四川省内江市高中2015届第四次模拟考试数学(文)试题

2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）姓名 成绩一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、设集合{|12}A x x =-<<，集合{|13}B x x =<<，则A B =（ ）()A {|13}x x -<< ()B {|11}x x -<< ()C {|12}x x << ()D {|23}x x <<2、设向量(2,4)a =与向量(,6)b x =共线，则实数x =（ ） ()A 2 ()B 3 ()C 4 ()D 63、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ） ()A 抽签法 ()B 系统抽样法 ()C 分层抽样法 ()D 随机数法4、设,a b 为正实数，则"1"a b >>是22log log 0"a b >>的（ ）()A 充要条件 ()B 充分不必要条件 ()C 必要不充分条件 ()D 既不充分也不必要条件5、下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）()A cos(2)2y x π=+ ()B sin(2)3y x π=+ ()Csin 2cos 2y x x =+ ()D sin cos yx x =+6、执行如图所示程序框图，输出S 的值为（ ）()A ()B ()C 12- ()D 127、过双曲线2213y x -=的右焦点且与x ,A B 两点，则||AB =（ ）()A ()B ()C 6 ()D 8、某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系y e=（ 2.718...e =为自然对数的底数，,k b 为常数）。

四川省内江市2015年中考数学试题及解析内江市2015年中考数学试卷A 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．9的算术平方根是（ ） A ．﹣3 B ．±3 C ．3 D ．2．用科学记数法表示0.0000061，结果是（ ） A ． 6.1×10﹣5 B ． 6.1×10﹣6 C ． 0.61×10﹣5 D ．61×10﹣73．如图，几何体上半部为正三棱柱，下半部为圆柱，其俯视图是（ ）A ．B．C．D．4．有一组数据如下：3，a ，4，6，7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是（ ）A ． 10B ．C ．D ．2 5．函数y=+中自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ≤2 B ． x ≤2且x ≠1C ． x ＜2且x ≠1D ．x ≠1 6．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．7．下列运算中，正确的是（ ）A ．a 2+a 3=a 5 B ．a 3•a 4=a 12 C ．a 6÷a 3=a 2 D ．4a ﹣a=3a 8．如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AE ∥BD 交CB 的延长线于点E ．若∠E=35°，则∠BAC 的度数为（ ）A ．40° B ．45° C ．60° D ．70° 9．植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，下列方程组正确的是（ ）A ．B ．15．已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x 2，且满足+=3，则k的值是．16．如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有根火柴棒．（用含n的代数式表示）三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推算步骤）17．（7分）计算：|﹣2|﹣（π﹣2015）0+（）﹣2﹣2sin60°+．18．（9分）如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．（1）求证：△ABD≌△BEC；（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD 是矩形．19．（9分）为了掌握我市中考模拟数学试题的命题质量与难度系数，命题教师赴我市某地选取一个水平相当的初三年级进行调研，命题教师将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为160分）分为5组：第一组85～10；第二组100～115；第三组115～130；第四组130～145；第五组145～160，统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）本次调查共随机抽取了该年级多少名学生？并将频数分布直方图补充完整；（2）若将得分转化为等级，规定：得分低于100分评为“D”，100～130分评为“C”，130～145分评为“B”，145～160分评为“A”，那么该年级1500名考生中，考试成绩评为“B”的学生大约有多少名？（3）如果第一组只有一名是女生，第五组只有一名是男生，针对考试成绩情况，命题教师决定从第一组、第五组分别随机选出一名同学谈谈做题的感想，请你用列表或画树状图的方法求出所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率．20．（9分）我市准备在相距2千米的M，N两工厂间修一条笔直的公路，但在M地北偏东45°方向、N地北偏西60°方向的P处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（如图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：≈1.41，≈1.73）21．（10分）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种？并确定获利最大的方案以及最大利润；（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k ＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．B卷四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）22．在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，则BC=．23．在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）作直线l：y=x+b（b为常数且b＜2）的垂线，垂足为点Q，则tan∠OPQ=．24．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接OH，FH，EG与FH交于点M，对于下面四个结论：①CH⊥BE；②HO BG；③S 正方形ABCD：S正方形ECGF=1：；④EM：MG=1：（1+），其中正确结论的序号为．25．已知实数a，b满足：a 2+1=，b2+1=，则2015|a﹣b|=．五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤）26．（12分）（1）填空：（a﹣b）（a+b）=；（a﹣b）（a2+ab+b2）=；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=．（2）猜想：（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+…+ab n﹣2+b n﹣1）=（其中n 为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．27．（12分）如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB 的长．28．（12分）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．（1）求抛物线的函数关系式；（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x 轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣＜t＜2），求△ABN 的面积S与t的函数关系式；（3）若﹣＜t＜2且t≠0时△OPN∽△COB，求点N 的坐标．内江市2015年中考数学试卷答案A卷选择题1.C2.B3.C4.D5.B6.A7.D8.A9.D 10.C 11.B 12.C 填空题13.2y（x+2）（x﹣2）． 14. 15.2 16.2n （n+1）解答题17.解答：解：|﹣2|﹣（π﹣2015）0+（）﹣2﹣2sin60°+ =2﹣1+2﹣+2=3+．18.解答：证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD．又∵AB=BE，∴BE=DC，∴四边形BECD为平行四边形，∴BD=EC．∴在△ABD与△BEC中，，∴△ABD≌△BEC（SSS）；（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB．∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，∴∠OCD=∠ODC，∴OC=OD，∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，∴平行四边形BECD为矩形．19.解答：解：（1）根据题意得：本次调查共随机抽取了该年级学生数为：20÷40%=50（名）；则第五组人数为：50﹣4﹣8﹣20﹣14=4（名）；如图：（2）根据题意得：考试成绩评为“B”的学生大约有：×1500=420（名）；（3）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的有10种情况，∴所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率为：=．20.解答：解：过点P作PD⊥MN于D∴MD=PD•cot45°=PD，ND=PD•cot30°=PD，∵MD+ND=MN=2，即PD+PD=2，∴PD==﹣1≈1.73﹣1=0.73＞0.6．答：修的公路不会穿越住宅小区，故该小区居民不需搬迁．21.解答：解：（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，根据题意得：，解得：x=1600，经检验，x=1600是原方程的解，x+400=1600+400=2000，答：每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元．（2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，则y=（2100﹣2000）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=﹣50x+15000，根据题意得：，解得：，∵x为正整数，∴x=34，35，36，37，38，39，40，∴合理的方案共有7种，即①电冰箱34台，空调66台；②电冰箱35台，空调65台；③电冰箱36台，空调64台；④电冰箱37台，空调63台；⑤电冰箱38台，空调62台；⑥电冰箱39台，空调61台；⑦电冰箱40台，空调60台；∵y=﹣50x+15000，k=﹣50＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=34时，y有最大值，最大值为：﹣50×34+15000=13300（元），答：当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元．（3）当厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，则利润y=（2100﹣2000+k）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=（k﹣50）x+15000，当k﹣50＞0，即50＜k＜100时，y随x的增大而增大，∵，∴当x=40时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱40台，空调60台；当k﹣50＜0，即0＜k＜50时，y随x的增大而减小，∵，∴当x=34时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱34台，空调66台；答：当50＜k＜100时，购进电冰箱40台，空调60台销售总利润最大；当0＜k＜50时，购进电冰箱34台，空调66台销售总利润最大．B卷填空题22.623.24.②25.1解答题26.解答：解：（1）（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3=a3﹣b3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4=a4﹣b4；故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；（2）由（1）的规律可得：原式=a n﹣b n，故答案为：a n﹣b n；（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．27.解解：（1）连接OC，如图1，答：∵CA=CE，∠CAE=30°，∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，∴∠OCE=90°，∴CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，由题可得CH=h．在Rt△OHC中，CH=OC•sin∠COH，∴h=OC•sin60°=OC，∴OC==h，∴AB=2OC=h；（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°﹣60°）=60°．∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF=AO=OC=FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°=DC，∴CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，此时FH=OF•sin∠FOH=OF=6，则OF=4，AB=2OF=8．∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．28.解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题可得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为y=﹣x2+x+1；（2）当﹣＜t＜2时，yN＞0，∴NP==y N=﹣t2+t+1，∴S=AB•PN=×（2+）×（﹣t2+t+1）=（﹣t2+t+1）=﹣t2+t+；（3）∵△OPN∽△COB，∴=，∴=，∴PN=2PO．①当﹣＜t＜0时，PN==y N=﹣t2+t+1，PO==﹣t，∴﹣t 2+t+1=﹣2t，整理得：3t2﹣9t﹣2=0，解得：t1=，t2=．∵＞0，﹣＜＜0，∴t=，此时点N的坐标为（，）；②当0＜t＜2时，PN==y N=﹣t2+t+1，PO==t，∴﹣t 2+t+1=2t，整理得：3t2﹣t﹣2=0，解得：t 3=﹣，t4=1．∵﹣＜0，0＜1＜2，∴t=1，此时点N的坐标为（1，2）．综上所述：点N的坐标为（，）或（1，2）．。

第3题图ABCD内江市二○一五年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试试卷数学试题参考答案班级： 学号： 姓名： 成绩：本试卷分为A 卷和B 卷两部分。

A 卷1至6页，满分100分；B 卷7至10页，满分60分。

全卷满分100分，考试时间120分钟。

A 卷（共100分）注意事项：1、答题前，考生务必将将自己的姓名、学号、班级等填写好。

2、答A 卷时，每小题选出答案后，用钢笔或水笔把答案直接填写在对应题目的后面括号。

第Ⅰ卷（选择题 共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1、9的算术平方根是（ C ）A 、3-B 、3±C 、3D 、3 2、用科学记数法表示0.0000061，结果是（ B ） A 、5101.6-⨯ B 、6101.6-⨯ C 、51061.0-⨯ D 、71061-⨯3、如图，几何体上半部为正三棱柱，下半部为圆柱，其俯视图是（ C ）4、有一组数据如下：3、a 、4、6、7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是（ D ）EBACD第8题图B第10题图DEPBA C第11题图第12题图A 、10B 、10C 、2D 、25、函数112-+-=x x y 中自变量x 的取值范围是（ B ） A 、2≤x B 、2≤x 且1≠x C 、2 x 且1≠x D 、1≠x6、某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率是（ A ）A 、121 B 、125 C 、61 D 、217、下列运算中，正确的是（ D ）A 、532a a a =+B 、1243a a a =⋅C 、236a a a =÷D 、a a a 34=- 8、如图，在ABC ∆中，AC AB =，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，BD AE //交CB 的延长线于点E ，若︒=∠35E ，则BAC ∠的度数为（ A ）A 、︒40B 、︒45C 、︒60D 、︒709、植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵。

四川省内江市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题：每小题5分，共50分1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )A．棱锥B．棱台C．圆锥D．棱柱考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：直接利用三视图判断直观图即可．解答：解：由题意不难判断几何体是三棱柱，故选：D．点评：本题考查空间几何体的三视图与直观图的关系，基本知识的考查．2．下列关于随机抽样的说法不正确的是( )A．简单随机抽样是一种逐个抽取不放回的抽样B．系统抽样和分层抽样中每个个体被抽到的概率都相等C．有2006个零件，先用随机数表法剔除6个，再用系统抽样方法抽取20个作为样本，每个零件入选样本的概率都为D．当总体是由差异明显的几个部分组成时适宜采取分层抽样考点：系统抽样方法；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据抽样的定义和性质分别进行碰到即可．解答：解：A．简单随机抽样是一种逐个抽取不放回的抽样，正确．B．系统抽样和分层抽样中每个个体被抽到的概率都相等，正确．C．有2006个零件，先用随机数表法剔除6个，再用系统抽样方法抽取20个作为样本，每个零件入选样本的概率都为，故C错误，D．当总体是由差异明显的几个部分组成时适宜采取分层抽样，正确．故选：C点评：本题主要考查与抽样有关的命题的真假判断，比较基础．3．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则异面直线AC1与BB1所成的角的余弦值为( )A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，连接AC，由B1B∥C1C，可得∠AC1C是异面直线AC1与BB1所成的角，再利用长方体的性质、直角三角形的边角关系即可得出．解答：解：如图所示，连接AC，∵B1B∥C1C，∴∠AC1C是异面直线AC1与BB1所成的角．在Rt△AC1C中，AC1====3，cos∠AC1C==．故选：C．点评：本题考查了异面直线所成的角、长方体的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．下列说法正确的是( )A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．“a、b都是有理数”的否定是“a、b都不是有理数”C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：利用否命题的定义判断A的正误；利用命题的否定判断B的正误；利用逆否命题的真假判断C的正误；充要条件判断D的正误；解答：解：对于A，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，所以A不正确；对于B，“a、b都是有理数”的否定是“a、b不都是有理数”，所以B不正确；对于C，命题“若x=y，则sinx=siny”，因为原命题是真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以C正确；对于D，“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，所以D不正确；故选：C．点评：本题考查命题的真假的判断与应用，考查四种命题的关系，充要条件的应用，考查基本知识的考查．5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥αD．若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的关系求解．解答：解：若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥α或m⊂α，故C错误；若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别、，则下列判断正确的是( )A．＜，乙比甲成绩稳定B．＜，甲比乙成绩稳定C．＞，甲比乙成绩稳定D．＞，乙比甲成绩稳定考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：根据平均数的公式进行求解，结合数据分布情况判断稳定性解答：解：由茎叶图可知=（77+76+88+90+94）=，=（75+86+88+88+93）==86，则＜，乙的成绩主要集中在88附近，乙比甲成绩稳定，故选：A点评：本题主要考查茎叶图的应用，根据平均数和数据的稳定性是解决本题的关键．7．随机掷两枚质地均匀的骰子，点数之和大于5的概率记为p1，点数之和为偶数的概率记为p2，则( )A．p1=p2B．p1+p2=1 C．p1＞p2D．p1＜p2考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；概率与统计．分析：先列表，然后根据表格点数之和大于5，点数之和为偶数情况，再根据概率公式求解即可．解答：解：掷两枚质地均匀的骰的所有情况列表得：（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）一共有36种等可能的结果，∴两个骰子点数之和不超过5的有10种情况，点数之和为偶数的有18种情况，∴向上的点数之和不超过5的概率记为p1=点数之和为偶数的概率记为p2=，∴p1＞p2故选：C．点评：本题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为古典概率的计算公式．8．若将如图的展开图还原成成正方体，则∠ABC的度数为( )A．120°B．90°C．60°D．45°考点：表面展开图．专题：空间位置关系与距离．分析：将展开图还原成正方体，进行求解即可．解答：解：还原正方形，连接ABC三个点，可得图形如图所示．可知AB=AC=BC，所以角的大小为60°故选：C．点评：本题看出棱柱的结构特征，是基础题．本题考查学生的空间想象能力．9．执行如图所示的程序框图，则输出的y=( )A．B．1 C．﹣1 D．2考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟程序框图的运行过程，得出该程序是计算y的值，并且以3为周期，从而得出程序运行的结果是什么．解答：解：模拟程序框图的运行过程，如下：y=2，i=1，1≥2014？，否，y=1﹣=；i=1+1=2，2≥2014？，否，y=1﹣=﹣1；i=2+1=3，3≥2014？，否，y=1﹣=2；i=3+1=4，4≥2014？，否，y=1﹣=；，…，i=2012+1=2013，2013≥2014？，否，y=1﹣=2；i=2013+1=2014，2014≥2014？，是，输出y：2．故选：D．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，寻找解答问题的途径，是基础题．10．用一个边长为2的正方形硬纸板，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，半径为2的鸡蛋（视为球体）放入其中，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为( )A．B．1 C．D．3考点：点、线、面间的距离计算．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为2，蛋槽立起来的小三角形部分高度是1，鸡蛋的半径为2，直径为4，大于折好的蛋巢边长2，由此能求出鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离．解答：解：蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为2，蛋槽立起来的小三角形部分高度是1，鸡蛋的半径为2，直径为4，大于折好的蛋巢边长2，四个三角形的顶点所在的平面在鸡蛋表面所截取的小圆直径就是蛋槽的边长2，根据图示，AB段由三角形AB求出得：AB=，AE=AB+BE=+1，∴鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为+1．故选：A．点评：本题考查点、线、面间距离的计算，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地化空间问题为平面问题，注意数形结合法的合理运用．二、填空题：每小题5分，共25分11．读如图两段程序，完成下面题目．若Ⅰ、Ⅱ的输出结果相同，则程序Ⅱ中输入的值x为0．考点：伪代码．专题：算法和程序框图．分析：根据题意，模拟伪代码的运行过程，即可得出正确的结论．解答：解：根据题意，Ⅰ中伪代码运行后输出的是x=3×2=6；Ⅱ中运行后输出的也是y=6，∴x2+6=6，∴x=0；即输入的是0．故答案为：0．点评：本题考查了算法语言的应用问题，解题时应模拟算法语言的运行过程，以便得出正确的结果，属于基础题．12．一段细绳长10cm，把它拉直后随机剪成两段，则两段长度都超过4的概率为0.2．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：测度为长度，一段细绳长10cm，把它拉直后随机剪成两段，只能在中间2厘米的绳子上剪断，从而可求概率．解答：解：记“两段的长都超过4厘米”为事件A，则只能在中间2厘米的绳子上剪断，此时剪得两段的长都超过4厘米，所以事件A发生的概率P（A）==0.2故答案为：0.2．点评：本题考查几何概型，明确测度，正确求出相应测度是关键．13．在分别标有号码2，3，4，5，6，8的5张卡片中，记下它们的标号，则较大标号能被较小标号整除的概率是．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：先列举出所有的基本事件，再找到较大标号被较小标号整除的基本事件，根据概率公式计算即可．解答：解：分别标有号码2，3，4，6，9的6张卡片中，随机取出两张卡片的基本事件有（2，3），（2，4），（2，6），（2，8），（2，9），（3，4），（3，6），（3，8），（3，9），（4，6），（4，8），（4，9），（6，8），（6，9），（8，9）故15种，较大标号被较小标号整除有（2，4），（2，6），（2，8），（3，6），（3，9），（4，8），共6种，故较大标号被较小标号整除的概率是P=，故答案为：．点评：本题考查了古典概型的概率的计算，关键是列举出所有的基本事件，属于与基础题14．某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积是28+4．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，几何体为底面边长为2，高为3的长方体，切去一个角得到，切面的面积为2×=4，其余侧面的面积为2×2+2×3×2+2×=28，即可得出结论．解答：解：由题意，几何体为底面边长为2，高为3的长方体，切去一个角得到，切面的面积为2×=4，其余侧面的面积为2×2+2×3×2+2×=28∴侧面积是28+4，故答案为：28+4．点评：本题考查了由三视图求几何体的侧面积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量．15．在正方体上任意选择4个顶点，由这4个顶点可能构成如下几何体：①有三个面为全等的等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；②每个面都是等边三角形的四面体；③每个面都是直角三角形的四面体④有三个面为不全等的直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．以上结论其中正确的是①②③④（写出所有正确结论的编号）．考点：棱柱的结构特征．专题：计算题；压轴题．分析：找出正方体中的四面体的各种图形，例如正四面体，即可判断①②的正误；侧棱垂直底面直角三角形的锐角，四面体即可判断③的正误；画出图形如图即可判断④的正误，推出选项．解答：解：在正方体上任意选择4个顶点，由这4个顶点可能构成如下几何体：①有三个面为全等的等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，去掉4个角的正四面体即可，正确；②每个面都是等边三角形的四面体，去掉4个角的正四面体即可，正确；③每个面都是直角三角形的四面体，侧棱垂直底面直角三角形的锐角，四面体即可，正确；④有三个面为不全等的直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．如图中ABCD即可，正确．故答案为：①②③④点评：本题考查正方体的结构特征，考查空间想象能力，是基础题．三、解答题16．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），q：x∈（2，3]（1）若命题“若q，则p”为真，求实数a的取值范围；（2）若p是￢q的充分条件，求实数a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（1）若命题“若q，则p”为真，则q是p的充分条件，即可求实数a的取值范围；（2）若p是￢q的充分条件，根据条件关系即可求实数a的取值范围．解答：解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），得（x﹣a）（x﹣3a）＜0，则a＜x＜3a，即p：x∈（a，3a），若命题“若q，则p”为真，即q是p的充分条件，即（2，3]⊆（a，3a），即，即，解得1＜a≤2．（2）￢q：x∈（﹣∞，2]∪（3，+∞），若p是￢q的充分条件，则（a，3a）⊆（﹣∞，2]∪（3，+∞），∵a＞0，∴或a≥3，解得0＜a≤或a≥3，即实数a的取值范围是0＜a≤或a≥3．点评：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，17．已知三棱柱ABCD﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC=BC，点D是AB的中点．求证：（1）平面CA1D⊥平面AA1B1B；（2）BC1∥平面CA1D．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面CA1D⊥平面AA1B1B；（2）根据线面平行的判定定理即可证明BC1∥平面CA1D．解答：证明：（1）由AC=BC，D是AB的中点，得AB⊥CD，由AA1⊥面ABC，得AA1⊥CD，∵AA1∩AB=A∴CD⊥面AA1B1B，∵CD⊂平面CA1D，∴平面CA1D⊥平面AA1B1B．（2）连接AC1交A1C于点E，连接DE因为四边形AA1C1C是矩形，知E为AC1的中点又D是AB的中点，得到DE∥BC1，从而可得BC1∥面CA1D．点评：本题主要考查空间直线和平面平行，平面和平面垂直的判定，根据相应的定理是解决本题的关键．18．某校早上7：30开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：00﹣7：20之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为多少？考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|0≤x≤20，0≤y≤20}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．解答：解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|0≤x≤20，0≤y≤20}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ADE，联立得，即D（15，20），联立得，即E（0，5），则S△ADE=×15×15，几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=．点评：本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率，求解的关键是掌握两种求概率的方法的定义及规则，求出对应区域的面积是解决本题的关键．19．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=CD=1．现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD 垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）取EC中点N，连接MN，BN，证明BN∥AM．说明BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，即可证明AM∥平面BEC；（2）先证明ED⊥BC，BC⊥BD，ED∩BD=D，即可证明BC⊥平面BDE．解答：证明：（1）取EC中点N，M是EC的中点，连接MN，BN．在△EDC中，M，N分别为ED，EC的中点，所以MN∥CD，且MN=CD．由已知AB∥CD，AB=，所以MN∥AB，且MN=AB．所以四边形ABNM为平行四边形．所以BN∥AM．又因为BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，所以AM∥平面BEC．（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD．又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以ED⊥平面ABCD．所以ED⊥BC．在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，得BC=．在△BCD中，BD=BC=，所以BD2+BC2=CD2．所以BC⊥BD．所以BC⊥平面BDE．点评：本题是中档题，考查直线与平面的平行与垂直的证明方法，几何体的体积的解法，考查空间想象能力、计算能力，注意转化思想的应用，判定定理的正确应用．20．某企业员工共500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第一组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．区间[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50]人数50 50 a 150 b（1）表是年龄的频数分布表，求正整数a，b的值；（2）根据频率分布直方图，估算该企业员工的平均年龄及年龄的中位数；（3）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布表；频率分布直方图．专题：计算题；2015届高考数学专题；概率与统计．分析：（I）由题设中频率分布直方图再结合频率、频数及样本容量之间的关系可得a、b的值；（II）根据估计平均数及估计中位数的求解公式即可求解；（III）根据分成抽样的定义知：第1，2，3组各部分的人数的比例为1：1：4，则共抽取6人时，所以第1，2，3组三个年龄段应分别抽取的人数为1，1，4，设第1组的1位同学为A，第2组的1位同学为B，第3组的4位同学为C1，C2，C3，C4，列出所有情况，根据古典概型运算公式计算即可．解答：解：（Ⅰ）由题设可知，a=0.08×5×500=200，b=0.02×5×500=50，（Ⅱ）根据频率分布直方图可得，平均年龄为=（27.5×0.02+32.5×0.02+37.5×0.08+42.5×0.06+47.5×0.02）×5=38.5，估计中位数为：35+=35.75，（III）因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为6×=1第2组的人数为6×=1第3组的人数为=4设第1组的1位同学为A，第2组的1位同学为B，第3组的4位同学为C1，C2，C3，C4，则从六位同学中抽两位同学有：（A，B），（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），（C1，C2），（C1，C3），（C1，C4），（C2，C3），（C2，C4），（C3，C4），共15种可能．其中2人年龄都不在第3组的有：（A，B），共1种可能，所以至少有1人年龄在第3组的概率为1﹣．点评：本题考查等可能事件的概率及分层抽样方法，考查对立事件的概率，在考虑问题时，若问题从正面考虑比较麻烦，可以从它的对立事件来考虑21．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACD（1）求证：平面ADE⊥平面BCE；（2）求点D到平面AEC的距离；（3）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据面面垂直的判定定理推断出平面ADE⊥平面BCE；（2）由BD交平面ACE的交点为BD的中点，可是点D与点B到平面ACE的距离相等，进而根据BF⊥平面ACE，所以BF为点B到平面ACE的距离，解三角形ABE和三角形CBE 可得答案．（3）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC 于N点，连MN，证明平面MGE∥平面ADE，可得MN∥平面ADE，从而可得结论．解答：证明：（Ⅰ）∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴BF⊥AE，BF⊥CE，∵EB=BC，∴F是CE的中点，又∵AD⊥平面ABE，AD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ABE，∵平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB∴BC⊥平面ABE，从而BC⊥AE，且BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，又AE⊂平面ADE，故平面平面ADE⊥平面BCE．（2）（Ⅱ）如图，连接BD交AC于点O，则点O是BD的中点，∴点D与点B到平面ACE的距离相等．∵BF⊥平面ACE，∴BF为点B到平面ACE的距离．∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE．又∵AE=BE，∴△AEB是等腰直角三角形，∵AE=2，∴AB=2，∴BE=2sin45°==2，又在Rt△CBE中，CE==2，∴BF===．故点D到平面ACE的距离是．（3）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，∴CN=CE．∵MG∥AE，MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴MG∥平面ADE．同理，GN∥平面ADE，且MG与GN交于G点，∴平面MGE∥平面ADE．又MN⊂平面MGN，∴MN∥平面ADE．故N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．点评：本题考查面面垂直和线面平行的判定，以及点到平面的距离的计算，考查了推理论证和逻辑思维能力．。