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一、基本物理量应力张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行于三个坐标平面的三个微平面，它们的外法线方向分别为三个坐标轴的方向，将三个剪应力平行于坐标轴的两个分量；由此共得九个应力分量，记为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ττττττττττ；每个分量的第一下标表示应力分量所在平面的外法线方向，第二下标表示应力分量的方向。
应力分量的正负号规定为：当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴同向时，应力分量的方向也与相应坐标轴同向；当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴反向时，应力分量的方向也与相应坐标轴反向。
3、应变弹性体内某一点的正应变（线应变）：设P 为弹性体内任意点，过P 点某一微元线段变形前的长度为l ∆，变形后的长度为'l ∆，定义P 点l 方向的正应变为：lll l ll ∆∆-∆=→∆'lim 0ε。
即正应变表示单位长度线段的伸长或缩短。
弹性体内某一点的剪应变（角应变）：设r l ∆和s l ∆为过P 点的两微元线段，变形前两线段相互垂直，定义变形后两线段间夹角的改变量（弧度）为角应变，夹角减小则角应变为正。
应变张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行三个坐标轴的线段，按上述原则定义各应变分量，得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx εεεεεεεεεε；两个下标相同的分量为正应变，其它为剪应变。
关于主应变和主应变方向的讨论与主应力基本相同，可以证明，主应变方向与主应力方向重合。
4、外力体积力：作用于弹性体内部每一点上，如重力、电磁力、惯性力等。
设V ∆为包含P 点的微元体，作用于该微元体上的体积力为V F ∆，则定义P 点的体积力为：{}Tz y x V V f f f V=∆∆=→∆F f 0lim。
表面力：作用于弹性体表面，如压力，约束力等。
设S ∆为包含P 点的微元面，作用于该微元面上的表面力为S F ∆，则定义P 点的表面力为：{}Tz y x S S s s s S=∆∆=→∆F s 0lim 。
弹性力学基础讲解一、基本物理量应力张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行于三个坐标平面的三个微平面，它们的外法线方向分别为三个坐标轴的方向，将三个剪应力平行于坐标轴的两个分量；由此共得九个应力分量，记为：=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ττττττττττ；每个分量的第一下标表示应力分量所在平面的外法线方向，第二下标表示应力分量的方向。
应力分量的正负号规定为：当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴同向时，应力分量的方向也与相应坐标轴同向；当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴反向时，应力分量的方向也与相应坐标轴反向。
3、应变弹性体内某一点的正应变（线应变）：设P 为弹性体内任意点，过P 点某一微元线段变形前的长度为l ?，变形后的长度为'l ?，定义P 点l 方向的正应变为：lll l ll ??-?=→?'lim 0ε。
即正应变表示单位长度线段的伸长或缩短。
弹性体内某一点的剪应变（角应变）：设r l ?和s l ?为过P 点的两微元线段，变形前两线段相互垂直，定义变形后两线段间夹角的改变量（弧度）为角应变，夹角减小则角应变为正。
应变张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行三个坐标轴的线段，按上述原则定义各应变分量，得：=zz zy zx yz yy yx xz xy xx εεεεεεεεεε；两个下标相同的分量为正应变，其它为剪应变。
关于主应变和主应变方向的讨论与主应力基本相同，可以证明，主应变方向与主应力方向重合。
4、外力体积力：作用于弹性体内部每一点上，如重力、电磁力、惯性力等。
设V ?为包含P 点的微元体，作用于该微元体上的体积力为V F ?，则定义P 点的体积力为：{}Tz y x V V f f f V=??=→?F f 0lim。
表面力：作用于弹性体表面，如压力，约束力等。
设S ?为包含P 点的微元面，作用于该微元面上的表面力为S F ?，则定义P 点的表面力为：{}Tz y x S S s s s S=??=→?F s 0lim 。
第二章 弹性力学的基本原理§2.1 应力分析2.1.1 应力与应力张量应力被定义为：用假想截面将物体截开，在截面上一点 设 S 的外法P 的周围取一微元S , 线为 ν ,S 上的力为 T ，如极限 存在，则称 T 为 P 点在该截面上的应力矢量。
lim T / S T S 0(1 )( 2)(3 )考察三个面为与坐标面平行的截面(即以 x 1 , x 2 , x 3 三个坐标轴为法线的三个截面), T , T , T分别表示三个截面上的应力矢量。
每一个应力矢量又分解为沿三个坐标轴的应力分量，有(i )Tije j(i,j =1,2,3) (2.1) 这里的张量运算形式满足 “求和约定” ，即凡是同一指标字母在乘积中出现两次时，3则理解为对所有同类求和， 即 ij e j ije j 应理解为。
这样的求和指标 j 称之为假指标或哑指标。
由此得到j 1九个应力分量表示一点的应力状态，这九个分量组成应力张量：1112 13 xxxy xz 或(2.2)ij21 22 23 ij yx yy yz 313233zxzyzz在本书第一章致第九章，应力分量符号 (正负号 )规定如下：对于正应力，我们规定张应力为正，压应力为负。
对于剪应力，如果截面外法向与坐标轴的正方向一致，则沿坐标轴正方向的剪 应力为正，反之为负。
如果沿截面外法向与坐标轴的正方向相反，则沿坐标轴正方向的剪应力为 负。
2.1.2 柯西 (Cauchy)方程记 S 为过 P 点的外法向为n 的斜截面。
外法线 n 的方向可由其方向余弦记为 cos(n , x 1 ),n1cos(n , x 3 ) 。
cos(n , x 2 ) , 设此斜截面坐标面平行的截面 n3 n2ABC (即以 的面积为 S, 则如图 2.1, 过此点所取的小四面体 OABC 另外三个面为与x 1 , x 2 , x 3 三个坐标轴为法线的三个截面其面积分别为), OBC : S 1 OAC : S 2 OAB : S 3S S S cos(n , x 1 ) cos(n , x 2 ) cos(n , x 3 ) S S Sn1 (2.3)n 2 n3( n)此截面上的应力矢量记为即T, ( n )( n)TT j e jT。
(2.4)(1)( 2),(3)另外三个面上的应力矢量分别为T, T考虑此微元 (四面体 OABC 的平衡，其平衡方程为13( n)(1)( 2 )( 3 )TS TS 1 TS 2 TS 3f S h 0 (2.5)1 S 3其中 f 为作用于此单元上的体力，h 为 O 点至截面 ABC 的垂直距离， h 为此微元的体积。
当此四面体微元无限缩小时 , 上式中最后一项为更高阶的无穷小量，可略去不计，从而得( n)(1 )( 2)( 3)TTTT (2.6) n1n 2n 3将 (2.1)代入 , 就得到( n)Tij nie j(2.7)( n )T的坐标分量与应力分量间的关系为：与 (2.4)比较就得到 ( n)Tj(2.8)ni ij这就是柯西 (Cauchy) 公式，写成矩阵形式就是( n ) ( n ) Tx T 1 l m n11 12 13 n1 xx xy xz ( n ) ( n )T yT 2 或 (2.9)21 22 23 n 2 yx yy yz ( n ) T3( n ) Tz313233n 3zxzyzz斜截面上总应力在法线方向上的分量 (正应力 )为njTj(n ) (2.10)ni nj ij或将n1,n 2,n 3写成 l, m, n,222lmn2lm2mn2nl(2.11)112233122331切线方向上的分量 (剪应力 )T22 2 2 ( n ) 2( n) ( n) (n ) 2T1T2T3(2.12)图 2.12.1.3 坐标变换x 1 , x 2 x 2 x 3 , x 1 建立新的正交坐标系 并将上面所述的斜截面作为一个新的坐标面, 新坐标轴, x 1 , x 2 , x 3 与原坐标轴 x 1 , , x 3 之间的夹角余弦如下表示：x 1x 2x 3x 1 x 1 x 31 11 21 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3(1 )则上面的应力矢量成为 o xyz 变换到新坐标系 o x' y' z' ，(2.10)T 将应力分量从原坐标系 成为( 1 )1 j T j(2.13)111 i1 jij同理(1 )2 j T j12 1 i 2 j ij (2.14)(1 ) 3 j Tj131 i3 jij一般地，有(i )j j T j(2.15)i ji ij jij上式为应力张量坐标变换式用矩阵表示为, 1'1 ' 1'2 ' 1'3 ' 1 1 1 2 13 11 12 13 1 1 2 1 3 1 (2.16)2'1 ' 2'2 ' 2'3' 2 1 22 2 3 21 22 23 12 2 2 32 3'1'3'2 '3'3 '3 132333132331 32 33 3上式用在具体计算时比较方便。
在理论推导中，用应力张量的变换符号表示比较方便： 其中i 'i 为新坐标中x i ’与旧坐标中 x i 之间夹角的方向余弦。
剪应力互等定理 :设体积微元 (小长方体 )的三个边长各为 力 )对于任一轴的矩的代数和必然为零。
因而得dx 1、 dx 2、 dx 3, 作用于此体积元上所有的力(包括惯性(2.17)ijji这就是剪应力互等定理。
它表明，应力张量是对称张量。
2.1.4 主应力与应力张量不变量如果在某一截面上剪应力为零，则该截面的法向称为主方向，相应的截面称为主平面。
主平 面的正应力为主应力。
设方向n 为主方向，其方向余弦为(n 1、n 2、 n 3 ) , 此面上的主应力为, 则( n)T 1 n 1 n 2 n 3( n) T2 (2.18)( n)T 3将上式代入柯西公式 (2.7), 得() n 1 12n2) n 2 13 n3 23n3)n 3 0 011 21n2 31 n 1((2.20)22 32n 2(33上式写成张量形式就是：(2.21)ijiji其中为克罗耐克尔 (Kroneker) 符号：1iji i j jij因为 n 、n 、n 不能同时为零，所以 (2.20)的系数行列式必须为零。
得 1 2 3 (i ) 111213(i ) 0 (2.22)12 2223()313222i上式写成张量形式就是：det(2.23)ij ij将 (2.22) 的行列式展开后得3 i2I 1I 2 I 3(2.24)方程 (2.13)称为应力状态特征方程，其三个系数分别为I 1 11 22 33 11 12 22 23 33 31 I 2212232331311(2.25)1112 13 I 321 22 23 313233特征方程 (2.24) 在坐标变换时保持不变， 即它的三个系数 I 2, I 3 不随坐标系的变化而改变， I 1, I 1, I 2 , I 3 通常取分别称之为应力张量的第一、第二、第三不变量。
解特征方程求得三个实根就是主应力, 22 2 n1n2n31联立3。
将其值代入方程组 (2.20), 并和条件 , 即可求得对应于每一个主12应力(i 1,2,3) 的主方向i1 H(i 1,2,3)n in 1 ,n 2 , n 3w 1, w 2 , w 3(2.26)其中w 1 w 2 23, 13,13 i 22 12 23 2 i1112( i 1,2,3) (2.27)2 12w 3 H11 ,i1122 i12222w w w 21 3上述过程在数学上实际就是求应力张量矩阵的特征值和特征向量。
x 1, x 2, x 3 , I 1 I 2 I 3如果选择主方向为坐标轴则应力张量不变量 (2.25) 可化简为1 23 (2.28)1 2 233 1123 2.1.5 最大剪应力可以证明，三个最大剪应力分别为1 2 ( 2 ( 2) 3 )1)12 1 1 (2.29)23 2 1 2(313这些剪应力所在的截面平行某一主轴面而与另外两个主轴成 45°夹角。
模型中会用到。
最大剪应力在塑性力学的屈服准则和断裂力学的Dugdale 2.1.6 应力圆 (Mohr 圆)平面上的一个圆，记为某一截面上的正应力， 为该截面上的剪应力。
Mohr 圆为NN22 1211 2211 22这个圆的圆心 C 的坐标为,0 。
圆上的一点表示某一截面, 半径为22上的应力。
该点的横坐标表示该截面上的正应力，纵坐标表示该截面上的剪应力。
这个圆用方程表示就是：2222 1211221122(2.30)N2 2图 2.2 显示了 Mohr 圆，其中 A 点代表以 x 1 轴为法线的截面上的应力 (11,12) 。
该截面的法线与' 。
延长 第一主方向的夹角为AC 交 Mohr 圆于 D 点。
D 点代表以 x 1 轴为法线的截面上的应力0 , (22,21) 。
令 从 (2.17) 式可以得出 圆与横轴的两个交点的横坐标为Mohr 21 21211221122(2.31)2 22AC 这正是两个主应力， 和解特征方程 (2.24) 得到的结果是一致的。
规定 和横轴的夹角为 2 ' ,211 2 22CB12CB12， tg 2 'cos2 'sin 2 '(2.32)11221212OC CB cos2 'cos2 '1122221cos '2sin '1212OC CB cos2 'cos2 '222 222sin' 'cos '12CB sin 2 ( 2) s in 'cos '121图 2.2 平面应力的应力圆(Mohr 圆)这个结果和用坐标变换的方法求得的结果一致。
从 A 点 顺时针 沿圆周移动， 扫过圆心角 2 后至 BB 点的坐标 (N, ) 的值。
点。
现在我们来计算 OC CF CEcos2 22OC CBcos(2 ' 2 )NOCcos(2 ' 2 )'111122(cos 2 ' cos2sin 2 ' sin 2 ) 22 cos2 '112211221122cos2 tg 2 ' sin 222211221122cos2sin 2122 2CB sin(2 ' 2 )11 22 (sin 2 ' cos2 cos2 ' sin 2) 2 cos2 '11 22 sin 212 cos22上述结果中的与和坐标变换方法结果比较，可以看出， B 点正代表图 2.3 中HK 面逆时N针转过角后的LM 截面上的应力情况。
