新人教B版必修2高中数学课堂设计1.2.3空间中的垂直关系(2)平面与平面垂直学案

高中数学必修二（人教B版）：1.2.3《空间中的垂直关系》教案《空间中的垂直关系》教案教学目标1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题；3、在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决.教学重难点重点：理解空间中三种垂直关系的定义；掌握空间中三种垂直关系判定及性质；用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题.难点：空间中三种垂直关系的判定及性质综合应用.教学过程一、课前预习1、空间中三种垂直关系是哪三种？2、空间中三种垂直关系判定方法？3、列举现实生活中的垂直关系.二、定义与判定方法1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直.2、直线与平面垂直的判定常用方法有：①判定定理：,,,P b a b a =αα α⊥?⊥⊥l b l a l ,.② b ⊥α, a ∥b ?a ⊥α；（线面垂直性质定理）③α∥β,a ⊥β?a ⊥α（面面平行性质定理）④α⊥β，α∩β=l ，a ⊥l ，a ?β?a ⊥α（面面垂直性质定理）3、直线与平面垂直的性质定理：①如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.（a ⊥α，b ⊥α?a ∥b ）②直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线（b a b a ⊥??⊥αα,）4、点到平面的距离的定义：从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离.特别注意：点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不能确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足.5、平面与平面垂直的定义及判定定理：（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就说这两个平面互相垂直.记作：平面α⊥平面β（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（简称：线面垂直，面面垂直）6、两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.（简称：面面垂直，线面垂直.）思维方式：判定两相交平面垂直的常用方法是：线面垂直，面面垂直；有时用定义也是一种办法.三、典型例题例1、（1）对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是（）A、m⊥n，m∥α，n∥βB、m⊥n，α∩β=m，n?αC、m∥n，n⊥β，m?αD、m∥n，n⊥β，m⊥α（2）设a、b是异面直线，给出下列命题：①经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b；②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b；③存在分别经过直线a和b的两个平行平面；④存在分别经过直线a和b的两个平面互相垂直.其中错误的命题为（）A、①与②B、②与③C、③与④D、仅②（3）已知平面α⊥平面β，m是α内一条直线，n是β内一条直线，且m⊥n，那么，甲：m⊥β；乙：n⊥α丙：m⊥β或n⊥α；丁：m⊥β且n⊥α.这四个结论中，不正确的三个是（）解：（1）对于A，平面α与β可以平行，也可以相交，但不垂直.对B，平面α内直线n垂直于两个平面的交线m，直线n与平面β不一定垂直，平面α、β也不一定垂直.对D，m⊥α，m∥n则n⊥α，又n⊥β，所以α∥β.只有C正确，m∥n，n⊥β则m⊥β又m?α，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β.故选C.（2）①正确，过a 上任一点作b 的平行线b′，则ab′确定唯一平面.②错误，假设成立则b ⊥该平面，而a ?该平面，∴a ⊥b ，但a 、b 异面却不一定垂直. ③正确，分别过a 、b 上的任一点作b 、a 的平行线，由各自相交直线所确定的平面即为所求.④正确，换角度思考两个垂直的平面内各取一直线会出现各种异面形式，综上所述：仅②错误选D（3）丙正确.举反例：在任一平面中作平行于交线的直线m （或n ），在另一平面作交线的垂线n （或m ）即可推翻甲、乙、丁三项.思维点拨：解决这类问题关键是注意这是在空间而非平面内.例2、如图，ABCD 为直角梯形，∠DAB=∠ABC =90°，AB=BC=a ，AD=2a ，PA ⊥平面ABCD.PA=a.（1）求证：PC ⊥CD.（2）求点B 到直线PC 的距离.（1）证明：取AD 的中点E ，连AC 、CE ，则ABCE 为正方形，ΔCED 为等腰直角三角形，∴AC ⊥ CD ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴AC 为PC 在平面ABCD 上的射影，∴PC ⊥CD（2）解：连BE ，交AC 于O ，则BE ⊥AC ，又BE ⊥PA ，AC∩PA= A，∴ BE ⊥平面PAC过O 作OH ⊥PC 于H ，则BH ⊥PC ，∵PA=a ，AC=2a,PC=3a ，∴ OH=a aa a 663221=??，∵BO=22a ，∴BH=a OH BO 3622=+即为所求. 例3、在斜三棱柱A1B1C1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB=AC ，侧面BB1C1C ⊥底面ABC（1）若D 是BC 的中点，求证AD ⊥CC1；（2）过侧面BB1C1C 的对角线BC1的平面交侧棱于M ，若AM=MA1，求证截面MBC1⊥侧面BB1C1C ；（3）AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C 的充要条件吗？请你叙述判断理由.命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质.知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质.错解分析：（3）的结论在证必要性时，辅助线要重新作出.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙地作辅助线.（1）证明：∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC∵底面ABC ⊥侧面BB1C1C ，∴AD ⊥侧面BB1C1C∴AD ⊥CC1（2）证明：延长B1A1与BM 交于N ，连结C1N∵AM=MA1，∴NA1=A1B1∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1∴C1N ⊥C1B1∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C ，∴C1N ⊥侧面BB1C1C∴截面C1NB ⊥侧面BB1C1C∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C（3）解：结论是肯定的，充分性已由（2）证明，下面证必要性.过M 作ME ⊥BC1于E ，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C∴ME ⊥侧面BB1C1C ，又∵AD ⊥侧面BB1C1C∴ME ∥AD ，∴M 、E 、D 、A 共面∵AM ∥侧面BB1C1C ，∴AM ∥DE∵CC1⊥AD ，∴DE ∥CC1∵D 是BC 的中点，∴E 是BC1的中点∴AM=DE=21211=CC AA1，∴AM=MA1即1MA AM =是截面C C BB MBC 111平面⊥的充要条件例4、如图，在正三棱锥A —BCD 中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于点E 、F 、G 、H（1）判定四边形EFGH 的形状，并说明理由（2）设P 是棱AD 上的点，当AP 为何值时，平面PBC ⊥平面EFGH ，请给出证明（1）证明：∵AD//面EFGH,面ACD∩面EFGH ＝HG ，AD ?面ACD∴ AD//HG.同理EF ∥HG ，∴EFGH 是平行四边形∵A —BCD 是正三棱锥，∴A 在底面上的射影O 是△BCD 的中心，∴DO ⊥BC ，∴AD ⊥BC ，∴HG ⊥EH ，四边形EFGH 是矩形（2）作CP ⊥AD 于P 点，连结BP ，∵AD ⊥BC ，∴AD ⊥面BCP∵HG ∥AD ，∴HG ⊥面BCP ，HG ?面EFGH 面BCP ⊥面EFGH ，在Rt △APC 中，∠CAP=30°，AC=AB=a,∴AP=23a例5、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC 是直角三角形，∠ABC=90°，2AB=BC=BB1=a ，且A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C 交于DE.求证：（1）A1B1⊥平面BB1C1C；（2）A1C⊥BC1；（3）DE⊥平面BB1C1C.证明：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴侧面与底面垂直，即平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，又∵AB⊥BC，∴A1B1⊥B1C1从而A1B1⊥平面BB1C1C.（2）由题设可知四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C，而A1B1⊥平面BB1C1C，∴ A1C在平面BB1C1C上的射影是B1C，由三垂线定理得A1C⊥BC1（3）∵直三棱柱的侧面均为矩形，而D、E分别为所在侧面对角线的交点，∴D为A1C的中点，E为B1C的中点，∴DE∥A1B1，而由（1）知A1B1⊥平面BB1C1C，∴DE⊥平面BB1C1C.思维点拨：选择恰当的方法证明线面垂直.四、小结1、直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，应熟练掌握直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理，并能依据条件灵活运用.2、注意线面垂直与线线垂直的关系和转化.3、距离离不开垂直，因此求距离问题的过程实质上是论证线面关系（平行与垂直）与解三角形的过程，值得注意的是“作、证、算、答”是立体几何计算题不可缺少的步骤.在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”，“面面垂直”间的转化条件和转化应用.五、课后反思在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”，“面面垂直”间的转化条件和转化应用.六、课外作业课后练习A、B.。

《直线与平面垂直的判定》教学设计使用教材：人教社B版教材必修2【教学目标】1.学生能借助直线与平面垂直的具体实例，解释“直线与平面垂直”的含义；2.学生能通过参与折纸试验，归纳和确认直线与平面垂直的判定定理；3.在对定义和判定定理的探究和运用的过程中，体会线线垂直与线面垂直相互转化的数学思想；【教学重点】1.直线与平面垂直的定义；2.直线与平面垂直的判定定理．【教学难点】1.直线与平面垂直的判定定理的探究;2.定义和定理中转化思想的挖掘．【教学方式】启发探究式【教学手段】计算机、自制课件、实物模型【教学过程】一、创设情境，引出新知1.复习空间直线与平面的位置关系，学生通过举例感知生活中直线与平面相交的位置关系，在此基础上提出本节课将重点研究线面的垂直关系．设计意图：从已有知识中引出新的学习问题，激发学生学习数学的兴趣．2.给出学生熟悉的图片，引导他们观察国旗旗杆与地面的位置关系，广播塔与地面的位置关系，火箭与地面的位置关系等。

然后引出：问题1：将国旗旗杆与地面上的影子抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确描述，从而引出——直线与平面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直．设计意图：通过“具体形象——几何图形——数学语言”的学习过程，引导学生体会定义的合理性．3.线面垂直定义的辨析（1）说明直线与平面垂直的画法；介绍相关概念：垂面，垂线，垂足。

（2）提出辨析问题：能否将定义中的“任意一条直线”换成“一条直线或有限条直线或无数条直线”，并举例说明。

（3）如何说明一条直线与一个平面不垂直？只需找到这条直线与这个平面内一条直线不垂直即可，即“一票否决”.设计意图：通过定义辨析，加强对定义中“任意一条直线”的正确认识.二、群策群力，探知循规任意一个定义既可用作性质，即如果已知一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于平面内任意一条直线；又可用作判定，即要证一条直线与一个平面垂直，需要满足平面内的每一条直线都与该直线垂直，由于平面内有无数条直线，所以若用定义来判断直线与平面垂直，有时是困难的，甚至是无法完成的，是否有更简洁的判断方法呢？引出课题：2.2.3直线与平面垂直的判定.试验：准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作A，，．如图，过△的顶点折叠纸片，得到折痕，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使、边与桌面接触）问题:2：折痕与桌面一定垂直吗？追问：为什么图2中折痕不一定与桌面垂直？（引导学生根据定义进行回答）设计意图：从另一个角度理解定义：如果想说明一条直线与平面不垂直，只需要在平面内找到一条直线与它不垂直就够了,实际上就是举反例.问题3：如何翻折才能使折痕与桌面所在的平面垂直？追问：为什么图1中折痕AD与桌面是垂直的？（引导学生根据定义进行确认）（1）组织学生以小组的形式探究讨论：折叠图形1不论在桌面上如何平移和转动，折痕AD与桌面的垂直关系为什么始终不变？（2）在学生讨论的基础上教师用课件进行动画演示（如右图），以折痕为轴转动纸片，来说明与平面内过点的所有直线都垂直，平面内不过点的直线，可以通过平移到点，说明它们与都垂直，于是符合直线与平面垂直的定义．在学生感知直线与平面垂直的判定定理的基础上，进一步引导学生对判定定理中两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认．（3）引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面表述直线和平面垂直的判定定理．文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．强调：两条相交直线，必须满足，不可忽略.图形语言：符号语言：，，，，．设计意图：通过折纸试验，让学生在发现定理的过程中，先通过直观感知，再操作确认并理性说明，以提高几何直观能力和理性说理能力．三、迁移拓展，学以致用1.基础练习，规范格式(1)正方体中，棱是什么位置关系，它们和底面垂直吗？(2)变式：已知：，, 求证：．分析：（1）教师引导学生完成说理过程，注意规范语言. （2）欲证线面垂直，需证线与面内两条相交直线垂直；而已知线面垂直，可得线线垂直，所以，在平面内可作两条相交直线为辅助线，命题可证．证明：在平面内作两条相交直线．因为直线，根据直线与平面垂直的定义知．又因为，所以，．又因为，，，是两条相交直线，所以．方法二：引导学生用定义证明，并全班集体共同整理思路.设计意图：此题两问都是对判定定理的直接应用，第一个问题中通过观察即可得到定理的条件，目的是进一步强化定理的条件以及定理在应用过程中的准确表述；第二个问题中强调线面垂直与线线垂直的相互转化.此题重视对学生思维策略的引导和启发，培养学生的逻辑推理能力；同时规范证明题的书写．2.深化认识，提升能力如图，在直四棱柱ABCD—A?B?C?D?中，已知底面ABCD为正方形，(1)试判断直线BD与平面A?AC是否垂直？(2)试判断直线BD与A?C是否垂直？解析：（2）由（1）的结论知：BD与A?C垂直.变式：如图，直四棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，(1)底面四边形ABCD满足什么条件时，(2)底面四边形ABCD满足什么条件时，分析：要证线线垂直，只需满足线面垂直，而要满足线面垂直，还需线线直，体现数学中线线垂直与线面垂直相互转化的思想.设计意图：本题为课本第66页的探究题，本题思路跳跃性较大，如果直接让学生去做就会有一部分学生比较困难，产生畏难情绪，所以在探究之前先搭建两个台阶，这样学生思维活动就比较平缓，大部分学生都能顺利探究出问题答案，从而树立学生学习数学的自信心。

1.2.3空间中的垂直关系（一）----直线与平面垂直一．学习要点：直线与平面垂直的判定与性质及其简单应用二．学习过程：一．直线与直线垂直两条直线互相垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直。

直线a 和b 垂直，记作：a b ⊥．概念解读：1．空间的直线与直线垂直包括相交垂直（有一个公共点）与异面垂直（无公共点）两种；2．若a b ⊥，b c ⊥，则a 与c 的位置关系有三种：//a c ；a 与c 相交；a 与c 异面；3．在平面内，线段AB 的垂直平分线有且只有一条；在空间中，线段AB 的垂直平分线有无数条，其所有垂直平分线在同一个平面上。

二．直线与平面垂直（一）直线与平面垂直的定义及有关概念直线和平面α垂直，记作：l α⊥．1即：2如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

即：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

即：B（三）直线与平面垂直的性质2：垂直于同一条直线的两个平面平行。

即：（四）直线与平面垂直的性质3：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。

即：五．两平行平面的距离：从一个平面内任取一点到另一平面的距离即为两个平行平面的距离。

例1如图，在正方体ABCD 1111A B C D 中， 求证：1BD ⊥平面1AB C ．例2如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，M 、求证：MN AB ⊥.例3已知四棱锥P ABCD 的底面ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AD PD =，E 、F 分别为CD 、PB的中点，求证：EF ⊥平面PAB课堂练习一．教材P51练习二．补充练习1．如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上的动点，过动点C 的直线VC 垂直于O 所在平面，D 、E 分别是VA 、VC 的中点。

求证：DE ⊥平面VBC ．PA B MCD N2．在正方体ABCD 1111A B C D 中，M 、N 、P 分别是BC 、1CC 、CD 的中点，求证：1A P ⊥平面MDN ．3．在四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，AE SB ⊥于E ，EF SC ⊥于F ，求证：AF SC ⊥.4．在三棱锥P ABC 中，PA PB =，CB ⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，3AN NB =，求证：MN AB ⊥．5．在三棱锥P ABC 中，BC PA ⊥，AB PC ⊥，求证：AC PB ⊥．DN1A 1C课后作业：见作业（48）、（49）。

1.2.3空间中的垂直关系【目标要求】1.了解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理.2.使学生掌握两个平面垂直的性质定理及其证明．并能应用判定定理和性质定理解决简单问题；3.了解射影等有关的概念，了解三垂线定理及其逆定理.【巩固教材——稳扎马步】1.直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是（）A.平行B.垂直C.在平面α内D.无法确定2.菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与对角线BD的位置关系是（）A.平行B.斜交C.垂直相交D.垂直但不相交3.平面α上有不共线三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系为（）A.平行B.相交C.平行或相交D.垂直4.下列说法正确的是（）A.平面α内的一条直线和平面β内的无数条直线垂直，则平面α⊥平面βB.过平面α外一点P有且只有一个平面β和平面α垂直C.直线l∥平面α，l⊥平面β，则α⊥βD.垂直于同一平面的两个平面平行【重难突破——重拳出击】5.已知l⊥α，m⊂β，则下面说法中正确的是（）①α∥β则l⊥m ②α⊥β则l∥m ③l∥m则α⊥β④l⊥m则α∥βA.①②B.③④C.②④D.①③6.设P、Q、R分别是长方体的棱AA1、AB、AD上异于点A的任意一点，则△PQR的形状为（）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形D.以上都有可能A BCD D 1 O A 1 B 1C 1G图1.2.3-17.下列说法中正确的个数是 （ ） ①若直线a //平面α，平面α⊥平面β，则a ⊥β; ②平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则α⊥γ； ③直线a ⊥平面α，平面α⊥平面β，则a //β；④ 平面α//平面β，直线a ⊂平面α，则a //β． A.1 B.2 C.3 D .48.若有平面α与β，且,,,l P P l αβαβα=⊥∈∉，则下列说法不正确的是 （ ）A.过点P 且垂直于α的直线平行于βB.过点P 且垂直于l 的平面垂直于βC.过点P 且垂直于β的直线在α内D.过点P 且垂直于l 的直线在α内 9.下面各选项中，不正确是 （ ）A. 平行于同一直线的两个平面平行B.平行于同一平面的两个平面平行C.一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交 D .垂直于同一直线的两个平面平行10.过空间一点的三条直线两两垂直则由它们确定的平面中互相垂直的有（ ） A .0对 B .1对 C .2对 D .3对11.两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是（ ）A.垂直B.相交或平行C.平行或垂直 D .不能确定 12.经过平面外的两点作与该平面垂直的平面，那么 （ ）A .有且只有1个B .无数个C . 1个或无数个D . 最多有2个 【巩固提高——登峰揽月】13.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，G 为CC 1的中点，O 为底面ABCD 的中心.求证：A 1O ⊥平面GBD .14. 已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （1）求证：MN ⊥CD . （2）若∠PDA=45°，求证MN ⊥面PCD .P【课外拓展——超越自我】15. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知P ，Q ，R ，S 分别为棱A 1D 1，A 1B 1，AB ，BB 1的中点，求证：平面PQS ⊥平面B 1RC .1.2.3空间中的垂直关系【巩固教材——稳扎马步】 1.D 2.D 3.C 4.C【重难突破——重拳出击】5.D6.B7.A8.D9.A 10.D 11.D 12.C 【巩固提高——登峰揽月】 13. 证明：GBDO A OG BD OGO A GA OG O A a a a G C C A G A a a a CG OC OG a a a AO A A O A OA BD AO A O A AD A BD BD AC BD A A 平面又又面平面⊥=⋂⊥∴=+∴=+=+==+=+==+=+=⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥112122122221211212222222222212111111049)2()2(43)2()22(23)22(图1.2.3-3 SCPQ B 1A B D D 1A 1 C 1 R14. 证明：,:.(//,//,21,//.21,//,,,)1(或直接用三垂线定理注平面平面面平面为平行四边形四边形又则连中点为又中点取AE CD ADP AE ADP CD AD CD PA CD ABCD CD ABCD PA AE MN AMNE NE AM CD AM CD AM CD NE CD NE NE PC N E PD ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥∴∴∴===.,,//,,45)2(PCD MN D CD PD PD MN AE MN PD AE PAD Rt PDA 平面又则为等腰直角三角形时当⊥∴=⋂⊥∴⊥∆=∠ 【课外拓展——超越自我】15. 证明：连结BC 1交B 1C 于O ，则O 为BC 1的中点 连结RO ，AC 1，∵R 是AB 的中点 ∴RO∥AC 1 ∵P,Q 分别为A 1D 1，A 1B 1的中点，易知A 1C 1⊥PQ ∴AC 1⊥PQRCB PQS RC B RO PQS RO PQS AC AC OS 1111面面面又面面同理证⊥∴⊂⊥∴⊥∴⊥。

人教版高中必修2(B版)1.2.3空间中的垂直关系教学设计一、教学目标1.了解空间中垂直关系的概念和性质，掌握相关的基本概念和定义；2.能够运用垂直关系的定义，判断两条直线、两个平面、线段和直线、线段和平面等是否垂直，解决与垂直相关的简单问题；3.通过垂直关系的学习，增强学生的空间想象能力和数学思维水平。

二、教学重点和难点1.垂直关系的定义和应用；2.掌握判断两条直线、两个平面、线段和直线、线段和平面等是否垂直的方法；3.解决与垂直相关的简单问题。

三、教学方法本课采用讲授、讨论和练习相结合的教学方法，倡导“启发式”教学，让学生在教师的引导下自主思考，发掘规律和方法，并通过课堂讨论和解决问题的过程中加深对知识的理解和记忆。

四、教学步骤1. 引入（10分钟）通过一个有趣的例子，激发学生对垂直关系的兴趣，引导学生了解垂直关系的概念和性质。

举例：小明在修建房屋时，需要确定柱子是否和地面垂直。

那么，垂直现象出现在我们生活中的哪些场合呢？2. 讲解垂直关系的基本概念和定义（20分钟）通过演示、讲解等方式，介绍垂直关系的定义和性质，如“两条直线垂直的条件是什么？两个平面垂直的条件是什么？”等等。

3. 探究垂直关系的应用（30分钟）带领学生探究判断两条直线、两个平面、线段和直线、线段和平面等是否垂直的方法和步骤，并通过练习，帮助学生巩固相关知识，增强应用能力。

4. 实际应用（30分钟）分组或个人作业，设计一些实际问题，让学生通过运用垂直关系的知识，解决实际问题。

举例：如何确定大型建筑物的每根柱子是否与地面垂直？5. 总结（10分钟）对本节课的重点知识、难点问题进行总结，并对学生问题进行答疑解惑，解决学生的困惑。

五、教学工具黑板、粉笔、几何模型、PPT等。

六、教学评价1.通过课堂练习，检验学生对垂直关系的掌握程度；2.通过实际应用的作业，检验学生对垂直关系的应用能力；3.通过教师观察、记录等方式，评价学生的表现和进步情况。

第一章立体几何初步第1.2.3节空间中的垂直关系教学设计（一）创设情景，揭示课题1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。

2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。

（二）研探新知1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。

然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。

如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。

如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

并对画示表示进行说明。

Lpα图2-3-12、老师提出问题，让学生思考：（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。

有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC 与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？AB D C图2.3-2（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

老师特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

人教版高中必修2(B版)1.2.3空间中的垂直关系课程设计一、课程目标通过本课程的学习，学生将能够：1.掌握空间直线和平面的基本概念和相关性质；2.理解垂直关系的定义和特性；3.熟练掌握垂直关系的判定方法，并能在实际问题中运用；4.培养学生的空间想象和几何证明能力。

二、教学内容本课程的教学内容主要包括以下三个部分：1. 空间直线和平面的基本概念和相关性质1.直线的定义及其特点；2.平面的定义及其特点；3.直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及其判定方法；4.直线和平面的交、垂足、投影等概念。

2. 垂直关系的定义和特性1.垂直关系的定义；2.垂直关系的性质；3.正交坐标系的建立及其应用。

3. 垂直关系的判定方法和实际应用1.垂直关系的判定方法；2.垂线的性质；3.垂直关系在直线、平面交角和空间角中的应用；4.垂足、投影的实际应用。

三、教学过程1. 导入（15分钟）介绍本课程的教学目标和内容，并通过展示直线、平面和正交坐标系等教具，激发学生的学习兴趣和想象力。

2. 知识点讲解（80分钟）根据教学大纲，系统地讲解课程中的相关知识点，包括各种概念、定理、性质、判定方法和应用等，同时通过具体的几何图形和实际问题进行讲解和解题指导。

3. 课堂练习（50分钟）组织学生进行课堂练习，加强对知识点的理解和掌握，同时培养学生的几何想象和证明能力。

4. 课后作业（15分钟）布置课后作业，要求学生巩固和扩展课堂所学知识点，同时要求学生归纳总结本课程的学习内容。

四、教学方法本课程采用多种教学方法相结合，包括讲授法、演示法、问答式教学、小组讨论和课堂练习等，旨在提高学生的学习兴趣和参与度，加强知识点的记忆和理解，培养学生的科学思维和解决问题的能力。

五、教学评估本课程采用多项评估方法，包括课堂表现评估、课堂练习成绩评估和课后作业评估等，旨在全面评估学生对本课程所学内容的掌握和应用能力。

同时，也为调整和优化教学过程提供参考和依据。

第1页 共1页 人教B 版 数学 必修2：平面与平面垂直的概念和判定
[适用章节]
数学②中1.2.3空间中的垂直关系之2平面与平面垂直
[使用目的]
使学生通过操作理解平面与平面垂直的概念和判定定理，并结合图形理解这样定义两平面垂直的合理性，及用这个定义说明两平面垂直判定定理正确性的思路。

[操作说明]
拖动绿色标尺可以选择要研究的内容。

对主要按钮画面上都有文字说明。

“慢加”、“慢减”按钮可以手控转动图形，“擦去”是用来隐去说明文字的，“隐面”、“隐角”可以隐去截面和截得的角。

“还原”按钮可以回到初始界面。

图2126
图2126时比较第三个平面垂直及不垂直已知两平面交线时的图形。

A C
B A
C B。