《自动控制理论(夏德钤)》(第四版)习题答案详解

夏德钤《⾃动控制原理》（第4版）章节题库-第4章线性系统的根轨迹分析【圣才出品】第4章　线性系统的根轨迹分析1．系统的开环传递函数试证明：点在根轨迹上，并求出相应的和系统开环增益K。

证明：根据系统的开环传递函数可知，系统的开环极点为由闭环根轨迹的相⾓条件可得：当时，故点在根轨迹上。

由闭环根轨迹的幅值条件可知，此时即相应的根轨迹增益和系统开环增益仿真曲线如图4-1所⽰。

MATLAB程序：exe402.m２．设单位反馈控制系统的开环传递函数为试⽤解析法绘出K*从零变到⽆穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上：（﹣2＋j0），（0＋j1），（﹣3＋j2）解：闭环传递函数为则闭环特征⽅程为闭环特征根为当。

可逐个描点得闭环根轨迹如图4-2所⽰，从图4-2中明显可见，只有（－2，j0）在根轨迹上。

图4-2３．设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘制闭环根轨迹图。

解：（1）系统的开环传递函数令为根轨迹增益。

①实轴上的根轨迹：[0，－2]，[－5，－∞）。

②根轨迹的渐近线：③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜解得④根轨迹与虚轴的交点：由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征⽅程令s＝jω，将其代⼊上式可得即由于ω≠0，故可解得则根轨迹与虚轴的交点为±j3.16。

根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-3所⽰。

图4-3 系统（1）概略根轨迹图（2）系统的开环传递函数①实轴上的根轨迹[0，－2]，[－3，－5]。

③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜通过试凑可得d＝－0.89。

根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-4所⽰。

图4-4 系统（2）概略根轨迹图（3）系统的开环传递函数①实轴上的根轨迹：[－1，－3]，[－10，－5]。

②根轨迹的渐近线：③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜通过试凑可得d＝－7.27。

根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-5所⽰。

图4-5 系统（3）概略根轨迹图（4）系统的开环传递函数实轴上的根轨迹为[－2，－1]，系统概略根轨迹如图4-6所⽰。

《自动控制理论 （夏德钤）》习题答案详解第二章2-1 试求图2-T-1所示RC 网络的传递函数。

(a)11111111+=+⋅=Cs R R CsR Cs R z ，22R z =，则传递函数为： 2121221212)()(R R Cs R R R Cs R R z z z s U s U i o +++=+= (b) 设流过1C 、2C 的电流分别为1I 、2I ，根据电路图列出电压方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=)(1)()]()([)(1)(2221111s I s C s U s I s I R s I sC s U o i 并且有)()1()(122211s I sC R s I s C += 联立三式可消去)(1s I 与)(2s I ，则传递函数为：1)(1111)()(222111221212211112++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=s C R C R C R s C C R R R s C R s C s C R sC s U s U i o2-2 假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以i u 为输入，o u 为输出的传递函数。

(a)由运算放大器虚短、虚断特性可知：dtduC dt du C R u i i 0+-=，0u u u i c -=， 对上式进行拉氏变换得到)()()(0s sU s sU RCs U i i +-= 故传递函数为RCsRCs s U s U i 1)()(0+=(b)由运放虚短、虚断特性有：022=-+--R u R u u dt du Cc c i c ，0210=+R u R u c ，联立两式消去c u 得到02220101=++⋅u R u R dt du R CR i 对该式进行拉氏变换得0)(2)(2)(20101=++s U R s U R s sU R CR i 故此传递函数为)4(4)()(10+-=RCs R R s U s U i (c)02/2/110=+-+R u R u u dt du Cc c c ，且21R uR u c i -=，联立两式可消去c u 得到 0222101=++⋅Ru R u dt du R CR ii 对该式进行拉氏变换得到0)(2)(2)(2011=++⋅s U Rs U R s sU R CR i i 故此传递函数为RCs R R s U s U i 4)4()()(110+-= 2-3 试求图2-T-3中以电枢电压a u 为输入量，以电动机的转角θ为输出量的微分方程式和传递函数。

自动控制理论第四版课后习题详细解答答案夏德钤翁贻方版集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#《自动控制理论 （夏德钤）》习题答案详解第二章2-1 试求图2-T-1所示RC 网络的传递函数。

(a)11111111+=+⋅=Cs R R CsR Cs R z ，22R z =，则传递函数为： (b) 设流过1C 、2C 的电流分别为1I 、2I ，根据电路图列出电压方程： 并且有联立三式可消去)(1s I 与)(2s I ，则传递函数为：2-2 假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以i u 为输入，o u 为输出的传递函数。

(a)由运算放大器虚短、虚断特性可知：dtduC dt du C R u i i 0+-=，0u u u i c -=， 对上式进行拉氏变换得到 故传递函数为(b)由运放虚短、虚断特性有：022=-+--R u R u u dt du C c c i c ，0210=+R u R u c ，联立两式消去c u 得到 对该式进行拉氏变换得 故此传递函数为 (c)02/2/110=+-+R u R u u dt du Cc c c ，且21R uR u c i -=，联立两式可消去c u 得到 对该式进行拉氏变换得到 故此传递函数为2-3 试求图2-T-3中以电枢电压a u 为输入量，以电动机的转角θ为输出量的微分方程式和传递函数。

解：设激磁磁通f f i K =φ恒定2-4 一位置随动系统的原理图如图2-T-4所示。

电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动触点一起移动，用电位器检测负载运动的位移，图中以c 表示电位器滑动触点的位置。

另一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以r 表示）即为该随动系统的参考输入。

两电位器滑动触点间的电压差e u 即是无惯性放大器（放大系数为a K ）的输入，放大器向直流电动机M 供电，电枢电压为u ，电流为I 。

目　录
第1章　引　论
1.1　复习笔记
1.2　名校考研真题详解
第2章　线性系统的数学模型2.1　复习笔记
2.2　名校考研真题详解
第3章　线性系统的时域分析3.1　复习笔记
3.2　名校考研真题详解
第4章　线性系统的根轨迹分析4.1　复习笔记
4.2　名校考研真题详解
第5章　线性系统的频域分析5.1　复习笔记
5.2　名校考研真题详解
第6章　线性系统的校正
6.1　复习笔记
6.2　名校考研真题详解
第7章　非线性系统的分析
7.1　复习笔记
7.2　名校考研真题详解
第8章　采样控制系统
8.1　复习笔记
8.2　名校考研真题详解
第9章　平稳随机信号作用下线性系统的分析
9.1　复习笔记
9.2　名校考研真题详解
第1章　引　论
1.1　复习笔记
自动控制，就是采用控制装置使被控对象自动地按照给定的规律运行，使被控对象的一个或数个物理量能够在一定的精度范围内按照给定的规律变化。

一、开环控制和闭环控制
自动控制系统有两种最基本的形式：开环控制和闭环控制。

1．开环控制
（1）开环控制的框图
开环控制的示意框图如图1-1所示
图1-1 开环控制示意框图
（2）开环控制的特点
在控制器与被控对象之间只有正向控制作用而没有反馈控制作用，即系统的输出量对控制量没有影响。

2．闭环控制
（1）闭环控制的框图
闭环控制的示意框图如图1-2所示。

第1章引论1.1复习笔记自动控制，就是采用控制装置使被控对象自动地按照给定的规律运行，使被控对象的一个或数个物理量能够在一定的精度范围内按照给定的规律变化。

一、开环控制和闭环控制自动控制系统有两种最基本的形式：开环控制和闭环控制。

1.开环控制（1）开环控制的框图开环控制的示意框图如图1-1所示图1-1 开环控制示意框图（2）开环控制的特点在控制器与被控对象之间只有正向控制作用而没有反馈控制作用，即系统的输出量对控制量没有影响。

2.闭环控制（1）闭环控制的框图闭环控制的示意框图如图1-2所示图1-2 闭环控制示意框图（2）闭环控制的特点在控制器与被控对象之间，不仅存在着正向作用，而且存在着反馈作用，即系统的输出量对控制量有直接影响。

二、自动控制系统的类型根据不同的分类方法，自动控制系统的类型有如下分类：1.随动系统与自动调整系统（1）随动系统：输入量总在频繁地或缓慢地变化，要求系统的输出量能够以一定的准确度跟随输入量而变化。

（2）自动调整系统：输入保持为常量，或整定后相对保持常量，而系统的任务是尽量排除扰动的影响，以一定准确度将输出量保持在希望的数值上。

2.线性系统和非线性系统（1）线性系统：组成系统的元器件的特性均为线性（或基本为线性），能用线性常微分方程描述其输入与输出关系的系统。

（2）非线性系统：组成系统的元器件中，只要有一个元器件的特性不能用线性方程描述，该系统即为非线性系统。

3.连续系统与离散系统（1）连续系统：各部分的输入和输出信号都是连续函数的模拟量。

（2）离散系统：某一处或数处的信号以脉冲列或数码的形式传递的系统。

4.单输入单输出系统与多输入多输出系统（1）单输入单输出系统：其输入量和输出量各为一个，系统结构较为简单。

（2）多输入多输出系统：其输入量和输出量多于一个，系统结构较为复杂，回路多。

5.确定系统与不确定系统（1）确定系统：系统的结构和参数是确定的、已知的，系统的输入信号（包括参考输入及扰动）也是确定的，可用解析式或图表确切表示。

第5章　线性系统的频域分析5.1　复习笔记频域分析法是一种图解分析方法，其特点是可以根据系统的开环频率特性去判断闭环控制系统的性能，并能较方便地分析系统中的参量对系统暂态响应的影响，从而进一步指出改善系统性能的途径。

一、频率特性1．基本概念（1）定义频率特性是将传递函数中的s 以jω代替。

当电路的输入为正弦信号时，其输出的稳态响应（频率响应）也是一个正弦信号，其频率和输入信号的频率相同，但幅值和相角发生了变化，其变化取决于ω。

（2）分类①幅频特性：输出信号的幅值与输入信号幅值之比；②相频特性：输出信号的相角与输入信号的相角之差。

2．频率特性的图形表示（1）极坐标图①定义极坐标图是指在平面上，以横坐标表示，纵坐标表示，采用极坐标系的频率特性图，又叫做奈奎斯特图。

②表达式（2）伯德图①定义伯德（Bode）图是指将频率特性画成对数坐标图的形式，又叫做对数坐标图②表达式对数幅值表达式为单位为dB。

③优点利用对数运算可以将幅值的乘除运算化为加减运算，并且可以用简便的方法绘制近似的对数幅频特性，从而使绘制过程大为简化。

3．线性定常系统的频率特性（1）定义频率特性是指，它反映了在正弦输入信号作用下，系统稳态响应与输入正弦信号之间的关系。

（2）分类①幅频特性：系统稳态输出信号与输入正弦信号的幅值比；②相频特性：系统稳态输出信号对输入正弦信号的相移。

二、典型环节的频率特性1．比例环节（1）比例环节的频率特性为（2）比例环节的对数幅频特性和相频特性为（3）比例环节的伯德图如图5-1所示（K>1的情况）。

图5-1 比例环节的伯德图2．惯性环节（1）惯性环节的频率特性为（2）惯性环节的对数幅频特性和相频特性为式中，。

惯性环节的幅频特性随着角频率的增加而衰减，呈低通滤波特性。

而相频特性呈滞后特性。

3．积分环节（1）积分环节的频率特性为（2）积分环节的对数幅频特性和相频特性为它的幅频特性与角频率ω成反比，而相频特性恒为（3）积分环节的极坐标图和伯德图如图5-2和图5-3所示图5-2积分环节频率特性的极坐标图图5-3 积分环节的伯德图4．微分环节（1）微分环节的频率特性为（2）微分环节的对数幅频和相频特性分别为理想微分环节的幅频特性等于角频率ω，相频特性恒等于即90°。

名校考研真题第1章　引　论一、选择题1．系统的传递函数与下列因素有关（）。

[华中科技大学2009年研]A．系统结构B．初始条件C．系统结构和参数D．系统结构、参数和初始条件【答案】C2．传递函数的概念除了适用于线性定常系统之外，还可用于描述（）系统。

[杭州电子科技大学2008年研]A．线性时变B．非线性定常C．非线性时变D．以上都不是【答案】D二、填空题1．对于任何种类的自动控制系统而言，对其被控量变化全过程的共同要求基本相同，即：______、______、______。

[湖南大学2006年研]【答案】稳定性快速性准确性2．在闭环控制系统中，通过检测元件将输出量转变成与给定信号进行比较的信号，这个信号称为______。

[华南理工大学2006年研]【答案】反馈信号三、判断题1．如果一个控制系统开环不稳定，则闭环系统也不稳定（）。

[重庆大学研]【答案】×【解析】系统开环不稳定，闭环可能稳定，所以这种说法是错误的。

2．在控制系统中，直接改变控制变量的装置称为控制器或控制元件（）。

[杭州电子科技大学2008年研]【答案】×【解析】在控制系统中，直接改变控制变量的装置称为执行元件。

3．开环控制系统的控制器和控制对象之间只有正向作用，系统输出量不会对控制器产生任何影响（）。

[杭州电子科技大学2008年研]【答案】√四、问答题1．试比较闭环系统与开环系统的优缺点？[厦门大学研]答：（1）在开环控制系统中优点：由于没有反馈的作用，开环控制系统反应较快，结构简单。

缺点：系统输出只受输入的控制，控制精度和抑制干扰的特性都相对比较差；（2）闭环控制系统是建立在反馈原理基础之上的优点：利用输出量同期望值的偏差对系统进行控制，可获得比较好的控制性能，缺点：闭环控制系统由于反馈作用，一般有个调节过程，动态响应相对较慢，如果参数设计不合理，可能不稳定而出现振荡，通常大多数重要的自动控制系统都采用闭环控制的方式。

第8章　采样控制系统8.1　复习笔记1．模拟信号与数字信号（1）模拟信号模拟信号是指在时间上连续，在幅值上也连续的信号。

（2）数字信号离散信号是指有一处或数处的信号在时间上离散的信号。

2．采样系统（1）系统框图典型的采样系统框图如图8-1所示：图8-1 采样系统（2）控制流程①由输入信号和反馈信号确定误差信号；②误差信号经过采样开关后变成脉冲序列；③控制器对采样信号进行处理；④处理后的采样信号经过保持器去控制被控对象。

（3）采样控制特点②用计算机实现的数字控制器具有很好的通用性；③可以用一台计算机分时控制若干个对象。

一、采样过程及采样定理1．采样过程（1）定义采样过程是指按照一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其变成在时间上离散的脉冲序列的过程。

用来实现采样过程的装置叫做采样器或采样开关。

（2）采样简介①采样时间：采样持续时间ε远小于采样周期T，也远小于系统中连续部分的时间常数。

因此，在分析采样控制系统时，可以近似地认为ε→0。

②采样过程：采样过程可以看成是一个脉冲调制过程。

如图8-2所示。

图8-2 单位脉冲序列（3）采样表达式①单位脉冲序列δT（t）的数学表达式为：②脉冲调制器的输出信号e*（t）可表示为2．采样定理（1）离散信号频谱①采样信号e*（t）的傅里叶变换②离散信号频谱图上式所对应的离散信号频谱如图8-3所示图8-3 离散信号频谱（2）香农采样定理只有在（即采样频率大于等于两倍连续信号的最大频率）的条件下，才能将采样后的离散信号无失真的恢复为原来的连续信号。

二、保持器保持器是一种采用时域外推原理的装置，常用的有零阶保持器和一阶保持器。

1．零阶保持器（1）定义零阶保持器是指采用恒值外推规律的保持器。

它把前一采样时刻nT 的采样值e （nT ）不增不减地保持到下一个采样时刻。

（2）输出信号零阶保持器的输入信号和输出信号的关系如图8-4所示。

图8-4 零阶保持器的输入和输出信号（3）幅频特性零阶保持器的幅频特性如8-5所示：图8-5 零阶保持器的幅频特性（4）特点①零阶保持器的幅值随角频率w 的增大而衰减，具有明显的低通滤波特性；②采用零阶保持器将产生相位滞后，会降低系统的相对稳定性。

《自动控制理论 （夏德钤）》习题答案详解第二章2-1 试求图2-T-1所示RC 网络的传递函数。

(a)11111111+=+⋅=Cs R R CsR Cs R z ，22R z =，则传递函数为： 2121221212)()(R R Cs R R R Cs R R z z z s U s U i o +++=+= (b) 设流过1C 、2C 的电流分别为1I 、2I ，根据电路图列出电压方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=)(1)()]()([)(1)(2221111s I s C s U s I s I R s I sC s U o i 并且有)()1()(122211s I sC R s I s C += 联立三式可消去)(1s I 与)(2s I ，则传递函数为：1)(1111)()(222111221212211112++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=s C R C R C R s C C R R R s C R s C s C R sC s U s U i o 2-2 假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以i u 为输入，o u 为输出的传递函数。

(a)由运算放大器虚短、虚断特性可知：dtduC dt du C R u i i 0+-=，0u u u i c -=， 对上式进行拉氏变换得到)()()(0s sU s sU RCs U i i +-= 故传递函数为RCsRCs s U s U i 1)()(0+=(b)由运放虚短、虚断特性有：022=-+--R u R u u dt du Cc c i c ，0210=+R u R u c ，联立两式消去c u 得到02220101=++⋅u R u R dt du R CR i 对该式进行拉氏变换得0)(2)(2)(20101=++s U R s U R s sU R CR i 故此传递函数为)4(4)()(10+-=RCs R R s U s U i (c)02/2/110=+-+R u R u u dt du Cc c c ，且21R uR u c i -=，联立两式可消去c u 得到 0222101=++⋅Ru R u dt du R CR ii 对该式进行拉氏变换得到0)(2)(2)(2011=++⋅s U Rs U R s sU R CR i i 故此传递函数为RCs R R s U s U i 4)4()()(110+-= 2-3 试求图2-T-3中以电枢电压a u 为输入量，以电动机的转角θ为输出量的微分方程式和传递函数。