杨浦区2016学年度第一学期高三期中质量调研数学试卷(无答案)

2016-2017学年上海市杨浦区高一（上）期中数学试卷一、填空题1．（5分）不等式|x ﹣1|＜1的解是 ．2．（5分）设集合P={﹣3，0，2，4]，集合Q={x |﹣1＜x ＜3}，则P ∩Q= ．3．（5分）命题“若x 2=1，则x=1”的否命题是 ．4．（5分）已知x ，y ∈R +，且x +4y=1，则xy 的最大值为 ．5．（5分）已知f （2x +1）=x 2﹣2x ，则f （3）= ．6．（5分）若全集U=R ，函数y=√x −1的定义域为集合A ，则∁U A= ．7．（5分）已知集合M ⊊{4，7，8}，则这样的集合M 共有 个．8．（5分）若ab ＜0，则b a +a b的最大值为 ． 9．（5分）若不等式ax 2+5x ﹣2＞0的解集是{x|12＜x ＜2}，则不等式ax 2﹣5x +（a 2﹣1）＞0的解集是 ．10．（5分）设α：1≤x ≤3，β：m +1≤x ≤2m +4，m ∈R ，若α是β的充分条件，则m 的取值范围是 ．11．（5分）设x ，y 均为正实数，且xy ﹣2x ﹣2y=12，则xy 的取值范围为 ．12．（5分）定义实数a ，b 间的计算法则如下：a △b={a ，a ≥b b 2，a ＜b，则函数y=（1△x ）△x ﹣（2△x ）的值域为 （其中﹣2≤x ≤2）二、选择题13．（5分）若x ∈R ，则“x ＞2”是“x 2＞4”的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要14．（5分）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释．A．如果a＞b，b＞c，那么a＞cB．如果a＞b＞0，那么a2＞b2C．对任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立D．如果a＞b，c＞0那么ac＞bc15．（5分）已知x∈R，则下列f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．f（x）=x，g（x）=√x3B．f（x）=1，g（x）=（x﹣1）0C．f（x）=(√x)2x，g（x）=(√x)2D．f（x）=x2−9x+3，g（x）=x﹣316．（5分）若1a＜1b＜0，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜ab，④a3＞b3，不正确的不等式的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3三、解答题.17．（12分）已知a∈R．（1）求证：a2≥2a﹣1；（2）解关于x的不等式（x﹣2）（x﹣a）＜0．18．（12分）若不等式|x﹣2|﹣2＜0的解集为A，函数g（x）=√x2+x−2的定义域为B，U=R，求A、B及A∪∁U B．19．（12分）已知f（x）=kx+2，不等式|f（x）|＜3的解集为（﹣1，5），不等式xf(x)≥1的解集为A；（1）求实数k的值；（2）设集合B={x|ax2﹣2x+2＞0}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．20．（12分）如图，设计一幅矩形宣传画，要求画面面积为96cm2，画面上下边要留3cm空白，左右要留2cm空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？21．（12分）对于函数f（x），称满足f（x0）=x0的x0为f（x）的“不动点”，称满足f[f（x0）]=x0的x0为f（x）的“稳定点”．（1）求函数f（x）=x2的“不动点”；（2）求函数f（x）=|x﹣1|的“稳定点”；（3）已知函数y=f（x）=axx+b（a≠0，a≠±1，a≠2）有无数个“稳定点”，若x∈{x|1≤x≤2且x≠﹣b}，求y的取值范围．（用a表示）．2016-2017学年上海市杨浦区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（5分）不等式|x﹣1|＜1的解是{x|0＜x＜2} ．【分析】由|x+a|＜b（b＞0），得﹣b＜x+a＜b．【解答】解：∵不等式|x﹣1|＜1，∴﹣1＜x﹣1＜1，解得0＜x＜2．∴不等式|x﹣1|＜1的解是{x|0＜x＜2}．故答案为：{x|0＜x＜2}．【点评】本题考查含绝对值不等式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式的性质的合理运用．2．（5分）设集合P={﹣3，0，2，4]，集合Q={x|﹣1＜x＜3}，则P∩Q={0，2} ．【分析】由P与Q，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵P={﹣3，0，2，4]，集合Q={x|﹣1＜x＜3}，∴P∩Q={0，2}，故答案为：{0，2}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）命题“若x2=1，则x=1”的否命题是若x2≠1，则x≠1．【分析】直接利用命题的否命题的定义，写出结果即可．【解答】解：命题的否命题是同时对条件与结论进行否定．命题“若x2=1，则x=1”的否命题是：若x2≠1，则x≠1；故答案为：若x2≠1，则x≠1；【点评】本题考查命题的否命题的定义，基本知识的考查．4．（5分）已知x ，y ∈R +，且x +4y=1，则xy 的最大值为 116 ． 【分析】变形为x 与4y 的乘积，利用 基本不等式求最大值【解答】解：xy =14x ⋅4y ≤14(x+4y 2)2=116，当且仅当x=4y=12时取等号． 故应填116． 【点评】考查利用基本不等式求最值，此为和定积最大型．5．（5分）已知f （2x +1）=x 2﹣2x ，则f （3）= ﹣1 ．【分析】【方法一】利用换元法求出f （x ）的解析式，再计算f （3）的值．【方法二】根据题意，令2x +1=3，求出x=1，再计算f （3）的值．【解答】解：【方法一】∵f （2x +1）=x 2﹣2x ，设2x +1=t ，则x=t−12， ∴f （t ）=(t−12)2﹣2×t−12=14t 2﹣32t +54， ∴f （3）=14×32﹣32×3+54=﹣1． 【方法二】∵f （2x +1）=x 2﹣2x ，令2x +1=3，解得x=1，∴f （3）=12﹣2×1=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了求函数的解析式以及利用函数的解析式求值的应用问题，是基础题目．6．（5分）若全集U=R ，函数y=√x −1的定义域为集合A ，则∁U A= （﹣∞，1） ．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求出集合A ，然后直接利用补集概念求解．【解答】解：由x ﹣1≥0，得x ≤1，即A=[1，+∞）又U=R ，所以∁U A=（﹣∞，1）．故答案为：（﹣∞，1）．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了补集及其运算，是基础题．7．（5分）已知集合M ⊊{4，7，8}，则这样的集合M 共有 7 个．【分析】根据M 为已知集合的真子集，确定出满足题意M 的个数即可．【解答】解：∵M ⊊{4，7，8}，∴这样的集合M 共有23﹣1=7（个），故答案为：7【点评】此题考查了子集与真子集，熟练掌握真子集的性质是解本题的关键．8．（5分）若ab ＜0，则b a +a b的最大值为 ﹣2 ． 【分析】ab ＜0，则b a +a b=﹣(−b a −a b )，利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵ab ＜0，则b a +a b=﹣(−b a −a b )≤﹣2√−b a ⋅a −b =﹣2，当且仅当a=﹣b ＜0时取等号．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（5分）若不等式ax 2+5x ﹣2＞0的解集是{x|12＜x ＜2}，则不等式ax 2﹣5x +（a 2﹣1）＞0的解集是 (−3，12) ．【分析】先由二次不等式的解集形式，判断出 12，2是方程ax 2+5x ﹣2=0的两个根，利用韦达定理求出a 的值，再代入不等式ax 2﹣5x +a 2﹣1＞0易解出其解集．【解答】解：∵ax 2+5x ﹣2＞0的解集是 {x|12＜x ＜2}，∴a ＜0，且 12，2是方程ax 2+5x ﹣2=0的两根 韦达定理12×2=−2a，解得 a=﹣2； 则不等式ax 2﹣5x +a 2﹣1＞0即为﹣2x 2﹣5x +3＞0，解得 {x|−3＜x ＜12}故不等式ax 2﹣5x +a 2﹣1＞0的解集 (−3，12)．故答案为：(−3，12)【点评】本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及“三个二次”（三个二次指的是：二次函数，一元二次不等式，一元二次方程）之间的关系，“三个二次”之间的关系及应用是数形结合思想的典型代表．10．（5分）设α：1≤x ≤3，β：m +1≤x ≤2m +4，m ∈R ，若α是β的充分条件，则m 的取值范围是 ﹣12≤m ≤0 ． 【分析】根据充分必要条件的定义可得{m +1≤12m +4≥3即−12≤m ≤0， 【解答】解：∵α：1≤x ≤3，β：m +1≤x ≤2m +4，m ∈R ，若α是β的充分条件，令α：{x |1≤x ≤3}，β：{x |m +1≤x ≤2m +4，m ∈R ，}∴集合α⊆β，得{m +1≤12m +4≥3即−12≤m ≤0， ∴故答案为：−12≤m ≤0，【点评】本题考察了不等式，充分必要条件的定义，属于简单题目，难度不大．11．（5分）设x ，y 均为正实数，且xy ﹣2x ﹣2y=12，则xy 的取值范围为 [36，+∞） ．【分析】x ，y 均为正实数，且xy ﹣2x ﹣2y=12，可得xy=12+2x +2y ≥12+2×2√，化为：(√xy)2﹣4√xy ﹣12≥0，解出即可得出．【解答】解：∵x ，y 均为正实数，且xy ﹣2x ﹣2y=12，则xy=12+2x +2y ≥12+2×2√xy ，化为：(√xy)2﹣4√xy ﹣12≥0，即(√xy −6)(√xy +2)≥0，解得√xy ≥6，∴xy ≥36．当且仅当x=y=6时取等号．xy 的取值范围为[36，+∞）．故答案为：[36，+∞）．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）定义实数a ，b 间的计算法则如下：a △b={a ，a ≥b b 2，a ＜b，则函数y=（1△x ）△x ﹣（2△x ）的值域为 [﹣1，2] （其中﹣2≤x ≤2）【分析】根据新计算法则和﹣2≤x ≤2，分别求出（1△x ）△x 和（2△x ）代入求出即可．【解答】解：由新计算法则（1△x ）={1，−2≤x ≤1x 2，1＜x ≤2，2△x=2 函数y=（1△x ）△x ﹣（2△x ）={−1，−2≤x ≤1x 2−2，1＜x ≤2函数的值域为[﹣1，2]．故答案为[﹣1，2]．【点评】本题考查了新定义问题，考查了函数解析式的求法，是一道中档题．二、选择题13．（5分）若x ∈R ，则“x ＞2”是“x 2＞4”的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 【分析】根据充分必要条件的定义分别判断充分性和必要性即可．【解答】解：若x ＞2，则x 2＞4，是充分条件，若x 2＞4，则x ＞2，不是必要条件，故选：A ．【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题．14．（5分）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释．A ．如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞cB ．如果a ＞b ＞0，那么a 2＞b 2C ．对任意实数a 和b ，有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a=b 时等号成立D ．如果a ＞b ，c ＞0那么ac ＞bc【分析】可将直角三角形的两直角边长度取作a ，b ，斜边为c （c 2=a 2+b 2），可得外围的正方形的面积为c 2，也就是a 2+b 2，四个阴影面积之和刚好为2ab ，可得对任意正实数a 和b ，有a 2+b 2≥2ab ，即可得出．【解答】解：可将直角三角形的两直角边长度取作a ，b ，斜边为c （c 2=a 2+b 2）， 则外围的正方形的面积为c 2，也就是a 2+b 2，四个阴影面积之和刚好为2ab ， 对任意正实数a 和b ，有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a=b 时等号成立．故选：C ．【点评】本题考查了基本不等式的性质、正方形的面积计算公式，考查了推理能力，属于基础题．15．（5分）已知x ∈R ，则下列f （x ）与g （x ）表示同一个函数的是（ ）A ．f （x ）=x ，g （x ）=√x 3B ．f （x ）=1，g （x ）=（x ﹣1）0C ．f （x ）=(√x)2x ，g （x ）=(√x)2D ．f （x ）=x 2−9x+3，g （x ）=x ﹣3 【分析】逐一分析给定五组函数的定义域和解析式是否一致，进而根据同一函数的定义，可得答案．【解答】解：f （x ）=x 与g （x ）=√x 3=x 解析式与定义域均相同，是同一函数； f （x ）=1与g （x ）=（x ﹣1）0，（x ≠1）定义域不同，不是同一函数；f （x ）=(√x)2x =1，（x ≥0）与g （x ）=(√x)2=1，（x ＞0）定义域不同，不是同一函数；f（x）=x2−9x+3=x﹣3，（x≠﹣3）与g（x）=x﹣3定义域不同，不是同一函数；故选：A【点评】本题考查的知识点是同一函数，正确理解同一函数的定义，是解答的关键．16．（5分）若1a＜1b＜0，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜ab，④a3＞b3，不正确的不等式的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由条件可得0＞a＞b，代入各个选项，检验各个选项是否正确．【解答】解：由1a＜1b＜0，可得0＞a＞b，∴|a|＜|b|，故①②不成立；∴a+b＜0＜ab，a3＞b3都成立，故③④一定正确，故选C．【点评】本题考查不等式的性质的应用，解题的关键是判断出0＞a＞b．三、解答题.17．（12分）已知a∈R．（1）求证：a2≥2a﹣1；（2）解关于x的不等式（x﹣2）（x﹣a）＜0．【分析】（1）利用作差即可求证．（2）求解方程x﹣2）（x﹣a）=0两个根，对a进行讨论可得不等式的解集．【解答】（1）证明：a2≥2a﹣1；令y=a2﹣2a+1=（a﹣1）2≥0，即a2≥2a﹣1；解：（2）不等式（x﹣2）（x﹣a）＜0．可得方程（x﹣2）（x﹣a）=0的两个根分别为x1=2，x2=a．当a＜2时，原不等式的解集为{x|a＜x＜2}；当a=2时，即（x﹣2）2（＜0．原不等式无解．当a＞2时，原不等式的解集为{x|2＜x＜a}；【点评】本题考查不等式的解法，二次不等式的讨论思想，考查运算能力，属于基础题．18．（12分）若不等式|x﹣2|﹣2＜0的解集为A，函数g（x）=√x2+x−2的定义域为B，U=R，求A、B及A∪∁U B．【分析】运用绝对值不等式和二次不等式的解法，化简集合A，B，再由补集和并集的定义，即可得到所求集合．【解答】解：不等式|x﹣2|﹣2＜0，即有|x﹣2|＜2，即﹣2＜x﹣2＜2，即0＜x＜4，A={x|0＜x＜4}；而B={x|x2+x﹣2≥0}={x|x≥1或x≤﹣2}，∁U B={x|﹣2＜x＜1}，则A∪∁U B={x|﹣2＜x＜4}．【点评】本题考查集合的化简和运算，注意运用绝对值不等式和俄日此不等式的解法，以及并集和补集的定义，属于中档题．19．（12分）已知f（x）=kx+2，不等式|f（x）|＜3的解集为（﹣1，5），不等式xf(x)≥1的解集为A；（1）求实数k的值；（2）设集合B={x|ax2﹣2x+2＞0}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据不等式|f（x）|＜3的解集为（﹣1，5），即可求解k的值；（2）不等式xf(x)≥1，利用移项，通分，转化不等式求解A．集合B={x|ax2﹣2x+2＞0}，A∩B≠∅，集合A，B由公共解，从而求解实数a的取值范围．【解答】解：（1）不等式|f（x）|＜3的解集为（﹣1，5），即﹣3＜kx+2＜3．可得：﹣5＜kx＜1，∵不等式的解集为（﹣1，5），则k=﹣1．（2）由不等式x f(x)≥1，即x −x+2≥1， 可得：x+x−22−x≥0 等价于（2x ﹣2）（2﹣x ）≥0，且2﹣x ≠0．可得不等式的解集A={x |1＜x ＜2}．集合B={x |ax 2﹣2x +2＞0}，令g （x ）=ax 2﹣2x +2∵A ∩B ≠∅，当a=0，可得2＞2x ，则x ＜1，此时A ∩B=∅，当a ≠0，当A ∩B=∅，则{ a ＞0f(1)＜0f(2)＜0或{a ＜0f(1)＞0f(2)＞0 解得：a ＜0，那么A ∩B ≠∅，则a ≥0．综上可得a ＞0．即实数a 的取值范围是（0，+∞）．【点评】本题考查不等式的解法，主要考查分式不等式的解法与集合的有解问题，转化为二次不等式问题，考查运算能力，属于中档题．20．（12分）如图，设计一幅矩形宣传画，要求画面面积为96cm 2，画面上下边要留3cm 空白，左右要留2cm 空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？【分析】设画面高为xcm ，宽为ycm ，依意有xy=96，x ＞0，y ＞0，可得所需纸张面积S=（x +6）（y +4）=xy +6y +4x +24，即S=120+6y +4x ，x ＞0，y ＞0，xy=96，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设画面高为xcm ，宽为ycm ，依意有xy=96，x ＞0，y ＞0，则所需纸张面积S=（x +6）（y +4）=xy +6y +4x +24，即S=120+6y +4x ，∵x ＞0，y ＞0，xy=96∴6y +4x ≥2√24xy =96，当且仅当6y=4x ，即x=12，y=8时等号成立．即当画面高为12cm ，宽为8cm 时，所需纸张面积最小为216cm 2．【点评】本题考查了矩形面积、一元二次不等式的解法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）对于函数f （x ），称满足f （x 0）=x 0的x 0为f （x ）的“不动点”，称满足f [f （x 0）]=x 0的x 0为f （x ）的“稳定点”．（1）求函数f （x ）=x 2的“不动点”；（2）求函数f （x ）=|x ﹣1|的“稳定点”；（3）已知函数y=f （x ）=ax x+b （a ≠0，a ≠±1，a ≠2）有无数个“稳定点”，若x∈{x |1≤x ≤2且x ≠﹣b }，求y 的取值范围．（用a 表示）．【分析】（1）令f （x ）=x ，即x 2=x ，可得函数f （x ）=x 2的“不动点”；（2）令f [f （x ）]=x ，即||x ﹣1|﹣1|=x ，可得函数f （x ）=|x ﹣1|的“稳定点”；（3）若函数y=f （x ）=ax x+b （a ≠0，a ≠±1，a ≠2）有无数个“稳定点”，即a⋅ax x+bax x+b +b =x 有无数个解，即（a +b ）x 2+（b 2﹣a 2）x=0有无数个解，故a +b=0，即a=﹣b ，分析函数的单调性，进而可得y 的取值范围．【解答】解：（1）令f （x ）=x ，即x 2=x解得：x=0，或x=1，即函数f （x ）=x 2的“不动点”为0和1；（2）令f [f （x ）]=x ，即||x﹣1|﹣1|=x易得：x≥0当x∈[0，1]时，||x﹣1|﹣1|=|1﹣x﹣1|=|﹣x|=x恒成立，当x∈[1，+∞）时，||x﹣1|﹣1|=|x﹣1﹣1|=|x﹣2|=x恒不成立，故[0，1]上的每一个数均为函数f（x）=|x﹣1|的“稳定点”；（3）若函数y=f（x）=axx+b（a≠0，a≠±1，a≠2）有无数个“稳定点”，即a⋅ax x+b axx+b +b=x有无数个解，即（a+b）x2+（b2﹣a2）x=0有无数个解，故a+b=0，即a=﹣b，则f（x）=axx+b=axx−a=a+a2x−a，当x∈{x|1≤x≤2且x≠﹣b}，即x∈{x|1≤x≤2且x≠a}时，f（x）为减函数，故当x=1时，函数取最大值a1−a，故当x=2时，函数取最小值2a2−a，故y∈[2a2−a，a1−a]【点评】本题考查的知识点是不动点和稳定点的定义，函数的值域，难度中档．。

杨浦区统考高三期中数学卷2019.11一. 填空题1. 函数2y x =+的定义域为2. 方程lg(23)2lg x x +=的解为3. 在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面11BB D D 所成角的大小等于4. 已知角α的终边经过点(1,2)P - (始边为x 轴正半轴)，则sin2α=5. 在101()x x -的展开式中，常数项等于 （结果用数值表示）6. 若0x >，0y >，且21x y +=，则xy 的最大值为7. 已知幂函数()y f x =的图像经过点(4,2)P ，则它的反函数1()f x -为8. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取5个不同的数，中位数为4的取法有 种 （用数值表示）9. 已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为65π、面积为15π，则该圆锥 的体积为10. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2b =，sin 3cos A B a = 则△ABC 的面积的最大值等于11. 在高中阶段，我们学习过函数的概念、性质和图像，以下两个结论是正确的：① 偶函数()f x 在区间[,]a b （a b <）上的取值范围与在区间[,]b a --上的取值范围是相同的；② 周期函数()f x 在一个周期内的取值范围也就是()f x 在定义域上的值域，由此可求函数 ()2|sin |19|cos |g x x x =+的值域为12. 定义在实数集R 上的偶函数()f x 满足2(1)12()()f x f x f x +=+-，则2019()2f =二. 选择题13. 已知x ∈R ，则“sin 1x =” 是“cos 0x =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件14. 某班有20名女生和19名男生，从中选出5人组成一个垃圾分类宜传小组，要求女生和男生均不少于2人的选法共有（ ）A. 221201935C C C ⋅⋅B. 555392019C C C --C. 514413920192019C C C C C --D. 233220192019C C C C +15. 已知二面角l αβ--是直二面角，m 为直线，γ为平面，则下列命题中真命题为（ ）A. 若m α⊂，则m β⊥B. 若m α⊥，则m ∥βC. 若m ∥α，则m β⊥D. 若γ∥α，则γβ⊥16. 记有限集合M 中元素的个数为||M ，且||0∅=，对于非空有限集合A 、B ，下列结论：① 若||||A B ≤，则A B ⊆； ② 若||||A B A B =U I ，则A B =；③ 若||0A B =I ，则A 、B 中至少有个是空集；④ 若A B =∅I ，则||||||A B A B =+U ； 其中正确结论的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4三. 解答题17. 在正三棱柱111ABC A B C -中，,E F 分别为棱11A B ，11AC 的中点，去掉三棱维1A AEF -得到一个多面体11ABC B C FE -，已知6AB =，14BB =.（1）求多面体11ABC EFC B -的体积；（2）求异面直线AE 与BC 所成角的大小.18.《上海市生活垃圾管理条例》于2019年7月1日正式实施，某小区全面实施垃圾分类处理，已知该小区每月垃圾分类处理量不超过300吨，每月垃圾分类处理成本y （元）与每月分类处理量x （吨）之间的函数关系式可近似表示为220040000y x x =-+，而分类处理一吨垃圾小区也可以获得300元的收益.（1）该小区每月分类处理多少吨垃圾，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低；（2）要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理量应控制在什么范围？19. 已知a 是实常数，函数()lg(1)lg(1)f x a x x =--+.（1）若1a =，求证：函数()y f x =是减函数；（2）讨论函数()f x 的奇偶性，井说明理由.20. 如图是函数()sin )(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤≤（一个周期内的图像将()f x 图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，极坐标不变，再把所得图像向右平移2π个单 位长度，得到函数()g x 的图像.（1）求函数()f x 和()g x 的解析式；（2）若00()()f x g x =，求0sin()3x π-的所有可能的值；（3）求函数()()()F x f x ag x =+（a 为正常数）在区间(0,19)π内的所有零点之和.21. 对于定义在D 上的函数()y f x =，如果存在两条平行直线11:l y kx b =+与22:l y kx b =+12()b b ≠，使得对于任意x D ∈，都有12()kx b f x kx b +≤≤+恒成立， 那么称函数()y f x =是带状函数，若1l ，2l 之间的最小距离d 存在，则称d 为带宽.（1）判断函数()sin cos f x x x =+是不是带状函数？如果是，指出带宽（不用证明）； 如果不是，说明理由；（2）求证：函数2()1g x x =-（1x ≥）是带状函数；（3）求证：函数12()||||h x a x x b x x =-+-（12x x <）为带状函数的充要条件是0a b +=.参考答案一. 填空题1. {|2}x x ≥-2. 3x =3. 30°4. 45-5. 252-6.18 7. 2x (0)x ≥ 8. 30 9. 12π 10.3 11. 365] 12. 22+二. 选择题13. A 14. D 15. D 16. B三. 解答题17.（1）3332）3arccos 10. 18.（1）200吨；（2）[100,300].19.（1）略；（2）当1a =-，偶函数；当1a =，奇函数，当1a ≠±，非奇非偶函数.20.（1）()2cos2f x x =，()2sin g x x =；（2）12-或1；（3）当1a =，266π； 当01a <<，361π；当1a >，171π.21.（1）是，带宽22（2）略；（3）略.。

2016年上海市浦东新区高三上学期数学期中考试试卷一、填空题（共12小题；共60分）1. 设全集，集合，，则．2. 函数的反函数为，则．3. ，则函数的值域是．4. 已知集合，，则．5. 如图，正三棱柱中，有，则与平面所成的角的正弦值为．6. 已知一组数据、、、、的平均数是，则这组数据的中位数是．7. 若不等式的解集中的整数有且仅有，，，则的取值范围．8. 的展开式中的系数是．9. 从总体中抽取一个样本：，，，，，则总体标准差的估计值为．10. 已知是奇函数，且，若，则．11. 已知，，且，则使成立的的集合是．12. 在中，两直角边分别为，，设为斜边上的高，则，由此类比：三棱锥中的三条侧棱，，两两垂直，且长度分别为，，，设棱锥底面上的高为，则．二、选择题（共6小题；共30分）13. “”是“在定义域内为增函数”的条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要14. 如图，直线，相交于点且，成角，过点与，都成角的直线有A. 条B. 条C. 条D. 条15. 有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本，若将其随机地并排放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为A. B. C. D.16. 已知三个球的半径，，满足，则它们的表面积，，满足的等量关系是A. B.C. D.17. 已知函数则不等式的解集是A. B. C. D.18. 我们定义渐近线：已知曲线，如果存在一条直线，当曲线上任意一点沿曲线运动时，可无限趋近于该直线但永远达不到，那么这条直线称为这条曲线的渐近线：下列函数：①；②；③；④；其中有渐近线的函数的个数为A. B. C. D.三、解答题（共5小题；共65分）19. 用一个半径为的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图所示，求它的最高点到桌面的距离．20. 已知全集，集合，，，求，．21. 如图：三棱锥中，底面，若底面是边长为的正三角形，且与底面所成的角为．若是的中点，求：（1）三棱锥的体积；（2）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．22. 甲厂以千克/小时的速度生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是元．（1）写出生产该产品小时可获得利润的表达式；（2）要使生产该产品小时获得的利润不低于元，求的取值范围．23. 已知函数；（1）作出函数的图象；（2）根据（）所得图象，填写下面的表格：性质定义域值域单调性奇偶性零点（3）关于的方程（）恰有个不同的实数解，求的取值范围．答案第一部分1.【解析】因为全集，集合，，所以，所以．2.【解析】根据函数与它的反函数的定义域和值域互换，令函数，其中，解得；所以．3.【解析】因为，则，；那么：函数，当且仅当时取等号．所以函数的值域是．4.【解析】因为集合，，所以．5.【解析】取的中点，连接，，则，正三棱柱中，所以面面，面面，所以面，所以就是与平面所成的角，在中，因为，．6.7.【解析】因为，又由已知解集中的整数有且仅有，，，故有．8.【解析】由题意，二项式的展开式通项是，故展开式中的系数是．9.【解析】样本数据：，，，，的平均数为：，方差为，所以标准差为．10.【解析】由题意，是奇函数，且，所以解得，所以．11. 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为【解析】，即，．当时，上述不等式等价于解得；当时，原不等式等价于解得．综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．12.【解析】因为，，两两互相垂直，，，在平面内，所以平面．设在平面内部，且，由已知有：，，所以，即．第二部分13. A 【解析】当时，，在定义域内为增函数，则在定义域内为增函数成立，即充分性成立，若，，在定义域内为减函数，满足在定义域内为增函数，此时不成立，即必要性不成立，故“”是“在定义域内为增函数”的充分不必要条件．14. C 【解析】在，所确定的平面内有一条如图，平面外有两条．如图：15. A【解析】有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本，将其随机地并排放到书架的同一层上，基本事件总数，同一科目的书都相邻包含的基本事件个数，所以同一科目的书都相邻的概率为．16. C 【解析】因为，所以，同理：，，由，得．17. A 18. C 【解析】对于①，根据渐近线的定义，不存在渐近线；对于②是由的图象向上平移个单位得到，其渐近线方程为；对于③是由向右平移一个单位得到，其渐近线方程为；对于④，其渐近线方程为，；综上，有渐近线的函数的个数为个．第三部分19. 如图所示，设为轴截面，过点作，，解得，所以是等边三角形，所以．所以它的最高点到桌面的距离为．20. 由，得．由，得 ． 由 ，得 ． 所以 ， ．21. （1） 因为 底面 ， 与底面 所成的角为，所以， 因为 ， 所以 ，．（2） 连接 ，取 的中点，记为 ，连接 ，则 ，所以 为异面直线 与 所成的角， 计算可得： ， ， ，， 异面直线 与 所成的角为． 22. （1） 设生产该产品 小时可获得利润为 ，则元， ， ．（2） 由题意可得：，化为： ， ． 解得 ．所以 的取值范围是 ．23. （1） 函数．作出函数的图象如图：（2）由函数的图象得函数的定义域为，函数的值域为，在和上单调递增，在和单调递减，函数关于轴对称，是偶函数，函数与轴没有交点，无零点．即：性质定义域值域单调性奇偶性零点在上单调增偶函数无零点在上单调减（3）因为，且函数为偶函数，所以令，则方程等价为，则由图象可知，当时，方程有个不同的根，当时，方程有个不同的根．当或时，方程有个不同的根，若方程（）恰有个不同的实数解，等价为方程（）恰有个不同的实数解，即有两个不同的根，其中，，则．。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得极值，则a的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a ≠ 0D. a = 02. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项an = （）A. 19B. 21C. 23D. 253. 若复数z满足|z - 1| = 2，则复数z的取值范围是（）A. |z| = 3B. |z| = 2C. |z| = 1D. |z| = 04. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 5，b = 7，c = 8，则角A的余弦值为（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/45. 已知函数f(x) = log2(x + 1) - x，则f(x)的单调递增区间是（）A. (-1, +∞)B. (-∞, -1)C. (-∞, 0)D. (0, +∞)6. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/47. 若等比数列{an}的首项a1 = 1，公比q = 2，则第5项an = （）A. 16B. 32C. 64D. 1288. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的极值点为（）A. x = -1B. x = 0C. x = 1D. x = 39. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点Q的坐标是（）A. (2, 3)B. (3, 2)C. (3, 3)D. (2, 2)10. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 1，an = an-1 + 2n，则S5 = （）A. 25B. 30C. 35D. 40二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 若等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，则第10项an = ________。

2017学年 杨浦区 高三年级第一学期 模拟卷2016.11.03一、填空题（每小题4分，共56分）1、命题：若“b a >”则“ba 11<”是________命题（填“真”、“假”） 2、已知集合}5,3,2,1{},5,3{},,3,1{===B A B m A ，则____=m3、函数x x x f -++=211)(的定义域是________ 4、已知32sin =θ，则_____22sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθ 5、若函数)(x g 与)0(8)(2<-=x x x f 的图像关于直线x y =对称，则____)1(=g6、一个高为2的圆柱，底面周长为π2，该圆柱的表面积为______7、已知6143+=+n n n C C C （5≥n 且*N n ∈），则_____=n 8、圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为π2cm ，半径为2cm ，则该圆锥的体积为________3cm9、已知()53cos ,02,20=-<<-<<βαβππα，且43tan =α，则_____sin =β 10、设二项式()n x 13+的展开式的二项式系数的和为p ，各项系数的和为q ，且q p =+6430，则n 的值为________11、若函数xx x f 4)(2+=在],1[a 上的值域为]5,4[，则a 的取值范围是_______ 12、设函数)(1)(Q x x f ∈+=αα的定义域为],[],[b a a b --，其中b a <<0；若函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值为5，最小值为2，则)(x f 在区间],[a b --上的最大值与最小值的和为_______13、已知C B A ,,是某个三角形的三个内角，给出下列四组数据：（1）C B A sin ,sin ,sin ；（2）C B A 222sin ,sin ,sin ；（3）C B A sin ,sin ,sin ；（4）C B A sin 1,sin 1,sin 1分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的数组的序号是_________14、设函数)(x f 的定义域为D ，]3,0[π⊆D ，它的对应法则为x x f sin :→，现已知)(x f 的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,21,0，则这样的函数共有_______个 二、选择题（每小题5分，共20分）15、“)(32Z k k x ∈+=ππ”是“23sin =x ”成立的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件16、现有5个人排成一排照相，其中甲、乙两人不相邻的排法的种数为 （ ）A. 6B. 36C. 72D. 11617、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水平时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 （ ）A.33256cm π B. 33500cm π C. 33866cm π D. 331372cm π 18、德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命的函数⎩⎨⎧∈∈=QC x Q x x f R 01)(被命名为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，则关于函数)(x f 有如下四个命题：（1）函数)(x f 存在反函数； （2）函数)(x f 是偶函数；（3）取一个不为零的有理数T ，)()(x f T x f =+对任意的R x ∈恒成立；（4）存在三个点()()())(,,)(,,)(,332211x f x C x f x B x f x A ，使得ABC ∆为等边三角形，其中真命题的个数是 （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4三、解答题（74分）19、（6+6=12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ，2==AD PA ，1=AB ，E 是PB 的中点；（1）求证：BC PB ⊥；（2）求异面直线EC 和AD 所成的角（结果用反三角函数值表示）：20、（8+6=14分） 已知在()nx x 3+的二项展开式中，第三项的二项式系数为66；（1）求二项展开式中所有的有理项；（2）在二项展开式的所有项中选出5项，要求选出的5项中至少有2项是有理项，共有多少种不同的选法？如图，某小区准备在长为8千米的道路OP 的一侧修建一条市民健身跑道，跑道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数)0,0(sin >>=ωωA x A y ，]4,0[∈x 的图像，且图像的最高点为)32,3(S ，跑道的后一部分为折线段MNP ，这保证市民健身的安全，限定32π=∠MNP ；（1）求P M ,两点间的直线距离；（2）求折线段跑道MNP 长度的最大值；设常数R a ∈，已知函数aa x f x x -+=22)(为奇函数； （1）求实数a 的值；（2）判断函数)(x f 在定义域上是否为增函数？并证明你的结论；（3）若0<a ，设⎪⎭⎫⎝⎛+=k x x g 1l og 2)(2，且不等式)()(1x g x f ≤-在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,31上恒成立，求实数k 的取值范围；对于函数)(x g ，若存在函数)(x f 和常数a ，使)()()(α+=x f x f x g 成立，则称)(x g 是由)(x f 生成的；（1）设x x x g x x g cos sin )(,2cos )(+==，求证：)(x g 可由)(x f 生成；（2）已知)(,212)(x g x f x x +=由)(x f 生成，若)(x g 的最小值为6，求常数α的值； （3）已知)(,)(x g x x f =是由)(x f 生成的，若对任意]1,1[,21-∈x x ，有4)()(21≤-x g x g ，求α的取值范围；。

2016届杨浦高级中学月考卷数学考试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．抛物线2yx =的焦点坐标为_______________．1(,0)42．已知全集{2,1,0,1,2}U =--，集合2|,,1A x x x Z n Z n ⎧⎫==∈∈⎨⎬-⎩⎭，则A U=_________．{0}3． 如果131lim 3(1)3n n n n a +→∞=++,则a 的取值范围是______________.(4,2)- 4．关于x 的方程:4|42|3xx⋅-=的解为_______________．4log 3x =5．不等式1001lg 20111xx x-≥-的解集为______________.2(0,](1,)3⋃+∞6．向量a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示.若(,R)λμλμ+∈c =a b ,则λμ=__________。

47． 已知数列{}n a 满足111,2n n n aa a +==（*n ∈）,则2na =____________．2n8． 在10(2)x y z ++的展开式中，325x y z 的系数为_____________．20160 9．(理）在极坐标系中,将圆2ρ=沿着极轴正方向平移两个单位后,再绕极点极逆时针旋转4π弧度,则所得的曲线的坐标方程为abc主视图 俯视图左视图_____________．4cos()4πρθ=-(文）一个几何体的三视图如图所示。

若该几何体的表面积为92,则其高h =_____________．410. 5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车。

小火车的车厢共有4节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的,则这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的概率是___________．3125611. 已知定义在R 上的函数()y f x =对于任意的x 都满足(2)()f x f x +=．当11x -≤<时，3()f x x =。

黄浦区2015学年度第一学期高三年级期终调研测试数学试卷（文科) 2016年1月 考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码；3．本试卷共23道试题,满分150分；考试时间120分钟．一、填空题（本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分,否则一律得零分．1．不等式|1|1x -<的解集用区间表示为 ． (0,2)2．函数22cossin y x x=-的最小正周期是 ．π 3．直线321xy =的一个方向向量可以是 ．(2,1)4．若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球,则该球的半径为 ．5．若无穷等比数列中的任意一项均等于其之后所有项的和,则其公比为 ．126．若函数sin y a x =+在区间[,2]ππ上有且只有一个零点，则a = ． 1 7．若函数()f x a 的取值范围为 ． (1,)+∞8．若对任意不等于1的正数a ，函数2()x f x a +=的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是 ．(1,2)-9．在()na b +的二项展开式中,若二项式系数的和为256，则二项式系数的最大值为 （结果用数字作答)．7010．在△ABC 中,若cos(2)sin()2A C B B C A +-++-=,且2AB =，则BC = ．11．为强化安全意识,某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么选择的2天恰好为连续2天的概率是(结果用最简分数表示)．2512．已知*k ∈N ,若曲线222x y k +=与曲线xy k =无交点，则k = ． 113．已知点(,0)M m （0m >)和抛物线C :24y x =，过C 的焦点F 的直线与C 交于A 、B 两点，若2AF FB =，且||||MF MA =，则m = ． 11214．若非零向量a ，b ,c 满足230a b c ++=，且a b b c c a ⋅=⋅=⋅,则b 与c 的夹角为 ．43π二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分,否则一律得零分． 15．已知复数z ,“0z z +="是“z 为纯虚数”的 ［答］ ( B )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．已知x ∈R ,下列不等式中正确的是 ［答] （ C ）．A ．1123xx> B ．221111x x x x >-+++ C ．221112x x >++ D ．2112||1x x >+17．已知P 为直线y kx b =+上一动点，若点P 与原点均在直线20x y -+=的同侧，则k 、b 满足的条件分别为 [答] （ A )．A ．1k =,2b <B ．1k =，2b >C ．1k ≠,2b <D ．1k ≠,2b >18．已知1a ，2a ,3a ，4a 是各项均为正数的等差数列，其公差d 大于零．若线段1l ，2l ,3l ，4l 的长分别为1a ，2a ，3a ,4a ,则 [答］ （ C ）．A ．对任意的d ，均存在以1l ,2l ，3l 为三边的三角形 B ．对任意的d ，均不存在以1l ,2l ，3l 为三边的三角形 C ．对任意的d ，均存在以2l ,3l ,4l 为三边的三角形D ．对任意的d ，均不存在以2l ,3l ，4l 为三边的三角形三、解答题（本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知三棱柱ABC A B C '''-的底面为直角三角形,两条直角边AC 和BC 的长分别为4和3,侧棱AA '的长为10．(1)若侧棱AA '垂直于底面，求该三棱柱的表面积． （2）若侧棱AA '与底面所成的角为60︒，求该三棱柱的体积．［解］（1）因为侧棱AA '⊥底面ABC ，所以三棱柱的高h 等于侧棱AA '的长，而底面三角形ABC 的面积162S AC BC =⋅=，(2分）周长43512c =++=，（4分)于是三棱柱的表面积2132ABCS ch S ∆=+=全．（6分）(2)如图，过A '作平面ABC 的垂线，垂足为H ，A H '为三棱柱的高．（8分)因为侧棱AA '与底面所成的角为60︒，所以60A AH '∠=︒，可计算得sin60A H AA ''=⋅︒=．（9分）又底面三角形ABC 的面积6S =，故三棱柱的体积6V S A H '=⋅=⨯(12分）20．（本题满分12分）本题共有2个小题,第1小题满分5分，第2小题满分7分．A BC A 'B 'C 'H如图，已知点A 是单位圆上一点，且位于第一象限，以x 轴的正半轴为始边、OA 为终边的角设为α，将OA 绕坐标原点逆时针旋转2π至OB ．（1)用α表示A 、B 两点的坐标；(2）M 为x 轴上异于O 的点，若M A M B ⊥,求点M 横坐标的取值范围． ［解]（1）由题设,A 点坐标为(cos ,sin )αα，(2分) 其中222k k αππ<<π+（k ∈Z ）．（3分）因为2AOB π∠=，所以B 点坐标为cos ,sin 22αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即(sin ,cos )αα-．（5分） （2）设(,0)M m (0m ≠）,于是(cos ,sin )MA m αα=-，(sin ,cos )MB m αα=--,因为M A M B ⊥，所以0MA MB ⋅=，即(cos )(sin )sin cos 0m m αααα---+=，(8分）整理得2(cos sin )0m m αα--=,由0m ≠,得cos sin 2cos 4m αααπ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭,(10分）此时222k k αππ<<π+，且24k απ≠π+，于是22444k k αππ3ππ+<+<π+，且242k αππ+≠π+（k ∈Z ）得22cos 242απ⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭，且cos 04απ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭．因此，点M 横坐标的取值范围为(1,0)(0,1)-．（12分）21．（本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图,某地要在矩形区域OABC 内建造三角形池塘OEF ,E 、F 分别在AB 、BC 边上．5OA =米,4OC =米,4EOF π∠=，设CF x =,AE y =．(1）试用解析式将y 表示成x 的函数；（2）求三角形池塘OEF 面积S 的最小值及此时x 的值．［解]（1）直角三角形AOE 中，tan 5y AOE ∠=，直角三角形COF 中，tan 4xCOF ∠=．正方形OABC 中，由4EOF π∠=，得4AOE COF π∠+∠=，于是tan()1AOE COF ∠+∠=，代入并整理得5(4)4x y x-=+．(4分)O AB CFE Axy OB1因为05x ≤≤，04y ≤≤，所以5(4)044x x-+≤≤,从而449x ≤≤．（6分）因此，5(4)4x y x-=+ (449x ≤≤）．（2）()OABCOAE OCF EBF S SS S S ∆∆∆=-++1154[54(4)(5)](20)22y x y x xy =⨯-++--=-，（8分)将5(4)4x y x-=+代入上式，得25(16)532(4)82(4)24x S x x x +⎡⎤==++-⎢⎥++⎣⎦,（10分）当449x ≤≤时,3244x x +++≥当且仅当1)x =时,上式等号成立．(12分） 因此,三角形池塘OEF 面积的最小值为1)平方米，此时1)x =米．（14分)综上,a ，b 满足的关系式为22111a b +=．22．(本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知1a ，2a ，…，na 是由n (*n ∈N )个整数1,2，…，n 按任意次序排列而成的数列，数列{}nb 满足1kkbn a =+-（1,2,,k n=）．（1）当3n =时，写出数列{}na 和{}nb ，使得223a b =．（2）证明：当n 为正偶数时，不存在满足kkab =（1,2,,k n=）的数列{}na ．(3)若1c ,2c ,…,nc 是1,2，…，n 按从大到小的顺序排列而成的数列，写出kc (1,2,,k n=)，并用含n 的式子表示122nc cnc +++．(参考：222112(1)(21)6n n n n +++=++．）[解］（1)12a =,23a =，31a =;12b =,21b =,33b =．(2分)11a =,23a =,32a =；13b =,21b =，32b =．（4分) ［证明］（2）若kka b =（1,2,,k n =），则有1kka n a =+-,于是12kn a+=．(6分）当n 为正偶数时，1n +为大于1的正奇数，故12n +不为正整数．因为1a ，2a ，…,na 均为正整数，所以不存在满足kka b =（1,2,,k n =）的数列{}na ．(10分）［解]（3)(1)kc n k =--(1,2,,k n =）．（12分）因为(1)k c n k =+-，于是122(1)12[(1)2][(1)]nc c nc n n n n n +++=+-++-+++-(14分)222(12)(1)(12)n n n =++++-+++ （16分）2111(1)(1)(21)(1)(2)266n n n n n n n n =+-++=++．（18分）23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知椭圆Γ：22221x y a b +=(0a b >>)，过原点的两条直线1l 和2l 分别与Γ交于点A 、B 和C 、D ，得到平行四边形ACBD ．（1）若4a =，3b =，且ACBD 为正方形,求该正方形的面积S ． （2）若直线1l 的方程为0bx ay -=,2l 和1l 关于y 轴对称，Γ上任意一点P 到1l 和2l 的距离分别为1d 和2d ,证明：222212222a b d d a b +=+．(3）当ACBD 为菱形,且圆221x y +=内切于菱形ACBD 时，求a ，b 满足的关系式．[解］（1)因为ACBD 为正方形，所以直线1l 和2l 的方程为y x =和y x =-．(1分）点A 、B 的坐标11(,)x y 、22(,)x y 为方程组22,1169y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩的实数解,将y x =代入椭圆方程，解得221214425xx ==．根据对称性，可得正方形ACBD 的面积21745625S x==．(4分）[证明］（2）由题设,直线2l 的方程为0bx ay +=,（6分）于是1d =,2d =,(8分）22222222221222222222()()2()2bx ay bx ay b x ay a b d d b a b a b aa b -+++=+==++++．（10分）［解］(3）设AC 与圆221x y +=相切的切点坐标为0(,)x y ，于是切线AC 的方程为01x x y y +=．点A 、C 的坐标11(,)x y 、22(,)x y 为方程组22220011x y x x y y ab ⎧+=+=⎪⎨⎪⎩的实数解．① 当0x=或0y=时，ACBD 均为正方形，椭圆均过点(1,1)，于是有22111a b +=．(11分）② 当0x≠且0y≠时,将001(1)y x x y =-代入22221x y a b +=，整理得222222222000()2(1)0b y a x x x a x a b y +-+-=，于是222012222200(1)a b y x x b y a x -=+,（13分)同理可得222012222200(1)b a x y y b y a x -=+．(15分）因为ACBD 为菱形，所以AO CO ⊥，得0AO CO ⋅=，即12120x x y y +=，（16分）于是22222200222222220(1)(1)0a b y b a x b y a x b y a x--+=++,整理得22222200()a b a b x y +=+，由22001x y +=,得2222ab a b +=，即22111ab+=．（18分）综上，a ,b 满足的关系式为22111ab+=．。

杨浦区2016数学三模答案【篇一：2016年上海市杨浦区中考数学三模试卷含答案解析】class=txt>一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，满分24分1．下列分数中，能化为有限小数的是（）a． b． c． d．2．下列运算正确的是（）3．如果a．a =2a﹣1，那么（） b．a≤ c．a d．a≥4．下列一组数据：﹣2、﹣1、0、1、2的平均数和方差分别是（） a．0和2 b．0和 c．0和1 d．0和05．下列四个命题中真命题是（）a．矩形的对角线平分对角 b．菱形的对角线互相垂直平分c．梯形的对角线互相垂直 d．平行四边形的对角线相等6．如果圆o是△abc的外接圆，ac=bc，那么下列四个选项中，直线l必过圆心o的是（）a．l⊥ac b．l平分ab c．l平分∠c d．l平分二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分7．用代数式表示实数a（a＞0）的平方根：．8．在实数范围内因式分解：x3﹣2x2y+xy2=．9．已知方程﹣=2，如果设y=，那么原方程转化为关于y的整式方程为．10．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则当x的取值范围是时，能使kx+b＞0．11．某公司承担了制作600个道路交通指引标志的任务，在实际操作时比原计划平均每天多制作了10个，因此提前了5天完成任务，如果设原计划x天完成，那么根据题意，可以列出的方程是：．12．一台组装电脑的成本价是4000元，如果商家以5200元的价格卖给顾客，那么商家的盈利率为．13．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上的点数分别为1到6的整数，那么掷出的点数小于3的概率为．14．已知=， =，那么=、的式子表示）15．已知，在△abc中，点d、e分别在边ab、ac上，de∥bc，ad=2db，bc=6，那么de=．16．将某班级全体同学按课外阅读的不同兴趣分成三组，情况如表格所示，则表中a的值应方向平移，点a、b、c分别落在点d、e、f处，如果点e恰好是bc的中点，那么∠afe的正切值是．18．如图，在△abc中，ab=ac=10，bc=12，点p为bc边上一动点，如果以p为圆心，bp为半径的圆p与以ac为直径的圆o相交，那么点p离开点b的距离bp的取值范围是．三、解答题：本大题共7小题，共78分19．先化简，再求值：﹣﹣，其中x=．20．解方程组：．21．已知：在平面直角坐标系xoy中，过点a（﹣5，2）向x轴作垂线，垂足为b，连接ao，点c在线段ao上，且ac：co=2：3，反比例函数y=的图象经过点c，与边ab交于点d．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△bod的面积．24．已知点a（2，﹣2）和点b（﹣4，n）在抛物线y=ax2（a≠0）上．（1）求a的值及点b的坐标；（2）点p在y轴上，且△abp是以ab为直角边的三角形，求点p的坐标；（3）将抛物线y=ax2（a≠0）向右并向下平移，记平移后点a的对应点为a′，点b的对应点为b′，若四边形abb′a′为正方形，求此时抛物线的表达式．25．已知，ab=5，tan∠abm=，点c、d、e为动点，其中点c、d在射线bm上（点cab=ae，∠cad=∠bae．在点d的左侧），点e和点d分别在射线ba的两侧，且ac=ad，（1）当点c与点b重合时（如图1），联结ed，求ed的长；（2）当ea∥bm时（如图2），求四边形aebd的面积；（3）联结ce，当△ace是等腰三角形时，求点b、c间的距离．2016年上海市杨浦区中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，满分24分1．下列分数中，能化为有限小数的是（）a． b． c． d．【考点】有理数的除法．【分析】本题需根据有理数的除法法则分别对每一项进行计算，即可求出结果．【解答】解：a∵=0.3…故本选项错误；b、∵=0.2故本选项正确；c、=0.142857…故本选项错误；d、=0.1…故本选项错误．故选b．2．下列运算正确的是（）【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】a、根据合并同类项的法则计算；b、根据同底数幂的乘法法则计算；c、根据同底数幂的除法计算；d、根据幂的乘方计算．【解答】解：a、a+a=2a，此选项错误；b、a2?a=a3，此选项错误；d、（a2）3=a6，此选项错误．故选c．3．如果a．a =2a﹣1，那么（） b．a≤ c．a d．a≥【考点】二次根式的性质与化简．【分析】由二次根式的化简公式得到1﹣2a为非正数，即可求出a 的范围．【解答】解：∵∴1﹣2a≤0，=|1﹣2a|=2a﹣1，解得：a≥．故选d4．下列一组数据：﹣2、﹣1、0、1、2的平均数和方差分别是（） a．0和2 b．0和 c．0和1 d．0和0【考点】方差；算术平均数．【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式s2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]进行计算即可．故选a．5．下列四个命题中真命题是（）a．矩形的对角线平分对角 b．菱形的对角线互相垂直平分c．梯形的对角线互相垂直 d．平行四边形的对角线相等【考点】命题与定理．【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：矩形的对角线不能平分对角，a错误；根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直平分，b正确；梯形的对角线不互相垂直，c错误；平行四边形的对角线平分，但不一定相等，d错误．故选b．6．如果圆o是△abc的外接圆，ac=bc，那么下列四个选项中，直线l必过圆心o的是（）a．l⊥ac b．l平分ab c．l平分∠c d．l平分【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论．【解答】解：∵圆o是△abc的外接圆，∴点o在三边的垂直平分线上．∵ac=bc，∴当l平分∠c时，l也是ab边的垂直平分线．故选c．二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分7．用代数式表示实数a（a＞0）的平方根：【考点】平方根．【分析】根据开方运算，可得一个数的平方根．【解答】解：用代数式表示实数a（a＞0）的平方根为：，故答案为：．【篇二：上海市杨浦区2016届高三5月模拟(三模)数学理试题 word版含答案】t>2016.05一. 填空题1. 函数y?log2(x?1)的反函数为2. 若直线l1:2x?my?1?0与l2:y?3x?1垂直，则实数m?3. 若2?i（i虚数单位）是实系数一元二次方程x2?px?q?0的根，则p?q? 4. 已知sinx?sinx?13?，x?(,?)，则行列式的值等于521secx2?1}，b?{x|log2(x?1)?1}，则a?b?x????5. 已知a?{x|6. 已知a地位于东经30、北纬45，b地位于西经60、北纬45，则a、b两地的球面距离与地球半径的比值为7. 在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于8. 在极坐标系下，点(2,9.若(x??6)到直线?cos(??2?)?1的距离为 3n(n?n*)展开式中各项系数的和等于64，则展开式中x3的系数是a12a22a32a13??a23?中有9个不同的数aij(i?1,2,3;j?1,2,3)，从中任取三个，a33??4?)的图像向右平移?个单位（??0），所得到的图像关于y轴对 3?a11?10. 三阶矩阵?a21?a?31则至少有两个数位于同行或同列的概率是（结果用分数表示） 11. 若函数y?cos(x?称，则?的最小值为a?b?k(k?z)，则称a、b m对模m同余，用符号a?b(modm)表示，若a?10(mod6)(a?10)，满足条件的a由小12. 若两整数a、b除以同一个整数m，所得余数相同，即到大依次记为a1,a2,???,an,???，则数列{an}的前16项和为x2y2?1(a?n*)的两个焦点为f1、f2，p为该双曲线上一点，满足 13. 已知双曲线2?a42|f1f2|?|pf1|?|pf2|，p到坐标原点o的距离为d，且5?d?9，则a2?14. 如图，已知ab?ac，ab?3，ac?圆a是以a为圆心、半径为1的圆，圆b是以b为圆心、半径为2的圆，设点p、q分别为圆a、圆b上的????1????????????动点，且ap?bq，则cp?cq的取值范围是2二. 选择题15. 已知数列{an}的前n项和sn?pn?q(p?0,p?1)，则“q??1”是“数列{an}为等比数列”的（） a. 充分不必要条件 b. 必要不充分条件 c. 充要条件 d. 既不充分也不必要条件 16. 已知z1、z2均为复数，下列四个命题中，为真命题的是（）a. |z1|?|1|?b. 若|z2|?2，则z2的取值集合为{?2,2,?2i,2i}（i是虚数单位）22c. 若z1?z2?0，则z1?0或z2?0d. z12?1z2一定是实数x2y2??1的左、右顶点分别为a1、a2，点p在c上（p不与a1、a2重合）17. 椭圆c: 43且直线pa2的斜率的取值范围是[?2,?1]，那么直线pa1斜率的取值范围是（）a. [,]b. [,]c. [,1]d. [,1]18. 定义域为[a,b]的函数y?f(x)图像的两个端点为a(a,f(a))，b(b,f(b))，m(x,y)是y?f(x)图像上任意一点，过点m作垂直于x轴的直线l交线段ab 于点n（点m132433841234?????与点n可以重合），我们称|mn|的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域为[1,2]上的函数中，曲径最小的是（）2a. y?xb. y?21? c. y?x? d. y?sinx xx3三. 解答题19. 如图，圆锥的顶点为p，底面圆心为o，线段ab和线段cd都是底面圆的直径，且直线ab与直线cd的夹角为（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线ac平行于平面pbd，并求直线ac到平面pbd的距离；?，已知|oa|?1，|pa|?2； 220. 已知数列{an}中，an?1?*11an?n (n?n*)，a1?1； 33（1）设bn?3nan(n?n)，求证：{bn}是等差数列；（2）设数列{an}的前n项和为sn，求lim?21. 图为一块平行四边形园地abcd，经测量，ab?20米，bc?10米，?abc?120，9?4sn的值；n??9an拟过线段ab上一点e设计一条直路ef（点f在四边形abcd的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为3:1的左、右两部分分别种植不同的花卉，设eb?x，ef?y（单位：米）（1）当点f与点c重合时，试确定点e的位置；（2）求y关于x的函数关系式，并确定点e、f的位置，使直路ef长度最短；22. 已知圆e:(x?1)2?y2?4，线段ab、cd都是圆e的弦，且ab与cd垂直且相交于坐标原点o，如图所示，设△aoc的面积为s1，设△bod的面积为s2；（1）设点a的横坐标为x1，用x1表示|oa|；（2）求证：|oa|?|ob|为定值；（3）用|oa|、|ob|、|oc|、|od|表示出s1?s2，试研究s1?s2是否有最小值，如果有，求出最小值，并写出此时直线ab的方程；若没有最小值，请说明理由；23. 已知非空集合a是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意f(x)?a，f(x)均存在反函数f?1(x)，且f?1(x)?a；②对任意f(x)?a，方程f(x)?x均有解；③对任意f(x)、g(x)?a，若函数g(x)为定义在r上的一次函数，则f(g(x))?a；（1）若f(x)?()，g(x)?2x?3均在集合a中，求证：函数h(x)?log(2x?3)?a；12xx2?a(x?1)在集合a中，求实数a的取值范围；（2）若函数f(x)?x?1（3）若集合a中的函数均为定义在r上的一次函数，求证：存在一个实数x0，使得对一切f(x)?a，均有f(x0)?x0；【篇三：上海市杨浦区2016届高三5月模拟(三模)数学理试题】t>2016.05一. 填空题1. 函数y?log2(x?1)的反函数为2. 若直线l1:2x?my?1?0与l2:y?3x?1垂直，则实数m?3. 若2?i（i虚数单位）是实系数一元二次方程x2?px?q?0的根，则p?q? 4. 已知sinx?sinx?13?，x?(,?)，则行列式的值等于521secx?1}，b?{x|log2(x?1)?1}，则a?b? x????5. 已知a?{x|6. 已知a地位于东经30、北纬45，b地位于西经60、北纬45，则a、b两地的球面距离与地球半径的比值为7. 在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于8. 在极坐标系下，点(2,9.若(x??6到直线?cos(??2?)?1的距离为 3n(n?n*)展开式中各项系数的和等于64，则展开式中x3的系数是a12a22a32a13??a23?中有9个不同的数aij(i?1,2,3;j?1,2,3)，从中任取三个，a33??4?的图像向右平移?个单位（??0），所得到的图像关于y轴对 3?a11?10. 三阶矩阵?a21?a?31则至少有两个数位于同行或同列的概率是（结果用分数表示） 11.若函数y?cos(x?称，则?的最小值为a?b?k(k?z)，则称a、b m对模m同余，用符号a?b(modm)表示，若a?10(mod6)(a?10)，满足条件的a由小12. 若两整数a、b除以同一个整数m，所得余数相同，即到大依次记为a1,a2,???,an,???，则数列{an}的前16项和为x2y2?1(a?n*)的两个焦点为f1、f2，p为该双曲线上一点，满足 13. 已知双曲线2?a4|f1f2|2?|pf1|?|pf2|，p到坐标原点o的距离为d，且5?d?9，则a2?14. 如图，已知ab?ac，ab?3，ac?a是以a为圆心、半径为1的圆，圆b是以b为圆心、半径为2的圆，设点p、q分别为圆a、圆b上的动点，????1????????????且ap?bq，则cp?cq的取值范围是2二. 选择题15. 已知数列{an}的前n项和sn?pn?q(p?0,p?1)，则“q??1”是“数列{an}为等比数列”的（） a. 充分不必要条件 b. 必要不充分条件 c. 充要条件 d. 既不充分也不必要条件 16. 已知z1、z2均为复数，下列四个命题中，为真命题的是（）a. |z1|?|1|?b. 若|z2|?2，则z2的取值集合为{?2,2,?2i,2i}（i是虚数单位）22c. 若z1?z2?0，则z1?0或z2?0d. z12?1z2一定是实数x2y2??1的左、右顶点分别为a1、a2，点p在c上（p不与a1、a2重合） 17. 椭圆c:43且直线pa2的斜率的取值范围是[?2,?1]，那么直线pa1斜率的取值范围是（）a. [,b. [,c. [,1]d. [,1]18. 定义域为[a,b]的函数y?f(x)图像的两个端点为a(a,f(a))，b(b,f(b))，m(x,y)是132433841234y?f(x)图像上任意一点，过点m作垂直于x轴的直线l交线段ab于点n（点m与点n可?????以重合），我们称|mn|的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域为[1,2]上的函数中，曲径最小的是（）2a. y?xb. y?21? c. y?x? d. y?sinx xx3三. 解答题19. 如图，圆锥的顶点为p，底面圆心为o，线段ab和线段cd都是底面圆的直径，且直线ab与直线cd的夹角为（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线ac平行于平面pbd，并求直线ac到平面pbd的距离；?，已知|oa|?1，|pa|?2； 220. 已知数列{an}中，an?1?11an?n (n?n*)，a1?1； 33（1）设bn?3nan(n?n*)，求证：{bn}是等差数列；（2）设数列{an}的前n项和为sn，求lim?21. 图为一块平行四边形园地abcd，经测量，ab?20米，bc?10米，?abc?120，拟过9?4sn的值；n??9an线段ab上一点e设计一条直路ef（点f在四边形abcd的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为3:1的左、右两部分分别种植不同的花卉，设eb?x，ef?y（单位：米）（1）当点f与点c重合时，试确定点e的位置；（2）求y关于x的函数关系式，并确定点e、f的位置，使直路ef 长度最短；22. 已知圆e:(x?1)2?y2?4，线段ab、cd都是圆e的弦，且ab与cd垂直且相交于坐标原点o，如图所示，设△aoc的面积为s1，设△bod的面积为s2；（1）设点a的横坐标为x1，用x1表示|oa|；（2）求证：|oa|?|ob|为定值；（3）用|oa|、|ob|、|oc|、|od|表示出s1?s2，试研究s1?s2是否有最小值，如果有，求出最小值，并写出此时直线ab的方程；若没有最小值，请说明理由；23. 已知非空集合a是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意f(x)?a，f(x)均存在反函数?1且f(x)?a；②对任意f(x)?a，方程f(x)?x均有解；③对任意f(x)、g(x)?a，f?1(x)，若函数g(x)为定义在r上的一次函数，则f(g(x))?a；（1）若f(x)?(，g(x)?2x?3均在集合a中，求证：函数h(x)?log1(2x?3)?a；12xx2?a(x?1)在集合a中，求实数a的取值范围；（2）若函数f(x)?x?1（3）若集合a中的函数均为定义在r上的一次函数，求证：存在一个实数x0，使得对一切f(x)?a，均有f(x0)?x0；。

2016级高三上学期期中考试数学（文）试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合，，则A. B. C. D.2. 设，其中，是实数，则A. B. C. D.3. 设，且，则A. B. C. D.4. 在区间上任取一实数，则的概率是A. B. C. D.5. 某班级有名学生，其中有名男生和名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别是，，，，，五名女生的成绩分别是，，，，，则下列说法一定正确的是A. 这种抽样方法是一种分层抽样B. 这种抽样方法是一种系统抽样C. 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D. 该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数6. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为A. B. C. D.7. 已知，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件8. 观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则A. B. C. D.9. 已知单位向量，，满足，则与夹角的余弦值为A. B. C. D.10. 若实数，满足，则的最小值为A. B. C. D.11. 已知函数．当时，取得最小值，则函数的图象为A. B.C. D.12. 定义在上的奇函数满足：①对任意，都有成立；②当时，，则方程在区间上根的个数是A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 若，则实数的取值范围是．14. 已知，则．15. 若是数列的前项的和，且，则数列的最大值为．16. 若函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线的斜率为．三、解答题（共6小题；共70分）17. 设函数，其中，已知．（1）求；（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值．18. 某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．（1）若所得分数大于等于分认定为优秀，求男、女优秀人数各有多少人?（2）在（）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取人，从这人中任意选取人，求至少有一名男生的概率．19. 的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若，的面积为，求的周长．20. 数列满足，，．（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和．21. 某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品．表1 是甲流水线样本的频数分布表，图1 是乙流水线样本的频率分布直方图．质量指标值频数（1）根据图 1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（2）若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件?（3）根据已知条件完成下面列联表，并回答是否有的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”?附：甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计（其中为样本容量）22. 已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，证明．答案第一部分1. C 【解析】因为，，所以，故选C．2. D 【解析】因为，所以解得所以．3. D 【解析】A选项，当时，，故A不正确；B选项，当时，显然不正确；C选项，当，时，，C不正确；D选项，因为是单调增函数，所以当时，，D正确．4. D 【解析】由且得，所以所求概率．5. C6. C7. A 【解析】当时，，故充分性成立．当时，取，，但，故必要性不成立．故“”是“”的充分而不必要条件．8. D 【解析】由已知归纳得，偶函数的导函数为奇函数，又由题意知是偶函数，所以其导函数应为奇函数，故．9. D 【解析】设单位向量，的夹角为，因为，所以，即，解得：，所以与夹角的余弦值为．10. A【解析】依题意，得实数，满足画出可行域如图所示，其中，，，设，则的几何意义为区域内的点与原点连线的斜率，则的斜率最大为，的斜率最小为，则，则，，故，故的最小值为．11. B 【解析】，当且仅当，即（舍去）时等号成立，故，所以函数，其图象是把函数的图象向左平移一个单位得到．12. B 【解析】因为，所以周期为，当时，画出和的图象如下．由图象知方程在区间上根的个数是个．第二部分13.14.【解析】因为，所以．所以15.【解析】由已知，当时，；当时，为递减数列，则时，，所以数列的最大值为．16.【解析】因为曲线在点处的切线方程为，所以．又，故曲线在点处的切线的斜率为．第三部分17. （1）函数又，所以．解得．又，所以；（2）由（）知，，将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到的图象，所以函数；当，，所以，所以当时，取得最小值是．18. （1）由题意可得，男生优秀人数为人，女生优秀人数为人．（2）因为样本容量与总体中的个体数的比是，所以样本中包含男生人数为人，女生人数为人，设两名男生为，，三名女生为，，，则从人中任意选取人构成的所有基本事件为：，，，，，，，，，共个，每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件：“选取的人中至少有一名男生”，则事件包含的基本事件有：，，，，，，共个，所以，即选取的人中至少有一名男生的概率为．19. （1）由已知，由正弦定理，得，即．所以，又因为，所以．（2）由（1）知．所以，又，所以，所以，即．所以周长为．20. （1）因为，所以所以数列是首项为，公差为的等差数列．（2）因为，所以因为，所以两式相减所以21. （1）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为，因为则，解得．乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数是（2）由甲、乙两条流水线各抽取的件产品可得，甲流水线生产的不合格品有件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为甲，乙流水线生产的产品为不合格品的概率为乙，于是，若某个月内甲、乙两条流水线均生产了件产品，则甲、乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：，．（3）列联表：甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计则，因为，所以没有的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”．22. （1）函数的定义域为，．（i）当时，因为，令得或，令得，所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．（ii）当时，因为，所以成立．函数的单调递增区间是．（iii）当时，因为，令得或，令得，所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．（2）当时，，．令得或（舍）．当变化时，，变化情况如下表：极小值所以时，函数的最小值为．所以成立．。

2016年上海市杨浦区高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知矩阵，，则A+B=．2．已知全集U=R，集合，则集合∁U A=．3．已知函数，则方程f﹣1（x）=4的解x=．4．某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具，该球表面用白布包裹，则至少需要白布平方米．5．无穷等比数列{a n}（n∈N*）的前n项的和是S n，且，则首项a1的取值范围是．6．已知虚数z满足2z﹣=1+6i，则|z|=．7．执行如图所示的流程图，则输出的S的值为．8．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人不在同一个食堂就餐的概率是．9．展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x的系数为．10．若数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为．11．如图，在矩形OABC中，点E，F分别在AB，BC上，且满足AB=3AE，BC=3CF，若=+（λ，μ∈R），则λ+μ=．12．已知，当x∈[a，a+1]时不等式f（x+a）≥f（2a﹣x）恒成立，则实数a的最大值是．13．抛物线C的顶点为原点O，焦点F在x轴正半轴，过焦点且倾斜角为的直线l交抛物线于点A，B，若AB中点的横坐标为3，则抛物线C的方程为．14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f （1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，则实数k的取值范围为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．下列四个命题中，为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d则a﹣c＞b﹣dC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则＜16．设、是两个单位向量，其夹角为θ，则“”是“|﹣|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件17．对于两个平面α，β和两条直线m，n，下列命题中真命题是（）A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，α⊥β，则m⊥βC．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n18．下列函数中，既是偶函数，又在（0，π）上递增的函数的个数是（）①y=tan|x|②y=cos（﹣x）③④．A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充．已知金字塔的每一条棱和边都相等（1）求证：直线AC垂直于直线SD．（2）若搭边框共使用木料24米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满？20．某农场规划将果树种在正方形的场地内．为了保护果树不被风吹，决定在果树的周围种松树．在如图里，你可以看到规划种植果树的列数（n），果树数量及松树数量的规律：（1）按此规律，n=5时果树数量及松树数量分别为多少；并写出果树数量a n，及松树数量b n关于n 的表达式．（2）定义：f（n+1）﹣f（n）（n∈N*）为f（n）增加的速度；现农场想扩大种植面积，问：哪种树增加的速度会更快？并说明理由．21．如图，在一条景观道的一端有一个半径为50米的圆形摩天轮O，逆时针15分钟转一圈，从A 处进入摩天轮的座舱，OA垂直于地面AM，在距离A处150米处设置了一个望远镜B．（1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱5分钟后，在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜B中仔细观看．问望远镜B的仰角θ应调整为多少度？（精确到1度）（2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带BD，发现取景的视角α恰为45°，求绿化带BD的长度（精确到1米）．22．如图，曲线Γ由两个椭圆T1：和椭圆T2：组成，当a，b，c成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”．（1）若猫眼曲线Γ过点，且a，b，c的公比为，求猫眼曲线Γ的方程；（2）对于题（1）中的求猫眼曲线Γ，任作斜率为k（k≠0）且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，求证：为与k无关的定值；（3）若斜率为的直线l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为椭圆T1上的任意一点（点N与点A，B不重合），求△ABN面积的最大值．23．已知函数f（x）（x∈D），若存在常数T（T＞0），对任意x∈D都有f（x+T）=T•f（x），则称函数f（x）为T倍周期函数（1）判断h（x）=x是否是T倍周期函数，并说明理由．（2）证明是T倍周期函数，且T的值是唯一的．若C n＜log a（a+1）+10恒成立，求a的取值范围．2016年上海市杨浦区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知矩阵，，则A+B=．【考点】几种特殊的矩阵变换． 【专题】计算题；规律型；矩阵和变换． 【分析】直接利用矩阵的和分运算法则求解即可．【解答】解：矩阵，，∴=．故答案为：．【点评】本题考查矩阵的和的求法，是基础题．2．已知全集U=R ，集合，则集合∁U A= {x|x ＜1或x ≥2} ．【考点】补集及其运算． 【专题】计算题；集合．【分析】求出A 中不等式的解集确定出A ，根据全集U=R ，求出A 的补集即可． 【解答】解：由A 中不等式变形得：（x+1）（x ﹣2）≤0，且x ﹣2≠0， 解得：﹣1≤x ＜2，即A={x|﹣1≤x ＜2}， ∵全集U=R ，∴∁U A={x|x ＜1或x ≥2}， 故答案为：{x|x ＜1或x ≥2}【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．3．已知函数，则方程f ﹣1（x ）=4的解x= 1 ．【考点】反函数；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足f﹣1（x）=4的x值，即求f（4）的值．【解答】解：由题意得，即求f（4）的值∵，，∴f（4）=log3（1+2）=1，∴f（4）=1．即所求的解x=1．故答案为1．【点评】本题主要考查了反函数的概念，互为反函数的两个函数的函数值和关系，属于基础题．4．某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具，该球表面用白布包裹，则至少需要白布16π平方米．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】求出球的半径，可得球的表面积，即可得出结论．【解答】解：∵球的直径为4米，∴半径为2米，∴球的表面积为4π•22=16π平方米．故答案为：16π平方米．【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，比较基础．5．无穷等比数列{a n}（n∈N*）的前n项的和是S n，且，则首项a1的取值范围是（0，）∪（，1）．【考点】数列的极限．【专题】计算题；极限思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】根据所给的前n项和的极限的值，做出首项和公比之间的关系，根据公比的范围，得到首项的范围，解不等式即可．【解答】解：设无穷等比数列{a n}的公比为q，|q|＜1且q≠0，由，又无穷等比数列的求和公式S n =，即q=1﹣2a 1，即有|1﹣2a 1|＜1且|1﹣2a 1|≠0，解得a 1∈（0，）∪（，1）．故答案为：（0，）∪（，1）．【点评】本题考查了无穷等比数列的前n 项和公式，极限的运算法则及其不等式的解法问题，本题解题的关键是运用无穷等比数列的求和公式来解题．6．已知虚数z 满足2z ﹣=1+6i ，则|z|= ．【考点】复数求模． 【专题】计算题．【分析】设出复数，写出复数对应的共轭复数的式子，把设出的结果代入等式中，合并同类项，写成复数的标准形式，利用复数的相等的充要条件，写出a 和b 的值，得到结果．【解答】解：设z=a+bi ，则=a ﹣bi ，∵虚数z 满足2z ﹣=1+6i ， ∴2（a+bi ）﹣（a ﹣bi ）=1+6i ， ∴a+3bi=1+6i ， ∴a=1，3b=6， ∴a=1，b=2，∴|z|=，故答案为：【点评】本题需要先对所给的复数式子整理，展开运算，得到a+bi 的形式，主要依据复数相等的条件，本题可以作为一个选择或填空出现在高考卷的前几个题目中．7．执行如图所示的流程图，则输出的S 的值为．【考点】程序框图．【专题】操作型；等差数列与等比数列；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，其中S=+++…+=[（1）+（﹣）+（﹣）+…+（）]=×（1）=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是程序框图，裂项相消法求和，分析出循环的功能是解答的关键．．8．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人不在同一个食堂就餐的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】对应思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出在同一个食堂就餐的概率，从而求出不在同一个食堂就餐的概率即可．【解答】解：三名学生选择每一个食堂的概率均为，则他们同时选中A食堂的概率为：××=；他们同时选中B食堂的概率也为：××=；故们在同一个食堂用餐的概率P=+=，故三个人不在同一个食堂就餐的概率是：，故答案为：．【点评】本题考查了概率问题，作差即可，是一道基础题．9．展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x的系数为﹣56．【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】由条件利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得展开式中x的系数．【解答】解：由于展开式的二项式系数之和为2n=256，n=8，故它的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•，令=1求得r=3，可得展开式中x的系数为﹣=﹣56，故答案为：﹣56．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题10．若数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为36．【考点】极差、方差与标准差．【专题】计算题；转化思想；概率与统计．【分析】根据方差是标准差的平方，数据增加a，方差不变，数据扩大a，方差扩大a2倍，可得答案．【解答】解：数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数a1，a2，a3，a4，a5的方差为4，∴数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为4×32=36，故答案为：36【点评】本题考查的知识点是极差、方差与标准差，熟练掌握方差与标准差之间的关系，及数据增加a，方差不变，数据扩大a，方差扩大a2倍，是解答的关键．11．如图，在矩形OABC中，点E，F分别在AB，BC上，且满足AB=3AE，BC=3CF，若=+（λ，μ∈R），则λ+μ=．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，建立直角坐标系．通过向量的坐标运算及共面向量定理即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．设A（a，0），C（0，b），则B（a，b）．∵AB=3AE，BC=3CF，∴E，F．∵=+，∴（a，b）=+，∴，解得λ+μ=．故答案为：．【点评】本题考查了向量的坐标运算及共面向量定理，属于基础题．12．已知，当x∈[a，a+1]时不等式f（x+a）≥f（2a﹣x）恒成立，则实数a的最大值是﹣2．【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用．【专题】综合题；函数思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】根据分段函数，讨论其单调性，根据单调性得出a≥2x在x∈[a，a+1]时恒成立，只需求出右式的最大值即可．【解答】解：二次函数x2﹣4x+3的对称轴是x=2；∴该函数在（﹣∞，0]上单调递减；∴x2﹣4x+3≥3；同样可知函数﹣x2﹣2x+3在（0，+∞）上单调递减；∴﹣x2﹣2x+3＜3；∴f（x）在R上单调递减；∴x+a≤2a﹣x恒成立，∴a≥2x在x∈[a，a+1]时恒成立，∴a≤﹣2，故答案为﹣2．【点评】考查了分段函数的单调性判断和恒成立问题的转换．13．抛物线C的顶点为原点O，焦点F在x轴正半轴，过焦点且倾斜角为的直线l交抛物线于点A，B，若AB中点的横坐标为3，则抛物线C的方程为y2=4x．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】通过设抛物线C方程为y2=2px（p＞0），则直线l方程为y=x﹣，两者联立并结合韦达定理即中点坐标公式计算即得结论．【解答】解：由题可设抛物线C方程为：y2=2px（p＞0），则F（，0），∵直线l过焦点且倾斜角为，∴直线l方程为：y=x﹣，联立直线l与椭圆方程，消去y整理得：x﹣3px+=0，∵AB中点的横坐标为3，∴3×2=3p，即p=2，∴抛物线方程为：y2=4x，故答案为：y2=4x．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题．14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f （1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，则实数k的取值范围为（，）．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作出f（x）的图象，根据交点个数判断直线的临界位置．根据导数与切线的关系列出方程解出．【解答】解：当2≤x≤3时，f（x）=（x﹣2）2+2，当3≤x≤4时，f（x）=（x﹣3）2+3，作出f（x）在[0，4]上的函数图象如图，设y=k1x与f（x）在[2，3]上的图象相切于（x1，y1），y=k2x与f（x）在[3，4]上的图象相切于（x2，y2），则，，解得k1=2﹣4，k2=4﹣6．由函数的对称性可知，若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，则k1＜k＜k2．故答案为（，）．【点评】本题考查了函数的图象变换，导数与切线的关系，图象的交点个数与零点的关系，属于中档题．作出函数图象是关键．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．下列四个命题中，为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d则a﹣c＞b﹣dC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则＜【考点】命题的真假判断与应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】A，若a＞b，当c=0时，ac2=bc2，可判断A；B，令a=3，b=2，c=2，d=0，可判断B；C，利用不等式的性质可判断C；D，令a=2＞﹣1=b，可判断D．【解答】解：A，若a＞b，当c=0时，ac2=bc2，A错误；B，若a=3，b=2，c=2，d=0，满足a＞b，c＞d，但a﹣c=1＜b﹣d=2，故B错误；C，若a＞|b|，则a2＞|b|2=b2，正确；D，若a=2＞﹣1=b，则＞﹣1，故＜错误．故选：C．【点评】本题考查不等式的基本性质及应用，特值法是解决选择题的良好方法，属于中档题．16．设、是两个单位向量，其夹角为θ，则“”是“|﹣|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件和向量的应用进行判断即可．【解答】解：若，则•=||||cosθ=cosθ∈（，），|﹣|===，∵cosθ∈（，），∴2cosθ∈（1，），则2﹣2cosθ∈（2﹣，1），则＜1，即|﹣|＜1成立，即充分性成立；∵|﹣|===，∴由|﹣|＜1得＜1得2﹣2cosθ＜1，则cosθ＞，则0≤θ＜，k∈Z，即必要性不成立；即“”是“|﹣|＜1”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量的数量积的应用是解决本题的关键．17．对于两个平面α，β和两条直线m，n，下列命题中真命题是（）A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，α⊥β，则m⊥βC．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在A中：n∥α或n⊂α；在B中，m与β相交、平行或l⊂β；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，由线面垂直和面面垂直的性质得m⊥n．【解答】解：在A中：若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故A错误；在B中：若m∥α，α⊥β，则m与β相交、平行或l⊂β，故B错误；在C中：若m∥α，n∥β，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中：若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则由线面垂直和面面垂直的性质得m⊥n，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面的位置关系的合理运用．18．下列函数中，既是偶函数，又在（0，π）上递增的函数的个数是（）①y=tan|x|②y=cos（﹣x）③④．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件，利用三角函数的奇偶性和单调性，得出结论．【解答】解：由于下列函数中，对于函数①y=tan|x|，当x=时，函数无意义，故①不满足条件．对于②y=cos（﹣x）=cosx为偶函数，且在（0，π）上递减，故②不满足条件．对于③=﹣cosx 为偶函数，且在（0，π）上递增，故③满足条件．当x∈（0，π）时，∈（0，），tan单调递增，故=是偶函数，且在（0，π）上递减，故④不满足条件，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性和单调性，属于基础题．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充．已知金字塔的每一条棱和边都相等（1）求证：直线AC垂直于直线SD．（2）若搭边框共使用木料24米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）连结AC，BD，由正方形的性质得出AC⊥BD，由等腰三角形三线合一得出AC⊥SO，故而AC⊥平面SBD，于是AC⊥SD；（2）正四棱锥的棱长为3，计算棱锥的高和底面积，代入体积公式计算四棱锥的体积．【解答】解：（1）连接AC，BD交于点O，则O为线段BD中点，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．在△SBD中，∵SA=SC，∴SO⊥AC，∵SO∩BD=O，SO⊂平面SBD，BD⊂平面SBD，∴AC⊥平面SBD，∵SD⊂平面SBD，∴AC⊥SD（2）由题意得正四棱锥边长为3米．∴BO==．棱锥的高SO===．∴立方米．答：需要立方米填充材料．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于基础题．20．某农场规划将果树种在正方形的场地内．为了保护果树不被风吹，决定在果树的周围种松树．在如图里，你可以看到规划种植果树的列数（n），果树数量及松树数量的规律：（1）按此规律，n=5时果树数量及松树数量分别为多少；并写出果树数量a n，及松树数量b n关于n 的表达式．（2）定义：f（n+1）﹣f（n）（n∈N*）为f（n）增加的速度；现农场想扩大种植面积，问：哪种树增加的速度会更快？并说明理由．【考点】数列的应用．【专题】计算题；应用题；等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意知，n=1时，果树1棵，松树9﹣1=8棵，n=2时，果树4棵，松树25﹣9=16棵，从而类比可得n=5时，果树25棵，松树121﹣81=40棵；从而可得，b n=8n；（2）化简，b n+1﹣b n=8（n+1）﹣8n=8，从而判断．【解答】解：（1）由题意知，n=1时，果树1棵，松树9﹣1=8棵，n=2时，果树4棵，松树25﹣9=16棵，n=3时，果树9棵，松树49﹣25=24棵，n=4时，果树16棵，松树81﹣49=32棵，n=5时，果树25棵，松树121﹣81=40棵；故，b n=8n；（2），b n+1﹣b n=8（n+1）﹣8n=8，当n≤3时，2n+1＜8，松树增加的速度快；当n≥4时，2n+1＞8，果树增加的速度快．【点评】本题考查了数列的应用及数列的增长速度的判断，属于中档题．21．如图，在一条景观道的一端有一个半径为50米的圆形摩天轮O，逆时针15分钟转一圈，从A 处进入摩天轮的座舱，OA垂直于地面AM，在距离A处150米处设置了一个望远镜B．（1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱5分钟后，在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜B中仔细观看．问望远镜B的仰角θ应调整为多少度？（精确到1度）（2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带BD，发现取景的视角α恰为45°，求绿化带BD的长度（精确到1米）．【考点】正弦定理．【专题】应用题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）因为摩天轮做匀速转动，逆时针15分钟转一圈，可得5分钟转过120°，过点C作CH⊥AB 于点H，利用解三角形可得望远镜B的仰角θ；（2）由题意可求CD，利用正弦定理即可解得BD的长度．【解答】（本题，第1小题，第2小题6分）解：（1）∵逆时针15分钟转一圈，∴5分钟转过120°过点C作CH⊥AB于点H，则CH=50+50•sin（120°﹣90°）=75∴，∴答：望远镜的仰角θ设置为35°（2）在△BCD中，θ=35°，α=45°，∴∠CDH=80°∴由正弦定理得：∴答：绿化带的长度为94米．【点评】本题考查了已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是作出正确的示意图，然后再由三角形中的相关知识进行求解，解题时要注意综合利用所学知识与题中的条件，求解三角形的边与角，是中档题．22．如图，曲线Γ由两个椭圆T1：和椭圆T2：组成，当a，b，c成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”．（1）若猫眼曲线Γ过点，且a，b，c的公比为，求猫眼曲线Γ的方程；（2）对于题（1）中的求猫眼曲线Γ，任作斜率为k（k≠0）且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，求证：为与k无关的定值；（3）若斜率为的直线l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为椭圆T1上的任意一点（点N与点A，B不重合），求△ABN面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；证明题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意知，==，从而求猫眼曲线Γ的方程；（2）设交点C（x1，y1），D（x2，y2），从而可得，联立方程化简可得，k•k ON=﹣2；从而解得；（3）设直线l的方程为，联立方程化简，从而可得，同理可得，从而利用两平行线间距离表示三角形的高，再求；从而求最大面积．【解答】解：（1）由题意知，，==，∴a=2，c=1，∴，∴；（2）证明：设斜率为k的直线交椭圆T1于点C（x1，y1），D（x2，y2），线段CD中点M（x0，y0），∴，由得，∵k存在且k≠0，∴x1≠x2，且x0≠0，∴，即；同理，k•k ON=﹣2；∴；（3）设直线l的方程为，联立方程得，化简得，，由△=0化简得m2=b2+2c2，，联立方程得，化简得，由△=0得m2=b2+2a2，，两平行线间距离：，∴；∴△ABN的面积最大值为．【点评】本题考查了学生的化简运算的能力及椭圆与直线的位置关系的判断与应用．23．已知函数f（x）（x∈D），若存在常数T（T＞0），对任意x∈D都有f（x+T）=T•f（x），则称函数f（x）为T倍周期函数（1）判断h（x）=x是否是T倍周期函数，并说明理由．（2）证明是T倍周期函数，且T的值是唯一的．（3）若f（n）（n∈N*）是2倍周期函数，f（1）=1，f（2）=﹣4，S n表示f（n）的前n 项和，C n=，若C n＜log a（a+1）+10恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；抽象函数及其应用；函数的周期性．【专题】新定义；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据定义设：h（x+T）=T•h（x），得出x+T=T•x对任意x恒成立，显然不成立；（2）根据定义设：h（x+T）=T•h（x），得出对任意x恒成立，可得，求解T，并判断唯一性即可；（3）若f（n）是2倍周期函数，f（3）=f（1+2）=2f（1）=2，f（4）=f（2+2）=2f（2）=﹣8，同理可求出f（2n﹣1）=f（2n﹣3+2）=2f（2n﹣3）=2n﹣1，进而求出，，通过比值判断C n的单调性，进而求出C n的最大值，最后得出log a（a+1）＞﹣1，分别讨论a的不同情况，求出a的取值范围．【解答】（1）设：h（x+T）=T•h（x）则x+T=T•x对任意x恒成立∵T无解∴h（x）=x不是T倍周期函数（2）设：g（x+T）=T•g（x）则对任意x恒成立，下证唯一性：若，矛盾若，矛盾∴是唯一的（3）f（3）=f（1+2）=2f（1）=2，f（5）=f（3+2）=2f（3）=22f（7）=f（5+2）=2f（5）=23…f（2n﹣1）=f（2n﹣3+2）=2f（2n﹣3）=2n﹣1f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2n﹣1）=1+2+22+…+2n﹣1=2n﹣1同理：f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）=﹣4（1+2+22+…+2n﹣1）=﹣4（2n﹣1）∴同理：，C1=﹣3C2=9显然：n≥2C n＞0且∵2（2n）2﹣7•（2n）+3＜2（2n）2﹣5•（2n）+3∴即单调递减∴（C n）max=C1=9∵C n＜log a（a+1）+10恒成立，∴log a（a+1）+10＞（C n）max=9∴log a（a+1）＞﹣1①a＞1时解得：a＞1②0＜a＜1时解得：，∴或a＞1【点评】本题综合性强，考查了对新定义的理解，利用新定义，结合数列解决恒成立问题．属于难度较大的题型．。