高三基本不等式1学案

基本不等式学案(含答案)一 :基础演练1.若x>0，则x ＋2x 的最小值为________．答案：22解析：∵ x>0，∴ x ＋2x≥2x·2x＝22，当且仅当x ＝2时等号成立． 2. 设x<0，则y ＝3－3x －4x 的最小值为________．答案：3＋43解析：∵ x<0，∴ y ＝3－3x －4x ＝3＋(－3x)＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥3＋2（－3x ）·⎝⎛⎭⎫－4x ＝3＋43，当且仅当x ＝－233时等号成立，故所求最小值为3＋4 3.3. 若x>－3，则x ＋2x ＋3的最小值为________．答案：22－3解析：∵ x ＋3>0，∴ x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3≥2（x ＋3）×2x ＋3－3＝22－3.4. 设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是________．答案：183解析：3x ＋3y ≥23x ·3y ＝23x ＋y ＝235＝183，当且仅当x ＝y ＝52时等号成立．5. (必修5P 88例2改编)已知函数f(x)＝x ＋ax －2(x>2)的图象过点A(3，7)，则此函数的最小值是________．答案：6解析：∵ 函数f(x)＝x ＋ax －2(x>2)的图象过点A(3，7)，即7＝3＋a ，∴ a ＝4.∵ x －2>0，∴ f(x)＝(x －2)＋4x －2＋2≥2（x －2）·4x －2＋2＝6，当且仅当x ＝4时等号成立，故此函数的最小值是6. 二:典型例题例1 (1) 已知x<54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2) 已知x>0，y>0且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．解：(1) x<54，∴ 4x －5<0.∴ y ＝4x －5＋14x －5＋3＝－[(5－4x)＋1（5－4x ）]＋3≤－2（5－4x ）1（5－4x ）＋3＝1，y max ＝1.(2) ∵ x>0，y>0且1x ＋9y ＝1，∴ x ＋y ＝(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋9x y ＋yx ≥10＋29x y ·yx＝16，即x ＋y 的最小值为16.例2已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1) 当a ＝4时，求函数f(x)的最小值；(2) 若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围．解：(1) 由a ＝4，∴f(x)＝x 2＋2x ＋4x ＝x ＋4x ＋2≥6，当x ＝2时，取得等号．即当x ＝2时，f(x)min ＝6.(2) x ∈[1，＋∞)，x 2＋2x ＋ax >0恒成立，即x ∈[1，＋∞)，x 2＋2x ＋a>0恒成立．等价于a>－x 2－2x ，当x ∈[1，＋∞)时恒成立，令g(x)＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞)， ∴a>g(x)max ＝－1－2×1＝－3，即a>－3.∴a 的取值范围是()－3，＋∞. 例3 已知x>0，y>0，求证：1x ＋1y ≥4x ＋y.证明：原不等式等价于(x ＋y)2≥4xy ，即(x －y)2≥0，显然成立．故原不等式得证．变式训练(1) 若a>b>c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c；(2) 若a>b>c ，求使得1a －b ＋1b －c ≥ka －c恒成立的k 的最大值．证明：(1) 令a －b ＝x ，b －c ＝y ，则a －c ＝x ＋y.原不等式等价于1x ＋1y ≥4x ＋y ，由作差法可证该不等式成立，故原不等式成立．(2) 由(1)可知，1a －b ＋1b －c ≥4a －c 恒成立，而1a －b ＋1b －c ≥ka －c ，k 的最大值为4.例4 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间．一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1) 现有可围成36m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2) 若使每间虎笼的面积为24m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小？解：(1) 设每间虎笼长为xm ，宽为ym ，则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝36，x>0，y>0，面积S ＝xy.由于2x ＋3y ≥22x·3y ＝26xy ，所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时取等号．则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y 2x ＋3y ＝18⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3，所以每间虎笼长、宽分别为4.5m 、3m 时，可使面积最大．(2) 设围成四间虎笼的钢筋网总长为lm ，则l ＝4x ＋6y ，且xy ＝24，所以l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y)≥2×22x·3y ＝46xy ＝4×6×24＝48(m)，当且仅当2x ＝3y 时取等号．⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝242x ＝3y⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长、宽分别为6m 、4m 时，可使钢筋网的总长最小为48m.例5某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 m 2的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/m 2，中间两道隔墙建造单价为248元/m 2，池底建造单价为80元/m 2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1) 试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2) 若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 m ，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：(1) 设污水处理池的宽为x m ，则长为162xm.总造价为f(x)＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2·162x ＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296⎝⎛⎭⎫x ＋100x ＋1 2960≥1 296×2x·100x ＋12 960＝38 880元．当且仅当x ＝100x(x>0)，即x ＝10时取等号．∴ 当长为16.2 m ，宽为10 m 时总造价最低，最低总造价为38 880元．(2) 由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<162x ≤16，∴ 1018≤x ≤16.设g(x)＋x ＋100x ⎝⎛⎭⎫∴ 1018≤x ≤16，由函数性质易知g(x)在⎣⎡⎦⎤1018，16上是增函数，∴ 当x ＝1018时(此时162x ＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296×⎝⎛⎭⎫1018＋80081＋12 960＝38 882(元)．∴ 当长为16 m ，宽为1018 m 时，总造价最低，为38 882元．三:能力提僧升1. (2013·上海)设常数a>0，若9x ＋a 2x ≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为________．答案：⎣⎡⎭⎫15，＋∞解析：9x ＋a 2x≥29x·a 2x ＝6a ，所以6a ≥a ＋1，即a ≥15. 2. 已知正实数x 、y 、z 满足2x(x ＋1y ＋1z )＝yz ，则⎝⎛⎭⎫x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋1z 的最小值为________． 答案：2解析：∵ 2x ⎝⎛⎭⎫x ＋1y ＋1z ＝yz ，∴ 1y ＋1z ＝yz2x －x ， ∴ ⎝⎛⎭⎫x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋1z ＝x 2＋x ⎝⎛⎭⎫1y ＋1z ＋1yz ＝yz 2＋1yz≥ 2.3. 已知P 是△ABC 的边BC 上的任一点，且满足AP →＝xAB →＋yAC →，x 、y ∈R ，则1x ＋4y 的最小值是________．答案：9解析：因为B 、C 、P 三点共线且AP →＝xAB →＋yAC →，故x ＞0，y ＞0且x ＋y ＝1，所以1x ＋4y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y)＝5＋y x ＋4x y≥9. 4. 若不等式4x 2＋9y 2≥2k xy 对一切正数x 、y 恒成立，则整数k 的最大值为________．答案：3解析：原不等式可化为4x y ＋9y x ≥2k 而4x y ＋9yx ≥12，∴ 2k ≤12，则整数k 的最大值为3.5. 设正项等差数列{a n }的前2 011项和等于2 011，则1a 2＋1a 2 010的最小值为________．答案：2解析：由题意得S 2 011＝2 011（a 1＋a 2 011）2＝2 011，∴ a 1＋a 2 011＝2.又a 2＋a 2 010＝a 1＋a 2 011＝2，∴ 1a 2＋1a 2 010＝12⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 2 010(a 2＋a 2 010)＝12(a 2 010a 2＋a 2a 2 010)＋1≥2.。

基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a abba +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”二、题型分析题型一：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域 （1）22213x x y += （2）)4(x x y -= （3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型二：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值； 练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；题型三：利用不等式求最值 （二）（凑系数）1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

§3.4基本不等式2a b ab +≤ (1)学习目标 学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学习过程一、课前准备看书本97、98页填空复习1：重要不等式：对于任意实数,a b ，有22____2a b ab +，当且仅当________时，等号成立.复习2：基本不等式：设,(0,)a b ∈+∞，则_____2a b ab +，当且仅当____时，不等式取等号.二、新课导学※ 学习探究探究1：基本不等式2a b ab +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为a ，b 那么正方形的边长为____________.这样，4个直角三角形的面积的和是___________，正方形的面积为_________.由于4个直角三角形的面积______正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有_______________结论：一般的，如果,R a b ∈，我们有222a b ab +≥当且仅当a b =时，等号成立. 探究2：你能给出它的证明吗？特别的，如果0a >，0b >，我们用a 、b 分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， 通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤ 问：由不等式的性质证明基本不等2a b ab +≤？ 用分析法证明：证明：要证 2a b ab +≥ (1) 只要证 a b +≥ (2)要证（2），只要证____0a b +-≥ （3）要证（3），只 要证2(__________)0-≥ （4）显然，（4）是成立的. 当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立.3）理解基本不等式2a b ab +≤的几何意义探究：课本第98页的“探究”在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a ，BC=b. 过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式2a b ab +≤的几何解释吗？结论：基本不等式2a b ab +≤几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把2a b +看作是正数a 、b a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称2a b +为a 、b a 、b 的几何平均数.本节定理还 可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. ※ 典型例题例1 （1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少？（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?※ 动手试试练1. 0x >时，当x 取什么值时，1x x +的值最小？最小值是多少？练2. 已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的各最小，最小值是多少？三、总结提升※ 学习小结在利用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等号. ※ 知识拓展两个正数,x y1．如果和x y +为定值S 时，则当x y =时，积xy 有最大值214S .2. 如果积xy 为定值P 时，则当x y =时，和x y +有最小值※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知x >0，若x ＋81x的值最小，则x 为（ ）. A ． 81 B ． 9 C ． 3 D ．162. 若01a <<，01b <<且a b ≠，则a b +、2ab 、22a b +中最大的一个是（ ）.A ．a b +B ．C ．2abD ．22a b +3. 若实数a ，b ，满足2a b +=，则33a b +的最小值是（ ）.A ．18B ．6C ．D ．4. 已知x ≠0，当x =_____时，x 2＋281x 的值最小，最小值是________. 5. 做一个体积为323m ，高为2m 的长方体纸盒，底面的长为_______，宽为________时，用纸最少.1. （1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？2. 一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m ，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？。