2018届广东省广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科数学试题 及答案

试卷类型：A 广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）3 本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的图17432109878信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．()()22221211236n n n n ++++++= ()*n ∈N ．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为A ．M NB ．()U M N ðC ．()U M N ðD ．()()U U M N 痧2．已知向量()3,4a =，若5λ=a ，则实数λ的值为A ．15B ．1C ．15± D ．1±3. 若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是 A. 91, 91.5 B. 91, 92C. 91.5, 91.5D. 91.5, 92侧视图正视图4. 直线10x ay++=与圆()2214x y+-=的位置关系是A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定5. 若直线3y x=上存在点(),x y满足约束条件40,280,,x yx yx m++>⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则实数m的取值范围是A. ()1,-+∞ B. [)1,-+∞C. (),1-∞- D. (],1-∞-6.其体积为3，则该锥体的俯视图可以是图2A. B. C.D.7. 已知a为实数，则1a≥是关于x的绝对值不等式1x x a+-≤有解的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知i 是虚数单位，C 是全体复数构成的集合，若映射:f C →R满足: 对任意12,z z C∈，以及任意λ∈R , 都有()()()()()121211f z z f z f z λλλλ+-=+-, 则称映射f 具有性质P . 给出如下映射: ① 1:f C →R , ()1f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R ); ② 2:f C →R , ()22f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R ); ③ 3:f C →R , ()32f z x y =+, z x y =+i (,x y ∈R ); 其中, 具有性质P 的映射的序号为A. ① ②B. ① ③C. ② ③D. ① ② ③二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9. 已知tan 2α=，则tan 2α的值为 . 10. 已知e 为自然对数的底数，若曲线y x =e x 在点()1,e 处的切线斜率为 . 11. 已知随机变量X服从正态分布()2,1N . 若图3()130.6826P X ≤≤=，则()3P X >等于 .12. 已知幂函数()223(m m f x x m --+=∈Z )为偶函数，且在区间()0,+∞上是单调增函数，则()2f 的值为 .13．已知,n k ∈N *，且k n ≤，k C k n n =C 11k n --，则可推出C 12n +C 23n +C 3n k ++ C k n n ++ C (n n n =C 01n -+C 11n -++ C 11k n --++ C 11)n n --12n n -=⋅，由此，可推出C 122n +C 223n +C 32n k ++ C 2k n n ++ C n n = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14. （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为cos sin ,(cos sin x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数)和2,(x t t y t=-⎧⎨=⎩为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C与2C 的交点的极坐标．．．为 . 15. （几何证明选讲选做题）如图3，BC 是圆O 的一条弦，延长使得22BC CE ==，过E 作圆O 切点，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，则DE 的长为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()02x ,和022x ,π⎛⎫+- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求0sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17. （本小题满分12分）袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取2个球都是白球的概率为17，每个球被取到的机会均等. 现从袋子中每次取1个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为X . （1）求袋子中白球的个数；图4O FEDCB A图5FE PODB A（2）求X 的分布列和数学期望.18. （本小题满分14分）如图4，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，点E ，F 分别是边CD ，CB 的 中点，AC EF O= ，沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA,PB,PD ，得到如图5的五棱锥P ABFED -，且PB =（1）求证：BD ⊥平面POA ； （2）求二面角--B AP O 的正切值.19. （本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足111,1n a a +==，n ∈N *.（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列? 若存在, 求k 的值； 若不存在, 请说明理由.20. （本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅= ，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线.(1) 求椭圆1C 的方程； (2) 求点Q 的轨迹方程；(3) 求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.21. （本小题满分14分）已知函数()()2ln 12a f x x x x =++-()0a ≥.（1）若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，求a 的取值范围； （2）已知e 为自然对数的底数，证明：∀n ∈N *，22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++⋅⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9. 43- 10. 2e 11. 0.1587 12. 1613. ()212n n n -+⋅14. 4π⎫⎪⎭说明: 第14题答案可以是2,4k k ππ⎫+∈⎪⎭Z . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角两角和公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：由题意可得2,A =， …………………………1分00222T x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， …………………………3分∴.T π= …………………………4分 由,2πωπ=得2=ω， …………………………5分∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …………………………6分（2）解： ∵ 点()0,2x 是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在y 轴右侧的第一个最高点, ∴0262x ππ+=. …………………………7分 ∴06x π=. …………………………8分 ∴0sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 64ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭…………………………9分sincoscossin6464ππππ=+ …………………………10分1222=⨯ …………………………11分=. (12)分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查古典概型、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） （1）解：设袋子中有n (n ∈N *)个白球，依题意得，22717n C C =，………………………1分即()1127672n n -=⨯，化简得，260n n --=， (2)分解得，3n =或2n =-（舍去）. …………………………3分 ∴袋子中有3个白球. …………………………4分（2）解：由（1）得，袋子中有4个红球，3个白球. …………………………5分 X的可能取值为0,1,2,3， …………………………6分()407P X==， ()3421767P X ==⨯=， ()3244276535P X ==⨯⨯=，()321413765435P X ==⨯⨯⨯=. ………………10分∴X 的分布列为：…………………………11分 ∴4241301237735355EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、二面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明：∵点E，F分别是边CD，CB的中点，∴BD∥EF. …………………………1分∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD AC⊥.∴EF AC⊥.∴EF AO⊥，EF PO⊥. …………………………2分∵AO⊂平面POA，PO⊂平面POA，AO PO O=，∴EF⊥平面POA. (3)分∴BD⊥平面POA. (4)分（2）解法1：设AO BD H=，连接BO，∵60DAB︒∠=，∴△ABD为等边三角形.∴4BD=，2BH=，HA=HO=在R t△BHO中，BO在△PBO 中，22210+==BO PO PB ，∴PO BO ⊥. …………………………6分∵PO EF ⊥，EF BO O = ，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ，∴PO ⊥平面BFED . …………………………7分过H 作⊥HG AP ，垂足为G ，连接BG ， 由（1）知⊥BH 平面POA ，且⊂AP 平面POA ， ∴⊥BH AP .∵= HG BH H ，⊂HG 平面BHG ，⊂BH 平面BHG ， ∴⊥AP 平面BHG . …………………………8分∵⊂BG 平面BHG ，∴⊥AP BG . …………………………9分 ∴∠BGH为二面角--B AP O的平面角. …………………………10分在Rt△POA中，=AP在Rt△POA和Rt△HGA中，90,︒∠=∠=∠=∠POA HGA PAO HAG ，∴Rt△POA～Rt△HGA . …………………………11分∴=PO PAHGHA.∴5⋅===PO HA HG PA. …………………………12分 在Rt△BHG中，tan ∠===BH BGH HG . ……………………13分∴二面角--B AP O的正切值为…………………………14分解法2：设AO BD H = ，连接BO ， ∵60DAB ︒∠=，∴△ABD 为等边三角形. ∴4BD =，2BH =，HA =，HO PO ==………………………5分在R t△BHO中，BO在△PBO中，22210+==BO PO PB，∴PO BO⊥. …………………………6分∵PO EF⊥，EF BO O=，EF⊂平面BFED，BO⊂平面BFED，∴PO⊥平面BFED. …………………………7分以O为原点，OF所在直线为x轴，AO所在直线为y 轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系-O xyz，则()0,-A，()2,B，(P，()0,H.…………8分∴(=AP，(=AB设平面PAB的法向量为=n(,x由⊥nAP，⊥nAB，得2⎧⎪⎨+⎪⎩x令1=y，得3=-z，=x∴平面PAB的一=n()3-. …………………………10分由（1）知平面PAO的一个法向量为()2,0,0=-BH ， (11)分设二面角--B AP O 的平面角为θ， 则cos θ=cos ,n BH⋅= n BH n BH== (12)分∴sin θ==，sin tan cos θθθ==.………………………13分∴二面角--B AP O的正切值为…………………………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、数列的前n 项和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）（1）解：∵111,1n a a +==，∴2113a ===. …………………………1分 （2）解法1：由11n a +=，得11n n S S +-=， …………………………2分故)211n S +=. …………………………3分 ∵0n a >，∴0n S >. ∴1=. …………………………4分 ∴数列1=，公差为1的等差数列.∴()11n n =+-=. …………………………5分 ∴2n S n =.…………………………6分 当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， (8)分又11a =适合上式， ∴21n a n =-.…………………………9分 解法2：由11n a +=，得()2114n n a S +-=， (2)分当2n ≥时，()2114n n a S --=， …………………………3分∴()()()22111144n n n n n a a S S a +----=-=. …………………………４分∴2211220n n n n a a a a ++---=. ∴()()1120n n n n a a a a +++--=. …………………………５分∵ 0n a >， ∴12n n a a +-=.…………………………６分∴数列{}n a 从第2项开始是以23a =为首项，公差为2的等差数列．……………７分∴()()322212n a n n n =+-=-≥． …………………………８分∵11a =适合上式， ∴21n a n =-.…………………………9分解法3：由已知及（1）得11a =，23a =， 猜想21n a n =-. …………………………2分下面用数学归纳法证明.① 当1n =，2时，由已知11211a ==⨯-，23a ==221⨯-，猜想成立. ………3分 ② 假设n k=()2k ≥时，猜想成立，即21k a k =-， (4)分由已知11k a +=，得()2114k k a S +-=，故()2114k k a S --=.∴()()()22111144k k k k k a a S S a +----=-=. …………………………5分∴22211220k k k k a a a a ++---=.∴()()1120k k k k a a a a +++--=. …………………………6分 ∵10,0k k a a +>>，∴120k k a a +--=. …………………………7分∴()12212211k k a a k k +=+=-+=+-. …………………………8分故当1n k =+时，猜想也成立. 由①②知，猜想成立，即21n a n =-. (9)分（3）解：由(2)知21n a n =-, ()21212n n n S n +-==. 假设存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列,则2214k k k S a a -=⋅. …………………………10分 即()()()4212181k k k -=-⋅-. …………………………11分∵ k 为正整数， ∴ 210k -≠. ∴ ()32181k k -=-. ∴ 328126181k k k k -+-=-. 化简得32460k k k --=. …………………………12分∵ 0k ≠, ∴ 24610k k --=.解得6384k ±==, 与k为正整数矛盾. ……………………13分∴ 不存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列. …………………………14分 20.（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解法1： ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , (1)分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (1)，∴1224a AF AF =+=，得2a =. (2)分∴2222b a =-=. ………………………3分∴椭圆1C 的方程为22142x y +=. ………………………4分 解法2: ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , (1)分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (1)，∴22211a b +=.① ………………………2分 .∵222a b =+,② ………………………3分由①②解得24a =, 22b =. ∴椭圆1C 的方程为22142x y +=. ………………………4分（2）解法1：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-，∴(1)AQ x y =-，11(1)AP x y =- ，(1)BQ x y =+，11(1)BP x y =+ .由AQ AP ⋅= ,得11((1)(1)0x x y y +--=， (5)分即11((1)(1)x x y y =---. ①同理, 由BQ BP ⋅= , 得11((1)(1)x x y y =-++.② ……………6分 ①⨯②得222211(2)(2)(1)(1)x x y y --=--.③ ………………………7分由于点P 在椭圆1C 上, 则2211142x y +=，得221142x y =-,代入③式得 2222112(1)(2)(1)(1)y x y y ---=--.当2110y -≠时，有2225x y +=， 当2110y -=，则点(1)P -或P ,此时点Q 对应的坐标分别为或(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. (8)分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得3y =-，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或2⎫-⎪⎪⎝⎭. 同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q的坐标为()或2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. ∴点Q的轨迹方程为2225x y +=, 除去四个点)1-,2⎫-⎪⎪⎝⎭, (),2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.………………………9分 解法2：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-，∵0AQ AP ⋅= ，0BQ BP ⋅=， ∴AQ AP ⊥，BQ BP ⊥.∴1=-(1x ≠，①……………………5分1=-(1x≠.②……………………6分①⨯②得12222111122y yx x--⨯=--.(*) ………………………7分∵点P在椭圆1C上, ∴2211142x y+=，得221122xy=-, 代入(*)式得2212211112122x yx x--⨯=--，即2211122yx--⨯=-, 化简得2225x y+=.若点(1)P-或P, 此时点Q对应的坐标分别为或(1)-，其坐标也满足方程2225x y+=. ………………………8分当点P与点A重合时，即点P(1)，由②得3y=-，解方程组2225,3,x yy⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得点Q的坐标为)1-或,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭.同理, 当点P与点B重合时，可得点Q的坐标为()或22⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭.∴点Q的轨迹方程为2225x y+=, 除去四个点)1-,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭, (),2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.………………………9分 (3) 解法１：点Q (),x y 到直线:AB 0x =. △ABQ的面积为S =10分x == (11)分而222(2)42y x x =⨯⨯≤+（当且仅当2x =时等号成立）∴S ===. ……12分当且仅当2x =, 等号成立.由22225,x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得22,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或22.x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩………………………13分∴△ABQ的面积最大值为2, 此时,点Q的坐标为22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭或22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.…14分解法２：由于AB=，故当点Q 到直线AB的距离最大时，△ABQ的面积最大．………………………1０分设与直线AB 平行的直线为0x m+=，由220,25,x m x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得225250y c ++-=， 由()223220250m m ∆=--=，解得2m =±．………………………1１分若2m =，则2y =-，2x =-；若2m =-，则2y =，x =．…1２分故当点Q 的坐标为2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭时，△ABQ 的面积最大，其值为122S AB ==． ………………………1４分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的导数、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）（1）解：∵()()2ln 12a f x x x x =++-，其定义域为()1,-+∞,∴()()11111x ax a f x ax x x+-'=+-=++. …………………………1分① 当0a =时，()1xf x x'=-+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '<， 则()f x 在区间()0,+∞上单调递减，此时，()()00f x f <=，不符合题意. …2分② 当01a <<时，令()0f x '=，得10x =，210a x a-=>，当x ∈10a ,a -⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 在区间10a ,a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 此时，()()00f x f <=，不符合题意. …………………………3分 ③ 当1a =时，()21x f x x'=+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>，则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意. ……4分④ 当1a >时，令()0f x '=，得10x =，210a x a-=<，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>，则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意. ……5分 综上所述，a的取值范围为[)1,+∞. …………………………6分（2）证明：由（1）可知，当0a =时，()0f x <对()0,x ∈+∞都成立，即()ln 1x x+<对()0,x ∈+∞都成立. …………………………7分 ∴2222221212ln 1ln 1ln 1n n n n n n nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .………………8分即ln 2222121211112n n n n n n n n⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ . 由于n ∈N*，则111111222221n n n +=+≤+=⨯. …………………………9分∴ln 222121111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ∴22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <. …………………………10分由（1）可知，当1a =时，()0f x >对()0,x ∈+∞都成立， 即()21ln 12x x x -<+对()0,x ∈+∞都成立. …………………………11分∴2222224442221211212ln 1ln 1ln 12n n n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++<++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .…………………………12分即()()()2422212111126ln 11122n n n n n n n n n n n ++⎡⎤⎢⎥+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<+++⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 得323222643112ln 11112n n n n n n n n +--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦由于n ∈N*，则()()32232333363316431611212122n n n n n n n n n n n +-+-+--=≥=.…………………………13分∴12<ln 22212111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.∴22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. …………………………14分22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.。