高中数学等比数列听课记录

高中数学听课记录范例高中数学的学习内容繁多，数学老师在授课时会讲解大量的数学知识点，对于学生来说需要听取老师的重点，掌握每个知识点的要点。

因此，高中数学的听课记录变得非常重要，有效的听课记录可以帮助同学们更好地掌握每个知识点，并且在复习阶段更加便捷地回顾重点内容。

接下来，本文将为大家介绍高中数学听课记录范例。

一、听课前准备在听数学课程之前，我们需要做好准备工作，包括：1.预习预习可以帮助你提前了解课程内容，把握知识点。

你可以在课前通读教材，查找相关知识点，预先整理和记忆概念与公式。

这样有助于你更好地听课、理解老师的讲解。

2.准备听课工具听课需要用笔和笔记本，还可以选择录音笔等工具进行录音。

准备好这些工具可以让你把老师的讲解和重点内容记录下来。

二、听课要点1.聚精会神听课需要一定的专注力，不要让自己分心。

把所有注意力都集中在老师的讲述上，保持心无旁骛。

2.注意抓重点老师在讲解时会重点强调一些知识点或做一些范例教学，要特别留意这些内容。

通过记录下这些重点内容，有利于我们更好地理解课程内容并且复习。

3.记录听课时，可以记录老师的主要讲述内容，包括公式、概念及解题技巧。

也可以在白纸上做一些例题，当然其中重要的步骤可以在课后再更细致地补充。

4.提出问题如果听课中有不理解的地方可以及时提出问题，而不是一直草草带过。

问老师或者同学帮助自己更好地理解。

三、听课后的处理1.整理笔记听完课程之后，需要对笔记进行整理和总结。

可以把笔记中的重点内容和公式整理出来，形成清晰的知识框架。

2.复习复习是掌握课程知识的关键。

在复习时，把听课笔记作为基础，加深对知识点的理解。

3.补充笔记在复习过程中，如果发现自己的笔记比较简略，需要补充完善，完善还至留一些例题可以更好地巩固所学知识。

综上，高中数学听课记录是高中数学学习的重要环节之一。

通过预先准备、聚焦重点、记录笔记，以及后续的整理和复习，可以更好地吸收老师的知识点，并加深对数学知识的理解和掌握，为学习打好扎实的基础。

«等比数列的前n 项和»评课稿高二（2）部数学备课组在10月8日，我们听了焦随心老师的校级公开课、示范课“等比数列的前n 项和”，课后我们备课组进行了认真细致的讨论，一致认为这是一堂成功的示范课。

当前，我校正在大力倡导进行新课程课堂教学改革，实施素质教育，课堂教学怎么改、怎样改，焦老师的课在“倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生搜集和处理信息能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”方面，给我们做出了榜样或者是有意的尝试。

就本节课而言，我们认为有以下优点：1.课前准备充分，教材挖掘深刻、透彻，整堂课中，自始至终都体现出新课改的理念：教师的主导作用和学生的主体地位，这也是本节课的最大的亮点。

课堂的具体实施中，不论是引题中的漫画所提出的T 与30S 哪个大的猜想，还是122221-+⋅⋅⋅+++n 的结果的猜想，不论是121-+⋅⋅⋅+++n q q q 结果的猜想，还是当4,3==q q 时，121-+⋅⋅⋅+++n q q q 结果的猜想，等比数列{}n a 的前n 项和的求法等都是在老师的引导下，先让学生进行主动地探求而得到的。

有时学生是在草纸进行，有时又是让学生上黑板进行板演，并且，教师的引导也很及时、得当，能让学生“跳一跳，能摘个桃”。

2.本节课的第二个亮点是问题的设计巧妙，有梯度，高而不难，环环相扣，层层推进，最后能水到渠成的得出所要的结论。

在问题的引导探究中，先由漫画中的问题引出122221-+⋅⋅⋅+++n =？再引出121-+⋅⋅⋅+++n q q q =？又利用4,3==q q 猜想出121-+⋅⋅⋅+++n q q q 的正确结果，并进行了证明，最后很自然的证明了等比数列{}n a 的前n 项和公式。

从一连串的问题设计来看，教师运用并向学生渗透了特殊到一般，类比与转化、分类讨论等数学思想和方法，不知不觉地培养了学生的观察、归纳、抽象、概括等逻辑思维能力，运算能力。

高中数学听课记录开始上课：1. 老师介绍了今天的课程内容2. 向同学们讲述了文章中的一些重要的概念和证明3. 老师繁琐的展示了方程的详细推导步骤开始上课时，老师介绍了今天的数学课程内容，教授的是关于函数背后的一些概念和证明的课程。

老师的讲解十分细致，让我们对于函数背后的原理更加清晰。

比如，老师细致地解释了函数的定义，域和值域，连续性，增长函数，奇函数和偶函数，凸函数等概念，老师用具体的实例将这些概念呈现了出来，让我们对这些概念都有了一个深刻的认识。

随后，老师细细推导了一道函数的方程，老师仔细讲解每一步的推导，画出图像来一一论证每一步的推导结果是否正确，做出的计算也比较繁琐，如果不是老师仔细的讲解让我们看明白，很可能在复杂的推导过程中就迷失了。

之后，老师还用一个经典的曲线来理解函数的定义，并结合例子表明一些重要的定理，及时提出疑问并且一一解答，帮助学生更好地理解函数的定义。

同学们也都积极思考，认真参与了课堂讨论，这让整节课变得活跃有趣起来。

本节课总结：1. 理解函数的定义，域和值域，连续性，增函数，奇函数和偶函数，凸函数等概念2. 掌握函数方程的推导，会运用经典曲线来理解函数的定义3. 感受到函数理论背后的一些关系4. 熟悉一些相关的函数证明本节课，老师给我们普及了关于函数理论的一些知识，让我们对函数背后的秘密有了更加深刻认识。

我们理解了函数的定义，域和值域，连续性，增函数，奇函数和偶函数，凸函数等概念，掌握了函数方程的推导，运用经典曲线来理解函数的定义，感受到函数理论背后的一些关系，加深了对于一些相关的函数证明的理解。

在课堂上，大家都十分认真，思考积极，这让我们体会了数学的美妙和逻辑性。

一、导入1. (必修5P 55习题2(1)改编)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 6＝32，则S 3＝________．2. (必修5P 49习题1改编) {a n }为等比数列，a 2＝6，a 5＝162，则{a n }的通项公式a n ＝________．3. (必修5P 49习题6改编)等比数列{a n }中，a 1>0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，则a 3＋a 5＝________．4. (必修5P 49习题7(2)改编)已知两个数k ＋9和6－k 的等比中项是2k ，则k ＝________．5. (必修5P 51例2改编)等比数列{a n }中，S 3＝7，S 6＝63，则a n ＝________．二、知识点回顾 1.等比数列相关概念 2.等比数列相关性质三、典例分析题型1 等比数列的基本运算例1 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1) 求{a n }的公比q ；(2) 若a 1－a 3＝3，求S n .解：(1) ∵ S 1，S 3，S 2成等差数列，∴ 2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1＋a 1＋a 2，∴ 2a 3＝－a 2，∴ q ＝a 3a 2＝－12.(2) a 3＝a 1q 2＝14a 1，∴ a 1－14a 1＝3，∴ a 1＝4，∴ S n ＝4⎣⎡⎦⎤1－()－12n1＋12＝83－83()－12n.(1) 求a 2，a 3的值，并求数列{a n }的通项公式； (2) 求解S n (n ∈N )．题型2 等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，3S n ＝a n －1(n ∈N )．(1) 求a 1，a 2； (2) 求证：数列{a n }是等比数列； (3) 求a n 和S n .。

探究等比数列性质课堂实录———用类比的方法进行数学探究性课堂教学论文摘要：用类比方法探究等比数列性质课堂实录，探究式数学课堂教学组织形式，教师角色，对学生的评价。

关键词：探究式课堂教学、类比探究、猜想――验证猜想、从特殊到一般同学们，前面我们学习了等差数列和等比数列，并且探究了等差数列的一些性质，今天我们要进一步来探究等比数列的性质。

那么，等比数列有哪些性质，我们又该如何来探究呢？通过前面的学习，我们知道，等比数列和等差数列有很多相似的地方，这就启发我们可以用类比的方法来探究等比数列的性质。

当然，探究未知不可能是一帆风顺的，这就需要我们解放思想，大胆猜想，在大胆猜想的基础上进一步去验证猜想或者否定猜想，从而进一步改进猜想。

牛顿就曾经说过：“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现。

”从这个意义上讲，猜想比计算、证明都更重要，它更能激发我们的创造力。

既然如此，我们就先来回顾一下等差数列有哪些主要性质。

教师借助幻灯片，师生一起回顾等差数列性质：１、在等差数列{}n a 中，对任意d m n a a N n m m n )(,,*-+=∈有或者)(n m mn a a d m n ≠--=。

２、在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q ∈N*且m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+，反之不成立。

特别地，若m+n=2p ，则p n m a a a 2=+，但若m+n=k ，k n m a a a =+是错的。

３、若数列 ,,,,4321a a a a 是等差数列，则数列 ,,,531a a a 也是等差数列；数列 ,,,642a a a 也是等差数列；数列 ,,,,312111m m m a a a a +++也是等差数列，公差为md ； ,,,3221222121m m m m m m m a a a a a a a a a +++++++++++++也是等差数列，公差为d m 2。

《等比数列前n项和》课堂实录《《等比数列前n项和》课堂实录》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！观察主题高二新授课上教师如何指导学生小组交流、合作学习研究目的探究高二新授课中如何以数学交流的方式提高课堂效果课堂实录目标达成情况及改进建议等比数列前n项和(一)创设情境，提出问题在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。

西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。

国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。

为什么呢?师：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗?引导学生写出麦粒总数。

带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和。

教师对他们的这种思路给予肯定。

(二)师生互动，探究问题在肯定他们的思路后，我接着问：是什么数列?有何特征?应归结为什么数学问题呢?探讨1：设，记为(1)式，注意观察每一项的特征，有何联系?(学生会发现，后一项都是前一项的2倍)探讨2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，(1)式两边同乘以2则有，记为(2)式。

比较(1)(2)两式，你有什么发现?经过比较、研究，学生发现：(1)、(2)两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：。

老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么(1)式两边要同乘以2呢?(三)类比联想，解决问题引导学生将结论一般化，设等比数列，首项为，公比为，如何求前n项和 ?学生自主完成，并喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导。

【学情预设】：在学生推导完成后，我再问：由得对不对?这里的能不能等于1?等比数列中的公比能不能为1? 时是什么数列?此时?(这里引导学生对进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础。

)再次追问：结合等比数列的通项公式,如何把用、、表示出来?(引导学生得出公式的另一形式)(四)讨论交流，延伸拓展在此基础上，提出：探究等比数列前n项和公式，还有其它方法吗?我们知道,那么我们能否利用这个关系而求出呢?根据等比数列的定义又有，能否联想到等比定理从而求出呢?(五)变式训练,深化认识例1：求等比数列前8项和;变式1、等比数列前多少项的和是 ;变式2、等比数列求第5项到第10项的和;变式3、等比数列求前2n项中所有偶数项的和。

高中数学必修5教案等比数列第2课时第一篇：高中数学必修5教案等比数列第2课时等比数列第２课时授课类型：新授课●教学目标知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。

情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

●教学重点等比中项的理解与应用●教学难点灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题●教学过程Ⅰ.课题导入首先回忆一下上一节课所学主要内容：1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠an0），即：=q（q≠0）an-12.等比数列的通项公式:an=a1⋅q3．｛an｝成等比数列⇔列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列Ⅱ.讲授新课1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G=±ab（a,b同号）如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则n-1(a1⋅q≠0)，an=am⋅qn-m(am⋅q≠0)an+1+=q（n∈N,q≠0）“an≠0”是数列｛an｝成等比数anGb=⇒G2=ab⇒G=±ab，aG反之，若G=ab,则≠0）[范例讲解] 课本P58例4 证明：设数列{an}的首项是a1，公比为q1;{bn}的首项为b1，公比为q2，那么数列{an⋅bn}的第n项与第n+1项分别为：2Gb2=，即a,G,b成等比数列。

∴a,G,b成等比数列⇔G=ab（a·baGa1⋅q1n-1⋅b1⋅q2与a1⋅q1⋅b1⋅q2即为a1b1(q1q2)n-1与a1b1(q1q2)nn-1nnan+1⋅bn+1a1b1(q1q2)nΘ==q1q2.n-1an⋅bna1 b1(q1q2)它是一个与n无关的常数，所以{an⋅bn}是一个以q1q2为公比的等比数列拓展探究：对于例4中的等比数列{an}与{bn}，数列{an}也一定是等比数列吗？ bnana，则cn+1=n+1 bnbn+1探究：设数列{an}与{bn}的公比分别为q1和q2，令cn=∴cn+1bn+1abqa==(n+1)γ(n+1)=1，所以，数列{n}也一定是等比数列。

苏教版高三数学必修五《等比数列》评课稿1. 引言本篇文档是对苏教版高三数学必修五《等比数列》这一教材内容进行评课的详细分析和总结。

我们将从教材的设计、教学过程、知识点的呈现以及教学效果等方面进行评估，以期对该教材进行优化和改进。

2. 教材设计《等比数列》作为《高三数学必修五》中的一章，对于学生掌握数列等比性质具有重要意义。

教材设计的合理性直接影响着学生的学习效果和兴趣。

2.1 教材结构《等比数列》这一章节的教材结构相对简单明了，一共包括以下几个部分：•知识导入：引入学生对等比数列的认识，激发学生的学习兴趣；•基础知识讲解：详细介绍等比数列的定义、性质和常见公式；•解决问题：通过讲解例题，引导学生掌握等比数列的应用方法；•拓展扩展：提供更多的例题和思考题，巩固和拓展学生对等比数列的理解和运用能力。

该教材结构合理，层次清晰，有助于学生逐步理解和掌握等比数列的概念和运算规则。

2.2 教材内容《等比数列》教材内容旨在帮助学生掌握等比数列的概念、性质和运算方法，培养学生对等比数列的思维能力和解决问题的能力。

该章节的内容主要包括：•等比数列的定义和常见公式；•等比数列的性质：公比、前n项和、无穷项和等；•等比数列与等差数列的联系；•等比数列在实际问题中的应用。

3. 教学过程教学过程是指教师在教学中采取的具体方法和步骤，对于学生的学习效果和兴趣具有重要影响。

在《等比数列》这一章节的教学过程中应注意以下几个方面：3.1 导入和激发兴趣在引入等比数列的概念时，可以通过提问、引用实际问题和生活中的例子等方式激发学生对这一知识点的兴趣。

例如，可以通过问学生一些与等比数列相关的问题，让学生在思考中产生好奇心。

3.2 知识讲解和演示在讲解等比数列的定义、性质和运算方法时，教师应采用清晰简明的语言，结合具体的例子进行演示和说明。

通过图表、实物或幻灯片等辅助工具的使用，增强学生对概念和运算的理解。

3.3 解题和讨论教师在讲解完基本知识后，应引导学生进行例题的解答和讨论。

高中数学等比数列听课记录听 课 记 录2016 年 11 月 16 日一、导入（由教材例题直接引入，PPT 展示） 1. (必修5P 55习题2(1)改编)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 6＝32，则S 3＝________． 2. (必修5P 49习题1改编) {a n }为等比数列，a 2＝6，a 5＝162，则{a n }的通项公式a n ＝________．3. (必修5P 49习题6改编)等比数列{a n }中，a 1>0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，则a 3＋a 5＝________．4. (必修5P 49习题7(2)改编)已知两个数k ＋9和6－k 的等比中项是2k ，则k ＝________．5. (必修5P 51例2改编)等比数列{a n }中，S 3＝7，S 6＝63，则a n ＝________．二、知识点回顾 1.等比数列相关概念 2.等比数列相关性质三、典例分析题型1 等比数列的基本运算例1 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列．(1) 求{a n }的公比q ；(2) 若a 1－a 3＝3，求S n .解：(1) ∵ S 1，S 3，S 2成等差数列，∴ 2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1＋a 1＋a 2，∴ 2a 3＝－a 2，∴ q ＝a 3a 2＝－12. (2) a 3＝a 1q 2＝14a 1，∴ a 1－14a 1＝3，∴ a 1＝4，∴ S n ＝4⎣⎡⎦⎤1－()－12n1＋12＝83－83()－12n.变式训练已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且2a n ＋1＝S n ＋2(n ∈N )．(1) 求a 2，a 3的值，并求数列{a n }的通项公式； (2) 求解S n (n ∈N )． 题型2 等比数列的判定与证明 例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，3S n ＝a n －1(n ∈N )．(1) 求a 1，a 2； (2) 求证：数列{a n }是等比数列； (3) 求a n 和S n .(1) 解：由3S 1＝a 1－1，得3a 1＝a 1－1，∴ a 1＝－12.又3S 2＝a 2－1，即3a 1＋3a 2＝a 2－1，得a 2＝14. (2) 证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．(3) 解：由(2)可得a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n ，S n ＝⎝⎛⎭⎫－12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n1－⎝⎛⎭⎫－12＝－13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n. 变式训练 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *. (1) 求证：数列{a n －n}是等比数列； (2) 求数列{a n }的前n 项和S n ； 题型3 等比数列的性质。

听 课 记 录一、导入（由教材例题直接引入，PPT 展示） 1. (设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 6＝32，则S 3＝________． 2.{a n }为等比数列，a 2＝6，a 5＝162，则{a n }的通项公式a n ＝________． 3. 等比数列{a n }中，a 1>0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，则a 3＋a 5＝________． 4.已知两个数k ＋9和6－k 的等比中项是2k ，则k ＝________． 5. 等比数列{a n }中，S 3＝7，S 6＝63，则a n ＝________． 二、知识点回顾 1.等比数列相关概念 2.等比数列相关性质 三、典例分析 题型1 等比数列的基本运算 例1 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1) 求{a n }的公比q ；(2) 若a 1－a 3＝3，求S n . 解：(1) ∵ S 1，S 3，S 2成等差数列，∴ 2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1＋a 1＋a 2， ∴ 2a 3＝－a 2，∴ q ＝a 3a 2＝－12.(2) a 3＝a 1q 2＝14a 1，∴ a 1－14a 1＝3，∴ a 1＝4，∴ S n ＝4⎣⎡⎦⎤1－()－12n 1＋12＝83－83()－12n.变式训练 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且2a n ＋1＝S n ＋2(n ∈N )． (1) 求a 2，a 3的值，并求数列{a n }的通项公式； (2) 求解S n (n ∈N )． 题型2 等比数列的判定与证明 例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，3S n ＝a n －1(n ∈N )． (1) 求a 1，a 2； (2) 求证：数列{a n }是等比数列； (3) 求a n 和S n . (1) 解：由3S 1＝a 1－1，得3a 1＝a 1－1，∴ a 1＝－12.又3S 2＝a 2－1，即3a 1＋3a 2＝a 2－1，得a 2＝14.(2) 证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列． (3) 解：由(2)可得a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n ，S n ＝⎝⎛⎭⎫－12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝－13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n .变式训练。

等比数列听课笔记
等比数列是数学中的一个基础概念，它是指一个数列中每一项与前一项的比相等。

在学习等比数列时，需要掌握其基本公式和性质。

等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。

这个公式可以帮助我们计算任意一项的值。

等比数列的性质包括：公比q>1时，数列单调递增；公比0<q<1时，数列单调递减；公比q=-1时，数列交替变号；公比q=1时，数列恒等于首项。

这些性质可以帮助我们更好地理解等比数列的规律。

除此之外，等比数列还有一些重要的应用。

例如，我们可以将等比数列应用到复利计算中，求得每年的利息和本金总额。

另外，等比数列还可以用于解决一些实际问题，例如人口增长、病毒扩散等。

等比数列是数学中一个重要的概念，需要掌握其基本公式和性质，以及应用方法。

通过学习等比数列，我们可以更好地理解数学中的规律，并将其应用到实际生活中。

2017 年5 月 12日第14 周星期五
反思：本节课的知识点包括：1。

能在具体的问题情境中，发现并理解等比数列的概念;2.探究等比数列的通项公式；3。

探究并掌握等比数列的函数与方程特征。

教学中采取1.利用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法，探究数列的概念和通项公式;2.在教师的引导下,提高归纳概括能力、运算求解能力;体会类比思想、特殊到一般思想.通过探究活动，逐步形成善于质疑,乐于探究，勤于动手，努力求知的积极态度。

在实际教学中，存在的不足是函数知识偏难，应进行适当简化，
那么这节课就较完美了。

数列、等差数列、等比数列1．[2014·重庆卷改编] 在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝________． 2.[2015·广东卷] 若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________．3．[2015·安徽卷] 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．4．[2015·全国卷Ⅱ改编] 已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝________．5．[2015·全国卷Ⅰ] 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n ＝126，则n ＝________．6．[2015·江苏卷改编] 设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d(d ≠0)的等差数列，则2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成________数列．(填“等差”或“等比”)7．[2015·浙江卷] 已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________．8．[2015·四川卷改编] 设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________．考点一 等差、等比数列的基本计算(1)[2015·全国卷Ⅰ] 已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A .172B .192C ．10D ．12(2)已知数列{a n }满足a 2＝1，3a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)，则数列{a n }的前10项和S 10为( ) A.94(310－1) B.94(310＋1) C.94(3－10＋1) D.94(3－10－1) [听课笔记] [小结] 在等差(等比)数列问题中最基本的量是首项a 1和公差d (公比q )，在解题时往往根据已知条件建立关于这两个量的方程组，从而求出这两个量，那么其他问题也就会迎刃而解．这就是解决等差、等比数列问题的基本量的方法，这其中蕴含着方程思想的运用．(1)已知等比数列{a n}中，若4a1，a3，2a2成等差数列，则公比q＝()A．1 B．1或2C．2或－1 D．－1(2)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17＝170，则a7＋a9＋a11的值为() A．10 B．20C．25 D．30考点二等差、等比数列的判断与证明已知{a n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S n，且S n为a n与1a n的等差中项．(1)求证：数列{S2n}为等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．[听课笔记][小结] 判断或证明数列是否为等差或等比数列，一般是依据等差数列、等比数列的定义，或利用等差中项、等比中项进行判断．(1)已知数列{a n}的前n项和是S n，且4S n＝(a n＋1)2，则下列说法正确的是()A．数列{a n}为等差数列B．数列{a n}为等差或等比数列C．数列{a n}为等比数列D．数列{a n}可能既不是等差数列也不是等比数列(2)设数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*)，关于数列{a n}有下列四个命题：①若a n＋1＝a n(n∈N*)，则{a n}既是等差数列又是等比数列；②若S n＝an2＋bn(a，b∈R)，则{a n}是等差数列；③若S n＝1－(－1)n，则{a n}是等比数列；④若{a n}是等比数列，则S m，S2m－S m，S3m－S2m(m∈N*)也成等比数列．其中正确命题是________(填序号)．考点三数列中a n与S n的关系问题2015·全国卷Ⅰ改编] 设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，求{a n }的通项公式． [听课笔记][小结] 由含a n 与S n 的关系式求a n ，主要是利用公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2将关系式中的S n 转化为a n .在使用a n ＝S n －S n －1时需n ≥2，所以要验证n ＝1时，a 1＝S 1是否满足n ≥2时的{a n }的通项公式，适合合并，否则分段来写通项a n .设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式．高考易失分题9 据含a n 与S n 的关系式求a n 或S n范例 [2015·全国卷Ⅱ] 设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n＝________.失分分析 (1)对含有a n 与S n 的关系式的数列问题不熟悉，练习与总结不够；(2)转化方向错，本题要想将S n 转化为a n 是行不通的；(3)使用a n ＝S n －S n －1进行转化时不考虑n 的取值范围；(4)变式为S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1后不知如何继续解题．高考预测 已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足2S n ＋a n ＝1，则S n ＝________．考点四 等差、等比数列的综合应用已知{a n }是各项均不为零的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n－1，n ∈N *，数列{b n }满足b n ＝1a n ·a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和．(1)求a n 和T n .(2)是否存在正整数m ，k (1<m <k )，使得T 1，T m ，T k 成等比数列？若存在，求出所有m ，k 的值；若不存在，请说明理由．[听课笔记][小结] 由等差数列、等比数列组成的综合问题，首先要立足两数列的概念，设出相应的基本量，充分使用通项公式、求和公式、数列的性质，确定基本量．已知数列{a n }是等差数列，a 3＝10，a 6＝22，数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n＋13b n ＝1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列； (3)记c n ＝a n ·b n ，求证：c n ＋1<c n .数列、等差数列﹑等比数列■ 核心知识聚焦1．8 [解析] 由题意，得a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10，解得d ＝1，所以a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.2．1 [解析] 因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ＝(5＋26)(5－26)＝1.因为b>0，所以b ＝1.3．27 [解析] 由a n ＝a n －1＋12(n ≥2)得，数列{a n }是以1为首项，12为公差的等差数列，因此S 9＝9×1＋9×82×12＝27.4.12 [解析] 因为{a n }为等比数列，所以a 3a 5＝4(a 4－1)＝a 24，得a 4＝2，而a 1＝14，a 4a 1＝214＝8＝q 3，得公比q ＝2，所以a 2＝14×2＝12.5．6 [解析] 由a 1＝2，a n ＋1＝2a n 可知数列{a n }为等比数列，公比为2，所以S n ＝2（1－2n ）1－2＝126，得n ＝6.6．等比 [解析] 因为2a n ＋12a n ＝2a n ＋1－a n ＝2d (n ＝1，2，3)是同一个常数，所以2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列．7.23－1 [解析] 由题意得，a 23＝a 2a 7，即(a 1＋2d)2＝(a 1＋d)·(a 1＋6d)，所以d(3a 1＋2d)＝0.因为d ≠0，所以3a 1＋2d ＝0，又2a 1＋a 2＝1，所以3a 1＋d ＝1，联立⎩⎨⎧3a 1＋2d ＝0，3a 1＋d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝23，d ＝－1.8．2n [解析] 由S n ＝2a n －a 1，得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1. 又因为a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故a n ＝2n .■ 考点考向探究考点一 等差、等比数列的基本计算例1 (1)B (2)D [解析] (1)由S 8＝4S 4，得8a 1＋8×72×1＝4⎝⎛⎭⎫4a 1＋4×32×1，解得a 1＝12，所以a 10＝12＋(10－1)×1＝192. (2)因为3a n ＋1＋a n ＝0，a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }为等比数列，其公比为－13，首项a 1＝a 2－13＝－3，所以S 10＝－3×[1－（－13）10]1－（－13）＝94(3－10－1)．变式题 (1)C (2)D [解析] (1)因为a 3＝a 1q 2，2a 2＝2a 1q ，所以2a 1q 2＝4a 1＋2a 1q ，解得q ＝－1或q ＝2.(2)因为a 1＋a 17＝2a 9，所以S 17＝17（a 1＋a 17）2＝17a 9＝170，所以a 9＝10，所以a 7＋a 9＋a 11＝3a 9＝30.考点二 等差、等比数列的判断与证明例2 解：(1)证明：由题意知2S n ＝a n ＋1a n ，即2S n a n －a 2n ＝1，① 当n ＝1时，由①式可得S 1＝1或S 1＝－1(舍去)； 当n ≥2时，由①式得2S n (S n －S n －1)－(S n －S n －1)2＝1，整理得S 2n －S 2n －1＝1(n ≥2)． ∴{S 2n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)可得S 2n ＝1＋n －1＝n.∵{a n }的各项都为正数，∴S n ＝n ， ∴a n ＝S n －S n －1＝n －n －1(n ≥2)． 又a 1＝S 1＝1满足上式，∴a n ＝n －n －1.变式题 (1)B (2)②③ [解析] (1)∵4S n ＝(a n ＋1)2，∴4S n ＋1＝(a n ＋1＋1)2，∴4S n ＋1－4S n＝4a n ＋1＝(a n ＋1＋1)2－(a n ＋1)2，即(a n ＋1－1)2＝(a n ＋1)2，∴a n ＋1＝a n ＋2或a n ＋1＋a n ＝0.∵4a 1＝(a 1＋1)2，∴a 1＝1，∴a n ＋1＝a n ＋2或a n ＝(－1)n －1，∴选B .(2)若a n ＋1＝a n ＝0，则{a n }不是等比数列，故①错误；易知②正确；③中的{a n }是公比为－1的摆动数列：2，－2，2，－2，2，－2，…，故③正确；如对于等比数列：2，－2，2，－2，2，－2，…，则S 2＝0，S 4＝0，S 6＝0，显然S 2，S 4－S 2，S 6－S 4不成等比数列，故④错误．考点三 数列中a n 与S n 的关系问题例3 解：由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3，可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即 2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 又a n >0，所以a n ＋1－a n ＝2. 又由a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3，所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.变式题 解：(1)2a 1＝a 2－13－1－23，∴a 2＝4.(2)易知2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n.当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，∴2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，即(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n(n ＋1)， ∴a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 11＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为1，公差为1的等差数列，∴a nn ＝1＋(n －1)×1＝n ，∴a n ＝n 2. 高考易失分题9范例 －1n [解析] 因为a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，所以S 1＝－1，S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，所以1S n ＋1－1S n ＝－1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列，所以1S n ＝－n ，所以S n ＝－1n.高考预测 12×(1－13n ) [解析] 由2S n ＋a n ＝1，得S n ＝12(1－a n )，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12(1－a n )－12(1－a n －1)＝－12a n ＋12a n －1，即2a n＝－a n＋a n－1，∴a na n－1＝13(由题意可知a n－1≠0)，∴{a n}是公比为13的等比数列，而S1＝a1＝12(1－a1)，∴a1＝13，故S n＝13×（1－13n）1－13＝12(1－13n)．考点四等差、等比数列的综合应用例4解：(1)∵{a n}是等差数列，∴a1＋a2n－12＝a n，∴S2n－1＝a1＋a2n－12·(2n－1)＝(2n－1)a n.由a2n＝S2n－1，得a2n＝(2n－1)a n，又a n>0，∴a n＝2n－1.∵b n＝1a n a n＋1＝1（2n－1）（2n＋1）＝12(12n－1－12n＋1)，∴T n＝12(1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1)＝12(1－12n＋1)＝n2n＋1.(2)假设存在正整数m，k(1<m<k)，使得T1，T m，T k成等比数列，则T1·T k＝T2m.∵T1·T k＝k6k＋3＝16＋3k<16，∴T2m＝(m2m＋1)2＝m24m2＋4m＋1<16，∴2m2－4m－1＜0，∴1－62＜m＜1＋62，∵m∈N*且m＞1，∴m＝2，∴T22＝425，∴T1·T k＝k6k＋3＝425，得k＝12，∴当且仅当m＝2，k＝12时，T1，T m，T k成等比数列．变式题解：(1)由已知得⎩⎨⎧a1＋2d＝10，a1＋5d＝22，解得⎩⎨⎧a1＝2，d＝4，∴a n＝2＋(n－1)×4＝4n－2.(2)证明：T n＝1－13b n，①当n＝1时，b1＝1－13b1，解得b1＝34；当n≥2时，T n－1＝1－13b n－1.②①－②得b n＝13b n－1－13b n(n≥2)，∴b n＝14b n－1(n≥2)．又b1＝34≠0，∴数列{b n}是以34为首项，14为公比的等比数列．(3)证明：由(2)可得b n ＝34n ，∴c n ＝a n ·b n ＝3（4n －2）4n ，∴c n ＋1－c n ＝3[4（n ＋1）－2]4n ＋1－3（4n －2）4n ＝30－36n4n ＋1， 又n ≥1，∴c n ＋1－c n <0，∴c n ＋1<c n .■ 教师备用例题[备选理由] 例1是一道跟等差与等比数列的通项有关的问题，意在根据基本量求解数列问题；例2是一道递推数列题，涉及等差数列、等比数列的判断以及存在性问题，有一定的难度，是对听课例2的补充和加强；例3是根据S n 与a n ＋1的关系式求通项a n 的问题，并考查对数列型不等式的求解；例4综合考查等差、等比数列基本量的计算，以及求等比数列的前n 项和．例1(配听课例1使用)[2015·北京卷] 已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2.(1)求{a n }的通项公式．(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7，求b 6与数列{a n }的第几项相等？ 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d. 因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4， 所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ＝1，2，…)． (2)设等比数列{b n }的公比为q. 因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16， 所以q ＝2，b 1＝4， 所以b 6＝4×26－1＝128. 由128＝2n ＋2得n ＝63，所以b 6与数列{a n }的第63项相等．例2(配听课例2使用)在数列{a n }中，已知a 1＝a 2＝1，a n ＋a n ＋2＝λ＋2a n ＋1，n ∈N *，λ为常数．(1)证明：a 1，a 4，a 5成等差数列．(2)设c n ＝2a n ＋2－a n ，求数列{c n }的前n 项和S n .(3)当λ≠0时，数列{a n －1}中是否存在三项a s ＋1－1，a t ＋1－1，a p ＋1－1成等比数列，且s ，t ，p 也成等比数列？若存在，求出s ，t ，p 的值；若不存在，说明理由．解：(1)证明：因为a n ＋a n ＋2＝λ＋2a n ＋1，a 1＝a 2＝1，所以a 3＝2a 2－a 1＋λ＝λ＋1.同理，a 4＝2a 3－a 2＋λ＝3λ＋1，a 5＝2a 4－a 3＋λ＝6λ＋1， 所以a 4－a 1＝3λ，a 5－a 4＝3λ， 所以a 4－a 1＝a 5－a 4，故a 1，a 4，a 5成等差数列．(2)由a n ＋a n ＋2＝λ＋2a n ＋1，得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋λ. 令b n ＝a n ＋1－a n ，则b n ＋1－b n ＝λ，b 1＝a 2－a 1＝0， 所以{b n }是以0为首项，λ为公差的等差数列， 所以b n ＝b 1＋(n －1)λ＝(n －1)λ， 即a n ＋1－a n ＝(n －1)λ，所以a n ＋2－a n ＝2(a n ＋1－a n )＋λ＝(2n －1)λ，所以c n ＝2a n ＋2－a n ＝2(2n －1)λ，所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝2λ＋23λ＋25λ＋…＋2(2n－1)λ.当λ＝0时，S n ＝n ；当λ≠0时，S n ＝2λ＋23λ＋25λ＋…＋2(2n －1)λ＝2λ（1－22n λ）1－22λ. 所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，λ＝0，2λ（1－22n λ）1－22λ，λ≠0.(3)由(2)知a n ＋1－a n ＝(n －1)λ，用累加法可求得a n ＝1＋（n －1）（n －2）2λ(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，所以a n ＝1＋（n －1）（n －2）2λ(n ∈N *)．假设存在三项a s ＋1－1，a t ＋1－1，a p ＋1－1成等比数列，且s ，t ，p 也成等比数列， 则(a t ＋1－1)2＝(a s ＋1－1)(a p ＋1－1)， 即t 2（t －1）24＝s （s －1）p （p －1）4.因为s ，t ，p 成等比数列，所以t 2＝sp ，所以(t －1)2＝(s －1)(p －1)，化简得s ＋p ＝2t ，联立t 2＝sp ，得s ＝t ＝p ，这与题设矛盾．故不存在三项a s ＋1－1，a t ＋1－1，a p ＋1－1成等比数列，且s ，t ，p 也成等比数列． 例3(配听课例3使用)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1，数列{b n }为等差数列，且b 3＝3，b 5＝9.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，(S n ＋12)·k ≥b n 恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋1①，得当n ≥2时，a n ＝2S n －1＋1②，①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)(n ≥2)，∴a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3，a 1＝1也满足上式，∴a n ＝3n －1.设数列{b n }的公差为d ，则b 5－b 3＝2d ＝6，∴d ＝3， ∴b n ＝3＋(n －3)×3＝3n －6. (2)由(1)可得S n ＝1－3n 1－3＝3n －12，∴(3n －12＋12)k ≥3n －6对n ∈N *恒成立，∴k ≥6n －123n对n ∈N *恒成立．令c n ＝3n －63n ，则当n ≥2时，c n －c n －1＝3n －63n －3n －93n －1＝－2n ＋73n －1，∴当1<n ≤3时，c n＞c n －1，当n ≥4时，c n ＜c n －1，故c n 的最大值为c 3＝19，∴实数k 的取值范围是[29，＋∞)．例4(配听课例4使用)设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正整数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 13b 2＝50，a 8＋b 2＝a 3＋a 4＋5，n ∈N *.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{d n }满足d n d n ＋1＝(12)－8＋log 2b n ＋1(n ∈N *)，且d 1＝16，试求{d n }的通项公式及其前2n 项和S 2n .解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，依题意有q >0，且⎩⎨⎧（1＋12d ）q ＝50，（1＋7d ）＋q ＝（1＋2d ）＋（1＋3d ）＋5， 即⎩⎨⎧（1＋12d ）q ＝50，2d ＋q ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2或⎩⎨⎧d ＝1112，q ＝256. ∵{b n }是各项都为正整数的等比数列，∴⎩⎨⎧d ＝2，q ＝2，从而a n ＝1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝q n －1＝2n －1.(2)∵b n ＝2n －1，∴log 2b n ＋1＝n ，∴d n d n ＋1＝(12)－8＋n ，d n ＋1d n ＋2＝(12)－7＋n ， ∴d n ＋2d n ＝12. 由d 1＝16，d 1d 2＝(12)－8＋1＝128，可得d 2＝8， ∴d 1，d 3，d 5，…是以d 1＝16为首项，12为公比的等比数列；d 2，d 4，d 6，…是以d 2＝8为首项，12为公比的等比数列， ∴当n 为偶数时，d n ＝8×(12)n 2－1＝16×(22)n ； 当n 为奇数时，d n ＝16×(12)n ＋12－1＝162×(22)n . 综上，d n ＝⎩⎨⎧16×（22）n ，n 为偶数，162×（22）n，n 为奇数， ∴S 2n ＝(d 1＋d 3＋…＋d 2n －1)＋(d 2＋d 4＋…＋d 2n )＝16×[1－（12）n ]1－12＋8×[1－（12）n ]1－12＝32×[1－(12)n ]＋16×[1－(12)n ]＝48－48×(12)n .。