ASAD模型习题答案

第十一章 AS—AD模型AS一AD模型是西方宏观经济学家20世纪70年代在凯恩斯模型基础上提出的。

IS一LM模型，讨论了商品市场和货币市场共同均衡的问题，由于没有考虑劳动力市场的情况，因此这只是宏观经济的局部均衡；此外，我们在分析中，实际上假设了价格水平是不变的。

在这一章里，我们将放宽价格水平不变的假设，并引入劳动力市场，建立总供给(AS)—总需求(AD)模型，研究产量（或国民收入）和价格水平的决定问题，来分析宏观经济一般均衡（三个市场同时达到均衡）的情况。

本章重点：（1）总需求曲线的推导、影响总需求曲线的主要因素和总需求曲线的移动（2）总供给曲线的推导，古典主义、凯恩斯主义、新凯恩斯主义等各自的总供给曲线的假设前提与结论（3）运用AS一AD模型分析经济一般均衡，以及经济波动现象习题1、名词解释总需求总需求函数总需求曲线总供给总供给函数总供给曲线总需求一总供给模型货币中性古典的总需求一总供给模型凯恩斯主义的总需求一总供给模型工资粘性假说2、单项选择题（1）总需求曲线向右下方倾斜是因为( D )。

A．价格水平上升时，投资会减少B．价格水平上升时，消费会减少C．价格水平上升时，净出口会减少D．以上几个因素都是（2）当( A )时，总需求曲线更平缓。

A．投资支出对利率变化较为敏感B．政府购买支出乘数较小C．货币需求对利率变化较为敏感D．货币供给量比较大（3）水平区域的劳动供给曲线表示( C )。

A．工资不影响劳动供给B．工资对劳动供给影响很大C．劳动供给不影响工资D．劳动供给对工资影响很大（4）总供给曲线向上移动的原因是( A )。

A．工资提高B．价格提高C．技术进步D．需求增加（5）劳动力的边际产出函数是800－2N(N为使用劳动的数量)，产品的价格水平是2美元，每单位劳动的成本是4美元时，劳动力的需求量是( B )。

A．20 B．399 C．800 D．80（6）当( C )时，古典总供给曲线存在。

as试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪个选项是正确的？A. 地球是平的B. 太阳从西方升起C. 月亮是地球的卫星D. 人类不能在水下呼吸答案：C2. 以下哪种动物是哺乳动物？A. 鳄鱼B. 鲨鱼C. 鲸鱼D. 蜥蜴答案：C3. 以下哪个选项是计算机编程语言？A. HTMLB. CSSC. PythonD. JavaScript答案：C4. 以下哪个选项是化学元素周期表中的元素？A. 水B. 空气C. 氢D. 火答案：C5. 以下哪个选项是地球的自然卫星？A. 火星B. 金星C. 月球D. 土星答案：C二、填空题（每题2分，共10分）1. 地球的自转周期是______小时。

答案：242. 光年是测量______的单位。

答案：距离3. 人类的DNA由______对染色体组成。

答案：234. 地球的大气层包括______层。

答案：55. 元素周期表中，元素的排列顺序是根据______来排列的。

答案：原子序数三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述牛顿的三大运动定律。

答案：牛顿的三大运动定律包括：第一定律（惯性定律），即物体会保持静止状态或匀速直线运动状态，除非受到外力作用；第二定律（加速度定律），即物体的加速度与作用在其上的合力成正比，与物体的质量成反比；第三定律（作用与反作用定律），即对于每一个作用力，总有一个大小相等、方向相反的反作用力。

2. 解释什么是光合作用。

答案：光合作用是植物、藻类和某些细菌通过叶绿素等色素吸收光能，将二氧化碳和水转化为葡萄糖和氧气的过程。

3. 描述一下什么是相对论。

答案：相对论是爱因斯坦提出的物理理论，包括狭义相对论和广义相对论。

狭义相对论主要处理在没有重力作用下的物体运动规律，广义相对论则描述了重力作用下物体的运动规律。

4. 阐述一下什么是生态系统。

答案：生态系统是指在一定区域内，生物群落与其环境相互作用形成的一个统一整体，包括生物部分和非生物部分，通过能量流动和物质循环相互作用。

4AD-AS模型习题AD-AS模型⼀、名词解释题1.滞胀是指经济处于低于充分就业均衡和价格⽔平较⾼即⽣产停滞和通货膨胀同时并存的现象。

2.总需求3.总供给⼆、判断题：1.在古典模型中，需求并不影响就业⽔平和实际⼯资率。

T2.在古典模型中，产出是由供给决定的，需求只在于适应产出的变化。

T3.凯恩斯认为，⼯⼈更容易接受由于价格⽔平上涨⽽引起的实际⼯资的减少，不易于接受由于名义⼯资的下降⽽引起的实际⼯资的减少。

T4.凯恩斯认为，⼯资在上升或下降两个⽅向都是富有弹性。

F5.若其他情况不变且AS为向上倾斜，则政府开⽀的增加最终将导致公众储蓄量的上升。

T6.凯恩斯的总供给曲线由三部分组成：⽔平部分、向上倾斜部分以及⼏乎垂直的部分。

F7.使IS或LM曲线发⽣移动的任何因素都将改变总需求。

T8.总需求曲线和总供给曲线的交点决定了总产出⽔平和利率⽔平。

F9.如果某⼈产⽣“货币幻觉”，那么他关⼼的是他⼯资(或财产)的实物价值，⽽不关⼼其货币形式的变动。

F10.在短期，⼯资基本上是给定的，这⽀持了凯恩斯主义关于⼯资刚性的论点；⽽长期，⼯资是完全可变得，这⼜⽀持了古典学派的观点。

T11.根据凯恩斯主义的经济理论，货币供应量的增加会导致经济的扩张。

T12.劳动⼒市场的均衡决定了短期产出的⽔平。

T13.如果经济处在持续的上升时期，那么短期供给曲线将由于⼯资的上涨⽽向上移动。

T14.总供求模型是微观供求模型的简单放⼤。

F15.主要地是由于对劳动市场的不同理解，使得古典经济学与凯恩斯主义对总供给曲线的形状出现了不同的看法。

T三、单项选择题1.价格⽔平上升时，会（B）。

A.减少实际货币供给并使LM曲线右移B.减少实际货币供给并使LM曲线左移C.增加实际货币供给并使LM右移D.增加实际货币供给并使LM左移2.下列哪⼀观点是不正确的？（D）A.当价格⽔平的上升幅度⼤于名义货币供给的增长时，实际货币供给减少B.当名义货币供给的增长⼤于价格⽔平的上升时，实际货币供给增加C.在其他条件不变的情况下，价格⽔平上升，实际货币供给减少D.在其他条件不变时，价格⽔平下降，实际货币供给减少3.总需求曲线向右⽅倾斜是由于（D）。

第十一章AS—AD模型一、思考题1.什么是总供给—总需求模型?有什么特点?2.什么是总供给函数?说明总供给曲线的通常形状。

3.什么是总需求函数?怎么推导出总需求曲线?4.试比较“古典”AS—AD模型和修正的凯恩斯的AS—AD模型。

5.用图形说明短期均衡的三种状态。

(萧条、高涨和滞胀)6.说明完全凯恩斯模型的方程及其图像。

7.简述凯恩斯效应与庇古效应的含义及其比较。

8.叙述理性预期ES—AD模型及政策含义。

9.评析宏观经济基本理论的演变。

二、计算题1.有一古典的AS-AD模型，总供给函数Y=Y f=1000，总需求函数P=800-0.4Y。

求：（1）均衡价格水平；（2）如价格不变，总需求函数变为P=1000-0.4Y时，经济会怎样？（3）如总需求函数为P=1000-0.4Y，价格可变动时，均衡价格变动多少？2.假定某经济社会的短期生产函数为Y=14N-0.04N2，劳动力需求为N d=175-12.5（W/P），劳动力供给函数N s=70+5(W/P)，求（1）当P=1和P=1.25时，劳动力市场均衡的就业量和名义工资率分别是多少？（2）当P=1和P=1.25时，短期产出水平是多少？3.有一封闭经济，假定存在以下经济关系：在商品市场上，C=800+0.8Y D，T=t y=0.25y，I=200-50r，G=200。

在货币市场上，M d/P＝0.4y-100r，Ms=900。

试求：（1）总需求函数；（2）价格水平P=1时的收入和利率；（3）如总供给函数为Y=2350+400P，求AS=AD时的收入和价格水平。

参考答案：一、思考题1.答：在凯恩斯模型基础上，引入价格变量，和供给因素(即劳动市场)，研究产量(或国民收入)和价格水平的决定问题。

经济学家对总供给曲线形状的观点不一致，因此存在许多不同形状和解释的总供给——总需求模型。

2.答：总供给函数中总产量与价格水平的对应关系可表示为总供给曲线。

它是表示产量和价格水平的各种不同组合点运动轨迹的曲线。

第十七章AD-AS模型练习姓名：班级：学号：一、判断题1．央行可以强令货币供给紧缩，但不能强令其扩张。

T讲解：央行通过调高法定准备率就可以强令货币供给紧缩，但央行实行任何的扩张性货币政策时，都要依赖于商业银行和公众的配合才可以实现扩张，如果商业银行不把超额准备金贷放出去，或个人和企业不愿意向银行贷款进行消费或投资，货币政策就难以实现它的扩张效果。

2．货币政策对付通货膨胀比对付经济衰退更为有效，因为中央银行减少商业银行准备金时，商业银行必须紧缩信贷，而中央银行增加商业银行准备金时，商业银行不必扩张信贷。

T 讲解：与上题类似。

在通货膨胀时期，中央银行实行紧缩性的货币政策，减少货币供给，商业银行可贷资金减少，尤其是调高法定存款准备金率，商业银行必然减少超额准备金或收回贷款，这些都必然紧缩信贷，使信贷规模缩小，所以货币政策对付通货膨胀可以起到很好的效果。

但在经济衰退时期，中央银行实行扩张性的货币政策，虽然可以使商业银行的超额准备金或可贷资金增加，但商业银行可能担心贷款的风险不愿贷出去，即出现“惜贷”现象，这就使货币政策对解决经济衰退问题大打折扣。

3．若其他情况不变且AS为向上倾斜，则政府开支的增加最终将导致公众储蓄量的上升。

T 讲解：政府开支的增加会增加国民收入，所以最终会导致公众储蓄量和消费量的上升。

4．使IS或LM曲线发生移动的任何因素都将改变总需求。

T讲解：IS和LM曲线移动的距离就是总需求或国民收入的变化量。

因此，引起IS和LM 曲线移动的因素（通过方程可以看到，比如自发消费、自发投资、转移支付、政府购买、自发税收、出口、货币供给等都会引起IS曲线或LM曲线的平移。

税率、边际消费倾向、边际进口倾向、投资需求利率弹性、货币需求利率弹性等都会引起IS曲线或LM曲线的转动）都会影响总需求。

5．如果政府增税，人们将减少他们的消费支出，如果政府花费了新增的税收收入，那么总需求保持不变，因此IS曲线不会移动。

易错模型02相似模型易错模型一：A 字型相似模型【模型解读】①如图，在ABC 中，点D 在AB 上，点E 在AC 上，//DE BC ，则ADE ABC △△∽，AD AE DE AB AC BC ==．②模型拓展1：斜交A 字型条件：C ADE ∠=∠，图2结论：~ADE ACB ；③模型拓展2：如图，∠ACD ＝∠B ⇔△ADC ∽△ACB ⇔AD AC CD AC AB BC==．【易错点】善于寻找A 字型的相似；【例1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，P 为ABCD Y 的边AD 上的一点，E ，F 分别为PB ，PC 的中点，PEF !，PDC △，PAB 的面积分别为S ，S 1，S 2．若3S =，则12S S +的值是（）A ．24B ．12C ．6D ．10【答案】B 【分析】过P 作PQ 平行于DC ，由DC 与AB 平行，得到PQ 平行于AB ，可得出四边形PQCD 与ABQP 都为平行四边形，进而确定出PDC △与PCQ △面积相等，PQB △与ABP 面积相等，再由EF 为BPC △的中位线，利用中位线定理得到EF 为BC 的一半，且EF 平行于BC ，得出PEF !与PBC 相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出PBC 的面积，而PBC 面积＝CPQ 面积+PBQ 面积，即为PDC △面积+PAB 面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．【详解】解：过P 作PQ DC ∥交BC 于点Q ，由DC AB ∥，得到PQ AB ∥，∴四边形PQCD 与四边形APQB 都为平行四边形，∴PDC CQP ≌，ABP QPB ≌，∴PDC CQP S S = ，ABP QPB S S = ，∵EF 为PCB 的中位线，【答案】2【分析】过D 作DH 其次利用CDG CBD ∽案．∵在Rt ABC 中，AC BC =∴226AB AC BC =+=又∵2BD AD =，∴22AD =，3 DF【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，要求学生能根据题意画出对应图形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解决求线段长的问题等，蕴含了数形结合的思想方法．1．直线l 1∥l 2∥l 3，且l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A ，B ，C 恰好分别落在三条直线上，AC 与直线l 2交于点D ，则线段BD 的长度为A ．253B ．203C ．254D ．∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC =BC ．∵∠EBC +∠BCE =90°，∠BCE2．如图已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC边上的高是3，那么这个正方形的边长是．∵△ABC的BC边上的高是∴AM=3，∵四边形DEFG是正方形，∴GD=FG,GF∥BC,GD3．如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC ＝1：2．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为52，求AP的长．∵AC平分∠EAP，∴∠DAC＝∠OAC，∵OA＝OC，4．如图，ABC 中，中线AD ，BE 交于点F ，//EG BC 交AD 于点G ．（1）求AG GF的值．（2）如果BD =4DF =，请找出与BDA △相似的三角形，并挑出一个进行证明．【答案】（1）3；（2）BDA FGE ∽△△，证明见解析【分析】（1）先证明AGE ADC △∽△，再证明GEF DBF ∽△△，得到2DF GF =，则问题可解；（2）根据题意分别证明BDA FDB ∽△△，BDA FGE ∽△△问题可证．【详解】解：（1）D 是BC 的中点，E 是AC 的中点，BD CD ∴=，AE CE =，//GE BC ，AGE ADC ∴∽△△，易错模型二：8字型相似模型【模型解读】①如图1，AB ∥CD ⇔△AOB ∽△COD ⇔AB OA OB CD OC OD ==；②如图2，∠A ＝∠D ⇔△AOB ∽△DOC ⇔AB OA OB CD OD OC ==．③模型拓展：如图，∠A ＝∠C ⇔△AJB ∽△CJD ⇔AB JA JB CD JC JD==．【答案】12105【分析】如图，过F 作FI BE EI IC acm CE ===，11102332GE AG a ⎛==+ ⎝FI BC，四边形ABCD ⊥∴，//FI CD∴ ，BIF BCD，=2BF DF2BI BF∴==，【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，点D，E分别是边AB，BC的中点，CD与AE交于点O，则OD的长是()A．1.5B．1.8C．2D．2.4BE=，则GE=．2．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若8【答案】2【分析】延长CF 、BA 交于M ，根据已知条件得出EF ＝AF ，CE ＝12DC ，根据平行四边形的性质得出DC ∥AB ，DC ＝AB ，根据全等三角形的判定得出△CEF ≌△MAF ，根据全等三角形的性质得出CE ＝AM ，求出BM ＝3CE ，根据相似三角形的判定得出△CEG ∽△MBG ，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可．【详解】解：延长CF 、BA 交于M ，∵E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，∴EF ＝AF ，CE ＝12DC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，DC ＝AB ，∴CE ＝12AB ，∠ECF ＝∠M ，在△CEF 和△MAF 中EFC AMF ECF M EF AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEF ≌△MAF （AAS ），∴CE ＝AM ，∵CE ＝12AB ，∴BM ＝3CE ，∵DC ∥AB ，∴△CEG ∽△MBG ，3．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于点F．=；（1）求证：BC CF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．（2）连接AC和BE相交于点为G，若GEC4．如图，在正方形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，12AC =，过点E 的直线分别交AD ，BC 于点M ，N ．（1）当MN BC ⊥时，MN 的长为________，AEM △∽________；（2）已知2EC AE =．①若9MN =，求此时AM 的长；②当E ，F 为AC 的三等分点，点P 在正方形的边上时，是否存在满足9+=PE EF 的情况？如果存在，请通过分析指出这样的点的个数；如果不存在，说明理由．易错模型三：AX型相似模型【模型解读】A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.【例1】（2022·河南新乡·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则BEEG的值为（）A．12B．13C．23D．34【答案】C【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴∠AFB ＝∠FBC ＝∠DFG ，∠ABF ＝∠G ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠CBG ，∴∠ABF ＝∠AFB ＝∠DFG ＝∠G ，∴AB ＝CD ＝2k ，DF ＝DG ＝k ，∴CG ＝CD +DG ＝3k ，∵AB ∥DG ，∴△ABE ∽△CGE ，∴2233BE AB k EG CG k ===，故选：C ．练习1、（2022·河北石家庄·九年级期末）已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒（如图）．以线段AB 为边向外作等边三角形ABD ，点E 是线段AB 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F ．（1）求证：四边形BCFD 为平行四边形；（2）连接CD ，交AB 于点M ．①若6AB =，求BM 的长；②作MN AC ⊥，垂足为N ，求证：111BC AD MN+=．【答案】（1）证明见解析；（2）①2BM =；②证明见解析．【详解】（1）∵ABD △是等边三角形∴AD AB BD ==，60BAD ABD D ∠=∠=∠=︒在Rt ABC 中，30CAB ∠=︒∴60ABC ∠=︒∵点E 是线段AB 的中点∴12CE BE AE AB ===∴BCE 是等边三角形∴60CEB CBE ABC ∠=∠=∠=︒，BC CE=∴60ABD CEB ∠=∠=︒∴//CF BD606060180CBD D CBE ABD D ∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒∴//BC FD∴四边形BCFD 为平行四边形；（2）①如图，连接CD ，交AB 于点M∵//BC FD∴BCM ADM~ ∴BM BC AM AD=∵12BC CE AB ==，AB AD =∴12BM BC AM AD ==∵6AB BM AM =+=∴123BM AB ==；②如图，作MN AC ⊥，垂足为N∵90ACB ∠=︒，306090CAD BAC BAD ∠=∠+∠=︒+︒=︒，MN AC⊥∴////BC MN DA∴AMN ABC ，C CMN DA~ ∴MN AN BC AC =，MN CN DA CA =∴1MN MN AN CN AN CN AC BC DA AC CA AC AC ++=+===∴111BC AD MN+=．练习2、（2022·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）已知，平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，在直线AD上截取2AF FD=，连接EF，EF交AC于G，则AGAC=___________．【答案】25；27．【详解】解：（1）点F在线段AD上时，设EF与CD的延长线交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF,∴HD：AE=DF：AF=1:2，即HD=12 AE，∵AB//CD，∴△CHG∽△AEG，∴AG：CG=AE：CH，∵AB=CD=2AE，∴CH=CD+DH=2AE+12AE=52AE，∴AG：CG=2：5，∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），即AG：AC=2：7；（2）点F在线段AD的延长线上时，设EF与CD交于H，∵AB//CD ，∴△EAF ∽△HDF ，∴HD ：AE=DF ：AF=1：2，即HD=12AE ，∵AB//CD ，∴AG ：CG=AE ：CH∵AB=CD=2AE ，∴CH=CD-DH=2AE-12AE=32AE ，∴AG ：CG=2：3，∴AG ：（AG+CG ）=2：（2+3），即AG ：AC=2：5．故答案为：２５或２７．练习3、（2022·湖南株洲·九年级期末）如图（1）所示：等边△ABC 中，线段AD 为其内角角平分线，过D 点的直线B 1C 1⊥AC 于C 1交AB 的延长线于B 1．（1）请你探究：AC CD AB DB =，1111AC C D AB DB =是否都成立？（2）请你继续探究：若△ABC 为任意三角形，线段AD 为其内角角平分线，请问AC CD AB DB =一定成立吗？并证明你的判断．（3）如图（2）所示Rt △ABC 中，∠ACB ＝90︒，AC ＝8，BC ＝323，DE ∥AC 交AB 于点E ，试求DF FA的值．【答案】（1）成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）58【详解】解：（1） 等边△ABC 中，线段AD 为其内角角平分线，,,AC AB CD DB ∴==1.AC CD AB DB∴==因为B 1C 1⊥AC 于C 1交AB 的延长线于B 1，∴∠CAB ＝60°，∠B 1＝∠CAD ＝∠BAD ＝30°，∴AD ＝B 1D ，1111111,,222C D AD B D AC AB ===∴11111,2AC C D AB DB ==综上：这两个等式都成立；（2）可以判断结论仍然成立，证明如下：如图所示，△ABC 为任意三角形，过B 点作BE ∥AC 交AD 的延长线于E 点，线段AD为其内角角平分线∴∠E ＝∠CAD ＝∠BAD ，△EBD ∽△ACD∴BE ＝AB ，AC CD BE DB=又∵BE ＝AB ．∴AC CD AB DB=，即对任意三角形结论仍然成立；（3）如图（2）所示，因为Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，323BC =，40,3AB ∴=∵AD 为△ABC 的内角角平分线，∴83,4053CD AC DB AB ===∵DE ∥AC ，3,5CD AE DB BE ∴==5,8BE AB ∴=∵DE ∥AC ，∴△DEF ∽△ACF ，,BDE BCA ∆∆∽∴,DF DE FA AC =,DE BE AC BA=∴58DF DE BE FA AC AB ===1．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 上一点，2AE ED =，连接BE 交AC 于点G ，延长BE 交CD 的延长线于点F ，则BG GF 的值为（）A ．23B ．12C ．13D ．34【答案】A2．如图，在矩形ABCD中，,E F分别为边AB，AD的中点，BF与EC，ED分别交于点M，N．已知4AB=，BC=，则MN的长为．6【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是添加辅助线形.3．ABC 中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，点E 为BD 的中点，连接AE 并延长交BC 于点F ，且有AF CF =，过F 点作FH AC ⊥于点H ．（1）求证：ADE CDB ∽；（2）求证：=2AE EF ；（3）若FH BC 的长．4．如图，E 为平行四边形ABCD 的边CD 延长线上的一点，连接BE ．交AC 于O ，交AD 于F ．求证：2BO OE OF = ．易错模型四：母子型相似模型【模型解读】如图为斜“A”字型基本图形．当AED B ∠=∠时，ABC AED △△∽，则有AE AD DE AB AC BC==．AE AC AD AB ⋅=⋅．如图所示，当E 点与C 点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．当ACD B ∠=∠时，ABC ACD △△∽，则有AC AD CD AB AC BC==．【例1】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在等边OAB 中，6AB =，点D 是以O 为圆心，半径为3的圆上一动点，连接BD ，C 为BD 上一点，2DC CB =，连接AC ，则线段AC 的最大值与最小值之积为（）A ．27B ．26C ．25D ．24【答案】A 【分析】过A 作AH OB ⊥于H ，在BO 上截取2BM =，连结CM ，OD ；先证明BCM BDO ∽△△，然后运用相似三角形的性质和已知条件得到1CM =；再根据图形得到AM CM AC AM CM -≤≤+，即当且仅当A ，M ，C 三点共线时，AC 取得最大值为最小值；然后求得最大值和最小值并相乘即可．【详解】解：如图：过A 作AH OB ⊥于H ，在BO 上截取2BM =，连结CM ，OD ，OAB 是等边三角形，3OH BH ∴==，HM 22AH AB BH ∴=-=2BM = ，6OB =，2163BM OB ∴==．2DC CB = ，13BC BD ∴=，BM BC ∴=，【答案】2【分析】由∠ACD =∠ABC 、(1)如图①，若点D 是ABC 的边AB 的中点，22AC =，4AB =，试判断点并说明理由；(2)如图②，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，4AC =，若点D 是ABC 【答案】(1)D 为ABC 的理想点,理由见解析∆的“理想点”， 是ABCD∴∠=∠或BCDACD B∠=∠=∠时，当ACD B，∠+∠=︒90ACD BCDD 是ABC ∆的“理想点”，DBC A ∴∠=∠，又C C ∠=∠，1．如图，在等边OAB 中，6AB =，点D 是以O 为圆心，半径为3的圆上一动点，连接BD ，C 为BD 上一点，2DC CB =，连接AC ，则线段AC 的最大值与最小值之积为（）A ．27B ．26C ．25D ．24【答案】A 【分析】过A 作AH OB ⊥于H ，在BO 上截取2BM =，连结CM ，OD ；先证明BCM BDO ∽△△，然后运用相似三角形的性质和已知条件得到1CM =；再根据图形得到AM CM AC AM CM -≤≤+，即当且仅当A ，M ，C 三点共线时，AC 取得最大值为最小值；然后求得最大值和最小值并相乘即可．【详解】解：如图：过A 作AH OB ⊥于H ，在BO 上截取2BM =，连结CM ，OD ，OAB 是等边三角形，6AB =，AH OB ⊥，3OH BH ∴==，1HM BH BM =-=，2233AH AB BH ∴=-=，2227AM AH HM =+=．2BM = ，6OB =，2163BM OB ∴==．2DC CB = ，13BC BD ∴=，BM BC OB BD ∴=，//CM OD ∴，BCM BDO ∴∽△△，13CM BM OD OB ∴==，∆中，AB=AC=4，B C=D为边AC上一动点（点C除外），将线段BD绕点D 2．如图，在ABC∆面积的最大值为顺时针旋转90︒至ED，连接CE，则CDE∵AB=AC，3．已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E．（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED⋅EA=EC⋅EB；（2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=35，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积．【答案】（1）证明见详解；（2）75183-．【分析】（1）证明△EAB ∽△ECD ，根据相似三角形的性质即可得结论；（2）过点C 作CG ⊥AD 于点D ，过点A 作AH ⊥BC 于点H.在Rt △CDG 中利用已知条件求得DG 、OG 的长，再根据△CDE 的面积为6，可求得DE 的长，在△ABH 中求得BH 、AH 的长，利用（1）△EAB ∽△ECD ，可求得EH 的长，由S 四边形ABCD ＝S △AEH －S △ECD －S △ABH ，即可求得四边形ABCD 的面积．【详解】解：（1）证明：∵∠ADC ＝90°，∴∠EDC ＝90°，∴∠ABE ＝∠CDE.又∵∠AEB ＝∠CED ，∴△EAB ∽△ECD ，∴EB EA ED EC=，∴ED EA EC EB = ．（2）过点C 作CG ⊥AD 于点D ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，∵CD ＝5，cos ∠ADC ＝35，∴DG ＝3，CG ＝4.∵S △CED ＝6，∴ED ＝3，∴EG ＝6.∵AB ＝12，∠ABC ＝120°，则∠BAH ＝30°，∴BH ＝6，AH ＝63，4．已知正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，点F在边CD上，且CF BE=，AE和BF交于点G．（1）如图，求证：①AE BF=②AE BF⊥（2）连接CG并延长交AB于点H，①若点E为BC的中点（如图），求BH的长．②若点E在BC边上滑动（不与点,B C重合），当CG取得最小值时，求BE的长．∵AE⊥BF，∴∠AGB=90°，∴GM=12AB=BM=2，∵AB∥CD，∴CF BMCG GM==1，∴CF=CG，∵CF=BE，∴CF=CG=BE，设CF=CG=BE=a，则CM=a+2，在Rt△BCM中，由勾股定理得：22+42=（a+2）2，解得：a=25-2，即当CG取得最小值时，BE的长为25-2．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题关键．易错模型五：三角形内接矩形相似模型【模型解读】由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。