滕州一中东校高二实验班三科竞赛试题（数学）
参考答案
一、 二选择题（每小题5分,共60分）
三、填空题(每小题5分,共20分)
13．22
12516y x += 14．340x y +-= 15．
16．
2
四、解答题(共70分)
17． （本小题满分10分）
解： (1)|PF 1|·|PF 2|≤⎝
⎛⎭⎪⎫
|PF 1|＋|PF 2|22
＝100 (当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)， ∴|PF 1|·|PF 2|的最大值为100.
(2)S △F 1
PF 2
＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝6433，∴|PF 1|·|PF 2|＝256
3，
①
由题意知：⎩⎨⎧
|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，
∴3|PF 1|·|PF 2|＝400－4c 2. ②
由①②得c ＝6，∴b ＝8.
18．（本小题满分12分） (1)
直线()()2:211740l k x k y k -+--+=，()()2740x y k x y ∴+--+-=，
由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得3
1x y =⎧⎨=⎩
，∴直线2l 过定点()3,1C .
(2)当2k =时，直线1:20l x y -=，直线2:3100l x y +-=， 由203100x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得24x y =⎧⎨=⎩
，即()2,4A ，()2,0B ∴，
∴直线BC 的方程为
2
1032
y x -=
--，即20x y --=，
∴点()2,4A 到直线BC 的距离
d =.
点C 到AB 的距离为321,|4|AB -==，ABC ∴的面积1
4122
S =⨯⨯=.
19．（本小题满分12分）
（1）等腰梯形ABCD ，//AB CD ，222AB AD CD ===，知：1===AD DC CB 且60B DAB ∠
=∠=︒，120D ∠=︒，即Rt △ACB 中90ACB ∠=︒
∴BC CA ⊥，又面ABC 面ACD CA =，BC ⊂面ABC ，而面ABC ⊥面ACD
∴BC ⊥面ACD
（2）如下图示，构建以C 为原点，CB 为x 轴、CA 为y 轴、过C 点垂直于面ABC 的直线为z 轴的空间直角坐标系，由题意知：(0,3,0)A ，(1,0,0)B ，31(0,
,)2D ，则31
(0,,)2
AD =-，(1,3,0)AB =-，31
(0,
,)2
CD =，(1,0,0)CB = 令(,,)m x y z =为面ABD 的一个法向量，则
31
02
230y z x y ⎧-
+=⎪⎨⎪-=⎩
，若y =1，有(3,1,3)m = 令(,,)n x y z =为面CBD 的一个法向量，则31
02
0y z x ⎧+=⎪
⎪=⎩
，若y =1，有(0,1,3)n =- ∴m 与n 的夹角为θ，则10cos 10||||
m n m n θ⋅=
=-，故310
sin θ=
根据二面角与向量夹角的关系，知：二面角A BD C --的正弦值为310
20．（本小题满分12分）
(1)证明：以D 为原点，分别以直线DA ，DC 为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得D (0,0,0)，P (0,1，3)，C (0,2,0)，A (22，0,0)，M (2
，2,0)．
PM →＝(2，1，－3)，AM →
＝(－2，2,0)， ∴PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2,0)＝0， 即PM →⊥AM →
，∴AM ⊥PM .
(2)设n ＝(x ，y ，z )为平面P AM 的法向量，则
即⎩⎨⎧
2x ＋y －3z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取y ＝1，得n ＝(2，1，3)． 取p ＝(0,0,1)，显然p 为平面ABCD 的一个法向量，
结合图形可知，平面P AM 与平面DAM 的夹角为45°.
(3)设点D 到平面AMP 的距离为d ，由(2)可知n ＝(2，1，3)与平面P AM 垂直，则 d ＝|DA →
·n ||n |＝|(22，0，0)·(2，1，3)|(2)2＋
12＋(3)
2＝
263，即点D 到平面AMP 的距离为26
3.
21．（本小题满分12分）
(1) 直线l 的斜率k =
则直线l
的方程为：3y =+
圆心到直线l 的距离为d =
=.所以||2AB ===. (2)设直线l 的方程为3y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y
由22
34
y kx x y =+⎧⎨
+=⎩,有22(1)650k x kx +++= (*)22
=364(1)50k k -⨯+⨯>△， 所以12261k x x k -+=
+ ,12
2
5
1x x k =+. 12121212
124444
333333=
y y kx kx x x x x k k -
-+-+-+=++ 121212
55533=22=3x x
k k x x x x +++=+⨯ 2
25612k 0315k k k -++⨯⨯=+.
所以12k k +为定值0.
(3) 设点00(,)M x y ，由(2)有1202321x x
k x k +-==+ ,所以20022
333311k y kx k k
-=+=+=++ 又3
MO MQ =
，即22
3||2||MO MQ =.所以2222000043()2[()]3x y x y +=+-.
即2
2
000163239x y y ++=.则有222223316332
()()11319k k k k -++⋅=+++. 整理得21321925k =+⨯. 得2
19332
k = 22=36
4(1)50k k -⨯+⨯>△,得25
4
k >.
则2
1935324k =
>满足条件 所以满足条件的直线l 为：3y x =+.
