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理解整式的概念及其除法规则——初中数学教案初中数学教案一、教学目标1.理解整式的概念2.掌握整式的运算法则3.了解整式的除法规则二、教学内容1.整式的概念2.整式的加减乘除法运算3.整式的除法规则三、教学过程1.整式的概念整式是由有限个常数和变量乘方以及在这些乘方中所产生的积之和组成的代数式。
整式中的变量可以取任何实数值。
例如：3x²+5x-2就是一个整式。
在这里需要说明的是，整式中的常数和变量乘方是可以合并的。
例如：3x²+2x²可以合并得到5x²。
这个在后面的讨论中会用到。
2.整式的加减乘除法运算整式的加减乘运算法则相对来说比较简单，这里就不过多赘述了。
需要意的是整式的加减乘运算法则需要掌握熟练，因为这是后续的讨论的基础。
整式的除法运算稍微有点复杂。
下面是整式除法运算的步骤：（1）首先将除式与被除式均按照降幂顺序排列。
（2）将两个多项式之间次数较高的项作为除式的第一项。
（3）将除式的第一项乘以一个某个数k，得到与被除式第一项同阶次的多项式，其中k为某个常数，可以通过整除法得出。
（4）将刚才得到的多项式减去被除式的第一项的倍数。
这时会得到一个新的多项式，再把它与前面的除式进行比较，即判断是否满足降幂排列。
（5）如果不满足降幂排列，那么回到步骤3从新计算，否则进行下一步。
（6）重复以上过程，直到被除式为常数或是次数小于除式。
（7）将最后得到的商式和余式写成形如$被除式=除式\ast商式+余式$的形式。
下面用一个例子说明整式的除法运算假设我们要计算以下整式的除法：$x^4-2x^3+3x^2-x+2$÷$x^2-x+1$我们现在首先将除式和被除式按照降幂排列:$x^4-2x^3+3x^2-x+2$,$x^2-x+1$。
然后将除式的最高项$x^2$与被除式$x^4$的最高项进行除法运算。
因为$x^4$÷$x^2=x^2$,所以我们将除式的$x^2$乘以2，得到2$x^2$，然后将被除式$x^4$减去2$x^2$x$x^2$，得到$x^2-2x+2$。
本节课主要学习乘、除法的速算与巧算．要求学生理解乘、除法的意义及其关系，能根据乘、除法之间的关系验算乘除法；并且掌握积的变化规律以及商不变的性质，并能合理利用，解决相关问题．一、乘法凑整思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。
例如：425100⨯=，81251000⨯=，520100⨯=123456799111111111⨯= （去8数，重点记忆） 711131001⨯⨯=（三个常用质数的乘积，重点记忆） 理论依据：乘法交换率：a×b=b×a 乘法结合率：(a×b) ×c=a×(b×c) 乘法分配率：(a+b) ×c=a×c+b×c积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(b×c)二、乘、除法混合运算的性质⑴商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即： ()()()()0a b a n b n a m b m m ÷=⨯÷⨯=÷÷÷≠ ，0n ≠⑵在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：a b c a c b ÷÷=÷÷⑶在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）． 例如：a b c a c b b c a ⨯÷=÷⨯=÷⨯⑷在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则知识点拨教学目标整数乘除法速算与巧算去括号情形：①括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变．即()()a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷ ②括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即()()a b c a b c a b c a b c ÷⨯=÷÷÷÷=÷⨯ 添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即()()()()a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷÷÷=÷⨯÷⨯=÷÷ ⑸两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即 ()()()()()()a b c d a c b d a d b c ⨯÷⨯=÷⨯÷=÷⨯÷上面的三个性质都可以推广到多个数的情形．一， 乘5、15、25、125【例 1】 下面这些题你会算吗？⑴125(408)⨯+ ⑵(1004)25-⨯【考点】乘法凑整之乘5的倍数 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 ⑴125(408)125401258500010006000⨯+=⨯+⨯=+=⑵(1004)251002542525001002400-⨯=⨯-⨯=-= 【答案】⑴6000 ⑵2400【巩固】 用简便方法计算下面各题．（1）125(804)⨯+ （2）(1008)25-⨯【考点】乘法凑整之乘5的倍数 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 （1）125(804)1258012541000050010500⨯+=⨯+⨯=+=（2）(1008)251002582525002002300-⨯=⨯-⨯=-=【答案】⑴10500 ⑵2300【巩固】 下面这道题怎样算比较简便呢？看谁算的快！2625⨯【考点】乘法凑整之乘5的倍数 【难度】1星 【题型】计算【解析】 26不能被4整除，但26可以拆成642⨯+，这样2625⨯，可转化为6425⨯⨯再加上225⨯，这样就可速算了． 原式64225=⨯+⨯（）642522560050650=⨯⨯+⨯=+=【答案】650例题精讲【例 2】 你知道下题怎样快速的计算吗？⑴786 5 ⨯ ⑵12425⨯ ⑶96125 ⨯ ⑷75258⨯⨯ 【考点】乘法凑整之乘5的倍数 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 我们刚刚学过了乘 5，25，125的速算法,大显身手练一下吧!⑴7865786(52)2786023930⨯=⨯⨯÷=÷=或 786539325393103930⨯=⨯⨯=⨯= ⑵12425124(254)41240043100⨯=⨯⨯÷=÷=或1242531425311003100⨯=⨯⨯=⨯= ⑶9612596(1258)896000812000 ⨯=⨯⨯÷=÷=或 9612512812512100012000⨯=⨯⨯=⨯=⑷7525825475210015015000⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯=【答案】⑴3930 ⑵3100 ⑶12000 ⑷15000【巩固】 运用乘法的运算律大显身手吧，可以记录自己速算的时间啊．⑴17425⨯⨯ ⑵125198⨯⨯ ⑶12572⨯ ⑷2512516⨯⨯【考点】乘法凑整之乘5的倍数 【难度】2星 【题型】计算【解析】 由于254100⨯=，12581000⨯=，1254500⨯=，运用乘法交换律和结合律，在计算中尽量先把25与4、把125与8或4结合起来相乘后，再与其它数相乘，以简化计算．⑴1742517(425)1700⨯⨯=⨯⨯= ⑵125198(1258)1919000⨯⨯=⨯⨯= ⑶1257212589100099000⨯=⨯⨯=⨯=⑷25125162512528(252)(1258)50100050000⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯= 或25125162512544(254)(1254)10050050000⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯=【答案】⑴1700 ⑵19000 ⑶9000 ⑷50000【巩固】 计算：564251252009⨯⨯⨯⨯．【考点】乘法凑整之乘5的倍数 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 把64拆成248⨯⨯，然后配方．原式5248251252009=⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）522541258200910100100020092009000000=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=（）（）（）【答案】2009000000【巩固】 为了考察大头儿子的速算能力，小头爸爸给他出了一道题，并且限时一分钟，小朋友，你能做到吗？192564125⨯⨯⨯【考点】乘法凑整之乘5的倍数 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 把64分成482⨯⨯，用乘法结合律便可速算．原式2541258192=⨯⨯⨯⨯⨯（）（）（）1001000383800000=⨯⨯=【答案】3800000【巩固】 计算：1733212525⨯⨯⨯．【考点】乘法凑整之乘5的倍数 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 原式1734812525=⨯⨯⨯⨯（）173425812517300000=⨯⨯⨯⨯=（）（）【答案】17300000【巩固】 计算：13×25×125×4×8＝ ．【考点】乘法凑整之乘5的倍数 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2006年，第4届，走美杯，3年级，决赛【解析】 根据凑整的原则，将125和8相乘为1000，25和4相乘，最后结果为：()()132512548=132541258=131001000=1300000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【答案】1300000【巩固】 请快速计算下面各题．⑴200425⨯ ⑵125792⨯【考点】乘法凑整之乘5的倍数 【难度】2星 【题型】计算【解析】 ⑴200425(20004)2520002542550100⨯=+⨯=⨯+⨯=⑵125792125(8008)1258001258100010010001000(1001)99000⨯=⨯-=⨯-⨯=⨯-=⨯-= 【答案】⑴50100 ⑵99000【巩固】 456212525548⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】乘法凑整之乘5的倍数 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 原式456252541258=⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）（）（）456101001000=⨯⨯⨯ 456000000=【答案】456000000【例 3】 聪明的你也来试试吧！⑴2415 ⨯ ⑵8475⨯ ⑶3975 ⨯ ⑷56625 ⨯ 【考点】乘法凑整之乘5的倍数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 ⑴2415(24242)10(2412)10360⨯=+÷⨯=+⨯=⑵8475(214)(253)(213)(425)631006300⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯= ⑶3975 (401)7540751753000752925⨯=-⨯=⨯-⨯=-=⑷56625(78)(1255)(75)(8125)35100035000⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯= 【答案】⑴360 ⑵63000 ⑶2925 ⑷35000 【巩固】 请你简便计算．⑴5365⨯ ⑵63815⨯ ⑶3225⨯ ⑷6875⨯【考点】乘法凑整之乘5的倍数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 ⑴5365536(52)2536022680⨯=⨯⨯÷=÷=⑵63815(6386382)109570⨯=+÷⨯= ⑶322532(254)432004800⨯=⨯⨯÷=÷=⑷6875174253173(425)5100⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=【答案】⑴360 ⑵63000 ⑶2925 ⑷35000【巩固】 计算：813125⨯⨯=【考点】乘法凑整之乘5的倍数 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2006年，第4届，走美杯，3年级，初赛【解析】 根据乘法凑整原则81312581251310001313000⨯⨯=⨯⨯=⨯= 【答案】13000【巩固】 计算：125161119⨯-⨯=____________．【考点】乘法凑整之乘5的倍数 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2007年，第5届，走美杯，3年级，初赛 【解析】 根据乘法凑整原则整理为125161119⨯-⨯()=125829992000100012000100011001⨯⨯-=--=-+=【答案】1001【例 4】 计算：()450002590÷⨯＝【考点】乘法凑整之乘5的倍数 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2006年，第4届，走美杯，4年级，决赛【解析】()450002590÷⨯()=450005045=450005045=100050=20÷⨯÷÷÷ 【答案】20二，乘9、99、999【例 5】 下面各题怎样算简便呢？⑴129⨯ ⑵1299⨯ ⑶12999⨯【考点】乘法凑整之乘9、99、999 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 ⑴利用公式，可以得出结果：12912012108⨯=-=；⑵12991200121188⨯=-=，此题也可用小技巧：“去1添补”法，“补”就是“补数”，和为整十或整百或整千的两个数都可称为互补数.注意：只适用于“两位数乘99”．88去11212×⑶12999120001211988⨯=-=，此题可用小技巧：“去1添补,中间隔9”法. 注意：只适用于“两位数乘999”．中间隔的补数是88去1是1212×【答案】⑴108 ⑵1188 ⑶11988【巩固】 相信你能快速的计算下面各题，我们一起来做做吧．⑴239 ⨯ ⑵3399 ⨯ ⑶259999⨯【考点】乘法凑整之乘9、99、999 【难度】2星 【题型】计算【解析】 利用乘法分配律的公式，可以得出结果，也可以记住下面的小技巧：一个数9⨯，在该数后添0，再减此数；一个数×99，在该数后添00，再减此数；一个数×999，在该数后添000，再减此数…… ⑴23923023207⨯=-=⑵339933100333267⨯=⨯-=，此题也可用小技巧：“去1添补”法，“补”就是“补数”，和为整十或整百或整千的两个数都可称为互补数.注意：只适用于“两位数乘99”．的补数是67去1是3333×⑶25999925000025249975⨯=-=，此题也可用小技巧：“去1添补，中间隔99”法，“补”就是“补数”，和为整十或整百或整千的两个数都可称为互补数.注意：只适用于“两位数乘9999”．中间隔99的补数是75去1是2525×【答案】⑴207 ⑵3267 ⑶249975【巩固】 计算：123456789876543219⨯=【考点】乘法凑整之乘9、99、999 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2008年，学而思杯，4年级 【解析】 原式()21111111119=⨯999999999111111111=⨯111111111000000000111111111=- 111111110888888889= 【答案】111111110888888889【巩固】 算式1234567898765432163⨯值的各位数字之和为 。
四、巩固提升归纳第一章《整式的乘除》中出现的三类典型的蕴含重要数学思想的题型，让学生对知识的运用形成体系，明确在具体题目当中出现的数学方式，并能较好的进行分析和解决。
1.公式的灵活应用将多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个形如（a+b）的完全平方，则添加单项式的方法共有多少种2.数形结合思想我们知道，有些代数恒等式可以用平面图形的面积来表示，例如（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用如图所示的面积关系来说明。
（1）根据图形请你写出一个等式：（2）根据等式请你画出一个能说明等式成立的图形：（2a+b）（a+3b）=2a2+7ab+3b2从代数到图形，从图形到代数，彼此是互相支撑互相补充的关系。
对于给出的代数恒等式（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，可以用同一个图形的面积相等去解释等号左右相等，所谓“以形助数”使代数问题几何化。
另外一方面，给出一个图形，学生也可以根据面积相等列出一个代数恒等式，所谓的“以数辅形”，使几何问题代数化。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，初中数学中实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系。
学情分析学生的知识技能基础：学生在这一章中了解了整数指数幂的意义和正整数指数幂的运算性质，经历了探索整式乘除法法则的过程，理解了整式乘除的算理，运用这些知识解决了一些相关的实际问题。
但这一章的运算法则较多，公式也容易混淆，而且学生对这些知识的理解缺乏整体认知，还没形成体系.学生活动经验基础：在学习整式乘除法的过程中，学生经历了许多数学活动，积累了一定的经验.但是学生有条理的思考和表达能力还比较薄弱，缺乏综合运用知识解决较复杂问题的经验，需要进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。
学生在进行完章测试之后，迫切希望知道成绩以及自己知识点上的欠缺，所以讲评课要抓住学生的这种心理，趁热打铁，促进知识的稳固和提升。
第12章 整式的乘除12.2 整式的乘法第1课时 单项式与单项式相乘教学目标1.让学生通过适当的尝试，获得直接的经验，体验单项式与单项式的乘法运算规律，总结运算法则.2.使学生能正确区别各单项式中的系数，同底数的幂和不同底数幂的因式.3.让学生感知单项式的乘法法则对两个以上的单项式相乘同样成立，知道单项式乘法的结果仍是单项式.4.使学生通过探索理解单项式的乘法中，系数与指数的不同计算方法，正确应用单项式的乘法步骤进行计算，能熟练地进行单项式与单项式相乘和含有加减运算的混合运算.教学重难点重点：对单项式运算法则的理解和应用.难点：尝试与探究单项式与单项式的乘法运算规律.教学过程复习巩固1.口述幂的运算的四个法则.【答案】同底数幂的乘法法则：m n m n a a a +=（m ，n 都是正整数）；幂的乘方：()nm m n a a =（m ，n 都是正整数）；积的乘方：()n n nb a ab =（n 是正整数）；同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（m ，n 是正整数，并且>m n ，0≠a ）.2.幂的运算的四个法则的联系和区别是什么？3.计算：（1）20032004155⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭； （2）()()532532b a b a -+ ； （3）()()32232x x -.【答案】（1）5； （2）0； （3）128x -.导入新课【创设情境，课堂引入】计算（1）3225x x ； （2）3225x x y .教学方式：教师启发引导学生，学生主动探索，逐步认识.分析：运用乘法交换律、结合律，把各因式的系数，相同的字母分别结合，教学反思然后相乘.（1）()()32325252510x x x xx=⨯⨯=；（2）()()32325252510x x y x x y x y =⨯⨯=.探究新知【实践探究，交流新知】通过上面两式的计算，启发引导学生归纳得出： 单项式与单项式相乘的法则： （1）系数相乘作为积的系数；（2）相同的字母，应用同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加； （3）只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式； （4）单项式与单项式相乘的结果仍然是单项式.【合作探究，解决问题】【小组讨论，师生互学】 例1 计算：（1）()2332x y xy - ； （2）()()23254a b b c --. 解：（1）()2332x y xy - ()()()2332x x y y=⨯-⎡⎤⎣⎦………（乘法的交换律与结合律）436y x -=；（2）()()23254a b b c --()()()23254a b b c =-⨯-⎡⎤⎣⎦………（乘法的交换律与结合律）c b a 5220=.例2 计算：（1）()22332x y xy - ； （2）()()2323254a b b c --；（3）()()23254mna b b c --； （4）()()()3222229ab ab ab --.解：（1）()22322647323412x y xy x y x y x y -==；（2）()()()23232466341235425641600a b b c a b b c a b c --=-=-；（3）()()()()()()232232232545454mnmnmnm mn nm m n na b b c a bb c a bc +--=--=--；教学反思（4）()()()3222236224362989ab ab ab a b ab a b a b --=-=-.方法小结：进行计算时，有乘方先算乘方，再算单项式乘以单项式.【巩固练习】 计算： （1）()()433nnab ab - ； （2）23222332a b ab ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （3）()()()()23322122a bc a bc abc abc -----. 【答案】（1）124b a ；（2）6523b a ；（3）0.【总结】（学生总结，老师点评） 单项式乘以单项式的注意事项：（1）计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积； （2）按顺序运算；（3）不要丢掉只在一个单项式里出现的字母因式；（4）单项式乘以单项式的法则对于多个单项式相乘仍然成立. 【拓展延伸】例3 已知-2x 3m +1y 2n 与7x n−6y −3−m 的积与x 4y 是同类项，求m 2＋n 的值. 【思考】根据-2x 3m +1y 2n 与7x n−6y −3−m 的积与x 4y 是同类项，可以得到什么？怎样求m 2+n 的值？解：因为-2x 3m +1y 2n 与7x n−6y −3−m 的积与x 4y 是同类项，所以3164,231,m n n m ++-=⎧⎨--=⎩ 解得2,3.m n =⎧⎨=⎩所以m 2+n ＝7.【总结】（学生总结，老师点评）根据单项式乘以单项式的法则，结合同类项，列出关于m ，n 的二元一次方程组，进而求得代数式的值.课堂练习1.计算3a ·2b 2的结果是（ ）A .3ab 2B .6b 2C .6ab 2D .5ab 2 2.计算-2a 2·3a 的结果是（ ）A .-6a 2B .-6a 3C .12a 3D .6a 3 3.若长方形的宽是a 2，长是宽的2倍，则长方形的面积为 _____.4.一个三角形的一边长为a ，这条边上的高的长度是它的13，那么这个三角形的面积是_____.5.计算：（1）-3x 2 ·5x 3； （2）4y ·（2xy 2）； （3）（-x ）3·（x 2y ）2.6.若（12m n a b ++）·（21n a b -）＝54a b ，求m +n 2的值.教学反思参考答案1.C2.B3.42a4.216a 5. 解：（1）原式＝（-3×5）（23x x ）＝-155 x ； （2）原式＝（4×2）（2y y ）x ＝83xy ； （3）原式＝（- x 3）·（42x y ）＝-72x y .6.解：原式＝1212154m n n a b a b ++-++＝， ∴ 1215214m n n ++-⎧⎨++⎩＝，＝， 解得31.m n ⎧⎨⎩＝，＝∴ 2 4.m n +＝课堂小结单项式乘以单项式中的“一、二、三”一个不变：单项式与单项式相乘时，对于只在一个单项式里出现的字母， 连同它的指数不变，作为积的因式.二个相乘：把各个单项式中的系数、相同字母的幂分别相乘.三个检验：单项式乘以单项式的结果是否正确，可从以下三个方面来 检验：①结果仍是单项式；②结果中含有单项式中的所有字母；③结果 中每一个字母的指数都等于相乘的单项式中同一字母的指数之和.布置作业请完成本课时对应练习！板书设计单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的因式.注意事项（1）应先进行符号运算； （2）按顺序运算；（3）不要丢掉只在一个单项式里出现的字母因式；（4）单项式乘以单项式的法则对于多个单项式相乘仍然成立.教学反思。
初中数学整式乘除教案教学目标：1. 理解整式的概念，掌握整式乘除的基本运算法则；2. 能够熟练地进行整式的乘除运算；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 整式的概念及基本性质；2. 整式的乘法法则；3. 整式的除法法则；4. 整式乘除的综合应用。
教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾小学学过的乘法和除法运算，如2×3=6，6÷3=2等；2. 提问：大家想过吗，这些运算在数学中有什么更高级的应用呢？二、新课讲解（20分钟）1. 引入整式的概念，举例说明整式的形式，如2x、3x^2、4x^3等；2. 讲解整式的乘法法则，通过具体的例子来说明，如(2x+3)×(4x-1)、(a+b)×(c+d)等；3. 讲解整式的除法法则，同样通过具体的例子来说明，如(2x^2+4x+3)÷(2x+1)、(a+b)÷(c+d)等；4. 强调整式乘除运算中的注意事项，如符号的判断、系数的处理等。
三、课堂练习（15分钟）1. 布置一些整式乘除的题目，让学生独立完成；2. 选取一些学生的作业进行讲解和点评，指出其中的错误和不足。
四、巩固提高（10分钟）1. 引导学生总结整式乘除的运算规律和技巧；2. 提供一些综合性的题目，让学生进行思考和解答，如(2x^2+4x+3)÷(2x+1)×(2x+1)、(a+b)÷(c+d)×(c+d)等。
五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，让学生明确整式乘除的重要性；2. 提醒学生在平时的学习中多加强整式乘除的练习，提高自己的数学水平。
教学评价：1. 课后收集学生的作业，评估学生的掌握情况；2. 在下一节课开始时，进行一次整式乘除的测试，检验学生的学习效果；3. 关注学生在课堂上的参与度和提问反馈，了解学生的学习状况。
教学反思：本节课通过讲解整式乘除的基本运算法则，让学生掌握了整式乘除的方法和技巧。
整式的乘除【知识点归纳】1.单项式的概念:由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数.如：的系数为，次数为4,单独的一个非零数的次数是0。
2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
如：，项有、、、1，二次项为、,一次项为,常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1,-2，1，1，叫二次四项式。
3、整式:单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、多项式按字母的升（降）幂排列:如：按的升幂排列：按的降幂排列：按的升幂排列:按的降幂排列：5、同底数幂的乘法法则：（都是正整数）同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如:6、幂的乘方法则:(都是正整数）幂的乘方,底数不变，指数相乘。
如：幂的乘方法则可以逆用:即如：7、积的乘方法则：（是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（=8、同底数幂的除法法则：（都是正整数，且同底数幂相除，底数不变，指数相减.如:9、零指数和负指数;,即任何不等于零的数的零次方等于1.（是正整数），即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。
如：10、科学记数法:如:0.00000721=7.21（第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方)(注意保留有效数字）11、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
注意：①积的系数等于各因式系数的积,先确定符号，再计算绝对值.②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用.⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
如:12、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即(都是单项式）注意：①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
初中数学人教版八年级上册实用资料第十四章整式的乘法与因式分解14．1整式的乘法14．1.1同底数幂的乘法1．理解同底数幂的乘法法则．2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．重点正确理解同底数幂的乘法法则．难点正确理解和应用同底数幂的乘法法则．一、提出问题，创设情境复习a n的意义：a n表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；a叫做底数，n是指数．(出示投影片)提出问题：(出示投影片)问题：一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算，它工作103秒可进行多少次运算？[师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？[生]运算次数＝运算速度×工作时间，所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1015×103.[师]1015×103如何计算呢？[生]根据乘方的意义可知1015×103＝(10×10×…×10)15个10×(10×10×10)＝(10×10×…×10)18个10＝1018.[师]很好，通过观察大家可以发现1015、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1015，103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法．二、探究新知1．做一做(出示投影片)计算下列各式：(1)25×22；(2)a3·a2；(3)5m·5n.(m，n都是正整数)你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题．[生](1)25×22＝(2×2×2×2×2)×(2×2)＝27＝25＋2.因为25表示5个2相乘，22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得a3·a2＝(a·a·a)(a·a)＝a5＝a3＋2.5m·5n＝(5×5·…·5),\s\do4(m个5))×(5×5·…·5),\s\do4(n个5))＝5m＋n.[生]我们可以发现下列规律：a m·a n等于什么(m，n都是正整数)？为什么？(1)这三个式子都是底数相同的幂相乘；(2)相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．2．议一议(出示投影片)[师生共析]a m·a n表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：a m·a n＝(a×a·…·a)m个a·(a×a·…·a)n个a＝a·a·…·a(m＋n)个a＝a m＋n于是有a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)，用语言来描述此法则即为：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．[生]a m表示m个a相乘，a n表示n个a相乘，a m·a n表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有(m＋n)个a相乘，根据乘方的意义可得a m·a n＝a m＋n.[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加．3．例题讲解出示投影片[例1]计算：(1)x2·x5; (2)a·a6；(3)2×24×23; (4)x m·x3m＋1.[例2]计算a m·a n·a p后，能找到什么规律？[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？[生1](1)，(2)，(4)可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则．[生2](3)也可以，先算两个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．[师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，看谁算得又准又快．生板演：(1)解：x2·x5＝x2＋5＝x7；(2)解：a·a6＝a1·a6＝a1＋6＝a7；(3)解：2×24×23＝21＋4·23＝25·23＝25＋3＝28；(4)解：x m·x3m＋1＝x m＋(3m＋1)＝x4m＋1.[师]接下来我们来看例2.受(3)的启发，能自己解决吗？与同伴交流一下解题方法．解法一：a m·a n·a p＝(a m·a n)·a p＝a m＋n·a p＝a m＋n＋p；解法二：：a m·a n·a p＝a m·(a n·a p)＝a m·a n＋p＝a m＋n＋p；解法三：a m·a n·a p＝(a·a…a)m个a·(a·a…a)n个a·(a·a…a)p个a＝a m＋n＋p归纳：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还运用了乘法的结合律；解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．[生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，就一定是底数不变，指数相加．[师]是的，能不能用符号表示出来呢？[生]am1·am2·am3·…am n＝am1＋m2＋m3＋…m n.[师]鼓励学生．那么例1中的第(3)题我们就可以直接应用法则运算了．2×24×23＝21＋4＋3＝28.三、随堂练习1．m14可以写成()A．m7＋m7B．m7·m7C．m2·m7D．m·m142．若x m＝2，x n＝5，则x m＋n的值为()A．7 B．10 C．25D．523．计算：－22×(－2)2＝________；(－x)(－x2)(－x3)(－x4)＝________．4．计算：(1)(－3)2×(－3)5；(2)106·105·10；(3)x2·(－x)5；(4)(a＋b)2·(a＋b)6.四、课堂小结[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？[生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义，了解了同底数幂乘法的运算性质．[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即a m·a n＝a m＋n(m，n是正整数)．五、课后作业教材第96页练习．本课的主要教学任务是“同底数幂乘法的运算性质”：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 在课堂教学时，通过幂的意义引导学生得出这一性质，接着再引导学生深入探讨同底数幂运算，幂的底数可以是“任意有理数、单项式、多项式”，训练学生的整体思想．14．1.2幂的乘方1．知道幂的乘方的意义．2．会进行幂的乘方计算．重点会进行幂的乘方的运算．难点幂的乘方法则的总结及运用．一、复习引入(1)叙述同底数幂乘法法则，并用字母表示：(2)计算：①a2·a5·a n；②a4·a4·a4.二、自主探究1．思考：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算结果有什么规律：(1)(32)3＝32×32×32＝3()；(2)(a2)3＝a2·a2·a2＝a()；(3)(a m)3＝a m·a m·a m＝a()．(m是正整数)2．小组讨论对正整数n，你认识(a m)n等于什么？能对你的猜想给出验证过程吗？幂的乘方(a m)n＝a m·a m·a m…a m n个＝am＋m＋m＋…m,\s\up6(n个m))＝a mn字母表示：(a m)n＝a mn(m，n都是正整数)语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．注意：幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆，例如不能把(a5)2的结果错误地写成a7，也不能把a5·a2的计算结果写成a10.三、巩固练习1．下列各式的计算中，正确的是()A．(x3)2＝x5B．(x3)2＝x6C．(x n＋1)2＝x2n＋1D．x3·x2＝x62．计算：(1)(103)5; (2)(a4)4；(3)(a m)2; (4)－(x4)3.四、归纳小结幂的乘方的意义：(a m)n＝a mn.(m，n都是正整数)五、布置作业教材第97页练习．运用类比方法，得到了幂的乘方法则．这样的设计起点低，学生学起来更自然，对新知识更容易接受．类比是一种重要的数学思想方法，值得引起注意．14．1.3积的乘方1．经历探索积的乘方和运算法则的过程，进一步体会幂的意义．2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．重点积的乘方运算法则及其应用．难点幂的运算法则的灵活运用．一、问题导入[师]提出的问题：若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？[生]它的体积应是V＝(1.1×103)3cm3.[师]这个结果是幂的乘方形式吗？[生]不是，底数是1.1与103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，我认为应是积的乘方才有道理．[师]积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？用前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥妙．二、探索新知老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳．(出示投影片)1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a()b()；(2)(ab)3＝________＝________＝a()b()；(3)(ab)n＝________＝________＝a()b()．(n是正整数)2．把你发现的规律先用文字语言表述，再用符号语言表达．3．解决前面提到的正方体体积计算问题．4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法．5．完成教材第97页例3.学生探究的经过：1．(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a2b2，其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数幂的乘法法则．同样的方法可以算出(2)，(3)题；(2)(ab)3＝(ab)·(ab)·(ab)＝(a·a·a)·(b·b·b)＝a3b3；(3)(ab)n＝(ab)·(ab)·…·(ab)n个ab＝a·a·…·an个a·b·b·…·bn个b＝a n b n.2．积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．用符号语言叙述便是：(ab)n＝a n·b n.(n是正整数)3．正方体的V＝(1.1×103)3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算：V＝(1.1×103)3＝1.13×(103)3＝1.13×103×3＝1.13×109＝1.331×109(cm3)．通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算法则：(ab)n＝a n·b n.(n为正整数)积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．再考虑如下问题：(abc)n如何计算？是不是也有类似的规律？3个以上的因式呢？学生讨论后得出结论：三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质，即(abc)n＝a n·b n·c n.(n为正整数) 4．积的乘方法则可以进行逆运算．即a n·b n＝(ab)n.(n为正整数)分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算．对于a n·b n＝(a·b)n(n为正整数)的证明如下：a n·b n＝(a×a×…×a)n个a(b×b×…×b)n个b——幂的意义＝(ab)(ab)(ab)(ab)…(ab)n个(ab)——乘法交换律、结合律＝(a·b)n——乘方的意义5．[例3](1)(2a)3＝23·a3＝8a3；(2)(－5b)3＝(－5)3·b3＝－125b3；(3)(xy2)2＝x2·(y2)2＝x2·y2×2＝x2·y4＝x2y4；(4)(－2x3)4＝(－2)4·(x3)4＝16·x3×4＝16x12.(学生活动时，老师深入到学生中，发现问题，及时启发引导，使各个层面的学生都能学有所获)[师]通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用．可以作如下归纳总结：(1)积的乘方法则：积的乘方等于每一个因式乘方的积．即(ab)n＝a n·b n.(n为正整数)(2)三个或三个以上的因式的积的乘方也是具有这一性质．如(abc)n＝a n·b n·c n；(n为正整数)(3)积的乘方法则也可以逆用．即a n·b n＝(ab)n，a n·b n·c n＝(abc)n.(n为正整数)三、随堂练习1．教材第98页练习．(由学生板演或口答)四、课堂小结(1)通过本节课的学习，你有什么新的体会和收获？(2)在应用积的运算性质计算时，你觉得应该注意哪些问题？五、布置作业(1)(－2xy)3；(2)(5x3y)2；(3)[(x＋y)2]3；(4)(0.5am3n4)2.本节课属于典型的公式法则课，从实际问题猜想——主动推导探究——理解公式——应用公式——公式拓展，整堂课体现以学生为本的思想。
第12章 整式的乘除12.1 幂的运算第2课时 幂的乘方教学目标1.使学生掌握幂的乘方法则，并能够用式子表示；2.通过自主探索，让学生明确幂的乘方法则是根据乘方的意义和同底数幂的乘法法则推导出来的，并能利用幂的乘方的法则熟练地进行幂的乘方运算；3.培养学生在学习上探索与建构的思想.教学重难点重点：幂的乘方法则的应用. 难点：理解幂的乘方的意义.教学过程复习巩固1.同底数幂的乘法法则是什么？用式子怎样表示？【答案】同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加 ，m n m n a a a +=（m ，n 为正整数）.2.计算：（1）22000x x ；（2）()()2322--；（3）()()233x x x ---；（4）()()()23a b a b a b ---.【答案】（1）2002x ；（2）5(2)-；（3）8x ；（4）6()a b -.导入新课【创设情境，课堂引入】 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空. （1）()()22223323=⨯=；（2）()()3333322232=⨯⨯=；（3）()()433333a a a a a a ==.探究新知【实践探究，交流新知】【教师引导，解决问题】【提问】同学们通过上述几道题的计算，观察一下这几道题有什么共同特点？【学生活动】先独立思考，再踊跃回答.教学反思两种运算，一种是同底数幂的乘法，另一种是幂的乘方. 【提问】通过计算探究其结果有什么规律？ 幂的乘方可以转化为同底数幂的乘法.【学生活动】根据上述探索得到的规律计算()nm a （m ，n 为正整数）.引入课题 概括：()n nm m mm m m mmn n a a a a a a +++===个个（m ，n 为正整数）.幂的乘方法则： （1）字母表示：()nm mn aa =（m ，n 为正整数）.（2）文字叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 【注意】a 可以是单独的字母，具体的数或者多项式. 【思考】同底数幂的乘法运算性质与幂的乘方的运算性质有什么相同点和【巩固练习】计算：（1）2432()x x x +； （2）33)(a 43()a ；（3）22()m x y +⎡⎤-⎣⎦； （4）（0.125）17×（216）3.【答案】621241(1)2(2)(3)()(4).8m x a x y +-；；；【合作探究，解决问题】【小组讨论，师生互学】 例1 计算： （1）()5310； （2）()43b； （3）()52a；（4）()()2332a a ⎡⎤--⎣⎦.解：（1）()155353101010==⨯； （2）()124343b b b ==⨯；（3）()105252a a a ==⨯； （4）()()()23362612aa a a a ⎡⎤--=--=-⎣⎦. 【思考】（-a 2）5和（-a 5）2的结果相同吗?为什么?【学生活动】先独立思考，再与同伴交流. 不相同.理由如下：（-a 2）5表示5个（-a 2）相乘，其结果是负的；教学反思（-a 5）2表示2个（-a 5）相乘，其结果是正的. 【思考总结】（学生总结，老师点评）(−a n )m ＝{a mn (m 为偶数)，−a mn(m 为奇数).例2 计算： （1）()()3422aa ； （2）()()4234244a a a aa+-；（3）()()()2433362x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦⎣⎦.解：（1）()()34226814a a a a a ==； （2）()()4234248888442a a a a aa a a a +-=+-=-；（3）()()()()()()24333618181822x y x y x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤----=---=--⎣⎦⎣⎦⎣⎦.例3 如果292164n =，求3n 的值. 解：∵292164n =， ∴2418222n =， ∴1842=+n ， ∴4=n .课堂练习1.下列各式中，与51m x +相等的是（ ） A . 51()m x + B . 15()m x + C . 5()m x x D . 5m x x x2. 14x 不可以写成（ ）A . 533()x xB . 238()()()()x x x x ----C . 77()xD . 3452x x x x 3.若 28()m x x =，则m ＝ . 4.若 3212[()]m x x =，则m ＝ .5.若 22m m x x =，求9m x 的值.6.若 33n a =，求34()n a 的值.7.已知 2,3m n a a ==，求23m n a +的值.参考答案1. C2.C3.44.25.解： 2393332()28m m m m m x x x x x ＝＝，＝＝＝.6.解：344()381.n a ＝＝教学反思7.解：23m na+＝（a m）2·（a n）3＝22×33＝4×27＝108.课堂小结幂的乘方法则()().()]().m n mnm n p mnpa a m na a m n p⎧⎪=⎨⎪=⎩内容：幂的乘方，底数不变，指数相乘.字母表示：，都是正整数推广：[，，都是正整数【注意】幂的底数，可以是数，可以是字母，也可以是多项式.幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则的区别在于：同底数幂的乘法是指数相加，而幂的乘方则是指数相乘.布置作业请完成本课时对应练习！板书设计幂的乘方1. 幂的乘方的运算法则：（a m）n＝a mn（m，n都是正整数），语言表述：幂的乘方，底数不变，指数相乘.2.【注意】（1）运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.（2）在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式.（3）(−a n)m＝{a mn(m为偶数)，−a mn(m为奇数).3.［（a m）n］p＝a mnp（m，n，p都是正整数）.教学反思。
在整式及其加减运算后，进一步学习整式的乘除，是对整式运算的延展和补充．整式的乘除法的基础是同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，单项式除以单项式、多项式除以单项式等运算．通过这节课的学习，一方面加强对整式乘除运算的进一步理解，另一方面也为后期学习分式的运算奠定基础．1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系整式的乘除法综合知识结构数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按”先乘方、再乘法”的顺序进行．例如：()()()22224245234312xy x y x y x y x y ⋅-=⋅-=-． 2、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项．再把所得的积相加．例如：()m a b c ⋅++=ma mb mc ++．3、多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 用公式表示为：()()()()m n a b m n a m n b ma na mb nb ++=+++=+++．4、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．用式子表示为：m n m n a a a -÷=（m 、n 都是正整数且m n >，0a ≠）．5、规定()010a a =≠；1p p a a -=（0a ≠，p 是正整数）．6、单项式除以单项式的法则：两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．7、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加．（1）多项式除以单项式，商式与被除式的项数相同，不可丢项．（2）要求学生说出式子每步变形的依据．（3）让学生养成检验的习惯，利用乘除逆运算，检验除的对不对．一、选择题1. 下列运算中结果正确的是（ ）．A 、336x x x ⋅=；B 、224325x x x +=；C 、()325x x =；D 、()222x y x y +=+．【难度】★【答案】A【解析】B 正确答案为：222325x x x +=； C 正确答案为()326x x =；D 正确答案为()2222y xy x y x ++=+．【总结】本题主要考查对整式的运算法则的理解和运用．2. 在下列的计算中正确的是（ ）．A 、255x y xy +=B 、()()2224a a a +-=+C 、23a ab a b ⋅=D 、()22369x x x -=++【难度】★【答案】C【解析】A 的两个单项式不能合并； B 正确答案为()()2224a a a +-=-；D 正确答案为()22369x x x -=-+．【总结】本题主要考查对整式的运算法则的理解和运用．3. 下列运算中正确的是（ ）．A 、()()632632x x x ÷=B 、()()826842x x x ÷=C 、()()233xy x y ÷=D 、()()222x y xy xy ÷=【难度】★【答案】B【解析】A 正确答案为()()633632x x x ÷=； C正确答案为()()22333xy x xy ÷=；D 正确答案为()()2221x y xy ÷=．【总结】本题主要考查对整式的除法则的理解和运用．4. 计算()()()224a b a b ab ⎡⎤+--÷⎣⎦的结果是（ ）． A 、4a b + B 、4a b - C 、1 D 、2ab 【难度】★【答案】C【解析】原式=()[]()()1444222222=÷=÷-+-++ab ab ab ab b a ab b a ．【总结】本题属于混合运算，计算时注意对相关运算法则的准确运用．5. 如果()24343a ab M a b -÷=-+，那么单项式M 等于（ ）．A 、abB ．ab -C ．a -D ．b -【难度】★【答案】C【解析】∵()()b a a b a a ab a 3434342+--=-=-， ∴a M -=．【总结】本题主要考查对整式的除法则的理解和运用．6. 设M 是一个多项式，且22453232M x y x y x ÷=-+，那么M 等于（ ）． A 、454369510x y x y -+ B 、36552y xy -+ C 、45310532x y x y -+ D 、45310532x y x y - 【难度】★★【答案】C 【解析】242242245335535105222332332M x y x x y x y x y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫=-+⋅=-⋅+⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【总结】本题主要考查对整式的除法则的理解和运用．7. 已知2264x kxy y -+是一个完全平方式，则k 的值是（ ）．A 、8B 、±8C 、16D 、±16【难度】★★【答案】D【解析】()()()222222648=288x kxy y x kxy y x xy y -+=-+±-⨯±+±．【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解和运用．8. 如下图（1），边长为a 的大正方形中一个边长为b 的小正方形，小明将图（1）的阴影部分拼成了一个矩形，如图（2）．这一过程可以验证（ ）．A 、()2222a b ab a b -=-+B 、()2222a b ab a b ++=+；C 、()()22232a ab b a b a b +=---D 、()()22a b a b a b =-+-【难度】★★【答案】D【解析】图1中，阴影部分的面积为22b a -，图2中，阴影部分为长方形，长为()b a +，宽为()b a -， 面积为()()b a b a +-．【总结】本题通过图形面积的转化加强对平方差公式的理解．9. 如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①()()2a b m n ++； ②()()2a m n b m n +++；③()()22m a b n a b +++； ④22am an bm bn +++，你认为其中正确的有（ ）A 、①②B 、③④C 、①②③D 、①②③④【难度】★★【答案】D【解析】图中①②③④中各个代数中表示图中长方形的面积．【总结】本题主要是通过图形的面积加强对整式乘法的理解．10. 已知7115P m =-，2815Q m m =-（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为（ ）A 、P Q >B 、P Q =C 、P Q <D 、不能确定【难度】★★★【答案】C 【解析】0432111157158222>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-m m m m m m P Q ． 【总结】本题主要考查通过作差法来比较两个数的大小．二、填空题11. 若5320x y --=，531010x y ÷= ．【难度】★【答案】100【解析】∵5320x y --=，∴532x y -=，∴535321010=1010100x y x y -÷==．【总结】本题主要考查对同底数幂相除的法则的逆用．12. 已知2m n +=，2mn =-，则()()11m n --=___ ____．【难度】★【答案】-3【解析】()()()()11111223m n m n mn m n mn --=--+=-++=-+-=-．【总结】本题一方面考查整式的乘法，另一方面考查整体代入思想的运用．13. 若226m n -=，且3m n -=，则m n += ．【难度】★【答案】2．【解析】∵()()226m n m n m n -=+-=，3m n -=，∴2m n +=．【总结】本题主要考查对平方差公式的运用．14. 方程()()()()32521841x x x x +--+-=的解是_______．【难度】★【答案】3=x ．【解析】∵()()()()32521841x x x x +--+-=，∴()4181621565222=-+---+-x x x x x x ，即4816=x ， ∴3=x ． 【总结】本题通过利用整式的乘法来进行方程的求解．15. 已知251x x -=，那么221x x +=_______．【难度】★★【答案】27【解析】∵251x x -=， ∴51=-x x ． ∴2512=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ,∴252122=-+x x ． ∴22127x x +=． 【总结】当两个数互为倒数时，已知它们的和或者差，都可以利用完全平方公式求出它们的平方和．16. 设()2423121x m x -++是一个完全平方式，则m =_______．【难度】★【答案】19或-25【解析】∵()()()()22242312122311x m x x m x -++=-++，∴()4432±=+m ， ∴m 为19或-25．【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解和运用．17. 计算()()32223x xy x y ⋅-⋅-的结果是 ．【难度】★★【答案】5918y x -【解析】()()()322226395232918x xy x y x x y x y x y ⋅-⋅-=⋅⋅-=-．【总结】本题主要考查对单项式乘以单项式法则的理解和运用．18. 已知5x -与一个整式的积是234251520x x y x +-，则这个整式=_________________．【难度】★★【答案】32435x y x x +--．【解析】()()234232515205534x x y x x x x y x +-÷-=--+．【总结】本题主要考查对整式的除法的法则的理解和运用．19. 若一三角形的底为2142a +，高为4211624a a -+，则此三角形的面积为．【难度】★★★ 【答案】161326+a ． 【解析】16132818864214121621421624246242+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅a a a a a a a a a ． 【总结】本题主要是利用整式的乘法来求解几何图形的面积．20. 已知223x x +-能整除3249x x mx n +++，求m ，n 的值．【难度】★★★【答案】10-=m ，3-=n ．【解析】∵()()()322492331x x mx n x x A x x A +++=+-⋅=+-⋅，∴3-=x 和1=x 满足09423=+++n mx x x ．则()()⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯+⨯=+--⨯+-⨯019140339342323n m n m ， ∴⎩⎨⎧-=-=310n m ． 【总结】本题是一道综合性比较强的题目，计算时要注意方法的选择．三、简答题21. 计算：()()()2x y x y x y --+-． 【难度】★【答案】xy y 222-．【解析】原式=()xy y y x xy y x 22222222-=---+．【总结】本题主要考查对整式运算中的相关法则的运用．22. 计算：（1）()()()()233322222x y xy x y x ⋅-+-÷； （2）()()222226633m n m n m m --÷-．【难度】★【答案】（1）736x y -；（2）．【解析】（1）原式=()()()()233322222x y xy x y x ⋅-+-÷()()()629324282x y xy x y x =⋅-+-÷ 737373246x y x y x y =--=-；（2）原式=()()()2222222636333m n m m n m m m ÷--÷--÷-2221n n =-++．【总结】本题主要考查对整式运算中的相关法则的运用． 23. 计算：()()2566x x x +-÷+．【难度】★【答案】1-x【解析】()()()1616-=+÷-+x x x x ．【总结】本题主要是利用因式分解进行多项式除以多项的计算．24. 计算：（1）()()423()x y x y x y --+-； （2）()()56423333632a b c a b c a b c ÷-÷．【难度】★【答案】（1）y x y xy x +---221252；（2）-1．【解析】（1）原式=2223812x xy xy y x y +---+222512x xy y x y =---+；1222++-n n（2）原式=()122333333-=÷-c b a c b a ． 【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用．25. 计算：（1）()221a b +- ； （2）()()222341323x x x x x -+--； （3）()()()22322a b a b a b +--+； （4）()()2282x y y x y x x ⎡⎤+-+-÷⎣⎦． 【难度】★ 【答案】（1）1424422+--++b a b ab a ；（2）x x 22+；（3）ab b 12102+；（4）421-x ．【解析】（1）原式=()()142441222222+--++=++-+b a b ab a b a b a ；（2）原式=()x x x x x x x x x x x x 29628696286223232323+=+-+-=--+-； （3）原式=()ab b b a ab b a 12104129422222+=--++； （4）原式=()[]()4212828222222-=÷-=÷-+-++x x x x x x y xy xy y x ． 【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用．26. 计算下列各题：（1）()()()253n n m m mn a a a ⋅-÷；（2）323322227533x y xy y y ⎛⎫⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）mn a 2；（2）y xy x +-221533． 【解析】（1）原式=mn mn mn mn a a a a 256=÷⋅；（2）原式=()y xy x y y y xy y y x +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛÷-⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎭⎫ ⎝⎛221533232327325232323223． 【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用．27. 若36,92m n ==求2413m n -+的值．【难度】★★【答案】27【解析】()()222412422333339362327m n m n m n -+=÷⋅=÷⋅=÷⨯=．【总结】本题是对幂的运算的综合运用．28. 解不等式：()()()()138552x x x x x +++>+--．【难度】★★ 【答案】25->x 【解析】22583322-->++++x x x x x ，3012->x ，25->x ． 【总结】本题主要是利用整式的乘法来求解不等式的解集．29. 已知：230x -=，求代数式()()2259x x x x x ---＋的值． 【难度】★★【答案】0【解析】∵230x -=．∴原式=322325949(23)(23)0x x x x x x x -+--=-=+-=．【总结】本题主要是对整体代入思想的运用．30. 先化简，再求值：()()222224xy xy x y xy ⎡⎤+--+÷⎣⎦（其中x =10，125y =-）． 【难度】★★ 【答案】52 【解析】原式=()xy xy y x xy y x y x -=÷-=÷+--222222424．当x =10，125y =-时，原式=5225110=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-． 【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用．31. 先化简，再求值：()()()()222111a b a b a b a --+-++++，其中12a =，2b =-． 【难度】★★【答案】13【解析】原式=()[]()ab b a a b a ab b a 42411442222222-+=++-+--+，当12a =，2b =-时，原式=()()1322142221422=-⨯⨯--⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯． 【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用．32. 先化简，再求值：()()2––a b b a b +，其中2a =，12b =-．【难度】★★【答案】5【解析】原式=ab a b ab b ab a -=-++-22222，当2a =，12b =-时，原式=521222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-． 【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用．33. 先化简，再求值：()()()()232325121x x x x x +-----，其中13x =-． 【难度】★★【答案】-8【解析】原式=()()591445549222-=+-----x x x x x x ，当13x =-时，原式=85319-=-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯． 【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用．34. 先化简，再求值：()()()231332222x y x y y x ⎡⎤⎡⎤-÷-÷-⎣⎦⎣⎦，其中2,1x y ==-【难度】★★【答案】5【解析】原式=()()()y x y x y x y x -=-÷-÷-22226613，当2,1x y ==-时，原式=()5122=--⨯．【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用．35. 一个多项式除以223x x -+，得商为1x +，余式为25x -，求这个多项式．【难度】★★【答案】2323-+-x x x ．【解析】()()()223125x x x x -+++-322223325x x x x x x =+--+++-3232x x x =-+-．【总结】本题主要是考查对题目的理解能力．36. 已知一个三角形的面积是()32234612a b a b ab -+，一边长为2ab ，求该边上的高．【难度】★★【答案】221264b ab a +-．【解析】()3223246122a b a b ab ab -+÷322382122242a b ab a b ab ab ab =÷-÷+÷ 224612a ab b =-+．即该边上的高为221264b ab a +-．【总结】本题主要是考查对题目的理解能力．37. 若()03210x y +-无意义，且25x y +=，求,x y 的值．【难度】★★【答案】0=x ，5=y ．【解析】由题意可知：01023=-+y x ．又∵25x y +=， ∴0=x ，5=y ．【总结】本题主要考查0a 有意义的条件．38. 若()()228 3x mx x x n +--+的展开式中不含2x 和3x 项，求m 和n 的值． 【难度】★★【答案】3=m ，17=n ．【解析】原式=432322338248x x nx mx mx mnx x x n -++-+-+-()()()432338248x m x n m x mn x n =+-+--++-．∵展开式中不含2x 和3x 项， ∴03=-m ，083=--m n ， ∴3=m ，17=n ． 【总结】本题主要考查多项式的乘法运算结果中不含有某一项的意义．39. 若a =2005，b =2006，c =2007，求222a b c ab bc ac ++---的值．【难度】★★【答案】3【解析】原式=()()()[]362121222=⨯=-+-+-b c c a b a ． 【总结】本题主要是对完全平方公式的综合运用．40. 说明代数式()()()2()2x y x y x y y y ⎡⎤--+-÷-+⎣⎦的值，与y 的值无关．【难度】★★【答案】见解析．【解析】原式=()[]()()()x y x y y y xy y y y y x xy y x =++-=+-÷-=+-÷---+2222222222， ∴此代数式的值与y 的值无关．【总结】本题主要考查多项式的乘法运算结果中不含有某一项的意义．41. 一个正方形的边长增加3cm ，它的面积增加了45cm 2．求这个正方形原来的边长．若边长减少3cm ，它的面积减少了45cm 2，这时原来边长是多少呢【难度】★★【答案】6cm ；6cm ．【解析】设原来正方形的边长为x cm ．则()45322+=+x x ，解得：6=x ． ∴正方形原来的边长为6 cm ．设原来正方形的边长为y cm ，则()45322-=-y y ，解得：6=y ． ∴正方形原来的边长为6 cm ．【总结】本题主要考查整式的乘法在实际问题中的运用．42. 如图所示，长方形ABCD 是“阳光小区”内一块空地，已知AB =2a ，BC =3b ，且E 为AB 边的中点，13CF BC =，现打算在阴影部分种植一片草坪，求这片草坪的面积．【难度】★★【答案】ab 2．【解析】ab b a b a 22213221=⋅⋅-⋅⋅． 【总结】本题主要考查整式的乘法在实际问题中的运用．43.如图，某市有一块长为()2a b+米的长方形地块，规+米，宽为()3a b划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米并求出当3a=，2b=时的绿化面积．【难度】★★【答案】ab52+；63．a3【解析】()()()2++-+32a b a b a b()2222a ab ab b a ab b=+++-++63222=+．53a ab当3a=，2b=时，原式=63⨯⨯⨯．+323352=【总结】本题主要考查整式的运算在实际问题中的运用．44.“光明”中学为了改善校园建设，计划在长方形的校园中间修一个正方形的花坛，预计正方形花坛的边长比场地的长少8米，比它的宽少6米，并且场地的总面积比花坛的面积大104平方米，求长方形的长和宽．【难度】★★★【答案】场地的长为12米，宽为10米．【解析】设正方形的边长为x，则场地的长为()8+x米，宽为()6+x米．则()()104+xx，解得：4=x+x682=-∴场地的长为12米，宽为10米．【总结】本题主要考查整式的运算在实际问题中的运用．45.某城市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过a吨，每吨m元；若超过a吨，则超过的部分以每吨2m元计算．现有一居民本月用水x吨，则应交水费多少元【难度】★★★【答案】见解析．【解析】当ax>，应交水费为x≤，应交水费为am；当a()am⋅-=+22．amxam-mx【总结】本题主要考查整式的运算在实际问题中的运用．46. 求证：无论x 、y 为何值，2241293035x x y y -+++的值恒为正．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】∵()()222241293035=233+510x x y y x y -+++-++>， ∴无论x 、y 为何值，2241293035x x y y -+++的值恒为正．【总结】本题主要利用配方来说明代数式的正负性．四、解答题47. 已知：2223421111533n n n n xyz m x y z x y z ++-+⎛⎫-⋅=÷ ⎪⎝⎭，且正整数x 、z 满足：12372x z -⋅=，求m 的值．【难度】★★ 【答案】527． 【解析】∵2223421111533n n n n xyz m x y z x y z ++-+⎛⎫-⋅=÷ ⎪⎝⎭， ∴32322215191z y x m z y x =⋅．∴xz z y x z y x m 5391151222323=÷=．∵正整数x 、z 满足：12372x z -⋅=， ∴3=x ，21=-z ． ∴3=x ，3=z ，∴5273353=⨯⨯=m ． 【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用．48. 已知()5329812f x x x x =-+，()6545476912g x x x x =-+． 求：()()()25318f x x g x x ⎛⎫÷--÷- ⎪⎝⎭的值． 【难度】★★ 【答案】x x x 4301435823-+-． 【解析】()()()25318f x x g x x ⎛⎫÷--÷- ⎪⎝⎭()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+---÷+-=2456235185127946531289x x x x x x x x⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---+-=2342410215834383x x x x x x x x x 4301435823-+-=．【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用．49. 已知关于x 的三次多项式除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，求这个三次多项式．【难度】★★ 【答案】831133523-++-x x x ． 【解析】设关于x 的三次多项式为：32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，且()f x 除以21x -与除 以24x -后，所得的商式分别为：ax m +与ax n +． 则()()3221()25ax bx cx d x ax m x +++=-⋅++-①()()3224()34ax bx cx d x ax n x +++=-⋅++-+②∴把1±=x 代入①可得：3-=+++d c b a ，7-=+-+-d c b a ．把2±=x 代入②可得：2248-=+++d c b a ，10248=+-+-d c b a ．解得：35-=a ，3=b ，311=c ，8-=d ． ∴ 关于x 的三次多项式为831133523-++-x x x ． 【总结】本题是一道综合性比较强的题目，计算时要注意方法的选择．50. 阅读下列题目的解题过程：已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且满足222244c a c b a b -=-，试判断ABC ∆的形状．解：222244c a c b a b -=-2222222222()()()()()ABC c a b a b a b B c a b C ∆∴-=+-∴=+∴是直角三角形问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误请写出该步的代号： ；（2）错误的原因为： ；（3）本题正确的结论为： ．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】（1）（C ）；（2）因为()22b a -不能确定能不能为零．（3）ABC △为直角三角形或等腰三角形．∵222244c a c b a b -=-， ∴()()()2222222b a b a b a c -+=-． ∴()()()02222222=-+--b a b a b a c ． ∴()[]()022222=-+-b a b a c ． ∴()0222=+-b a c 或22b a =． ∴222b a c +=或b a =或b a -=． ∵a 、b 、c 为ABC ∆的三边， ∴222b a c +=或b a =． ∴ABC △为直角三角形或等腰三角形．【总结】本题主要是对等式的基本性质的考查，等式两边同除的数一定不为零．。
