第二十五次作业第二十二章曲面积分1第一型曲面积分

第二十二章曲面积分习题课一 疑难问题与注意事项1.第一型曲面积分的计算方法：答 1）先把S 的方程代入，再利用SdS ⎰⎰为S 的表面积；例如,22⎰⎰+S yx dS其中S 为柱面222R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分； 解22221122SSdS H dS RH x y R R Rππ===+⎰⎰⎰⎰. 2)利用公式（1）设有光滑曲面:(,),(,)S z z x y x y D =∈，(,,)f x y z 为S 上的连续函数，则(,,)(,,(,SDf x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰．注 一投------将曲面S 向xOy 面投影得D ；二代------将(,)z z x y =代入到(,,)f x y z 中； 三变换------dS.（2）类似地，如果光滑曲面S 由方程(,),(,)x x y z y z D =∈，则(,,)d ((,),,d SDf x y z S f x y z y z y z =⎰⎰⎰⎰，其中D 表示曲面S 在yOz 面上的投影．（3）如果光滑曲面S 由方程(,),(,)y y x z x z D =∈，则(,,)d (,(,),d SDf x y z S f x y x z z x z =⎰⎰⎰⎰．其中D 表示曲面S 在xOz 面上的投影．3)利用对称性（1）若曲面∑关于xoy 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑位于xoy 上部的曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z z f x y z S f x y z S f x y z z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（2）若曲面∑关于yoz 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑中0x ≥的那部分曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z x f x y z S f x y z S f x y z x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（3）若曲面∑关于xoz 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑中0y ≥的那部分曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z y f x y z S f x y z S f x y z y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（4）若积分曲面∑关于,,x y z 具有轮换对称性,则有[]1(,,)(,,)(,,)3f x y z f y z x f z x y ds ∑=++⎰⎰． 2.第二型曲面积分的方法：答 1）公式：（1）设R 是定义在光滑曲面上的连续函数， 以S 的上侧为正侧，则有注一投-----曲面:(,)S z z x y =向xOy 面投影得D ；二代----将(,)z z x y =代入到(,,)R x y z 中；三定向—看S 的法线方向与z 轴的夹角，若夹角为锐角，则为正，否则为负． （2）类似地，当P 在光滑曲面 上连续时，有这里S 是以S 的法线方向与x 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，（3）当Q 在光滑曲面 上连续时，有这里S 是以S 的法线方向与y 轴的正向成锐角的那一侧为正侧． 2）若(,)z z x y =，则 3）高斯公式注 高斯公式(),VSP Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰的适用条件是：1）函数(,,)P x y z ，(,,)Q x y z ，(,,)R x y z 在V 上具有一阶连续的偏导数． 2）S 封闭，若S 不封闭需要补面，让它封闭，假如补面S *后封闭，则有 3）S 取外侧；如果S 取内侧，则S -取外侧，则有 3.各种积分间的联系τ格林公式 n二 1.计算第一型曲面积分()Sx y z dS ++⎰⎰，其中S 是上半球面2222x y z a ++=(0)a >，0z ≥．解 把:S z=xoy 面投影得222:D x y a +≤(()SDx y z dS x y ++=+⎰⎰⎰⎰3a π=．注(0Dx y +=⎰⎰，因为222:D x y a +≤关于,x y 轴对称，且(x y +2.计算曲面积分2Sz dS ⎰⎰，其中S 是球面2222xy z a ++=．解： ∵球面2222x y z a ++=关于x ,y ,z 具有对称性， ∴222SSSx dS y dS z dS ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ∴2Sz dS ⎰⎰=2221()3Sx y z dS ++⎰⎰ =22133S Sa a ds ds =⎰⎰⎰⎰22214.433a a a ππ==． 3．计算曲面积分⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z )(2，其中∑是旋转抛物面)(2122y x z +=介于平面0=z 及2=z 之间部分的下侧．解 补平面2:1=∑z 的上侧，则1∑+∑为封闭曲面，在其上应用高斯公式：π82)11(=+-=⎰⎰⎰⎰⎰ΩxyD dxdy dxdydz ．4．计算第二型曲面积分Sxdydz ydzdx zdxdy -+⎰⎰，其中曲面S为椭球面2222221x y z a b c ++=的上半部分，其方向为下侧． 解：为求1SI xdydz ydzdx zdxdy =-+⎰⎰ (S 取下侧)，只须求2SI xdydz ydzdx zdxdy =-+⎰⎰(S 取上侧)，那么12I I =-．为求2I ，将S 与底面'S (其中'S 是S 在xoy 坐标面上的投影)组成的封闭曲面记为total S ，即'total S SS =，其中S 方向取上侧，'S 方向取下侧．设total S 围成的区域为()222222,,|1,0x y z V x y z z a b c ⎧⎫=++≤≥⎨⎬⎩⎭，由高斯公式：213Vabcdxdydz π==⎰⎰⎰． 又由于'0S xdydz ydzdx zdxdy -+=⎰⎰，那么223I abc π=，从而 123SabcI xdydz ydzdx zdxdy π=-+=-⎰⎰． 5．计算Sxdydz ydzdx zdxdy ++⎰⎰，其中S是上半球面z =解：曲面S 不封闭，补上曲面2221:0()S z x y a =+≤，取下侧6.⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333，其中S 是单位球面1222=++z y x 的外侧． 解333222()SVx dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz ++=++⎰⎰⎰⎰⎰2140123sin 5d d r dr ππϕθϕπ==⎰⎰⎰．7.求222222()()()CI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰，其中C 是立方体{0,0,0,}x a y a z a ≤≤≤≤≤≤的表面与平面32x y z a ++=的交线，取向从z 轴正向看去是逆时针方向． 解：可见交线若分为六段积分的计算量很大，且C 也不便于表示为一个统一的参数式，因C 为闭曲线，且22P y z =-，22Q z x =-，22R x y =-连续可微，故考虑用斯托克斯公式，令∑为32x y z a ++=被C 所围的一块，取上侧，则C 的取向与∑的取侧相容，应用斯托克斯公式得23394()242a x y z dS dS a a ∑∑=-++==-⋅=-⎰⎰⎰⎰． 8.计算()d ()d ()d I z y x x z y x y z Γ=-+-+-⎰，其中221:2x y x y z ⎧+=Γ⎨-+=⎩，从z 轴正向看为顺时针方向（图10-23）．解 用斯托克斯公式取:2x y z ∑-+=以Γ为边界所围有限部分的下侧，它在xOy 面上的投影区域为22{(,)1}xy D x y x y =+≤，则d d d d d d y z z x x yI x y z z yx zx y∑∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰2d d 2d d 2xyD x y x y π∑==-=-⎰⎰⎰⎰．。

第一型曲面积分参数方程形式【实用版】目录一、引言二、第一型曲面积分参数方程形式的概念1.参数方程的定义2.第一型曲面积分的定义三、第一型曲面积分参数方程形式的求解方法1.坐标变换法2.极坐标法3.参数方程法四、第一型曲面积分参数方程形式的应用五、总结正文一、引言在数学领域，曲面积分是一种重要的计算工具。

在解决实际问题时，常常需要对曲面进行积分运算。

而第一型曲面积分是曲面积分的一种，主要是对曲面上某一属性的积分。

为了更好地理解和解决第一型曲面积分问题，我们需要先了解其参数方程形式的概念。

二、第一型曲面积分参数方程形式的概念1.参数方程的定义参数方程是指用参数来表示空间中某一点的位置关系的方程，通常表示为 x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)。

参数方程中的参数 t 可以取遍全体实数，用于描述空间中某一点的位置。

2.第一型曲面积分的定义第一型曲面积分是对曲面上某一属性的积分，例如密度、温度等。

它是用曲面的面积分来表示该属性在曲面上的总和。

具体来说，假设曲面的参数方程为 x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，则第一型曲面积分可以表示为：∫(x(t), y(t), z(t))dS三、第一型曲面积分参数方程形式的求解方法求解第一型曲面积分参数方程形式，通常有以下几种方法：1.坐标变换法坐标变换法是将参数方程转换为直角坐标方程，然后进行积分运算。

具体来说，假设参数方程为 x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，则可以通过坐标变换，将其转换为直角坐标方程，然后进行积分运算。

2.极坐标法极坐标法是将参数方程转换为极坐标方程，然后进行积分运算。

具体来说，假设参数方程为 x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，则可以通过极坐标变换，将其转换为极坐标方程，然后进行积分运算。

3.参数方程法参数方程法是直接对参数方程进行积分运算。

这种方法的优点是避免了坐标变换的过程，简化了计算过程。

但是，它要求曲面的参数方程满足一定的条件，例如参数的范围、连续性等。

第二十二章曲面积分§1 第一型曲面积分1. 计算下列第一型曲面积分:(1)()⎰⎰++SdS z y x ,其中S 是上半球面0,2222≥=++z a z y x;解 由对称性得0==⎰⎰⎰⎰SSydSxdS ,只要计算⎰⎰SzdS 即可.因为222222222,,yx a y z yx a x z y x a z y x ---=---=--=,所以3222222a dxdy azdS dxdy y x a adS a y x Sπ==⇒--=⎰⎰⎰⎰≤+, 则()3a dS z y x Sπ=++⎰⎰. (2)()⎰⎰+SdS y x22,其中S 为立体122≤≤+z y x ;的边界曲面;解 因为曲面S 是由1,1:,:222221≤+=+=y x z S y x z S 组成,它们在xOy 平面上的投影区域是122≤+y x .故()()()()()()122220132010312222222222222221+=+=+++=+++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+πθθππdr r d dr r d dxdy y xdxdy y xdSy x dS y x dS y xy x zy x S S S(3)⎰⎰+S y x dS 22,其中S 是柱面222R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分; 解R HRH R dS R y x dS SSππ22112222===+⎰⎰⎰⎰.(4)⎰⎰SxyzdS ,其中S 是平面1=++z y x 在第一卦限中的部分.解()()1203163111031010=-=+--=⎰⎰⎰⎰⎰-dx x x dy y y x y xdx dS xyz xS. 2. 求均匀曲面0,0,0,2222≥≥≥=++z y x a z y x 的重心. 解 设重心坐标为()z y x ,,,由对称性得:z y x ==,SzdSdSzdS z SSS⎰⎰⎰⎰⎰⎰==,其中221a S π=.而dxdy yx a a z z dS y x 222221--=++=.则341a adxdy zdS DS π==⎰⎰⎰⎰(D 为S 在xOy 平面上的投影),2a z =.因而重心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2a a a . 3. 求密度为ρ的均匀球面0,2222≥=++z a z y x 对于z 轴的转动惯量.解()()420223222222222223412222222222a dr r a r d a dxdy yx a y x adxdyz z y xadS y xJ aa y x ay x y x az y x z πρθρρρρπ=-=--+=+++=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+=++4. 计算⎰⎰SdS z 2,其中S 为圆锥表面的一部分: ⎩⎨⎧≤≤≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===,20,0:.cos ,sin sin ,sin cos :πϕθθϕθϕa r D r z r y r x S这里θ为常数⎪⎭⎫⎝⎛<<20πθ. 解 这里S 的参量方程以ϕ,r 为参量.因为.sin sin cos sin sin ,0sin cos sin sin cos sin ,1cos sin sin sin cos 222222222222222222222θθϕθϕθϕϕθϕϕθθϕθϕϕϕϕϕϕϕr r r z y x G r r z z y y x x F z y x E r r r r r r =+=++==+-=++==++=++=所以,根据公式(1.2)得θθπθθϕϕθπ24022202222cos sin 21sin cos cos a dr r r d drd F EG r dS z aSS =⋅=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰. §2 第二型曲面积分1. 计算下列第二型曲面积分:(1)()()⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdx xdydz z x y 22,其中S 为由,0===z y x z y x ===a 六个平面所围成的立方体表面并取外侧为正向;解 ()()2224020220000a dy y a dy y a y a yzdz dy dz z a y dy dydz z x y a aaaaaS=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 002022=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰a aa aSdx x dz dx x dz dzdx x;()()240222a dy y dx dy ax y dx dxdy xz yaaa aS=-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.所以 ()()422a dxdy xz y dzdx x dydz z x y S=+++-⎰⎰. (2)()()()⎰⎰+++++Sdxdy x z dzdx z y dydz y x ,其中S 是以原点为中心,边长为2的立方体表面并取外侧为正向;解 由被积表达式的结构和积分曲面的对称性知,z y x ,,两两对称.由对称性知,只需计算其中之一即可.又()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰----=+--+=+11111111811dz y dy dz y dy dydz y x S,故()()()2483=⨯=+++++⎰⎰Sdxdy x z dzdx z y dydz y x .(3)⎰⎰++Sxzdxdy yzdzdx xydydz,其中S 为由平面0===z y x 和1=++z y x 所围成的四面体表面并取外侧为正向;解 由对称性知,只需计算⎰⎰Sxzdxdy 即可.而()()()()24112111102210102=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-dx x x x x dy xy xx dx dxdy y x x xzdxdy xD Sxy故812413=⨯=++⎰⎰Sxzdxdy yzdzdx xydydz . (4)⎰⎰Syzdzdx ,其中S 是球面1222=++z y x的上半部分并取外侧为正向;解 由于曲面S 是上半球面,积分运算应作球坐标变换,令ϕϕθϕθcos ,sin sin ,sin cos ===z y x ,其中πθπϕ20,20≤≤≤≤.故4cos sin sin 202022πθϕϕθϕππ==⎰⎰⎰⎰d d yzdzdx S.(5)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222,其中S 是球面()()()2222R c z b y a x =-+-+-并取外侧为正向. 解 对于⎰⎰Sdydz x 2,S 可表示为()()()yz D z y c z b y R a x ∈-+--±=,,222.于是 ()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----=⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎭⎫ ⎝⎛----+=yzyzyzDD DS dydzc z b y R a dydz c z b y R a dydz c z b y R a dydz x 2222222222224作变量替换:θθsin ,cos r c z r b y +=+=,得a R dr r R r d a dydz x R S3200222384πθπ=-=⎰⎰⎰⎰. 同理可得.38,383232c R dxdy z b R dzdx y SSππ==⎰⎰⎰⎰ 所以()c b a R dxdy z dzdx y dydz x S++=++⎰⎰322238π. 2. 设某流体的流速为()0,,y k v =,求单位时间内从球面4222=++z y x 的内部流过球面的流量.解 设流量为E ,则ππ33223403=⋅+=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰SS ydzdx k ydzdx kdydz E 球前球后. 3. 计算第二型曲面积分()()()⎰⎰++=Sdxdy z h dzdx y g dydz x f I 其中S 是平行六面体()c z b y a x ≤≤≤≤≤≤0,0,0的表面并取外侧为正向,()()()z h y g x f ,,为S 上的连续函数.解 设平行六面体在xOy zOx yoz ,,面上的投影区域分别为xy zx yz D D D ,,,则有()()[]()()[]()()[]()()[]()()[]abh c h ca g b g bc f a f dxdyh c h dydz f a f I xyyzD D 00000-+-+-=-+-=⎰⎰∑⎰⎰4. 设磁场强度为()z y x E ,, ,球从球内发出通过上半球面0,2222≥=++z a z y x 的磁通量.解 所求磁通量⎰⎰++=ΦSzdxdy ydzdx xdydz .其中S 为题目所给的上半球面并取上侧为正向.首先().322230022222222222a dr r a r d dydzz y a dydz z y a dydz z y a xdydz a D D D Syzyzyzπθπ=-=--=------=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰类似地,有332a ydzdx Sπ=⎰⎰.又 .32320022222a dr r a r d dxdy y x a zdxdy a D S xyπθπ=-=---=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 故 33332323232a a a a ππππ=++=Φ. §3 高斯公式和斯托克斯公式1. 应用高斯公式计算下列曲面积分:(1)⎰⎰++Sxydxdy zxdzdx yzdydz ,其中S 是单位球面1222=++z y x的外侧;解 00==++⎰⎰⎰⎰⎰VSdxdydzxydxdy zxdzdx yzdydz .(2)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x222,其中S 是立方体a z y x ≤≤,,0表面的外侧;解()()()()4032002000222322222a dx a x a dy a a y x dx dzz y x dy dx dxdydz z y x dxdy z dzdx y dydz x a aaaaaVS =+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x222,其中S 是锥面222z y x =+与平面h z =所围空间区域()h z ≤≤0的表面,方向取外侧;解()⎰⎰⎰⎰⎰++=++VSdxdydz z y x dxdy z dzdx y dydz x 2222, 由柱面坐标变换z z r y r x ===,sin ,cos θθ,其中h z r h r ≤≤≤≤≤≤,0,20πθ得 原式()4202sin cos 2h dz z r r dr d h hrπθθθπ=++=⎰⎰⎰.(4)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333,其中S 是单位球面1222=++z y x 的外侧; 解 原式()πϕθϕππ512sin 302014222==++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰dr r d d dxdydz z y xV. (5)⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz ,其中S 是上半球面222y x a z --=的外侧;解 因为S 不是封闭曲面,故需补一个曲面2221,0:a y x z S ≤+=.则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-=++-++=+++vS S S Sa dv zdxdy ydzdx xdydz zdxdy ydzdx xdydz zdxdy ydzdx xdydz 320311π. 2. 应用高斯公式计算三重积分()⎰⎰⎰++Vdxdydz zx yz xy ,其中V 是有10,0,0≤≤≥≥z y x 与122≤+y x 所确定的空间区域.解(方法1) 记.0,10,10:;0,10,10:;0,1,10,0,0:32221=≤≤≤≤=≤≤≤≤=≤+≤≤≥≥y z x D x z y D z y x z y x D根据高斯公式,得()⎰⎰⎰⎰⎰++=++SVxyzdxdy xyzdzdx xyzdydzdxdydz zx yz xy ,其中S 为V 的边界曲面,并取外侧.因为81cos sin 201031===⎰⎰⎰⎰⎰⎰πθθθdr r d xydxdy dxdy xyz D S, 6111101222=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰dz y yz dy dydz y yz dydz xyz D S, 6111101223=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰dz x xz dx dzdx x xz dzdx xyz D S, 所以()2411616181=++=++⎰⎰⎰Vdxdydz zx yz xy . 方法2()()()()()()().24111121121112111212110210210210101010210102222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-dx x x dx x ydy y dy xdx zdz x dx ydz y dy xdxdy zdzdx x ydydz y xdxdyz zdzdx y ydydz x dxdydz zx yz xy x D D D SVxyzx yz3. 应用斯托克斯公式计算下列曲线积分:(1)()()()⎰+++++Ldz y x dy z x dx z y222222,其中L 为1=++z y x 与三坐标面的交线,它的走向使所围平面区域上侧在曲线的侧;解 L 可看成为曲面()1,0,01:≤+≥≥--=y x y x y x z S 的边界,所以由斯托克斯公式()()()()()()⎰⎰⎰-+-+-=+++++SLdxdy y x dzdx x z dydz z y dz y x dy z x dx z y2222222.因()()()()012111021010=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=-⎰⎰⎰⎰⎰-dy y y y dz z y dy dydz z y yS,同理()()0⎰⎰⎰⎰=-=-SSdxdy y x dzdx x z ,所以原式0=.(2)⎰++Lzdz dy dx y x 32,其中L 为y x z y ==+,122所交的椭圆正向;解 设S 为由122=+z y 与y x =所交椭圆面,L 为其边界.S 在xOy 平面上的投影区域11,0,:≤≤-==x z x y D xy ,则原式()033300222222=-=-=-++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyD SSdxdy y x dxdy y x dxdy y xdzdx dydz .(3)()()()⎰-+-+-Ldz x y dy z x dx y z ,其中L 为以()()()a C a B a A ,0,0,0,,0,0,0,为顶点的三角形沿ABCA 的方向;解()()()2222321212122111111a a a a dxdydzdx dydz dxdy dzdx dydz SS=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+++++=⎰⎰⎰⎰原式4. 求下列全微分的原函数:(1) xydz xzdy yzdx ++; (2) ()()()dz xy z dy xz y dx yz x 222222-+-+-.解 (1) 因为()()C xyz z y x u xydz zxdy yzdx xyz d +=⇒++=,,. (2) 因为()()()()dz xy z xz y dx yz x xyz z y x d 222231222333-+-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++, 所以原函数()()C xyz z y x z y x u +-++=231,,333. 5. 验证下列曲线积分与路线无关,并计算其值: (1) ()()⎰--+4,3,21,1,132dz z dy y xdx ;(2)()()⎰++++222111,,,,222z y x z y x z y x zdzydy xdx ,其中()()222111,,,,,z y x z y x 在球面2222a z y x =++上.解 (1) 在3R 内有dz z dy y xdx z y x d 32432413121-+=⎪⎭⎫⎝⎛-+.所以所给曲线积分与路线无关,且可得原积分1275341331221-=++=⎰⎰⎰-dz z dy y xdx . (2) 在(){}0,0,0\3R =Ω内有()222222zy x zdz ydy xdx z y xd ++++=++,所以所给曲线积分与路线无关,且可得212121212121222222122221212222222122221212=++++++++=++++++++=⎰⎰⎰z z y y x x z z y y x x z y x z y x z y x z y x zdzz y x ydydx z y x x 原积分.6. 证明:由曲面S 所包围的立体V 的体积V ∆为()⎰⎰++=∆SdS z y x V γβαcos cos cos 31,其中γβαcos ,cos ,cos 为曲面S 的外法线方向余弦.证()()V dxdydzzdxdy ydzdx xdydz dS z y x VSS∆=++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3111cos cos cos γβα.7. 证明:若S 为封闭曲面,l 为任何固定方向,则()0,cos =⎰⎰SdS l n ,其中n为曲面S 的外法线方向.证 设n 和l的方向余弦是γβαγβα'''cos ,cos ,cos ,cos ,cos ,cos ,则()γγββαα'+'+'=cos cos cos cos cos cos ,cos l n.所以()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰'+'+'='+'+'=外S SS dxdydzdx dydz dSdS l n γβαγγββααcos cos cos cos cos cos cos cos cos ,cos又因l的方向固定()()()γβα'='='=cos ,,,cos ,,,cos ,,z y x R z y x Q z y x P 都是常数,故0=++z y x R Q P ,由高斯公式原式()0=++=++=⎰⎰⎰⎰⎰Vz y xSdxdydz R Q PRdxdy Qdzdx Pdydz .8. 证明公式()dS n r r dxdydz SV ⎰⎰⎰⎰⎰= ,cos 21,其中S 是包围V 的曲面,n是S 的外法线方向. 证 ()()()()()()()z n z r y n y r x n x r n r ,cos ,cos ,cos ,cos ,cos ,cos ,cos++=,而()()()rzz r r y y r r x x r ===,cos ,,cos ,,cos ,所以()()()()[].12,cos ,cos ,cos 1,cos ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++=++=VV S SS dxdydz r dxdydz r z z r y y r x x dxdy r zdzdx r y dydz r x dS z n z y n y x n x r dS n r 外9. 若L 是平面0cos cos cos =-++p z y x γβα上的闭曲线,它所包围区域的面积为S ,求⎰Lzyxdzdy dxγβαcos cos cos ,其中L 依正向进行. 解(方法1) 因为()()()βααγγβcos cos ,,,cos 2cos ,,,cos cos 2,,x y z y x R x z y x Q y z y x P -=-=-=,由斯托克斯公式及第一、二型曲面积分的关系,得().2cos cos cos 2cos cos cos 2cos cos cos 2cos cos cos 2cos cos cos 222S dS dxdy dzdx dydz x y x y z yx dxdy dzdxdydz z yx dzdy dx SSSL =++=++=---∂∂∂∂∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰γβαγβαβααγγβγβα方法2().2cos cos cos 2cos cos cos 2)cos cos ()cos cos ()cos cos (cos cos cos 222S dS dxdy dzdx dydz dzx y dy z x dx y z zy x dz dydx S S L L =++=++=-+-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰γβαγβαβααγγβγβα。

曲面积分总结曲面积分有第一型曲面积分和第二型曲面积分。

第一型曲面积分的实际意义是空间物质曲面的质量，第二型曲面积分的实际意义是流速场中沿某曲面某一侧的流量。

一、第一型曲面积分1、引例：设空间光滑曲面S 的方程为),(y x z z =，在xoy 平面上的投影区域为D , 物质曲面的密度函数为),,(z y x f ，则S 的质量为⎰⎰=Sds z y x f m ),,(.此种积分称为第一型曲面积分。

2计算方法定理1、设空间光滑曲面S 的方程为),(y x z z =，在x o y 平面上的投影区域为D , ),,(z y x f 在S 上连续，则⎰⎰⎰⎰++=D y x S dxdy z z y x z y x f ds z y x f 221)),(,,(),,(。

二、第二型曲面积分1、引例：设有流速场)),,(),,,(),,,((z y x R z y x Q z y x P F = ，在此场中有一双侧光滑曲面S ，指定一侧为正侧，则通过此曲面的流量为 ⎰⎰++Sdxdy z y x R dxdz z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(。

这种形式的积分称为第二型曲面积分。

上述积分上是三个积分的和⎰⎰++Sdxdy z y x R dxdz z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(⎰⎰=S dydz z y x P ),,(⎰⎰+S dxdz z y x Q ),,(⎰⎰+Sdxdy z y x R ),,(2、计算方法设函数),,(z y x R 在光滑曲面S ：),(y x z z =，D y x ∈),(, 上连续，则 ⎰⎰⎰⎰±=DS dxdy y x z y x R dxdy z y x R )),(,,(),,(。

当曲面S 的正侧法线方向与z 轴成锐角时取正号，成钝角时取负号。

也就是说，曲面上侧为正侧时取正号，曲面下侧为正侧时取负号。

第二十二章 曲面积分 1 第一型曲面积分一、第一型曲面积分的概念定义1：设S 是空间中可求面积的曲面，f(x,y,z)为定义在S 上的函数，对曲面S 作分割T ，它把S 分成n 个小曲面块S i (i=1,2,…,n)， 以△S i 记小曲面块S i 的面积，分割T 的细度T =ni ≤≤1max {S i 的直径}，在S i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ) (i=1,2,…,n)，若极限i ni i i i T S f ∆∑=→1),,(lim ζηξ存在， 且与分割T 及(ξi ,ηi ,ζi ) (i=1,2,…,n)的取法无关，则称此极限为f(x,y,z)在S 上的第一型曲面积分，记作⎰⎰SdS z y x f ),,(.性质：1、存在性：若f(x,y,z)在光滑曲面S 上连续，则第一型曲面积分存在.2、可加性：若曲面S 由互不相交的曲面S 1,S 2,…,S k 组成，且⎰⎰iS dS z y x f ),,((i=1,2,…,k)都存在，则⎰⎰SdS z y x f ),,(也存在，且⎰⎰SdS z y x f ),,(=∑⎰⎰=ki S idS z y x f 1),,(.3、线性：若⎰⎰Si dS z y x f ),,( (i=1,2,…,k)存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则⎰⎰∑=S k i ii dS z y x f c 1),,(=∑⎰⎰=ki SiidS z y x f c 1),,(.4、若⎰⎰SdS z y x f ),,(与⎰⎰SdS z y x g ),,(都存在，且f(x,y,z)≤g(x,y,z)，则⎰⎰SdS z y x f ),,(≤⎰⎰SdS z y x g ),,(.5、若⎰⎰SdS z y x f ),,(存在，则⎰⎰SdS z y x f |),,(|也存在，且⎰⎰SdS z y x f ),,(≤⎰⎰SdS z y x f |),,(|.6、若⎰⎰SdS z y x f ),,(存在，S 的表面积为s ，则存在常数c ，使得⎰⎰SdS z y x f ),,(=cs, 这里),,(infz y x f S≤c ≤),,(sup z y x f S.注：当f(x,y,z)=1时, 曲面积分⎰⎰SdS 就是曲面块S 的面积.二、第一型曲面积分的计算定理22.1：设光滑曲面S ：z=z(x,y), (x,y)∈D ，函数f(x,y,z)在S 上连续，则⎰⎰SdS z y x f ),,(=⎰⎰++Dy x dxdy z z y x z y x f 221)),(,,(. 证：由定义知⎰⎰SdS z y x f ),,(=i ni i i i T S f ∆∑=→1),,(lim ζηξ, 其中 △S i =⎰⎰∆++iD y x dxdy z z 221=i i i y i i xD z z ∆++),(),(122ηξηξ. ∴⎰⎰SdS z y x f ),,(=i i i y i i x ni i i i i T D z z z f ∆++∑=→),(),(1)),(,,(lim 221ηξηξηξηξ =⎰⎰++Dy x dxdy z z y x z y x f 221)),(,,(.例1：计算⎰⎰SzdS，其中S 是球面x 2+y 2+z 2=a 2被平面z=h(0<h<a)所截的顶部.解：曲面S 的方程为z=222y x a --, 定义域为圆域x 2+y 2≤a 2-h 2.∵221yxz z ++=222222221y x a y y x a x --+--+=222yx a a--,∴⎰⎰Sz dS =⎰⎰--⋅--D dxdy y x a ay x a 2222221=⎰⎰--D dxdy y x a a 222=⎰⎰--2202220h a rdr ra a d πθ=2a πln h a.例2：计算⎰⎰++SdS z y x )(222, 其中(1)S ：x 2+y 2+z 2=a 2；(2)S ：x 2+y 2+z 2=2az.解：(1)⎰⎰++SdS z y x )(222=⎰⎰SdS a 2= a 2·4πa 2=4πa 4.(2)⎰⎰++SdS z y x )(222=⎰⎰SazdS 2=⎰⎰12S azdS +⎰⎰22S azdS ，其中S 1=z 1=a+)222y x a --, (x,y)∈D; S 2=z 2=a-222y x a --, (x,y)∈D.∵21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =22221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =222yx a a --, ∴⎰⎰12S azdS =⎰⎰----+Ddxdy y x a a y x a a a 222222)(2,⎰⎰22S azdS =⎰⎰-----Ddxdy yx a ay x a a a 222222)(2,∴⎰⎰++SdS z y x )(222=4⎰⎰--Ddxdy y x a a 2223=4a3⎰⎰-ar a rdr d 02220πθ=8πa 4.注：在由参量形式表示的光滑曲面S ：⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(v u z z v u y y v u x x , (u,v)∈D上的第一型曲面积分的计算公式为：⎰⎰SdS z y x f ),,(=⎰⎰-Ddudv F EG v u z v u y v u x f 2)),,(),,(),,((, 其中E=x u 2+y u 2+z u 2, F=x u x v +y u y v +z u z v , G=x v 2+y v 2+z v 2, 且雅可比行列式),(),(v u y x ∂∂,),(),(v u z y ∂∂,),(),(v u x z ∂∂中至少有一个不等于0.例3：计算⎰⎰SzdS ,其中S 为螺旋面的一部分.⎪⎩⎪⎨⎧===vz v u y vu x sin cos , (u,v)∈D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤π200v a u . 解：E=x u 2+y u 2+z u 2=cos 2v+sin 2v=1; G=x v 2+y v 2+z v 2=u 2sin 2v+u 2cos 2v+1=u 2+1; F=x u x v +y u y v +z u z v =-usinvcosv+ucosvsinv=0；∴⎰⎰SzdS =⎰⎰+Ddudv u v 12=dv v du u a⎰⎰+π20021=2π2[])1ln(122++++a a a a .习题1、计算下列第一型曲面积分：(1)⎰⎰++SdS z y x )(，其中S 为上半球面x 2+y 2+z 2=a 2, z ≥0；(2)⎰⎰+SdS y x )(22，其中S 为立体22y x +≤z ≤1的边界曲面；(3)⎰⎰+Syx dS 22，其中S 为柱面x 2+y 2=R 2被平面z=0, z=H 所截取的部分； (4)⎰⎰SxyzdS ，其中S 为平面x+y+z=1在第一卦限中的部分.解：(1)∵z=222yx a --, z x 2=22z x , z y 2=22z y , ∴221y x z z ++=222zx a a --. 又D={(x,y)|x 2+y 2≤a 2}. ∴⎰⎰++SdS z y x )(=()⎰⎰----++Ddxdyz x a y x a y x a 222222 =a ⎰⎰+-+πθθθ20220)1sin cos (rd r a r r dr a=2πa ⎰ardr 0=πa 3.(2)S=S 1+S 2, 其中S 1：z 1=22y x +, S 2：z 2=1.∵21⎪⎭⎫⎝⎛∂∂x z =222y x x +; 21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y z =222y x y +; ∴21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =2. 又22221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =1, D={(x,y)|x 2+y 2≤1}； ∴⎰⎰+1)(22S dS y x =⎰⎰+Ddxdy y x )(222=⎰⎰103202dr r d πθ=22π; ⎰⎰+2)(22S dS y x =⎰⎰+Ddxdy y x )(22=⎰⎰1320dr r d πθ=2π; ∴⎰⎰+SdS y x )(22=⎰⎰+1)(22S dS y x +⎰⎰+2)(22S dS y x =)12(2+π.(3)⎰⎰+Sy x dS 22=⎰⎰SdS R 21=21R ·2πRH=RH π2. (4)z=1-x-y, z x =-1, z y =-1, ∴221y x z z ++=3.又D={(x,y)|x+y ≤1,0≤x ≤1}, ∴⎰⎰SxyzdS =⎰⎰--Ddxdy y x xy )1(3=⎰⎰---xdyy x xy dx 1010)1(3=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-10432612121613dx x x x x =1203.2、求均匀曲面：x 2+y 2+z 2=a 2, x ≥0,y ≥0,z ≥0的质心. 解：∵z=222yx a --, z x 2=2222y x a x --, z x 2=2222yx a y --,∴221y x z z ++=222y x a a--, 又曲面面积为21πa 2,D 为四分之一圆域x 2+y 2≤a 2在第一象限部分.∴x =⎰⎰SxdS a22π=dr r a ar d a a⎰⎰-022222cos 2θθππ=⎰20cos 2πθθd a =2a ；y =⎰⎰SydS a 22π=dr r a ar d a a⎰⎰-022222sin 2θθππ=⎰20sin 2πθθd a =2a；z =⎰⎰SzdS a22π=dr ar d a a⎰⎰222πθπ=2a . ∴曲面的质心为(2a ,2a ,2a ).3、求密度为ρ的均匀球面x 2+y 2+z 2=a 2 (z ≥0)对于z 轴的转动惯量. 解：J z =⎰⎰SdS z ρ2=ρdr r a ar d a⎰⎰-02220πθ=34πa 4ρ.4、计算.⎰⎰SdS z2, 其中S 为圆锥表面的一部分S ：⎪⎩⎪⎨⎧===θθϕθϕcos sin sin sin cos r z r y r x , (r,φ)∈D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤πϕ200a r ,θ为常数(0<θ<2π). 解：E=x r 2+y r 2+z r 2=cos 2φsin 2θ+sin 2φsin 2θ+cos 2θ=1; G=x φ2+y φ2+z φ2=r 2sin 2φsin 2θ+r 2cos 2φsin 2θ=r 2sin 2θ; F=x r x φ+y r y φ +z r z φ=-rsin φcos φsin θ+rsin φcos φsin θ=0； ∴⎰⎰S dS z 2=⎰⎰⋅Ddrd r r ϕθθsin cos 22=sin θcos 2θdr r d a⎰⎰0320πϕ=24a πsin θcos 2θ.。

第四节 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)曲面积分有两种一种是对坐标的曲面积分，一种是对面积的曲面积分． 一 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的基本概念与性质设有一曲面型构件∑的物体，在点(,,)x y z 处的密度为()z y x f ,,，求此物体的质量． 求解的方法是, 将曲面∑分为若干个小块i ∆∑(1,2,i n =)，其面积分别记为i S ∆(1,2,i n =)，在小块曲面i ∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,，若密度函数()z y x f ,,是连续变化的则可以用点()i i i M ςηξ,,处的密度近似小块i S ∆上的密度．于是小块i ∆∑的质量为()i i i f ςηξ,,i S ∆，将所有这样的小块的面积加起来，就是物体的质量的近似值．即()∑=∆≈ni i i i i S f m 1,,ςηξ当n 个小的曲面的直径的最大值0→λ时，上面的式子右端的极限值如果存在，则将此极限值定义为曲面的质量．即()∑=→∆=ni i i i i S f m 1,,lim ςηξλ．总之, 以上解决问题的方法就是: 先把它分成一些小片,估计每一小片上的质量并相加,最后取极限以获得精确值. 这同积分思想相一致. 为此我们定义对面积的曲面积分．定义13.3 设函数()z y x f ,,是定义在光滑曲面(或分片光滑曲面)∑上的有界函数．将曲面分为若干个小块i ∆∑(1,2,,i n =)，其面积分别记为()n i S i ,...,2,1=∆，在小块曲面i∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,，若极限()∑=→∆ni i i i i S f 1,,lim ςηξλ存在，则称此极限值为函数()z y x f ,,在曲面∑上对面积的曲面积分(或称第一类曲面积分)．记为()⎰⎰∑ds z y x f ,,．即()⎰⎰∑ds z y x f ,,=()∑=→∆ni iiiiS f 1,,lim ςηξλ．其中λ表示所有小曲面i ∆∑的最大直径, ()z y x f ,,称为被积函数, ∑称为积分曲面．对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分具有相似的性质．如1) ()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑±=±ds z y x g ds z y x f ds z y x g z y x f ,,,,,,,,；2) ()()⎰⎰⎰⎰∑∑=ds z y x f k ds z y x kf ,,,,；3)()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+=2121,,,,,,ds z y x f ds z y x f ds z y x f ．二 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的计算设积分曲面由单值函数()y x z z ,=确定，曲面在坐标面xoy 上的投影为xy D ，函数()y x z z ,=在xy D 具有连续偏导数（即曲面∑是光滑曲面）．按照对面积的曲面积分的定义有()()iiiini S f dS z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1． 设对曲面∑的第i 块i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()i σ∆，则i S ∆可以表示为下面的二重积分：()()()⎰⎰∆++=∆idxdy z y x f z y x f S y x i σ,,,,122有二重积分的中值定理有()()i i i i y i i i xi z z S σςηξςηξ∆++=∆,,,,122其中()i i i ςηξ,,是小曲面i S ∆上的任意一点，()i i ηξ,为()i σ∆内任意一点，所以()()i i i ni f dS z y x f ςηξλ,,lim ,,1∑⎰⎰=→∑=()()i i i i y i i i xz z σςηξςηξ∆++,,,,122 注意到()i i i z ηξς,=，从而得到二重积分的计算公式()()()()()⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y xdxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f ,,1,,,,,22． 这个公式是很容易理解和记忆的，因为曲面∑的方程是()y x z z ,=，曲面的面积元素为dxdy z z dS y x 221++=，曲面在坐标面XOY 上的投影是xy D ，于是对面积的曲面积分就化为二重积分了．将这个过程简单归纳如下：1) 用y x ,的函数()y x z z ,=代替z ； 2) 用dxdy z z y x 221++换dS ；3) 将曲面投影到坐标面XOY 上得到投影xy D ．简单地说就是“一代二换三投影”．例13.16 计算曲面积分dSz ∑⎰⎰，其中曲面∑是由平面()a h h z <<=0截球面 2222a z y x =++的顶部．图13-16 解： 曲面∑的方程为222y x a z --=，它在坐标面xoy 上的投影为圆形的闭区域：2222h a y x -≤+．222221yx a a z z y x --=++，所以dS z ∑⎰⎰＝222xyD adxdy a x y --⎰⎰ 利用极坐标计算上面的积分，得到()2222222220022012ln 2ln2xya h D a h dS ardrd ardrd d z a r a r aa a r a hπθθθππ-∑-==--⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.17 计算曲面积分()⎰⎰∑++21y x dS，其中曲面∑是由平面1=++z y x 以及三个坐标面所围成的四面体的表面．图13-17解：如上图，曲面∑由曲面4321,,,∑∑∑∑组成，其中4321,,,∑∑∑∑分别是平面1=++z y x ，0,0,0===z y x 上的部分．()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑212ln 31311021021xy x dydx y x dS；()()2ln 1111021022-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zy dydz y x dS；()()2ln 1111021023-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zx dxdz y x dS；()()212ln 11102124-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑xy x dydx y x dS． 所以()()()()2ln 13233212ln 3212ln 2ln 12ln 112-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=++⎰⎰∑y x dS习题13.41. 计算()x y z dS ∑++⎰⎰. 其中∑为上半球面222z a x y =--. 2. 计算||I xyz dS ∑=⎰⎰. 其中∑为曲面22z x y =+介于二平面0,1z z ==之间的部分. 3. 计算22()x y dS ∑+⎰⎰. 其中∑是锥面22z x y =+及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面. 4. 求抛物面壳221()2z x y =+(01)z ≤≤的质量, 此壳的面密度的大小为z ρ=.5. 求面密度为0ρ的均匀半球壳2222x y z a ++=(0)z ≥对于z 轴的转动惯量. 6. 计算21(1)dS x y ∑++⎰⎰. 其中∑为四面体1x y z ++≤, 0x ≥, 0y ≥及0z ≥的边界面.参考答案1. 3a π2.3.4.21)15π 5. 4043a πρ6.1)ln 2+. 第五节 对坐标的曲面积分一 对坐标的曲面积分的概念和性质为了讨论对坐标的曲面积分，首先要对曲面作一些说明． 1. 曲面的侧在曲面∑上的任意一点P 处作曲面的法线向量，有两个方向，取定其中的一个方向n ，当点P 在曲面上不越过边界连续运动时，法线向量n 也随着连续变动，这种连续变动又回到P 时，法线向量n 总是不改变方向，则称曲面∑是双侧的，否则，称曲面是单侧的．如著名的M o bius 带就是单侧曲面.今后我们只讨论曲面是双侧的. 例如曲面()y x z z ,=，如果z 轴的正方向是竖直向上的，则有上侧和下侧．又如空间中的闭曲面有内侧和外侧之分．我们可以通过曲面上的法向量的指定来确定曲面的侧．例如对于曲面()y x z z ,=，若取定的法向量n 是朝上的，那么实际上就是取定曲面为上侧；对于封闭曲面，若取定的法向量n 是由内指向外的，则取定的曲面是外侧．选定了曲面的侧的曲面称为有向曲面． 2. 流向曲面一侧的流量设稳定的不可压缩的液体以速度()()()k z y x R j z y x Q i z y x P v ,,,,,,++=流向有向曲面∑，求液体在单位时刻内流过曲面指定侧的流量．其中函数()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,都是曲面∑上的连续函数．如果流体流过平面上的一个面积为A 的闭区域，且流体在闭区域上各点处的流速为常向量v ，又设n 是该平面上的单位法向量，那么在单位时间内流过这个闭区域的流体组成一个底面积为A ，斜高为||v 的斜柱体，其体积即流量为n v A v A V ⋅==θcos这就是通过闭区域A 流向n 所指的一侧的流量．对于一般的曲面∑，我们可以将它划分为若干个小块i ∆∑，在∑是光滑的和v 是连续的前提下，只要i ∆∑的直径很小，我们就可以用i ∆∑上任意一点()i i i ςηξ,,处的流速()()()()k R j Q i P v v i i i i i i i i i i i i i ςηξςηξςηξςηξ,,,,,,,,++==近似替代i ∆∑上各点处的流速，以此点处的曲面∑的单位法向量k j i n i i i γβαcos cos cos ++=代替i ∆∑上各点处的单位向量，从而得到通过i ∆∑流向指定侧的流量的近似值为i i i S n v ∆⋅()n i ,...,2,1=，（i S ∆为i ∆∑的面积） 于是通过曲面∑指定侧的流量近似地为()()()ii i i i ni ii i i i i i i ini i i S R Q P S n v ∆++=∆⋅≈Φ∑∑==]cos ,,cos ,,cos ,,[11γςηξβςηξαςηξ注意到()yz i i i S S ∆=∆αcos ；()zx i i i S S ∆=∆βcos ；()xy i i i S S ∆=∆λcos ．因此上式可以写为()()()()()()],,,,,,[1xy i i i i ni xz i i i i yz i i i i S R S Q S P ∆+∆+∆=Φ∑=ςηξςηξςηξ当所有小块的直径的最大值0→λ时，上面和的极限就是流量Φ的精确值．在实际问题中还有很多的类似的极限，由此我们可以得到对坐标的曲面积分的定义． 3. 对坐标的曲面积分的定义定义13.4 设∑是逐片光滑的有向曲面，函数()z y x R ,,在曲面∑上有界，将∑划分为若干个小块i ∆∑，i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()xy i S ∆，取i ∆∑中的任意一点(,,)i i i ξηζ，若各个小块的直径的最大值0λ→时，极限()()∑=→∆ni xy i i i i S R 1,,lim ςηξλ存在，称此极限为函数()z y x R ,,在曲面∑上对坐标y x ,的曲面积分（或第二类曲面积分）．记为()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,，即()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,＝()()∑=→∆ni xyi iiiS R 1,,lim ςηξλ．类似地，可以定义函数()z y x P ,,在曲面∑上对坐标z y ,的曲面积分（或第二类曲面积分）()⎰⎰∑dydz z y x P ,,，以及函数()z y x Q ,,在曲面∑上对坐标z x ,的曲面积分（或第二类曲面积分）()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,如下：()⎰⎰∑dydz z y x P ,,＝()()∑=→∆ni yziiiiS P 10,,lim ςηξλ；()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,＝()()∑=→∆ni zxi iiiS Q 1,,lim ςηξλ．在应用中通常是上面三种积分的和，即()⎰⎰∑dydz z y x P ,,＋()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,＋()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,，简记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,．如果∑是有向封闭曲面，通常记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,，并规定取曲面的外侧．4.性质1) 对坐标的曲面积分与对坐标的曲线积分具有类似的性质:()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+++++=++1221.,,,,,,Pdxdy Qdxdz Pdydz Pdxdy Qdxdz Pdydz dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P2) 设∑时有向曲面,∑-表示与∑取相反侧的曲面,则有()()()()()()⎰⎰⎰⎰∑∑-++-=++dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,,,,,,,二 对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)的计算方法 下面以计算曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,为例来说明如何计算对坐标的曲面积分.取曲面∑的上侧,且曲面由方程()y x z z ,=给出,那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为锐角，曲面∑的面积元素dS 在坐标面xoy 上的投影dxdy 为正值．若xy D 为曲面∑在坐标面xoy 上的投影区域．由对坐标的曲面积分的定义()()()xy i iiini S R dxdy z y x R ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1可以得到()()()⎰⎰⎰⎰=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,．如果积分曲面取∑的下侧，那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为钝角，所以曲面∑在坐标面xoy 上的投影dxdy 为负值，从而有()()()⎰⎰⎰⎰-=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,．类似地，如曲面∑由方程()z y x x ,=给出，则有()()(),,,,,yzD P x y z dzdy P x y z y z dzdy ∑=±⎰⎰⎰⎰；等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z y x x ,=所给出的曲面的前侧，则取正号；如果是后侧，则取负号．如曲面∑由方程()z x y y ,=给出，则有()()()⎰⎰⎰⎰±=∑xzD dzdx z z x y x P dxdz z y x Q ,,,,,．等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z x y y ,=所给出的曲面的右侧，则取正号；如果是左侧，则取负号．对于曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,的计算，我们可以简单的归纳出如下的计算步骤：a) 用y x ,的函数()y x z z ,=来代替z ； b) 将曲面∑投影到坐标面xoy 上，得到xy D ；c) 对曲面∑定向从而确定符号，上侧取正号，下侧取负号． 简称为“一代二投三定向”，将曲面积分化为二重积分计算． 例13.18 计算曲面积分⎰⎰∑++zdxdyydzdx xdydz ，其中∑是半球面1222=++z y x ，0≥z 的上侧．解：球面上点()z y x ,,处的单位法线向量为},,{z y x n =，速度},,{z y x v =，所以()222{,,}{,,}2xdydz ydzdx zdxdy x y z x y z dSx y z dS π∑∑∑++=⋅=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.19 计算曲面积分⎰⎰∑xyzdxdy ，其中∑是球面1222=++z y x外侧在0,0≥≥y x 的部分．解：将曲面∑分为21,∑∑两部分，1∑的方程为2211y x z ---=；2∑的方程为2221y x z --=．2xyD xyzdxdy ∑=⎰⎰⎰⎰(1xy xyD D xyzdxdy xy dxdy∑=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以15212sin 21cos sin 212102320222=-=-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑dr r r d rdrd r r r dxdy y x xy xyzdxdy xyxyD D πθθθθθ习题13.51. 计算2xz dydz ∑⎰⎰. 其中∑是上半球面z =. 2. 计算zdxdy xdydz ydzdx ∑++⎰⎰. 其中∑为柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截部分的外侧. 3. 计算2(1)()z x y dxdy ∑++⎰⎰. 其中∑为半球面2221xy z ++=(0)y ≥朝y 轴正向的一侧.4. 求矢量场F xyi yz j xzk =++穿过在第一卦限中的球面2221x y z ++=外侧的通量.5. 计算22x y zdxdy ∑⎰⎰. 其中∑是球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.参考答案 1. 5215R π 2. 6π 3. 415π 4. 316π 5.72105R π 第六节 两类曲面积分之间的联系设有向曲面∑有方程()y x z z ,=给出，∑在坐标面xoy 上地投影区域为xy D ，函数()y x z z ,=在区域xy D 上具有连续的一阶偏导数，()z y x R ,,是曲面∑上的连续函数。