传热学第二章

19
In-Class Problems
在任意直角坐标系下，对于以下两种关于第三类边界条件的表 达形式，你认为哪个对？简述理由。
t x
tw
h(t f t w )
w
tf
t x h(t w t f )
w
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20
Quick Review：
1 重要概念：温度场、温度梯度、导热系数及其性质、 导温系数（热扩散率）定义及性质；
体的导热
2-4 通过肋片的导热
2-5 具有内热源的导热及多维导热
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§2-3 通过平壁，圆筒壁，球壳和其它变截面物体的导热
本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平板和 圆柱内的导热。 直角坐标系：
c
t t t t ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
2 导热微分方程式的理论基础及推导过程
3 导热微分方程式的一般形式、组成、及在推导给定条 件下的具体形式；
4 灵活运用导热微分方程，如温度的空间分布通过导热 方程与时间分布建立联系等 5 定解条件？边界条件？三类边界条件的数学表达式？
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第二章 导热基本定律及稳态导热
2-1 导热基本定律 2-2 导热微分方程式及定解条件 2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物
Φxdx
dy
Φ y dy Φ y
Φ z dz
t ( )dxdydz y y
y o x
t Φz ( )dxdydz z z
Φy
dx
Eout
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t t t Ein ( ) ( ) ( ) dxdydz x x y y z z

(2-32)
热阻
R=
1 1 1 ( 4πλ r r2 1
(2-33)
由球坐标系一般形式的导热微分方程
1 T 1 T 1 T T (λr2 + 2 2 (λ ) + 2 (λ sin θ ) + Φ = ρcp r2 r r) r sin θ r sin θ θ θ τ
2 1
λ1
第二章
导热基本定律及稳态导热
2-3 通过平壁,圆筒壁,球壳和其他变截面物体的导热 通过平壁,圆筒壁,
1 T 1 T T T (λr + 2 (λ ) + (λ ) + Φ = ρcp τ r r r) r z z d dt 简化变为 dr (r dr ) = 0 (2-25)
⒉ 通过圆筒壁的导热 由导热微分方程式(2—12)
⒉ 通过圆筒壁的导热 根据热阻的定义,通过整个圆筒壁的导热热阻为 (2-29) 29) 与分析多层平壁—样,运用串联热阻叠加的原则,可得通过图2-9所示的多层圆筒壁的 导热热流量 2πl(t1 t4 ) Φ= (2-30) ln( d2 / d1) / λ1 + ln( d3 / d2 ) / λ2 + ln( d4 / d3) / λ3 ⒊ 通过球壳的导热 导热系数为常数,无内热源的空心球壁.内,外半径为r1,r2,其内外表面均匀 恒定温度为t1,t2,球壁内的温度仅沿半径变化,等温面是同心球面. 由傅立叶定律得: dt 各同心球面上的热流率q不相等,而热流量Φ相等. Φ = 4πr2λ dr dr Φ 2 = 4πλdt r
的热传导微分方程:
T(r,τ ) τ ρc 当 λ = const 时, 2T(r,τ ) + Φ = p T(r,τ ) λ λ τ [λT(r,τ )] + g(r,τ ) = ρcp

断面周长： 断面面积：
进行负内热源处理后等截面直肋导热微分方程组如下：
（假定肋端绝热）
定义： 令：
—— 过余温度
使导热微分方程齐次化：
并解出其通解为：
代入边界条件求出c1和c2，并代入通解，得出特解：
等截面直肋的温度分布：
肋端过余温度：
肋片散热量：
当考虑肋端散热时，计算肋片散热量时可采用假想肋高
n层圆筒壁的单位管长热流量：
二、第三类边界条件
常物性时导热微分方程组如下：
根据第一类边界条件时的结果: （此时壁温tw1和tw2为未知） 与以上两个边界条件共三式变形后 相加,可消去tw1和tw2，得：
单层圆筒壁的单位管长热流量：
三、临界热绝缘直径
有绝缘层时的管道总热阻：
当dx增大时： 增 大 减 小
代入肋片效率定义，得到：
肋片效率计算式：
m和l对肋片效率的影响分析：
a. m一定时，l越大，Φ越大，但ηf越低
采用长肋可以提高散热量，但却使肋片散热有效性降低
b. l一定时，m越大，ηf越低
可采用变截面肋片设法降低m
根据肋片效率计算散热量的方法（查线图法）：
矩形及三角形直肋的肋片效率
环肋的肋片效率
h较小时
应用实例：细管，电线 电线的绝缘层外直径小于临界热绝缘直径时， 可起到散热作用
第四节 具有内热源的平壁导热
应用领域：混凝土墙壁凝固
研究对象：厚度为2δ的墙壁，内热源强度为qv， 两边为第三类边界，中间为绝热边界， 取墙壁的一半为研究对象建立导热微分方程 常物性时导热微分方程组如下：
积分两次，得：
《传热学》
第二章 稳态导热
导热微分方程：
稳态时满足：

第二章热传导一、名词解释1．温度场：某一瞬间物体内各点温度分布的总称。

一般来说，它是空间坐标和时间坐标的函数。

2．等温面(线)：由物体内温度相同的点所连成的面（或线）。

3．温度梯度：在等温面法线方向上最大温度变化率。

4．热导率：物性参数，热流密度矢量与温度降度的比值，数值上等于1 K／m的温度梯度作用下产生的热流密度。

热导率是材料固有的热物理性质，表示物质导热能力的大小。

5．导温系数：材料传播温度变化能力大小的指标。

6．稳态导热：物体中各点温度不随时间而改变的导热过程。

7．非稳态导热：物体中各点温度随时间而改变的导热过程。

8．傅里叶定律：在各向同性均质的导热物体中，通过某导热面积的热流密度正比于该导热面法向温度变化率。

9．保温(隔热)材料：λ≤0.12 W/(m·K)(平均温度不高于350℃时)的材料。

10．肋效率：肋片实际散热量与肋片最大可能散热量之比。

11．接触热阻：材料表面由于存在一定的粗糙度使相接触的表面之间存在间隙，给导热过程带来额外热阻。

12．定解条件(单值性条件)：使微分方程获得适合某一特定问题解的附加条件，包括初始条件和边界条件。

二、填空题1．导热基本定律是_____定律，可表述为。

（傅立叶，）2．非稳态导热时，物体内的_____场和热流量随_____而变化。

（温度，时间）3．导温系数的表达式为_____，单位是_____，其物理意义为_____。

（a=λ/cρ,m2/s,材料传播温度变化能力的指标）4．肋效率的定义为_______。

（肋片实际散热量与肋片最大可能散热量之比。

）5．按照导热机理，水的气、液、固三种状态中_______态下的导热系数最小。

（气）6．一般，材料的导热系数与_____和_____有关。

（种类，温度）7．保温材料是指_____的材料.（λ≤0.12 W/(m·K)(平均温度不高于350℃时)）8．已知材料的导热系数与温度的关系为λ＝λ0(1+bt)，当材料两侧壁温分别为t1、t2时，其平均导热系数可取下的导热系数。

t t t t c Φ x x y y z z
3、常物性且稳态:
2t 2t 2t Φ a 2 2 2 0 x y z c
如果边界面上的热流密度保持为常数，则 q | w 常数 当边界上的热流密度为零时，称为绝热边界条件
t t qw 0 0 n w n w
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（3）第三类边界条件 给出了物体在边界上与和它直接接触的流体之 间的换热状况。 根据能量守恒，有：
返回
2.1.1 各类物体的导热机理
气体：气体分子不规则热运动时相互碰撞的结果，高温的气体分子运 动的动能更大 固体：自由电子和晶格振动 对于导电固体，自由电子的运动在导热中起着重要的作用，电的良导 体也是热的良导体 对于非导电固体，导热是通过晶格结构的振动，即原子、分子在其平 衡位置附近的振动来实现的
返回
2.2.2 定解条件
导热微分方程式是能量守恒定律在导热过程中的应用，是一切导热 过程的共性，是通用表达式。 完整数学描述：导热微分方程 + 定解条件 定解条件包括初始条件和边界条件两大类，稳态问题无初始条件 初始条件：初始时刻的状态表示为： =0，t =f (x,y,z)
边界条件： 给出了物体在边界上与外界环境之间在换热上的联系或相互作用
2、推导基本方法：傅里叶定律 + 能量守恒定律 在导热体中取一微元体
进入微元体的总能量+微元体内热源产生的能量-离开微元体的总能量= 微元体内储存能的增加
11
Ein Eg Eout Es
d 时间段内：
Ein Φx Φy Φz d Eiout Φxdx Φy dy Φz dz d

根据第一类边界条件时的结果:
dt tw1 tw2 1
（此时壁温tw1和tw2为未知）
dr
ln r1 r
r2
与以上两个边界条件共三式变形后
相加,可消去tw1和tw2，得：
单层圆筒壁的单位管长热流量：
ql
tf1 tf2 1 1 ln r2 1
tf1 tf 2
1 1 ln d 2 1
h1 2r1 2 r1 h2 2r2 h1d1 2 d1 h2d 2
x h2 t x t f 2
根据第一类边界条件时的结果: （此时壁温tw1和tw2为未知）
q dt tw1 tw2 dx
与以上两个边界条件共三式变形后 相加,可消去tw1和tw2，得：
单层平壁的热流密度：
q
tf1 tf2
1 1
k tf1 tf2
h1 h2
多层平壁的热流密度：
接触热阻的定义：
Rc
tc
接触热阻的影响因素： 粗糙度
挤压压力 硬度匹配情形 空隙中介质的性质
减小接触热阻的措施： 表面尽量平整 增加挤压压力
两表面一软一硬 涂导热姆
第七节 二维稳态导热
应用领域：房间墙角，地下埋管，矩形保温层，短肋片
二维稳态导热微分方程：
2t x2
2t y 2
0
解析法
二维稳态导热问题的研究手段：
几种导热过程的形状因子
第二章重点：
1.各种稳态导热问题的数学模型 和求解方法
2.临界热绝缘直径问题
3.肋片性能分析
请同学们思考一个问题:
肋高越大，肋的散热面积越大，因而采用 增加肋高的方法可以增加肋的散热量。这 种方法在实际换热器设计中是否可行？若 可行，是否会有某些局限性？

习题平板2-1 用平底锅烧开水，与水相接触的锅底温度为111℃，热流密度为424002/m W 。

使用一段时间后，锅底结了一层平均厚度为3mm 的水垢。

假设此时与水相接触的水垢的表面温度及热流密度分别等于原来的值，试计算水垢与金属锅底接触面的温度。

水垢的导热系数取为1W/(m.K)。

解：由题意得424001003.0111=-=w t q ＝w/m 2所以t=238.2℃2-2 一冷藏室的墙由钢皮矿渣棉及石棉板三层叠合构成，各层的厚度依次为0.794mm.,152mm 及9.5mm ，导热系数分别为45)./(K m W ,0. 07)./(K m W 及0.1)./(K m W 。

冷藏室的有效换热面积为37.22m ，室内外气温分别为-2℃及30℃，室内外壁面的表面传热系数可分别按1.5)./(2K m W 及2.5)./(2K m W 计算。

为维持冷藏室温度恒定，试确定冷藏室内的冷却排管每小时需带走的热量。

解：由题意得332211212111λδλδλδ++++-⨯=Φh h t t A ＝2.371.00095.007.0152.045000794.05.215.11)2(30⨯++++--＝357.14W357.14×3600＝1285.6KJ2-3有一厚为20mm 的平板墙，导热系数为1.3)./(K m W 。

为使每平方米墙的热损失不超过1500W,在外表面上覆盖了一层导热系数为0.12)./(K m W 的保温材料。

已知复合壁两侧的温度分别为750℃及55℃，试确定此时保温层的厚度。

解：依据题意，有150012.03.1020.0557502221121≤+-=+-=δλδλδt t q ，解得：m 05375.02≥δ 2-4 一烘箱的炉门由两种保温材料A 及B 组成，且B A δδ2=(见附图)。

已知)./(1.0K m W A =λ,)./(06.0K m W B =λ,烘箱内空气温度4001=f t ℃，内壁面的总表面传热系数)./(501K m W h =。

温度是标量，因而温度场是标量场
4
2.1 基本概念和导热基本定律
2.1.1 温度场
从不同的角度对温度场进行分类： 按温度场是否随时间变化，可分为:
稳定(Steady-state)温度场：物体内各点温度不随时间 变化——稳态导热
t f (x, y, z)
稳态温度场、定常温度场
5
2.1 基本概念和导热基本定律
提出的， 傅里叶是导热理论的奠基人，他通过实验， 分析和总结了物体内的导热规律，建立了傅立叶导热 定律。
19
2.1 基本概念和导热基本定律
2.1.3 导热的基本定律
Fourier定律的表述： 在任意时刻，各向同性连续介质内任意位置处的热
流密度在数值上与该点的温度梯度成正比，但方向相反
q gradt t n
❖ 实验表明，除了甘油和0～120℃范围内的水以外，其他 液体的导热系数值随温度升高而减小
❖ 压力变化对液体导热系数的影响很小，通常可以忽略
43
2.2 物质的导热特性
液体中液态金属和电解液是一类特殊的液体 ——依靠原子的运动和自由电子的迁移来传递热量，导热
系数要比一般非金属液体大10～1000倍
44
q gradt t n
n
❖ 热流密度是一个矢量 与温度梯度位于等温线同一的法线上 方向相反，永远指向温度降低的方向
❖ 在直角坐标系下，热流密度矢量可表示为
q qxi qyj qzk 22
2.1 基本概念和导热基本定律
2.1.3 导热的基本定律
温度梯度和热流密度矢量、等温线和热流线间的关系
湿量等 ❖ 有些材料，如木材、结构体、胶合板等还与方向有关
（各向异性材料）有关
30
2.2 物质的导热特性

t
无内热源，λ为常数，并已知平 t1
壁的壁厚为，两个表面温度分别 维持均匀而恒定的温度t1和t2
t2
c t ( t ) Φ x x
d 2t dx2
0
o
x 0,
x ,
t t
t1 t2
x
直接积分，得：
dt dx
c1
t c1x c2
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带入边界条件：
c1
t2
t1
c t
1 r2
r 2
r
t r
1
r 2 sin
sin
t
r2
1
sin 2
t
Φ
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6 定解条件 导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能 量守恒。 它描写物体的温度随时间和空间变化的关系； 没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件
4
2 等温面与等温线
①定义
等温面：温度场中同一瞬间同温度各点连成的 面。 等温线：在二维情况下等温面为一等温曲线。
t+Δt t
t-Δt
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5
②特点
t+Δt t
t-Δt
a) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交
b)在连续的温度场中，等温面或等温线不会中
止，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲
它反映了物质微观粒子传递热量的特性。
不同物质的导热性能不同：
固体 液体 气体
金属 非金属
金属 12~418 W (m C) 非金属 0.025 ~ 3W/(mC)
合金 纯金属

（2）该平壁热力学能的变化速率；
λсρ
（3）x=0m和x=0.5m两处温度 随时间的变化速率。
t w1 t=450-320x-160x2
ΦV
t w2
0 δ 0.5 x
2.3 典型一维稳态导热问题的分析解
2.3.1 通过平壁的导热
h (8 ~ 10)
1. 第一类边界条件下单层平壁的导热
假设；大平壁λ= 常数，表面积A，厚度δ，
无内热源，平壁两侧维持均匀恒定
温度 tw1, tw2，且tw1> tw2。
t
A
λ
确定（1）平壁内的温度分布；
tw1
（2）通过此平壁的热流密度。
tw2 ф
0 x dx δ x
导热数学描述（导热微分方程+边界条件）
d 2t dx2
0
B.C x 0 t tw1
t
A
λ
tw1
x t tw2
tw2
求解微分方程，得通解：
dx
t
A
λ
tw1
tw2 ф
0 x dx δ x
大小和方向
结论
t
tw1
tw1
tw2
x
q tw1 tw2
✓ 当λ= 常数时，平壁内温度分布呈线性分布，
且与λ无关。
t
✓ 通过平壁内任何一个等温面的
A tw1
λ
热流密度均相等，与坐标x无关。
✓ 导热热阻（Conductive resistance）
1. 定义：温度场描述了各个时刻物体内所有各点 的温度分布。
t f ( x, y, z, )
2. 分类：
按温度场是否随时间变化
• 稳态温度场： t 0

△n
Δn0 Δn n
温度梯度和热流密度
•温度梯度是向量，垂直于等温面， 正向朝着温度增加的方向；
•温度梯度的方向是温度变化率最大的方向。
t t n m
温度梯度的解析定义：
温度场 t f (x, y, z) 中点(x, y, z) 处的温度梯度：
gradt t i t j t k x y z
温度梯度垂直于等温面吗？
设等温面方程： t f (x, y, z) c 在点 (x, y, z)处,等温面的法线向量n n ( t , t , t ) x y z gradt 平行于 n
梯度方向垂直于等温面。
两个定义一致，解析定义便于计算
（4） 热流密度
热流密度是指单位时间经过单位面积所传递的热量，用 q 表示，单位为 W / m2。
根据上面的条件可得：
x
(
t ) x
y
(
t ) y
z
(
t z
)
qv
(cp t)
d 2t dx2
0
第一类边界条件：
x 0,t t1
x ,t t2
直接积分：
dt dx
c1
带入边界条件：
t c1x c2
c1
t2
t1
c2 t1
t
t2
t1
x
t1
dt t2 t1
dx
带入傅里叶定律得
t y
qz
t z
对于一维导热问题：
q dt
dx
3 导热系数
导热系数的定义式可由傅立叶定律的表达式得出
q t n
n
(1)物理意义：
表示了物质导热能力的大小，是在单位温度梯度作用下 的热流密度。工程计算采用的各种物质的导热系数值都是由 专门实验测定出来的。

第一类边界条件： x 0 , t t w1 积分得:
控制方程
边界条件
x , t tw 2
t
dt 1 2 0 ( 1 bt ) c1 0 ( t bt ) c1 x c2 tw1 dx 2
代入边界条件，得:
1 1 2 2 ( t bt ) c 0 c , ( t bt 1 2 0 w2 w 2 ) c1 c 2 0 w1 2 w1 2 1 2 c ( t bt 2 0 w1 w1 ) 2 t w1 t w 2 1 c [ 1 b( t w1 t w 2 )] 0 1 2
tw 2 tw3
2
tw3 tw4
3
tw1 tw4 tw1 tw4 3 相加可得： q R ,1 R ,2 R ,3 R ,i
i 1
例2-1：有一锅炉炉墙，三层，内层为230mm的耐火 砖层，中间为50mm厚的保温层，外层为240mm的 红砖层，导热系数分别为1.10 W/(m.K) ，0.072 W/(m.K) ，0.58W/(m.K)，已知炉墙内外表面温度 为500℃与50℃，求炉墙的导热热流密度和红砖墙的 最高温度。
第二章 稳态导热
Steady-State Conduction —— One Dimension
主要内容
掌握稳态导热。
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6
通过平壁的导热 通过复合平壁的导热 通过圆筒壁的导热 具有内热源的平壁导热 通过肋片的导热 通过接触面的导热
对各层直接应用单层大平壁的热量计算式 tw1 tw 2 tw1 tw 2 第一层平壁 : q1 , 变换 : q1 R ,1 t w1 t w 2 1 R ,1

δtt
tw
第一节 对流换热分析及牛顿冷却定律 一、边界层概念
在层流边界层中， 在层流边界层中，热量的传递只能依靠流体层与层间的 导热作用，此时对流换热较弱。在紊流边界层中， 导热作用，此时对流换热较弱。在紊流边界层中，层流底 层的热量传递方式仍是导热， 层的热量传递方式仍是导热，但在层流底层以外存在着对 因而对流换热较强。 流，因而对流换热较强。所以对流换热实际上是包括流体 层流的导热和层流以外的对流共同作用的综合传热过程。 层流的导热和层流以外的对流共同作用的综合传热过程。 若同一流体在相同的温度下流过同一壁面时， 若同一流体在相同的温度下流过同一壁面时，则层流底层 越薄，对流换热越强烈。 越薄，对流换热越强烈。
第一节 对流换热分析及牛顿冷却定律 一、边界层概念
（一）速度边界层 当粘性流体流过固体壁面时， 当粘性流体流过固体壁面时，若用仪器测出沿壁面法线方 方向不同点的速度u，将得到如图所示的速度分布图。 向Y方向不同点的速度 ，将得到如图所示的速度分布图。 方向不同点的速度 它表明从y=0处u=0开始，速度u随着 方向离壁面的距离 它表明从 处 开始，速度 随着y方向离壁面的距离 开始 随着 的增加而迅速增大，经过厚度为δ的薄层 的薄层， 接近达到主流 的增加而迅速增大，经过厚度为 的薄层，u接近达到主流 速度u ，这个y= 的薄层即为速度边界层 的薄层即为速度边界层， 为边界层厚 速度 ∞，这个 δ的薄层即为速度边界层， δ为边界层厚 度。边界层厚度理论上应等于由壁面到流体达到主流速度 点之间的距离，但这个点的位置难于准确确定， 点之间的距离，但这个点的位置难于准确确定，故通常把 u/ u∞=0.99处离壁面的垂直距离定义为边界层厚度。实验 处离壁面的垂直距离定义为边界层厚度。 处离壁面的垂直距离定义为边界层厚度 表明δ与壁面尺寸 相比是一个极小的量。 与壁面尺寸L相比是一个极小的量 表明 与壁面尺寸 相比是一个极小的量。

第二章 稳态热传导 12
在导热体中取一微元体 热力学第一定律：
Q U W
W 0, Q U
d 时间内微元体中： [导入与导出净热量]+ [内热源发热量] = [热力学能的增加]
1、导入与导出微元体的净热量 d 时间内、沿 x 轴方向、经 x 表面导入的热量：
dQx qx dydz d
t t1
n i
x

i 1
t tn1
t1 t2 t3 t4
热阻：
r1
1 , , rn n 1 n
第二章 稳态热传导
三层平壁的稳态导热
30
q
t1 t n 1
由热阻分析法：
ri
i 1
n

t1 t n 1
i i 1 i
n
问：现在已经知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？
第一章复习
(1) 导热
傅里叶定律：
(2) 对流换热 牛顿冷却公式： (3) 热辐射
斯忒藩－玻耳兹曼定律 ：
dt Φ A dx
Aht
A T 4
(4) 传热过程
(t f 1 t f 2 ) (t f 1 t f 2 ) Φ 1 1 Rh1 R Rh 2 Ah1 A Ah2
多层、第三类边条
tf1
q
tf1 tf 2 1 n i 1 h1 i 1 i h2
h1 t2 t3
h2 tf2
W 单位： 2 m
传热系数？ tf1
？
t1 t2 t3 t2
？ tf2
32
三层平壁的稳态导热
第二章 稳态热传导
一台锅炉的炉墙由三层材料叠合而成.最里面的是耐火黏土砖,厚 115MM;中间是B级硅藻土砖,厚125MM;最外层为石棉板,厚 70MM.已知炉墙内外表面温度分别为485℃ 和60 ℃ , 试求每平方 米炉墙的热损失及耐火黏土砖和硅藻土砖分界面上的温度。 解：各层的导热系数可根据估计的平均温度从手册中查出。第一 次估计的平均温度不一定正确，待算得分界面温度时，如发现不 对，可重新假定每层的平均温度。经几次试算，逐步逼近，可得 合理的数值。这里列出的是几次试算后的结果： W 3 0.116 /(m K ) W 1 1.12W /(m K ) 2 0.116 /(m K )

第二章 稳态导热本章重点：具备利用导热微分方程式建立不同边界条件下稳态导热问题的数学模型的能力第一节 通过平壁的导热1-1 第一类边界条件 研究的问题：（1）几何条件：设有一单层平壁，厚度为δ，其宽度、高度远大于其厚度（宽度、高度是厚度的10倍以上）。

这时可认为沿高度与宽度两个方向的温度变化率很小，温度只沿厚度方向发生变化。

（属一维导热问题）（2）物理条件：无内热源，材料的导热系数λ为常数。

（3） 边界条件：假设平壁两侧表面分别保持均匀稳定的温度1w t 和2w t ，21w w t t >。

（为第一类边界条件，同时说明过程是稳态的）求：平壁的温度分布及通过平壁的热流密度值。

方法1 导热微分方程：采用直角坐标系，这是一个常物性、无内热源、一维稳态导热问题（温度只在 x 方向变化）。

导热微分方程式为：022=dxtd （2-1）边界条件为：10w x t t == ， 2w x t t ==δ （2-2）对式（2-1）连续积分两次，得其通解： 21c x c t += （2-3）这里1c 、2c 为常数，由边界条件确定 ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=11221ww w t c t t c δ （2-4）最后得单层平壁内的温度分布为： x t t t t w w w δ211--= （2-5）由于δ 、1w t 、2w t 均为定值。

所以温度分布成线性关系，即温度分布曲线的斜率是常数（温度梯度），const t t dx dt w w =-=δ12 （2-6）热流密度为：)(21w w t t dx dt q -=-=δλλ2/m W （2-7） 若表面积为 A, 在此条件下 , 通过平壁的导热热流量则为 :t A qA ∆==Φδλ W （2-8）考虑导热系数随温度变化的情况：对于导热系数随温度线形变化，即)1(0bt +=λλ，此时导热微分方程为：0=⎪⎭⎫⎝⎛dx dt dx d λ 解这个方程，最后得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+)(211212121121122w w w w w w t t b x t t bt t bt t δ 或 x tt t t b b t b t w w w w w δ12211)(21122-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+说明：壁内温度不再是直线规律，而是按曲线变化。

1、导入微元体的净热量
d 时间X方向流入与流出微元体的热流量
dQx
- dQxdx
- qx x
dxdydz d
( t ) dxdydz d
x x
d 时间Y方向流入与流出微元体的热流量
dQy
- dQydy
- q y y
dy dxdz d
y
( t ) dxdydz d
y
2.4 导热微分方程及定解条件
影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、压力及 密度等。
2.3 导热系数
2.3.1 气体导热系数
气体导热——由于分子的无规则热运动以及分子间 的相互碰撞
1 3
vlcv
v 3RT M
V 气体分子运动的均方根 m/s L 气体分子两次碰撞之间的平均自由程 m
Cv气体的定容比热 J/kg·℃
2.3 导热系数
2.4 导热微分方程及定解条件
建立数学模型的目的：
求解温度场 t f x, y, z,
步骤： 1）根据物体的形状选择坐标系, 选取物体中的 微元体作为研究对象； 2）根据能量守恒, 建立微元体的热平衡方程式； 3）根据傅里叶定律及已知条件, 对热平衡方程式 进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。
通过某一微元面积dA的热流：
dA q
d
q dA
t
n
dA
t
dydz
t
dxdz
t
பைடு நூலகம்
dxdy
n
x
y
z
2.2导热的基本定律
例：判断各边界面的热流方向
2.3 导热系数
由傅里叶定律可得，导热系数数学定义的具体形式为：
q t n

三三
三三三三三三三三三 三三
三三 三三
三三三三三三三
三三
三三三三三三三三
三三
三三三三三三三三三三三
18
第2章 稳态热传导
2.1 典型一维稳态导热问题的分析解
2.3.1 通过平壁的导热：
一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平板的导热情况。
c t


x
t x
t x
n
中，gradt表示空间某点的温度梯度，
n表示通过该点的等温线上的法向单位矢量，温度升高的方向。
利用等温线和热流线来定量且形 象地表述一个导热过程： 等温线表示热流梯度，而热流线 是与等温线处处垂直的一组曲线， 通过平面上任一点的热流线与该 点的热流密度相切。 相邻两条热流线之间所传递的热 流量处处相等，相当于构成了一 个热流通道。 该方法用于现代工程软件应用。
2.类似于非导电固体;(倾向于此观点)
2
第2章 稳态热传导
等温场(temperature field)：
温度场：物体中存在温度的场。 温度分布：各时刻物体中各点温度所组成的集合
分类：
稳态温度场：物体中各点温度不随时间而变。 t f x, y, z 瞬态温度场：物体中各点温度随时间变化。 t f x, y, z,
几何条件： 说明导热体的几何形状(平壁或圆筒壁)和大小(厚度、直径等)
物理条件:
说明导热体的物理特征如：物性参数λ、c 和 r 的数值，是否 随温度变化；有无内热源、大小和分布；是否各向同性 初始(时间)条件: 说明在时间上导热过程进行的特点 稳态导热过程不需要时间条件 — 与时间无关 对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布
疏密可直观反映出不同区域温度热流密度的相对大小。