2020上海初三数学各区二模填空压轴第18题集合

2020年上海市青浦区中考数学二模试卷2020.05一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1． (0)a a ≠的倒数是（ ▲ ）（A ）a ；（B ）a -；（C ）1a； （D ）1a-． 2．计算2(2)x -的结果，正确的是（ ▲ ）（A ）22x ； （B ）22x -；（C ）24x ；（D ）24x -．3．如果反比例函数ky x=的图像分布在第二、四象限，那么k 的取值范围是（ ▲ ） （A ）0k >；（B ）0k <；（C ）0k ≥；（D ）0k ≤．4．下列方程中，没有实数根的是（ ▲ ）（A ）； （B ）； （C ）；（D ）．5． 为了解某校初三400名学生的体重情况，从中抽取50名学生的体重进行分析．在这项调查中，下列说法正确的是（ ▲ ） （A ）400名学生中每位学生是个体； （B ）400名学生是总体；（C ）被抽取的50名学生是总体的一个样本； （D ）样本的容量是50．6．如图1，点G 是ABC ∆的重心，联结AG 并延长交BC 边于点D ．设a AB =，b GD =，那么向量BC 用向量a 、b 表示为（ ▲ ）（A ）32BC b a =-； （B ）32BC b a =+；（C ）62BC b a =-； （D ）62BC b a =+．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）220x x -=2210x x --=2210x x -+=2220x x -+=图1【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7． 计算：3a a ÷= ▲ ．8． 在实数范围内因式分解：22m -= ▲ ． 9．函数y 的定义域是 ▲ ．10．不等式组1020.x x +≥⎧⎨->⎩，的解集是 ▲ ．11．如果将直线3y x =平移，使其经过点（0,-1），那么平移后的直线表达式是 ▲ ． 12．从2，3，4，5，6这五个数中任选一个数，选出的这个数是素数的概率是 ▲ ． 13．如果点D 、E 分别是ABC ∆的AB 、AC 边的中点，那么ADE ∆与ABC ∆的周长之比是 ▲ ．14．已知点C 在线段AB 上，且012AC AB <<．如果⊙C 经过点A ，那么点B 与⊙C 的位置关系是 ▲ ．15．随机选取50粒种子在适宜的温度下做发芽天数的试验，试验的结果如右表所示．估计该作物种子发芽的天数的平均数约为 ▲ 天．16．在ABC ∆中，3AB AC ==，2BC =，将ABC ∆绕着点B 顺时针旋转，如果点A 落在射线BC 上的点A '处．那么=AA ' ▲ ．17．在Rt ABC ∆中，90o ACB ∠=，3AC =，4BC =．分别以A 、B 为圆心画圆，如果⊙A 经过点C ，⊙B 与⊙A 相交，那么⊙B 的半径r 的取值范围是 ▲ ．18．小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似．．分．割线．．．如图2、图3，直线CG 、DH 分别是两个不相似的Rt ABC ∆ 和Rt DEF ∆的相似分割线，CG 、DH 分别与斜边AB 、EF 交于 点G 、 H ，如果BCG ∆与DFH ∆相似，3AC =，5AB =，4DE =，8DF =，那么AG = ▲ ．G CA图2HFED图3三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上] 19．（本题满分10分）计算：2121182-⎛⎫- ⎪⎝⎭．20．（本题满分10分）解方程： 24211422x x x x -=---+.21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图4，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，4AC BC ==，点D 在边BC 上，且3BD CD =，DE AB ⊥，垂足为点E ，联结CE .（1）求线段AE 的长； （2）求ACE ∠的余切值．22．（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题7分）某湖边健身步道全长1500米，甲、乙两人同时从同一起点匀速向终点步行．甲先到达终点后立刻返回，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y （米）与出发的时间x （分）之间的关系如图5中OAABCDE图4图5—AB 折线所示．（1）用文字语言描述点A 的实际意义； （2）求甲、乙两人的速度及两人相遇时x 的值．23．（本题满分12分，第（1）小题7分，第（2）小题5分） 如图6，在平行四边形ABCD 中，BE 、DF 分别是平行四边形的两个外角的平分线，12EAF BAD ∠=∠，边AE 、AF 分别交两条角平分线于点E 、F ．（1）求证：ABE ∆∽FDA ∆；（2）联结BD 、EF ，如果2DF AD AB =⋅，求证：BD EF =．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图7，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数243y a x a x =-+ 的图像与x 轴正半轴交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，且tan 3∠=CAO ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P 是对称轴右侧抛物线上的点，联结CP ，交对称轴于点F ，当图6GFEDCB A H:2:3CDFFDPSS=时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将△PCD 沿直线MN 翻折，当点P 恰好与点O 重合时，折痕MN 交轴于点M ，交轴于点N ，求 OM ON的值．25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图8，已知AB 是半圆O 的直径，6AB =，点C 在半圆O 上.过点A 作AD ⊙OC ，垂足为点D ，AD 的延长线与弦BC 交于点E ，与半圆O 交于点F （点F 不与点B 重合）.（1）当点F 为BC 的中点时，求弦BC 的长； （2）设OD x =，DE AEy =，求与的函数关系式；（3）当△AOD 与△CDE 相似时，求线段OD 的长.x y y x OABCDEFOABCDE F图7备用图2020年上海市青浦区中考数学二模试卷答案解析版一、选择题1.a（a≠0）的倒数是（）A. aB. ﹣aC. 1aD.1a-【答案】C 【解析】分析】一般地，11(0)a aa•=≠，就说a（a≠0）的倒数是1a．据此即可得出答案．【详解】解：11(0) a aa•=≠，∴a（a≠0）的倒数是1a，故选：C．【点睛】本题考查的是倒数的定义，掌握倒数的定义是解题的关键．2.计算（﹣2x）2的结果是（）A. 2x2B. ﹣2x2C. 4x2D. ﹣4x2【答案】C【解析】【分析】根据积的乘方法则计算即可．【【详解】解：（﹣2x）2＝4x2．故选：C．【点睛】本题考查积的乘方计算，掌握计算法则正确计算是解题关键．3.如果反比例函数y＝kx的图象在二、四象限，那么k的取值范围是（）A. k＞0B. k＜0C. k≥0D. k≤0【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数图象的性质：当k＜0时，反比例函数图象位于第二、四象限．【详解】解：⊙图象在二、四象限，⊙k＜0．故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的图像性质，掌握反比例函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．4.下列方程中，没有实数根的是（）A. x2﹣2x=0B. x2﹣2x﹣1=0C. x2﹣2x+1 =0D. x2﹣2x+2=0【答案】D【解析】【分析】分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可．【详解】A、⊙=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；B、⊙=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；C、⊙=（﹣2）2﹣4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以C选项错误；D、⊙=（﹣2）2﹣4×1×2=﹣4＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．故选D．5.为了解某校初三400名学生的体重情况，从中抽取50名学生的体重进行分析．在这项调查中，下列说法正确的是（）A. 400名学生中每位学生是个体B. 400名学生是总体C. 被抽取的50名学生是总体的一个样本D. 样本的容量是50【答案】D【解析】【分析】总体是所有调查对象的全体；样本是所抽查对象的情况；所抽查对象的数量；个体是每一个调查的对象．【详解】解：A.400名学生中每位学生的体重是个体，故本选项不合题意；B.400名学生的体重是总体，故本选项不合题意；C．被抽取的50名学生的体重是总体的一个样本，故本选项不合题意；D．样本的容量是50，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了统计的有关知识，解决此题的关键是掌握总体、样本、样本容量、个体的定义．6.如图，点G是⊙ABC的重心，联结AG并延长交BC边于点D．设AB a=，GD b=，那么向量BC用向量a、b表示为（）A. 32BC b a=+=- D. 62 =- B. 32BC b aBC b a=+ C. 62BC b a【答案】C【解析】【分析】G是⊙ABC的重心，推出AG＝2DG，推出AD＝3DG，利用三角形法则求出BD即可解决问题．的【详解】解：⊙G是⊙ABC重心，⊙AG＝2DG，⊙AD＝3DG，⊙AD＝3GD＝3b，⊙BD＝BA+AD＝﹣a+3b，DB＝BD，⊙BC＝2BD＝6b﹣2a，故选：C．【点睛】此题考查三角形的重心，平面向量，三角形法则，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二、填空题7.计算：3a a÷=__________．【答案】2a．【解析】【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减【详解】解：原式＝312-=．a a故答案为2a．8.在实数范围内分解因式x2-2=__________________.【答案】)(x【解析】分析：把2写成2，然后运用平方差公式分解即可.详解：原式= x2-2=x2-2+.=(x x+.故答案为(x x点睛：本题考查实数范围内的因式分解,因式分解的步骤为:一提公因式;二看公式.在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止.9.函数y =________.【答案】x≥-3 【解析】分析：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x 的范围． 详解：根据题意得：x +3≥0，解得：x ≥﹣3． 故答案为x ≥﹣3．点睛：考查了函数的定义域，函数的定义域一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，定义域可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．10.不等式组1020x x +≥⎧⎨->⎩的整数解是_____．【答案】﹣1、0、1 【解析】 【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，即可得出答案．【详解】1020x x +≥⎧⎨->⎩，解不等式10x +≥得：1x ≥-， 解不等式20x ->得：2x <，∴不等式组的解集为12x -≤<，不等式组的整数解为-1,0，1.故答案为-1,0，1.【点睛】本题考查的知识点是一元一次不等式组的整数解，解题关键是注意解集范围从而得出整数解.11.如果将直线y＝3x平移，使其经过点(0，﹣1)，那么平移后的直线表达式是_____．【答案】y＝3x﹣1【解析】【分析】根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为y＝3x+b，然后将点（0，﹣1）代入即可得出直线的函数解析式．【详解】解：设平移后直线的解析式为y＝3x+b，把（0，﹣1）代入直线解析式得﹣1＝b，解得b＝﹣1．所以平移后直线的解析式为y＝3x﹣1．故答案为：y＝3x﹣1．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，掌握直线y=kx+b（k≠0）平移时k的值不变是解题的关键．12.从2，3，4，5，6这五个数中任选一个数，选出的这个数是素数的概率是_____．【答案】3 5【解析】【分析】这五个数中任选一个数共有5种等可能结果，其中选出的这个数是素数的有2、3、5这3种结果，根据概率公式求解可得．【详解】解：从2，3，4，5，6这五个数中任选一个数共有5种等可能结果，其中选出的这个数是素数的有2、3、5这3种结果， 所以选出的这个数是素数的概率是35， 故答案为：35． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13.如果点D 、E 分别是⊙ABC AB 、AC 边的中点，那么⊙ADE 与⊙ABC 的周长之比是_____． 【答案】1：2 【解析】 【分析】根据中位线的定理即可求出答案．【详解】解：⊙点D 、E 分别是⊙ABC 的AB 、AC 边的中点， ⊙DE 是⊙ABC 的中位线， ⊙12DE AD AE BC AB AC ===， ⊙ADE ABCL L＝DE AD AE BC AB AC++++＝12 故答案为：1：2．【点睛】本题考查中位线，解题的关键是熟练运用中位线的性质定理，本题属于基础题型． 14.已知点C 在线段AB 上，且0＜AC ＜12AB ．如果⊙C 经过点A ，那么点B 与⊙C 的位置的关系是_____．【答案】点B在⊙C外【解析】【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．【详解】解：如图，⊙点C在线段AB上，且0＜AC＜1AB，2⊙BC＞AC，⊙点B在⊙C外，故答案为：点B在⊙C外．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当d＞r时点P在圆外；当d＜r时点P在圆内是解答此题的关键．15.随机选取50粒种子在适宜的温度下做发芽天数的试验，试验的结果如表所示．估计该作物种子发芽的天数的平均数约为_____天．【答案】1.8【解析】【分析】利用加权平均数的公式计算可得．【详解】估计该作物种子发芽的天数的平均数约为115230351.850⨯+⨯+⨯=（天）故答案为：1.8．【点睛】本题考查了加权平均数的公式，熟记公式是解题关键．16.在⊙ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，将⊙ABC绕着点B顺时针旋转，如果点A落在射线BC上的点A'处．那么AA'＝_____．【答案】【解析】【分析】作AH⊙BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得BH＝CH＝12BC＝1，利用勾股定理可计算出AH＝，再根据旋转的性质得BA′＝BA＝3，则HA′＝2，然后利用勾股定理可计算出AA′的长．【详解】解：作AH⊙BC于H，如图，⊙AB＝AC＝3，BC＝2，⊙BH＝CH＝12BC＝1，⊙AH⊙⊙ABC绕着点B顺时针旋转，如果点A落在射线BC上的点A'处，⊙BA′＝BA＝3，⊙HA′＝2，在Rt⊙AHA′中，AA′故答案为【点睛】此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．17.在Rt⊙ABC中，⊙ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．分别以A、B为圆心画圆，如果⊙A经过点C，⊙B与⊙A相交，那么⊙B的半径r的取值范围是_____．【答案】2＜r＜8【解析】【分析】根据勾股定理求出斜边AB，根据⊙A经过点C求出⊙A的半径为3，再求出⊙B的半径范围即可．【详解】解：在Rt⊙ABC中，⊙ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝5，⊙⊙A经过点C，⊙AD＝AC＝3，⊙BD＝2，⊙⊙B与⊙A相交，⊙⊙B的半径r的取值范围是2＜r＜8，故答案为：2＜r＜8．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能求出BD的长是解此题的关键．18.小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线．如图1、图2，直线CG、DH分别是两个不相似的Rt⊙ABC和Rt⊙DEF的相似分割线，CG、DH分别与斜边AB、EF交于点G、H，如果⊙BCG与⊙DFH相似，AC＝3，AB＝5，DE＝4，DF＝8，那么AG＝_____．【答案】3【解析】【分析】先由勾股定理得出BC的值，再由⊙BCG⊙⊙DFH列出比例式，设AG＝x，用含x的式子表示出DH；按照相似分割线可知，⊙AGC⊙⊙DHE，但要先得出两个相似三角形的边或角是如何对应的，再根据相似三角形的性质列出比例式，解得x值即可．【详解】解：⊙Rt⊙ABC，AC＝3，AB＝5，⊙由勾股定理得：BC＝4，⊙⊙BCG⊙⊙DFH，⊙BGDH＝BCDF，已知DF＝8，设AG＝x，则BG＝5﹣x，⊙5 xDH＝48，⊙DH＝10﹣2x，⊙⊙BCG⊙⊙DFH，⊙⊙B＝⊙FDH，⊙BGC＝⊙CHF，⊙⊙AGC＝⊙DHE，⊙⊙A+⊙B＝90°，⊙EDH+⊙FDH＝90°，⊙⊙A ＝⊙EDH ， ⊙⊙AGC⊙⊙DHE ，⊙AG DH ＝ACDE， 又DE ＝4，⊙102-xx ＝34，解得：x ＝3，经检验，x ＝3是原方程的解，且符合题意． ⊙AG ＝3． 故答案为：3．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质,掌握相似三角形的判定及性质是解决此题的关键． 三、解答题19.计算：2121|1|82-⎛⎫- ⎪⎝⎭．【答案】3 【解析】 【分析】直接利用绝对值的意义、二次根式的性质、分数指数幂的性质以及负指数指数幂分别化简得出答案．2121182-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭14=-+14=-3=．【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及到了绝对值的意义、二次根式的性质、分数指数幂的性质以及负指数指数幂等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键，体现了数学运算的核心素养．20.解方程：24211422xx x x．【答案】x＝1．【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：4x﹣2x﹣4＝x2﹣4﹣x+2，即x2﹣3x+2＝0，解得：x＝1或x＝2，经检验x＝2是增根，所以，分式方程的解为x＝1．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．21.如图，在Rt⊙ABC中，⊙ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊙AB，垂足为点E，联结CE．（1）求线段AE长；（2）求⊙ACE的余切值．【答案】（1（2）3 5【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数定义即可求出AE的长；（2）过点E作EH⊙AC于点H．根据等腰直角三角形的性质可得EH＝AH的值，再根据三角函数即可求出⊙ACE的余切值．【详解】解：（1）⊙BC＝4，BD＝3CD，⊙BD＝3．⊙AB＝BC，⊙ACB＝90°，⊙⊙A＝⊙B＝45°．⊙DE⊙AB，⊙在Rt⊙DEB中，cosB＝BEBD．⊙BE在Rt⊙ACB中，AB，⊙AE的（2）如图，过点E 作EH⊙AC 于点H ．⊙在Rt⊙AHE 中，cosA ＝2AH AE ＝， AH=AE•cos45°=52， ⊙CH ＝AC−AH ＝4−52＝32， ⊙EH=AH=52， ⊙在Rt⊙CHE 中，cot⊙ECB=35CH EH ＝， 即⊙ECB 的余切值是35． 【点睛】此题考查解直角三角形、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握锐角三角函数定义．22.某湖边健身步道全长1500米，甲、乙两人同时从同一起点匀速向终点步行．甲先到达终点后立刻返回，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y （米）与出发的时间x （分）之间的关系如图中OA ﹣AB 折线所示． （1）用文字语言描述点A 的实际意义； （2）求甲、乙两人的速度及两人相遇时x 的值．【答案】（1）20分钟时，甲乙两人相距500米；（2）甲的速度是每分钟75米，乙的速度是每分钟50米，两人相遇时x的值为24【解析】【分析】（1）根据题意结合图象解答即可；（2）根据图象分别求出两人的速度，再根据题意列方程解答即可．【详解】解：（1）点A的实际意义为：20分钟时，甲乙两人相距500米．（2）根据题意得，1500==7520V甲（米/分），1000==5020V乙（米/分），依题意，可列方程：75（x﹣20）+50（x﹣20）＝500，解这个方程，得x＝24，答：甲的速度是每分钟75米，乙的速度是每分钟50米，两人相遇时x的值为24．【点睛】本题考查了一次函数的应用，正确掌握分析函数图象是解题的关键．23.如图，在平行四边形ABCD中，BE、DF分别是平行四边形的两个外角的平分线，⊙EAF ＝12⊙BAD，边AE、AF分别交两条角平分线于点E、F．（1）求证：⊙ABE⊙⊙FDA；（2）联结BD、EF，如果DF2＝AD•AB，求证：BD＝EF．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到⊙HDF＝12⊙HDC．根据平行四边形的性质得到AB⊙CD．求得⊙BAD＝⊙CDH．等量代换得到⊙BAE＝⊙F，同理⊙DAF＝⊙E，于是得到结论；（2）作AP平分⊙DAB交CD于点P，由角平分线的定义得到⊙DAP＝12⊙BAD，求得⊙HDF ＝⊙DAP，推出DF⊙AP，同理BE⊙AP，根据相似三角形的性质得到BE＝DF，根据平行四边形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）⊙⊙EAF＝12⊙BAD，⊙⊙DAF+⊙BAE＝12⊙BAD，⊙DF平分⊙HDC，⊙⊙HDF＝12⊙HDC，又⊙四边形ABCD是平行四边形，⊙AB⊙CD，⊙⊙BAD＝⊙CDH，⊙⊙HDF＝⊙EAF，⊙⊙HDF ＝⊙DAF+⊙BAE ， 又⊙⊙HDF ＝⊙DAF+⊙F ， ⊙⊙BAE ＝⊙F ， 同理：⊙DAF ＝⊙E ， ⊙⊙ABE⊙⊙FDA ；（2）作AP 平分⊙DAB 交CD 于点P ，⊙⊙DAP ＝12⊙BAD ， ⊙⊙HDF ＝12⊙CDH ，且⊙BAD ＝⊙CDH ⊙⊙HDF ＝⊙DAP ， ⊙DF⊙AP ， 同理：BE⊙AP ， ⊙DF⊙BE ， ⊙⊙ABE⊙⊙FDA ， ⊙=AD DFBE AB， 即BE•DF ＝AD•AB ， 又⊙DF 2＝AD•AB ，⊙BE＝DF，⊙四边形DFEB是平行四边形，⊙BD＝EF．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣4ax+3的图象与x轴正半轴交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为D，且tan⊙CAO＝3．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是对称轴右侧抛物线上点，联结CP，交对称轴于点F，当S⊙CDF：S⊙FDP＝2：3时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将⊙PCD沿直线MN翻折，当点P恰好与点O重合时，折痕MN交x轴于点M，交y轴于点N，求OMON的值．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）(5，8)；（3）8 5【解析】【分析】的（1）在Rt⊙AOC 中，tan⊙CAO ＝OCOA＝3，求出点A 的坐标，即可求解； （2）利用2=3CDF FDPS CG SPQ =，即可求解； （3）证明⊙ONM ＝⊙POH ，则8tan tan 5OM PH ONM POM ON OH ∠=∠===． 【详解】解：（1）⊙二次函数y ＝ax 2﹣4ax+3的图象与y 轴交于点C ， ⊙点C 的坐标为（0，3）， ⊙OC ＝3，连接AC ，在Rt⊙AOC 中，tan⊙CAO ＝OCOA＝3， ⊙OA ＝1，将点A （1，0）代入y ＝ax 2﹣4ax+3，得a ﹣4a+3＝0， 解得：a ＝1．所以，这个二次函数的解析式为 y ＝x 2﹣4x+3；（2）过点C 作CG⊙DF，过点P 作PQ⊙DF ，垂足分别为点G 、Q ．⊙抛物线y ＝x 2﹣4x+3的对称轴为直线x ＝2， ⊙CG ＝2，⊙2=3CDF FDPS CG SPQ ， ⊙PQ ＝3，⊙点P 的横坐标为5，⊙把x ＝5代入y ＝x 2﹣4x+3，得 y ＝8， ⊙点P 的坐标为（5，8）；（3）过点P 作PH⊙OM ，垂足分别为点H ，⊙点P 的坐标为（5，8），⊙OH＝5，PH＝8，⊙将⊙PCD沿直线MN翻折，点P恰好与点O重合，⊙MN⊙OP，⊙⊙ONM+⊙NOP＝90°，又⊙⊙POH+⊙NOP＝90°，⊙⊙ONM＝⊙POH，⊙OM PH8 tan ONII tan POMON OH5∠==∠==．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、图象的翻折、面积的计算等，具有一定的综合性，难度适中．25.如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝6，点C在半圆O上．过点A作AD⊙OC，垂足为点D，AD的延长线与弦BC交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）．（1）当点F为BC的中点时，求弦BC的长；（2）设OD＝x，DEAE＝y，求y与x的函数关系式；（3）当⊙AOD与⊙CDE相似时，求线段OD的长．【答案】（1）（2）y＝36x-；（3）32【解析】【分析】（1）连结OF，交BC于点H．得出⊙BOF＝⊙COF．则⊙AOC＝⊙COF＝⊙BOF＝60°，可求出BH，BC的长；（2）连结BF．证得OD⊙BF，则33DE xDF x-=+，即33DE xAD x-=+，得出36DE xAE-=，则得出结论；（3）分两种情况：⊙当⊙DCE＝⊙DOA时，AB⊙CB，不符合题意，舍去，⊙当⊙DCE＝⊙DAO时，连结OF，证得⊙OAF＝30°，得出OD＝1322OA=，则答案得出．【详解】解：（1）如图1，连结OF，交BC于点H．⊙F是BC中点，⊙OF⊙BC，BC＝2BH．⊙⊙BOF＝⊙COF．⊙OA＝OF，OC⊙AF，⊙⊙AOC＝⊙COF，⊙⊙AOC＝⊙COF＝⊙BOF＝60°，在Rt⊙BOH中，sin⊙BOH＝BHOB=⊙AB＝6，⊙OB＝3，⊙BH⊙BC＝2BH＝（2）如图2，连结BF．⊙AF⊙OC，垂足为点D，⊙AD＝DF．又⊙OA＝OB，⊙OD⊙BF，BF＝2OD＝2x．⊙32DE CD x EF BF x-==，⊙33DE x DF x-=+，即33DE x AD x-=+，⊙36 DE x AE-=，⊙y＝36x -．（3）⊙AOD和⊙CDE相似，分两种情况：⊙当⊙DCE＝⊙DOA时，AB⊙CB，不符合题意，舍去．⊙当⊙DCE＝⊙DAO时，连结OF．⊙OA＝OF，OB＝OC，⊙⊙OAF＝⊙OFA，⊙OCB＝⊙OBC．⊙⊙DCE＝⊙DAO，⊙⊙OAF＝⊙OFA＝⊙OCB＝⊙OBC．⊙⊙AOD＝⊙OCB+⊙OBC＝2⊙OAF，⊙⊙OAF＝30°，⊙OD＝13 22 OA ．即线段OD的长为32．【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题．备用图图8。

2020年上海市普陀区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列计算中，正确的是())−2=4A. −22=4B. 1612=8C. 3−1=−3D. (122.下列二次根式中，与√2a(a>0)属同类二次根式的是()A. √2a2B. √4aC. √8a3D. √4a23.关于函数y=−2，下列说法中错误的是()xA. 函数的图象在第二、四象限B. y的值随x的值增大而增大C. 函数的图象与坐标轴没有交点D. 函数的图象关于原点对称4.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果OB=4，∠AOB=60°，那么矩形ABCD的面积等于()A. 8B. 16C. 8√3D. 16√35.一个事件的概率不可能是()A. 1.5B. 1C. 0.5D. 06.如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC=CD，在下列四个说法中，①AC⏜=2CD⏜；②AC=2CD；③OC⊥BD；④∠AOD=3∠BOC，正确的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.计算：a⋅(3a)2=______．8.函数y=1的定义域是______．x+19.方程√5x=−x的解是______．10.已知一个样本1、3、2、5、x的平均数是3，那么x=______．11.如果把二次方程x2−xy−2y2=0化成两个一次方程，那么所得的两个一次方程分别是______．12.已知一件商品的进价为a元，超市标价b元出售，后因季节原因超市将此商品打八折促销，如果促销后这件商品还有盈利，那么此时每件商品盈利______元．(用含有a、b的代数式表示)13.如果关于x的方程(x−2)2=m−1没有实数根，那么m的取值范围是______．14.已知正方形的半径是4，那么这个正方形的边心距是______．15.今年3月，上海市开展了在线学习，同时号召同学们在家要坚持体育锻炼，已知某班学生一周内在家锻炼时间的频数分布直方图如图所示．如果锻炼时间在0−2小时的学生的频率是20%，那么锻炼时间在4−6小时的学生的频率是______．16. 如图，已知△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE//BC ，DC 、BE 交于点O ，AB =3AD ，设BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么向量DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示是______．17. 将正比例函数y =kx(k 是常数，k ≠0)的图象，沿着y 轴的一个方向平移|k|个单位后与x 轴、y 轴围成一个三角形，我们称这个三角形为正比例函数y =kx 的坐标轴三角形，如果一个正比例函数的图象经过第一、三象限，且它的坐标轴三角形的面积为5，那么这个正比例函数的解析式是______． 18. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，cotB =43，点P 为边AB 上一点，将△BPC 沿着PC 翻折得到△B′PC ，B′C 与边AB 的交于点D ，如果△B′PD 恰好为直角三角形，那么BP =______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19. 先化简，再求值：xx+1−1x 2−1÷x−1x 2−2x+1，其中x =√3+1．20. 解不等式组：{3(x −2)≤8−(x +6)x+12<2x−13+1，并把解集在数轴上表示出来．x+n的图象21.在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知一次函数y=2x+m与y=−12都经过点A(−2,0)，且分别与y轴交于点B和点C．(1)求B、C两点的坐标；x+n上，且在y轴右侧，当△ABD的面积为15时，求点(2)设点D在直线y=−12D的坐标．22.一块显示屏斜挂在展示厅的墙面上，如图是显示屏挂在墙面MD的正侧面示意图，，在地面C处测得其中AB表示显示屏的宽，AB与墙面MD的夹角α的正切值为25显示屏顶部A的仰角为45°，屏幕底部B与地面CD的距离为2米，如果C处与墙面之间的水平距离CD为3.4米，求显示屏的宽AB的长．(结果保留根号)23.已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E是DB延长线上的一点，且EA=EC，分别延长AD、EC交于点F．(1)求证：四边形ABCD为菱形；(2)如果∠AEC=2∠BAC，求证：EC⋅CF=AF⋅AD．24.在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y=ax2−4ax+3(a≠0)经过点A，其顶点为C，直线y=1与y轴交于点B，与抛物线交于点D(在其对称轴右侧)，联结BC、CD．(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；(2)点P是y轴的负半轴上的一点，如果△PBC与△BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；(3)将∠CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E(点E在对称轴的右侧)，求点E的坐标．25.如图，已知在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交边DC于E、F两点，AD=1，BC=5，设⊙O的半径长为r．(1)联结OF，当OF//BC时，求⊙O的半径长；(2)过点O作OH⊥EF，垂足为点H，设OH=y，试用r的代数式表示y；(3)设点G为DC的中点，联结OG、OD，△ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如不能，试说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A 、−22=−4，本选项计算错误； B 、1612=√16=4，本选项计算错误； C 、3−1=13，本选项计算错误；D 、(12)−2=1(12)2=4，本选项计算正确；故选：D ．根据分数指数幂、负整数指数幂计算，判断即可．本题考查的是分数指数幂、负整数指数幂的运算，掌握a mn =√a m n 、a −p=1a p 是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：A ．√2a 2=√2a ，与√2a 的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意； B .√4a =2√a ，与√2a 的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意； C .√8a 3=2a √2a ，与√2a 的被开方数相同，则它们是同类二次根式，故本选项正确； D .√4a 2=2a 与√2a 的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意． 故选：C ．先化简，再根据同类二次根式的定义解答．此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 3.【答案】B【解析】解：∵函数y =−2x ，∴该函数的图象在第二、四象限，故选项A 正确； 在每个象限内，y 随x 的增大而增大，故选项B 错误； 函数的图象与坐标轴没有交点，故选项C 正确； 函数的图象关于原点对称，故选项D 正确； 故选：B ．根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 4.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形∴∠BAD =90°，AO =CO =12AC ，BO =DO =12BD ，AC =BD =2OB =8， ∴OA =BO ， ∵∠AOB =60°，∴△AOB 是等边三角形， ∴AB =OB =4，∴AD=√BD2−AB2=√82−42=4√3，∴矩形ABCD的面积=AB×AD=4×4√3=16√3；故选：D．由矩形的性质得出OA=BO，证△AOB是等边三角形，得出AB=OB=4，由勾股定理求出AD，即可求出矩形的面积．本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明△AOB为等边三角形是解题的关键．5.【答案】A【解析】解：一个事件的概率最大是1，最小是0，故选项A错误，故选：A．根据概率的知识，可以得到概率的最大与最小值，从而可以解答本题．本题考查概率的意义、概率公式，解答本题的关键是明确概率的意义，知道概率的最大与最小值．6.【答案】C【解析】解：∵OB⊥AC，BC=CD，∴AB⏜=BC⏜，BC⏜=CD⏜，∴AC⏜=2CD⏜，故①正确；AC<AB+BC=BC+CD=2CD，故②错误；OC⊥BD，故③正确；∠AOD=3∠BOC，故④正确；故选：C．根据题意和垂径定理，可以得到AC=BD，AB⏜=BC⏜，BC⏜=CD⏜，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7.【答案】9a3【解析】解：原式=a⋅9a2=9a3，故答案为：9a3．先根据积的乘方法则计算，再根据单项式乘以单项式法则计算．本题主要考查了积的乘方法则，单项式乘以单项式的法则，同底数幂的乘法法则，熟记各项法则是解题的关键．8.【答案】x≠−1【解析】解：根据题意得：x+1≠0，解得：x≠−1．故答案为x≠−1．根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围．本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．9.【答案】x=0【解析】解：把方程√5x=−x两边平方，得5x=x2，∴x2−5x=0，∴x(x−5)=0，∴x=0或x−5=0，∴x1=0，x2=5．检验：把x1=0，x2=5代入方程√5x=−x，可知x1=0是原方程的根，x2=5是原方程的增根，所以原方程的解为x=0．故答案为：x=0．先两边平方得到x2−5x=0，再把方程左边进行因式分解得到x(x−5)=0，方程转化为两个一元一次方程：x=0或x−5=0，即可得到原方程的解为x1=0，x2=5，检验原方程的解为x=0．本题考查了解无理方程和一元二次方程．解题的关键是掌握解一元二次方程的方法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解；要注意解无理方程要检验．10.【答案】4【解析】解：∵一个样本1、3、2、5、x的平均数是3，∴(1+3+2+5+x)÷5=3，解得，x=4，故答案为：4．根据一个样本1、3、2、5、x的平均数是3，可以求得x的值，本题得以解决．本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确算术平均数的计算方法．11.【答案】x−2y=0或x+y=0【解析】解：∵x2−xy−2y2=0，∴(x−2y)(x+y)=0，∴x−2y=0或x+y=0．故答案为：x−2y=0或x+y=0由于二元二次方程x2−xy−2y2=0进行因式分解可以变为(x−2y)(x+y)=0，即可解决问题．此题主要考查了二元二次方程降次的方法，正确进行因式分解是解题的关键．12.【答案】(0.8b−a)【解析】解：根据题意得，每件商品盈利(0.8b−a)元，故答案为：(0.8b−a)．根据“标价×折数=售价”用代数式表示出售价，再根据“售价−进价=利润”用代数式10表示盈利．本题主要考查了列代数式，熟练掌握“标价×折数=售价，售价−进价=利润”这些数量10之间的关系式是解题的关键．13.【答案】m<1【解析】解：∵关于x的方程(x−2)2=m−1没有实数根，∴m−1<0，解得m<1，所以m的取值范围是m<1．故答案为：m<1．根据直接开平方法定义即可求得m 的取值范围．本题考查了解一元二次方程−直接开平方法，解决本题的关键是掌握直接开平方法． 14.【答案】2√2【解析】解：如图，根据正方形的性质知：△BOC 是等腰直角三角形，过O 作OE ⊥BC 于E ， ∵正方形的半径是4， ∴BO =4， ∴OE =BE =√22BO =2√2，故答案为：2√2．正方形的边心距就是正方形的中心到正方形的边的距离，利用边长的一半和边心距、半径围成直角三角形求解即可．本题考查了正多边形的和圆的知识，解题的关键是了解正多边形的半径、边心距及边长的一半构成特殊的直角三角形． 15.【答案】0.25【解析】解：∵锻炼时间在0−2小时的学生的频率是20%，人数为8， ∴被调查的总人数为8÷20%=40(人)，则锻炼时间在4−6小时的学生的频率是10÷40=0.25， 故答案为：0.25．先由锻炼时间在0−2小时的学生的频率是20%，人数为8求出被调查的总人数，再根据频率=频数÷总人数可得答案．本题主要考查频数(率)分布直方图，解题的关键是掌握频率=频数÷总人数． 16.【答案】−14a ⃗ +34b ⃗【解析】解：∵DE//BC ， ∴AD AB=DE BC=13， ∴BC =3DE ， ∵DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3b ⃗ ， ∵△DOE∽△COB ， ∴OD OC=DE BC =13，∴OD =13OC =14CD ， ∵DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⃗ +3b ⃗ ， ∴DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−14a ⃗ +34b⃗ ， 故答案为：−14a⃗ +34b ⃗ ． 利用平行线分线段成比例定理求出BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据三角形法则求出DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，证明DO =14DC 即可． 本题考查平面向量，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17.【答案】y=10x【解析】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限，∴k>0，∴当正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象，沿着y轴向上平移|k|个单位时，所得函数的解析式为y=kx+k，∴与x轴的交点坐标为(−1,0)，与y轴的交点坐标为(0,k)，∵它的坐标轴三角形的面积为5，∴1×k2=5，∴k=10，∴这个正比例函数的解析式是y=10x，∵当正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象，沿着y轴向下平移|k|个单位时，所得函数的解析式为y=kx−k，∴与x轴的交点坐标为(1,0)，与y轴的交点坐标为(0,−k)，∵它的坐标轴三角形的面积为5，∴1×k2=5，∴k=10，∴这个正比例函数的解析式是y=10x，故答案为：y=10x．分别求出向上和向下平移时，与坐标轴的交点坐标，再根据它的坐标轴三角形的面积为5，求出k的值即可．此题考查了一次函数，用到的知识点是正比例函数、一次函数的图象与性质，关键是求出与坐标轴的交点坐标，注意分两种情况讨论．18.【答案】4或85【解析】解：如图1中，当∠DPB′=90°时，过点C作CH⊥AB于H．∵cotB=BCAC =43，AC=6，∴BC=8，∴AB=√AC2+BC2=√82+62=10，∵12⋅BC⋅AC=12⋅AB⋅CH，∴CH=245，∵∠B+∠A=90°，∠B′+∠PDB′=90°，∠B=∠B′，∠PDB′=∠ADC，∴∠ADC=∠A，∴AC =CD =6，∵CH ⊥AD ，∴AH =DH =√AC 2−CH 2=√62−(245)2=185，∴BD =AB −AD =10−365=145，DB′=CB′−CD =CB −CA =2，设PB =x ， 在Rt △PDB′中，则有x 2+(145−x)2=22，解得x =85或65(舍弃)，如图2中，当∠PDB′=90°时，设BP =PB′=x ．在Rt △PDB′中，则有x 2=(325−x)2+(165)2，解得x =4，综上所述，满足条件的PB 的值为85或4．故答案为4或85．分两种情形：如图1中，当∠DPB′=90°时，过点C 作CH ⊥AB 于H.如图2中，当∠PDB′=90°时，设BP =PB′=x.分别求解即可解决问题．本题考查解直角三角形，翻折变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 19.【答案】解：原式=x x+1−1(x+1)(x−1)⋅(x−1)2x−1 =x x +1−1x +1 =x−1x+1，当x =√3+1时，原式=√3+1−1√3+1+1=√3√3+2=2√3−3．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得． 本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．20.【答案】解：{3(x−2)≤8−(x+6)①x+12<2x−13+1②，解不等式①，得：x≤2，解不等式②，得：x>−1，将不等式解集表示在数轴上如下：所以不等式组的解集为−1<x≤2．【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．21.【答案】解：(1)将A(−2,0)代入y=2x+m，解得m=4，∴y=2x+4，令x=0，则y=4，即B(0,4)，将A(−2,0)代入y=−12x+n，解得n=−1，∴y=−12x−1，令x=0，则y=−1，即C(0,−1)，(2)如图，过D作DE⊥BC于E，当△ABD的面积为15时，S△ABC+S△BCD=15，即12AO×BC+12DE×BC=15，∴12×2×5+12×DE×5=15，∴DE=4，y=−12x−1中，令x=4，则y=−3，∴D(4,−3)．【解析】(1)依据一次函数y=2x+m与y=−12x+n的图象都经过点A(−2,0)，即可得到m和n的值，进而得出B、C两点的坐标；(2)依据S△ABC+S△BCD=15，即可得到点D的横坐标，进而得出点D的坐标．本题主要考查了两条直线相交问题，解决问题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标特征．22.【答案】解：过A作AP⊥DM于P，AH⊥CD于H，过B作BN⊥AH于N，∵tan∠ABM=25，∴设AP=BN=2x，AN=PB=5x，∵BD=2，CD=3.4，∴HN=2，CH=3.4−2x，∴AH=5x+2，∵∠ACD=45°，∴AH=CH，∴3.4−2x=5x+2，解得：x=0.2，∴PB=1，AP=0.4，∴AB=√PB2−AP2=√0．42+12=√295(米)，答：显示屏的宽AB的长为√295米．【解析】过A作AP⊥DM于P，AH⊥CD于H，过B作BN⊥AH于N，设AP=BN=2x，AN=PB=5x，解直角三角形即可得到结论．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．23.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，又∵EA=EC，∴EO⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；(2)∵∠AEB=∠CEB=12∠AEC，平行四边形ABCD为菱形，∴∠AEB=∠CEB=∠BAC=∠BCA=∠DAC=∠DCA，∠CDF=∠DAC+∠DCA=∠AEF，∴△FCD∽△FAE，∴FCFA =CDAE，∵CD=AD，AE=CE，∴FCFA =ADCE，即EC⋅CF=AF⋅AD．【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形知OA=OC，结合EA=EC知EO⊥AC，从而得证；(2)先由∠AEB=∠CEB=12∠AEC，平行四边形ABCD为菱形得∠CDF=∠DAC+∠DCA=∠AEF，据此可证△FCD∽△FAE得FCFA =CDAE，结合CD=AD，AE=CE可得答案．本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质、菱形的判定、等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质等知识点．24.【答案】解：(1)∵点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，∴A(3,0)，把A(3,0)代入抛物线y=ax2−4ax+3中得：0=9a−12a+3，∴a=1，∴抛物线的表达式为：y=x2−4x+3，y=x2−4x+3=(x−2)2−1，∴C(2,−1)；(2)当y=1时，x2−4x+3=1，解得：x1=2−√2，x2=2+√2，由题意得：D(2+√2,1)，∵B(0,1)，C(2,−1)，∴BC=√22+(1+1)2=2√2，BD=2+√2，∵∠DBC=∠PBC=45°，且相似比不为1，只能△CBP∽△DBC，∴CBDB =BPBC，即√22+√2=2√2，∴BP=8−4√2，∴P(0,4√2−7)；(3)连接AC，过E作EH⊥BD于H，由旋转得：∠CBD=∠ABE，∴∠EBD=∠ABC，∵AB2=32+12=10，BC2=22+22=4，AC2=12+12=2，∴AB2=BC2+AC2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∴tan∠ABC=ACBC =√22√2=12，∴tan∠EBD=12=EHBH，设EH=m，则BH=2m，∴E(2m,m+1)，∵点E在抛物线上，∴(2m)2−4×2m+3=m+1，4m2−9m+2=0，解得：m1=2，m2=14(舍)，∴E(4,3)．【解析】(1)把点A的坐标代入抛物线的解析式中可得：a的值，从而得抛物线的解析式，配方得顶点C的坐标；(2)根据∠DBC=∠PBC=45°，且相似比不为1，所以只能△CBP∽△DBC，列比例式可得BP的长，从而得点P的坐标；(3)连接AC，过E作EH⊥BD于H，先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，由等角三角函数得tan∠ABC=tan∠EBD=12=EHBH，设EH=m，则BH=2m，表示E(2m,m+1)，代入抛物线的解析式，可得结论．本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式等知识，综合性较强，难度适中，利用方程思想、数形结合与分类讨论是解题的关键．25.【答案】解：(1)∵OF//BC，OA=OB，∴OF为梯形ABCD的中位线，∴OF=12(AD+BC)=12(1+5)=3，即⊙O的半径长为3；(2)连接OD、OC，过点D作DM⊥BC于M，如图1所示：则BM=AD=1，∴CM=BC−BM=4，∴DC=√DM2+CM2=√(2r)2+42=2√r2+4，∵四边形ABCD的面积=△DOC的面积+△AOD的面积+△BOC的面积，∴12(1+5)×2r=12×2√r2+4×y+12×r×1+12×r×5，整理得：y=3r√r2+4r2+4；(3)△ODG能成为等腰三角形，理由如下：∵点G为DC的中点，OA=OB，∴OG是梯形ABCD的中位线，∴OG//AD，OG=12(AD+BC)=12(1+5)=3，DG=12CD=√r2+4，由勾股定理得：OD=√OA2+AD2=√r2+1，分三种情况：①DG=DO时，则√r2+4=√r2+1，无解；②OD=OG时，如图2所示：√r2+1=3，解得：r=2√2；③GD=GO时，作OH⊥CD于H，如图3所示：∠GOD=∠GDO，∵OG//AD，∴∠ADO=∠GOD，∴∠ADO=∠GDO，在△ADO和△HDO中，{∠DAO=∠DHO=90°∠ADO=∠HDOOD=OD，∴△ADO≌△HDO(AAS)，∴OA=OH，则此时圆O和CD相切，不合题意；综上所述，△ODG能成为等腰三角形，r=2√2．【解析】(1)证OF为梯形ABCD的中位线，得出r=OF=12(AD+BC)=3即可；(2)连接OD、OC，过点D作DM⊥BC于M，则CM=BC−BM=4，由勾股定理得出DC=2√r2+4，由四边形ABCD的面积=△DOC的面积+△AOD的面积+△BOC的面积，进而得出答案；(3)证OG是梯形ABCD的中位线，得出OG//AD，OG=3，DG=12CD=√r2+4，由勾股定理得OD=√r2+1，分三种情况，分别求解即可．本题考查了垂径定理、梯形中位线定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握垂径定理和梯形中位线定理是解题的关键．。

2020上海中考数学第18题（填空压轴题）18、已知四边形ABCD 是矩形，AB =6，BC =8，点O 在对角线AC 上，已知圆O 半径为2，且与矩形ABCD 没有公共点，则线段AO 的取值范围是 。

解：如右图所示AO 的下限为10sin 3r DAC ÷∠=如右图所示AO 的下限为20sin 3AC r DAC -÷∠=综上所述：102033AO <<24、在平面直角坐标系中，直线152y x =-+交y 轴于点B ，抛物线2y ax bx=+经过点A .(1)求线段AB 的长.解：直线152y x =-+与y 轴交点为()0,5B ，与x 轴交点为()10,0A则OA =10，OB =52222210552AB AO BO AB =+∴=+=(2)若抛物线经过点C ，点C 在线段AB 上，且BC=5，求抛物线解析式. 解：过C 作CH ⊥x 轴，垂足为H()()()245455554,2,42,410,014244100100521542CH OB CH AC BO AB AC CH CH C C A a a b a b b y x x∴==∴=∴=⎧=-⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩∴=-+则∥又将和代入可得：抛物线解析式为(3)若抛物线顶点在AOB △内，求a 的取值范围. 解：()201001010a b a =+=-由可得，即525250252110D D D bx ax y a a ∴=-==∴<-<∴-<<将代入解析式得：2020上海中考数学第25题（压轴题）25、如图，O 是 ABC ∆的外接圆，且AB AC =，BO 延长线交AC 于D .(1)求证：2A ABD ∠=∠证：联结OA ，OC()12..132321O ABC OA OB OC OAB OCA OA OC OB OAAB CA OAB OCA S S S BAC ∴==∴∠=∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴≅∴∠=∠∴∠=∠+∠=∠是△的外接圆在△和△中有△△得证(2)如果BDC ∆是等腰三角形，求C ∠的大小 解：1233318023318022.5367.523344BD BCABD A ABD BDC ABD A C AB AC ABC ABC ABC A C C BD CDABD A BDC DBC ABC AB AC C ABC ABC A C αααααααααααααααα=∠=∠=∠=∠+∠=∴∠==∴∠=∠∠+∠+∠=︒∴++=︒∴=︒∠==︒=∠=∠=∠=∴∠=∠==∴∠=∠∠+∠+∠=①若记，由（）得在△中，在中，，②若同①可知，，，在中，180244180184727267.5C BD CD DBC C AB ACABC C C ααααα︒∴++=︒∴=︒∠==︒=∠=∠=∴∠=∠∠=︒︒，③若则又，矛盾，此情况舍去综上所述，或(3)如果AD =2，CD =3，求BC 的长. 解：222222222211224334437325491692556AO BC EA AF BC BD FBAE CAE OA OB AB ACAE BC BE BCAF BCAD AF BC BE AO AO BO a EO a AE a EO Rt AEC AC AE CE Rt BOE OB OE BE a a a a BE ∠=∠==∴⊥=∴==∴=====-=-=∴-=-=∴=联结并延长，交于过做交延长线于由（）得，，且，，设，，在△中，在△中，解得：BC ==∴=。

如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，tan B ＝34，将△ABC 绕点B 逆时针旋转，得到 △A 1BC 1，当点C 1在线段CA 延长线上时△ABC 1的面积为 __________．图1答案 46825．思路如下：如图2，设BC 的中点为H ． 在Rt △ABH 中，由AB ＝5，tan B ＝34，可得AH ＝3，BH ＝4． 所以BC ＝8，S △ABC ＝12．如图3，当点C 1落在线段CA 延长线上时，△ABC ∽△BC 1C ．根据相似三角形的面积比等于对应边比的平方，得221525864ABC BC C S AB S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△． 所以S △BC 1C ＝641225⨯． 所以S △ABC 1＝64121225⨯-＝391225⨯＝46825．图2 图3如图1，在平面直角坐标系中，A (8, 0)，B (8, 4)，C (0, 4)，反比例函数=ky x在第一象限内的图像分别与AB 、BC 交于点F 、E ，连结EF ．如果点B 关于EF 的对称点恰好落在OA 边上，那么k 的值为__________．图1答案 12．思路如下：如图2，作EM ⊥x 轴于M ．设E (m , 4)，F (8, n )．由4m ＝8n ＝k ，得m ＝2n ．所以882244BE m nBF n n--===--． 由△EMB ′∽△B ′AF ，得''2''EM MB B E BEB A AF FB FB====．所以4'2'MB B A n==．所以B ′A ＝2，MB ′＝2n ＝m ．再由EB ＝MA ，得8－m ＝m ＋2．解得m ＝3． 所以E (3, 4)．所以k ＝12．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，CD是斜边AB上的中线，如果将△BCD沿CD所在直线翻折，点B落在点E处，连结AE，那么∠CAE的度数是__________．图1答案125°．思路如下：如图2，因为CD是Rt△ABC斜边上的中线，所以DA＝DC＝DB．所以∠DCB＝∠B＝35°，∠DCA＝∠DAC＝55°．所以∠ADC＝70°，∠CDB＝110°．因为△CDB与△CDE关于CD对称，所以∠CDE＝∠CDB＝110°．所以∠ADE＝110°－70°＝40°（如图3所示）．所以在等腰三角形DAE中，∠DAE＝70°．所以∠CAE＝55°＋70°＝125°．图2 图3如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 、E 分别是边BC 、AB 上一点，DE //AC ，BD ＝BDE 绕着点B 旋转得到△BD ′E ′（点D 、E 分别与点D ′、E ′对应），如果A 、D ′、E ′在同一直线上，那么AE ′的长为 __________．图1答案如图2，在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，所以AB ＝10，tan ∠B ＝34．在Rt △EDB 中，DE ＝34BD ＝34⨯如图3，当点A 在E ′D ′的延长线上时．在Rt △ABD ′中，AB ＝10，BD ′＝AD ′＝此时AE ′＝AD ′＋D ′E ′＝如图4，当点A 在D ′E ′的延长线上时，AE ′＝AD ′－D ′E ′＝图2 图3 图4定义：如果三角形的两个内角α与β满足α＝2β，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为 __________．答案如图1，如果α为等腰三角形的顶角，那么α＋β＋β＝4β＝180°．解得β＝45°．如图2，如果α为等腰三角形的底角，那么α＋α＋β＝5β＝180°．解得β＝36°．这个三角形是黄金三角形．如图3，设腰长AB ＝CB ＝x ，底边AC ＝1．作∠BAC 的平分线交BC 于D ，那么△BCA ∽△ACD ．由BC AC AC DC =，得111x x =-．解得x =．图1 图2 图3如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，把△ABC绕C点旋转得到△A′B′C，其中点A′在线段AB上，那么∠A′B′B的正切值等于__________．图1答案724．思路如下：如图2，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5，cos∠A＝35．在等腰三角形ACA′和等腰三角形BCB′中，5''6 CA CBAA BB==．所以AA′＝65CA＝185，BB′＝65CB＝245．所以A′B＝AB－AA′＝1855-＝75．由∠A＋∠ABC＝90°，∠A＝∠1，得∠1＋∠ABC＝90°．如图3，在Rt△A′B′B中，tan∠A′B′B＝''A BBB＝724．图2 图3如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝90°，DC＝AD，∠B是锐角，cot B＝512，AB＝17．如果点E在梯形的边上，CE是梯形ABCD的“等分周长线”，那么△BCE的周长为__________．答案42．思路如下：如图1，作CH⊥AB于H，那么四边形AHCD是正方形．已知cot B＝512，AB＝17，设BH＝5m，CH＝12m，那么AB＝17m＝17．解得m＝1．所以正方形的边长为12，BC＝13．所以四边形ABCD的周长为54，周长的一半等于27．如图2，因为CD＋DA＝24，所以点E在AB上，AE＝3．此时在Rt△CEH中，EH＝12－3＝9，CH＝12，所以CE＝15．所以△BCE的周长＝15＋(9＋5)＋13＝42．图1 图2如图1，已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转，使点B 落在点B 1处，点C 落在点C 1处，且BB 1⊥AC ．连结B 1C 和C 1C ，那么△B 1C 1C 的面积等于__________．图1答案 8-如图2，当BB 1⊥AC 时，AC 垂直平分BB 1，AB 1垂直平分CC 1． 此时△B 1C 1C 的面积等于△BCB 1的面积（如图3所示）．如图2，在Rt △ABE 中，AB ＝4，∠BAE ＝30°，所以BE ＝2，AE ＝所以CE ＝AC －AE ＝4-所以S △BCB 1＝112BB CE ⋅＝14(42⨯-＝8-图2 图3如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，BC D是BC边上一点，沿直线AD翻折△ABD，点B落在点E处，如果∠ABE＝45°，那么BD的长为__________．图1答案2．思路如下：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，BC AB＝2．如图2，当∠ABE＝45°时，△ABE是等腰直角三角形．此时∠BAD＝45°．如图3，作△ABD的高DH．设DH＝AH＝m，那么BH．由AB＝1)m＝2，得m1．所以BD＝2DH＝2m＝2．图2 图3小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线．如图1、图2，直线CG、DH分别是两个不相似的Rt△ABC和Rt△DEF的相似分割线，CG、DH分别与斜边AB、EF交于点G、H，如果△BCG与△DFH相似，AC＝3，AB＝5，DE＝4，DF＝8，那么AG＝__________．图1 图2答案3．思路如下：如图3，设∠A＝α，∠B＝β．已知AC＝3，AB＝5，所以BC＝4．如图4，设∠E＝γ，∠F＝θ．如果△BCG与△DFH相似，因为钝角对应相等，所以∠BCG＝∠F＝θ，∠HDF＝∠B ＝β．所以BC DFBG DH=．所以48BG DH=．设BG＝m，那么DH＝2m．根据等角的余角相等，∠ACG＝∠E＝γ，∠EDH＝∠A＝α．所以△ACG∽△DEH．所以AC DEAG DH=．所以3452m m=-．解得m＝2．所以AG＝5－m＝3．图3 图4如图1，四边形ABCD 是⊙O 的内接矩形，将矩形ABCD 沿着直线BC 翻折，点A 、点D 的对应点分别为A ′、D ′，如果直线A ′D ′与⊙O 相切，那么ABBC的值为__________．图1答案 4．思路如下：如图2，设A ′D ′与⊙O 相切于点N ，连结ON 交BC 与点M ，那么ON ⊥A ′D ′．设OM ＝m ，那么AB ＝A ′B ＝MN ＝2m ．在Rt △ABC 中，AB ＝2m ，AC ＝2ON ＝6m ，所以BC ．所以4==AB BC ．图2如图1，在平行四边形ABCD 中，AD ＝3，AB ＝5，sin A ＝45，将平行四边形ABCD 绕着点B 顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°）后，点A 的对应点是点A ′，连结A ′C ，如果A ′C ⊥BC ，那么cos θ的值是__________．图1答案 725．思路如下：如图2，已知sin A ＝sin α＝45． 如图3，在Rt △A ′BC 中，A ′B ＝5，BC ＝3，所以A ′C ＝4． 所以∠A ′BC ＝α．延长A ′C 交AB 的延长线于点E ． 因为DA //CB ，所以∠CBE ＝∠A ＝α． 于是可得BC 垂直平分A ′E ． 作A ′F ⊥AB 于F ．由S △A ′BE ＝11''22A E BC BE A F ⋅=⋅，得'8324'55A E BC A F BE ⋅⨯===． 于是在Rt △A ′BF 中，sin θ＝''A F A B ＝2425．所以cos θ＝725．图2 图3例 2020年上海市杨浦区中考模拟第18题如图1，已知在平行四边形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝15，tan ∠A ＝43，点P 是边AD 上一点，连结PB ，将线段PB 绕着点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ，如果点Q 恰好落在平行四边形ABCD 的边上，那么AP 的值是__________．图1答案 6或10．思路如下：如图2，作BH ⊥AD 于H ．在Rt △ABH 中，由AB ＝10，tan ∠A ＝43，可得AH ＝6，BH ＝8．所以DH ＝9． 如图3，当点Q 落在AD 上时，点P 与点H 重合，此时AP ＝6．图2 图3如图4，当点Q 落在CD 上时，作QG ⊥AD 交AD 的延长线于G ，那么△BHP ≌△PGQ ． 设HP ＝GQ ＝4m ，那么DG ＝3m ．由PG ＝BH ＝8，得PD ＋DG ＝8．所以(9－4m )＋3m ＝8． 解得m ＝1．此时AP ＝AH ＋HP ＝6＋4m ＝10．图4例 2020年上海市长宁区中考模拟第18题如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，点D 是边BC 的中点，∠ABC ＝∠CAD ，将△ACD 沿直线AD 翻折，点C 落在点E 处，连结BE ，那么线段BE 的长为 __________．图1答案如图2，由∠ABC ＝∠CAD ，∠C 是公共角，得△CAD ∽△CBA ．所以=CA CD CB CA ．所以1=2CA CA．解得CA在Rt △ACD 中，CD ＝1，CA AD cos ∠ADC ＝CD AD 如图3，连结CE 交AD 于点F ，那么AD 垂直平分CE ． 因为点D 是边BC 的中点，所以DF 是△CBE 的中位线．在Rt △FCD 中，DF ＝CD ∙cos ∠ADC ＝13 ＝3．所以BE ＝2DF图2 图3。