秦九韶简介

南宋数学家秦九韶传经历和为人秦九韶（1202—约1261），字道古，普州安岳（今属四川）人，祖籍鲁郡。

父秦季槱，字宏父，绍熙四年（1193）进士。

嘉定十二年（1219），秦季槱任巴州（今四川巴中）守。

是年三月，兴元（今陕西汉中）军士张福、莫简等发动兵变，入川后夺取利州（今广元）、阆州（今阆中）、果州（今南充）、遂宁（今遂宁）和普州（今安岳），并进犯巴州。

秦季槱弃城而走。

朝廷命沔州都统张威引兵镇压。

年仅18 岁的秦九韶“在乡里为义兵首”，参加张威军的平乱之战。

不久，秦季槱携全家辗转抵达当时的京师临安（今杭州）。

嘉定十五年（1222），秦季槱任工部郎中，十七年，除秘书少监。

宝庆元年（1225）正月，兼任国史院编修官、实录院检讨官。

工部掌管营建，而秘书省则掌管图书，其下属机构设有太史局。

因此，天资聪颖、求知若渴的秦九韶有机会阅读大量典籍，熟悉建筑、修造、治河等方面的土木工程知识，并向他父亲的属官中负责测验天文、考定历法的学者们学习天文历法知识。

他后来在《数书九章》序中说“早岁侍亲中都，因得访习于太史”，即指这段时间的事。

秦九韶又曾向“隐君子”学习数学。

他还向著名词人李刘学习骈骊诗词。

通过这一时期的学习，秦九韶的学识日趋渊博。

周密在《癸辛杂识续集》中称他“性极机巧，星象、音律、算术，以至营造等事，无不精究”，“游戏、毬、马、弓、剑，莫不能知”。

宝庆元年（1225）六月，秦季槱被任命为潼川（今四川三台）知府，七月赴任。

秦九韶于是随父回到四川。

次年正月十二日，秦氏父子来到涪州（今重庆涪陵），与涪州守李踽及其两个儿子同游，观赏长江石鱼，并刻石题名，后为姚觐光收入《涪州石鱼文字所见录》，成为一则重要史料。

在潼川，秦九韶曾当过县尉。

这期间，李刘曾邀请他到国史院校勘书籍文献，但未成行。

端平三年（1236），元兵攻入四川，嘉陵江流域兵祸不断，秦九韶不得不经常参与军事活动，饱受战争之苦。

他后来在《数书九章》序中回忆道：“际时狄患，历岁遥塞，不自意全于矢石间，尝险罹忧，荏苒十祀，心槁气落。

秦九韶，字道古。

宋宁宗嘉定元年（1208）三月，出生于普州（今四川省资阳市安岳县）天庆观街“秦苑斋”的一个书香门第、仕宦之家。

秦九韶之祖父秦臻舜，宋高宗绍兴三十年（1160）进士及第，官至通议大夫（正四品）。

父亲秦季槱，宋光宗绍熙四年（1193）进士及第，累仕显谟阁直学士（从三品）。

秦臻舜父子，同治春秋，政声亦佳。

秦九韶之祖母和母亲，均出于书香门第。

秦九韶出生于如此书香之家，受到长辈之熏陶，接受良好家庭教育。

加之，秦九韶生活在父亲结交的忠臣良相、儒雅之士挚友圈中，师长之关爱教诲，为秦九韶之健康成长培植了优良环境。

嘉定九年（1216）秋，秦九韶随祖母、母亲离开普州，与知巴州军州事之父亲团聚。

嘉定十二年（1219），兴元军士权兴等兵变犯巴州，守臣秦季槱失巴州。

第二年，秦季槱出任工部郎中。

秦九韶随父至临安，开始了“早岁侍亲中都，因得访习于太史”之励志年华。

宋理宗宝庆元年（1225）六月，秦季槱知潼川府军州事，秦九韶随之。

秦九韶后擢升郪县县尉，24岁蟾宫折桂。

宋理宗端平元年（1234）冬，秦九韶赴临安任国史院校正。

端平三年（1236）正月，秦九韶任蕲州通判。

第二年，擢升和州军州事。

后相继任职淮南西路、两浙路和广南东路、广南西路。

宋理宗景定二年（1261）七月，秦九韶知梅州军州事，宋度宗咸淳四年（1268）三月卒于梅州。

终年59岁。

数书九章 中华之光——宋代数学家秦九韶小记 文/李青春（四川省安岳县地方志办公室主任）秦九韶身处宋金、宋蒙战争乱世，仕途坎坷。

他酷爱数学，虽置身政治，但对数学研究从未放弃。

在政务之余，广泛收集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分类研究。

宋理宗淳祐四至七年（1244—1247），秦九韶利用为母守孝的宝贵时光，把长期积累之数学知识及研究所得予以整理编辑，写出中外闻名巨著《数书九章》。

早在汉、魏之间，《孙子算经》就提出了一个有名的数论科学算题，即某数除以8余7、除以5余3、除以7余2，求某数。

秦九韶从三角形三边求面积的公式秦九韶是中国古代著名的数学家，他对数学的贡献被广泛认可。

在中国传统数学中，秦九韶尤为突出的成就是他提出了一种用三角形三边长度计算面积的公式，这一公式至今仍在数学教育中发挥着重要作用。

在本文中，我将对秦九韶的这一重要成就进行全面评估，以及分享自己的观点和理解。

一、秦九韶的贡献1. 秦九韶的生平和学术背景秦九韶（1202-1261）是中国南宋时期的数学家、天文学家和翰林学士。

他在数学、天文学和历法方面都有杰出的成就，被誉为“中国古代数学宗师”。

2. 三角形三边求面积的公式秦九韶最著名的贡献之一就是他提出了一种用三角形三边长度计算面积的公式。

这一公式至今仍被广泛应用于数学教学和实际问题的解决中。

其公式为：设三角形的三条边长分别为a、b、c，半周长为s，则三角形的面积S可以用以下公式计算：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]二、深度和广度的探讨在探讨秦九韶提出的三角形三边求面积的公式时，我们可以从浅入深，由简到繁地进行探讨。

我们可以从三角形的基本概念出发，介绍三角形的定义和性质，然后引入秦九韶的公式，说明其原理和推导过程。

可以通过实例和应用展示这一公式的实际价值，最后深入讨论公式的数学意义和推广等方面。

通过这样的探讨方式，可以帮助读者更深入地理解秦九韶的贡献和这一数学公式的重要性。

三、个人观点和理解我个人认为，秦九韶提出的三角形三边求面积的公式是一项具有里程碑意义的数学成就。

这一公式不仅简洁、优美，而且在数学教学和实际问题的求解中具有广泛应用价值。

通过学习和理解这一公式，我们可以更好地掌握三角形的性质和面积计算方法，提高数学运算能力和动手能力。

总结和回顾通过本文的全面评估，我们对秦九韶提出的三角形三边求面积的公式有了深刻的理解。

我们不仅了解了公式的基本原理和推导过程，还通过实例和应用认识到了这一公式在数学和实际问题中的重要作用。

我们也分享了个人对这一公式的观点和理解，以及对秦九韶的敬佩之情。

秦九韶数学家故事秦九韶(1208—1261?)，字道古，自称鲁郡(今山东)人，生于普州安岳(今四川)。

他于1247年完成《数书九章》，提出大衍总数术，系统解决了一次同余方程组解法，直到近代，数学大师欧拉、高斯才达到或超过其水平;他提出正负开方术，把求高次方程正根的方法发展到十分完备的程度，而欧洲在19世纪才创造出这种方法。

他是宋元数学高潮的主要代表人物之一。

对于秦九韶的人品，历来褒贬不一。

同代人刘克庄说他“暴如虎狼，毒如蛇蝎”，稍后周密的记载也是负面的。

清代学者焦循等为秦九韶辩诬，认为他是“瑰奇有用之才”。

1946年余嘉锡发表《南宋算学家秦九韶事迹考》，以刘克庄的奏状与周密的《癸辛杂识》互相印证，说秦九韶的罪状“固非横肆诬蔑”。

此后，钱宝琮则说秦九韶“为人阴险，为官贪暴”。

20世纪下半叶这种观点在学术界一直占据主导地位。

然而，如果认真研究一下秦九韶的《数书九章·序》，尤其是其中的九段“系”，那么一位正直的秦九韶的形象便会展现在我们面前。

秦九韶将数学的作用概括为“通神明，顺性命”和“经世务，类万物”大、小两个方面。

然而，他通过自己的数学研究坦承对其“大者”“肤末于见”，而专注于“小者”。

这反映了他具有实事求是，不慕虚荣的科学精神。

秦九韶非常关心国计民生，把数学作为解决生产、生活中实际问题的有力工具，涉及数学方法在国计民生各方面的应用问题，充分表现了他对国家、民众有强烈的责任心。

更重要的是，秦九韶强烈反对政府的横征暴敛，豪强的强取豪夺，大商贾的囤积居奇，主张施仁政的思想贯穿于整个《数书九章》之中。

他的九段“系”文明确谈到“仁”或“施仁政”的有四次：“苍姬井之，仁政攸在”;“惟仁隐民，犹己溺饥”;”彼昧弗察，惨急烦刑。

去理益远，吁嗟不仁”;“师中之吉，惟智仁勇”。

还有，秦九韶主张抗金、抗蒙，在《数书九章》中特设“军旅”类，有十一个军旅问题，要用到勾股、重差、开方等比较高深的方法，这在中国古代是罕见的。

杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。

在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多。

他著名的数学书共五种二十一卷。

著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通变本末》三卷（1274年）、《田亩比类乘除算法》二卷（1275年）、《续古摘奇算法》二卷（1275年）。

杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和发展，有的还编成了歌决，如九归口决。

他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的"纵横图"及有关的构造方法，同时"垛积术"是杨辉继沈括"隙积术"后，关于高阶等差级数的研究。

杨辉在"纂类"中，将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类。

他非常重视数学教育的普及和发展，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的"习算纲目"是中国数学教育史上的重要文献。

刘徽刘徽（生于公元250年左右），他的生活年代主要是在三国时期。

其出生地大约为今山东淄博市淄川人。

刘徽是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产．《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法．在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明．在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献．他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根．在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法．在几何方面，提出了“割圆术”，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果．刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．《海岛算经》一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目．刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富．张邱建张邱建，北魏数学家，贝州清河人。

数学家秦九韶简介_秦九韶算法简介秦九韶(1208年-1261年)，字道古，汉族，生于普州安岳(今四川省安岳县)。

南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。

秦九韶提出的秦九韶算法是中世纪的数学泰斗。

下面是店铺为你搜集数学家秦九韶简介的相关内容，希望对你有帮助!数学家秦九韶简介作为著名数学家秦九韶来说，他并不是一出生就是数学家，而是凭借着自己对数学方面的喜好和勤奋好学。

在他小时候就很是聪敏勤学，宋绍定四年的时期，秦九韶考中进士，他每每在政务之余，就会对数学进行潜心钻研。

除此之外，他还喜欢广泛的搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分析和研究。

他曾在为母亲守孝时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数学九章》，并创造了“大衍求一术”。

被称为“中国剩余定理”。

而其中他所论的“正负开方术”，还被称之为“秦九韶程序”。

他之所以能够成为著名的数学家，跟他的父亲是有密切联系的。

当时他的父亲担任工部郎中和秘书少监的期间，正好是他努力学习和积累知识的时候。

而他的父亲正好掌管营建，以及图书，在他的下属机构还设有太史局，因此，他便有机会阅读大量典籍，同时还可以拜访天文历法和建筑等方面的专家，请教天文历法和土木工程问题。

此外，他又曾向“隐君子”学习数学，向著名词人李刘学习骈俪诗词，并达到较高水平。

秦九韶算法秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法。

在西方则被称作霍纳算法。

它也是中国古代著名和伟大的数学家、中世纪的数学泰斗---秦九韶的算法理论之一。

秦九韶算法具体是将一种将一元n次多项式的求值问题转化为n 个一次式的算法。

它的解答方法大大简化了整个的计算过程，即便是在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法。

而“秦九韶算法”的主人公则是著名人物秦九韶。

他是南宋末年人，出生帝是在鲁郡。

早年曾从隐君子学数术，后因其父往四川做官，便跟随父迁徙。

78 \China Science & Technology Education Column专 栏［中国科技教育史话］奇人秦氏九韶奇书《数书九章》首创“大衍求一”媲美《九章算术》“正负开方”两术誉称两部九章 王渝生，中国科学院理学博士，教授，博士生导师，国家教育咨询委员会委员，中国科普产学研创新联盟副理事长，中国科学院自然科学史研究所原副所长，中国科学技术馆原馆长，北京市科学技术协会原副主席。

2020年6月5日，经实施四川历史名人文化传承创新工程领导小组会议审议通过，确定文翁、司马相如、陈寿、常璩、陈子昂、薛涛、格萨尔王、张栻、秦九韶、李调元（按年代排序）10位为第2批四川历史名人。

其中，南宋数学家秦九韶（1208—1268）因其数学名著《数书九章》（1247）而入选。

2天后，6月7日，我约当年《秦九韶籍贯考》考证秦氏为四川安岳人的内江市原副市长邵启昌同赴安岳秦九韶纪念馆考察，受到安岳县人大常委会副主任谢贻奎等领导热情接待。

回想1987年在北京师范大学举行的“纪念秦九韶《数书九章》成书740周年国际学术研讨会”（国内又称“全国第一次秦九韶学术研讨会”）上，当时尚为四川省内江市数学教师的邵启昌的论文《秦九韶籍贯考》，力排“鲁郡”山东、河南范县或陕西“秦凤间”的误传，一锤定音，确定了秦九韶是四川普州即今安岳县人。

2000年，我们参与组织了“秦九韶纪念馆落成典礼暨全国第二次秦九韶学术研讨会”。

当时我请中国科学院院长路甬祥题写的馆名“秦九韶纪念馆”还悬挂在纪念馆大门上，我撰文的碑刻《秦九韶其人其书》和邵启昌撰文的碑刻《数书九章 中华之光》仍在纪念馆大厅内秦九韶塑像两侧，迄今已整整20年了。

现在秦九韶纪念馆已被命名为四川省爱国主义教育基地、四川省科普教育基地和四川师范大学数学史教育研究基地，每年前来参观的青少年学生和外地游客络绎不绝。

秦九韶从小生活在家乡安岳，进士出身的父亲秦季槱是一位学识渊博、办事极为认真的知识分子，他对孩子因材施教，特色教导，助推秦九韶稳步成长。

世界十大数学家简介1.亚历山大里亚的欧几里得（：Ευκλειδη，约公元前330年—前275年），，被称为“几何之父”。

他活跃于（前323年－前283年）时期的亚历山大里亚，他最着名的着作《》是的基础，提出五大公设，发展，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。

欧几里得也写了一些关于、、及的作品。

2.刘徽（生于公元２５０年左右）山东人，中国古代伟大的数学家。

他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产。

刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的规则。

提出了“割圆术”，并用“割圆术”求出圆周率π为3.14。

刘徽在割园术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与园合体而无所失矣”被视为中国古代极限观念的佳作。

3.秦九韶（公元1202－1261），字道古，人。

秦九韶与、、并称。

宋淳祜四至七年（1244至1247），他在为母亲守孝时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨着《数书九章》，并创造了“”。

这不仅在当时处于世界领先地位，在近代数学和现代电子计算设计中，也起到了重要作用，被称为“中国剩余定理”。

他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”。

现在，世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。

秦九韶在数学方面的研究成果，比英国数学家取得的成果要早800多年。

4.勒奈·笛卡尔（Rene Descartes）,1596年3月31日生于城。

笛卡尔是伟大的家、物理学家、数学家、生理学家。

笛卡尔最杰出的成就是在数学发展上创立了解析几何学。

在笛卡儿时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。

笛卡儿致力于代数和几何联系起来的研究，于1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学。

他的这一成就为的创立奠定了基础。

解析几何直到现在仍是重要的数学方法之一。

5.费马(Pierre de Fermat，1601～1665）法国着名数学家，被誉为“之王”。

初一数学春季课程秦九韶（约公元1202年至1261年）系南宋普州（安岳）人，字道古，四川安岳人。

父季据，进士出身，曾任工部侍郎、秘书省秘书少监。

秦九韶自己曾任和州(今安徽和县)、琼州(今海南琼县)、薪州(今湖北薪春)、建康(今江苏南京)通判。

1261年左右被贬至梅州（今广东梅县），不久死于任所。

他与李冶，杨辉，朱世杰并称宋元数学四大家。

秦氏成才之路有三：其一是因为他父亲长期从政，他自己也出任地方行政官吏，在行政管理工作中，广泛接触工程技术、农田水利、海运交通、钱粮经济、商品交易、军事后勤等工作，为他著作《数书九章》采集素材提供有利条件。

其二，据《数书九章》秦氏自序说：“早岁侍亲中都，因得访习于太史。

”这当是在他父亲任秘书少监职时事，秦九韶向制订历法官员学习造历知识。

其三，《数书九章》秦氏自序还说：“尝从隐君子受数学”，隐君子是谁，未详姓名，很可能是一位学识渊博的学者，所以秦九韶在数学上的创造发明、其来有自：家学渊源、本人工作实践，刻苦钻研以及良师益友间互相切磋质疑问难。

1247年（淳佑七年）著成《数书九章》,全书18卷，81题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。

这是一部划时代的巨着，它总结了前人在开方中所使用的列筹方法，将其整齐而有系统地应用到高次方程的有理或无理根的求解上去，其中对“大衍求一术”和“正负开方术”等有十分深入的研究。

“大衍求一术”和“正负开方术”比欧美国家早600年，代表中世纪数学发展的主流，并将中国古代数学推向了顶峰，是世界最伟大的数学家之一。

1．如果□×（﹣3ab ）=9a 2b 2，则□内应填的代数式是（ ） A ．3abB ．﹣3abC ．3aD ．﹣3a2．在（2x 2﹣3x ）（x 2+ax +b ）的结果中，x 3的系数为﹣5，x 2的系数为﹣6，则a ，b 的值是（ ） A ．a =1，b =﹣15 B ．a =﹣4，b =3 C ．a =﹣1，b =﹣4.5D ．a =﹣2.5，b =63．已知7x 3y 2与一个多项式之积是28x 4y 2+7x 4y 3﹣21x 3y 2，则这个多项式是 ．第 4 讲 平方差公式与完全平方公式4．计算： （1）﹣32+（﹣12）﹣2+（2017﹣π）0﹣|﹣2|； （2）[5x 2•2xy 6+（2xy 2）3]÷（4x 2y 3）．考查角度1：平方差公式（常考点）例1．下列各式：①（﹣a ﹣2b ）（a +2b ）；②（a ﹣2b ）（﹣a +2b ）；③（a ﹣2b ）（2b +a ）；④（a ﹣2b ）（﹣a﹣2b ），其中能用平方差公式计算的是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④例2．等式（﹣x 2﹣y 2）（ ）=y 4﹣x 4成立，括号内应填入下式中的（ ） A ．x 2﹣y 2B ．y 2﹣x 2C ．﹣x 2﹣y 2D ．x 2+y 2一、平方差公式1．平方差公式：22()()+-=-a b a b a b ；即两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.推导过程：2222()()+-=-+-=-a b a b a ab ab b a b2．平方差公式的特点：（1）左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项(a )完全相同，另一项(b 和﹣b )互为相反数. （2）右边是乘积中两项的平方差（相同项的平方减去符号相反项的平方） （3）公式中的a 和b 可以为具体数，也可以是单项式或多项式.典例分析初一数学春季课程例3．为了应用平方差公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1），下列变形正确的是（）A．[x﹣（2y+1）]2B．[x+（2y+1）]2C．[x﹣（2y﹣1）][x+（2y﹣1）] D．[（x﹣2y）+1][（x﹣2y）﹣1] 例4．整式的乘法计算．（1）103×97 （2）（13x+y）（13x﹣y）（19x2+y2）（3）（2x﹣3y）（3y+2x）﹣（4y﹣3x）（3x+4y）考查角度2：平方差公式的几何背景（重难点）例5．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（）A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab﹣b2D．a2﹣ab=a（a﹣b）例6．乘法公式的探究及应用．（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是，长是，面积是．（写成多项式乘法的形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式．（用式子表达）（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：①10.3×9.7 ②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）考查角度3：平方差公式的应用（重难点）例7．从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为a 米的正方形土地租给马老汉栽种．过了一年，他对马老汉说：“我把你这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道马老汉吃亏了．请运用本学期相关知识分析一下马老汉租用的土地面积亏了 平方米．例8．计算：（1）1234567892﹣123456788×123456790．（2）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．（3）1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．（4）（1﹣212）（1﹣213）（1﹣214）…（1﹣211004）【点拨迷津】初一数学春季课程考查角度1：完全平方公式（常考点） 例1．下列等式能够成立的是（ ） A ．（2x ﹣y ）2＝4x 2﹣2xy +y 2 B ．（x +y ）2＝x 2+y 2 C ．（12a ﹣b ）2＝14a 2﹣ab +b 2 D ．（1x+x ）2＝21x +x 2例2．计算（﹣2m ﹣1）2等于（ ） A ．﹣4m 2﹣4m +1 B ．4m 2﹣4m +1 C ．4m 2+4m +1D ．﹣（4m 2﹣4m ﹣1）例3．若（x +m ）2＝x 2﹣6x +n ，则m 、n 的值分别为（ ） A ．3，9B ．3，﹣9C ．﹣3，9D ．﹣3，﹣9例4．若x 2﹣2（a ﹣3）x +25是完全平方式，那么a 的值是（ ） A ．﹣2，8 B ．2 C ．8 D ．±2二、完全平方公式1. 完全平方公式：222()2++a+b =a ab b ，222()2--+a b =a ab b ；即两个数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍，这两个公式称为完全平方公式. 2. 完全平方公式的特点： （1）两个公式的左边都是一个二项式的完全平方的形式，二者仅有一个“符号”不同（2）两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同.（3）公式中的a 和b 可以为具体数，也可以是单项式或多项式. 3. 常见的变形公式： 222()2+-①a b =a+b ab 222()2+-+②a b =a b ab 2222()()-+③ab=a+b a b2222()()+--④ab=a b a b22()()4-+⑤a+b =a b ab 22()()4-+-⑥a b =a b ab典例分析例5．多项式4a2+1加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这个单项式不能是（）A．4a B．﹣4a C．4a4D．﹣4a4例6．化简（1）[（x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣2y2]÷（2x）（2）（a+2b﹣1）2考查角度2：完全平方公式的几何背景（重难点）例7．如图对一个正方形进行了分割，通过面积恒等，能够验证下列等式（）A．（x+y）2＝x2+2xy+y2B．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）C．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2D．（x﹣y）2+4xy＝（x+y）2例8．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．a（a+b）＝a2+abD．a（a﹣b）＝a2﹣ab例9．图（1）是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图（2）的形状拼成一个正方形．（1）你认为图（2）中阴影部分的正方形的边长等于多少？；（2）请用两种不同的方法求图（2）中阴影部分面积．方法一：；方法二：；（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，4mn．；（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝7，ab＝5，求（a﹣b）2的值．初一数学春季课程考查角度3：完全平方公式的应用（重难点）例10．用简便方法计算（1）992．（2）20172﹣2017×4032+20162．例11．已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝81，求x2+y2和xy的值．例12．已知a，b是有理数，试说明a2+b2﹣2a﹣4b+8的值是正数．扫码答疑解惑例13．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0∴m+n＝0，n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3问题（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求x y的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．1．计算（a ﹣b ）（﹣a +b ）的结果等于（ ） A ．﹣a 2﹣b 2B ．a2+2ab +b 2C ．a 2﹣b 2D ．﹣a 2+2ab ﹣b 22．计算：1252﹣50×125+252＝（ ） A ．10000B ．100C ．22500D ．1503．若（2a ﹣3b ）2＝（2a +3b ）2+N ，则表示N 的代数式是（ ） A ．12abB ．﹣12abC ．24abD ．﹣24ab4．若a +b ＝10，ab ＝11，则代数式a 2﹣ab +b 2的值是（ ） A ．89 B ．﹣89C ．67D ．﹣675．（14m 3+2n ）（14m 3﹣2n ）+（2n ﹣4）（4+2n ）的值为（ ） A ．与m 无关 B ．与n 无关 C ．与m ，n 无关 D ．与m ，n 有关6．化简（a +b +c ）2﹣（a ﹣b +c ）2的结果为（ ） A ．4ab +4bcB ．4acC ．2acD ．4ab ﹣4bc7．如图，在边长为2a 的正方形中央剪去一边长为（a +2）的小正方形（a ＞2），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（ ） A ．a 2+4 B ．2a 2+4aC ．3a 2﹣4a ﹣4D ．4a 2﹣a ﹣2举一反三【点拨迷津】初一数学春季课程8．已知a+b+c＝6，ab+ac+bc＝11，则a2+b2+c2的值为（）A．13 B．14 C．15 D．169．如果（x+y﹣3）2+（x﹣y+5）2＝0，则x2﹣y2＝．10．一个正方形的面积是（a2+8a+16）cm2，则此正方形的边长是cm．11．2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）﹣364的值是．12．若（7x﹣a）2＝49x2﹣bx+9，则|a+b|＝．13．计算（1）a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2（2）（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b214．张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题：（1）验证规律：设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），则它们的平方差是8的倍数；（2）拓展延伸：“两个连续偶数的平方差是8的倍数”，这个结论正确吗？正确请证明，不正确请举反例．【总结回顾】初一数学春季课程421．计算20172﹣2016×2018的结果是（ ）A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．12．计算（x ﹣1）（﹣x ﹣1）的结果是（ ）A ．﹣x 2+1B ．x 2﹣1C ．﹣x 2﹣1D ．x 2+13．若关于x 的二次三项式x 2﹣ax +36是一个完全平方式，那么a 的值是（ ）A ．12B ．±12C ．6D ．±64．若代数式x 2﹣10x +k 2是一个完全平方式，则k ＝（ ）A ．25B ．25或﹣25C ．10D ．5或﹣55．若M •（3x ﹣y 2）＝y 4﹣9x 2，则多项式M 为（ ）A ．﹣（3x +y 2）B ．﹣y 2+3xC ．3x +y 2D ．3x ﹣y 26．（a ﹣b +c ）（a ﹣b ﹣c ）的计算结果是（ ）A ．a 2﹣b 2+c 2B ．a 2+b 2﹣c 2C ．a 2﹣2ab +b 2﹣c 2D ．a 2﹣2ac +c 2﹣b 27．计算（x +2）2（x ﹣2）2的结果是（ ）A ．x 2﹣16B ．x 4+8x 2+16C ．x 4﹣8x 2+16D ．x 4+16 8．如果a ，b ，c 满足a 2+2b 2+2c 2﹣2ab ﹣2bc ﹣6c +9＝0，则abc 等于（ ）A ．9B ．27C ．54D ．819．若a ﹣b ＝13，a 2﹣b 2＝39，则（a +b ）2＝ ．10．18908999＝ ． 11．若a ﹣b ＝1，ab ＝6，则a 2+b 2＝ ．12．多项式x 2+y 2﹣6x +8y +7的最小值为 ．13．用乘法公式进行简便运算：（1）10032；（2）20102﹣2011×2009．基础巩固高效课堂 源于优教4314．已知大正方形的周长比小正方形的周长长96厘米，它们的面积相差960平方厘米，分别求出大正方形和小正方形的边长．15．因为a •1a ＝1，所以（a +1a ）2＝a 2+2a •1a +（1a ）2＝a 2+21a +2，① （a ﹣1a ）2＝a 2﹣2a •1a +（1a）2＝a 2+21a ﹣2 ② 所以由①得：a 2+21a ＝（a +1a ）2﹣2或由②得：a 2+21a ＝（a ﹣1a ）2+2 那么a 4+41a ＝（a 2+21a）2﹣2 试根据上面公式的变形解答下列问题： （1）已知a +1a ＝2，则下列等式成立的是 ①a 2+21a ＝2；②a 4+41a ＝2；③a ﹣1a ＝0；④（a ﹣1a）2＝2； A ．① B ．①② C ．①②③ D ．①②③④（2）已知a +1a ＝﹣2，求下列代数式的值： ①a 2+21a ；②（a ﹣1a）2；③a 4+41a16．已知a =2016，b =2017，c =2018，求a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc 的值．拓展训练初一数学春季课程44限，毕竟一群恐龙好端端突然死掉并形成化石的事儿也没那么容易出现恐龙当年真实的生活方式呢？答案是龙足迹，就能够破解出“当事龙学（北京）的邢立达副教授带领考察团队，在中国山东郯城对一大批恐龙足迹进行了研究和鉴定。