中考数学专题复习-常用辅助线截长补短

全等三角形辅助线系列之三---截长补短类辅助线作法大全-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1全等三角形辅助线系列之三 与截长补短有关的辅助线作法大全一、截长补短法构造全等三角形截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．截长补短法作辅助线，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．典型例题精讲【例1】 如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数．【解析】法一：如图所示，延长AB 至E 使BE BD =，连接ED 、EC ．由AC AB BD =+知AE AC =，而60BAC ∠=︒，则AEC ∆为等边三角形．注意到EAD CAD ∠=∠，AD AD =，AE AC =， 故AED ACD ∆∆≌.从而有DE DC =，DEC DCE ∠=∠，故2BED BDE DCE DEC DEC ∠=∠=∠+∠=∠.所以20DEC DCE ∠=∠=︒，602080ABC BEC BCE ∠=∠+∠=︒+︒=︒. 法二：在AC 上取点E ，使得AE AB =，则由题意可知CE BD =. 在ABD ∆和AED ∆中，AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD =， 则ABD AED ∆∆≌，从而BD DE =， 进而有DE CE =，ECD EDC ∠=∠， AED ECD EDC ∠=∠+∠=2ECD ∠. 注意到ABD AED ∠=∠，则：1318012022ABC ACB ABC ABC ABC BAC ∠+∠=∠+∠=∠=︒-∠=︒，故80ABC ∠=︒.【答案】见解析．【例2】 已知ABC ∆中，60A ∠=︒，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【解析】BE CD BC +=，理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ， 利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆，∴12∠=∠，∵60A ∠=︒，∴1901202BOC A ∠=︒+∠=︒，∴120DOE ∠=︒，∴180A DOE ∠+∠=︒，∴180AEO ADO ∠+∠=︒， ∴13180∠+∠=︒，∵24180∠+∠=︒，∴12∠=∠，∴34∠=∠， 利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆，∴CD CF =， ∴BC BF CF BE CD =+=+．【答案】见解析．【例3】 如图，已知在△ABC 内，60BAC ∠=︒，40C ∠=︒，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，求证：BQ AQ AB BP +=+．DOECB A4321FDOE CB A【解析】延长AB 至D ，使BD BP =，连DP ．在等腰△BPD 中，可得40BDP ∠=︒， 从而40BDP ACP ∠=︒=∠，△ADP ≌△ACP （ASA ），故AD AC =又40QBC QCB ∠=︒=∠，故 BQ QC =，BD BP =． 从而BQ AQ AB BP +=+．【答案】见解析．【例4】 如图，在四边形ABCD 中，BC BA >，AD CD =，BD 平分∠ABC ，求证：180A C ∠+∠=︒．【解析】延长BA 至F ，使BF BC =，连FD△BDF ≌△BDC （SAS ）， 故DFB DCB ∠=∠，FD DC =又AD CD =，故在等腰△BFD 中，DFB DAF ∠=∠ 故有180BAD BCD ∠+∠=︒【答案】见解析．【例5】 点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD DC =，120BDC ∠=︒，60MDN ∠=︒，求证：MN MB NC =+．QPCBACDB A【解析】延长NC 至E ，使得CE MB =∵ BDC ∆是等腰三角形，且120BDC ∠=︒，∴30DBC DCB ∠=∠=︒ ∵ ABC ∆是等边三角形． ∴60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒∴90MBD ABC DBC ACB DCB DCN DCE ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∠=︒ 在DBM ∆和DCE ∆中，BD DC =，MB CE =， ∴ DBM DCE ∆∆≌. ∴DE DM =, 12∠=∠.又∵ 160NDC ∠+∠=︒，∴ 2+60NDC END ∠∠=∠=︒. 在MDN ∆与EDN ∆中，ND ND =，60MDN EDN ∠=∠=︒，DE DM = ∴ MND END ∆∆≌∴ MN EN NC MB ==+【答案】见解析．【例6】 如图在△ABC 中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点，求证：AB AC PB PC ->-．【解析】延长AC 至F ，使AF AB =，连PD△ABP ≌△AFP （SAS ） 故BP PF =由三角形性质知1BMNM CBA21EABCDMN< PB PC PF PC CF AF AC AB AC -=-=-=-【答案】见解析．【例7】 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上．求证：BC AB DC =+．【解析】在BC 上截取BF AB =，连接EF∵BE 平分∠ABC ，∴ABE FBE ∠=∠又∵BE BE =，∴△ABE ≌△FBE （SAS ），∴A BFE ∠=∠．∵AB 180A D ∠+∠=︒180BFE CFE ∠+∠=︒D CFE ∠=∠DCE FCE ∠=∠CE CE =CD CF=BC BF CF AB CD =+=+M ABCD AB MN DM ⊥ABC ∠N MD MNDM MN =AD 上截取AG AM =，∴DG MB =，∴45AGM =︒∠∴135DGM MBN ==︒∠∠，∴ADM NMB =∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．【答案】见解析．【例8】 已知：如图，ABCD 是正方形，FAD FAE ∠=∠，求证：BE DF AE +=．DEC BAN CDE B M A NCDEB M A FE DCBAM F EDCB A【解析】延长CB 至M ，使得BM DF =，连接AM .∵AB AD =，AD CD ⊥，AB BM ⊥，BM DF = ∴ABM ADF ∆∆≌∴AFD AMB ∠=∠，DAF BAM ∠=∠ ∵AB CD ∥∴AFD BAF EAF BAE BAE BAM EAM ∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠ ∴AMB EAM ∠=∠，AE EM BE BM BE DF ==+=+【答案】见解析．【例9】 如图所示，已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且2BAE DAM ∠=∠．求证：AE BC CE =+．【解析】分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等．(2)通过添辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段相等．我们用(1)法来证明．【答案】延长AB 到F ，使BF CE =，则由正方形性质知AF AB BF BC CE =+=+下面我们利用全等三角形来证明AE AF =．为此，连接EF 交边BC 于G ．由于对顶角BGF CGE ∠=∠，所以()Rt ΔBGF CGE AAS ∆≌，从而12BG GC BC FG EG ===，，BG DM =于是()Rt ΔRt ΔABG ADM SAS ≌，所以12BAG DAM BAE EAG ∠=∠=∠=∠，AG 是EAF ∠的平分线【例10】 五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE CD +=，180ABC AED ∠+∠=︒，求证：AD 平分∠CDE ．M EDCBAF【解析】延长DE 至F ，使得EF BC =，连接AC .∵180ABC AED ∠+∠=︒，180AEF AED ∠+∠=︒，∴ABC AEF ∠=∠ ∵AB AE =，BC EF =，∴△ABC ≌△AEF ． ∴EF BC =，AC AF =∵BC DE CD +=，∴CD DE EF DF =+= ∴△ADC ≌△ADF ，∴ADC ADF ∠=∠ 即AD 平分∠CDE .【答案】见解析．【例11】 若P 为ABC ∆所在平面上一点，且120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，则点P 叫做ABC ∆的费马点．（1）若点P 为锐角ABC ∆的费马点，且60ABC ∠=︒，34PA PC ==，，则PB 的值为_____；（2）如图，在锐角ABC ∆外侧作等边ACB ∆′，连结BB ′． 求证：BB ′过ABC ∆的费马点P ，且BB PA PB PC =++′．【解析】（1）（2）证明：在BB ′上取点P ，使120BPC ∠=︒， 连结AP ，再在PB ′上截取PE PC =，连结CE ．∵120BPC ∠=︒，∴60EPC ∠=︒，∴PCE ∆为正三角形， ∴PC CE =，60PCE ∠=︒，120CEB ∠=︒′， ∵ACB ∆′为正三角形，∴AC B C =′，60ACB ∠=︒′， ∴60PCA ACE ACE ECB ∠+∠=∠+∠=︒′，∴PCA ECB ∠=∠′， ∴ACP B CE ∆∆≌′，∴120APC B CE ∠=∠=︒′，PA EB =′， ∴120APB APC BPC ∠=∠=∠=︒，CEDB AABDEFC B'CBA∴P为ABC∆的费马点，P∴BB′过ABC∆的费马点，且BB EB PB PE PA PB PC′′．=++=++【答案】见解析．AB'EPB课后复习【作业1】已知，AD 平分∠BAC ，AC AB BD =+，求证：2B C ∠=∠．【解析】延长AB 至点E ，使AE AC =，连接DE∵AD 平分∠BAC ，∴EAD CAD ∠=∠ ∵AE AC =，AD AD =，∴△AED ≌△ACD （SAS ），∴E C ∠=∠ ∵AC AB BD =+，∴AE AB BD =+∵AE AB BE =+，∴BD BE =，∴BDE E ∠=∠ ∵ABC E BDE ∠=∠+∠，∴2ABC E ∠=∠，∴2ABC C ∠=∠．【答案】见解析．【作业2】如图，△ABC 中，2AB AC =，AD 平分∠BAC ，且AD BD =，求证：CD ⊥AC ．【解析】在AB 上取中点F ，连接FD ．则△ADB 是等腰三角形，F 是底AB 的中点，由三线合一知 DF ⊥AB ，故90AFD ∠=︒ △ADF ≌△ADC （SAS ）90ACD AFD ∠=∠=︒，即：CD ⊥AC【答案】见解析．DCBAECBADCDBA【作业3】如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【解析】如图所示，延长AC 到E 使CE BM =.在BDM ∆与CDE ∆中，因为BD CD =，90MBD ECD ∠=∠=︒，BM CE =， 所以BDM CDE ∆∆≌，故MD ED =.因为120BDC ∠=︒，60MDN ∠=，所以60BDM NDC ∠+∠=︒. 又因为BDM CDE ∠=∠，所以60MDN EDN ∠=∠=︒. 在MND ∆与END ∆中，DN DN =，60MDN EDN ∠=∠=︒，DM DE =， 所以MND END ∆∆≌，则NE MN =，所以AMN ∆的周长为2.【答案】见解析．【作业4】已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，180B D ∠+∠=︒，求证：AE AD BE =+．【解析】在AE 上取F ，使EF EB =，连接CF∵CE ⊥ABE D CBA∴90∠=∠=︒CEB CEF∵EB EF=，CE CE=，∴△CEB≌△CEF∴B CFE∠=∠∵180＋，180∠+∠=︒CFE CFA∠∠=︒B D∴D CFA∠=∠∵AC平分∠BAD∴DAC FAC∠=∠∵AC AC=∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD AF=∴AE AF FE AD BE=+=+【答案】见解析．。

截长补短专题知识导航“截长补短”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系，即若题目条件或结论中含有“c b a =+”的条件，需要添加辅助线时可以考虑“截长补短”的方法。

截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段。

补短法：①延长较短线段中的一条，使延长出来的线段等于另外的较短线段，然后证明两线段之和等于较长线段。

即延长a ，得到b ，证：c b a =+。

②延长较短线段中的一条，使延长后的线段等于较长线段，然后证明延长出来的部分等于另一条较短线段。

即延长a ，得到c ，证：a c b -=。

【核心考点1】角平分线相关截长补短1. 如图，BP 平分ABC ∠，D 为BP 上一点，E ，F 分别在BA ，BC 上，且满足DE DF =，若140BED ∠=︒，则BFD ∠的度数是( )A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【分析】作DG AB ⊥于G ，DH BC ⊥于H ，根据角平分线的性质得到DH DG =，证明Rt DEG Rt DFH ∆≅∆，得到DEG DFH ∠=∠，根据互为邻补角的性质得到答案．【解答】解：作DG AB ⊥于G ，DH BC ⊥于H ，D 是ABC ∠平分线上一点，DG AB ⊥，DH BC ⊥， DH DG ∴=，在Rt DEG ∆和Rt DFH ∆中， DG DHDE DF=⎧⎨=⎩， ()Rt DEG Rt DFH HL ∴∆≅∆，DEG DFH ∴∠=∠，又180DEG BED ∠+∠=︒， 180BFD BED ∴∠+∠=︒，BFD ∴∠的度数18014040=︒-︒=︒，故选：A ．2. 已知，如图，ABC ∆中，2C B ∠=∠，12∠=∠，求证：AB AC CD =+．【分析】在AB 上截取AE AC =，由“SAS ”可证ADE ADC ∆≅∆，可证DE DC =，C AED ∠=∠，可证B BDE ∠=∠，可得BE DE DC ==，即结论可得． 【解答】证明：如图，在AB 上截取AE AC =，AE AC =，12∠=∠，AD AD =()ADE ADC SAS ∴∆≅∆DE DC ∴=，C AED ∠=∠， 2C B ∠=∠，AED B BDE ∠=∠+∠，B BDE ∴∠=∠ BE DE DC ∴==，AB AE BE =+， AB AC DC ∴=+。

完整版)截长补短类辅助线作法截长补短类辅助线作法是解决三条线段之间数量关系问题的常用方法。

其中，“截长”是将最长的线段一分为二，使其中一条等于已知的较短线段之一，然后证明另一段与已知另一条线段的数量关系；“补短”是将一条较短的线段延长至与另一条较短的线段相等，然后证明延长后的线段与最长的线段的数量关系。

需要注意的是，截长补短类辅助线作法一般用于三条线段之间的数量关系问题，特别是当线段前的系数不是1时，可能会涉及到含特殊角的直角三角形。

在构造辅助线时，需要结合题目条件选择适当的方法，并不是所有题目都适用于截长和补短方法。

下面是一些例题的精讲：1.在图中，以D为顶点作一个边长为a的正三角形，连接AD、BD、CD，点E、F分别在AB、AC上，且AE=EF=FB，求△XXX的周长。

2.已知△ABC中，DP⊥BC，证明BD平分∠ABC，BC上有动点P；DP平分∠BDC时，求BD、CD、CP三者的数量关系。

3.已知△ABC中，D、E、F分别平分∠A、∠B、∠C，交于点P，试判断AD：DB、BE：EC、CF：FA的数量关系，并加以证明。

4.在△ABC中，AD是角平分线，点F、E分别在AC、AB上，且AF=DE，证明BF=CE。

5.在图中，以D为顶点作一个边长为a的正三角形，连接AD、BD、CD，点E、F分别在AB、AC上，且AE=EF=FB，求△XXX的周长。

6.已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠AED=45°，证明AE=BD。

7.五边形ABCDE中，AD平分∠CDE，证明XXX。

8.在△ABC中，D是三角形外一点，且∠ACD=∠BCD，AB与CD交于点E，证明XXX。

9.如图1所示，AB、CD平行，AE、DE分别平分∠A、∠D，并交于点E。

过点E的直线分别交AM、DN于B、C。

1）当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系。

2）试证明你的猜想。

几何证明中常用辅助线 (一)中线倍长法:例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。

已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：AD ﹤21 (AB+AC)小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。

它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。

例2、中线一倍辅助线作法△ABC 中方式1： 延长AD 到E ， AD 是BC 边中线使DE=AD ， 连接BE方式2：间接倍长AD 于F ，MD 到N ， 作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ， 连接连接CD例3、△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例4、已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线， 求证：∠C=∠BAEC作业：1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论2、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF（二）截长补短法教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1.已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD平分∠ABC .求证：∠BAD +∠BCD =180°.分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中，⎩⎨⎧==CD AD DFDE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF .DABCM TEABCD图1-1FEDCBA图1-2又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180°.例2. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .求证：CD =AD +BC .分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的. 证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2在△FCE 与△BCE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CE BCE FCE CB CF ∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1.又∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°，∴∠DCE +∠CDE =90°， ∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4. 在△FDE 与△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠43DEDE ADE FDE ∴△FDE ≌△ADE （ASA ），∴DF =DA ， ∵CD =DF +CF ，∴CD =AD +BC .例3. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD .求证：∠BAP +∠BCP =180°.分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造. 证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ， 在Rt △BPE 与Rt △BPD 中，⎩⎨⎧==BPBP PDPE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD .∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE .在Rt △APE 与Rt △CPD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC AE PDC PEA PD PE ∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS),∴∠PAE =∠PCD 又∵∠BAP +∠PAE =180°,∴∠BAP +∠BCP =180°例4. 已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.ADB CEF1234图2-2ABCDP12N图3-1P12NABCD E 图3-2A 12求证：AB =AC +CD .分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE =CD ，或在AB 上截取AF =AC . 证明：方法一（补短法）延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ，如图4-2 ∴∠ACB ＝2∠E ，∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ， 在△ABD 与△AED 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AD E B 21 ∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE . 又AE =AC+CE =AC +DC ，∴AB =AC +DC . 方法二（截长法）在AB 上截取AF =AC ，如图4-3 在△AFD 与△ACD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD AC AF 21 ∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD . 又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠FDB ＝∠B ，∴FD =FB . ∵AB =AF +FB =AC +FD ，∴AB =AC +CD .上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。

证明全等时常见的五种辅助线在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点．下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考．一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD．分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD．证明：在AC上截取AF=AE，连接OF．∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°．显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60°在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC∴△DOC≌△FOC，CF=CD∴AC=AF+CF=AE+CD．二、中线倍长三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路．例2．已知三角形的两边长分别为7和5，那么第三边上中线长x的取值范围是（）．分析：要求第三边上中线的取值范围，只有将将中线与两个已知边转移到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系才能进行分析和判断．解：如图2所示，设AB=7，AC=5，BC上中线AD=x．延长AD至E，使DE = AD=x．∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD∠ADC=∠EDB（对顶角）∴△ADC≌△EDB∴BE=AC=5∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE即7-5＜2x＜7+5 ∴1＜x＜6三、作平行线当三角形问题中有相等的角或等腰等条件时，可通过作平行线将相等的角转换到某一个三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，从而为证明全等提供条件．例3．如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延长线上截取CE，且使CE=BD．连接DE交BC于F．求证：DF=EF．分析：要证DF=EF，必须借助三角形全等．而现有图形中没有全等三角形．由等腰三角形条件，可知∠B=∠ACB，作DH∥AE，可得∠DHB=∠ACB．则△DBH为等腰三角形．证明：作DH∥AE交BC于H．∴∠DHB=∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB∴∠DHB=∠B，DH=BD∵CE=BD∴DH= CE又DH∥AE，∠HDF=∠E∠DFH=∠EFC（对顶角）∴△DFH≌△EFC（AAS）∴DF=EF四、补全图形在一些求证三角形问题中，延长某两条线段（边）相交，构成一个封闭的图形，可找到更多的相等关系，有助于问题的解决．例4．如图4，在△ABC中，AC=BC，∠B=90°，BD为∠ABC的平分线．若A点到直线BD的距离AD为a，求BE的长．分析：题设中只有一条已知线段AD，且为直角边，而要求的BE为斜边．要找到它们之间的关系，需设法构造其他的全等三角形．证明：延长AD、BC相交于F．由BD为∠ABC的平分线，BD⊥AF．易证△ADB≌△FDB∴FD= AD=a AF=2a∠F=∠BAD又∠BAD+∠ABD=90°，∠F+∠FAC=90°∴∠ABD=∠FAC∵BD为∠ABC的平分线∴∠ABD=∠CBE∴∠FAC=∠CBE，而∠ECB=∠ACF=90°，AC=BC∴△ACF≌△BCE（ASA）∴BE=AF=2a五、利用角的平分线对称构造全等角的平分线是角的对称轴，在证明全等过程中不仅提供了两个相等的角，还有一条公共边，利用角的平分线在角的两边上截取相等的线段，或向两边作垂线，对称构造出全等三角形是常用的证明方法．例5．如图5，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．证明：AD=CD．分析：由角的平分线条件，在BC上截取BE=BA，可构造△ABD≌△EBD，从而AD=DE．则只要证明DE=CD．证明：在BC上截取BE=BA，连接DE．由BD平分∠ABC，易证△ABD≌△EBD∴AD=DE∠A=∠BED又∠A+∠C=180°，∠BED+∠DEC=180°∴∠DEC=∠C，∴DE=CD∴AD=CD。

专题08倍长中线法和截长补短法综合应用倍长中线类型一：直接倍长中线△ABC 中AD 是BC 边中线方法：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE类型二：间接倍长中线作CF ⊥AD 于F ，作BE⊥AD 的延长线于E 连接BE 。

延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CN截长补短常见类型及常规解题思路：①a b c ±=可采取直接截长或补短，绕后进行证明。

或者化为类型②证明。

②a b kc±=可以将a b ±与c 构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30 的直角三角形等。

截长法常规辅助线：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

补短法常规辅助线：（1）延长短边。

（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起类型一：倍长中线法【典例1】如图，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，a，b均大于0，中线AD＝c，求c的取值范围．【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝b，在△AEB中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即a﹣b＜2AD＜a+b，∴＜c＜．【典例2】已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．【解答】证明：如图，延长AD到点G，使得AD＝DG，连接BG．∵AD是BC边上的中线（已知），∴DC＝DB，在△ADC和△GDB中，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴∠CAD＝∠G，BG＝AC又∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠BED＝∠G，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AEF＝∠CAD，即：∠AEF＝∠FAE，∴AF＝EF．【典例3】如图，△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF ＞EF．【解答】证明：如图，延长ED使得DM＝DE，连接FM，CM．∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDM，DE＝DM，∴△BDE≌△CDM（SAS），∴BE＝CM，∵DE＝DM，DF⊥EM，∴FE＝FM，∵CM+CF＞FM，∴BE+CF＞EF．【变式1】如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝5，点D为BC的中点，且AD⊥AC，则△ABC的周长为　．【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵D为BC的中点，∴BD＝CD，∵∠ADC＝∠BDE，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝BE＝3，∠DAC＝∠E，∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠E＝90°，∴AE＝＝＝4，∴AD＝DE＝2，∴BD＝＝＝，∴BC＝2BD＝2，∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝5+3+2＝8+2．故答案为：8+2．【变式2】如图，在△ABC中，点E是AB边的中点，D是BC延长线上一点，连接DE交AC于点F，且AF＝BD，若BD＝3，AC＝5，则CD的长为　．【解答】解：延长DE至H，使EH＝DE，连接AH，∵AF＝BD，BD＝3，AC＝5，∴CF＝AC﹣AF＝5﹣3＝2，在△BED和△AEH中，，∴△BED≌△AEH（SAS），∴AH＝BD，∠D＝∠H，∵AF＝BD，∴AH＝AF，∴∠AFH＝∠H，∴∠CFD＝∠D，∴CD＝CF＝2，故答案为：2．【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，E是AB边上一点，DF⊥DE交AC于点F，连接EF，若BE＝2，CF＝，则EF的长为　．【解答】解：如图，延长FD到G使GD＝DF，连接GE，BG，在△BDG和△CDF中，，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝CF＝，∠GBD＝∠C，∴BG∥CA，∴∠EBG＝∠A＝90°，∵BE＝2，∴EG＝＝＝，∵DF⊥DE，DF＝DG，∴EF＝EG＝，故答案为：．【变式4】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝9，点E为AB的中点，点F在BC上，且BF＝2FC，AF 与DE，DB分别交于点G，H，求GH的长．【解答】解：如图，过点F作FM⊥AD于M，交ED于O，则FM＝AB＝8，∵BF＝2FC，BC＝9，∴BF＝AM＝6，FC＝MD＝3，∴AF＝＝＝10，∵OM∥AE，∴，∵点E为AB的中点，∴OM ＝，∴OF ＝FM ﹣OM ＝8﹣＝，∵AE ∥FO ，∴△AGE ∽△FGO ，∴＝，∴AG ＝＝，∴GH=10-4-415=49【变式5】如图，四边形ABCD 为平行四边形，点E ，F 分别为BC ，AB 上的点，且点F 为AB 的中点，连接DF ，DE ．（1）如图①，若DF 平分∠ADE ，求证：AD +BE ＝DE ；（2）如图②，若四边形ABCD 是边长为4的正方形，当ED 平分∠FDC 时，求EC 的长．【解答】（1）证明：延长DF ，CB 交于G ，如图：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥CB ，∴∠ADG ＝∠G ，∵DF 平分∠ADE ，∴∠ADG＝∠EDG，∴∠G＝∠EDG，∴DE＝GE＝GB+BE，∵F是AB中点，∴AF＝BF，在△ADF和△BGF中，，∴△ADF≌△BGF（AAS），∴AD＝GB，∴DE＝AD+BE；（2）解：延长AB，DE交于H，如图：∵四边形ABCD是边长为4的正方形，点F为AB的中点，∴DF＝＝＝2，AB∥CD，∴∠CDE＝∠H，∵ED平分∠FDC，∴∠CDE＝∠FDE，∴∠FDE＝∠H，∴FH＝DF＝2，∴BH＝FH﹣BF＝2﹣2，∵∠C＝90°＝∠HBE，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE∽△HBE，∴＝，即＝，解得CE＝2﹣2．∴EC的长为2﹣2．【变式6】阅读下面材料，并按要求完成相应的任务．如图①，圆内接四边形的对角线AC⊥BD，垂足为G，过点G作AD的垂线，垂足为E，延长EG交BC于点F，则点F为BC的中点．下而是部分证明过程：∵AC⊥BD，EF⊥AD，∴∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝90°，∴∠EDG＝∠FGC．∵∠ADB＝∠ACB，…任务一：请将上述过程补充完整；任务二：如图②，在△ABC中，把边AC绕点C顺时针旋转90°得到DC，把边BC绕点C逆时针旋转90°得到EC．连接DE，取AB的中点M，连接MC并延长交DE于点N．（1）求证：MN⊥DE；（2）若AC＝4，AB＝6，∠CAB＝30°，求DE的长．【解答】解：任务一：∵AC⊥BD，EF⊥AD，∴∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝∴∠EDG＝∠FGC．∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠CGF，∴CF＝FD，同理BF＝FG，∴BF＝CF，∴点F为BC的中点；任务二：（1）证明：延长CM到F使MF＝CM，∵AM＝MB，∴ACBF是平行四边形，∴AF＝BC＝CE，AF∥BC，∴∠CAF+∠ACB＝180°，∠DCE+∠ACB＝180°，∴∠CAF＝∠DCE，∵DC＝AC，∴△DCE≌△CAF（SAS），∴∠D＝∠ACF，∵∠ACF+∠DCN＝90°，∴∠D+∠DCN＝90°，∴∠DNC＝90°，∴MN⊥DE；（2）解：作CG⊥AB于G，∵∠CAB＝30，AC＝4，∴CG＝2，AG＝2，∵AM＝AB＝3，∴GM＝，∵CM2＝CG2+GM2，∴CM2＝22+（）2，∴CM＝，∵△DCE≌△CAF，∴DE＝CF＝2．类型二：截长补短【典例4】模型分析当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题日中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明．问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC．截长法：在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明CE＝BD即可．补短法：延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF，证明BF＝BD即可．请结合右边的证明结论．求证：AB+BD＝AC．请结合右边的【模型分析】证明结论．求证：AB+BD＝AC．【截长法】【补短法】【解答】证明：【截长法】在AC上截取AE＝AB，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∠B＝2∠C，∴∠AED＝2∠C，而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴AB+BD＝AE+CE＝AC．证明：【补短法】延长AB到F，使BF＝BD，连接DF，∵BF＝BD，∴∠F＝∠BDF，∴∠ABC＝∠F+∠BDF＝2∠F，且∠ABC＝2∠C，∴∠C＝∠F，且∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，∴△ADF≌△ADC（AAS）∴AC＝AF，∴AC＝AF＝AB+BF＝AB+BD．【变式1】如图，△ABC为等边三角形，D为△ABC外一点，连接AD，BD，CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，求证：AD＝BD+CD．【解答】证明：在DA上截取DE＝DB，连接BE，如下图所示，∵∠ADB＝60°，DE＝DB，∴△ABD为等边三角形，∴∠EBD＝60°，BE＝BD，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，BA＝BC，∴∠EBD﹣∠EBC＝∠ABC﹣∠EBC，∴∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD，∴AD＝AE+ED＝CD+BD．【变式2】如图，Rt△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于F点，交AB于点E．求证：AD＝2DF+CE．【解答】证明：在AF上截取FG＝DF，连接CG，则DG＝2DF，∵∠ACB＝90°，∴∠DCF+∠ACF＝90°，又∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAF＝90°，∴∠DCF＝∠CAF，∵AD平分∠CAE，∴∠CAF＝∠EAF，∵DF＝FG，CF⊥DG，∴CD＝CG，∴∠CDG＝∠CGD，∵∠DGC＝∠GAC+∠ACG，∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠B＝∠ACG，又∵AC＝BC，∴△ACG≌△CBE（ASA），∴AG＝CE，∴AD＝AG+DG＝CE+2DF．【变式3】如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的一条弦，且＝，过点A作AP⊥CD，分别交CD，⊙O于点E，P，连接BP，若CD＝6，△ABP的周长为13，求AE的长．【解答】解：在AE上截取AF＝BP，连接CF，PC，∵AC＝BC，∠CAF＝∠CBP，∴△CAF≌△CBP，CF＝CP，∵CD⊥PA，∴EF＝PE，∴AE＝AF+FE＝PB+PE，∵AC＝BC，∴＝，∵＝，∴＝，∴AB＝CD＝6，∵△ABP的周长是13，∴AP+PB＝7，∵AE＝PE+PB，∴2AE＝AP+PB，∴AE＝．【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC，在AB左侧作∠BDC＝∠BAC＝α，过点A作AE⊥DC于点E．（1）当α＝90°时，①求证：AE＝DE；②若BD＝AE＝2，请求出△ABC的面积；（2）当α≠90°时，求证：BD+DE＝EC．【解答】（1）①证明：过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，∵AE⊥CD，∴∠DEF＝90°，又∵∠BDE＝90°，∴四边形BDEF为矩形，∴DE＝BF，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF+∠EAC＝90°，又∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAF＝∠ACE，又∵∠AEC＝∠BFA＝90°，AB＝AC，∴△ABF≌△CAE（AAS），∴BF＝AE，∴DE＝AE；②解：∵四边形BDEF为矩形，BD＝AE＝2，∴BD＝EF＝2，DE＝BF＝AE＝，∴AF＝AE+EF＝+2，∴BA2＝BF2+AF2＝＝8+4，∴S＝＝；△ABC（2）证明：过点A作AF⊥BD，交BD的延长线于F，连接AD，设CD与AB交于点O，∵∠BDC＝∠BAC，∠BOD＝∠AOC，∴∠ACO＝∠DOB，即∠ABF＝∠ACE，又∵∠AEC＝∠AFB＝90°，AC＝AB，∴△ACE≌△ABF（AAS），∴AE＝AF，BF＝CE，又∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴DE＝DF，∴CE＝BF＝BD+DF＝BD+DE．【变式5】【问题背景】如图①，在边长为1的正方形ABCD中，点E为射线BC上的一个动点（与点B，C不重合），连接AE，过点E作EF⊥AE，与正方形ABCD的外角∠DCG的平分线交于点F．李老师指出，当点E为线段BC 的中点时，AE＝EF．【初步探索】（1）如图②，当点E在线段BC的延长线上时，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立；【问题解决】（2）当点E在线段BC上时，设BE＝x，△ECF的面积为y，求y与x之间的函数关系式；【拓展延伸】（3）如图③，将正方形ABCD放在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，点C在x轴正半轴上，当点E运动到某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，求此时点E的坐标．【解答】解：【问题背景】如图1，取AB的中点H，连接EH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°＝∠BCD，∵CF平分∠DCG，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∵E是BC的中点，∴BH＝BE＝AH＝CE，∴∠BHE＝∠BEH＝45°，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠FEC＝∠BAE，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；【初步探索】（1）仍然成立，理由如下：如图2，在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．∵AB＝BC，AN＝CE，∴BN＝BE，∴∠N＝∠FCE＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠NAE＝∠CEF，在△ANE和△ECF中，，∴△ANE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；【问题解决】（2）如图3，在BA上截取BH＝BE，连接HE，同理得：△AHE≌△ECF，∴y＝S＝AH•BE＝x（1﹣x）＝﹣x2+x（0≤x≤1）；△AHE【拓展延伸】（3）如图4，在BA上截取BH＝BE，连接HE，过点F作FM⊥x轴于M，设点E（a，0），∴BE＝a＝BH，∴HE＝a，由（1）可得△AHE≌△ECF，∴CF＝HE＝a，∵CF平分∠DCM，∴∠DCF＝∠FCM＝45°，∵FM⊥CM，∴∠CFM＝∠FCM＝45°，∴CM＝FM＝a，∴BM＝1+a，∴点F（1+a，a），∵点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，∴a＝﹣2（1+a）+3，∴a＝，∴点E（，0）．【典例5】如图1，在Rt△ABC中，AB＝BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且DE＝EF，∠DEF ＝∠B，∠A＝45°．（1）试猜想CF与BE之间的数量关系，并证明；（2）自主探究：如图2，若将已知条件中含45°的直角三角形换成含30°的直角三角形，其余条件不变，试探究BE和CF的关系．【解答】解：（1）CF与BE之间的数量关系为：CF＝BE．理由：过点F作FH⊥BC于点H，如图，∵Rt△ABC中，AB＝BC，∠A＝45°，∴∠C＝45°，∠B＝90°．∵∠DEF＝∠B，∴∠DEF＝90°，∴∠DEB+∠FEH＝90°．∵∠BDE+∠DEB＝90°，∴∠BDE＝∠FEH．在△BDE和△HEF中，，∴△BDE≌△HEF（AAS），∴BE＝FH．∵FH⊥BC，∠C＝45°，∴△FHC为等腰直角三角形，∴FC＝FH，∴FC＝BE；（2）CF与BE之间的数量关系为：CF＝BE．理由：过点F作FH⊥BC于点H，如图，∵Rt△ABC中，∠A＝30°，∴∠C＝60°，∠B＝90°．∵∠DEF＝∠B，∴∠DEF＝90°，∴∠DEB+∠FEH＝90°．∵∠BDE+∠DEB＝90°，∴∠BDE＝∠FEH．在△BDE和△HEF中，，∴△BDE≌△HEF（AAS），∴BE＝FH．∵FH⊥BC，∠C＝60°，∴sin60°＝，∴FC＝FH，∴FC＝BE．【变式1】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，点F是AC上一点，连接BF交AD于点E，且DE＝CD，连接DF，若AF＝4，DF＝2，则BF的长为　．【解答】解：如图，在BF上截取HF＝AF，连接AH，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∠ADB＝∠ADC＝90°，在△BDE和△ADC中，，∴△BDE≌△ADC（SAS），∴∠EBD＝∠CAD，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AFE＝∠BDE＝90°，∴∠AHF＝∠HAF＝45°，∴AH＝AF，∴∠BAH＝∠DAF，∠AHB＝135°，∠AEF＝∠BED，∠AFE＝∠BDE＝90°，∴△AFE∽△BDE，∴＝，∵∠AEB＝∠FED，∴△AEB∽△FED，∴∠EAB＝∠EFD＝45°，∴∠AFD＝∠AFH+∠EFD＝90°+45°＝135°，∴∠AHB＝∠AFD，∴△AHB∽△AFD，∴＝＝，∴BH＝DF，∴BF＝BH+HF＝DF+AF＝2+4．故答案为：2+4．【变式2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，连接AC，BD，若AB＝AC，请探究AD，BD，DC之间的数量关系．【解答】解：作AE⊥AD交BD于E，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，∵∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵∠ABD＝∠ACD，AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∵△AED是等腰直角三角形，∴DE＝AD，∵BD＝DE+BE，∴BD＝AD+CD．【变式3】如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＞AC，点E在BC上，点D在AB上，CE＝CA，连接DE，∠ACB+∠ADE＝180°，CH⊥AB，垂足为点H．求证：DE+AD＝2CH．【解答】证明：如图，作∠FCD＝∠ACB，交BA延长线于F，∵∠FCA+∠ACD＝∠ACD+∠DCB，∴∠FCA＝∠DCB，∵∠ACB＝120°，∠ACB+∠ADE＝180°，∴∠EDB＝120°，∠EDA＝60°，∵∠FAC＝120°+∠B，∠CED＝120°+∠B，∴∠FAC＝∠CED，在△AFC和△EDC中，，∴△AFC≌△EDC（ASA），∴AF＝DE，FC＝CD，∵CH⊥FD，∴FH＝HD，∠FCH＝∠HCD＝60°，∴DH＝CH，∵AD+DE＝AD+AF＝FD＝2DH＝2CH，∴AD+DE＝2CH．【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是平面内一点，且AD⊥CD．点O是BC的中点，连接OA，OD．（1）如图①，若点D是BC下方一点，过点O作OE⊥OD分别交AC，AD于点E，F．①求证：∠OAF＝∠OCD；②若CD＝1，DF＝2，求BC的长；（2）如图②，若点D是AC右侧一点，试判断AD，CD，OD之间的数量关系，并说明理由．【解答】（1）①证明：∵AB＝AC，O为BC的中点，∴OA＝OB＝OC，OA⊥OC，∵OE⊥OD，∴∠AOC＝∠EOD＝90°，∴∠AOF＝∠COD，∵∠AOM＝∠MDC＝90°，∠AMO＝∠CMD，∴∠OAM＝∠MCD，∴△OAF≌△OCD（ASA），∴∠OAF＝∠OCD；②解：∵△OAF≌△OCD，∴AF＝CD＝1，∵DF＝2，∴AD＝AF+DF＝1+2＝3，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝，∵AC＝AB，∴BC＝AC＝＝2；（2）解：AD+CD＝OD．理由：过点O作OE⊥OD，交DA的延长线于点E，∵∠DOE＝∠AOC＝90°，∴∠AOE＝∠COD，∵∠ODC+∠+ODA＝90°，∠ODA+∠OEA＝90°，∴∠ODC＝∠OEA，又∵OA＝OC，∴△OCD≌△OAE（AAS），∴CD＝AE，OD＝OE，∴DE＝OD，∴AD+AE＝AD+CD＝OD．【变式5】【问题探究】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是平面内一点，连接AD，BD，CD，且∠CAB＝∠CDB．（1）如图①，当∠CAB＝60°时，试探究BD，CD，AD之间的数量关系；（2）如图②，当∠CAB＝120°时，探究是否为定值，并说明理由；【问题解决】（3）如图③，在四边形ADBC中，AB＝AC，∠CAB＝∠CDB＝120°，若AD＝2，BD＝3，求CD的长．【解答】解：（1）BD，CD，AD之间的数量关系为：BD＝CD+AD，理由如下：在BD上取一点E，使BE＝CD，连接AE，设AC交BD于H，如图①所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHB＝∠CHD，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，∴∠DAC+∠CAE＝∠EAB+∠CAE＝∠CAB＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD，∴BD＝BE+DE＝CD+AD；（2）是定值，理由如下：在BD上取一点E，使BE＝CD，连接AE，设AC交BD于H，过点A作AF⊥BD于F，如图②所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHB＝∠CHD，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，∴∠DAC+∠CAE＝∠EAB+∠CAE＝∠CAB＝120°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°）＝30°，∵AF⊥DE，∴DF＝EF，AF＝AD，在Rt△AFD中，由勾股定理得：DF＝＝＝AD，∴DE＝2DF＝AD，∵DE＝BD﹣BE＝BD﹣CD，∴BD﹣CD＝AD，∴＝，∴是定值；（3）在CD上取一点E，使CE＝BD，连接AE，设AB交CD于H，过点A作AF⊥CD于F，如图③所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHC＝∠BHD，∴∠ACE＝∠ABD，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴AE＝AD，∠EAC＝∠DAB，∴∠EAC+∠BAE＝∠DAB+∠BAE＝∠CAB＝120°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°）＝30°，∵AF⊥DE，∴DF＝EF，AF＝AD，在Rt△AFD中，由勾股定理得：DF＝＝＝AD，∴DE＝2DF＝AD，∴CD＝CE+DE＝BD+AD＝3+×2＝3+2．。

中考数学专题复习全等三角形（辅助线截长补短法）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．如图，正ABC和正CDE△中，B、C、D共线，且3BC CD=，连接AD和BE相交于点F，以下结论中正确的有（）个①60AFB∠=︒①连接FC，则CF平分BFD∠①3BF DF=①BF AF FC=+A．4B．3C．2D．12．如图，在ABC中，AD平分BAC∠，2B ADB∠=∠，5AB=，6CD=，则AC的长为（）A．3B．9C．11D．153．如图，在Rt ABC中，90ACB∠=︒，3AC=，4BC=，AD平分CAB∠交BC于D 点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE EF+的最小值为（）A．5B．15C．3D．124．如图，ABC为等边三角形，若()060DBC DACαα∠=∠=︒<<︒，则BCD∠=__________（用含α的式子表示）．5．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，△BAC=120°，点D是线段BC上一点，△ADC=90°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①△APO=△ACO；①△APO+△DCO=30°；①AC=AO+AP；①PO=PC，其中正确的有______．6．如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF①AB于F，①B＝①1+①2，AB＝CD，BF＝43，则AD的长为________．7．如图，在四边形ABCD 中，,180AB AD B ADC =∠+∠=︒，点E 、F 分别在直线BC 、CD 上，且12EAFBAD ∠=∠．(1)当点E 、F 分别在边BC 、CD 上时（如图1），请说明EF BE FD =+的理由． (2)当点E 、F 分别在边BC 、CD 延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF 、BE 、FD 之间的数量关系，并说明理由．8．如图，已知▱ABCD ，AE 平分①BAD ，交DC 于E ，DF ①BC 于F ，交AE 于G ，且DF ＝AD ．(1)若①C ＝60°，AB ＝2，求EC 的长； (2)求证：AB ＝DG +FC ．9．阅读下面材料：【原题呈现】如图1，在ABC中，①A＝2①B，CD平分①ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．【思考引导】因为CD平分①ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到DEC①DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；（2）拓展提升：如图3，已知ABC中，AB＝AC，①A＝20°，BD平分①ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的长．10．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点M为正方形ABCD的边CD上的动点（与点C，D重合）连接BM，作MF①BM，与正方形ABCD的外角①ADE的平分线交点F，设CM＝x，①DFM的面积为y，求y与x之间的函数关系式．11．在ABC 中，BE ，CD 为ABC 的角平分线，BE ，CD 交于点F ． （1）求证：1902BFC A ∠=︒+∠；（2）已知60A ∠=︒．①如图1，若4BD =， 6.5BC =，求CE 的长； ①如图2，若BF AC =，求AEB ∠的大小．12．如图，已知AD ①BC ，①P AB 的平分线与①CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．13．在①ABC中，AD为①ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若①E＝48°，AE＝AD＝DC，则①ABC的度数为．（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．（3）连接AE，若①DAE＝90°，①BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出①ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．14．如图，在①ABC中，①C＝90°，AD是①BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE①BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．（1）求证：AC＝AE；（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长．15．如图，在①ABC中，AB＝BC，①ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E 是线段BD与直线AP的交点．（1）若①DAE＝15°，求证：①ABD是等腰直角三角形；（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．16．如图，在ABC中，45A∠=︒．（1）如图1，若62AC=，213BC=，求ABC的面积；（2）如图2，D为ABC外的一点，连接CD，BD且CD CB=，ABD BCD∠=∠．过点C作CE AC⊥交AB的延长线于点E．求证：22BD AB AC+=．（3）如图3，在（2）的条件下，作AP平分CAE∠交CE于点P，过E点作EM AP⊥交AP的延长线于点M．点K为直线AC上的一个动点，连接MK，过M点作'MK MK⊥，且始终满足'MK MK=，连接'AK．若4AC=，请直接写出''AK MK+取得最小值时()2''AK MK+的值．17．在ABC 中，AE ，CD 为ABC 的角平分线，AE ，CD 交于点F ． （1）如图1，若60B ∠=︒． ①直接写出AFC ∠的大小； ①求证：AC AD CE =+．（2）若图2，若90B ∠=︒，求证：ACF AFD CEF DEF S S S S =++△△△△．18．如图，四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒， 150BCD ∠=︒，CB CD =，M 、N 分别为AB 、AD 上的动点，且75MCN ∠=︒．求证： MN BM DN =+．19．等边ABC ∆中，点H 、K 分别在边BC 、AC 上，且AK CH =，连接AH 、BK 交于点F ．（1）如图1，求AFB ∠的度数；图1（2）连接CF ，若90BFC ∠=︒，求BFAF的值； （3）如图2，若点G 为AC 边的中点，连接FG ，且2AF FG =，则BFG ∠的大小是___________．图220．如图，已知：在ABC 中，60B ∠=︒，CE 、AF 是ABC 的角平分线，交于点O 求证：AC AE CF =+．21．数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，①AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路．取AB的中点H，连接HE，则△BHE为等腰直角三角形，这时只需证△AHE与△ECF全等即可．在此基础上，同学们进行了进一步的探究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否成立？（填“是”或“否”）；（3）小丽提出：如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为BC边上（不含点B，C）的某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，请直接写出此时点E的坐标．22．如图1，在Rt①ABC中，①ACB＝90°，AC＝BC，将点C绕点B顺时针旋转105°得到点D，连接BD，过点D作DE①BC交CB延长线于点E，点F为线段DE上的一点，且①DBF＝45°，作①BFD的角平分线FG交AB于点G．（1）求①BFD的度数；（2）求BF，DF，GF三条线段之间的等量关系式；（3）如图2，设H是直线DE上的一个动点，连接HG，HC，若AB＝2，求线段HG+HC的最小值（结果保留根号）．23．在平行四边形ABCD中，AB CD⊥于E，CF AD⊥于F，H为AD上一动点，连接CH，CH交AE于G，且4AE CD==．（1）如图1，若60B∠=︒，求CF、AF的长；（2）如图2，当FH FD=时，求证：CG ED AG=+；（3）如图3，若60B∠=︒，点H是直线AD上任一点，将线段CH绕C点逆时针旋转24．如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，EF AE⊥交DCE∠外角的平分线于F．（1）求证：AE EF=；（2）如图，当E是BC上任意一点，而其它条件不变，AE EF=是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．25．本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB AD=，180B D∠+∠=︒，连接AC．①小明发现，此时AC平分BCD∠．他通过观察、实验，提出以下想法：延长CB到点E，使得BE CD=，连接AE，证明ABE ADC△≌△，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明AC平分BCD∠．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程．①如图2，当90BAD∠=︒时，请你判断线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明．（2）如图3，等腰CDE△、等腰ABD△的顶点分别为A、C，点B在线段CE上，且26．如图，A、P、B、C是①O上四点，①APC=①CPB=60°．（1）判断①ABC的形状并证明你的结论；（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．（3）求证：P A+PB=PC．27．如图，在ABC中，AB AC=，30ABC∠<︒，D是边BC的中点，以AC为边作等边三角形ACE，且ACE与ABC在直线AC的异侧，连接BE交DA的延长线于点F，连接FC交AE于点M．（1）求证：FB FC=；（2）求证：FEA FCA∠=∠；（3）若8FE=，2AD=，求AF的长．28．如图，ABC 是边长为1的等边三角形，BD CD =，120BDC ∠=︒，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且60EDF ∠=︒，求AEF 的周长．29．已知，90POQ ∠=，分别在边OP ，OQ 上取点A ，B ，使OA OB =，过点A 平行于OQ 的直线与过点B 平行于OP 的直线相交于点C ．点E ，F 分别是射线OP ，OQ 上动点，连接CE ，CF ，EF ．（1）求证：OA OB AC BC ===；（2）如图1，当点E ，F 分别在线段AO ，BO 上，且45ECF ∠=时，请求出线段EF ，AE ，BF 之间的等量关系式；（3）如图2，当点E ，F 分别在AO ，BO 的延长线上，且135ECF ∠=时，延长AC 交EF 于点M ，延长BC 交EF 于点N ．请猜想线段EN ，NM ，FM 之间的等量关系，并证明你的结论．30．如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且①BDC=①BAC．（1）求证：①ABD=①ACD；（2）求证：AD平分①CDE；（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，①BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出①BAC的度数．31．如图①，ABC 和BDC 是等腰三角形，且AB AC =，BD CD =，80BAC ∠=︒，100∠=︒BDC ，以D 为顶点作一个50︒角，角的两边分别交边AB ，AC 于点E 、F ，连接EF ．（1）探究BE 、EF 、FC 之间的关系，并说明理由；（2）若点E 、F 分别在AB 、CA 延长线上，其他条件不变，如图①所示，则BE 、EF 、FC 之间存在什么样的关系？并说明理由．32．如图，①O 中，AB ＝BD ，点C 在BD 上，BH①AC 于H ．求证：AH ＝DC ＋CH ．参考答案：1．A【解析】 【分析】根据“手拉手”模型证明BCE ACD ≌，从而得到CBE CAD ∠=∠，再结合三角形的外角性质即可求解60AFB ACB ∠=∠=︒，即可证明①；作CM BE ⊥于M 点，CN AD ⊥于N 点，证明CEM CDN ≌，结合角平分线的判定定理即可证明①；利用面积法表示BCF △和DCF 的面积，然后利用比值即可证明①；利用“截长补短”的思想，在AD 上取点Q ，使得FC FQ =，首先判断出FCQ 为等边三角形，再结合“手拉手”模型推出BCF ACQ ≌即可证明①．【详解】解：①①ABC 和CDE △均为等边三角形，①60ACB ECD ∠=∠=︒，AC BC =，EC DC =，①ACB ACE ECD ACE ∠+∠=∠+∠， ①BCE ACD ∠=∠，在BCE 和ACD △中，BC AC BCE ACD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()BCE ACD SAS ≌，①CBE CAD ∠=∠，①AFB CBE CDA ∠=∠+∠，ACB CDA CAD ∠=∠+∠，①60AFB ACB ∠=∠=︒，故①正确；①如图所示，作CM BE ⊥于M 点，CN AD ⊥于N 点，则90CME CND ∠=∠=︒，①BCE ACD ≌， ①CEM CDN ∠=∠，在CEM 和CDN △中，CME CND CEM CDN CE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()CEM CDN AAS ≌，①CM CN =，①CF 平分BFD ∠，故①正确；①如图所示，作FP BD ⊥于P 点， ①1122BCF S BF CM BC FP ==，1122DCF S DF CN CD FP ==， ①11221122BCFDCF BF CM BC FP SS DF CN CD FP ==， ①CM CN =，①整理得：BF BC DF CD=， ①3BC CD =，①33BF CD DF CD==， ①3BF DF =，故①正确； ①如图所示，在AD 上取点Q ，使得FC FQ =，①60AFB ACB ∠=∠=︒，CF 平分BFD ∠，①120BFD ∠=︒，1602CFD BFD ∠=∠=︒， ①FCQ 为等边三角形，①60FCQ ∠=︒，CF CQ =，①60ACB ∠=︒，①ACB ACF FCQ ACF ∠+∠=∠+∠，①BCF ACQ ∠=∠，在BCF △和ACQ 中，BC AC BCF ACQ CF CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()BCF ACQ SAS ≌，①BF AQ =，①AQ AF FQ =+，FQ FC =，①BF AF FC =+，故①正确；综上，①①①①均正确；故选：A ．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等边三角形的基本性质，掌握全等三角形中的辅助线的基本模型，包括“手拉手”模型，截长补短的思想等是解题关键．2．C【解析】【分析】在AC 上截取AE=AB ，连接DE ，证明△ABD①①AED ，得到①B=①AED ，AB=AE ，再证明CD=CE ，进而代入数值解答即可．【详解】在AC 上截取AE=AB ，连接DE ，①AD 平分①BAC ，①①BAD=①DAC ，在△ABD 和△AED 中，BAD DA AE AB AD AD C =⎧=∠=∠⎪⎨⎪⎩，①①ABD①①AED （SAS ），①①B=①AED ，①ADB =①ADE ， AB=AE ，又①B=2①ADB①①AED=2①ADB ，①BDE=2①ADB ，①①AED=①C+①EDC=2①ADB ，①BDE=①C+①DEC=2①ADB ，①①DEC =①EDC ，①CD=CE ，①5AB =，6CD =，①AC =AE+CE=AB+CD = 5+6=11．故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．3．D【解析】【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF 的最小值即为点C 到AB 的垂线段长度．【详解】在AB 上取一点G ，使AG ＝AF①在Rt △ABC 中，①ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4①AB=5，①①CAD ＝①BAD ，AE ＝AE ，①①AEF①①AEG （SAS ）①FE ＝GE ，①要求CE+EF 的最小值即为求CE+EG 的最小值，故当C 、E 、G 三点共线时，符合要求，此时，作CH①AB于H点，则CH的长即为CE+EG的最小值，此时，AC BC AB CH=，①CH=·AC ABBC=125，即：CE+EF的最小值为125，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键．4．120α︒-##120α-+︒【解析】【分析】在BD上截取BE=AD，连结CE，可证得BEC ADC≅△△，从而得到CE=CD，①DCE=①ACB=60°，从而得到DCE是等边三角形，进而得到①BDC=60°，则有60BCEα∠=︒-，即可求解．【详解】解：如图，在BD上截取BE=AD，连结CE，①ABC为等边三角形，①BC=AC，①BAC=①ABC=①ACB=60°，①α∠=∠=DBC DAC，BE=AD，①BEC ADC ≅△△ ，①CE =CD ，①BCE =①ACD ，①①BCE +①ACE =①ACD +①ACE ，①①DCE =①ACB =60°，①CE =CD ，①DCE 是等边三角形，①①BDC =60°，①18060120BCD αα∠=︒-︒-=︒-．故答案为：120α︒-【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是做出辅助线构造全等三角形是解题的关键．5．①①①①【解析】【分析】连接BO ，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出①APO =①ACO ，①APO +①DCO =30°，由三角形的内角和定理，角的和差求出①POC =60°，再由等边三角的判定证明①OPC 是等边三角形，得出PC =PO ，①PCO =60°，由角的和差，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差和等量代换求出AO +AP =AC ，即可得出结果．【详解】解：连接BO ，如图1所示：①AB =AC ，AD ①BC ，①BO =CO ，①①OBC=①OCB，又①OP=OC，①OP=OB，①①OBP=①OPB，又①在等腰①ABC中①BAC=120°，①①ABC=①ACB=30°，①①OBC+①OBP=①OCB+①ACO，①①OBP=①ACO，①①APO=①ACO，故①正确；又①①ABC=①PBO+①CBO=30°，①①APO+①DCO=30°，故①正确；①①PBC+①BPC+①BCP=180°，①PBC=30°，①①BPC+①BCP=150°，又①①BPC=①APO+①CPO，①BCP=①BCO+①PCO，①APO+①DCO=30°，①①OPC+①OCP=120°，又①①POC+①OPC+①OCP=180°，①①POC=60°，又①OP=OC，①①OPC是等边三角形，①PC=PO，①PCO=60°，故①正确；在线段AC上截取AE=AP，连接PE，如图2所示：①①BAC+①CAP=180°，①BAC=120°，①①CAP =60°，①①APE 是等边三角形，①AP =EP ，又①①OPC 是等边三角形，①OP =CP ，又①①APE =①APO +①OPE =60°，①CPO =①CPE +①OPE =60°，①①APO =①EPC ，在①APO 和①EPC 中，AP EP APO EPC OP CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①APO ①①EPC （SAS ），①AO =EC ，又①AC =AE +EC ，AE =AP ，①AO +AP =AC ，故①正确；故答案为：①①①①．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点；作辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键．6．83 【解析】【分析】在FA 上取一点T ，使得FT=BF ，连接ET ，在CB 上取一点K ，使得CK=ET ，连接DK ．想办法证明A T=DK ，DK=BD ，推出BD=A T ，推出BT=AD 即可解决问题．【详解】在F A 上取一点T ，使得FT =BF ，连接ET ，在CB 上取一点K ，使得CK =ET ，连接DK ． ①EB =ET ，①①B =①ETB ，①①ETB=①1+①AET，①B=①1+①2，①①AET=①2，①AE=CD，ET=CK，①△AET①△DCK(SAS)，①DK=AT，①ATE=①DKC，①①ETB=①DKB，①①B=①DKB，①DB=DK，①BD=AT，①AD=BT，①BT=2BF=83，①AD=83，故答案为：83．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形．7．(1)见解析(2)不成立，EF BE FD=-，见解析【解析】【分析】（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，通过证明①ABG①①ADF，①EAG①①EAF可得GE＝EF，进而可说明EF＝BE+DF；（2）在BE上截取BM＝DF，连接AM，通过证明①ABM①①ADF，①AME①①AFE可得ME＝EF ，进而可得EF ＝BE ﹣FD ．(1)EF ＝BE +DF ，理由：延长EB 至G ，使BG ＝DF ，连接AG ，①①ABC +①ADC ＝180°，①ABC +①ABG ＝180°，①①ADC ＝①ABG ，在①ABG 和①ADF 中，AB AD ABG ADF BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ABG ①①ADF （SAS ），①AG ＝AF ，①BAG ＝①DAF ，①①EAF ＝12①BAD ，①①BAE +①DAF ＝①BAE +①BAG ＝①EAF ，即①EAG ＝①EAF ，在①EAG 和①EAF 中， AG AF EAG EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①EAG ①①EAF （SAS ），①GE ＝EF ，①EF ＝BE +DF ；(2)（1）中结论不成立，EF ＝BE ﹣FD ，在BE 上截取BM ＝DF ，连接AM ，①①ABC +①ADC ＝180°，①ADC +①ADF ＝180°，①①ABC ＝①ADF ，在①ABM 和①ADF 中，AB AD ABM ADF BM DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ABM ①①ADF （SAS ），①AM ＝AF ，①BAM ＝①DAF ，①①BAM +①MAD ＝①DAF +①MAD ，①①BAD ＝①MAF ，①①EAF ＝12①BAD ， ①①EAF ＝12①MAF ，①①EAF ＝①EAM ，在①AME 和①AFE 中，AM AF EAM EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①AME ①①AFE （SAS ），①ME ＝EF ，①ME ＝BE ﹣BM ＝BE ﹣DF ，①EF ＝BE ﹣FD ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线证明相关三角形全等是解题的关键．8．(1)23-；(2)见解析【解析】【分析】（1）先由60C ∠︒＝，在Rt DFC 中，求得3AD DF ==，由AE 平分BAD ∠，则BAE DAE ∠=∠，由AB CD ∥，则BAE DEA ∠=∠，从而有DAE DEA ∠=∠，得出DE DA =，再根据EC DC DE =-即可求得；（2）延长FD 至M ，使DM FC =，连接AM ，根据全等三角形的判定和性质可得ADM DFC ≅，DAM FDC ∠=∠，AM DC =，结合（1）中结论及利用外角的性质得出MAG MGA ∠=∠，根据等角对等边得出AM MG =，由此即可证明．(1)解：在ABCD 中，2AB DC ==，60C ∠=°，DF BC ⊥，①30FDC ∠=︒，①112FC CD ==， 在Rt DFC 中，2222213DF CD FC =-=-=， DF AD =．3AD DF ∴==，∵AB CD ∥，AE 平分BAD ∠，BAE AED ∴∠=∠，DAE BAE ∠=∠，DAE AED ∴∠=∠，3AD DE ∴==23EC DC DE ∴=-=-；(2)证明：如图所示：延长FD 至M ，连接AM ，使DM FC =，在ADM ∆和DFC ∆中，90AD DF ADM DFC DM FC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩ADM DFC ∴≅，DAM FDC ∴∠=∠，AM DC =，由（1）可得：DAE AED ∴∠=∠，DAE DAM AED FDC ∴∠+∠=∠+∠，即MAG MGA ∠=∠，AM MG ∴=， 即DC DG FC =+．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质等，理解题意，作出辅助线，由补短法构造全等三角形是解题关键．9．（1）5.8；（2）4.3【解析】【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD ①①ECD ，得到AD ＝DE ，①A ＝①DEC ，由于①A ＝2①B ，推出①DEC ＝2①B ，等量代换得到①B ＝①EDB ，得到△BDE 是等腰三角形，得出AC ＝CE ＝3.6，DE ＝BE ＝2.2，相加可得BC 的长；（2）在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，得到△DEB ①①DBC （SAS ），在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，得到△BDE ①①FDE ，即可推出结论．【详解】解：（1）如图2，在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ． 在△ACD 与△ECD 中，AC CE ACD ECD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ACD ①①ECD （SAS ），①AD ＝DE ，①A ＝①DEC ，①①A ＝2①B ，①①DEC ＝2①B ，①①B ＝①EDB ，①①BDE 是等腰三角形；①BE ＝DE ＝AD ＝2.2，AC ＝EC ＝3.6，①BC 的长为5.8；（2）①①ABC 中，AB ＝AC ，①A ＝20°，①①ABC ＝①C ＝80°，①BD 平分①B ，①①1＝①2＝40°，①BDC ＝60°， 在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，在△DEB 和△DBC 中，12BE BC BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①DEB ①①DBC （SAS ），①①BED ＝①C ＝80°，①①4＝60°，①①3＝60°，在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，同理可得△BDE①①FDE ，①①5＝①1＝40°，BE ＝EF ＝2，①①A ＝20°，①①6＝20°，①AF ＝EF ＝2，①BD ＝DF ＝2.3，①AD ＝BD +BC ＝4.3．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键．10．212y x x =-+ 【解析】【分析】 根据正方形的性质和角平分线的性质得到9045135MDF ∠=︒+︒=︒，在BC 上截取CH CM =，连接MH ，证明BHM MDF ≅△△即可得解；【详解】①四边形ABCD 是正方形，①CD BC =，90C CDA ADE ∠=∠=︒=∠，①DF 平分ADE ∠，①1452ADF ADE ∠=∠=︒， ①9045135MDF ∠=︒+︒=︒，在BC 上截取CH CM =，连接MH ，则MCH △是等腰直角三角形，BH MD =，①45CHM CMH ∠=∠=︒，①135BHM ∠=︒，①145HMB ∠+∠=︒，BHM MDF ∠=∠，①MF ①BM ，①90FMB ∠=︒，①245BMH ∠+∠=︒，①12∠=∠，在BHM △和MDF △中，12BH MD BHM MDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ①BHM MDF ≅△△，①2BH MD x ==-，①y 与x 之间的函数关系式为()211222y x x x x =-=-+． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，动点问题的函数图像，全等三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键．11．（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°．【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线得出1902FBC FCB A ∠+∠=︒-∠的度数，再由三角形内角和定理可求出BFC ∠的度数，（2）在BC 上取一点G 使BG=BD ，构造BFG BFD ≅△（SAS ），再证明()FEC FGC ASA ≅，即可得BC BD CE =+，由此求出答案； （3）延长BA 到P ，使AP=FC ，构造BFC CAP ≅△（SAS ），得PC=BC ，12P BCF ACB ∠=∠=∠，再由三角形内角和可求40ABC ∠=︒，80ACB ∠=︒，进而可得180()100AEB ABE A ∠=︒-∠+∠=︒．【详解】解：（1）BE 、CD 分别是ABC ∠与ACB ∠的角平分线，11(180)9022FBC FCB A A ∴∠+∠=︒-∠=︒-∠， 1180()180(90)2BFC FBC FCB A ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠， 1902BFC A ∴∠=︒+∠， （2）如解（2）图，在BC 上取一点G 使BG=BD ，由（1）得1902BFC A ∠=︒+∠， 60BAC ∠=︒，120BFC ∴∠=︒， ①18060BFD EFC BFC ∠=∠=︒-∠=︒，在BFG 与BFD △中，BF BF FBG FBD BD BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①BFG BFD ≅△（SAS ）①BFD BFG ∠=∠，①60BFD BFG ∠=∠=︒，①12060CFG BFG ∠=︒-∠=︒，①60CFG CFE ∠=∠=︒在FEC 与FGC △中，CFE CFG CF CFECF GCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()FEC FGC ASA ∴≅，CE CG ∴=，BC BG CG =+，BC BDCE ∴=+；①4BD =， 6.5BC =，① 2.5CE =（3）如解（3）图，延长BA 到P ，使AP=FC ，60BAC ∠=︒，①180120PAC BAC ∠=︒-∠=︒，在BFC △与CAP 中， 120BF AC BFC CAP CF PA =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ①BFC CAP ≅△（SAS ）①P BCF ∠=∠，BC PC =，①P ABC ∠=∠，又①12P BCF ACB ∠=∠=∠， ①2ACB ABC ∠=∠，又①180ACB ABC A ∠+∠+∠=︒，①360180ABC ∠+︒=︒，①40ABC ∠=︒，80ACB ∠=︒，①1202ABE ABC ∠=∠=︒，180()180(2060)100AEB ABE A ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．12．证明见解析【解析】【分析】如图，在AB上截取,AH AD=证明,ADE AHE≌再证明,HBE CBE≌可得,BC BH=从而可得结论.【详解】证明：如图，在AB上截取,AH AD=AE∵平分,DAB∠,DAE HAE∴∠=∠,AE AE=,ADE AHE∴≌,ADE AHE∴∠=∠//,AD BC180,ADE BCE∴∠+∠=︒180,AHE BHE∠+∠=︒,BCE BHE∴∠=∠BE平分,ABC∠,ABE CBE∴∠=∠,BE BE=,HBE CBE ∴≌,BC BH ∴=,AB AH HB =+.AB AD BC ∴=+【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用截长补短的方法证明两条线段的和等于另一条线段”是解题的关键.13．（1）108︒；（2）AC BP AB PC +>+，见解析；（3）44°或104°；详见解析．【解析】【分析】（1）根据等边对等角，可得E ADE ∠=∠，DAC C ∠=∠，再根据三角形外角的性质求出=2=48ADE DAC ∠∠︒，由此即可解题；（2）在AC 边上取一点M 使AM =AB ，构造ABP AMP ≅，根据MP MC PC +>即可得出答案；（3）画出图形，根据点E 的位置分四种情况，当点E 在射线CB 延长线上，延长CA 到G ，使AG =AB ，可得GC EC =，可得G GEC ∠=∠，设=2ACB x ∠，则=90G GEC x ∠=∠︒-；根据①BAC ＝24°，AD 为△ABC 的角平分线，可得=12BAD DAC ∠∠=︒，可证AGE ABE ≅（SAS ），得出=90ABE G x ∠=∠︒-，利用还有 242ABE x ∠=︒+，列方程90242x x ︒-=︒+；当点E 在BD 上时，①EAD ＜90°，不成立；当点E 在CD 上时，①EAD ＜90°，不成立；当点E 在BC 延长线上，延长CA 到G ，使AG =AB ， 可得GC EC =，得出G GEC ∠=∠，设=2ACB x ∠，则G GEC x ∠=∠=；①BAC ＝24°，根据AD 为△ABC 的角平分线，得出=12BAD DAC ∠∠=︒，证明AGE ABE≅（SAS ），得出=ABE G x ∠=∠，利用三角形内角和列方程242180x x +︒+=︒，解方程即可．【详解】解：（1）①AE ＝AD ＝DC ，①E ADE ∠=∠，DAC C ∠=∠，①48E ∠=︒，=ADE DAC C ∠∠+∠，①=2=48ADE DAC ∠∠︒，①AD 为△ABC 的角平分线，即=2BAC DAC ∠∠，①48BAC ∠=︒；①1804824108ABC ∠=︒-︒-︒=︒（2）如图2，在AC 边上取一点M 使AM =AB ，连接MP ，在ABP △和AMP 中，AB AM BAP MAP AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①ABP AMP ≅（SAS ），①BP M P =，①MP MC PC +>，MC AC AM =-，①AC AB BP PC -+>，①AC BP AB PC +>+；（3）如图，点E 在射线CB 延长线上，延长CA 到G ，使AG =AB ，①AB +AC ＝EC ，①AG +AC ＝EC ，即GC EC =，①G GEC ∠=∠，设=2ACB x ∠，则=90G GEC x ∠=∠︒-；又①BAC ＝24°，AD 为△ABC 的角平分线，①=12BAD DAC ∠∠=︒，又①90DAE ∠︒＝，①9078BAE BAD ∠︒-∠=︒＝，9078GAE DAC ∠=︒-∠=︒，①BAE GAE ∠∠＝，在AGE 和ABE △中，AEAE GAE BAE AG AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①AGE ABE ≅（SAS ），①=90ABE G x ∠=∠︒-，又①242ABE BAC ACB x ∠=∠+∠=︒+，①90242x x ︒-=︒+，解得：22x =︒，①=2=44ACB x ∠︒；当点E 在BD 上时，①EAD ＜90°，不成立；当点E 在CD 上时，①EAD ＜90°，不成立；如图，点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB，①AB+AC＝EC，①AG+AC＝EC，即GC EC=，①G GEC∠=∠，设=2ACB x∠，则G GEC x∠=∠=；又①①BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，①=12BAD DAC∠∠=︒，又①90DAE∠︒＝，①90102BAE BAD∠︒+∠=︒＝，90102GAE DAC∠=︒+∠=︒，①BAE GAE∠∠＝，在AGE和ABE△中，AE AEGAE BAEAG AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①AGE ABE≅（SAS），①=ABE G x∠=∠，①242180x x+︒+=︒，解得：52x =︒，①=2=104ACB x ∠︒．①①ACB 的度数为44°或104°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形判定和性质，角平分线，三角形外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，根据角平分线模型构造全等三角形转换线段和角的关系是解题关键．14．（1）见解析；（2）3【解析】【分析】（1）证明△ACD ①①AED （AAS ），即可得出结论；（2）在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，证△F AD ①①MAD （SAS ），得FD =MD ，①ADF =①ADM ，再证Rt △MDE ①Rt △BDE （HL ），得ME =BE ，求出MB =AB -AM =6，即可求解．【详解】解：（1）证明：①AD 平分①BAC ，①①DAC =①DAE ，①DE ①BA ，①①DEA =①DEB =90°，①①C =90°，①①C =①DEA =90°，在△ACD 和△AED 中，C DEA DAC DAE AD AD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ACD ①①AED （AAS ），①AC =AE ；（2）在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，在△F AD 和△MAD 中，AF AM DAF DAM AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①F AD ①①MAD （SAS ），①FD =MD ，①ADF =①ADM ，①BD =DF ，①BD =MD ，在Rt △MDE 和Rt △BDE 中，MD BD DE DE =⎧⎨=⎩， ①Rt △MDE ①Rt △BDE （HL ），①ME =BE ，①AF =AM ，且AF =1.4，①AM =1.4，①AB =7.4，①MB =AB -AM =7.4-1.4=6，①BE ＝12BM ＝3， 即BE 的长为3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明△F AD①①MAD和Rt△MDE①Rt△BDE是解题的关键．15．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）首先根据题意确定出△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质推出①BAC＝60°，再根据线段AC与AD关于直线AP对称，以及①DAE＝15°，推出①BAD＝90°，即可得出结论；（2）利用“截长补短”的方法在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，根据题目条件推出△ABF①①ACE，得出AF＝AE，再进一步推出①AEF＝60°，可得到△AFE是等边三角形，则得到AF＝FE，从而推出结论即可．【详解】证明：（1）①在△ABC中，AB＝BC，①ABC＝60°，①①ABC是等边三角形，①AC＝AB＝BC，①BAC＝①ABC＝①ACB＝60°，①线段AC与AD关于直线AP对称，①①CAE＝①DAE＝15°，AD＝AC，①①BAE＝①BAC+①CAE＝75°，①①BAD＝90°，①AB＝AC＝AD，①①ABD是等腰直角三角形；（2）在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，①线段AC与AD关于直线AP对称，①①ACE＝①ADE，AD＝AC，①AD ＝AC ＝AB ，①①ADB ＝①ABD=△ACE ，在△ABF 与△ACE 中，AC AB ACE ABF CE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ABF ①①ACE （SAS ），①AF ＝AE ，①AD ＝AB ，①①D ＝①ABD ，又①CAE ＝①DAE ，①()()111806022AEB D DAE D ABD DAC BAC ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒-∠=︒， ①在△AFE 中，AF ＝AE ，①AEF ＝60°，①①AFE 是等边三角形，①AF ＝FE ，①BE ＝BF +FE ＝CE +AE ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质等，掌握等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的常见辅助线的构造方法是解题关键．16．（1）6；（2）证明见解析；（3）48224+【解析】【分析】（1）通过作辅助线构造等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB 边上的高和AB ，再利用三角形面积公式求解；（2）通过在BE 上截取BF =BD ，构造出两组全等三角形，即可完成求证；（3）先通过延长ME ，构造全等三角形，得出''AK MK FK MK +=+，利用轴对称，得出''AK MK +的最小值等于'FM ，最后利用直角三角形的性质与勾股定理进行计算求解即可．【详解】解：（1）如图，过C 点作CD ①AB ，垂足为点D ，①45A∠=︒，①45A ACD∠=∠=︒，①AD=CD，①AC=62，且222AC AD CD=+，①==6AD CD，①213BC=，①224BD BC CD=-=，①AB=AD-BD=6-4=2,①11==26=622ABCS AB CD⨯⨯⨯⨯，①ABC的面积为6．（2）如图所示，在BE上截取BF=BD，①①D+①DCB+①DBC=180°，①1+①DBC+①2=180°，且①1=①BCD，①①D=①2，①CD CB=，①①CDB①①CBF（SAS），①CB=CF，①①2=①3，①①ABC=①EFC，①①A=45°，AC①CE，①①E=45°，①①A=①E，①①ABC ①①EFC （AAS ），①AC=CE ,AB =EF ，①AE =AB +BF +EF =2AB +BD ,①222AE AC CE =+,①2AE AC =,①22BD AB AC +=；（3）如图3，延长ME 至F ，使MF =MA ，连接KF ，①'90KMK AMF ︒∠=∠=，①'AMK FMK ∠=∠，又①'MK MK =，①()'AMK FMK SAS ≌，①'=F AK K ，①''AK MK FK MK +=+，作M 点关于AC 的对称点'M ，则'=M K MK ，①''=F =F 'AK MK K MK K M K +++，连接'M K ，则''M K FK M F +≥，①当'M K F 、、共线时F 'K M K +的值最小，等于'M F ，①''AK MK +取得最小值时()2''AK MK +的值即为2'M F 的值，连接'M A AF 、，由轴对称的性质可得：'=M AC MAC ∠∠，'=AM AM ，①45CAE ∠=︒，AM 平分CAE ∠，①22.5CAM ∠=︒，①'22.5M AC CAM ∠=∠=︒，①'45M AM ∠=︒，①M A MF =，且90AMF ︒∠=，①45MAF ∠=︒，①'90M AF ∠=︒，①222'='M F AM AF +，①2222AM MF AM +=①222222'='=23M F AM AF AM AM AM ++=，如图4，取AE 中点O 点，连接OC ，OM ，作MH AE ⊥于H ，①=4AC ，①=CE=4AC ，①2242AE AC CE =+=由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得22OA OC OE OM ====，①22.5AMO MAO ∠=∠=︒，①45MOH AMO MAO ∠=∠+∠=︒，①45MOH OMH ∠=∠=︒，①OH MH =，①()2222=OM 228OH MH +==, ①=2OH MH =，①222AH =+，①222=1682AM AH MH =++，①()22''=3=48242AK MK AM ++；①()2''AK MK +的值为48224+．【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、轴对称、等腰三角形的性质与判定等内容，解决本题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形或等腰直角三角形等，本题较为综合，要求学生有较强的理解能力与分析能力．17．（1）①120°；①见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）①综合三角形的内角和定理以及角平分线的定义求解即可；①利用“截长补短”思想，在AC上取点H，使得AD=AH，从而通过全等证得①AFD=①AFH，再结合①的结论进一步证明①CFH=①CFE，从而通过全等证得CE=CH，即可得出结论；（2）同样利用“截长补短”思想，在AC上取S、T两点，使得AD=AS，CE=CT，连接SF，SE，TF，TE，可通过全等直接先对△ADF和△CEF的面积进行转换，然后结合（1）中的结论，证明SF①ET，即可对△DEF的面积进行转换，从而得出结论．【详解】（1）①解：①①B=60°，①①BAC+①BCA=180°-①B=120°，①AE平分①BAC，CD平分①BCA，①①F AC=12①BAC，①FCA=12①BCA，①①F AC+①FCA=12(①BAC+①BCA)= 12×120°=60°，①①AFC=180°-(①F AC+①FCA)=120°；①证：如图所示，在AC 上取点H ，使得AD =AH ，在△ADF 和△AHF 中，AD AH DAF HAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①△ADF ①△AHF (SAS )，①①AFD =①AFH ，①①AFD =①CFE ，①①AFH =①CFE ，由①可知，①AFC =120°，①①CFE =180°-120°=60°，①AFH =①CFE =60°，①①CFH =60°，即：①CFH =①CFE ，在△CFH 和△CFE 中，CFH CFE CF CFHCF ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ ①△CFH ①△CFE (ASA )，①CE =CH ，①AC =AH +CH ，①AC =AD +CE ；（2）证：如图所示，在AC 上取S 、T 两点，使得AD =AS ，CE =CT ，连接SF ，SE ，TF ，TE ，①AE 平分①BAC ，①①DAF =①SAF ，在△ADF 和△ASF 中，AD AS DAF SAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①△ADF ①△ASF (SAS )，同理可证△AED ①①AES ，△CEF ①①CTF ，①DF =SF ，DE =SE ，FT =FE ，①①DEF ①①SEF ，①ADF ASF S S =，CEF CTF S S =，DEF SEF S S =，且①AFD =①AFS ，①CFE =①CFT ，①①AFD =①CFE ，①①AFD =①AFS =①CFE =①CFT ，由（1）可得：①AFC =90°+12①B =135°，①①CFE =180°-135°=45°，①①AFD =①AFS =①CFE =①CFT =45°，①①CFT =135°-①AFS =90°，①CF ①SF ，又①FT =FE ，CT =CE ，①CF 垂直平分EF ，即：CF ①ET ，①SF ①ET ，①SFT SEF SS =， ①DEF SFT SS = ①ACF AFS CFT SFT S S S S =++，①ACF AFD CEF DEF S S S S =++△△△△．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及三角形角平分线相关的证明问题，掌握基本的辅助线添加思想，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键．18．见解析【解析】【分析】延长AB 至点E ，使得BE DN =，连接CE ，根据同角的补角相等得CBE CDN ∠=∠，根据SAS 证明CBE CDN ∆≅∆，则BCE DCN ∠=∠，进而证明75ECM MCN ∠=∠=︒，根据SAS 证明ECM NCM ∆≅∆，得到MN ME =，则M N BM BE BM DN =+=+．【详解】证明：延长AB 至点E ，使得BE DN =，连接CE ， 四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，180ABC CBE ∠+∠=︒，CBE CDN ∴∠=∠，在CBE ∆和CDN ∆中，CB CD CBE CDN BE DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CBE CDN SAS ∴∆≅∆，BCE DCN ∴∠=∠，CN CE =，150BCD ∠=︒，75MCN ∠=︒，75MCE MCB BCE MCB DCN ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，MCN MCE ∴∠=∠，在ECM ∆和NCM ∆中，。