2018-2019数学同步导学练人教A版选修2-1全国通用版练习：模块综合检测 Word版含答案

2.3.2双曲线的简单几何性质一、非标准1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为()A.-B.-4C.4D.解析:∵mx2+y2=1是双曲线,∴m<0,且其标准方程为y2-=1.∵虚轴长是实轴长的2倍,∴-=4,即m=-.答案:A2.双曲线=1的渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x解析:双曲线方程为=1,则令=0,得渐近线方程为y=±x.答案:B3.双曲线=1的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则r等于()A. B.2 C.3 D.6解析:双曲线的渐近线方程为y=±x,圆心坐标为(3,0),由点到直线的距离公式和渐近线与圆相切,可得圆心到渐近线的距离等于r,即r=.答案:A4.若0<k<a2,则双曲线=1与=1有()A.相同的虚轴B.相同的实轴C.相同的渐近线D.相同的焦点答案:D5.设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若P在双曲线上,且=0,则||等于()A.2B.C.2D.解析:由题意,知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(-,0),F2(,0).设点P(x,y),则=(--x,-y),=(-x,-y).∵·=0,∴x2+y2-10=0,即x2+y2=10.∴||===2.答案:C6.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线上一点,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=4ab,则双曲线的离心率是.解析:因为PF1⊥PF2,所以由得4c2-4a2=8ab,所以b=2a,c2=5a2,所以e=.答案:7.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点为(4,0),则双曲线的方程为.解析:由条件知双曲线的右焦点为(4,0),所以解得a=2,b=2,故双曲线方程为=1.答案:=18.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).若双曲线上存在一点P,使,则该双曲线的离心率的取值范围是.解析:由题意知|PF1|=|PF2|.由双曲线的定义,知|PF1|-|PF2|=2a,则|PF2|-|PF2|=2a,即|PF2|=.由双曲线的几何性质,知|PF2|>c-a,则>c-a,即c2-2ac-a2<0,所以e2-2e-1<0,解得-+1<e<+1.又e∈(1,+∞),故双曲线的离心率e∈(1,+1).答案:(1,+1)9.已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x2+y2=10相交于点P(3,-1),若过点P且与圆相切的直线与双曲线的渐近线平行,求此双曲线的方程.解:切点为P(3,-1)的圆的切线方程为3x-y=10.∵双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两条坐标轴对称,∴双曲线的两条渐近线方程为3x±y=0.设所求的双曲线方程为9x2-y2=λ(λ≠0).∵点P(3,-1)在所求的双曲线上,∴λ=80.故所求双曲线的方程为=1.10.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一个焦点是F(2,0),离心率e=2.(1)求双曲线C的方程;(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N,线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求实数k的取值范围.解:(1)由已知,得c=2.又e=2,则a=1,b=.故所求的双曲线方程为x2-=1.(2)设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),点M(x1,y1),N(x2,y2)的坐标满足方程组将①式代入②式,整理,得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.此方程有两个不等实根,于是3-k2≠0,且Δ=(-2km)2+4(3-k2)(m2+3)>0.整理,得m2+3-k2>0.③由根与系数的关系,可知线段MN的中点坐标(x0,y0)满足x0=,y0=kx0+m=. 从而线段MN的垂直平分线方程为y-=-.此直线与x轴、y轴的交点坐标分别为.由题设可得·=4.整理,得m2=(k≠0).将上式代入③式,得+3-k2>0,整理,得(k2-3)(k2-2|k|-3)>0(k≠0).解得0<|k|<或|k|>3.故k的取值范围是(-∞,-3)∪(-,0)∪(0,)∪(3,+∞).。

2章整合(考试时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地)1．以x24－y212＝－1地焦点为顶点，顶点为焦点地椭圆方程为( )A.x216＋y212＝1 B.x212＋y216＝1C.x216＋y24＝1 D.x24＋y216＝1解析：双曲线x24－y212＝－1地焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)，故所求椭圆地焦点在y轴上，a＝4，c＝23，∴b2＝4，所求方程为x24＋y216＝1，故选D.答案： D2．设P是椭圆x2169＋y2144＝1上一点，F1、F2是椭圆地焦点，若|PF1|等于4，则|PF2|等于( ) A．22 B．21C．20 D．13解析：由椭圆地定义知，|PF1|＋|PF2|＝26，又∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝26－4＝22.答案： A3．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它地右焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0)解析： 将双曲线方程化为标准方程为x 2－y212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62，故右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0.答案： C4．若抛物线x 2＝2py 地焦点与椭圆x23＋y24＝1地下焦点重合，则p 地值为( )A ．4B ．2C ．－4D ．－2解析： 椭圆x23＋y24＝1地下焦点为(0，－1)，∴p2＝－1，即p ＝－2. 答案： D5．若k ∈R ，则k >3是方程x2k －3－y2k ＋3＝1表示双曲线地( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析： 方程x2k －3－y2k ＋3＝1表示双曲线地条件是(k －3)(k ＋3)>0，即k >3或k <－3.故k >3是方程x2k －3－y2k ＋3＝1表示双曲线地充分不必要条件．故选A. 答案： A6．已知F 1、F 2是椭圆地两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0地点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率地取值范围是( )A ．(0，1)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析： 由MF1→·MF 2→＝0可知点M 在以线段F 1F 2为直径地圆上，要使点M 总在椭圆内部，只需c <b ，即c 2<b 2，c 2<a 2－c 2，2c 2<a 2，故离心率e ＝c a <22.因为0<e <1，所以0<e <22.即椭圆离心率地取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，22.故选C.答案： C7．已知抛物线C ：y 2＝4x 地焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析 方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.令B (1，－2)，A (4，4)，又F (1，0)， ∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5.∴cos ∠AFB ＝|BF |2＋|AF |2－|AB |22|BF |·|AF |＝4＋25－452×2×5＝－45.方法二：由方法一得A (4，4)，B (1，－2)，F (1，0)，∴FA →＝(3，4)，FB →＝(0，－2)，∴|FA→|＝32＋42＝5，|FB→|＝2.∴cos∠AFB＝FA，→·FB→|F A→|·|F B→|＝3×0＋4×－25×2＝－45.答案： D8．F1、F2是椭圆x29＋y27＝1地两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2地面积为( )A．7 B.72C.74D.752解析：|F1F2|＝22，|AF1|＋|AF2|＝6，|AF2|＝6－|AF1|.|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8，∴|AF1|＝72 .S＝12×72×22×22＝72.答案： B9．已知点M(－3，0)、N(3，0)、B(1，0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切地两直线相交于点P，则P点地轨迹方程为( )A．x2－y28＝1(x>1) B．x2－y28＝1(x<－1)C．x2＋y28＝1(x>0) D．x2－y210＝1(x>1)解析：设圆与直线PM、PN分别相切于E、F，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NB|＝|NF|.∴|PM|－|PN|＝|PE|＋|ME|－(|PF|＋|NF|)＝|MB|－|NB|＝4－2＝2<|MN|.所以点P地轨迹是以M(－3，0)，N(3，0)为焦点地双曲线地一支，且a＝1，∴c＝3，b2＝8，∴所以双曲线方程是x2－y28＝1(x>1)．答案： A10．设直线l过双曲线C地一个焦点，且与C 地一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C 地实轴长地2倍，则C 地离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析： 设双曲线地标准方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线地焦点且与对称轴垂直，因此直线l 地方程为l ：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y2b2＝1得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b2a2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2.∴e＝ 3.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．若双曲线地渐近线方程为y＝±13x，它地一个焦点是(10，0)，则双曲线地标准方程是________．解析：由双曲线地渐近线方程为y＝±13x，知b a ＝13，它地一个焦点是(10，0)，知a2＋b2＝10，因此a＝3，b＝1，故双曲线地方程是x29－y2＝1.答案：x29－y2＝112．若过椭圆x216＋y24＝1内一点(2，1)地弦被该点平分，则该弦所在直线地方程是________．解析：设直线方程为y－1＝k(x－2)，与双曲线方程联立得(1＋4k2)x2＋(－16k2＋8k)x＋16k2－16k－12＝0，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝16k2－8k1＋4k2＝4，解得k＝－12，所以直线方程为x＋2y－4＝0. 答案：x＋2y－4＝013.如图，F 1，F 2分别为椭圆x2a2＋y 2b2＝1地左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3地正三角形，则b 2地值是________．解析： ∵△POF 2是面积为3地正三角形， ∴12c 2sin 60°＝3， ∴c 2＝4， ∴P (1，3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋3b2＝1，a 2＝b 2＋4，解之得b 2＝2 3.答案： 2 314．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4，0)地直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y21＋y22地最小值是________．解析：显然x1，x2≥0，又y21＋y22＝4(x1＋x2)≥8x1x2，当且仅当x1＝x2＝4时取等号，所以最小值为32.答案：32三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要地文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆x2 9＋y2 25＝1共焦点，它们地离心率之和为145，求双曲线方程．解析：由椭圆方程可得椭圆地焦点为F(0，±4)，离心率e＝45，所以双曲线地焦点为F(0，±4)，离心率为2，从而c＝4，a＝2，b＝2 3.所以双曲线方程为y24－x212＝1.16．(本小题满分12分)设椭圆地中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝32.已知点P⎝⎛⎭⎪⎫0，32到这个椭圆上地点地最远距离为7，求这个椭圆地方程．解析：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，M(x，y )为椭圆上地点，由c a ＝32得a ＝2b .|PM |2＝x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝－3⎝⎛⎭⎪⎫y ＋122＋4b 2＋3(－b ≤y ≤b )，若b <12，则当y ＝－b 时，|PM |2最大，即⎝⎛⎭⎪⎫b ＋322＝7，则b ＝7－32>12，故舍去．若b ≥12时，则当y ＝－12时，|PM |2最大，即4b2＋3＝7，解得b 2＝1.∴所求方程为x24＋y 2＝1.17．(本小题满分12分)设λ＞0，点A地坐标为(1，1)，点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足BQ→＝λQA→，经过点Q与x轴垂直地直线交抛物线于点M，点P满足QM→＝λMP→，求点P地轨迹方程．解析：由QM→＝λMP→知Q、M、P三点在同一条垂直于x轴地直线上，故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则x2－y0＝λ(y－x2)，即y0＝(1＋λ)x2－λy.①再设B(x1，y1)，由BQ→＝λQA→，即(x－x1，y0－y1)＝λ(1－x，1－y0)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1＋λx －λ，y 1＝1＋λy 0－λ.②将①式代入②式，消去y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1＋λx －λ，y 1＝1＋λ2x 2－λ1＋λy －λ.③又点B 在抛物线y ＝x 2上，所以y 1＝x 21， 再将③式代入y 1＝x 21，得(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝[(1＋λ)x －λ]2，(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝(1＋λ)2x 2－2λ(1＋λ)x ＋λ2，2λ(1＋λ)x －λ(1＋λ)y －λ(1＋λ)＝0.因为λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x－y －1＝0.故所求点P地轨迹方程为y＝2x－1.18．(本小题满分14分)已知椭圆地长轴长为2a，焦点是F1(－3，0)、F2(3，0)，点F1到直线x＝－a23地距离为33，过点F2且倾斜角为锐角地直线l与椭圆交于A、B两点，使得|F2B|＝3|F2A|.(1)求椭圆地方程；(2)求直线l地方程．解析：(1)∵F1到直线x＝－a23地距离为33，∴－3＋a23＝33.∴a 2＝4.而c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝1.∵椭圆地焦点在x 轴上，∴所求椭圆地方程为x 24＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． ∵|F 2B |＝3|F 2A |， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝x 2＋3x 11＋3，0＝y 2＋3y 11＋3，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝43－3x 1，y 2＝－3y 1. ∵A 、B 在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 214＋y 21＝1，43－3x 124＋－3y 12＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝1033，y 1＝233取正值.∴l 地斜率为233－01033－3＝ 2. ∴l 地方程为y ＝2(x －3)， 即2x －y －6＝0.。

1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)一、非标准1.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则a的值为()A. B. C. D.解析:∵f'(x)=3ax2+6x,∴f'(-1)=3a-6=4.∴a=.答案:B2.若曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a等于()A.2B.C.-D.-2解析:∵y==1+,∴y'=-,∴y'|x=3=-,∴-a=2,∴a=-2.答案:D3.函数y=(e x+e-x)的导数是()A.(e x-e-x)B.(e x+e-x)C.e x-e-xD.e x+e-x解析:设u=e-x,v=-x,则u'x=(e v)'v'=e v·(-1)=-e-x,即y'=(e x-e-x).答案:A4.函数f(x)=x cos x-sin x的导函数是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数,又不是偶函数解析:∵f'(x)=x'cos x+x(cos x)'-cos x=-x sin x,∴f'(-x)=x sin(-x)=-x sin x=f'(x).∴f'(x)为偶函数.答案:B5.曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.4e2B.2e2C.e2D.e2解析:由导数的几何意义,切线的斜率k=y'|x=4=|x=4=e2,所以切线方程为y-e2=e2(x-4),令x=0,得y=-e2;令y=0,得x=2.所以切线与坐标轴所围三角形的面积为S=×2e2=e2.答案:C6.已知函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3),则f'(1)=.解析:方法一:∵f(x)=(x2-3x+2)(x-3)=x3-6x2+11x-6,∴f'(x)=3x2-12x+11,故f'(1)=3-12+11=2.方法二:∵f'(x)=(x-1)'·(x-2)(x-3)+(x-1)·[(x-2)(x-3)]',∴f'(1)=(1-2)(1-3)=2.答案:27.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为.解析:设切点为(x0,y0),则y0=x0+1,y0=ln(x0+a),即x0+1=ln(x0+a).∵y'=,∴=1,即x0+a=1.∴x0+1=ln 1=0,∴x0=-1,∴a=2.答案:28.已知y=,x∈(-π,π),当y'=2时,x=.解析:y'====.令=2,则cos x=-.又x∈(-π,π),故x=±.答案:±9.已知函数f(x)=ln(ax+1)+,x≥0,其中a>0,若f'(1)=0,求a的值. 解:f'(x)=[ln(ax+1)]'+'=,∴f'(1)==0.∴a=1.因此a的值为1.10.若函数f(x)=在x=c处的导数值与函数值互为相反数,求c的值.解:∵f(x)=,∴f(c)=.又∵f'(x)=,∴f'(c)=.依题意知f(c)+f'(c)=0,∴=0.∴2c-1=0,得c=.。

新人教A版高中数学选修2-1全册课时同步分层练习1、命题2、四种命题四种命题间的相互关系3、充分条件与必要条件4、简单的逻辑联结词5、全称量词与存在量词6、曲线与方程7、椭圆及其标准方程8、椭圆的简单几何性质9、椭圆的标准方程及性质的应用10、双曲线及其标准方程11、双曲线的简单几何性质12、抛物线及其标准方程13、抛物线的简单几何性质14、空间向量及其加减运算空间向量的数乘运算15、空间向量的数量积运算16、空间向量的正交分解及其坐标表示17、空间向量运算的坐标表示18、空间向量与平行关系19、空间向量与垂直关系20、空间向量与空间角1、命题(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列语句中是命题的是( )A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 45°＝1C．x2＋2x－1>0D．x2＋y2＝0B [对于A ，是疑问句，不是命题；对于C ，D ，不能判断真假，不是命题；对于B ，是陈述句且能判断真假，是命题．]2．下列命题中是假命题的是( ) A ．a·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，则a ⊥b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若ac 2＞bc 2，则a ＞b D ．若α＝60°，则cos α＝12B [因为|a |＝|b |只能说明a 与b 的模相等，所以a ＝b 不一定成立，故选B.] 3．命题“垂直于同一个平面的两条直线平行”的条件是( ) A ．两条直线 B ．一个平面C ．垂直D ．两条直线垂直于同一个平面D [命题的条件是“两条直线垂直于同一个平面”．] 4．下列四个命题中，真命题是( ) A ．a ＞b ，c ＞d ⇒ac ＞bd B ．a ＜b ⇒a 2＜b 2C ．1a ＜1b⇒a ＞bD ．a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ＞b －dD [可以通过举反例的方法说明A 、B 、C 为假命题．]5．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A ．4B ．2C ．0D ．－3C [由题意知，Δ＝a 2－4<0，故a ＝0符合题意．] 二、填空题6．命题“若a >0，则二元一次不等式x ＋ay －1≥0表示直线x ＋ay －1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p ：________， 结论q ：________．它是________命题(填“真”或“假”)．a >0 二元一次不等式x ＋ay －1≥0表示直线x ＋ay －1＝0的右上方区域(包含边界) 真[a >0时，设a ＝1，把(0，0)代入x ＋y －1≥0得－1≥0不成立，∴x ＋y －1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．]7．将命题“奇函数的定义域和图象均关于原点对称”，改写为“若p ，则q ”的形式为________．若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称 [命题若p ，则q 的形式为“若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称”．] 8．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②函数y＝a x＋1是指数函数吗？③正方形既是矩形又是菱形；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x∈R，则x2＋4x＋5＞0；⑥作AB∥A′B′.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．①③⑤③⑤[①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是真命题，由正方形定义可知；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1＞0恒成立，所以是真命题；⑥该语句是祈使句，不是命题．]三、解答题9．判断下列语句中哪些是命题？哪些不是命题？(1)2＋22是有理数；(2)1＋1>2；(3)2100是个大数；(4)968能被11整除；(5)非典型性肺炎是怎样传播的？[解](1)(2)(4)均是命题；(3)(5)不是命题．因为(1)(2)(4)都可以判断真假，且为陈述句；(3)中的“大数”是一个模糊的概念，无法判断其真假，所以不是命题；(5)中的语句是疑问句，所以不是命题．10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)体对角线相等的四棱柱是长方体；(2)能被10整除的数既能被2整除又能被5整除；(3)正弦值相等的两个角的终边相同．[解](1)若四棱柱的体对角线相等，则这个四棱柱是长方体．该命题是假命题．(2)若一个数能被10整除，则这个数既能被2整除又能被5整除．该命题为真命题．(3)若两个角的正弦值相等，则这两个角的终边相同．该命题为假命题．[能力提升练]1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思A[“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.]2．命题“第二象限角的余弦值小于0”的条件是( )A ．余弦值B ．第二象限C ．一个角是第二象限角D ．没有条件C [原命题可改写为若一个角是第二象限角，则它的余弦值小于0，故选C.] 3．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题： ①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2，6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为________．② [①若a ·b ＝a ·c ，则a ·(b －c )＝0， 因此b ＝c 不正确；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2，6)，a ∥b ，则－2k －6＝0，即k ＝－3，正确；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△AOB 为等边三角形，因此，a 与a ＋b 的夹角为30°，③不正确，故选②.]4．已知a ，b 为实数，且ab ≠0，则下列命题是真命题的是________(填序号)． ①若a ＞0，b ＞0，则a ＋b2≥ab ；②若a ＋b2≥ab ，则a ＞0，b ＞0；③若a ≠b ，则a ＋b2＞ab ；④若a ＋b2＞ab ，则a ≠b .①④ [①中，由基本不等式可得：若a ＞0，b ＞0，则a ＋b2≥ab ，正确；②中，当a ＝b＝0时，满足a ＋b2≥ab ，但不满足a ＞0，b ＞0，错误；③中，若a ，b 都为正数时成立，否则不成立，错误；④中，由a ＋b2＞ab ，平方得(a －b )2＞0，虽然a ≠b ，正确，故填①④.]5．已知p ：5x －1＞a ，q ：x ＞1，请确定实数a 的取值范围，使得(1)“若p ，则q ”为真命题；(2)“若q ，则p ”为真命题．[解] (1)命题“若p ，则q ”即为“若x ＞1＋a 5，则x ＞1”，由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a ≥4，故实数a 的取值范围为[4，＋∞)．(2)命题“若q ，则p ”即为“若x ＞1，则x ＞1＋a 5”，由命题为真命题可知1＋a5≤1，解得a ≤4，故实数a 的取值范围为(－∞，4]．2、四种命题 四种命题间的相互关系(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( ) A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数 C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数 D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数C [若命题为“若p ，则q ”，命题的逆否命题为“若¬q ，则¬p ”，所以原命题的逆否命题是“若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数”．故选C.]2．命题“已知a ，b 都是实数，若a ＋b ＞0，则a ，b 不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3C [逆命题“已知a ，b 都是实数，若a ，b 不全为0，则a ＋b ＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a ，b 都是实数，若a ，b 全为0，则a ＋b ≤0”为真命题，故选C.]3．已知命题“若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0”，则下列结论正确的是( ) A ．原命题为真命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0或b ＞0” B ．原命题为真命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0” C ．原命题为假命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0或b ＞0” D ．原命题为假命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”B [逆否命题“若a ＞0且b ＞0，则ab ＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”，故选B.]4．命题“若函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是减函数，则log a 2＜0”的逆否命题是( )A ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内不是减函数B ．若log a 2＜0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内不是减函数C ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是增函数D ．若log a 2＜0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是增函数A [命题“若p ，则q ”的逆否命题为“若¬q ，则¬p ”．“f (x )在其定义域内是减函数”的否定是“f (x )在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f (x )在其定义域内是增函数”．]5．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是( ) A ．不拥有的人们会幸福 B ．幸福的人们不都拥有 C ．拥有的人们不幸福 D ．不拥有的人们不幸福D [“幸福的人们都拥有”我们可将其化为：如果人是幸福的，则这个人拥有某种食品，它的逆否命题为：如果这个人没有拥有某种食品，则这个人是不幸福的，即“不拥有的人们就不幸福”，故选D.]二、填空题6．命题“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题为________．若x ≤－2或x ≥2，则x 2≥4 [命题“若x 2<4，则－2<x <2的逆否命题为“若x ≤－2，或x ≥2，则x 2≥4”．]7．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．[1，2] [逆命题为“若1<x <2，则m －1<x <m ＋1”，则⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，解得1≤m ≤2.] 8．命题“若x ≠1，则x 2－1≠0”是________命题(填“真”“假”)．假 [命题的条件和结论都是否定形式，可以化为判断其逆否命题的真假，其逆否命题为“若x 2－1＝0，则x ＝1”，因为x 2－1＝0时，x ＝±1，所以该命题为假命题，从而原命题是假命题．]三、解答题9．写出命题“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠1且x ≠2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．[解] ∵原命题是“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠1且x ≠2”， ∴它的逆命题是：若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0，是真命题； 否命题是：若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2，是真命题； 逆否命题是：若x ＝1或x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0，是真命题． 10．证明：若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1.[证明] 若a －b ＝1，则a 2－b 2＋2a －4b －3＝(a ＋b )(a －b )＋2(a －b )－2b －3＝(a －b )－1＝0成立，∴根据逆否命题的等价性可知：若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1成立．[能力提升练]1．对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是( ) A ．逆命题为“周期函数不是单调函数” B ．否命题为“单调函数是周期函数” C ．逆否命题为“周期函数是单调函数” D ．以上三者都不正确D [原命题的逆命题是“非周期函数是单调函数”，故A 不正确；原命题的否命题是“非单调函数是周期函数”，故B 不正确；原命题的逆否命题是“周期函数不是单调函数”，故C 不正确．]2．若命题“若x <m －1或x >m ＋1，则x 2－2x －3>0”的逆命题为真、逆否命题为假，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，2)B ．(0，2]C ．[－1，1)D ．[0，2]D [由已知，易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}．又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m －1，m ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2.]3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数为________．1 [易判断原命题为真命题，故其逆否命题也是真命题．逆命题：若一个四边形对角线互相垂直，则该四边形为菱形，为假命题．故原命题的否命题也是假命题．]4．下列命题中为假命题的是________(填序号)．①“若k >0，则关于x 的方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题； ②“若向量a ，b 满足a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆命题； ③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．① [对于①，“若k >0，则关于x 的方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题为“若k ≤0，则关于x 的方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根”，当k ≤0时，Δ＝4－4k >0.所以方程有实根，所以①为假命题．对于②，“若向量a ，b 满足a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆命题是“若a ＝0或b ＝0，则a ·b ＝0”，所以②是真命题．对于③，“梯形不是平行四边形”是真命题，所以其逆否命题也为真命题，所以③为真命题．]5．已知数列{a n}是等比数列，命题p：若a1<a2<a3，则数列{a n}是递增数列，请写出命题p的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．[解]命题p的逆命题：已知数列{a n}是等比数列，若数列{a n}是递增数列，则a1<a2<a3；命题p的否命题：已知数列{a n}是等比数列，若a1≥a2或a2≥a3，则数列{a n}不是递增数列；命题p的逆否命题：已知数列{a n}是等比数列，若数列{a n}不是递增数列，则a1≥a2或a2≥a3.设数列{a n}的公比为q，若a1<a2<a3，则有a1<a1q<a1q2.当a1>0时，解得q>1，此时数列{a n}是递增数列；当a1<0时，解得0<q<1，此时数列{a n}也是递增数列．反之，若数列{a n}是递增数列，显然有a1<a2<a3，所以命题p及其逆命题都是真命题．由于命题p的逆否命题与命题p是等价命题，命题p的否命题与命题p的逆命题也是等价命题，所以命题p的逆命题、否命题与逆否命题都是真命题．3、充分条件与必要条件(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[∵A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]2．设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件C[|a－3b|＝|3a＋b|⇔|a－3b|2＝|3a＋b|2⇔a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2⇔2a2＋3a ·b －2b 2＝0，又∵|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝0⇔a ⊥b ，故选C.]3．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1D ．m ＝1A [由函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称可得－m2＝1，即m ＝－2，且当m＝－2时，函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称，故选A.]4．设p 是q 的充分不必要条件，r 是q 的必要不充分条件．s 是r 的充要条件，则s 是p 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [由题可知，p ⇒q ⇒r ⇔s ，则p ⇒s ，sp ，故s 是p 的必要不充分条件．]5．若x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－3，3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1，1]D [由x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件得(－1，4)(2m 2－3，＋∞)，所以2m2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D.]二、填空题6．设集合A ＝{x |x (x －1)<0}，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．充分不必要 [A ＝{x |x (x －1)<0}＝{x |0<x <1}B ，所以“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．]7．“a >0”是“函数y ＝ax 2＋x ＋1在(0，＋∞)上单调递增”的________条件．充分不必要 [当a >0时，y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12a 2＋1－14a ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上单调递增，因此在(0，＋∞)上单调递增，故充分性成立．当a ＝0时，此时y ＝x ＋1 在R 上单调递增，因此在(0，＋∞)上单调递增．故必要性不成立．综上，“a >0”是“函数y ＝ax 2＋x ＋1在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．] 8．若p ：x (x －3)<0是q ：2x －3<m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． [3，＋∞) [由x (x －3)<0得0<x <3，由2x －3<m 得x <12(m ＋3)，由p 是q 的充分不必要条件知{x |0<x <3}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <12（m ＋3）， 所以12(m ＋3)≥3，解得m ≥3.]三、解答题9．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(x －3)<0，且q 是p 的充分条件，求a 的取值范围． [解] 设q 、p 表示的范围分别为集合A 、B ， 则A ＝(2，3)，B ＝(a －4，a ＋4)． 因q 是p 的充分条件，则有A ⊆B ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，所以－1≤a ≤6 ， 即a 的取值范围为[－1，6]．10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究数列{a n }是等差数列的充要条件． [解] 当{a n }是等差数列时，∵S n ＝(n ＋1)2＋c ， ∴当n ≥2时，S n －1＝n 2＋c ， ∴a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1， ∴a n ＋1－a n ＝2为常数． 又a 1＝S 1＝4＋c ，∴a 2－a 1＝5－(4＋c )＝1－c .∵{a n }是等差数列，∴a 2－a 1＝2，∴1－c ＝2， ∴c ＝－1.反之，当c ＝－1时，S n ＝n 2＋2n ，可得a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，∴{a n }为等差数列， ∴{a n }为等差数列的充要条件是c ＝－1.[能力提升练]1．下面四个条件中，使a >b 成立的充分不必要条件是( ) A ．a ≥b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3A [由a ≥b ＋1>b ，从而a ≥b ＋1⇒a >b ；反之，如a ＝4，b ＝3.5，则4>3.54≥3.5＋1，故a >b a ≥b ＋1，故A 正确．]2．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( ) A ．a <0 B ．a >0 C ．a <－1D ．a <1C [一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是1a<0，即a <0，则充分不必要条件的范围应是集合{a |a <0}的真子集，故选C.]3．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的________条件． 充分不必要 [∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分不必要条件．]4．已知f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )<2}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是________．(3，＋∞) [因为f (x )是R 上的增函数，f (－1)＝－4，f (x )<－4，f (2)＝2，f (x ＋t )<2，所以x <－1，x ＋t <2，x <2－t .又因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件， 所以2－t <－1，即t >3.]5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.[证明] 充分性：因为q ＝－1，所以a 1＝S 1＝p －1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p －1)，显然，当n ＝1时，也成立．因为p ≠0，且p ≠1，所以a n ＋1a n ＝p n （p －1）p n －1（p －1）＝p ，即数列{a n }为等比数列，必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．因为p ≠0，且p ≠1，所以a n ＋1a n ＝p n （p －1）p n －1（p －1）＝p .因为{a n }为等比数列，所以a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，即p 2－p p ＋q＝p .所以－p ＝pq ，即q ＝－1.所以数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.4、简单的逻辑联结词(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．给出下列命题：①2014年2月14日是中国传统节日元宵节，同时也是西方的情人节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x 2＝1的解是x ＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C [①中使用逻辑联结词“且”；②中没有使用逻辑联结词；③中使用逻辑联结词“非”；④中使用逻辑联结词“或”．命题①③④使用了逻辑联结词，共有3个，故选C.]2．已知p ：x ∈A ∩B ，则¬p 是( ) A ．x ∈A 且x B B ．x A 或x B C ．x A 且x BD ．x ∈A ∪BB [x ∈A ∩B ，即x ∈A 且x ∈B ，故¬p 是x A 或x B .] 3．已知命题p ：3≥3，q ：3＞4，则下列判断正确的是( ) A ．p ∨q 为真，p ∧q 为真，¬p 为假 B ．p ∨q 为真，p ∧q 为假，¬p 为真C ．p ∨q 为假，p ∧q 为假，¬p 为假D ．p ∨q 为真，p ∧q 为假，¬p 为假D [∵p 为真命题，q 为假命题，∴p ∨q 为真，p ∧q 为假，¬p 为假，应选D.] 4．给出命题p ：函数y ＝x 2－x －1有两个不同的零点；q ：若1x<1，则x >1.那么在下列四个命题中，真命题是( )A ．(¬p )∨qB ．p ∧qC ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∨(¬q )D [对于p ，函数对应的方程x 2－x －1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×(－1)＝5>0，所以函数有两个不同的零点，故p 为真．对于q ，当x <0时，不等式1x <1恒成立；当x >0时，不等式的解集为{x |x >1}．故不等式1x<1的解集为{x |x <0或x >1}．故命题q 为假命题．结合各选项知，只有(¬p )∨(¬q )为真．故选D.]5．已知p ：|x －1|≥2，q ：x ∈Z ，若p ∧q ，¬q 同时为假命题，则满足条件的x 的集合为( )A ．{x |x ≤－1或x ≥3，x Z }B ．{x |－1≤x ≤3，x Z }C ．{x |x ＜－1或x ∈Z }D ．{x |－1＜x ＜3，x ∈Z }D [p ：x ≥3或x ≤－1，q ：x ∈Z ，由p ∧q ，¬q 同时为假命题知，p 假q 真，∴x 满足－1＜x ＜3且x ∈Z ，故满足条件的集合为{x |－1＜x ＜3，x ∈Z }．]二、填空题6．已知命题s ：“函数y ＝sin x 是周期函数且是奇函数”，则 ①命题s 是“p ∧q ”形式的命题； ②命题s 是真命题；③命题¬s ：函数y ＝sin x 不是周期函数且不是奇函数； ④命题¬s 是假命题．其中，叙述正确的是________(填序号)①②④ [命题s 是“p ∧q ”形式的命题，①正确；命题s 是真命题，②正确；命题¬s ：函数y ＝sin x 不是周期函数或不是奇函数，③不正确；命题¬s 是假命题，④正确．]7．在一次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p ：“甲的成绩超过9环”，命题q ：“乙的成绩超过8环”，则命题“p ∨(¬q )”表示________．甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环 [¬q 表示乙的成绩没有超过8环，所以命题“p ∨(¬q )”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环．]8．已知命题p ：{2}∈{1，2，3}，q ：{2}⊆{1，2，3}．给出下列结论：①“p ∨q ”为真；②“p ∨q ”为假；③“p ∧q ”为真；④“p ∧q ”为假；⑤“¬p ”为真；⑥“¬q ”为假．其中正确结论的序号是________．①④⑤⑥ [由题意知，p 假q 真，故“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“¬p ”为真，“¬q ”为假，故①④⑤⑥正确．]三、解答题9．已知命题p ：1∈{x |x 2<a }，命题q ：2∈{x |x 2<a }．(1)若“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围；(2)若“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．[解]若p为真命题，则1∈{x|x2<a}，故12<a，即a>1；若q为真命题，则2∈{x|x2<a}，故22<a，即a>4.(1)若“p∨q”为真命题，则a>1或a>4，即a>1.故实数a的取值范围是(1，＋∞)．(2)若“p∧q”为真命题，则a>1且a>4，即a>4.故实数a的取值范围是(4，＋∞)．10．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q是“第二次击中飞机”．试用p，q以及逻辑联结词“或”“且”“非”(∨，∧，¬)表示下列命题：(1)命题s：两次都击中飞机；(2)命题r：两次都没击中飞机；(3)命题t：恰有一次击中了飞机；(4)命题u：至少有一次击中了飞机．[解](1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题s表示为p∧q.(2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题r表示为¬p∧¬q.(3)恰有一次击中了飞机包含两种情况：①第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为p∧¬q；②第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为¬p∧q.所以命题t表示为(p∧¬q)∨(¬p∧q)．(4)法一：命题u表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题u表示为p∨q.法二：¬u：两次都没击中飞机，即是命题r，所以命题u是¬r，从而命题u表示为¬(¬p∧¬q)．法三：命题u表示：第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，或者第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题u表示为(p∧¬q)∨(¬p∧q)∨(p∧q)．[能力提升练]1．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A．(¬p)∨(¬q) B．p∨(¬q)C．(¬p)∧(¬q) D．p∨qA[依题意，¬p：“甲没有降落在指定范围”，¬q：“乙没有降落在指定范围”，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬p )∨(¬q )．]2．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(¬p )∧(¬q )D ．p ∨(¬q )A [对于命题p ：因为a ·b ＝0，b ·c ＝0，所以a ，b 与b ，c 的夹角都为90°，但a ，c 的夹角可以为0°或180°，故a ·c ≠0，所以命题p 是假命题；对于命题q ：a ∥b ，b ∥c ，说明a ，b 与b ，c 都共线，可以得到a ，c 的方向相同或相反，故a ∥c ，所以命题q 是真命题．选项A 中，p ∨q 是真命题，故A 正确；选项B 中，p ∧q 是假命题，故B 错误；选项C 中，¬p 是真命题，¬q 是假命题，所以(¬p )∧(¬q )是假命题，故C 错误；选项D 中，p ∨(¬q )是假命题，所以D 错误．]3．p ：1x －3<0，q ：x 2－4x －5<0，若p ∧q 为假命题，则x 的取值范围是________． (－∞，－1]∪[3，＋∞) [p 为真时，由1x －3<0得x <3，q 为真时，由x 2－4x －5<0得－1<x <5，若p ∧q 为假命题，则p 为假命题或q 为假命题，所以x ≥3或x ≤－1或x ≥5，即x ≤－1或x ≥3.]4．命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数y ＝－(5－2a )x是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围为________．(－∞，－2] [p 为真时，Δ＝4a 2－16<0，即－2<a <2，q 为真时，5－2a >1，即a <2，由p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题知，p 和q 一真一假，即p 真q 假或p 假q 真，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2a ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a <2，解得a ≤－2.] 5．已知命题p ：关于x 的方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若p ∨q 与¬q 同时为真命题，求实数a 的取值范围．[解] 若命题p 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，－a >－1，（－1）2－2a ＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，a <1，2－2a >0，解得a ≤－1. 若命题q 为真，则a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解得0≤a <4.因为p ∨q 与¬q 同时为真命题，所以p 真且q 假．所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．5、全称量词与存在量词(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列命题为特称命题的是( ) A ．奇函数的图象关于原点对称 B ．正四棱柱都是平行六面体 C ．棱锥仅有一个底面D ．存在大于等于3的实数x ，使x 2－2x －3≥0D [A ，B ，C 中命题都省略了全称量词“所有”，所以A ，B ，C 都是全称命题；D 中命题含有存在量词“存在”，所以D 是特称命题，故选D.]2．下列命题为真命题的是( ) A ．x ∈R ，cos x <2 B ．x ∈Z ，log 2(3x －1)<0 C ．x >0，3x>3D ．x ∈Q ，方程2x －2＝0有解A [A 中，由于函数y ＝cos x 的最大值是1，又1<2，所以A 是真命题；B 中，log 2(3x －1)<0⇔0<3x －1<1⇔13<x <23，所以B 是假命题；C 中，当x ＝1时，31＝3，所以C 是假命题；D 中，2x －2＝0⇔x ＝2Q ，所以D 是假命题．故选A.]3．命题“x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( ) A ．x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0 B ．x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0 C ．x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0 D ．x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥0C [原命题的否定为“x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0”，故选C.]4．命题p ：x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若¬p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，4]B ．[0，4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D [当a ＝0时，不等式恒成立；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，0≤a ≤4，则命题p ：0≤a ≤4，则¬p ：a <0或a >4.] 5．已知命题p ：x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧¬q C ．¬p ∧qD ．¬p ∧¬qB [∵x >0，∴x ＋1>1，∴ln(x ＋1)>ln 1＝0. ∴命题p 为真命题，∴¬p 为假命题．∵a >b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4， 此时a 2<b 2，∴命题q 为假命题，∴¬q 为真命题．∴p ∧q 为假命题，p ∧¬q 为真命题，¬p ∧q 为假命题，¬p ∧¬q 为假命题．故选B.] 二、填空题 6．下列命题：①有的质数是偶数；②与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；③有的三角形三个内角成等差数列；④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．其中是全称命题的为________，是特称命题的为____________． (填序号)②④ ①③ [全称命题为②④，特称命题为①③.]7．命题“偶函数的图象关于y 轴对称”的否定是____________________．有些偶函数的图象关于y 轴不对称 [题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图象关于y 轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y 轴对称”改为“关于y 轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图象关于y 轴不对称”．]8．已知命题：“x 0∈[1，2]，使x 20＋2x 0＋a ≥0”为真命题，则实数a 的取值范围是__________．[－8，＋∞) [当x ∈[1，2]时，x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1是增函数，∴3≤x 2＋2x ≤8，由题意有a ＋8≥0，∴a ≥－8.] 三、解答题9．判断下列命题的真假，并写出它们的否定： (1)α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β； (2)x 0，y 0∈Z ，3x 0－4y 0＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (4)正数的绝对值是它本身．[解] (1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题．命题的否定为：α0，β0∈R ，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0.(2)真命题．命题的否定为：x ，y ∈Z ，3x －4y ≠20.(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．(4)省略了量词“所有的”，该命题是全称命题，且为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身．10．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1，2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围．[解] 法一：由题意知：x 2＋2ax ＋2－a >0在[1，2]上有解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则只需f (1)>0或f (2)>0，即1＋2a ＋2－a >0或4＋4a ＋2－a >0.整理得a >－3或a >－2.即a >－3.故参数a 的取值范围为(－3，＋∞)． 法二：¬p ：x ∈[1，2]，x 2＋2ax ＋2－a >0无解， 令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （2）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0. 解得a ≤－3. 故命题p 中，a >－3.即参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．[能力提升练]1．已知命题p ：对任意x ∈R ，都有cos x ≤1，则命题p 的否定为( ) A ．存在x 0∈R ，使得cos x 0≤1 B ．对任意x ∈R ，都有cos x ＞1 C ．存在x 0∈R ，使得cos x 0＞1 D ．存在x 0∈R ，使得cos x 0≥1C [根据全称命题的否定，知全称量词改为存在量词，同时把小于等于号改为大于号，故选C.]2．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C [f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a >0)，∵2ax 0＋b ＝0，∴x 0＝－b2a ，当x ＝x 0时，函数f (x )取得最小值， ∴x ∈R ，f (x )≥f (x 0)，从而A ，B ，D 为真命题，C 为假命题．]3．命题“n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定为________．n 0∈N *，f (n 0)N *或f (n 0)>n 0 [全称命题的否定为特称命题，因此原命题的否定为“n 0∈N *，f (n 0)N *或f (n 0)>n 0”．]4．命题p ：x 0∈[0，π]，使sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π3<a ，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ [0≤x ≤π，则π3≤x ＋π3≤4π3，所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1；而命题p ：x ∈[0，π]，使sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3<a ，因为p 为真命题，所以a >－32.] 5．已知命题p ：x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1≥0，命题q ：x 0∈R ，ax 20－2ax 0－3>0，若p 假q 真，求实数a 的取值范围．[解] 因为命题p 是假命题，所以命题¬p ：x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0是真命题，则(a －1)2－4>0， 解得a <－1或a >3.因为命题q ：x 0∈R ，ax 20－2ax 0－3>0是真命题． 所以当a ＝0时，－3<0，不满足题意； 当a <0时，(－2a )2＋12a >0，所以a <－3.当a >0时，函数y ＝ax 2－2ax －3的图象开口向上，一定存在满足条件的x 0，故a <－3或a >0.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．6、曲线与方程(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”包括“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”和“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上”两个方面，所以“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”的必要不充分条件，故选B.]2．方程y ＝－3－x 2表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．一条射线 C ．半个圆D ．一条直线C [方程y ＝－3－x 2可化为x 2＋y 2＝3(y ≤0)，故选C.]3．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2－3y 2＝4 B ．x 2＋3y 2＝4 C ．x 2－3y 2＝4(x ≠±1) D ．x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)D [由点B 与点A (－1，1)关于原点对称，得点B 的坐标为(1，－1)．设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得k AP ·k BP ＝y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13(x ≠±1)，化简得x 2＋3y 2＝4，且x ≠±1.故动点P的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．]4．已知点P 是直线x －2y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则点Q 的轨迹方程是( )A ．x ＋2y ＋3＝0B ．x －2y －5＝0C ．x －2y －7＝0D ．x －2y ＋7＝0D [设P (x 0，y 0)，则x 0－2y 0＋3＝0 (*)．又设Q (x ，y )，由|PM |＝|MQ |，知点M 是线段PQ 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧－1＝x 0＋x 2，2＝y 0＋y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2－x ，y 0＝4－y .(**)．将(**)代入(*)，得(－2－x )－2(4－y )＋3＝0，即x －2y ＋7＝0.故选D.]5．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2D [如图，设P (x ，y )，圆心为M (1，0)．连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1， 又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝ 2. 即|PM |2＝2， ∴(x －1)2＋y 2＝2.] 二、填空题6．方程(x －1)2＋y －2＝0表示的是________． 点(1，2) [由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，y －2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以方程(x －1)2＋y －2＝0表示点(1，2)．]7．设命题甲：点P 的坐标适合方程f (x ，y )＝0，命题乙：点P 在曲线C 上，命题丙：点Q 坐标不适合f (x ，y )＝0，命题丁：点Q 不在曲线C 上，已知甲是乙的必要条件，但不是充分条件，那么丙是丁的________条件．充分不必要 [由甲是乙的必要不充分条件知，曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线的一部分，则丙⇒丁，但丁丙，因此丙是丁的充分不必要条件．]8．已知定点F (1，0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN →|，则点N 的轨迹方程是________．y 2＝4x [由于|PM →|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x ，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，由。