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《鲁棒控制》-3-H无穷控制理论

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鲁棒控制

鲁棒控制
虽然 Zames 首先提出了 H最优化问题，但是他没能给出行之有效的解法。 直到 1984 年 Francis 和 Zames 用 Nevanlinna- Pick 插值理论，给出了 H最优化
问题的最初解法。同时，基于算子理论等现代数学工具，这一解法很快被他们推 广到一般的多变量系统。这方面的代表工作有 Francis, Helton 和 Zames 使用的 Ball-Helton 算子理论解法、Chang 和 Pearson 使用 Saraso 算子理论和矩阵 Nevanlinna- Pick 理论相结合的方法、Safonov 和 Verma 的 Hankel 范数逼近方法。 但遗憾的是, 最初的 H控制理论的标准频域方法在处理 MIMO 系统时，在数学 上和计算上显得十分无能为力。直到 J.C.Doyle 利用状态空间方法，对函数阵的 状态空间内/外互质分解，将其降低成一个状态空间方法可解的 Nehari/Hankel 范数问题, 才初步解决了上述数学计算问题。至此, H控制标准问题的状态空间 一般算法已初步形成，后被称为“1984”方法。它的主要思路是使闭环系统内稳 定的控制器参数化，即使 Youla 参数化方法,把 K 表示为稳定的传递函数 Q 的函 数，使问题变为易于解决的无约束问题。参数化后的标准问题转变为模型匹配问 题 (Model-Matching Problem)，然后将模型匹配问题转变为广义距离问题(General Distance Problem) , 这种广义距离问题是函数逼近理论中 Nehari 问题的推广，也 称为扩展 Nehari 问题( Extended NehariProblem)。用 Hankel 范数逼近理论解决 Nehari 问题，最后求得控制器 K。虽然这些计算都可采用状态空间模型, 通过 实数矩阵计算方法进行, 但计算量很大, 求得的控制器也非常复杂。

《鲁棒控制》课堂笔记-3-H无穷控制理论

《鲁棒控制》课堂笔记-3-H无穷控制理论

（６） 跟踪问题
r
u
C1 +
P
y
C2
u = C1r + C2 y
考虑控制性能指标：
min
r−
y
+
2
ρ
u
2 = min
r−y ρu
2
即 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∫ min
∞ 0
(
r
−
y
)2
+
ρ2u2
dt
令
z
=
∆ ∞ ≤γ
该系统鲁棒稳定 iff A0 稳定，且
γ
<
C0 ( sI
) − A0 −1 B0
∞
−1
即
C0
( sI
−
A0
)−1
B0
∞
<
1 γ
（５）状态反馈鲁棒镇定问题
《鲁棒控制》课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生
考虑不确定系统
x&(t ) = Ax (t )+ Bu (t)
其中：W1 称为加权。
问题：求 K 使闭环系统内稳定，且
即
min K
W1Ty d
∞
min
K内镇定P
W1Tyd
∞ －－ H∞ 最优问题
《鲁棒控制》课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生
（２）稳定裕度问题
−
K
P
假设闭环系统稳定，定义：
r − y ρu
则
z
=
1
−
1
C1 P − C2P
ρ
C1P 1− C2P
r
= Tzrr
性能指标等价为：

鲁棒控制理论及应用lesson3

鲁棒控制理论及应用lesson3

1
鲁棒控制问题第三讲：
2
非结构不确定性的引入
讨论非结构不确定性的描述更加重要，这主要有以下两个方面的原因：
¾在控制系统设计中采用的所有控制对象模型，由于需要覆盖未建模的动态特性，均应该包括某些非结构化的不确定性，这是从给定的控制问题中自然引出来的；¾对于一种特定类型的非结构不确定性，可以找到一种既简单又具有一般性的分析方法。

C 1
C 1
11
)
Ωωεω∞
<∈，2()
T j ωεω∞
<，
鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴敏
31
谢谢各位！Thank you!
2007年10月9日。

鲁棒控制理论及应用课程吴敏

鲁棒控制理论及应用课程吴敏

∂xT
4γ 2 ∂xT
∂x
•
x
=
f
(x) +
1 2γ 2
gg T
∂φ ∂x
(x)
d)在x=0附近,存在光滑正定函数 φ (x)和正常数ε,使哈密顿-
9
雅可比不等式
∂φ ∂xT
f
成立 + 1 ∂φ gg T ∂φ + hTh + ε xT x ≤ 0
4γ 2 ∂xT
∂x
2015年10月25日
鲁棒控制理论及应用课程
•
x=
f
(x) +
1 2γ 2
g1 g1T
∂φ ∂x
−
1 2
g2
g2T
∂ϕ ∂x
+
g1
γ 2
g1T
∂φ ∂x
+
~
z
是渐进稳定的，而且是局部L2稳定的
b)在x=0附近,存在光滑正定函数 φ (x)和正常数ε,使哈密顿-
雅可比不等式 成立,而且 ∂φ ∂xT
f
+
1 4
∂φ ∂xT
⎛ ⎜ ⎝
给定一个常数γ>0,下述条件是等价的。
a)非线性系统Szw是指数稳定的,而且 γ S < zw Lc2 b)近似线性系统 S%zw 是稳定的,而且 S%zw ∞ < γ
c)在x=0附近,存在光滑正定函数 φ (x),使哈密顿－雅可比方程
成立,而且 是指数稳定的 ∂φ f + 1 ∂φ ggT ∂φ + hTh = 0
∂xT
4γ 2 ∂xT
∂x
7
成立，而且
1 gT ∂φ 2
lim 2 ∂x < ∞

现代控制理论鲁棒控制资料课件

现代控制理论鲁棒控制资料课件

鲁棒优化算法的应用
01
02
03
鲁棒优化算法是一种在不确定环 境下优化系统性能的方法。
鲁棒优化算法的主要思想是在不 确定环境下寻找最优解，使得系 统的性能达到最优，同时保证系 统在不确定因素影响下仍能保持 稳定。
鲁棒优化算法的主要应用领域包 括航空航天、机器人、能源系统 、化工过程等。
05
现代控制理论鲁棒控制实 验及案例分析
现代控制理论鲁棒控制的成就与不足
• 广泛应用在工业、航空航天、医疗等领域
现代控制理论鲁棒控制的成就与不足
01
02
不足
控制系统的复杂度较高，难以设 计和优化
对某些不确定性和干扰的鲁棒性 仍需改进
03
实际应用中可能存在实现难度和 成本问题
04
未来研究方向与挑战
研究方向
深化理论研究，提高鲁棒控制器 的设计和优化能力
线性鲁棒控制实验
线性鲁棒控制的基本原理
01
介绍线性鲁棒控制的概念、模型和控制问题。
线性鲁棒控制实验设计
02 说明如何设计线性鲁棒控制实验，包括系统模型的建
立、鲁棒控制器的设计和实验步骤。
线性鲁棒控制实验结果分析
03
对实验结果进行分析，包括稳定性、性能和鲁棒性能
等。
非线性鲁棒控制实验
非线性鲁棒控制的基本原理
03
线性系统的分析与设计：极点配置、最优控制和最优
估计等。
非线性控制系统
1
非线性系统的基本性质：非线性、不稳定性和复 杂性。
2
非线性系统的状态空间表示：非线性状态方程和 输出方程。
3
非线性系统的分析与设计：反馈线性化、滑模控 制和自适应控制等。
离散控制系统

控制理论中的最优控制与鲁棒控制

控制理论中的最优控制与鲁棒控制

控制理论中的最优控制与鲁棒控制控制理论是研究如何设计系统，使其行为符合确定性或随机性要求的一门学科。

在控制理论中，最优控制和鲁棒控制是两个重要的概念。

它们分别代表着在不同情况下如何有效地控制系统，保证系统稳定性和性能。

最优控制是指在给定约束条件下，通过调节控制器的参数，使系统的性能达到最优。

最优控制问题可以用数学工具和优化方法来解决，通常包括确定最优控制器的结构和参数，以实现系统的最佳性能。

最优控制理论在航空航天、自动驾驶、机器人等领域有着广泛的应用，能够有效提高系统的鲁棒性和性能。

鲁棒控制则是指在系统存在各种不确定性和干扰时，仍能保持系统的稳定性和性能。

鲁棒控制的设计考虑系统不确定性的影响，能够有效应对各种外部扰动和环境变化，保证系统在不确定性条件下的稳定性和鲁棒性。

鲁棒控制理论在工业控制、气候控制、金融领域等有着广泛的应用，能够有效应对系统面临的各种挑战和风险。

在实际工程中，最优控制和鲁棒控制通常结合起来，以实现系统的高性能和可靠性。

最优控制能够提高系统的性能和效率，而鲁棒控制则能够保证系统在面对各种不确定性和干扰时仍能正常运行。

通过最优控制和鲁棒控制的结合，可以有效提高系统的鲁棒性和性能，实现系统在各种复杂环境中的稳定运行。

综上所述，控制理论中的最优控制与鲁棒控制是两个互补的概念，分别强调系统在确定性条件和不确定性条件下的优化控制。

它们在实际工程中有着重要的应用，能够有效提高系统的鲁棒性和性能，保证系统稳定运行。

通过不断研究和应用最优控制和鲁棒控制理论，可以为各种自动控制系统的设计和优化提供重要的理论支持和指导。

《鲁棒控制》-3-H无穷控制理论


考虑不确定系统
x (t ) = Ax (t ) + Bu (t )
其中： A = A0 + ΔA ； B = B0 + ΔB
[ΔA ΔB] = DΩ[E1 E2 ] = DΩE
ΩT Ω ≤ I
问题：求状态反馈 u = Kx, s.t.
( E1 + E2 K ) ( sI − A0 − ) B0 K −1 D ∞ < 1
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
r
=
Tzr r
性能指标等价为：
∫ min ∞ zT z dt = min z 2
0
2
设
{ } r ∈
r
r = Wd, d ∈ H2 ,
d
≤1
2
《鲁棒控制》课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生
-- H∞ 次优问题
问题：求 C1 和 C2 使系统内稳定，且：
⎡
min ⎢ sup ⎣ C1 ,C2 d∈H2 , d 2 ≤1
1 min
K 1+ PK ∞
-- H∞ 最优问题
（3） 频域鲁棒镇定问题
Δ
+
−
P0
K
} G = {P P = P0 + Δ, Δ 稳定，且 Δ ( jω ) ≤ r ( jω ) ,∀ω ∈ R
其中： P0 为标称对象； r ( s) 是已知的稳定的实有理函数。
• 鲁棒镇定： K 镇定 G ，即对 ∀P ∈G, K 使闭环系统内稳定。
问题：
( ) min
K内稳G
Tzw
∞
= min K内稳 P
1+ PK −1
∞
2、鲁棒镇定问题 ⇒ 标准问题
Δ

鲁棒控制


注：定理中的四个多项式通常被称作Kharitonov顶点多 定理中的四个多项式通常被称作 顶点多 项式。 项式。Kharitonov定理的意义在于它将区间多项式中无 定理的意义在于它将区间多项式中无 穷多个多项式的稳定性与四个定点的稳定性等价起来， 穷多个多项式的稳定性与四个定点的稳定性等价起来， 将无穷检验变为有限检验（顶点检验）。 将无穷检验变为有限检验（顶点检验）。
系统的不确定性
参数不确定性，如二阶系统： 参数不确定性，如二阶系统：
可以代表带阻尼的弹簧装置， 电路等。 可以代表带阻尼的弹簧装置，RLC电路等。这种不确 电路等 定性通常不会改变系统的结构和阶次。 定性通常不会改变系统的结构和阶次。
1 G(s) = 2 , a ∈ [a − , a + ] s + as + 1
Robust Control
姓名： 姓名：丁 琳 学号： 学号：20100272 专业： 专业：检测技术与自动化装置
主要内容
一、引 言 二、发展概况 三、鲁棒控制理论 3.1 Kharitonov定理 定理 3.2 H∞控制理论 四、研究热点
一、引
言
我们总是假设已经知道了受控对象的模型， 我们总是假设已经知道了受控对象的模型，但由于实 际中存在种种不确定因素， 际中存在种种不确定因素，如： • • • • • 参数变化； 参数变化； 未建模动态特性； 未建模动态特性； 平衡点的变化； 平衡点的变化； 传感器噪声； 传感器噪声； 不可预测的干扰输入； 不可预测的干扰输入；
Kharitonov定理： (1)中的每一个多项式均稳定当且仅当 定理： 定理 中的每一个多项式均稳定当且仅当 下面的四个多项式稳定
+ − − + + P (s) = a0 + a1+s + a2 s2 + a3 s3 + a4 s4 + a5 s5 +L 1 − + + 2 − 3 − 4 + 5 P (s) = a0 + a1 s + a2 s + a3 s + a4 s + a5 s +L 2 + − − 2 + 3 + 4 − 5 P (s) = a0 + a1 s + a2 s + a3 s + a4 s + a5 s +L 3 − + + − − P (s) = a0 + a1−s + a2 s2 + a3 s3 + a4 s4 + a5 s5 +L 4

鲁棒控制 H∞控制 无源控制 非线性扰动 多时滞 不确定 线性矩阵不等式(LMI)

鲁棒控制论文：具有输入饱和的关联时滞大系统的研究【中文摘要】时滞关联大系统的研究是近年来控制领域的一个热点,并且日益受到人们的关注。

在一些条件下,有些问题只能用时滞关联大系统加以描述,例如:航空航天系统模型等。

输入含有饱和因子是一个普遍的非线性现象,若不考虑输入饱和因子而设计控制器,则无法保证闭环系统的稳定性。

近年来,已有文献对具有输入饱和的大系统进行研究,而对具有输入饱和的时滞关联大系统的研究却并不多见。

论文研究了具有输入饱和的时滞大系统的控制问题,采用Lyapunov方法,结合线性矩阵不等式理论,给出系统的稳定条件及H∞控制器、无源控制器和H∞保性能控制器的设计方法。

论文的主要研究内容如下:首先,研究了一类具有饱和因子的滞后关联大系统的分散控制问题,并给出了分散控制状态反馈控制器的设计方法。

其次,研究了一类具有输入饱和的关联时滞大系统的无源控制问题。

并给出了无源化状态反馈控制器的设计方法。

接着,研究了一类具有输入饱和的多时滞大系统的H∞控制问题。

给出了状态反馈控制器的存在条件和设计方法,并通过数值算例说明该方法的有效性。

最后,针对一类具有输入饱和的时滞大系统,研究了该系统的H∞保性能控制器设计问题。

通过构造Lyapunov函...【英文摘要】The study of time-delay large-scale interconnected system becomes a hotspot in the field of control, and has attracted more and more researchers. Under someconditions,some problems can only be described by time-delay large-scale interconnected system, such as aerospace system model and so on. Input saturation factor is a general non-linear phenomenon. Without considering the input saturation factor to design a controller, the stability of closed-loop system can not be ensured. In recent years, there are so...【关键词】鲁棒控制 H∞控制无源控制非线性扰动多时滞不确定线性矩阵不等式(LMI)【英文关键词】Time-delay large-scale system decentralized control H∞control Passive control Guaranteed cost control Input saturation Linear matrix inequalities (LMI)【索购全文】联系Q1：138113721 Q2：139938848【目录】具有输入饱和的关联时滞大系统的研究摘要5-6Abstract6-7第1章绪论10-20 1.1 大系统及关联大系统的产生和应用背景及理论发展10-13 1.1.1 大系统及关联大系统的产生和应用背景10-12 1.1.2 大系统及关联广义大系统的理论发展12-13 1.2 带时滞和不确定的大系统及关联大系统的理论研究13-16 1.3 具有输入饱和的时滞关联大系统的研究现状16-17 1.4 论文的主要工作和结构安排17-20第2章具有输入饱和因子的滞后关联大系统的分散控制20-30 2.1 引言20 2.2 系统描述与准备20-22 2.3 分散控制器的设计22-27 2.4 数值算例及仿真27-29 2.5 结束语29-30第3章具有输入饱和的关联时滞大系统的无源控制30-40 3.1 引言30 3.2 系统描述与准备30-31 3.3 系统无源控制31-36 3.4 数值算例及仿真36-39 3.5 结束语39-40第4章具有输入饱和的多时滞大系统的H∞控制40-54 4.1 引言40 4.2 系统描述与准备40-42 4.3 H∞控制器的设计42-50 4.4 数值算例及仿真50-53 4.5 结束语53-54第5章具有输入饱和的时滞大系统的H∞保性能控制54-62 5.1 引言54 5.2 系统描述与准备54-55 5.3 H∞保性能控制器55-60 5.4 数值算例60-61 5.5 结束语61-62结论62-64参考文献64-70攻读硕士学位期间承担的研究任务与主要成果70-71致谢71-72作者简介72出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

非线性系统的鲁棒性控制

非线性系统的鲁棒性控制一、引言现代控制理论中，非线性系统的鲁棒性控制一直是研究的热点之一。

非线性系统因为其复杂的特性，往往不容易被精确地建模和控制，因此，鲁棒性控制成为一种有效的方法。

本文将从非线性系统的定义入手，介绍非线性系统在鲁棒性控制中的应用和相关理论。

二、非线性系统的定义非线性系统是指，其输入和输出之间的关系不是线性的，其中包括的非线性元素很多，比如幂函数、三角函数、指数函数等。

与线性系统不同，非线性系统具有以下几个特点：1. 非线性系统的系统函数是非线性的，即系统的状态方程和输出方程是非线性的；2. 非线性系统的稳定性分析和控制设计往往比较复杂，需要使用数值模拟和优化算法等方法进行处理；3. 非线性系统的动态行为具有很多非线性效应，比如不稳定性、混沌和复杂多样的周期运动等。

三、非线性系统的鲁棒性控制非线性系统的鲁棒性控制是指，对于具有不确定参数和外部干扰的非线性系统进行控制，并保证其稳定性和性能的方法。

在实际应用中，非线性系统的鲁棒性控制被广泛应用于工业自动化、机器人控制、航空航天等领域。

非线性系统的鲁棒性控制包括以下几个方面：1. 鲁棒控制器的设计：在非线性系统中，我们通常使用鲁棒控制器来设计控制方案。

其中，鲁棒控制器是指一种能够对非线性系统的不确定性进行补偿的控制器。

常用的鲁棒控制器包括H∞控制器、滑模控制器、自适应控制器等。

2. 鲁棒性分析和验证：针对非线性系统的不确定性和外部干扰，需要对鲁棒性进行分析和验证。

其中，鲁棒分析是指确定鲁棒性参数的过程，鲁棒验证是指通过实验和仿真等方法验证鲁棒性的有效性。

3. 鲁棒性优化和调试：鲁棒性控制的优化和调试是非常重要的。

在控制系统设计过程中，需要考虑系统参数、系统耐干扰性、系统稳定性以及过渡过程等方面。

四、非线性系统的鲁棒控制策略（1）H∞控制H∞控制是一种广泛应用于非线性系统的鲁棒控制策略。

该方法通过数学分析和机理推导的方法，能够将非线性系统的模型转换为标准的H∞控制器模型，并对其进行分析和设计。

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⎤ ⎥⎦
+
⎡−W1P⎤
⎢ ⎣
W2 P
⎥ ⎦
K
⎡⎣1
−
(
−P
)
K
⎤⎦ −1
*1
= Fl (G, K )
G
=
⎡ ⎢ ⎢
⎡W1
⎢ ⎣
0
⎤ ⎥ ⎦
⎢⎣ 1
⎡ ⎢ ⎣
−W1P W2 P
⎤ ⎥ ⎦
⎤ ⎥ ⎥
−P ⎥⎦
G ω
W1
z1
−W2
z2
u
−P
y
d y
K
3.3 状态反馈 H∞ 控制
ω
z
u
G
K
《鲁棒控制》课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生
ω
ω
若 P 和 K 均为真的，其一为严格真的，则
0<η ≤1
若以开环系统的 Nyquist 曲线到点 (−1, j0) 的距离为稳定裕度，则为得到最
大的稳定裕度，应使η 最大，这等价于：
sup
ω
1
+
P
(
1
jω ) K (
jω )
→ min
即
1 → min 1+ PK ∞ 问题：求 K 使系统内稳定，且
问题：
( ) min
K内稳G
Tzw
∞
= min K内稳 P
1+ PK −1
∞
2、鲁棒镇定问题 ⇒ 标准问题
Δ
+
−
P0
K
Δ ≤γ ∞
或
Δ ( jω ) ≤ r ( jω )
G
ω
z
r
u
− P0
y
K
求 K ,内稳 P0 ,且
rK (1+ ) P0K −1 ∞ < 1
《鲁棒控制》课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生
⎡ A B1 B2 ⎤
G = ⎢⎢C1
D11
D12
⎥ ⎥
⎢⎣ I 0 0 ⎥⎦
x = Ax + B1ω + B2u z = C1x + D11ω + D12u y=x
⎫
⎪ ⎬
(∗)
⎪⎭
x ∈ Rn ,ω ∈ Rm1 , u ∈ Rm2 , z ∈ R p1
假设 ( A1 ) ( A, B2 ) 可镇定。
ω∈R
问题：求 K 使标称系统内稳定，且：
r (s) K (s) ⎡⎣1+ P0 (s) K (s)⎤⎦−1 < 1 ∞
-- H∞ 次优问题
说明：1） 上述条件也是必要的； 2） 可对应有 MIMO 系统的结果：1 → I ；
3） Δ (s) 可以是不稳定的，只要 P0 (s) 和 P (s) 具有相同数目的不稳定极点。
T = P (s) K (s) ⎡⎣1+ P (s) K (s)⎤⎦−1
其中
⎡W1S ⎣⎢W2T
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
W1 (1+ PK )−1
⎣⎢W2PK (1+ PK )−1
⎤ ⎥ ⎦⎥
=
⎡⎢W1 ⎡⎣1− PK (1
⎢ ⎣
W2PK (1+
+ PK )−1 PK )−1
⎤⎤ ⎦⎥ ⎥ ⎦
=
⎡W1 ⎢⎣ 0
1、干扰抑制问题 ⇒ 标准问题
d
y
K
P
−
G
ωd
y
z
u
−P
y
K
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min (1+ PK )−1
K内稳P
∞
z = d − Pu y = d − Pu u = ky w= d
G
⎡ ⎢⎣
z y
⎤ ⎥⎦
=
⎡1 ⎢⎣1
−P⎤ ⎡w⎤ −P⎥⎦ ⎢⎣u ⎥⎦
Tzw = 1+ (−P) K ⎡⎣1− (−P) K ⎤⎦−1 ⋅1 = (1+ PK )−1
考虑不确定系统
x (t ) = Ax (t ) + Bu (t )
其中： A = A0 + ΔA ； B = B0 + ΔB
[ΔA ΔB] = DΩ[E1 E2 ] = DΩE
ΩT Ω ≤ I
问题：求状态反馈 u = Kx, s.t.
( E1 + E2 K ) ( sI − A0 − ) B0 K −1 D ∞ < 1
定义为
Fl (G, K ) = G11 + G12K ( I − G22K )−1 G21
H∞ 控制的标准问题：求一真实有理控制器 K ,使得闭环系统为内稳定，且使得Tzw
的 H∞ 范数极小，即
min
K内稳G
Tzw
∞
或使得闭环系统内稳定，且使得
Tzw ∞ < γ 其中 γ 是一给定正实数。
- H∞ 最优控制 - H∞ 次优控制
1 min
K 1+ PK ∞
-- H∞ 最优问题
（3） 频域鲁棒镇定问题
Δ
+
−
P0
K
} G = {P P = P0 + Δ, Δ 稳定，且 Δ ( jω ) ≤ r ( jω ) ,∀ω ∈ R
其中： P0 为标称对象； r ( s) 是已知的稳定的实有理函数。
• 鲁棒镇定： K 镇定 G ，即对 ∀P ∈G, K 使闭环系统内稳定。
其中
Y = Tyd ( jω0 ) ⋅ A , ε (t ) → 0,t → ∞ 。
可见
Tyd ( jω0 ) 小 ⇒ Y小
当 d 的频率成分很宽时，则要求：
sup Tyd ( jω ) → min ω
当 d 的频率成分分布在某一频带内时，则要求：
sup W1 ( jω )Tyd ( jω ) → min ω
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
r
=
Tzr r
性能指标等价为：
∫ min ∞ zT z dt = min z 2
0
2
设
{ } r ∈
r
r = Wd, d ∈ H2 ,
d
≤1
2
《鲁棒控制》课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生
-- H∞ 次优问题
问题：求 C1 和 C2 使系统内稳定，且：
⎡
min ⎢ sup ⎣ C1 ,C2 d∈H2 , d 2 ≤1
状态反馈 H∞ 控制问题
对于给定常数γ > 0 ，求一常数矩阵 F ，使得状态反馈 u = Fx ，满足如下条 件（称之为 SF 条件）：
A + B2F 为渐近稳定阵且 Tzω ∞ < γ
其中 Tzω ( s) = (C1 + D12F ) ( sI − A − B2F )−1 B1 + D11
设 rank ( D12 ) = i (≤ p1 ) ，U 和 Σ 是满足下式的任意矩阵：
1
( ) CF
=
⎡ ⎢⎣
I
+
D11
γ 2 I − D1T1D11
−1
D1T1
⎤ ⎥⎦
2
C1
( ) DF
= B1
γ 2I − D1T1D11
−1 2
《鲁棒控制》课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生
1
( ) FF
= ⎡⎢⎣I + D11
γ 2I − D1T1D11
−1
D1T1
⎤ ⎥⎦
2
D12
定理：对于满足假设 ( A1 ) 的系统 (*) ,满足 SF 条件的状态反馈矩阵 F 存在的充要
D12 = U Σ, U ∈ R p1×i , Σ ∈ Ri×m2 , rankU = rankΣ = i 选择矩阵 ΦF ∈ R(m2 −i)×m2 使其满足
ΦF ΣT = 0, ΦF ΦTF = I 当 i = m2 时，即 D12 为列满秩时，令 ΦF = 0 。 当 D12 = 0 时，令 ΦF = I , HF = 0 。
Δ ( jω ) K ( jω ) ⎡⎣1+ P0 ( jω ) K ( jω )⎤⎦−1 < 1,∀ω ∈ R
那么， K 内镇定 G 中任意 P 的充分条件是：
r ( jω ) K ( jω ) ⎡⎣1+ P0 ( jω ) K ( jω )⎤⎦−1 < 1,∀ω ∈ R
等价于
sup r ( jω ) K ( jω ) ⎡⎣1+ P0 ( jω ) K ( jω )⎤⎦−1 < 1
G
⎡ ⎢⎣
z⎤ y ⎥⎦
=
⎡0 ⎢⎣1
r ⎤ ⎡w⎤
−
P0
⎥ ⎦
⎢⎣
u
⎥⎦
Tzw = 0 + rK (1+ P0K )−1
问题：求, K 使 G 内稳定，且 Tzw ∞ < 1。
3、跟踪问题 ⇒ 标准问题
r
u
y
C1 +
P
C2
求 C1,C2 ，使得系统内稳定，且
min
⎡⎢1 ⎢
−
1
C1P − C2P
⎡G11 ⎢⎣G21
G12 ⎤ ⎡w⎤
G22
⎥ ⎦
⎢⎣
u
⎥⎦
( ) z = ⎡⎣G11 + G12K
I − G22K
−1
G21
⎤ ⎦
w
= Fl (G, K ) w
= Tzww
ω
z
u
G
y
K
Fl (G, K )
其中 G 称为广义受控对象；Fl (G, K ) 为关于 G 和 K 的（下）线性分式变换(LFT)，