D ）y 3＞y 1＞y 22. 如图，A 、B 是函数x y 2的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则()．(A)S ＝2(B)S ＝4 (C)2＜S ＜4 (D)S ＞4 3.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数x ky (x>0)的图象和矩形ABCD 的第一象限，AD 平行于x 轴，且AB=2，AD =4，点A 的坐标为(2，6) ．（1）直接写出B 、C 、D 三点的坐标；（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．四、小结：１.理解反比例函数k 的几何含义；２.综合运用知识解题.五、作业：必做：课本P9习题T5，8，9习题T ；选做：《作业精编》相应练习.O xy 246642-2-4-6-6-4-2-2-4-6-6-4-2246642yx O一、课前导学：学生自学课本第4-6 页内容，并完成下列问题1.【温故知新】：（１）正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象是什么？其性质有哪些？一次函数y ＝kx+b （k ≠0）呢？（2）用描点法作函数图象的步骤：，，.. 2.【探究】分别在下列两个坐标系中作出y=6x 和y=－6x 的图象. x…-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …y=6xy= -6x比例函数y=6x 和３.【观察思考】反y=－6x 的图象有哪些特征？与小伙伴交流！二、合作、交流、展示：1．【交流】请同学们观察y=x 6和y=-x 6的图象，思考下列问题：（1）你能发现它们的共同特点吗？（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？图象所在象限由谁决定？（3）在每个象限内，y 随x 的变化如何变化？说说你的理由.如果把“在每个象限内”这几个字去掉，你同意吗？为什么？（4）每个函数的双曲线会与坐标轴相交吗？为什么？２．【归纳】归纳反比例函数图像特点和性质：反比例函数x ky （k 为常数，0k ）图像是_____________图像性质当k >0当k <0三、巩固与应用：1．点)6,1(在双曲线x ky上，则k=______________. 2．已知反比例函数x y 6的图象经过点),2(a P ，则a=__________.３.已知反比例函数4.k y x 若图象位于第一、三象限，则k 的取值范围是；若在每一象限内，y 随x 的增大而增大，则k 取值的范围是.4. 已知点A(-3,a)，B(-2,b)，C(4, c)在反比例函数x y 1上,比较a ，b ，c的大小.5.函数y=kx-k 与 y=x k在同一条直角坐标系中的图象可能是（）四、小结：１.反比例函数的图象和性质；２.类比思想、数形结合思想.五、作业：必做：课本PP8 习题T2，3，4；选做：《作业精编》相应练习. (A) (B) (C) (D)一、二、三、四、五、课前导学：预习课本第1页至第3页，完成下列问题:1.我们形如的函数叫做一次函数，当时，又叫做正比例函数.2.探究：反比例函数的意义问题1：(1)京沪线铁路全长 1 463km，某次列车的平均速度vkm/h?随此次列车的全程运行问题th的变化而变化，其关系可用函数式表示为：(2)某住宅小区要种植一个面积为 1 000m2矩形草坪，草坪的长ym随宽xm?的变化而变化，可用函数式表示为 (3)已知北京市的总面积为 1.68×104km2，人均占有的土地面积Skm2/人，随全市总人口n人的变化而变化，其关系可用函数式表示为．问题2上述问题中的函数关系式都有什么共同的特征？答：.4.反比例函数的意义：一般的，形如的函数，叫做反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数学．自变量的取值范围是的一切实数．5.下列哪个等式中的y 是x 的反比例函数？6.已知y 是x 的反比例函数，当x=2时，y=6．写出y 与x 的函数关系式；求当x=4时，y 的值．7.已知y 与(2x+1)成反比例，且x=1时，y=2，那么当x=0时，y 的值是二、合作、交流、展示：1.比例函数的意义：反比例函数的解析式 ,y=xk反比例函数的变形形式：（1）xy=k (2)1kx y 2.例题 1.下列等式中，哪些是反比例函数? （1）3x y（2）x y 2（3）xy ＝21 （4）25x y （5）x y 23（6）31x y （7）y ＝x －4例题 2.当m 取什么值时，函数23)2(m x m y 是反比例函数？例题3(拓展提升)．已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝5(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当x ＝－2时，求函数y 的值归纳总结：注意y 1与x 和y 2与x 的函数关系中的比例系数，故不能都设为k ，要用的字母表示。

11.3 用反比例函数解决问题一．选择题（共10小题）1．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（）A．v=320t B．v=C．v=20t D．v=2．已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时）关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数关系式是（）A．t=20v B．t=C．t=D．t=3．某厂现有300吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是（）A．（x＞0） B．（x≥0） C．y=300x（x≥0）D．y=300x（x＞0）4．如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（）A．y=B．y= C．y=D．y=5．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知200度近视眼镜镜片的焦距为0.5m，则y与x的函数关系式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=6．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I 的函数解析式为（）A．B．C．D．7．某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为1.2万元，前期付款4000元，后期每个月分期付一定的数额，则每个月的付款额y（元）与付款月数x之间的函数关系式是（）A．y=（x取正整数）B．y=C．y=D．y=8000x8．电路上在电压保持不变的条件下，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例关系，I与R的函数图象如图，I关于R函数解析式是（）A．B． C．D．9．如果以12m3/h的速度向水箱进水，5h可以注满．为了赶时间，现增加进水管，使进水速度达到Q（m3/h），那么此时注满水箱所需要的时间t（h）与Q（m3/h）之间的函数关系为（）A．t=B．t=60Q C．t=12﹣D．t=12+10．某闭合电路中，电源电压不变，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例，如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，图象过M（4，2），则用电阻R表示电流I的函数解析式为（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题）11．某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空．现在排水量为平均每小时Q立方米，那么将满池水排空所需要的时间为t（小时），写出时间t（小时）与Q之间的函数表达式．12．一批零件300个，一个工人每小时做15个，用关系式表示人数x与完成任务所需的时间y之间的函数关系式为．13．A、B两地之间的高速公路长为300km，一辆小汽车从A地去B地，假设在途中是匀速直线运动，速度为vkm/h，到达时所用的时间是th，那么t是v的函数，t可以写成v的函数关系式是．14．把一个长、宽、高分别为3cm，2cm，1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积s（cm2）与高h（cm）之间的函数关系式为．150y（单x（单的函数解析式为，）的变化而变化，其对应的函数解析式是．三．解答题（共9小题）21．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这一函数的解析式；（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）22．已知一个长方体的体积是100cm3，它的长是ycm，宽是10cm，高是xcm．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当x=2cm时，求y的值．23．已知圆锥的体积，（其中s表示圆锥的底面积，h表示圆锥的高）．若圆锥的体积不变，当h为10cm时，底面积为30cm2，请写出h关于s的函数解析式．24．我们学习过反比例函数，例如，当矩形面积一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数关系式可以写为（s为常数，s≠0）．请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式．实例：三角形的面积S一定时，三角形底边长y是高x的反比例函数；函数关系式：（s为常数，s≠0）．25．有一水池装水12m3，如果从水管中1h流出x m3的水，则经过yh可以把水放完，写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．26．已知一个长方体的体积是100m3，它的长是ym，宽是5 m，高为xm，试写出x、y之间的函数关系式，并注明x的取值范围．27．甲、乙两地相距100km，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用的时间t（h）表示为汽车速度v（km/h）的函数，并说明t是v的什么函数．28．已知一个面积为60的平行四边形，设它的其中一边长为x，这边上的高为y，试写出y与x的函数关系式，并判断它是什么函数．29．面积一定的梯形，其上底长是下底长的，设上底长为xcm，高为ycm，且当x=5cm，y=6cm，（1）求y与x的函数关系式；（2）求当y=4cm时，下底长多少？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016•广州）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（）A．v=320t B．v=C．v=20t D．v=【分析】根据路程=速度×时间，利用路程相等列出方程即可解决问题．【解答】解：由题意vt=80×4，则v=．故选B．【点评】本题考查实际问题的反比例函数、路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是构建方程解决问题，属于中考常考题型．2．（2015•临沂）已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时）关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数关系式是（）A．t=20v B．t=C．t=D．t=【分析】根据路程=时间×速度可得vt=20，再变形可得t=．【解答】解：由题意得：vt=20，t=，故选：B．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出反比例函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．3．某厂现有300吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是（）A．（x＞0） B．（x≥0） C．y=300x（x≥0）D．y=300x（x＞0）【分析】这些煤能烧的天数=煤的总吨数÷平均每天烧煤的吨数，把相关数值代入即可．【解答】解：∵煤的总吨数为300，平均每天烧煤的吨数为x，∴这些煤能烧的天数为y=（x＞0），故选：A．【点评】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，得到这些煤能烧的天数的等量关系是解决本题的关键．4．如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（）A．y=B．y= C．y=D．y=【分析】利用三角形面积公式得出xy=10，进而得出答案．【解答】解：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，∴xy=10，∴y与x的函数关系式为：y=．故选：C．【点评】此题主要考查了根据实际问题抽象出反比例函数解析式，根据已知得出xy=10是解题关键．5．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知200度近视眼镜镜片的焦距为0.5m，则y与x的函数关系式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=【分析】由于近视镜度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成反比例关系可设y=，由200度近视镜的镜片焦距是0.5米先求得k的值．【解答】解：由题意设y=，由于点（0.5，200）适合这个函数解析式，则k=0.5×200=100，∴y=．故眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为：y=．故选；A．【点评】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．6．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I 的函数解析式为（）A．B．C．D．【分析】可设I=，由于点（3，2）适合这个函数解析式，则可求得k的值．【解答】解：设I=，那么点（3，2）适合这个函数解析式，则k=3×2=6，∴I=．故选：C．【点评】解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．7．某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为1.2万元，前期付款4000元，后期每个月分期付一定的数额，则每个月的付款额y（元）与付款月数x之间的函数关系式是（）A．y=（x取正整数）B．y=C．y=D．y=8000x【分析】根据购买的电脑价格为1.2万元，交了首付4000元之后每期付款y元，x个月结清余款，得出xy+4000=12000，即可求出解析式．【解答】解：∵购买的电脑价格为1.2万元，交了首付4000元之后每期付款y 元，x个月结清余款，∴xy+4000=12000，∴y=（x取正整数）．故选A．【点评】此题主要考查了根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，注意先根据等量关系得出方程，难度一般．8．电路上在电压保持不变的条件下，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例关系，I与R的函数图象如图，I关于R函数解析式是（）A．B． C．D．【分析】根据电压=电流×电阻得到稳定电压的值，让I=即可．【解答】解：∵当R=20，I=11时，∴电压=20×11=220，∴．故选A．【点评】考查列反比例函数关系式，关键是根据题中所给的值确定常量电压的值．9．如果以12m3/h的速度向水箱进水，5h可以注满．为了赶时间，现增加进水管，使进水速度达到Q（m3/h），那么此时注满水箱所需要的时间t（h）与Q（m3/h）之间的函数关系为（）A．t=B．t=60Q C．t=12﹣D．t=12+【分析】以12m3/h的速度向水箱进水，5h可以注满，求出水箱的容量，然后根据注满水箱所需要的时间t（h）=可得出关系式．【解答】解：由题意得：水箱的容量=12m3/h×5h=60m3．∴注满水箱所需要的时间t（h）与Q（m3/h）之间的函数关系为t=．故选A．【点评】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，属于应用题，难度一般，解答本题的关键是首先得出水箱的容量．10．某闭合电路中，电源电压不变，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例，如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，图象过M（4，2），则用电阻R表示电流I的函数解析式为（）A．B．C．D．【分析】把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．【解答】解：观察图象，函数经过一定点（4，2），将此点坐标代入函数解析式I=（k≠0）即可求得k的值，2=，∴K=8，函数解析式I=．故选A．【点评】用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式．二．填空题（共10小题）11．某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空．现在排水量为平均每小时Q立方米，那么将满池水排空所需要的时间为t（小时），写出时间t（小时）与Q之间的函数表达式t=．【分析】根据蓄水量=每小时排水量×排水时间，即可算出该蓄水池的蓄水总量，再由防水时间=蓄水总量÷每小时的排水量即可得出时间t（小时）与Q之间的函数表达式．【解答】解：∵某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空，∴该水池的蓄水量为8×6=48（立方米），∵Qt=48，∴t=．故答案为：t=．【点评】本题考查了根据实际问题列出反比例函数关系式，解题的关键是根据数量关系列出t关于Q的函数关系式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出函数关系式是关键．12．一批零件300个，一个工人每小时做15个，用关系式表示人数x与完成任务所需的时间y之间的函数关系式为y=．【分析】根据等量关系“x个工人所需时间=工作总量÷x个工人工效”即可列出关系式．【解答】解：由题意得：人数x与完成任务所需的时间y之间的函数关系式为y=300÷15x=．故本题答案为：y=．【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题13．A、B两地之间的高速公路长为300km，一辆小汽车从A地去B地，假设在途中是匀速直线运动，速度为vkm/h，到达时所用的时间是th，那么t是v的反比例函数，t可以写成v的函数关系式是．【分析】时间=，把相关字母代入即可求得函数解析式，看符合哪类函数的特征即可．【解答】解：t=，符合反比例函数的一般形式．【点评】解决本题的关键是得到所求时间的等量关系，注意反比例函数的一般形式为y=（k≠0，且k为常数）．14．（2015•青岛）把一个长、宽、高分别为3cm，2cm，1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积s（cm2）与高h（cm）之间的函数关系式为s=．【分析】利用长方体的体积=圆柱体的体积，进而得出等式求出即可．【解答】解：由题意可得：sh=3×2×1，则s=．故答案为：s=．【点评】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数解析式，得出长方体体积是解题关键．15．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视镜片的焦距为0.2米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是y=．【分析】由于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，可设y=，由于点（0.2，400）在此函数解析式上，故可先求得k的值．【解答】解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，由于点（0.2，400）在此函数解析式上，∴k=0.2×400=80，∴y=．故答案为：y=．【点评】考查了根据实际问题列反比例函数关系式的知识，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．16．某村利用秋冬季节兴修水利，计划请运输公司用90～150天（含90与150天）完成总量300万米3的土石方运送，设运输公司完成任务所需的时间为y（单位：天），平均每天运输土石方量为x（单位：万米3），请写出y关于x的函数关系式并给出自变量x的取值范围y=（2≤x≤）．【分析】利用“每天的工作量×天数=土石方总量”可以得到两个变量之间的函数关系．【解答】解：由题意得，y=，把y=90代入y=，得x=，把y=150代入y=，得x=2，所以自变量的取值范围为：2≤x≤，故答案为y=（2≤x≤）．【点评】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．17．某户家庭用购电卡购买了2000度电，若此户家庭平均每天的用电量为x（单位：度），这2000度电能够使用的天数为y（单位：天），则y与x的函数关系式为．（不要求写出自变量x的取值范围）【分析】根据某户家庭用购电卡购买了2000度电，此户家庭平均每天的用电量为x（单位：度），利用总用电量除以使用的天数得出y与x的函数关系式．【解答】解：∵某户家庭用购电卡购买了2000度电，若此户家庭平均每天的用电量为x（单位：度），使用的天数为y（单位：天），∴y与x的函数关系式为：y=．故答案为：y=．【点评】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，利用用电量除以使用的天数得出y与x的函数关系式是解题关键．18．若矩形的面积为48，它的两边长分别为x，y．则y关于x的函数解析式为，其中自变量x的取值范围是x＞0．【分析】根据等量关系“矩形一边长=面积÷另一边长”即可列出关系式．【解答】解：由题意得：y关于x的函数解析式是y=（x＞0）．故答案为：y=，x＞0．【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键．19．京沪铁路全程1463km，某次列车的平均速度v（单位km/h）随此次列车的全程运行时间t（t＞0，单位：h）的变化而变化，其对应的函数解析式是（t＞0）．【分析】根据平均速度=总路程÷总时间可列出关系式，即可求解．【解答】解：由题意得平均速度v（单位km/h）与全程运行时间t的关系为：v=（t＞0）．故本题答案为：v=（t＞0）．【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．除法一般写成分式的形式，除号可看成分式线．20．学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场．设它的一边长为x（米），则另一边的长y（米）与x的函数关系式为y=．【分析】根据矩形的面积=长×宽，结合题意即可得出另一边的长y（米）与x 的函数关系式．【解答】解：由题意得，xy=24，故另一边的长y（米）与x的函数关系式为：．故答案为：y=．【点评】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式的知识，属于基础题，熟练掌握矩形的面积公式是关键．三．解答题（共9小题）21．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这一函数的解析式；（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）【分析】（1）设出反比例函数解析式，把A坐标代入可得函数解析式；（2）把v=1代入（1）得到的函数解析式，可得p；（3）把P=140代入得到V即可．【解答】解：（1）设，由题意知，所以k=96，故；（2）当v=1m3时，；（3）当p=140kPa时，．所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.69m3．【点评】考查反比例函数的应用；应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义．22．已知一个长方体的体积是100cm3，它的长是ycm，宽是10cm，高是xcm．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当x=2cm时，求y的值．【分析】（1）长方体的体积等于=长×宽×高，把相关数值代入即可求解；（2）把x=2代入（1）的函数解析式可得y的值．【解答】解：（1）由题意得，10xy=100，∴y=（x＞0）；（2）当x=2cm时，y==5（cm）．【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键．23．已知圆锥的体积，（其中s表示圆锥的底面积，h表示圆锥的高）．若圆锥的体积不变，当h为10cm时，底面积为30cm2，请写出h关于s的函数解析式．【分析】首先根据已知求出V的值，进而代入，即可得出h与s的函数关系式．【解答】解：∵，当h为10cm时，底面积为30，∴V=×10×30=100（cm3），∴100=sh，∴h关于s的函数解析式为：．【点评】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数解析式，根据已知得出V 的值是解题关键．24．我们学习过反比例函数，例如，当矩形面积一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数关系式可以写为（s为常数，s≠0）．请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式．实例：三角形的面积S一定时，三角形底边长y是高x的反比例函数；函数关系式：（s为常数，s≠0）．【分析】联系日常生活，要解答本题关键要找出日常生活中两个数的乘积是一个不为零的常数，写出其函数关系式．【解答】解：本题通过范例，再联系日常生活、生产或学习当中可以举出许许多多与反比例函数有关的例子来，例如：实例1，三角形的面积S一定时，三角形底边长y是高x的反比例函数，其函数关系式可以写出（s为常数，s≠0）．实例2，甲、乙两地相距100千米，一辆汽车从甲地开往乙地，这时汽车到达乙地所用时间y（小时）是汽车平均速度x（千米/小时）的反比例函数，其函数关系式可以写出．【点评】本题与日常生活联系在一起，要解答本题，关键是要理解反比例函数的性质．25．有一水池装水12m3，如果从水管中1h流出x m3的水，则经过yh可以把水放完，写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．【分析】根据等量关系“工作时间=工作总量÷工作效率”即可列出关系式即可，注意x＞0．【解答】解：由题意，得：y=（x＞0）．故本题答案为：y=（x＞0）．【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键．26．已知一个长方体的体积是100m3，它的长是ym，宽是5 m，高为xm，试写出x、y之间的函数关系式，并注明x的取值范围．【分析】根据等量关系“长方体的体积=长×宽×高”，再把已知中的数据代入得出y与x之间的函数关系式即可．【解答】解：因为长方体的长是ym，宽是5m，高为xm，由题意，知100=5xy，即y=．由于长方体的高为非负数，故自变量的取值范围是0＜x＜4．【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键．27．甲、乙两地相距100km，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用的时间t（h）表示为汽车速度v（km/h）的函数，并说明t是v的什么函数．【分析】时间=路程÷速度，把相关数值代入即可求得相关函数，看符合哪类函数的一般形式即可．【解答】解：∵路程为100，速度为v，∴时间t=，t是v的反比例函数．【点评】考查列反比例函数关系式，得到时间的等量关系是解决本题的关键；用到的知识点为：反比例函数的一般式为（k≠0）．28．已知一个面积为60的平行四边形，设它的其中一边长为x，这边上的高为y，试写出y与x的函数关系式，并判断它是什么函数．【分析】平行四边形一边上的高=面积÷这边长，把相关数值代入即可求得函数解析式，可符合哪类函数的一般形式即可．【解答】解：∵xy=60，∴y=，∴y是x的反比例函数．【点评】考查列反比例函数解析式，得到平行四边形一边上的高的等量关系是解决本题的关键；用到的知识点为：反比例函数的一般形式为y=（k≠0）．29．面积一定的梯形，其上底长是下底长的，设上底长为xcm，高为ycm，且当x=5cm，y=6cm，（1）求y与x的函数关系式；（2）求当y=4cm时，下底长多少？【分析】（1）先根据梯形的面积公式得到梯形的面积，进而根据梯形的面积表示出梯形的高即可；（2）把y=4代入（1）得到的式子求出上底，再乘以3即为下底长．【解答】解：（1）∵x=5cm，y=6cm，上底长是下底长的，∴下底长为15cm，∴梯形的面积=×（5+15）×6=60，∴梯形的高=∴y==；（2）当y=4cm时，x=7.5，∴3x=22.5．答：下底长22.5cm．【点评】本题考查列反比例函数及相应求值问题；用到的知识点为：梯形的面积=×（上底+下底）×高．。

《用反比例方法解决问题》xx年xx月xx日CATALOGUE目录•反比例函数概述•反比例函数的应用•反比例函数与其他知识点的联系•反比例函数在实际生活中的应用•总结与展望01反比例函数概述形如 y=k/x 的函数，其中 k 为常数，k 不等于 0当 x 值变化时，y 值也随之变化，且 x 和 y 的乘积始终等于 k反比例函数的定义k 为比例系数，x 为自变量，y 为因变量1 2 3图像在 x 轴和 y 轴的右侧，在第一、三象限，图像关于原点对称当 k>0 时，图像在第一、三象限，y 值随 x 值的增大而减小当 k<0 时，图像在第二、四象限，y 值随 x 值的增大而增大02反比例函数的应用利用反比例函数解决生产生活中的实际问题，如工程问题、经济问题等。

解决与比例、百分比相关的问题，如购物优惠、存款利息等。

利用反比例函数解决交通问题，如交通流量、路线规划等。

用反比例函数解决实际问题利用反比例函数优化资源分配问题，如人力、资金、物资等。

解决最佳组合问题，如最佳库存组合、最佳生产组合等。

解决最小成本问题，通过反比例函数找到实现最大效益的成本最小化方案。

利用反比例函数简化复杂数学模型，便于理解和计算。

解决变量众多、关系复杂的问题，通过反比例函数将复杂关系简单化。

用反比例函数将复杂问题分解为更简单的子问题，便于逐个解决。

03反比例函数与其他知识点的联系正比例函数定义域为全体实数，而反比例函数的定义域为除了0以外的全体实数。

定义域正比例函数是自变量与常数k的乘积，而反比例函数则是两个自变量的商。

函数表达式正比例函数图像为直线，而反比例函数图像为双曲线。

图像性质反比例函数与正比例函数的区别与联系一次函数的定义域为全体实数，而反比例函数的定义域为除了0以外的全体实数。

反比例函数与一次函数的区别与联系定义域一次函数的函数表达式为y=kx+b，而反比例函数的函数表达式为y=k/x。

函数表达式一次函数的图像为直线，而反比例函数的图像为双曲线。

反比例函数实际问题
我们要解决一个与反比例函数相关的问题。

首先，我们需要理解反比例函数的概念。

反比例函数的一般形式是 y = k/x，其中 k 是常数。

这个函数告诉我们，当 x 增大时，y 会减小，反之亦然。

现在，我们有一个实际问题：
一个工厂生产某种产品，每小时生产量是固定的。

如果工厂工作 h 小时，那么它生产的总产品数量为 y。

假设工厂每小时生产的产品数量为 k，那么y = k × h。

但是，我们知道 y = k/h，这是因为当 h 增大时，y 会减小。

现在，我们要找出当 y = 100 时，h 是多少。

计算结果为：h = 1/100
所以，当 y = 100 时，工厂需要工作 1/100 小时。

运用反比例函数巧解初中数学实际问题［摘要］本文指出了求解反比例函数应用题的一般策略，即充分阅读和理解题目的具体内容，找出其中隐含的必要条件，从而确定相应的反比例函数关系式，然后利用方程或不等式等方法解决相应问题.［关键词］反比例函数；实际问题；函数关系在中考中，反比例函数的应用题在不断增加，在解答这类题目时应该充分阅读和理解题目的具体内容，找出其中隐含的必要条件，从而确定相应的反比例函数关系式，然后利用方程或不等式等方法解决相应问题.例题1？摇在利用洗衣粉洗衣服时，衣服用水漂洗的次数与衣服中残留的洗衣粉量有着一定的关系，这里可以近似地看作是一种反比例函数关系.小花和小红使用同一品牌的洗衣粉对大小相同的衣服进行洗涤，在每次漂洗时，小花使用半盆水（大约5升），而小红使用一盆水（大约10升），假设她们洗衣服时使用的洗衣粉量都是5克，经过一次漂洗后，小红的衣服中还含有大约1.5克的洗衣粉，而小花的衣服中大约还含有2克洗衣粉.（1）请根据上述题目中所包含的信息求出小红和小花洗衣服时，衣服中洗衣粉残留量y与漂洗次数x之间的函数关系式.（2）如果我们假设衣服中洗衣粉含量在0.5克时，就可以认为衣服已经洗干净，那么如果我们从节省水资源的角度出发，小红和小花的洗衣方式谁的更加可取？为什么？解析（1）由已知可以知道，小红和小花洗衣服时衣服用水漂洗的次数与衣服中残留的洗衣粉量成反比例函数关系，所以我们可以设小红的反比例函数关系式为y■=■，小花的反比例函数关系式为y■=■，然后我们可以将题目中的已知点（1，1.5），（1，2）分别带入到小红和小花的关系式中去，从而可以很容易求出k■=1.5，k■=2.然后将这两个值带入表达式中去，就得到了小红和小花的反比例函数关系式分别为y■=■，y■=■.（2）将题目中的已知条件y=0.5，分别带入到两个反比例函数关系式中去，于是我们可以很容易地求出x=3和x=4，10×3=30，5×4=20.所以，我们就求出了当衣服洗衣粉残留量在0.5克时，小红所使用的水量为30升，小花所使用的水量是20升，显而易见的是，小花的洗衣方式更加节省水量.点评上述问题（1）的解答，由于知道洗衣粉残留量y与漂洗次数x之间为反比例函数关系，且已知条件隐含着（1，1.5），（1，2）这两个数值，所以可将这两个数组带入到关系式中推算出反比例函数的关系式.同样地，对于问题（2）的解答，只要将y=0.5这一两个函数的共有的数值带入到关系式中，就可以求出相对应的x数值，也就是题中所说的漂洗次数，然后将其乘以每次的用水量，就可以得到总的用水量，也就能很容易地得出谁的方法更加节约.例题2？摇随着社会的发展，人们对生态环境的重视程度越来越高，建设绿色社会的理念已经深入人心.一家企业在2010年1月的利润总额为200万元，但是由于企业生产过程的污染超标问题，这一企业决定从即日起进行减产，并进行必要的污染改造工程，从而企业的月利润明显下降.如果用x表示实施后的月份，相应的利润值为y万元，而在实施后的1月到5月之间，x，y之间为反比例函数关系，且5月以后工程改造完成，随后企业的利润y每月增加20万元.（1）根据题目中的已知条件，求出治污工程中及治污工程后，利润y与月数x之间的关系表达式.（2）在治污工程完工后的几个月内，该企业的利润才能恢复到原来200万元的水平？（3）假设企业的利润在100万元以下时，企业的资金就会出现紧张情况，那么这一企业的资金紧张时期一共有几个月？解析（1）由已知条件我们知道，当1≤x≤5时，x，y之间是反比例函数关系，所以我们可以假设其表达式为y=■，而且这一函数中包含（1，200）这一点，所以将这一数组带入上述式子中，可以轻松地求得k=200，因此，在该企业进行污染改造工程时，x，y之间的反比例函数关系式为y=■（1≤x≤5）.当企业污染改造完成后，也就是5个月以后，企业开始每月增加利润20万元，可以将其视为一个一次函数，当第5个月时，企业的利润为y=40万元，当x>5时，即这一企业在污染工程改造完成后的函数表达式为y=40+20（x-5）=20x-60.（2）当y=200，且x>5时，将其带入y=20x-60这一表达式中，可以得出x=13，而13-5=8，所以在污染改造完成后的8个月后企业的利润可以恢复到原来的200万元.（3）在工程改造过程中，y=100时，x=2；当工程改造完成后，y=100时，x=8，所以我们可以得出，该企业将会有5个月的时间处于资金紧张期，即从3月到7月.点评？摇（1）小问中，我们由已知条件可以知道，当月份x在1到5之间时，x，y之间是一个反比例函数关系，且当x=1时，y=200，由这些我们可以求出前五个月的反比例函数关系式.当x>5时，即改造完成后，由已知条件我们可以看出这是一个一次函数，且每个月的利润增加20万元，所以容易得出相应的一次函数关系式.（2）小问只要将y=200代入上面求出的x>5时的关系式中就可以轻松得到答案.（3）小问中只要将y=100分别代入两个求出的关系式中，然后将其综合在一起考虑就能得到相应的答案.例题3？摇某企业从2001年开始对企业的生产过程投入技术改进资金，企业的产品经过技术改造后，其生产成本不断下降，具体数据为：从2001年至2004年四年间，投入的技术改进资金（万元）分别为2.5，3，4，4.5，产品的生产成本（万元/件）分别为7.2，6，4.5，4.（1）对上面所给出的各种数据进行分析，利用一次函数及反比例函数知识，确定出哪种函数可以表示其变化规律，并找出其表达式.（2）如果按照这样的规律发展，在2005年，如果投入技术改进的资金为5万元，那么，该企业的生产成本每件比2004年下降多少元？如果想在2005年把每一件产品的成本降低到3.2万元，那么还需要投入多少技术改造资金？解析？摇（1）由题中数据不难发现：2.5×7.2=3×6=4×4.5=4.5×4=18，所以投入的技术改造资金与产品成本是两个成反比例的量，所以y与x之间成反比例函数关系，且xy=18.所以所求的关系式为y=■，其中x>O.（2）当x=5时，y=3.6，所以2005年预计的生产成本为每件3.6万元，比2004年降低了（4-3.6）万元，即0.4万元.当y=3.2时，可求得x=■=5.625，所以在2005年把每件产品的成本降低到3.2万元时应投入的技术改造资金是5.625万元，还需投入的资金为（5.625-5）万元，约为0.63万元.点评？摇解答第（1）问时，要从具体数据探索出y与x满足的关系式；解答第（2）问的第一小问时，要先确定2005年预计的生产成本为每件多少万元；解答第（2）问中的第二小问时，要先确定当每件产品的成本降低到3.2万元时所需的技术改造资金是多少万元.。