(完整版)序列周期性

专题函数的周期性一知识点精讲1 .周期函数的定义：对于f (x)定义域内的每一个x ,都存在非零常数T ,使得f(x T) f (x)恒成立，则称函数f (x)具有周期性，T叫做f (x)的一个周期，则kT (k Z,k 0 )也是f (x)的周期，所有周期中的最小正数叫 f (x)的最小正周期.周期函数的定义域一定是无限集2性质①若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；3•几种特殊的具有周期性的抽象函数:函数y f x满足对定义域内任一实数x (其中a0为常数)(1) f x f:X a，则y f x的周期T a .(2) f x a f x，贝U f x的周期T2a .(3) f x a的周期T2a .，贝U T xf x(4) f x a f x a，贝U f x的周期T2a .(5) f(x a)1 f (x)，则f x1 f(x)的周期T2a .(6) f(x a) 1 f(x)，则f1 f (x)x的周期T4a数.(7) f(x a) 1 f (x)，则f x1 f(x)的周期T4a .(8)函数y f (x)满足f (a x) f (a x)(a 0), 若f (x)为奇函数，则其周期为T 4a，若f (x)为偶函数，则其周期为T 2a .(9)函数y f (x) x R的图象关于直线x a和x b a b都对称，则函数f (x)是以2 b a为周期的周期函数.(10) 函数y f (x) x R的图象关于两点A a, y o > B b, y o a b都对称，则函数f (x)是2 b a为周期的周期函数.(11) 函数y f (x) x R的图象关于A a, y0和直线x b a b都对称，则函数f (x)是以4 b a为周期的周期函数.(12) f(x a) f(x) f (x-a)，则f (x)的周期T 6a.二典例解析1. 设f(x)是(—a , +s)上的奇函数，f(x+2)= —f(x),当0W x w 1 时，f(x)=x ,则f(7.5)=( )A.0.5B. —0.5C.1.5D. —1.52. 若y=f(2x)的图像关于直线x a和x b(b a)对称，则f(x)的一个周期为( )②若周期函数f(x)的周期为T,则f( x)(0)是周期函数，且周期为2 2的解析式。

机器学习技术如何处理时间序列数据中的季节性和周期性时间序列数据中的季节性和周期性是机器学习技术中的常见挑战之一。

随着大数据和人工智能的快速发展，处理这些特殊模式的能力变得越来越重要。

在本文中，我们将探讨机器学习技术如何处理时间序列数据中的季节性和周期性，并介绍一些常用的方法和技术。

时间序列数据是按照时间顺序排列的数据集合，它们通常具有一定的内在模式，包括季节性和周期性。

季节性是指数据在特定的时间段内呈现出重复的模式，例如每年相同的季节都会出现相似的模式。

周期性是指数据在一定的时间间隔内发生重复的模式，例如每个月或每个周都会出现相似的模式。

处理时间序列数据中的季节性和周期性的首要任务是识别和理解这些模式。

一种常用的方法是使用时间序列分析技术，例如自回归移动平均模型（ARMA）、自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性分解方法（Seasonal Decompositionof Time Series）。

这些方法可以通过拟合数据的特定模型来捕捉季节性和周期性的特征，并将其从原始数据中分离出来。

除了传统的时间序列分析方法，机器学习技术也提供了一些有效的处理时间序列数据中季节性和周期性的方法。

其中一个流行的方法是使用循环神经网络（Recurrent Neural Networks，RNNs）。

RNNs 是一类特殊的神经网络，能够处理具有时间依赖性的数据。

通过将过去的输入和当前的输入结合起来，RNNs 可以学习到时间序列数据中的长期依赖关系，并预测未来的值。

针对季节性和周期性，一种常见的 RNNs 模型是长短期记忆网络（Long Short-Term Memory，LSTM）。

LSTM 模型能够对时间序列数据中的长期依赖关系进行建模，并且还能处理输入和输出之间的时间延迟。

另外，随机森林（Random Forest）也是一种常用的机器学习方法，可用于处理时间序列数据中的季节性和周期性。

随机森林是一种基于决策树的集成学习算法，它能够处理高维度的数据，并且对异常值具有较好的鲁棒性。

时间序列的成分可以分为四种：趋势（T）、季节性或季节变动（S）、周期性或循环波动（C）、随机性或不规则波动（I）。

时间序列可以分为平稳序列和非平稳序列两大类。

平稳序列是基本上不存在趋势的序列。

这类序列中的各观察值基本上在某个固定的水平上波动，虽然在不同的时间段波动的程度不同，但并不存在某种规律，波动可以看成是随机的。

非平稳序列（non-stationary series）是包含趋势、季节性或周期性的序列，它可能只含有其中一种成分，也可能含有几种成分。

因此非平稳序列又可以分为有趋势的序列、有趋势和季节性的序列、几种成分混合而成的复合型序列。

趋势（Trend）：是时间序列在长期内呈现出来的某种持续上升或持续下降的变动，也称长期趋势。

时间序列中的趋势可以是线性的，也可以是非线性的。

季节性（seasonality）也称季节变动（seasonal fluctuation），它是时间序列在一年内重复出现的周期性波动。

例如：在商业活动中，常常听到的“销售旺季”或“销售淡季”这类术语。

其本质上指的是一种周期性的变化。

含有季节成分的序列可能含有趋势，也可能不含有趋势。

周期性（cyclicity）也称循环波动（cyclical fluctuation），是时间序列中呈现出来的围绕长期趋势的一种波浪形或震荡式变动。

周期性通常是由商业和经济活动引起的，它不同于趋势变动，不是朝着单一方向的持续运动，而是涨落相同的交替波动；它也不同于季节变动，季节变动有比较固定的规律，而且变动周期大多为一年，循环波动则无固定规律，变动周期多在一年以上，且周期长短不一。

周期性通常是由经济环境的变化引起的。

除此之外，还有些偶然性因素对时间序列产生影响，致使时间序列呈现出某种随机波动。

时间序列中除去趋势、周期性和季节性之后的偶然性波动称为随机性（randomness），也称不规则波动（irregular variations）。

构成要素：长期趋势，季节变动，循环变动，不规则变动。

基于时间序列数据的周期性分析方法时间序列是指按一定的时间间隔进行采样得到的数据序列，如经济指标、气象数据等。

在时间序列中，往往存在一定的周期性特征，即一定时间区间内的数据会呈现出重复出现的规律性。

如何对时间序列数据进行周期性分析，是很多领域研究的重要问题之一。

本文将介绍几种常用的周期性分析方法，并探讨其应用。

一、傅里叶分析方法傅里叶分析方法是最基础的周期性分析方法之一。

它将一个时间序列信号分解为若干个基频信号的叠加，从而得到时间序列的频域特征。

在周期性分析中，可以通过傅里叶变换将周期性分析问题转化为频域分析问题，进而通过频域特征来研究时间序列的周期性。

傅里叶分析方法的基本思想是，任何一个连续信号都可以视为一系列基频信号的叠加，这些基频信号通过不同的振幅、相位和频率来描述。

通过分析信号在频域上的分量，可以了解信号中不同频率分量的权重，进而推断出信号的周期性特征。

傅里叶分析方法在周期性分析中的应用非常广泛。

例如，在经济学领域，可以利用傅里叶分析方法对季度或年度的经济数据进行周期性分析，以揭示经济周期的规律性。

二、小波分析方法小波分析方法是一种基于小波变换的周期性分析方法。

小波变换是傅里叶变换的一种推广，它通过将信号分解为多个尺度和位置的小波函数来分析信号的时频特性，从而揭示信号的周期性变化规律。

小波分析方法具有多分辨率分析的特点，可以同时对信号的频域和时域特征进行分析。

在周期性分析中，可以通过对信号的小波变换结果进行分析，从而获得信号的周期性特征。

小波分析方法在周期性分析中的应用较为广泛。

例如，在气象学中，可以利用小波分析方法对气象数据进行周期性分析，以研究天气变化的周期性规律。

三、自回归移动平均模型（ARMA模型）自回归移动平均模型（ARMA模型）是一种常用的时间序列模型，可以用来描述时间序列数据的周期性特征。

ARMA模型通过对时间序列数据的自相关和移动平均序列进行建模，从而得到时间序列的周期性分析结果。

数字的循环与周期性数字的循环与周期性在数学中具有重要的意义。

循环是指数字或数字序列按一定规律重复出现的现象；而周期性是指数字或数字序列按照一定的周期性规律出现的特征。

本文将探讨数字的循环与周期性在数学中的应用，并介绍相关的概念和例子。

一、循环小数与循环节1. 循环小数循环小数是指十进制数中有一段数字无限重复出现的小数。

比如，1/3可以表示为0.3333...，其中数字3无限循环出现。

循环小数可以用括号表示，即0.3(3)。

在实际计算中，循环小数可以通过除法运算得到。

2. 循环节循环节是指十进制数中从某一位数字开始，一直到该位数字再次出现之间的一段数字。

比如，1/7可以表示为0.142857142857...，其中数字142857是循环节。

循环节可以用上横线表示，即0.142857。

二、数字的周期性数字的周期性指的是数字序列按照一定的周期规律出现。

在数学中，有一些数字序列具有明显的周期性特征。

下面介绍几种常见的周期性数字序列。

1. 质数序列质数序列是指由质数组成的数字序列。

质数是指只能被1和自身整除的正整数，比如2、3、5、7等。

质数序列的周期性规律尚未被完全了解，但已经发现了许多规律，比如素数定理等。

2. 斐波那契数列斐波那契数列是指每一项数字都是前两项数字之和的数列。

比如，1、1、2、3、5、8、13、21等就是斐波那契数列。

斐波那契数列的周期性规律是非常明显的，每隔3项就会出现一个相同的数字。

3. 阶乘序列阶乘序列是指每一项数字都是前一项数字乘以自身减一的数列。

比如，1、1、2、6、24、120等就是阶乘序列。

阶乘序列的周期性规律是由于阶乘的性质导致的，每个正整数的阶乘都是从1开始连续乘到该数的结果。

三、数字的循环与周期性的应用数字的循环与周期性在数学中有广泛的应用。

下面介绍几个常见的应用领域。

1. 数论数论是研究整数性质的一个分支学科，数字的循环与周期性是数论中的一个重要研究内容。

数论通过研究数字的循环与周期性规律来揭示整数的性质，比如质数的分布规律等。

统计学中的时间序列分解与周期性分析时间序列分解与周期性分析是统计学中的重要概念，它们可以帮助我们理解和预测时间序列数据中的趋势、季节性和周期性变化。

通过对时间序列数据进行分解和分析，我们可以揭示出隐藏在数据背后的规律和模式，为决策提供依据。

本文将介绍时间序列分解和周期性分析的基本原理和方法，并探讨其在实际应用中的意义和作用。

1. 时间序列分解的基本原理时间序列是按照时间顺序排列的数据序列，它可以包含多种类型的变化，包括趋势、季节性、周期性和随机性等。

时间序列分解的基本原理是将总体时间序列分解为趋势、季节性和残差三个部分，以揭示出各个成分的变化规律。

1.1 趋势分析趋势分析是时间序列分解的第一步，它用于捕捉时间序列中的长期趋势。

常用的趋势分析方法包括移动平均法、指数平滑法和回归分析等。

移动平均法是一种简单有效的趋势分析方法，它通过计算一定时期内的观测值平均值来揭示出数据的长期趋势。

指数平滑法则是通过给予不同时期的权重来预测未来的趋势，它适用于数据变化较为平稳的情况。

回归分析则可以利用自变量来建立与时间序列相关的回归模型，以预测未来的趋势。

1.2 季节性分析季节性分析是时间序列分解的第二步，它用于捕捉时间序列中的季节性变化。

常用的季节性分析方法包括季节指数法、X-11法和结构分解法等。

季节指数法是一种常用的季节性分析方法，它通过计算不同季节中观测值相对于平均观测值的比例来揭示季节性变化的规律。

X-11法则是一种统计方法，可以识别并调整季节性因素对时间序列的影响。

结构分解法则是一种常用的多元时间序列分析方法，它能够同时考虑趋势、周期性和季节性等因素。

1.3 残差分析残差分析是时间序列分解的最后一步，它用于捕捉时间序列中的随机性变化。

残差是指由于趋势、季节性和周期性等因素无法解释的部分，通过对残差序列的分析，我们可以判断模型是否合适以及是否存在其他影响因素。

常用的残差分析方法包括平稳性检验、自相关函数分析和偏自相关函数分析等。

1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。

（2）∞<<-∞=-t et f t,)( （3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f kε= （10）)(])1(1[)(k k f kε-+=解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t et f t,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε=（5）)f=rt)(sin(t （7）)t(k=f kε)(2（10）)f kεk=(k+-((])11[)1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。

（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε解：各信号波形为（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。

1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。

1-5 判别下列各序列是否为周期性的。

如果是，确定其周期。

（2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f （5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+=解：1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。

时间序列数据的周期性分析与预测时间序列数据的周期性分析与预测时间序列数据是一种按照时间顺序排列的数据集合，其中每个数据点都与特定时刻相关联。

周期性分析和预测是对时间序列数据进行研究和应用的重要方法。

本文将介绍时间序列数据的周期性分析与预测的概念、方法和应用。

一、周期性分析周期性是指时间序列数据中存在的重复出现的模式或趋势。

周期性分析旨在识别和分析时间序列数据中的周期性模式，以帮助理解和预测未来的趋势。

周期性分析方法可以分为图形分析和数学分析两种。

1. 图形分析图形分析是通过绘制时间序列数据的图表来观察和分析其周期性模式。

常用的图形分析方法包括折线图、散点图和柱状图等。

通过观察这些图表，可以发现是否存在明显的周期性趋势，并进一步进行分析。

折线图可以展示时间序列数据的变化趋势，如果数据在时间轴上呈现出明显的重复模式，则可能存在周期性。

散点图可以展示时间序列数据的散布情况，通过观察点的分布是否有聚集趋势可以初步判断是否存在周期性。

柱状图可以展示时间序列数据的分布情况，如果柱状图呈现出明显的周期性波动，则可以进一步进行周期性分析。

2. 数学分析数学分析是通过数学方法对时间序列数据进行分析，以确定其周期性特征。

常用的数学分析方法包括自相关函数（ACF）和傅里叶变换等。

自相关函数可以衡量时间序列数据在不同时间点上的相关性。

如果存在明显的峰值或周期性波动，说明数据具有周期性特征。

傅里叶变换可以将时间序列数据转换为频域数据，通过观察频域数据的分布情况，可以确定数据的主要周期性成分。

二、周期性预测周期性预测是基于已有的时间序列数据，通过建立模型来预测未来的周期性趋势。

常用的周期性预测方法包括指数平滑法和ARIMA模型等。

1. 指数平滑法指数平滑法是一种基于加权平均法的预测方法。

该方法假设时间序列数据的未来值只与最近的几个数据点有关，通过对这些数据点进行加权平均得到预测结果。

指数平滑法特别适用于对具有季节性波动的时间序列数据进行预测。

《数字信号处理》辅导一、离散时间信号和系统的时域分析（一） 离散时间信号（1）基本概念信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。

连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。

模拟信号：是连续信号的特例。

时间和幅度均连续。

离散信号：时间上不连续，幅度连续。

常见离散信号——序列。

数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。

（2）基本序列（课本第7——10页）1）单位脉冲序列 2）单位阶跃序列 1,0()0,0n n n δ=⎧=⎨≠⎩1,0()0,0n u n n ≥⎧=⎨≤⎩3）矩形序列 4）实指数序列1,01()0,0,N n N R n n n N≤≤-⎧=⎨<≥⎩()n a u n 5）正弦序列6）复指数序列0()sin()x n A n ωθ=+()j n nx n e e ωσ=（3）周期序列1）定义：对于序列，若存在正整数使()x n N ()(),x n x n N n =+-∞<<∞则称为周期序列，记为，为其周期。

()x n ()xn N 注意正弦周期序列周期性的判定（课本第10页）2）周期序列的表示方法：a.主值区间表示法b.模N 表示法3）周期延拓设为N 点非周期序列，以周期序列L 对作无限次移位相加，即可得到()x n ()x n 周期序列，即()xn ()()i xn x n iL ∞=-∞=-∑ 当时， 当时，L N ≥()()()N x n xn R n = L N <()()()N x n xn R n ≠ （4）序列的分解序列共轭对称分解定理：对于任意给定的整数M ，任何序列都可以分解成()x n 关于共轭对称的序列和共轭反对称的序列之和，即/2c M =()e x n ()o x n()()(),e o x n x n x n n =+-∞<<∞并且1()[()()]2e x n x n x M n *=+-1()[()()]2o x n x n x M n *=--（4）序列的运算1）基本运算运算性质描述序列相乘12()()()()()y n x n x n y n ax n ==序列相加12()()()y n x n x n =+序列翻转 （将以纵轴为对称轴翻转）()()y n x n =-()x n 尺度变换（序列每隔m-1点取一点形成的序列）()()y n x mn =()x n 用单位脉冲序列表示()()()i x n x i n i δ∞=-∞=-∑2）线性卷积：将序列以y 轴为中心做翻转，然后做m 点移位，最后与对应点相()x n ()x n 乘求和——翻转、移位、相乘、求和定义式： 1212()()()()()m y n x m x n m x n x n ∞=-∞=-=*∑线性卷积的计算：A 、图解B 、解析法C 、不进位乘法（必须掌握）3）单位复指数序列求和（必须掌握）/2/2/2/2/2/21/2/2/2/2/2/2(1)/21()()/(2)1()()/(2)sin(/2)sin(/2)j N j N j N j N j N j N j N N j nj j j j j j j n j N e e e e e e e j ee e e e e e e j N e ωωωωωωωωωωωωωωωωωω------------=-----===---=∑如果，那么根据洛比达法则有2/k N ωπ=sin(/2)(0)(0)(()())sin(/2)N N k N N k N ωδδω===或可以结合作业题3.22进行练习（5）序列的功率和能量能量：2|()|n E x n ∞=-∞=∑功率：21lim |()|21NN n NP x n N →∞=-=+∑（6）相关函数——与随机信号的定义运算相同（二） 离散时间系统1．系统性质（1）线性性质定义：设系统的输入分别为和，输出分别为和，即1()x n 2()x n 1()y n 2()y n 1122()[()],()[()]y n T x n y n T x n ==统的输对于任意给定的常数、，下式成立a b 1212()[()()]()()y n T ax n bx n a y n by n =+=+则该系统服从线性叠加原理，为线性系统，否则为非线性系统。

第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2（4）3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。

4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313si n()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列，nmm m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 31 2 5 . 0 ) ( 01当 3 4n m nm m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。

解：（1）0142/3πω=，周期为14 （2）062/13πω=，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）[][]12121212()()()()()()[()()]()()()()[()][()]T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+所以是线性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。