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§1.1集合一集合的有关概念(1)集合中元素的特征:、、无序性.(2)集合与元素的关系:若a属于集合A,记作;若b不属于集合A,记作.(3)集合的表示方法:、、图示法.(4)常用数集及记法二集合间的基本关系三集合的基本运算1.集合的运算图形表示2.集合的三种基本运算的常见性质(1)A∩A= ,A∩⌀= ,A∪A= ,A∪⌀= .(2)A∩∁U A= ,A∪∁U A= ,∁U(∁U A)= .三、1.{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x∉A}2.(1)A ⌀ A A (2)⌀U A设集合A={2,3,4},B={2,4,6},若x∈A且x∉B,则x=().2 B.3 C.4 D.6【试题解析】因为x∈A且x∉B,所以x=3.【参考答案】B集合A={x∈N|0＜x＜4}的真子集个数为().3 B.4 C.7 D.8【试题解析】因为A={1,2,3},所以其真子集的个数为23－1=7.【参考答案】C已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则A∩∁U B=(). {2,5} B.{3,6}C.{2,5,6}D.{2,3,5,6,8}【试题解析】因为∁U B={2,5,8},所以A∩∁U B={2,3,5,6}∩{2,5,8}={2,5}.【参考答案】A已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=().{x|x≥0} B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0＜x＜1}【试题解析】由题意知A∪B={x|x≤0或x≥1},结合数轴可得∁U(A∪B)={x|0＜x＜1}.【参考答案】D题型集合的概念一【例1】(1)已知集合A=＜＜,集合A中至少有3个元素,则().A.k＞8B.k≥8C.k＞16D.k≥16(2)已知集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且①a=1,②b≠1,③c=2,④d≠4四个关系中有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是.【试题解析】(1)因为集合A中至少有3个元素,所以log2k＞4,所以k＞24=16,故选C.(2)若只有①正确,即a=1,则b≠1不正确,所以b=1,与集合中元素的互异性矛盾,不符合题意;若只有②正确,则有序数组为(3,2,1,4),(2,3,1,4);若只有③正确,则有序数组为(3,1,2,4);若只有④正确,则有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).综上所述,有序数组(a,b,c,d)的个数是6.【参考答案】(1)C(2)6A.1B.3C.5D.9(2)若集合A={x∈R|ax2－3x＋2=0}中只有一个元素,则a=().A.B.C.0 D.0或【试题解析】(1)∵A={0,1,2},∴B={x－y|x∈A,y∈A}={0,－1,－2,1,2}.∴集合B中有5个元素.(2)若集合A中只有一个元素,则方程ax2－3x＋2=0只有一个实根或有两个相等的实根.当a=0时,x=,符合题意;当a≠0时,由Δ=(－3)2－8a=0,得a=.所以a=0或a=.【参考答案】(1)C(2)D题型集合间的基本关系二【例2】(1)设A,B是全集I={1,2,3,4}的子集,A={1,2},则满足A⊆B的B的个数是().A.5B.4C.3D.2(2)已知集合A={x|－2≤x ≤7},B={x|m ＋1＜x ＜2m －1},若B ⊆A ,则实数m 的取值范围是 . 【试题解析】(1)因为A={1,2}且A ⊆B ,所以B={1,2}或B={1,2,3}或B={1,2,4}或B={1,2,3,4},故选B . (2)当B=⌀时,有m ＋1≥2m －1,则m ≤2.当B ≠⌀时,若B ⊆A ,则＋ － －＋ ＜ － 解得2＜m ≤4. 综上,实数m 的取值范围是(－∞,4]. 【参考答案】(1)B (2)(－∞,4]2x A .P ⊆QB .Q ⊆PC .∁R P ⊆QD .Q ⊆∁R P(2)设集合A={x|y=lg(－x 2＋x ＋2)},B={x|x －a ＞0},若A ⊆B ,则实数a 的取值范围是( ). A .(－∞,－1) B .(－∞,－1] C .(－∞,－2)D .(－∞,－2]【试题解析】(1)因为P={y|y=－x 2＋1,x ∈R}={y|y ≤1},所以∁R P={y|y ＞1},又Q={y|y=2x ,x ∈R}={y|y＞0},所以∁R P ⊆Q ,故选C .(2)集合A={x|y=lg(－x 2＋x ＋2)}={x|－1＜x ＜2},B={x|x ＞a },因为A ⊆B ,所以a ≤－1.故选B . 【参考答案】(1)C (2)B题型三集合的运算【例3】(1)已知集合M={x|x 2＜1},N={x|2x ＞1},则M ∩N=( ).A .⌀B .{x|0＜x ＜1}C .{x|x ＜0}D .{x|x ＜1}(2)如图,集合A={x|lo(x －1)＞0},B=－＜ ,则阴影部分表示的集合是( ).A .[0,1]B .[0,1)C .(0,1)D .(0,1]【试题解析】(1)M={x|x 2＜1}={x|－1＜x ＜1},N={x|2x ＞1}={x|x ＞0},则M ∩N={x|0＜x ＜1},故选B . (2)图中阴影部分表示集合B ∩R A.∵A={x|lo (x －1)＞0}={x|1＜x ＜2},B=－＜ = ＜ ＜,∴R A={x|x ≤1或x ≥2},B ∩R A={x|0＜x ≤1},故选D .【参考答案】(1)B (2)D(1)在进行集合的运算时,要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化.2A .[0,1]B .(0,1]C .[0,1)D .(－∞,1](2)已知全集U=R,集合M={x|(x－1)(x＋3)＜0},N={x||x|≤1},则如图所示的阴影部分表示的集合是().A.[－1,1)B.(－3,1]C.(－∞,－3)∪[－1,＋∞)D.(－3,－1)∪{1}【试题解析】(1)∵M={x|x2=x}={0,1},N={x|lg x≤0}={x|0＜x≤1},∴M∪N=[0,1].(2)由题意可知,M=(－3,1),N=[－1,1],∴阴影部分表示的集合为集合M∪N去掉M∩N中的元素所得的集合,又∵M∪N=(－3,1],M∩N=[－1,1),∴阴影部分表示的集合为(－3,－1)∪{1}.【参考答案】(1)A(2)D方法以集合为载体的创新问题一以集合为载体的创新问题的命题形式,常见的有新概念、新法则、新运算、新性质等,对于这些试题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解.【突破训练1】(1)对于集合M,N,定义M－N={x|x∈M,且x∉N},M⊕N=(M－N)∪(N－M).设A={y|y=x2－3x,x∈R},B={y|y=－2x,x∈R},则A⊕B等于().A.－B.－C.－－∪[0,＋∞)D.－－∪(0,＋∞)(2)已知集合A={x∈N|x2－2x－3≤0},B={1,3},定义集合A,B之间的运算“*”:A*B={x|x=x1＋x2,x1∈A,x2∈B},则A*B中的所有元素之和为().A.15B.16C.20D.21【试题解析】(1)∵A=－,B={y|y＜0},∴A－B={y|y≥0},B－A=＜－,A⊕B=(A－B)∪(B－A)=或＜－.故选C.(2)由x2－2x－3≤0,得(x＋1)(x－3)≤0,又x∈N,故集合A={0,1,2,3}.∵A*B={x|x=x1＋x2,x1∈A,x2∈B},∴A*B中的元素有0＋1=1,0＋3=3,1＋1=2,1＋3=4,2＋1=3(舍去),2＋3=5,3＋1=4(舍去),3＋3=6, ∴A*B={1,2,3,4,5,6},∴A*B中的所有元素之和为21.【参考答案】(1)C(2)D方法数形结合思想在集合中的应用二对于集合的运算,常借助数轴、Venn图求解.【突破训练2】向50名从事地质研究的专家调查对四川省A,B两地在震后原址上重建的态度,有如下结果:赞成A地在震后原址上重建的人数是全体的,其余的不赞成,赞成B地在震后原址上重建的比赞成A地在震后原址上重建的多3人,其余的不赞成;另外,对A,B两地都不赞成在震后原址上重建的专家人数比对A,B两地都赞成的专家人数的多1人.问:对A,B两地都赞成的专家和都不赞成的专家各有多少人?【试题解析】赞成A地重建的专家人数为50×=30,赞成B地重建的专家人数为30＋3=33.如图,记50名专家组成的集合为U,赞成A地在震后原址上重建的专家全体为集合A;赞成B地在震后原址上重建的专家全体为集合B.设对A,B两地都赞成的专家人数为x,则对A,B两地都不赞成的专家人数为＋1,赞成A地而不赞成B 地的专家人数为30－x,赞成B地而不赞成A地的专家人数为33－x.依题意,(30－x)＋(33－x)＋x＋＋=50,解得x=21.所以对A,B两地都赞成的专家有21人,都不赞成的专家有8人.1.(2018潍坊模拟)已知集合A={x|x2－3x＋2=0,x∈R},B={x|0＜x＜5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C 的个数为().A.1B.2C.3D.4【试题解析】由x2－3x＋2=0,得x=1或x=2,∴A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},∴满足条件的集合C可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.【参考答案】D2.(2018重庆第二次模拟)已知集合A={(x,y)|y=f(x)},B={(x,y)|x=1},则A∩B中元素的个数为().A.1个B.1个或2个C.至多1个D.可能2个以上【试题解析】集合A={(x,y)|y=f(x),x∈D},B={(x,y)|x=1}.当1∈D时,直线x=1与函数y=f(x)的图象有一个交点;当1∉D时,直线x=1与函数y=f(x)的图象没有交点.所以A∩B中元素的个数为1或0.【参考答案】C3.(2018河南八市重点高中质检)已知U={1,4,6,8,9},A={1,6,8},B={4,6},则A∩(U B)等于().A.{4,6}B.{1,8}C.{1,4,6,8}D.{1,4,6,8,9}【试题解析】因为U={1,4,6,8,9},A={1,6,8},B={4,6},所以U B={1,8,9},因此A∩(U B)={1,8}.【参考答案】B4.(2018湖北襄阳模拟)已知集合A={1,3,},B={1,m},若A∪B=A,则m=().A.0或B.0或3C.1或D.1或3【试题解析】因为A∪B=A,所以B⊆A.由元素的互异性可知m=3或m=,所以m=3或m=0或m=1(舍去).【参考答案】B5.(2018河北唐山模拟)已知集合A⊆{1,2,3,4,5},且A∩{1,2,3}={1,2},则满足条件的集合A的个数是().A.2B.4C.8D.16【试题解析】因为集合A⊆{1,2,3,4,5},且A∩{1,2,3}={1,2},所以由子集和交集的概念可得,A={1,2},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,4,5},所以满足条件的集合A的个数为4,故选B.【参考答案】B6.(2018甘肃天水模拟)已知集合A=－＋＜,B=－＞,则A∩(∁R B)=().A.(3,8)B.[3,8)C.(－2,3]D.(－2,3)【试题解析】由题意可得,A=－＜＜,∁R B=,∴A∩(∁R B)=(－2,3].【参考答案】C7.(2018湖南省东部六校联考)已知集合M={－2,－1,0,1},N=,则M∩N=().A.{－2,－1,0,1,2}B.{－1,0,1,2}C.{－1,0,1}D.{0,1}【试题解析】由≤2x≤4,解得－1≤x≤2.又x∈Z,∴N={－1,0,1,2},∴M∩N={－1,0,1}.【参考答案】C8.(2018石家庄教学质检(二))已知集合M={－1,1},N=＜,则下列结论正确的是().A.N⊆MB.M⊆NC.M∩N=⌀D.M∪N=R【试题解析】∵－2＜0,即－＞0,解得x＜0或x＞,∴N=(－∞,0)∪＋.又∵M={－1,1},∴B正确,A,C,D错误.【参考答案】B9.(2018山东临沂质检)已知全集U=R,集合A={x|x2－3x＋2＞0},B={x|x－a≤0},若U B⊆A,则实数a的取值范围是().A.(－∞,1)B.(－∞,2]C.[1,＋∞)D.[2,＋∞)【试题解析】因为x2－3x＋2＞0,所以x＞2或x＜1,所以A={x|x＞2或x＜1}.因为B={x|x≤a},所以U B={x|x＞a}.因为U B⊆A,借助数轴可知a≥2,所以选D.【参考答案】D10.(2018安徽安庆模拟)已知集合A=－,B=,则A∩B=().A.(0,2)B.[0,2]C.{0,2}D.{0,1,2}【试题解析】∵A=,B=,∴A∩B=.故选D.【参考答案】D11.(2018山东青岛模拟)设集合A=,B={x|y=ln(x2－3x)},则A∩B中元素的个数是().A.1B.2C.3D.4【试题解析】A=={x∈N|－2≤x≤4}={0,1,2,3,4},B={x|y=ln(x2－3x)}={x|x2－3x＞0}={x|x＜0或x＞3},所以A∩B={4},元素个数为1.故A正确.【参考答案】A12.(2018上海市七宝中学模拟)设M={a|a=x2－y2,x,y∈Z},则对任意的整数n,形如4n,4n＋1,4n＋2,4n＋3的数中,不是集合M中的元素是().A.4nB.4n＋1C.4n＋2D.4n＋3【试题解析】∵4n=(n＋1)2－(n－1)2,∴4n∈M.∵4n＋1=(2n＋1)2－(2n)2,∴4n＋1∈M.∵4n＋3=(2n＋2)2－(2n＋1)2,∴4n＋3∈M.若4n＋2∈M,则存在x,y∈Z使得x2－y2=4n＋2,∴4n＋2=(x＋y)(x－y).∵x＋y和x－y的奇偶性相同,若x＋y和x－y都是奇数,则(x＋y)(x－y)为奇数,而4n＋2是偶数;若x＋y和x－y都是偶数,则(x＋y)(x－y)能被4整除,而4n＋2不能被4整除.∴4n＋2∉M.【参考答案】C13.(2018湖北武汉十校联考)已知集合A={x|0＜x＜2},集合B={x|－1＜x＜1},集合C={x|mx＋1＞0},若(A∪B)⊆C,则实数m的取值范围为().A.{m|－2≤m≤1}B.－C.－D.－【试题解析】由题意得A∪B={x|－1＜x＜2}.已知集合C={x|mx＋1＞0},(A∪B)⊆C,①当m＜0时,x＜－,∴－≥2,∴m≥－,∴－≤m＜0;②当m=0时,满足题意;③当m＞0时,x＞－,∴－≤－1,∴m≤1,∴0＜m≤1.综上可知,实数m的取值范围为－.【参考答案】B14.(改编)设集合A={x,y,x＋y},B={0,x2,xy},若A=B,则实数对(x,y)的取值集合是.【试题解析】由A=B,且0∈B,知集合B中的元素x2≠0,xy≠0,故x≠0,y≠0,那么集合A中只能是x＋y=0,此时就是在条件x＋y=0下,{x,y}={x2,xy},即＋或＋解得－或－【参考答案】{(1,－1),(－1,1)}15.(2018云南模拟)已知集合A={y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)＞0},B=x2－x＋,若A∩B=⌀,则实数a的取值范围是.【试题解析】A={y|y＜a或y＞a2＋1},B={y|2≤y≤4}.当A∩B=⌀时,＋∴≤a≤2或a≤－,∴a的取值范围是(－∞,－]∪[,2].【参考答案】(－∞,－]∪[,2]16.(2018江苏淮安模拟)设集合S n={1,2,3,…,n},若X⊆S n,把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空集的容量为0).若X的容量为奇(偶)数,则称X为S n的奇(偶)子集.S4的所有奇子集的容量之和为.【试题解析】因为S4={1,2,3,4},所以X=⌀,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}.其中是奇子集的为X={1},{3},{1,3},其容量分别为1,3,3,所以S4的所有奇子集的容量之和为7.【参考答案】7。
2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷理科数学(五) 【p 293】(导数及其应用)时间：60分钟 总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．函数y ＝x sin x ＋x 的导数是( )A ．y′＝sin x ＋x cos x ＋12xB ．y′＝sin x －x cos x ＋12xC ．y′＝sin x ＋x cos x －12xD ．y′＝sin x －x cos x －12x【解析】f′(x)＝(x)′sin x ＋x(sin x)′＋()x 12′＝sin x ＋x cos x ＋12x －12＝sin x ＋x cos x ＋12x. 【答案】A2．已知a 为函数f(x)＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．4D ．2【解析】f′()x ＝3x 2－12＝3()x ＋2()x －2，令f′()x ＝0得x ＝－2或x ＝2，易得f ()x 在()－2，2上单调递减，在()2，＋∞上单调递增，故f ()x 的极小值点为2，即a ＝2.【答案】D3．定积分⎠⎛－a a a 2－x 2d x 等于( ) A .14πa 2 B .12πa 2 C ．πa 2 D ．2πa 2【解析】由题意可知定积分表示半径为a 的半个圆的面积，所以S ＝12(πa 2)＝12πa 2. 【答案】B4．直线y ＝kx ＋1与曲线f(x)＝a ln x ＋b 相切于点P(1，2)，则a ＋b ＝( )A ．1B ．4C ．3D ．2【解析】由f(x)＝a ln x ＋b ，得f′(x)＝a x， ∴f′(1)＝a.再由直线y ＝kx ＋1与曲线f(x)＝a ln x ＋b 相切于点P(1，2)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧k ＝a ，k ＋1＝b ，b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，a ＝1，b ＝2，∴a ＋b ＝3.【答案】C5．已知函数y ＝f(x)是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋f （x ）x>0，则函数F (x )＝xf (x )＋1x的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】由已知得f ′（x ）·x ＋f （x ）x >0，得（xf （x ））′x>0，得(xf (x ))′与x 同号， 令g (x )＝xf (x )．则可知g (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，且g (0)＝0，又由xf (x )＋1x ＝0，即g (x )＝－1x ，显然y ＝g (x )的图象与y ＝－1x的图象只有一个交点，选B.【答案】B6．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意的实数x ，都有2f (x )＋xf ′(x )<2恒成立，则使x 2f (x )－f (1)<x 2－1成立的实数x 的取值范围是( )A ．{x |x ≠±1}B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－1，0)∪(0，1)【解析】f (x )是R 上的偶函数，则函数g (x )＝x 2f (x )－x 2也是R 上的偶函数，对任意的实数x ，都有2f (x )＋xf ′(x )<2恒成立，则g ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )－2]．当x ≥0时，g ′(x )<0，当x <0时，g ′(x )>0，即偶函数g (x )在区间(－∞，0)上单调递增，在区间(0，＋∞)上单调递减，不等式x 2f (x )－f (1)<x 2－1即x 2f (x )－x 2<12f (1)－12，据此可知g (x )<g (1)，则x <－1或x >1.即实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)7．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x(千台)的函数y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x(千台)的函数y 2＝2x 3－x 2，已知x>0，为使利润最大，应生产________(千台)．【解析】由题意，利润y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3(x ＞0)．y′＝36x －6x 2，由y′＝36x －6x 2＝6x(6－x)＝0，得x ＝6(x ＞0)，当x ∈(0，6)时，y′＞0，当x ∈(6，＋∞)时，y′＜0.∴函数在(0，6)上为增函数，在(6，＋∞)上为减函数．则当x ＝6(千台)时，y 有最大值为216(万元)．【答案】68．曲线y ＝2x 与直线y ＝－x ＋3及x 轴围成的图形的面积为________．【解析】由曲线y ＝2x 与直线y ＝－x ＋3及x 轴围成的图形的面积为⎠⎛012x d x ＋⎠⎛13(－x ＋3)d x ＝43x 32|10＋⎝⎛⎭⎫－12x 2＋3x |31＝43＋2＝103.【答案】1039．若函数f(x)＝x 3－ax 2＋3x －4a 3在(－∞，－1)，(2，＋∞)上都是单调增函数，则实数a 的取值集合是________．【解析】由f′(x)＝3x 2－2ax ＋3，(1)当Δ＝4a 2－36≤0⇒－3≤a ≤3时，f(x)在R 上为增函数，满足条件；(2)当Δ＝4a 2－36>0⇒a <－3或a >3时，由⎩⎪⎨⎪⎧－1<a 3<2⇒－3<a <6，f ′（－1）≥0⇒a ≥－3，f ′（2）≥0⇒a ≤154，∴3<a ≤154， ∴综合得a 的取值集合是⎣⎡⎦⎤－3，154. 【答案】⎣⎡⎦⎤－3，15410．若不等式|mx 3－ln x |≥1(m >0)，对∀x ∈(0，1]恒成立，则实数m 的取值范围是__________________．【解析】不等式|mx 3－ln x |≥1(m >0)，对∀x ∈(0，1]恒成立，等价为mx 3－ln x ≥1或mx 3－ln x ≤－1，即m ≥1＋ln x x 3或m ≤ln x －1x 3， 记f (x )＝1＋ln x x 3，g (x )＝ln x －1x 3， 则f ′(x )＝1x ·x 3－3x 2（1＋ln x ）x 6＝－2－3ln x x 4， 由f ′(x )＝－2－3ln x x 4＝0， 解得ln x ＝－23，即x ＝e －23， 由f (x )>0，解得0<x <e －23，此时函数单调递增， 由f (x )<0，解得x >e －23，此时函数单调递减， 即当x ＝e －23时，函数f (x )取得极大值，同时也是最大值f (e －23)＝1＋ln e －23（e －23）3＝1－23e －2＝13e 2， 此时m ≥13e 2； 由g (x )＝ln x －1x 3， ∵当x ＝1时，ln x －1x 3＝0， ∴当m >0时，不等式m ≤ln x －1x 3不恒成立， 综上，m ≥13e 2.【答案】⎣⎡⎭⎫e 23，＋∞三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(16分)已知函数f(x)＝e x －2x.(1)求曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若函数g(x)＝f(x)－a ，x ∈[－1，1]恰有2个零点，求实数a 的取值范围．【解析】(1)∵f(x)＝e x －2x ，∴f′(x)＝e x －2.∴f′(0)＝－1，又f(0)＝1，∴曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y －1＝－x ，即x ＋y －1＝0.(2)由题意得g(x)＝e x －2x －a ，∴g′(x)＝e x －2，由g′(x)＝e x －2＝0解得x ＝ln 2，故当－1≤x<ln 2时，g′(x)<0，g(x)在[－1，ln 2)上单调递减；当ln 2<x ≤1时，g′(x)>0，g(x)在(ln 2，1]上单调递增．∴g(x)min ＝g(ln 2)＝2－2ln 2－a ，又g(－1)＝e －1＋2－a ，g(1)＝e －2－a ， 结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）＝e －1＋2－a ≥0，g （1）＝e －2－a ≥0，g （ln 2）＝2－2ln 2－a<0，解得2－2ln 2<a ≤e －2.∴实数a 的取值范围是(2－2ln 2，e －2]．12．(16分)已知定义在正实数集上的函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x.(1)若函数g(x)＝f(x)－ax 2＋1，在其定义域上g(x)≤0恒成立，求实数a 的最小值；(2)若a>0时，f(x)在区间[1，e ]上的最小值为－2，求实数a 的取值范围．【解析】(1)由g(x)＝ln x －(a ＋2)x ＋1≤0在其定义域上恒成立，因为x>0，∴a ＋2≥ln x ＋1x， 设h(x)＝ln x ＋1x (x>0)，h′(x)＝1－ln x －1x 2＝－ln x x 2， 所以0<x<1时，h′(x)>0，h(x)递增，x>1时，h′(x)<0，h(x)递减，因此h(x)max ＝h(1)＝1，∴a ＋2≥1可得a ≥－1，综上实数a 的最小值是－1.(2)f′(x)＝2ax －(a ＋2)＋1x ＝（ax －1）（2x －1）x(x>0，a>0)， f′(x)＝0，x 1＝12，x 2＝1a， 当a ≥1，1a≤1，x ∈(1，e )，f′(x)≥0，f(x)单调递增，f(x)min ＝f(1)＝－2符合题意， 当1e<a<1，x ∈[1，e ]，x ∈⎝⎛⎭⎫1，1a ，f(x)单调递减，x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，e ，f(x)单调递增； f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a <f(1)＝－2舍去，当0<a ≤1e，x ∈(1，e )，f(x)单调递减，f(x)min ＝f(e )<f(1)＝－2舍去， 综上实数a 的取值范围是[1，＋∞)．13．(18分)已知函数f(x)＝－x －m x＋2ln x ，m ∈R . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：f (x 2)>1－x 2.【解析】(1)由f (x )＝－x －m x＋2ln x ，得 f ′(x )＝－1＋m x 2＋2x ＝－x 2＋2x ＋m x 2＝－x 2－2x －m x 2，x ∈(0，＋∞)． 设g (x )＝x 2－2x －m ，x ∈(0，＋∞)．当m≤－1时，即Δ＝4＋4m≤0时，g(x)≥0，f′(x)≤0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减．当m>－1时，即Δ＝4＋4m>0时，令g(x)＝0，得x1＝1－1＋m，x2＝1＋1＋m，x1<x2.当－1<m<0时，0<x1<x2，在(0，x1)∪(x2，＋∞)上，f′(x)<0，在(x1，x2)上，f′(x)>0，∴f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，在(x2，＋∞)上单调递减．当m≥0时，x1≤0＜x2，在(0，x2)上，f′(x)>0，在(x2，＋∞)上，f′(x)<0，∴f(x)在(0，x2)上单调递增，在(x2，＋∞)上单调递减．综上，当m≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－1<m<0时，f(x)在(0，1－1＋m)，(1＋1＋m，＋∞)上单调递减，在(1－1＋m，1＋1＋m)上单调递增；当m≥0时，f(x)在(0，1＋1＋m)上单调递增，在(1＋1＋m，＋∞)上单调递减．(2)∵f(x)有两个极值点x1，x2，且x1<x2，∴由(1)知g(x)＝x2－2x－m有两个不同的零点x1，x2，x1＝1－1＋m，x2＝1＋1＋m，且－1<m<0，此时，x22－2x2－m＝0，要证明f(x2)＝－x2－mx2＋2ln x2>1－x2，只要证明2ln x2－mx2>1.∵m＝x22－2x2，∴只要证明2ln x2－x2>－1成立．∵m∈(－1，0)，∴x2＝1＋1＋m∈(1，2)．设h(x)＝2ln x－x，x∈(1，2)，则h′(x)＝2x－1，当x∈(1，2)时，h′(x)>0，∴h(x)在x∈(1，2)上单调递增，∴h(x)>h(1)＝－1，即2ln x2－x2>－1，∴f(x)有两个极值点x1，x2，且x1>x2时，f(x2)>1－x2.。
![[高考数学复习]2020年高考数学第一轮知识点总复习ppt课件](https://img.taocdn.com/s1/m/e5b7761ff61fb7360a4c655f.png)
姓名，年级：时间：2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷理科数学(一) 【p285】(集合、常用逻辑用语、算法初步及框图)时间：60分钟总分：100分一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A＝｛x|x2＋x－2≤0，x∈R｝，B＝｛x｜x＝2k,k∈Z｝,则A∩B 等于( ）A．{0，1} B．｛－2，0｝C．{－1，0} D．｛－4，－2｝【解析】集合A＝｛x｜x2＋x－2≤0，x∈R｝＝{x|－2≤x≤1}，所以A∩B＝｛－2，0}．【答案】B2．对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉＝2，<－1.1〉＝－1，那么“｜x－y|＜1"是“〈x〉＝<y〉”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】由已知可得令x＝1.8,y＝0.9，满足｜x－y｜＜1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，〈x〉≠〈y>，而<x〉＝〈y>时，必有|x－y|＜1,所以“｜x－y|<1”是“〈x>＝〈y〉”的必要不充分条件．【答案】B3．如图所示，程序框图的功能是( )A．求错误!的前10项和B．求错误!的前10项和C．求错误!的前11项和D．求错误!的前11项和【解析】运行程序如下：S＝0＋错误!，n＝4,k＝2,S＝0＋错误!＋错误!，n＝6，k＝3,…,S＝0＋错误!＋错误!＋…＋错误!，n＝22，k＝11，所以该程序求的是错误!的前10项和．【答案】B4．已知集合A＝｛x|y＝错误!｝，B＝{x｜a≤x≤a＋1｝，若A∪B＝A，则实数a的取值范围是( )A．(－∞,－3]∪［2，＋∞）B．［－1，2]C．[－2，1] D．[2，＋∞)【解析】函数y＝4－x2有意义,则4－x2≥0，据此可得：A＝{x|－2≤x≤2｝,A∪B＝A，则集合B是集合A的子集，据此有：错误!求解不等式组可得实数a的取值范围是[－2，1］．【答案】C5．下列结论错误的是（)A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题是“若x≠4，则x2－3x －4≠0”B．命题“若m〉0，则方程x2＋x－m＝0有实根"的逆命题为真命题C．“x＝4"是“x2－3x－4＝0"的充分条件D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0"的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0"【解析】逆否命题，条件、结论均否定，并交换,所以命题“若x2－3x－4＝0,则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”,故A正确；命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m〉0”，由Δ＝1＋4m≥0,解得m≥－错误!，推不出m〉0，是假命题,故B 错误;x＝4时，x2－3x－4＝0，是充分条件,故C正确;命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0"的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”，故D正确．【答案】B6．某班有49位同学玩“数字接龙”游戏,具体规则按如图所示的程序框图执行(其中a为座位号）,并以输出的值作为下一轮输入的值．若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（)A．8 B．15C．20 D．36【解析】输入a＝8后，满足条件，则输出a＝2×8－1＝15；输入a＝15，满足条件，则输出a＝2×15－1＝29；输入a＝29，不满足条件，a＝29－25＝4,a＝2×4＝8，输出a＝8，故第三次输出的值为8。
高三数学理科复习1----集合的概念及运算【高考要求】：集合及其表示（A ）；子集（B ）；交集、并集、补集（B ）. 【教学目标】: 1.了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题,感受 集合语言的意义和作用.2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集（不要求证明集合的相等关 系、包含关系）.了解全集与空集的含义.3.理解两个集合的并集与交集的含义；会求两个简单集合的并集与交集. 理解给定集合的一个子集的补集的含义；会求给定子集的补集. 会用Venn 图表示集合的关系及运算. 课前预习:1、 用适当的符号（),,,,⊃⊂=∉∈填空：{}{}{}.,12___,12;___;____14.3;___*z k k x x Z k k x x N N Q Q ∈-=∈+=π2、 用描述法表示下列集合：（1）由直线y=x+1上所有点的坐标组成的集合； . （2）{}49,36,25,16,9,4,1,0------- . 3、 集合A={}c b a ,,的子集个数为_____________,真子集个数为 . 4、 若,B B A = 则A____B; 若A B=B,则A______B; A B_____A B.5、 已知集合A={}a ,3,1,B={}1,12+-a a ，且B ⊆A,则a =_________________. 6、 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,412，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214，则M 与N 的关系是___. 例题评析:例1、已知集合{}620≤+<=ax x A ，{}421≤<-=x x B （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）A,B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，请说明理由.例2、（1）已知R 为实数集，集合{}0232≤+-=x x x A .若 B R A C R =，{}0123R B C A x x x =<<<<或，求集合B;(2)已知集合{}0,a M =,{}Z x x x x N ∈<-=,032,而且{}1=N M ，记,N M P =写出集合P 的所有子集.例3、已知集合(){}02,2=+-+=y mx x y x A ，(){}20,01,≤≤=+-=x y x y x B ，如果φ≠B A ，求实数m 的范围.课后巩固：1、已知集合{}a a a A ++=22,2，若3A ∈，则a 的值为 .2、已知A={}R x x x y y A ∈--==,122,{}82<≤-=x x B ,则集合A 与B 的关系是____.3、设{}0962=+-=x ax x M 是含一个元素的集合，则a 的值为__________________.4、设{}03522=--=x xx M ，{}1==mx x N .若M N ⊂，则实数m 的取值集合为_____. 5、设集合{}Z x x x I ∈<=,3，{}2,1=A ，{}2,1,2--=B ，则()=B C A I ___________. 6、已知集合{}3<=x x M ，{}1log 2>=xx N ，则N M =_______________________.7、设集合(){}32log ,5+=a A ，集合{}b a B ,=.若{}2=B A ，则B A =_______________. 8、设集合{}30≤-≤=m x x A ，{}30><=x x x B 或分别求满足下列条件的实数m 的取值范围.(1);φ=B A (2)A B A = .9、设{}042=+=x x x A ，{}01)1(222=-+++=a x a x x B (1)若B B A = ，求a 的值； （2）若B B A = ，求a 的值.矫正反馈:高三数学理科复习2----函数的概念【高考要求】：函数的有关概念(B).【教学目标】理解函数的概念；了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则）,会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念. 【教学重难点】：函数概念的理解. 【知识复习与自学质疑】1、 设集合M= {}02x x ≤≤，N= {}02y y ≤≤，从M 到N 有五种对应如下图所示：其中能表示为M 到N 的函数关系的有 ____. 2、 函数0y=的定义域 ____________.3、函数21()lg()1f x x R x =∈+的值域为 _. 4、若函数(1)f x +的定义域为[]0,1，则函数(31)f x -的定义域为 _. 5、已知2(2)443()f x x x x R +=++∈，则函数()f x 的值域为 . 【交流展示与互动探究】例1、 求下列函数的定义域:(1) 12y x =-y = （3）已知()f x 的定义域为[]0,1，求函数24()()3y f x f x =++的定义域.例2、 若函数y =R ，求函数a 的取值范围.例3、 求下列函数的值域：(1) 242y x x =-+- [)0,3x ∈ (2) y x =+221223x x y x x -+=-+【矫正反馈】(A)1、从集合{}0,1A =到集合{},,B a b c =的映射个数共有 个.(A)2、函数y 的值域为 ____________. (A)3、函数(32)(21)log x x y --=的定义域为 ________________.(A)4、设有函数组：①211()x x f x --=，()1g x x =+；②()f x =()g x =③()f x ()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-。
