西交大苏州附中2020-2021学年高二上学期期初数学考试

南京市2020－2021学年度第一学期期中调研测试高 二 数 学2020.11注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置． 3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线x 2＝2y 的焦点为F ，准线为l ，则点F 到直线l 的距离为A ．12B ．1C ．2D ．42．已知向量a ＝(－2，3，－1)，b ＝(4，m ，n )，且a ∥b ，其中m ，n ∈R ，则m ＋n ＝ A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2 3．若sin θ＝2cos(π－θ)，则tan(θ＋π4)的值为 A ．3 B ．13C ．－3D ．－134．在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆C ：x 29＋y 2m ＝1与双曲线T ：x 2－y 2m ＝1有相同的焦点，则双曲线T 的渐近线方程为 A ．y ＝±14x B ．y ＝±12xC ．y ＝±4xD ．y ＝±2x5．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －4＝0与两坐标轴分别交于点A ，B ，圆C 经过A ，B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为A ．x 2＋y 2＋6y －16＝0B ．x 2＋y 2－6y －16＝0C ．x 2＋y 2＋8y －9＝0D ．x 2＋y 2－8y －9＝06．如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成60°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为A ．2 2B ．2 3C ．42D ．437．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC 1与B 1C 相交于点O ，∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝60°， ∠BAC ＝90°，A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2，则线段AO 的长度为 A ．292B ．29C ．232D ．23 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，点M ，N 在双曲线C 上．若四边形OFMN 为菱形，则双曲线C 的离心率为 A ．3－1 B ．5－1 C ．3＋1 D ．5＋1二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9．已知两个不重合的平面α，β及直线m ，下列说法正确的是A ．若α⊥β，m ⊥α，则m ∥βB ．若α∥β，m ⊥α，则m ⊥βC ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥βD ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β10．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆 x 24＋y 22＝1的左、右焦点，点A 在椭圆上．若△AF 1F 2为直角三角形，则AF 1的长度可以为 A ．1B ．2C ．3D ．411．如图，直线l 1，l 2相交于点O ，点P 是平面内的任意一点，若x ，y 分别表示点P 到l 1，l 2的距离，则称(x ，y )为点P 的“距离坐标”．下列说法正确的是 A ．距离坐标为(0，0)的点有1个 B ．距离坐标为(0，1)的点有2个NP l 1（第6题）C 1（第7题）ABCB 1OC ．距离坐标为(1，2)的点有4个D ．距离坐标为(x ，x )的点在一条直线上12．20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石．人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态．其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体．已知一个立方八面体的棱长为1，则A ．它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2B ．它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直C ．它的体积为523D ．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：x ＋ay ＝0和直线l 2：2x －(a －3)y －4＝0，a ∈R ．若l 1与 l 2平行，则l 1与 l 2之间的距离为▲________．14．在空间直角坐标系中，若三点A (1，－1，a )，B (2，a ，0)，C (1，a ，－2)满足(AB →－2AC →)⊥BC →，则实数a 的值为▲________．15．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著《九章算术·商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体P ABC ，其中P A ⊥平面ABC ，P A ＝AC ＝1，BC ＝2，则四面体P ABC 的外接球的表面积为▲________．16．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，根据图上尺寸，溢流孔ABC 所在抛物线的方程为▲________，溢流孔与桥拱交点A 的横坐标．．．为▲________．（第12题）ABC P（第15题）第16题四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在 ①sin(A －B )＝sin B ＋sin C ；②2a cos C ＝2b ＋c ；③△ABC 的面积S ＝34(a 2－b 2－c 2) 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，__________，D 是边BC 上的一点，∠BAD ＝π2，且b ＝4，c ＝2，求线段AD 的长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆F ：(x －2)2＋y 2＝1，动圆M 与直线l ：x ＝－1相切且与圆F 外切．（1）记圆心M 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）已知A (－2，0)，曲线C 上一点P 满足P A ＝2PF ，求∠P AF 的大小．19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 中点． （1）求证：B 1A ∥平面C 1BD ；（2）若AA 1＝AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ，求三棱锥B －B 1C 1D 的体积．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点A ，B 是直线x －y ＋m ＝0(m ∈R )与圆O 的两个公共点，点C 在圆O 上．（1）若△ABC 为正三角形，求直线AB 的方程；（2）若直线x －y －3＝0上存在点P 满足AP →·BP →＝0，求实数m 的取值范围．DBB 1A 1（第19题）C 1AC21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥AB ，P A ＝AD ＝4， BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝2，→PE ＝λ→PC (0≤λ＜1)． （1）若λ＝12，求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；（2）设二面角B -AE -C 的大小为θ，若|cos θ|＝23417，求λ的值．22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的左顶点与上顶点的距离为23，且经过点(2，2)．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 的中点．若椭圆上存在点N 满足 ON →＝3MO →，求证：△PQN 的面积S 为定值．（第21题）PABCDE（第22题图）南京市2020－2021学年度第一学期期中调研测试高二数学参考答案 2020.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．B 2．B 3．D 4．D 5．A 6．D 7．A 8．C 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 9．BC 10．ABC 11．ABC 12．ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 2 14．－92 15．4π 16．y ＝－536(x －14)2，14013四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分） 解：选①．由条件① sin(A －B )＝sin B ＋sin C ，在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A －B )＝sin B ＋sin(A ＋B )，即 sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， ……………… 2分 从而sin B ＝－2cos A sin B ．因为B 为三角形内角，所以sin B ≠0，所以cos A ＝－12．因为A 为三角形内角，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理b sin B ＝c sin C得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分选②．由条件②2a cos C ＝2b ＋c ，结合余弦定理得2a ×b 2＋a 2－c 22ab＝2b ＋c ，即 a 2＝b 2＋c 2＋bc ， ……………… 2分 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ＝－12，因为A 为三角形内角，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理b sin B ＝c sin C得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分选③．由条件③，△ABC 的面积S ＝34(a 2－b 2－c 2)， 得12bc sin A ＝34(－2bc cos A )，即sin A ＝－3cos A ， ……………… 2分 因为A 为三角形内角，所以sin A ≠0，从而cos A ≠0，所以tan A ＝sin A cos A ＝－3，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理b sin B ＝csin C得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分另解：A ＝2π3（略）……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42＋22－2×4×2×cos 2π3＝28，所以a ＝27．……………… 6分 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝4×sin2π327＝217，又B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝277，则tan B ＝sin B cos B ＝32．……… 8分 在△ABD 中，因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分18．（本小题满分12分）解：（1）设M (x ，y )，圆M 的半径为r ．由题意知，MF ＝r ＋1，M 到直线l 的距离为r ．方法一：点M 到点F (2，0)的距离等于M 到定直线x ＝－2的距离，根据抛物线的定义知，曲线C 是以F (2，0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线． 故曲线C 的方程为y 2＝8x ． ……………………6分 方法二：因为MF ＝(x －2)2＋y 2＝r ＋1，|x ＋1|＝r ，x ＞－1， 所以(x －2)2＋y 2＝x ＋2，化简得y 2＝8x ，故曲线C 的方程为y 2＝8x ． ……………………6分 （2）方法一：设P (x 0，y 0)，由P A ＝2PF ，得(x 0＋2)2＋y 02＝2[(x 0－2)2＋y 02]， ……………………8分 又y 02＝8x 0，解得x 0＝2，故P (2，±4)， ……………………10分 所以k P A ＝±1，从而∠P AF ＝π4． …………………12分方法二：过点P 向直线x ＝－2作垂线，垂足为Q ．由抛物线定义知，PQ ＝PF ，所以P A ＝2PQ ， ……………………8分 在△APQ 中，因为∠PQA ＝π2，所以sin ∠QAP ＝PQ P A ＝ 22， ……………………10分从而∠QAP ＝π4，故∠P AF ＝π4． …………………12分19．（本小题满分12分）（1）证明：连结B 1C 交BC 1于点O ，连结OD ． 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ＝B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以四边形B 1BCC 1为平行四边形，所以O 为B 1C 中点． 又因为D 为AC 中点， 所以OD 为△CB 1A 的中位线，所以B 1A ∥OD ． …………………3分 又因为B 1A ⊄平面C 1BD ，OD ⊂平面C 1BD ，所以B 1A ∥平面C 1BD ． …………………5分 （2）解：方法一：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥D －BB 1C 1的体积． …7分过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ．B 1（第19题）A 1C 1BDAC OE因为DE ⊂平面ABC ， 所以B 1B ⊥DE ．又因为DE ⊥BC ，且B 1B ，BC ⊂平面B 1BCC 1，B 1B ∩BC ＝B ， 所以DE ⊥平面B 1BCC 1，即DE 为三棱锥D －BB 1C 1的高． ………9分在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ， 所以AC ＝32＋42＝5，sin C ＝35，在Rt △DEC 中，DC ＝12AC ＝52，所以DE ＝DC ×sin C ＝32．又△BB 1C 1的面积S ＝12×BB 1×B 1C 1＝12×3×4＝6，所以三棱锥D －BB 1C 1的体积V ＝13×S ×DE ＝3，故三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3．………12分方法二：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥B 1－BDC 1的体积． ………7分 因为（1）中已证B 1A ∥平面C 1BD ，所以B 1到平面BDC 1的距离等于A 到平面BDC 1的距离． 因此三棱锥B 1－BDC 1的体积等于三棱锥A －BDC 1的体积， 即等于三棱锥C 1－ABD 的体积．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，C 1C ⊥平面ABC ， 所以C 1C 为三棱锥C 1－ABD 的高．………10分因为AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ，S △ABC ＝12×AB ×BC ＝6．因为D 是AC 的中点，所以△ABD 的面积S ＝12S △ABC ＝3．故三棱锥C 1－ABD 的体积V ＝13×S ×C 1C ＝3，即三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3．………12分20．（本小题满分12分）解：（1）由△ABC 为正三角形，得∠AOB ＝2∠ACB ＝2π3，所以∠ABO ＝∠BAO ＝π6，所以原点O 到直线AB 的距离d ＝1×sin π6＝12． ………3分由点到直线的距离公式得|m |2＝12，解得m ＝22或－22．所以直线AB 的方程为2x －2y ＋2＝0或2x －2y －2＝0． ………5分 （2）方法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )． 因为AP →·BP →＝0，所以点P 在以AB 为直径的圆上．记该圆圆心为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x ＝x 0，y ＝y 0是方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＋m ＝0的解，解得⎩⎨⎧x 0＝－m 2，y 0＝m 2．故以AB 为直径的圆的方程为(x ＋m 2)2＋(y －m 2)2＝1－m 22，其中－2＜m ＜2． …9分又点P 在直线x －y － 3 ＝0上，即直线与圆有公共点， 所以|m ＋3|2≤1－m 22，即2m 2＋23m ＋1≤0．解得－3＋12≤m ≤1－32． 综上，实数m 的取值范围是[－3＋12，1－32]． ………12分方法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立直线AB 与圆O 方程，得⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x －y ＋m ＝0，消去y 得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0． ①所以x 1，x 2是①的两个解，判别式△＝(2m )2－4×2×(m 2－1)＞0，即－2＜m ＜2， 且x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12．………7分设点P (x ，y )，则AP →＝(x －x 1，y －y 1)，BP →＝(x －x 2，y －y 2)． 由AP →·BP →＝0，得(x －x 1) (x －x 2)＋(y －y 1) (y －y 2)＝0， ②将y ＝x －3，y 1＝x 1＋m ，y 2＝x 2＋m 代入②，整理得2x 2－2(x 1＋x 2＋m ＋3)x ＋2x 1x 2＋(m ＋3)(x 1＋x 2)＋(m ＋3)2＝0． 又x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12，所以2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0，关于x 的方程2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0有实数解， ………10分因此(－23)2－4×2×(m 2＋3m ＋2)≥0，即2m 2＋23m ＋1≤0， 解得－3＋12≤m ≤1－32． 综上，实数m 的取值范围是[－3＋12，1－32]． ………12分 21．（本小题满分12分）解：因为平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥AB ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，P A ⊂平面P AB ，所以P A ⊥平面ABCD ．因为AD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AD ．又AB ⊥AD ，所以P A ，AB ，AD 两两互相垂直．以{AB →，AD →，AP →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ．…………2分 因为P A ＝AD ＝4，AB ＝BC ＝2，所以A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，4，0)，P (0，0，4)．（1）若λ＝12，即E 为PC 中点，则E ()1，1，2，所以DE →＝()1，－3，2，AB →＝()2，0，0，AE →＝()1，1，2． 设平面ABE 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝0，x 1＋y 1＋2z 1＝0．令z 1＝1，得y 1＝－2，所以平面ABE 的一个法向量为m ＝(0，－2，1)． …………………4分 设直线DE 与平面ABE 所成角为α，则sin α＝|cos ＜DE →，m ＞|＝|6＋214×5|＝47035． …………………6分（2）因为PE →＝λPC →(0≤λ＜1)，则E (2λ，2λ，4－4λ)．设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝0，2λx 2+2λy 2+(4－4λ)z 2＝0．令y 2＝2，得z 2＝λλ－1，所以平面ABE 的一个法向量为n ＝(0，2，λλ－1)．设平面AEC 的一个法向量为l ＝(x 3，y 3，z 3)，则⎩⎪⎨⎪⎧l ·AC →＝0，l ·AP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋2y 3＝0，4z 3＝0．令x 3＝1，得y 3＝－1，所以平面AEC 的一个向量为l ＝(1，－1，0)． ……………………9分 （或证明CD ⊥平面P AC ，从而CD →为平面P AC 的一个法向量） 因为二面角B -AE -C 的大小为θ，且|cos θ|＝23417，得|cos ＜n ，l ＞|＝|－24＋(λλ－1)2×2|＝23417，整理得3λ2＋2λ－1＝0，解得λ＝13，或λ＝－1(舍)．所以λ＝13． ……………12分22．（本小题满分12分）解：（1）椭圆C 的左顶点(－a ，0)，上顶点(0，b )．因为左顶点与上顶点的距离为23，所以a 2＋b 2＝23，化简得a 2＋b 2＝12． ① 因为椭圆经过点(2，2)，所以4a 2＋2b 2＝1，② …………2分由①②解得a 2＝8，b 2＝4或a 2＝6，b 2＝6（舍去），所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …………4分（2）当PQ 斜率不存在时，N 为(±22，0)，PQ 方程为x ＝±223，易得PQ ＝823，此时S ＝12×MN ×PQ ＝12×823×823＝649． …………5分当PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y 24＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－4)＝0，由△＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－4)＞0，得0＜m 2＜8k 2＋4． （*） 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2(m 2－4)1＋2k 2， 因此PQ 的中点M 为(－2km 1＋2k 2，m1＋2k 2)． 又因为ON →＝3MO →，所以N (6km 1＋2k 2，－3m 1＋2k 2)，将点M 代入椭圆方程，得18k 2m 24(1＋2k 2)2＋9m 24(1＋2k 2)2＝1，化简得2k 2＋1＝94m 2，符合（*）式． ……………9分记点O 到直线l 的距离为d ，则S ＝4S △OPQ ＝2PQ ×d ＝21＋k 2|x 1－x 2|×d＝21＋k 2×22×8k 2＋4－m 21＋2k 2×|m |1＋k2＝42|m |×8k 2＋4－m 21＋2k 2， 将2k 2＋1＝94m 2代入，得S ＝42|m |×9m 2－m 294m 2＝649． 综上，△PQN 的面积S 为定值649． …………12分。

西安交通大学苏州附属中学2013-2014学年高二数学期初测试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在答卷相应位置上． 1．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是 ▲ ．2．根据表格中的数据，可以判定方程e x﹣x ﹣2=0的一个根所在的区间为 ▲ ．3．若关于x 的不等式212x ax -+>-的解集为{}12x x -<<，则实数a ＝ ▲ ． 4．如图，已知集合A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为 ▲ ．5．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出P 的值为 ▲ ． 6．已知π(,π)2α∈，3sin 5α=，则πsin()4α+＝▲ ． 7．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数能组成等差数列的概率为 ▲ ． 8．已知向量(34)a =-，　，(11)a =-，　，则向量a 在b 方向上的投影为 ▲ ． 9．在△ABC 中，已知2a =，b x =，30B =．如果△ABC 有两解，那么x 的取值范围 ▲ ．10．在数列{}n a 中，1=0a ， 1n a +=2013a ＝ ▲ ．11．已知函数()(2)2af x x x x =+>-的图象过点A （3，7），则此函的最小值是 ▲． 12．在△ABC 中， 若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，则△ABC 的形状是 ▲ ．13．如图，已知正三角形ABC 的边长为2，点D 为边AC 的中点， 点E 为边AB 上离点A 较近的三等分点，则BD CE ⋅＝ ▲ ．（第13题图）EDBA C14．已知数列}{n a 满足:114a =，2122n n n a a a +=+，用][x 表示 不超过x 的最大整数，n S 表示数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 的前n 项和.现给出下列命题：① 数列}{n a 单调递增； ② 数列}{1n n a a -+单调递减；③ 21111+-=+n n n a a a ； ④[].32013=S以上命题中正确的是 ▲ （填写你认为正确的所有命题的序号）．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中=(1,2)a . （Ⅰ）若35b =，且//b a ，求b 的坐标；（Ⅱ）若c 与a 的夹角θ的余弦值为()(9)a c a c +⊥-，求c .16．（本小题满分14分）已知函数22π()cos ()sin 6f x x x =--． （Ⅰ）求π()12f 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在π[0,]2上的最大值．17．（本小题满分16分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．cos sin B b A +=，求角A ；（Ⅱ）若b =，2c =，且△ABC ，求a 的值．18．（本小题满分16分）已知函数()1x f x a =-（a ＞0且a≠1）． （1）求函数()f x 的定义域、值域；（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 满足：对于任意x∈[﹣1，+∞），都有()f x ≤0？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）要制作一个如图的框架（单位：米），要求所围成的总面积为19.5（米2），其中ABCD 是一个矩形，EFCD 是一个等腰梯形，梯形高h=AB ，tan ∠FED=，设AB=x 米，BC=y 米．（Ⅰ）求y 关于x 的表达式；（Ⅱ）如何设计x ，y 的长度，才能使所用材料最少？20．（本小题满分16分）已知公差不为0的等差数列{}n a 满足23a =，1a ，3a ，7a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）数列{}n b 满足11n n n n na ab a a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）设12()n n n a c nλ+=-，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．西安交通大学苏州附属中学高二数学期初测试1．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是 ▲ ．π2．根据表格中的数据，可以判定方程e x﹣x ﹣2=0的一个根所在的区间为 ▲ ．（1，2）3．若关于x 的不等式212x ax -+>-的解集为{}12x x -<<，则实数a ＝ ▲ ．124．如图，已知集合A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为 ▲ ．{2，8}5．已知π(,π)2α∈，3sin 5α=，则πsin()4α+＝ ▲ ．6．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出P 的值为 ▲ ．47．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数能组成等差数列的概率为 ▲ ．8．已知向量(34)a =-，　，(11)a =-，　，则向量a 在b 方向上的投影为 ▲． 9．在△ABC 中，已知2a =，b x =，30B =．如果△ABC 有两解，那么x 的取值范围 ▲ ．12x <<10．在数列{}n a 中，1=0a ，1n a +=2013a ＝ ▲ ．11．已知函数的图象过点A （3，7），则此函的最小值是▲ ． 6 ．12．在△ABC 中， 若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，则△ABC 的形状是直角三角形13．如图，已知正三角形ABC 的边长为2，点D 为边AC 的中点， 点E 为边AB 上离点A 较近的三等分点，则BD CE ⋅＝ ▲ ．1-14．已知数列}{n a 满足:114a =，2122n n n a a a +=+，用][x 表示 不超过x 的最大整数，n S 表示数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 的前n 项和.现给出下列命题： ⑤数列}{n a 单调递增；（第13题图）EDBA C⑥ 数列}{1n n a a -+单调递减；⑦ 21111+-=+n n n a a a ； ⑧[].32013=S以上命题中正确的是 ▲ （填写你认为正确的所有命题的序号）． 答案：①③④15．（本小题满分14分）已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中=(1,2)a . （Ⅰ）若35b =，且//b a ，求b 的坐标；（Ⅱ）若c 与a 的夹角θ的余弦值为()(9)a c a c +⊥-，求c . 解：（Ⅰ）//b a , 设(,2)b a λλλ==,则222445b λλ=+=, ∴29λ=∴3λ=±∴(3,6)b =或(3,6)b =--.（Ⅱ）cos θ=5a =， ∴1cos 2a c a c c θ⋅==-． 又()(9)a c a c +⊥-，∴()(9)0a c a c +⋅-=∴22890a c a c -⋅-= ∴25490c c +-= 解得1c =或59c =-（舍） ∴1c =16．（本小题满分14分）已知函数22π()cos ()sin 6f x x x =--．（Ⅰ）求π()12f 的值； （Ⅱ）求函数()f x 在π[0,]2上的最大值．解：（Ⅰ）22()cos ()sin 121212f πππ=-- cos6π= =． （Ⅱ）11()[1cos(2)](1cos 2)232f x x x π=+---1[cos(2)cos 2]23x x π=-+132cos 2))223x x x π=+=+因为[0,]2x π∈，所以42[,]333x πππ+∈，所以当232x ππ+=，即12x π=时，()f x ．17．（本小题满分16分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．cos sin B b A +=，求角A ；（Ⅱ）若b =，2c =，且△ABC ，求a 的值．解：（Ⅰ）3cos sin a B b A +=，由正弦定理可得cos sin sin A B B A C +=)A B =+．cos sin sin cos sin A B B A A B A B +=+．即sin sin sin B A A B =，sin A A ∴=tan A ∴=，60A ∴=︒．注：利用A b B a c cos cos +=直接得A A cos 3sin =同样给分（Ⅱ）b =，ABC ∆，∴1sin 2ABC S ab C ∆==． 2sin 2a C ∴=，22sin C a∴=①由余弦定理2222cos c a b ab C =+- ∴224cos 4a C -=，cos C ∴= ②由①，②得：22221a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 化简得428160a a -+=，()2240a ∴-=， ∴2a =（Ⅱ）或解：由1sin 2ABC S ab C ∆==得 2sin 2a C = ①由224cos 4a C -=得 2(2cos )2a C = ②由①，②得：sin 2C C =，即πsin()13C +=， π6C ∴=，224sin a C==．∴2a =． 18．（本小题满分16分） 已知函数f （x ）=（a ＞0且a≠1）．（1）求函数f （x ）的定义域、值域；（2）是否存在实数a ，使得函数f （x ）满足：对于任意x ∈[﹣1，+∞），都有f （x ）≤0？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）由4﹣a x≥0，得a x≤4．当a ＞1时，x≤log a 4；当0＜a ＜1时，x≥log a 4． 即当a ＞1时，f （x ）的定义域为（﹣∞，log a 4]；当0＜a ＜1时，f （x ）的定义域为[log a 4，+∞）． 令t=，则0≤t＜2，且a x=4﹣t 2，∴f （x ）=g （t ）=4﹣t 2﹣2t ﹣1=﹣（t+1）2+4，当t≥0时，g （x ）是t 的单调减函数，∴g （2）＜g （t ）≤g（0），即﹣5＜f （x ）≤3，∴函数f （x ）的值域是（﹣5，3]．（2）若存在实数a ，使得对于任意x ∈[﹣1，+∞），都有f （x ）≤0，则区间[﹣1，+∞）是定义域的子集．由（1）知，a ＞1不满足条件；所以0＜a ＜1，且log a 4≤﹣1，即．令t=，由（1）知，f （x ）=4﹣t 2﹣2t ﹣1=﹣（t+1）2+4，由f （x ）≤0，解得t≤﹣3（舍）或t≥1，即有≥1解得a x≤3，由题意知对任意x ∈[﹣1，+∞），有a x≤3恒成立，因为0＜a ＜1，所以对任意x ∈[﹣1，+∞），都有a x≤a ﹣1．所以有a ﹣1≤3，解得，即．∴存在，对任意x ∈[﹣1，+∞），都有f （x ）≤0． 19．（本小题满分16分）要制作一个如图的框架（单位：米），要求所围成的总面积为19.5（米2），其中ABCD 是一个矩形，EFCD 是一个等腰梯形，梯形高h=AB ，tan ∠FED=，设AB=x 米，BC=y 米． （Ⅰ）求y 关于x 的表达式；（Ⅱ）如何设计x ，y 的长度，才能使所用材料最少？解：（1）如图，等腰梯形EFCD 中，DH 是高，依题意：DH=AB=x ，EH===， ∴=xy+（x+x+）=xy+，∴y=， ∵x ＞0，y ＞0，∴，解得0＜x ＜， ∴所求的表达式为：y=，（0＜x ＜）（2）在RT △DEH 中，∵tan ∠FED=，∴sin ∠FED=， ∴DE===，∴l=（2x+2y ）+2×+（2×）=2y+6x==+≥2=26，当且仅当=，即x=3时取等号，此时y==4，∴AB=3米，BC=4米时，用材料最少 20．（本小题满分16分）已知公差不为0的等差数列{}n a 满足23a =，1a ，3a ，7a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）数列{}n b 满足11n n n n na ab a a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）设12()n n n a c nλ+=-，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围． 解：（Ⅰ）由题知2317a a a =，设{}n a 的公差为d ，则()()211126a d a a d +=+，212a d d =，0d ≠ ∴12a d =． 又23a =，∴13a d += 12,1a d == 1n a n ∴=+． （Ⅱ）11121122112n n n n n a a n n b a a n n n n ++++=+=+=+-++++． 12111111222233412n n S b b b n n =++=+-++-+++-++ 1122222(2)n n n n n =+-=+++． （III ）1(2)2()=2()n n n n a n c n nλλ++=--，使数列{}n c 是单调递减数列， 则12(3)22()01n n n n n c c n n λ+++-=--<+对*∈N n 都成立 即max 2(3)22(3)20()11n n n n n n n n λλ++++--<⇒>-++ 设2(3)2()1n n f n n n ++=-+ 2(4)32(3)2(1)()211n n n n f n f n n n n n +++++-=--++++2(4)23(3)21n n n n n n +++=+-++ 42621321n n n =+++--++()()()2212n n n n -=++ (1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ∴<=>>>当2n =或3n =时，max 4()3f n =所以max 2(3)24()13n n n n ++-=+ 所以43λ>．。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在答卷相应位置上． 1．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是 ▲ ．2．根据表格中的数据，可以判定方程e x﹣x ﹣2=0的一个根所在的区间为 ▲．x ﹣1 0 1 2 3 e x0.37 1 2.72 7.39 20.08 x+2123453．若关于x 的不等式2112x ax -+>-的解集为{}12x x -<<，则实数a ＝ ▲ ． 4．如图，已知集合A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为 ▲ ．5．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出P 的值为 ▲ ． 6．已知π(,π)2α∈，3sin 5α=，则πsin()4α+＝ ▲ ． 7．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数能组成等差数列的概率为 ▲ ． 8．已知向量(34)a =-，　，(11)a =-，　，则向量a 在b 方向上的投影为 ▲ ． 9．在△ABC 中，已知2a =，b x =，30B =．如果△ABC 有两解，那么x 的取值范围 ▲ ．10．在数列{}n a 中，1=0a ， 1313n n na a a ++=-，则2013a ＝ ▲ ．11．已知函数()(2)2af x x x x =+>-的图象过点A （3，7），则此函的最小值是 ▲ ． 12．在△ABC 中， 若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，则△ABC 的形状是 ▲ ．13．如图，已知正三角形ABC 的边长为2，点D 为边AC 的中点， 点E 为边AB 上离点A 较近的三等分点，则BD CE ⋅＝ ▲ ．（第13题图）EDBA C14．已知数列}{n a 满足:114a =，2122n n n a a a +=+，用][x 表示 不超过x 的最大整数，n S 表示数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 的前n 项和.现给出下列命题： ① 数列}{n a 单调递增； ② 数列}{1n n a a -+单调递减；③ 21111+-=+n n n a a a ； ④[].32013=S以上命题中正确的是 ▲ （填写你认为正确的所有命题的序号）．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中=(1,2)a . （Ⅰ）若35b =，且//b a ，求b 的坐标；（Ⅱ）若c 与a 的夹角θ的余弦值为()(9)a c a c +⊥-，求c .16．（本小题满分14分）已知函数22π()cos ()sin 6f x x x =--． （Ⅰ）求π()12f 的值； （Ⅱ）求函数()f x 在π[0,]2上的最大值．17．（本小题满分16分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．cos sin B b A +=，求角A ；（Ⅱ）若b =，2c =，且△ABC ，求a 的值．18．（本小题满分16分）已知函数()1x f x a =-（a ＞0且a≠1）． （1）求函数()f x 的定义域、值域；（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 满足：对于任意x∈[﹣1，+∞），都有()f x ≤0？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）要制作一个如图的框架（单位：米），要求所围成的总面积为19.5（米2），其中ABCD 是一个矩形，EFCD 是一个等腰梯形，梯形高h=AB ，tan ∠FED=，设AB=x 米，BC=y 米．（Ⅰ）求y 关于x 的表达式；（Ⅱ）如何设计x ，y 的长度，才能使所用材料最少？20．（本小题满分16分）已知公差不为0的等差数列{}n a 满足23a =，1a ，3a ，7a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）数列{}n b 满足11n n n n na ab a a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）设12()n n n a c nλ+=-，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．西安交通大学苏州附属中学高二数学期初测试1．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是 ▲ ．π2．根据表格中的数据，可以判定方程e x﹣x ﹣2=0的一个根所在的区间为 ▲ ．（1，2） x ﹣1 0 1 2 3 e x0.37 1 2.72 7.39 20.08 x+2123453．若关于x 的不等式2112x ax -+>-的解集为{}12x x -<<，则实数a ＝ ▲ ．124．如图，已知集合A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为 ▲ ．{2，8}5．已知π(,π)2α∈，3sin 5α=，则πsin()4α+＝ ▲ ．26．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出P 的值为 ▲ ．47．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数能组成等差数列的概率为 ▲ ．8．已知向量(34)a =-，　，(11)a =-，　，则向量a 在b 方向上的投影为 ▲ ．722- 9．在△ABC 中，已知2a =，b x =，30B =．如果△ABC 有两解，那么x 的取值范围 ▲ ．12x <<10．在数列{}n a 中，1=0a ， 1313n n na a a ++=-，则2013a ＝ ▲ ． 3-11．已知函数的图象过点A （3，7），则此函的最小值是▲ ． 6 ．12．在△ABC 中， 若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，则△ABC 的形状是直角三角形13．如图，已知正三角形ABC 的边长为2，点D 为边AC 的中点， 点E 为边AB 上离点A 较近的三等分点，则BD CE ⋅＝ ▲ ．1-14．已知数列}{n a 满足:114a =，2122n n n a a a +=+，用][x 表示 不超过x 的最大整数，n S 表示数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 的前n 项和.现给出下列命题： ⑤数列}{n a 单调递增；（第13题图）EDBA C⑥ 数列}{1n n a a -+单调递减；⑦ 21111+-=+n n n a a a ； ⑧[].32013=S以上命题中正确的是 ▲ （填写你认为正确的所有命题的序号）． 答案：①③④15．（本小题满分14分）已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中=(1,2)a . （Ⅰ）若35b =，且//b a ，求b 的坐标；（Ⅱ）若c 与a 的夹角θ的余弦值为()(9)a c a c +⊥-，求c . 解：（Ⅰ）//b a , 设(,2)b a λλλ==,则222445b λλ=+=, ∴29λ=∴3λ=±∴(3,6)b =或(3,6)b =--.（Ⅱ）cos θ=，5a =， ∴1cos 2a c a c c θ⋅==-． 又()(9)a c a c +⊥-，∴()(9)0a c a c +⋅-=∴22890a c a c -⋅-= ∴25490c c +-= 解得1c =或59c =-（舍） ∴1c =16．（本小题满分14分）已知函数22π()cos ()sin 6f x x x =--．。

西南大学附中2019—2020学年度上期期中考试高二数学试题（全卷共150分，考试时间为120分钟）注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.经过点与的直线方程为（）A. B. C. D.2.已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，直线过抛物线的焦点，则抛物线方程为（）A. B. C. D.3.若表示面积为的圆的方程，则实数的值为（）A.2B.C.1D.4.方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.5.已知双曲线C：的离心率为，则点(30)到双曲线C渐近线的，距离为（）A. B. C. D.6.已知圆与圆相交，则实数a的取值范围是（）A. B.C.或D.或7.已知抛物线，若过点的直线与抛物线交于AB两点，且OA⊥OB 、（其中O为坐标原点），则p的值为（）A.2B.4C.7D.与直线AB的斜率有关8.方程对应的曲线为（）A.椭圆B.双曲线C.线段D.射线9.下列命题错误的是（）①与表示的是同一条抛物线；②所有过原点的直线都可设为；③若方程表示圆，则必有④椭圆的短轴长为A. B. C. D.10.为迎接祖国“70岁”生日，某画家准备在一个外形为半个椭圆的墙面上开辟一个矩形墙面作画，如图，已知米，米，，则该画家能够作画的最大面积是（）A.10平方米B.平方米C.15平方米D.平方米11.已知，点P为抛物线上一动点，点P到直线的距离是，则的最小值为（）A. B. C. D.312.双曲线C：左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，B为虚轴的上顶点，若直线上存在两点使得，且过双曲线的右焦点作斜率为1的直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则双曲线离心率的范围是（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13.直线的倾斜角为__________．14.经过点，，的圆的方程为__________．15.过点P(2，4)作两条互相垂直的直线，若交x轴于A点，交y轴于B点，若点M是线段AB上的点，且满足，则点M的轨迹方程是__________．16.已知方程的图像是双曲线，且该双曲线的渐近线分别是直线，则双曲线的焦距为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．17. (10分)已知直线：，：．(1)若，求实数a的值；(2)点关于直线l1的对称点Q在直线l2上，求实数a的值．18.(12分)已知点F是椭圆C：的右焦点，且其短轴长，若点满足(其中点O为坐标原点)．(1)求椭圆的方程；(2)若斜率为1的直线与椭圆C交于P，Q两点，与y轴交于点B，若点P是线段BQ的中点，求该直线方程；若，求实数a的值；19.(12分)已知双曲线C：与双曲线有相同的渐近线，且双曲线C过点．(1)若双曲线C的左、右焦点分别为，，双曲线C上有一点P，使得，求△的面积；(2)过双曲线C的右焦点作直线l与双曲线右支交于A，B两点，若△的周长是，求直线l的方程．20. (12分)若圆：的内接矩形的周长最大值为．(1)求圆O的方程；(2)若过点的直线与圆O交于A，B两点，如图所示，且直线的斜率，求的取值范围．21. (12分)已知抛物线E：焦点F，过点F且斜率为2的直线与抛物线交于A、B两点，且．(1)求抛物线E的方程；(2)设O是坐标原点，P，Q是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且①证明：直线PQ必过定点，并求出定点G的坐标；②过G作PQ的垂线交抛物线于 C，D两点，求四边形PCQD面积的最小值．22.(12分)已知圆：A O1上任意一点，点D在线段上．，，为圆已知，．(1)求点D的轨迹方程H；(2) 若直线与方程H所表示的图像交于E，F两点，是椭圆上任意一点．若OG平分弦EF，且，，试判断四边形OEGF形状并证明．西南大学附中2019—2020学年度上期期中考试19.解：(1)设双曲线C：，点代入得：高二数学试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．1—5ABBCD6—10CAADC11—12AD二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．14．15．三、解答题：共70分．17. (1)∵l1∥l2，∴；(2)设，∵关于对称，∴，解得，∴代入l2得：，∴.18．解：(1)由题意知：，∵，∴，∴，由，解得∴椭圆方程为：；(2)设直线l为：，联立，得，∴P BQ中点，∴，∵为即，代入得：，解得：经检验时，，∴直线l的方程为16．2，，，.∴双曲线C：在△PF1F2中，设，∴，由②得：，，，∴；(2)∵∴，1°当直线AB斜率不存在时，，不符合题意（舍）2°当直线AB斜率存在时，设AB：联立：，∴，解得：，此时，∴直线l方程：或.20.解：(1)设矩形在第一象限点为(x，y)(x>0，y>0)，则，∴矩形，∵，∴，∴，当且仅当取“=”∴矩形，∴r=2，∴圆O的方程：(2)设直线AB：，,联立：消去y并整理得，∴，设，∴四边形，∵在递增，∴当t=2时，即时，∴∴，同理：∴，∵，∴异号，∴1)=1+ 2 (1+ 2)2 412=1+ 2 4(32+4)( 2+1)2=23 2+42+122.解：(1)∵，∴DC为AB中垂线，∴，∴∴D的轨迹是以∴，解得，∴点D轨迹方程H：；(2)联立，(+1)，为焦点的椭圆，且，+8kmx+4(-1)=0，设，∴∵，∴∴21.解：(1)设直线：，联立：∵(2)①设直线PQ：联立：得：，，得：，，∴p=2，∴抛物线方程为：；，∴，∵OG平分EF，∴由中点弦公式有∴又G到EF距离为，∴利用①以及有化为，令，则∴，又，∴，，①，，，（*），观察有t=1是一解，∵，∴或舍，∴②同理：四，又由，∴，∴方程（*）有唯一解t=1即，∴，∴EF也平分OG，故四边形OEGF对角线相互平分，四边形OEGF是平行四边形。

2020-2021学年江苏省苏州中学高二（上）期初数学试卷一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设，，则( )A. B.C. D.2.如果，则的解析式为( )A. B.C. D.3.在中，M 是BC 的中点，，点P 在AM 上且满足，则等于( )A. B. C.D.4.直线是圆C ：的一条对称轴，过点作圆C 的一条切线，切点为B ，则( )A. B.C.D. 15.已知锐角中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则的取值范围是( )A.B.C.D.6.如图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．为小球相交部分图中阴影部分的体积，为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是( )A. B. C. D.二、多选题：本题共2小题，共10分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

7.已知函数，则下列说法正确的是( )A. 函数的图象与x轴有两个交点B. 函数的最小值为C. 函数的最大值为4D. 函数的图象关于直线对称8.已知圆C被x轴分成两部分的弧长之比为1：2，且被y轴截得的弦长为4，当圆心C到直线的距离最小时，圆C的方程为( )A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

9.已知函数在区间内是减函数，则实数a的取值范围是______.10.已知直线：和直线：，若，且坐标原点到这两条直线距离相等，则ab的值为______.11.如图，已知线段，四边形ABNM的两顶点M、N在以AB为直径的半圆弧上，且，则的取值范围是______.四、解答题：本题共3小题，共45分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

12.本小题15分在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知求证：为定值；若，求的值．13.本小题15分如图，在三棱锥中，，，点M是BC上一点，P是SB上一点，N是SC的中点，且平面求证：；若P为SB中点，求证：平面平面14.本小题15分已知圆：，圆：过点作圆的切线MA，MB，A，B为切点，求直线AB的方程；是否存在定点P，使得过点P有无穷多对互相垂直的直线，分别被圆和圆截得的弦长之比为1：2？若存在，求出点P的坐标；否则，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算，属于基础题.可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：，；故选：2.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查了配方法求函数解析式，属于基础题．由，运用换元法，令代入可得答案.【解答】解：，令，则，，则，故选3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查向量的数量积、几何应用等.由M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM 上且满足，即可求解．【解答】解：是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足，是三角形ABC的重心，，又，，故选4.【答案】D【解析】解：由圆C：，得圆心，则，即，，如图，，可得切线长为，故选：利用对称轴过圆心求得a，从而确定点A，结合图形即得切线长．本题考查了圆的对称性，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．5.【答案】C【解析】解：由，余弦定理，可得，正弦定理边化角，得，，，，是锐角三角形，，即，，那么：，可得，则故选：由利用余弦定理，可得，正弦定理边化角，在消去C，可得，利用三角形ABC是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得的取值范围．本题考查三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：设大球的半径为R，则小球的半径为：，由题意可得：所以即：故选：根据题意推知小球半径是大球的一半，建立大球体积小球体积和阴影部分的体积的关系，可推知选项．本题考查组合体的体积，空间想象能力，逻辑推理能力，是难题．7.【答案】AB【解析】解：函数，令，解得，可得，或，所以A正确；，所以函数的最小值为，所以B正确，没有最大值，所以C不正确；函数的定义域为：，所以函数的图象不可能关于对称，所以D不正确；故选：求出函数的零点判断A；求解函数的最小值判断B；利用函数的值域判断C；函数的定义域判断本题考查函数的零点与方程根的关系，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．8.【答案】AB【解析】解：设圆心为，半径为r，圆C被x轴分成两部分的弧长之比为1：2，则其中劣弧所对圆心角为，由圆的性质可得，又圆被y轴截得的写出为4，，，变形为，即在双曲线上，易知双曲线上与直线平行的切线的切点为，此点到直线有最小距离．由，消去y得，解得当时，，当时，即切点为或，半径r为圆的方程为或故选：设圆心为，半径为r，由圆C被x轴分成两部分的弧长之比为1：2，得，再由圆被y轴截得的写出为4，可得，说明在双曲线上，求出双曲线上与直线平行的切线的切点坐标，即圆心坐标，由此可得圆的方程．本题考查圆的标准方程，考查导数的几何意义，解题的关键是圆心到直线的距离的最小值的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】【解析】解：函数在区间内是减函数．由于在区间内单调递增，且，，，故答案为：由题意利用二倍角公式可得在区间内是减函数，再利用二次函数的性质可得，由此求得a的范围．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，二倍角公式的应用，属于中档题．10.【答案】或【解析】解：直线：和直线：，若，则，求得直线、直线和y轴的交点分别为、，直线、直线和x轴的交点分别为、，且坐标原点到这两条直线距离相等，，求得，；或，，或，故答案为：或由题意利用两条直线平行的性质，线段的中点公式，求出a、b的值，可得ab的值．本题考查两条直线平行的性质，线段的中点公式，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】【解析】解：连接OM，ON，则，当线段MN在上运动时，的夹角由到0再到，所以，即可得的取值范围为故答案为：连接OM，ON，则，结合的夹角范围即可求解．本题考查向量数量积的运算，关键是对，的变形，要尽量用知道模和夹角的向量来表示，是一道中档题．12.【答案】解：证明：因为：，所以由正弦定理可得：，①因为A，B为三角形的内角，所以，所以①式两边同时乘以，可得：，所以，得证．因为，所以，可得，因为A为三角形内角，，所以，可得，因为由可得，解得，所以【解析】由正弦定理化简已知等式，由于，可得，进而根据同角三角函数基本关系式即可求得，从而得解．由已知利用余弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可求，的值，由进而可求的值，进而根据两角和的正切函数公式即可求解的值．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，两角和的正切函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．13.【答案】证明：由平面ASB，平面SBC，且平面平面，可得，又N是SC的中点，可得M为BC的中点，即；由，M为BC的中点，可得，由，M为BC的中点，可得，又，可得平面SAM，由PN为的中位线，可得，则平面SAM，又平面ANP，可得平面平面【解析】由线面平行的性质和平行线的性质，即可得证；由等腰三角形的性质和线面垂直的判定定理，可得平面SAM，再由中位线定理和面面垂直的判定定理，即可得证．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．14.【答案】解：因为，，以为直径的圆的方程：，又圆：，圆和圆的方程相减可得：即直线AB的方程：设P点坐标为，直线的斜率为依题意，则直线的方程为，即，直线的方程为，即因为直线被圆截得的弦长的2倍与直线被圆截得的弦长相等，且圆的半径是圆的半径的2倍，所以圆心到直线的距离的2倍与圆心到直线的距离相等，整理得：或由于关于k的方程有无穷多解，第11页，共11页所以，，或，，解得，，或，，所以所有满足条件的P 点坐标为或 【解析】求出以为直径的圆的方程，是圆与圆的相交弦，将两圆方程相减即可的答案；利用直线的垂直关系，进一步建立点到直线的距离公式的关系式，进一步建立方程组，求出点的坐标．本题考查了直线与圆的位置关系的应用，方程组的解法，点到直线的距离公式的应用．属于中档题．。

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。

2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．已知命题p ：13x <<，q ：31x >，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．双曲线2228x y -=的实轴长是( ) A ．2B ．22C ．4D ．423．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) A ．16B ．13C ．23D ．14．已知函数xxe x f =)(的导函数为)(x f '，则0)(>'x f 的解集为( ) A ．)1,(--∞ B ．),0(+∞ C ．),1(+∞-D ．)0,(-∞5．函数)(x f y =的导函数)('x f y =的图象如图所示，则函数)(x f y =的图象可能是( )6．直线01=-+y ax 平分圆0134222=-+-+y x y x 的面积，则a =（ ）A ．1B ．3C ．3D ．27．已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（ ） A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -=8．若)2ln(21)(2++-=x b x x f 在)1(∞+-，上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A ．[)+∞-,1 B ．()+∞-,1C ．(]1,-∞-D ．()1,-∞-9．如图，已知直线与抛物线)0(22>=p px y 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB,OD ⊥AB 交AB 于点D ，点D 的坐标（4，2），则p=( )。

A ．3 B ．45C ．52D ．410．函数的1222131)(23++-+=a ax ax ax x f 图像经过四个象限，则实数a 的取值范围是( ) A ．163->a B ．16356-≤≤-a C ．56->aD ．16356-<<-a 11．已知椭圆：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21F F 、，P 为椭圆上的一点2PF 与椭圆交于Q 。

2020-2021学年江苏省苏州市工业园区西安交大苏州附中九年级（上）段考数学试卷（12月份）1.tan45°=()A. 1B. √22C. √33D. √32.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为()A. ax2+bx+c=0B. x2−2=(x+3)2C. 2x+3x−5=0D. x2−1=03.若二次函数y=ax2的图象经过点P(−2,4)，则该图象必经过点()A. (2,4)B. (−2,−4)C. (−4,2)D. (4,−2)4.若⊙P的半径为4，圆心P的坐标为(−3,4)，则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是()A. 在⊙P内B. 在⊙P上C. 在⊙P外D. 无法确定5.抛物线y=−x2+4x−4与x轴的交点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 36.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠B=40°，则∠OAC=()A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°7.一个圆锥的底面半径r=10，高ℎ=20，则这个圆锥的侧面积是()A. 100√3πB. 200√3πC. 100√5πD. 200√5π8.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是()A. √55B. √105C. 2D. 129.图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()A. (54√3+10)cmB. (54√2+10)cmC. 64cmD. 54cm10.如图，O为正方形ABCD的中心，直线l经过点O，过点A作直线l的垂线，垂足为H，连接DH.若正方形ABCD的边长为4，则线段DH的最小值为()A. √10−√2B. √10+√2C. 1D. √211.方程(x+2)(x−3)=0的根是______ ．12.如图，某河堤迎水坡AB的坡比i=1：√3，堤高BC=5m，则坡面AB的长是______m.13.如果把抛物线y=2x2−1先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线的解析式是______．14.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=45°，AB=6，则⊙O的半径为______．15.已知等边三角形的边长为2√3，则它的内切圆的半径为______．17.如图，AB为圆锥轴截面△ABC的一边，一只蚂蚁从B地出发，沿着圆锥侧面爬向AC边的中点D，其中AB=6，OB=3，请蚂蚁爬行的最短距离为______．18.小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第x分钟时，小丽、小明离B地的距离分别为y1米、y2米，y1与x之间的函数表达式是y1=−180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2=−10x2−100x+2000.小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人之间的最近距离为______米．19.计算：√2sin45°−√3tan60°+sin30°tan45°20.解方程：(x−3)2+2x(x−3)=0．21.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC=14，AD=12，tanB=4．3(1)求线段CD的长度；(2)求cosC的值．22.已知关于x的方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0．(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．23.如图，二次函数的图象与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，且OC=OB．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为抛物线上位于x轴下方的一点，当S△APB=S△ACB时，求出点P的坐标．24. 智能手机如果安装了一款测量软件“SmartMeasure ”后，就可以测量物高、宽度和面积等，如图，打开软件后将手机摄像头对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度.测量者AB 用其数学原理如图②所示，测量一棵大树CD ，手机显示AC =20m ，AD =25m ，∠CAD =53°，求此时CD 的高.(结果保留根号)(sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43)25. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC 于点D ，过点C 作⊙O 的切线，交OD 的延长线于点E ，连接BE ．(1)求证：BE 与⊙O 相切；(2)设OE 交⊙O 于点F ，若DF =2，BC =4√3，求由劣弧BC 、线段CE 和BE 所围成的图形面积S ．26.在2020年新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研：某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋．(1)直接写出小明销售该类型置销售量y(袋)与销售单价x(元)之间的函数关系式______；所得销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式______．(2)销售单价定为多少元时，所得销售利润最大，最大利润是多少？27.如图，抛物线y=ax2+bx+3经过A(1,0)、B(4,0)两点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．(3)如图2，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上存在点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？求点M的坐标．28.【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段MQ、QN组成折线段MQ.N若点P在折线段MQN上，MP=PQ+QN，则称点P是折线段MQN的中点．【理解应用】(1)如图2，⊙O的半径为2，PA是⊙O的切线，A为切点，点B是折线段POA的中点．若∠APO=30°，则PB=______；(2)如图3，⊙O中，AB⏜=AC⏜，D是AC⏜上一点，AH⊥BD，垂足为H.求证：点H是折线段BDC的中点；【拓展提升】的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：tan45°=1．故选A．将特殊角的三角函数值代入即可得出正确答案．本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，要求同学们掌握特殊角的三角函数值．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)只含有一个未知数．根据一元二次方程的定义进行判断．【解答】解：A.当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；B.由原方程得到：6x+11=0，不含有二次项，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；C.该方程不是一元二次方程，故本选项错误；D.符合一元二次方程的定义，故本选项正确．故选：D．3.【答案】A【解析】解：∵二次函数y=ax2的对称轴为y轴，∴若图象经过点P(−2,4)，先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：∵圆心P的坐标为(−3,4)，∴OP=√32+42=5，又⊙P的半径r=4，∴OP>r，∴原点O在⊙P外，故选：C．先根据点P坐标求出点P到原点O的距离OP，再判断OP与圆的半径的大小关系，从而得出答案．本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d>r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d<r．5.【答案】B【解析】解：令y=0，则0=−x2+4x−4，解得x1=x2=2，∴抛物线与x轴交点为(2,0)．故选：B．令y=0，求一元二次方程的解可判断抛物线与x轴的交点个数．本题考查二次函数与x轴交点问题，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．6.【答案】B【解析】解：连接CO，∵∠B=40°，∴∠OAC=(180°−80°)÷2=50°．故选：B．连接CO，根据圆周角定理可得∠AOC=2∠B=80°，进而得出∠OAC的度数．此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7.【答案】C【解析】解：这个圆锥的母线长=√102+202=10√5，这个圆锥的侧面积=12×2π×10×10√5=100√5π.故选：C．先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．【解答】解：连接BD．则BD=√2，AD=2√2，则tanA=BDAD =√22√2=12．故选：D．9.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．【解答】解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE=12AC=12×54=27(cm)，同理可得，BF=27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64(cm)，故选：C．10.【答案】A【解析】解：如图，取AO的中点T，连接HT，DT，过点T作TG⊥AD于点G．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=AD=4，∠ABC=90°，∠DAC=45°，∴AC=√2AB=4√2，∴OA=OC=2√2，∴AT=TO=√2，∵△AGT是等腰直角三角形，∴AG=GT=1，∴DG=AD−AG=3，∴DT=√GT2+DG2=√12+32=√10，∵AH⊥OH，∴∠AHO=90°，∵AT=TO，∴TH=12AO=√2，∴DH≥DT−TH=√10−√2，∴DH的最小值为√10−√2．故选：A．如图，取AO的中点T，连接HT，DT，过点T作TG⊥AD于点G.解直角三角形求出DT，利用直角三角形斜边中线的性质求出HT，再根据DH≥DT−TH，可得结论．本题考查正方形的性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．11.【答案】x1=−2，x2=3【解析】解：方程(x+2)(x−3)=0，可得x+2=0或x−3=0，解得：x1=−2，x2=3．故答案为：x1=−2，x2=3．方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．12.【答案】10【解析】解：∵坡比i=tan∠CAB=BCAC =√3=√33，∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵BC=5m，∴AB=2BC=10m，故答案为：10．先根据坡比i=tan∠CAB=1：√3得出∠BAC=30°，再由直角三角形的性质可得AB=2BC=10m即可．本题主要考查解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解题的关键是掌握坡比的概念及直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半．13.【答案】y=2(x+1)2+3【解析】解：抛物线y=2x2−1向左平移1个单位，得：y=2(x+1)2−1，再向上平移4个单位，得：y=2(x+1)2−1+4，即y=2(x+1)2+3．故答案为：y=2(x+1)2+3．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．14.【答案】3√2【解析】解：如图，连接OA，OB，∵∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB=90°，∵OA=OB，∴△AOB是等腰直角三角形，AB=3√2，∴OA=OB=√22即⊙O的半径是3√2，故答案为：3√2．连接OA，OB，可得∠AOB=90°，进而利用等腰直角三角形的性质解答即可．此题考查三角形外接圆与外心，关键是根据圆周角与圆心角的关系得出∠AOB=90°．15.【答案】3AB=√3，【解析】解：如图，过O点作OD⊥AB，则AD=12因为∠OAD=30°，所以OD=tan30°⋅AD=√3×√3=3．故答案为：3．AB=√3，因为∠OAD=30°，根据直角三角形中的三角函过O点作OD⊥AB，则AD=12数可求OD=tan30°⋅AD=3．本题考查了三角形的内切圆与内心的计算．解这类题一般都利用过内心向正三角形的一边作垂线，则正三角形的半径、内切圆半径和正三角形边长的一半构成一个直角三角形，解这个直角三角形，可求出相关边长或角．16.【答案】−1或2【解析】解：∵a∗b=ab−b，∴(2x−1)∗(x+2)=(2x−1)(x+2)−(x+2)=0，解得：x=−1或x=2，故答案为：−1或2．根据新定义将数值代入可得关于x的一元一次方程，解方程即可，注意分类讨论．此题考查了解一元二次方程以及有理数的混合运算，解一元一次方程的步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．17.【答案】3√10【解析】解：圆锥的侧面展开图为扇形CAC′，如图，设圆锥的侧面展开图的圆心角为n，，解得n=180，根据题意得2π×3=n×π×6180∴∠CAB′=90°，∵D为AC的中点，∴AD=3，在Rt△ADB′中，B′D=√32+62=3√10，∴蚂蚁爬行的最短距离为3√10．故答案为3√10．先把圆锥侧面展开得到扇形CAC′，如图，设圆锥的侧面展开图的圆心角为n，利用弧长公式得到2π×3=n×π×6180，解得n=180，则∠CAB′=90°，利用勾股定理计算出B′D，然后根据两点之间线段最短求解．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．18.【答案】90【解析】解：设小丽出发第x min时，两人相距s m，则s=(−180x+2250)−(−10x2−100x+2000)=10x2−80x+250=10(x−4)2+90，∴当x=4时，s取得最小值，此时s=90，答：小丽出发第4min时，两人相距最近，最近距离是90m．故答案为：90．根据题目中的函数解析式和题意，利用二次函数的性质，可以得到小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近，最近距离是多少．本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．19.【答案】解：原式=√2×√22−√3×√3+12×1=1−3+12=−112．【解析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】解：(x−3)2+2x(x−3)=0(x−3)(x−3+2x)=0(x−3)(3x−3)=0解得：x1=3，x2=1．【解析】原方程的左边含有公因式(x−3)，可先提取公因式，然后再分解因式求解．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．21.【答案】解：(1)∵AD是BC上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵tanB=43，AD=12，∴BD=9，∵BC=14，∴CD=BC−BD=14−9=5；(2)由(1)知，CD=5，AD=12，∴AC=√122+52=13，cosC=CDAC =513．【解析】(1)根据tanB=43，求得BD=9，再根据BC=14从而计算出CD；(2)利用三角函数，求出cos∠C的值即可．本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，熟练掌握好三角形边角之间的关系是解题的关键．22.【答案】(1)证明：∵△=(m+2)2−4(2m−1)=(m−2)2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，(m−2)2+4>0，即△>0，∴关于x的方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0恒有两个不相等的实数根；(2)解：根据题意，得12−1×(m+2)+(2m−1)=0，解得，m=2，则方程的另一根为：m+2−1=2+1=3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：√10；该直角三角形的周长为1+3+√10=4+√10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2√2；则该直角三角形的周长为1+3+2√2=4+2√2．【解析】(1)根据关于x的方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0的根的判别式的符号来证明结论；(2)根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，由勾股定理得斜边的长度为：√13；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为√5；再根据三角形的周长公式进行计算．本题综合考查了勾股定理、根的判别式、一元二次方程解的定义．解答(2)时，采用了“分类讨论”的数学思想．23.【答案】解：(1)设解析式为y=a(x+1)(x−3)，把点C(0,3)代入，得a(0+1)(0−3)=3，解得a=−1，故该抛物线解析式是y=−(x+1)(x−3)，即y=−x2+2x+3．(2)∵S△APB=S△ACB，∴点P到AB的距离等于点C到AB的距离，∵点C到AB的距离为3，点P在x轴下方，∴点P的纵坐标为−3，令y=−3，则−x2+2x+3=−3，解得：x=1+√7或1−√7，∴点P的坐标为(1+√7,−3)或(1−√7,−3)．【解析】(1)已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．(2)根据S△APB=S△ACB求出点P的纵坐标，代入函数解析式，求出x的值即可．本题考查了抛物线与x轴的交点问题，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握求二次函数求解析式的方法和二次函数的性质．24.【答案】解：如图②中，过点D作DH⊥AC于H，在Rt△ADH中，cos∠CAD=AHAD ，sin∠CAD=DHAD，∴AH=AD⋅cos53°≈25×35=15(m)，DH=AD⋅sin53°≈25×45=20(m)，∵AC=20m，∴CH=AC−AH=5(m)，∴CD=√DH2+CH2=√202+52=5√17(m)．【解析】过点D作DH⊥AC于H，由锐角三角函数的定义求出DH、CH的长，再利用勾股定理求解即可．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】(1)证明：连接OC，如图，∵OD⊥BC，∴CD=BD，∴OE为BC的垂直平分线，∴EB=EC，∴∠EBC=∠ECB，∵OB=OC，∴∠2=∠1，∴∠2+∠EBC=∠1+∠ECB，即∠OBE=∠OCE，∵CE为⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∴∠OBE=90°，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切；(2)解：设⊙O的半径为R，则OD=R−DF=R−2，OB=R，BC=2√3，在Rt△OBD中，BD=12∵OD2+BD2=OB2，∴(R−2)2+(2√3)2=R2，解得R=4，∴OD=2，OB=4，∴∠OBD=30°，∴∠BOD=60°，在Rt△OBE中，BE=√3OB=4√3，∴S阴影=S四边形OBEC−S扇形OBC=2×12×4×4√3−120⋅π⋅42360=16√3−16π3．【解析】(1)连接OC，如图，根据垂径定理由OD⊥BC得到CD=BD，则OE为BC的垂直平分线，所以EB=EC，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB，加上∠2=∠1，则∠OBE=∠OCE；再根据切线的性质得∠OCE=90°，所以∠OBE=90°，然后根据切线的判定定理得BE与⊙O相切；(2)设⊙O的半径为R，则OD=R−DF=R−2，OB=R，在Rt△OBD，利用勾股定理得(R−2)2+(2√3)2=R2，解得R=4，即OD=2，OB=4，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OBD=30°，则∠BOD=60°，在Rt△OBE中，计算BE=√3OB= 4√3，然后根据扇形面积公式和S阴影=S四边形OBEC−S扇形OBC进行计算．本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理和扇形面积的计算．26.【答案】y=−10x+500w=−10x2+700x−10000【解析】解：(1)根据题意得，y=250−10(x−25)=−10x+500；则w=(x−20)(−10x+500)=−10x2+700x−10000，故答案为：y=−10x+500；w=−10x2+700x−10000；(2)∵w=−10x2+700x−10000=−10(x2−70x+352−352)−10000=−10(x−35)2+2250∵−10<0，∴x=35时，w最大=2250，答：销售单价定为35元时，所得销售利润最大，最大利润是2250．(1)根据“某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋”，即可得出y关于x的函数关系式，然后再根据题意得到销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)利用配方法将w关于x的函数关系式变形为w=−10(x−35)2+2250，根据二次函数的性质即可解决最值问题．本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，掌握二次函数求最值的方法．27.【答案】解：(1)由已知得{a +b +3=016a +4b +3=0，解得{b =−154a=34． 所以，抛物线的解析式为y =34x 2−154x +3．(2)∵A 、B 关于对称轴对称，如图1，连接BC ，∴BC 与对称轴的交点即为所求的点P ，此时PA +PC =BC ，∴四边形PAOC 的周长最小值为：OC +OA +BC ，∵A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)，∴OA =1，OC =3，BC =√OB 2+OC 2=5，∴OC +OA +BC =1+3+5=9；∴在抛物线的对称轴上存在点P ，使得四边形PAOC 的周长最小，四边形PAOC 周长的最小值为9．(3)∵B(4,0)、C(0,3)，∴直线BC 的解析式为y =−34x +3，①当∠BQM =90°时，如图2，设M(a,b)，∵∠CMQ >90°，∴只能CM =MQ =b ，∵MQ//y 轴，∴△MQB∽△COB ，∴BMBC=MQ OC ，即5−b 5=b 3，解得b =158，代入y =−34x +3得158=−34a +3，解得a =32，∴M(32,158)；②当∠QMB =90°时，如图3，∵∠CMQ =90°，∴只能CM =MQ ，设CM =MQ =m ，∴BM =5−m ，∵∠BMQ =∠COB =90°，∠MBQ =∠OBC ，∴△BMQ∽△BOC ，∴m 3=5−m 4，解得m =157，作MN//OB ，∴MN OB =CN OC =CM BC ，即MN 4=CN 3=1575， ∴MN =127，CN =97， ∴ON =OC −CN =3−97=127，∴M(127,127). 综上，在线段BC 上存在这样的点M ，使△CQM 为等腰三角形且△BQM 为直角三角形，点M 的坐标为(32,158)或(127,127).【解析】(1)把点A(1,0)、B(4,0)两点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；(2)A 、B 关于对称轴对称，连接BC ，则BC 与对称轴的交点即为所求的点P ，此时PA +PC =BC ，四边形PAOC 的周长最小值为：OC +OA +BC ；根据勾股定理求得BC ，即可求得；(3)分两种情况分别讨论，即可求得．本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称−最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．28.【答案】3【解析】解：(1)∵PA 是⊙O 的切线，∴OA ⊥PA ，∵∠APO =30°，OA =2，∴OP =4，∴OP +OA =4+2=6，∵点B 是折线段POA 的中点，∴PB =12(PA +OA)=12×6=3，故答案为：3；(2)如图，延长BD到M使BH=HM，连接AM、CM，∵AH⊥BD，BH=HM，∴AM=AB，∴∠ABM=∠AMB，∵∠ACD=∠ABD，∴∠ACD=∠AMD，∵AM=AC=AB，∴△AMC是等腰三角形，∴∠ACM=AMC，∴∠ACM−∠ACD=∠AMC−∠AMB，∴∠DCM=∠DMC，∴DC=DM，∵HM=DM+DH，∴HM=DC+DH，∵HM=BH，∴BH=HD+DC，∴点H是折线段BDC的中点；(3)如图，作AE⊥PC于点E，由(2)可知E为折线段CPB中点，即CE=EP+PB，∴PB=CE−EP，在Rt△AEC中，CE=√AC2−AE2=√12−AE2，在Rt△AEP中，EP=√AP2−AE2=√5−AE2，∴PB=√12−AE2−√5−AE2，∵PC=CE+EP=√12−AE2+√5−AE2，∴PB⋅PC=(√12−AE2−√5−AE2)(√12−AE2+√5−AE2)=(12−AE2)−(5−AE2)=12−AE2−5+AE2=7．(1)由切线的性质得出OA⊥PA，由∠APO=30°，OA=2，得出OP=4，再根据“折线段中点的定义”即可得到答案；(2)先证明△ABM为等腰三角形，再证明△AMC为等腰三角形，继而得出DC=DM，进一步即可证明结论；(3)作AE⊥PC于点E，根据(2)的结论和勾股定理表示出PB和PC的长度，进一步计算即可得出PB・PC的值．本题考查了圆的综合知识，掌握切线的性质、“折线段中点的定义”、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识是解决问题的关键．。