IIR和FIR数字滤波器的设计及其结构研究

IIR 和FIR 数字滤波器的设计及其结构研究1. 摘要数字滤波器是一个离散系统，其系统函数一般可以表示为1-z 的有利多项式形式，即 ∑∑=-=-+=N i ii M j jj z a z b H 101 （1-1)当{i a ;i=1,2,...,N}都为零时，由式1-1描述的系统为有限脉冲响应数字滤波器，简称FIR 数字滤波器。

当系数{i a ;i=1,2,...,N}中至少有一个为非零时，式1-1描述的系统称为无限脉冲响应数字滤波器，简称IIR 数字滤波器。

对于数字滤波器，一般满足N M ≤，这是系统称为N 阶IIR 数字滤波器。

对于FIR 数字滤波器，系统函数中1-z 的有理多项式的最高次幂M 就是其阶数.2. 数字滤波器设计的意义随着数字集成电路，设备和系统技术的快速进步，通过数字方法进行信号处 理已变得越来越有吸引力。

目前主要有两类滤波器，模拟滤波器和数字滤波 器，它们在物理组成和工作方式上完全不同，而模拟滤波器的技术发展已相当成 熟，与模拟滤波器相比，数字滤波器是DSP(数字信号处理)系统独特而又重要的一类，是通过计算算法将输入数字序列转换为不同输出序列的离散时间系统，具有更高的精确度和可靠性，使用灵活、方便，已经成为数字信号处理技术中的重要手段。

如频谱分析，数字图像处理和语音处理等等。

目前随着计算机技术和数字信号处理器芯片的发展，研究不同数字滤波器的设计原理和稳定性分析对于满足军事、航空、民营等等各个领域的信号处理要求具有十分重要的意义。

3. IIR 数字滤波器设计的基本过程IIR 滤波器的设计就是根据给定的数字滤波器指标确定滤波器的阶数N 和系数﹛i i b a ,﹜。

在满足技术指标的条件下，滤波器的阶数应尽可能的低，从而降低成本。

我们在设计IIR 数字滤波器时一般是通过模拟滤波器来设计数字滤波器。

其中IIR 数字滤波器的设计过程如图3.1。

图3.1 IIR 数字滤波器的设计过程 3.1 模拟滤波器的设计及方法常用的IIR 滤波器设计是以模拟滤波器设计为基础。

在设计模拟滤波器时，先将待设计的模拟滤波器技术指标转换为模拟低通滤波器技术指标，然后设计模拟低通滤波器，再通过频率变换将模拟低通滤波器转换为所需要的滤波器。

因此模拟低通滤波器的设计是模拟滤波器设计的基础。

3.1.1 butterworth 模拟低通滤波器butterworth 模拟低通滤波器简称BW 型低通滤波器，其幅度相应的模仿为：N j H 2c 2)11)(ωωω（+=式中N 为滤波器阶数，c ω为滤波器的3dB 截止频率， 当1=c ω时，butterworth 模拟低通滤波器称为归一化的butterworth 模拟低通滤波器。

设计步骤为：（1）由滤波器的设计指标s p A A 、、、p s ωω和公式)lg(2)10110lg(11.01.0p s A A P S N ωω--≥确定滤波器的阶数N 。

（2）由公式N A SC N A pS p 211.0211.0)110()110(-≤≤-ωωω确定c ω。

（3）由公式)21221(Nk j c k e s -+=πω N k ⋯=,2,1,计算S 左半平面的N 个极点。

（4）由公式∏=--=N k kk s s s s H 1)(确定滤波器的系统函数H(s)。

3.1.2 chebyshev 模拟低通滤波器butterworth 模拟低通滤波器通带和阻带内都存在许多裕量。

chebyshev 模拟低通滤波器的幅度响应在一个频带中具有等波纹特性可以降低滤波器的阶数。

Chebyshev I 型模拟低通滤波器（简称CB I ）的幅度响应在通带是等波纹的，在阻带单调下降。

Chebyshev II 型模拟低通滤波器（简称CB II ）的幅度响应在通带单调下降，在阻带是等波纹的。

CB I 型模拟低通滤波器其幅度响应为：)(11)(222c h c j H ωωεω+=，其中N 是滤波器的阶数，c ωε和是滤波器的参数，)(x C N 是N 阶Chebyshev 多项式。

设计步骤如下：（1）由通带频率p ω确定c ω： p ω=c ω。

（2）由通带衰减p A 确定ε： 1101.0-=p A ε。

（3）确定εω和c 后，根据阻带衰减s A 由幅度响应可求出N 的阶数为：)(arccos )1101(arccos 1.0p s A h h N p ωωε-≥(4)由模方2(）ωj H 求滤波器的极点。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=N k j N k s c k 2)12(cos )cosh(2)12(sin )sinh(πβπβω， N k ⋯=，，21 其中：N)1(arcsinh εβ= (5)由极点确定系统函数H(s)：∏=-=Nks s H s H 1k 0)( CB II 型低通滤波器其幅度相应模方为：)(1)()(111)(2222222ωωεωωεωεωC N C N C N C C C j H +=+-= 其中N 是滤波器阶数，ωε和是滤波器的参数。

设计的具体步骤如下：（1）由通带频率s ω确定c ω： s ω=c ω。

（2）由通带衰减s A 确定ε： 11011.0-=s A ε。

（3）确定εω和c 后，根据阻带衰减s A 由幅度响应可求出N 的阶数为：)(arccos )1101(arccos 1.0p s A h h N p ωε-≥（4）由c ωε、、N 表查获CB II 型低通滤波器的系统函数H(s)CB I 型和CB II 型低通滤波器最大的区别是CB I 型模拟低通滤波器在通带等波纹波动，参数ε控制通带波动，而CB II 型低通滤波器在阻带等波纹波动，参数ε控制阻带波动。

模拟低通滤波器不仅包括butterworth 模拟低通滤波器和chebyshev 模拟低通滤波器，还有椭圆模拟低通滤波器，其具体设计不做介绍。

3.1.3 模拟高通、带通和带阻滤波器设计模拟高通、带通和带阻滤波器设计过程如图3.2所示。

在进行模拟滤波器设计时，需要通过频率变换将待设计模拟滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标，频率转换只对应衰减响应)(ωA 的横坐标频率轴进行转换，而对纵坐标衰减幅度没有影响，所以转换后的模拟低通滤波器的通带衰减p A 与待设计滤波器相同。

图3.2 模拟滤波器的设计过程 3.2 IIR 数字滤波器设计方法IIR 数字滤波器设计的基本方法是首先将数字滤波器的设计指标转换为模拟滤波器的设计指标，然后再将模拟滤波器H(s)转换为数字滤波器H(z)，转换时要求模拟域到数字域的映射满足两个条件：第一，两者的频率特性不变，即s 平面的虚轴ωj 必须映射到z 平面的单位圆上；第二，变换后的滤波器仍是稳定的，在s 左半平面必须映射到z 平面的单位圆内。

这样才能保证变换前后的频率响应基本一致。

常用的方法是脉冲响应不变法和双线性变换法。

3.2.1 脉冲相应不变法脉冲相应不变法通过对模拟滤波器的单位冲击响应等间隔抽样来获得对应数字滤波器的单位脉冲响应，即：[])()(kT h t h k h kt t ===其中T 是抽样间隔若已知模拟滤波器的系统函数H(s)，则利用脉冲响应不变法将H(s)变换为数字滤波器的系统函数H(z)的步骤如图3.3图 3.3 利用脉冲响应不变法将H(s)变换为H(z) 利用脉冲响应不变法设计通带截频｛p Ω｝、通带衰减P A 、阻带截频｛s Ω｝、阻带衰减s A 的数字滤波器，其设计步骤如下：（1）将数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标。

利用T Ω=ω将数字滤波器的频率指标转换为模拟滤波器的频率指标，转换后模拟滤波器的通带衰减P A 和阻带衰减s A 与数字滤波器想同。

（2）设计通带截频｛p Ω｝、通带衰减P A 、阻带截频｛s Ω｝、阻带衰减s A 的模拟滤波器的H(s)。

模拟滤波器可以通过BW 型、CB I 型、CB II 型和椭圆模拟低通滤波器而设计。

（3）利用脉冲响应不变法将模拟滤波器的H(s)转换为数字滤波器的H(z)。

转换步骤如图3-2所示。

也可利用脉冲响应不变法的基本原理直接建立H(s)和H(z)的对应关系。

当H(s)只有一阶极点时，脉冲响应不变法可由：1111---→+plTz l ep s 的映射完成，同理可以推出H(s)的重阶极点的映射关系。

由时域抽样理论可知，脉冲响应不变法获得的数字滤波器的频率响应：∑∞-∞=Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=n j T n j H T e H πω2(1)( 为消除因子T 1对数字滤波器幅度的影响，将在模拟滤波器转换为数字滤波器时，将H(s)乘上常数因子T 然后再将T H(s)转换成H(z)。

3.2.2 双线性变换法双线性变换法的基本思想是，在将模拟滤波器转换为数字滤波器时，先将非带限的H(s)映射为带限的)('s H ，在通过脉冲响应不变法将's 域映射到z 域。

从频域来看模拟频率ω与数字频率Ω的关系需通过'ω来建立，由于T 'ω=Ω可得由模拟频率计算数字频率的关系式：)2arctan(2ωT =Ω 可以建立s 域到z 域的映射关系：Ω-Ω-+-=Ω=j j e e T T j j 112)2tan(2ω 令Ω==j e j s z ，ω可得s 平面和z 平面的映射关系：11z 1z 12s --+-=T S T S T z -+=22 上式即为双线性变换。

利用双线性变换法设计通带截频｛p Ω｝、通带衰减P A 、阻带截频｛s Ω｝、阻带衰减s A 的数字滤波器，其设计步骤如下：（1）将数字滤波器的频率指标｛k Ω｝换为模拟滤波器的频率指标｛k ω｝（2）设计通带截频｛p ω｝、通带衰减P A 、阻带截频｛s ω｝、阻带衰减s A 的模拟滤波器H(s)。

（3）利用双线性变换法将模拟滤波器H(s)转换为数字滤波器的H(z)。

11112)()(--+-==z z T s s H z H3.3 脉冲相应不变法和双线性变换法的优缺点脉冲响应不变法将模拟滤波器转换为数字滤波器时，数字滤波器能较好的保持滤波器的幅度响应。

但实际应用中模拟滤波器一般不满足带限条件，数字滤波器的频率响应都存在混叠。

尤其对于模拟高通和带阻滤波器，由于混叠严重，所以不能用脉冲响应不变法将模拟高通和带阻滤波器转换为数字滤波器。

双线性变换法转换滤波器的过程中，一个因果稳定的模拟系统经过变换后仍是因果稳定系统。

双线性变换法不会出现混叠现象，但Ω与不再是线性关系。

当模拟滤波器的幅度响应为分段常数活通带为常数时，双线性变换后的数字滤波器能保持原有的幅度响应，而模拟滤波器的过渡带是线性时，变换后的数字滤波器的幅度响应则是非线性的。

所以双线性变换法一般适合于设计幅度响应为分段常数的数字滤波器，不适合设计像数字微分器等幅度响应为非常数的数字滤波器。