多元函数微分学偏导数与全微分
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多元函数的全微分与偏导数
多元函数的全微分与偏导数多元函数是数学分析中非常重要的一个概念，它描述了多个自变量对应的函数值的变化规律。
全微分和偏导数则是研究多元函数性质的重要工具。
在本文中，我们将探讨多元函数的全微分与偏导数的定义、性质和应用。
一、全微分的概念与性质1.1 全微分的定义设函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 在点$(x_{1_0},x_{2_0},\cdots,x_{n_0})$ 具有一阶连续偏导数，则在该点的全微分为：$$\mathrm{d} f=f_{x_1}\mathrm{d} x_1+f_{x_2}\mathrm{d}x_2+\cdots+f_{x_n}\mathrm{d} x_n$$其中 $f_{x_i}$ 表示 $f$ 对 $x_i$ 的偏导数，$\mathrm{d}x_i$ 表示 $x_i$ 的微小增量。
1.2 全微分的性质全微分具有以下性质：（1）全微分的值与路径无关。
即，从点 $A$ 到点 $B$ 的全微分值相等。
（2）全微分对各变量的求导顺序不影响结果。
（3）全微分的二阶导数与求导顺序无关。
二、偏导数的定义与求解方法2.1 偏导数的定义函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 对自变量 $x_i$ 的偏导数定义为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\lim_{\Delta x_i\rightarrow0}\frac{f(x_1,x_2,\cdots,x_{i-1},x_i+\Delta x_i,x_{i+1},\cdots,x_n)-f(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\Delta x_i}$$偏导数表示 $f$ 在某一自变量上的变化率。
2.2 偏导数的求解方法对于多元函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，求偏导数的方法如下：（1）保持其他自变量不变，对于某个自变量求导数。
（2）对于每个自变量都求一遍偏导数。
多元微积分学
多元微积分学摘要：1.多元微积分学的基本概念2.多元函数的极限与连续3.偏导数4.全微分5.多元函数的泰勒公式6.隐函数定理与微分中值定理7.多元函数的极值与最值问题8.多元函数的曲线拟合与参数估计9.多元微积分学的应用正文：一、多元微积分学的基本概念多元微积分学是微积分学的一个重要分支，主要研究多元函数的极限、连续、微分、积分等性质。
在多元微积分学中，我们通常考虑两个或两个以上的变量，例如x, y, z 等。
多元微积分学的基本概念包括多元函数、多元函数的极限与连续、偏导数、全微分等。
二、多元函数的极限与连续在多元函数中，我们需要研究函数在某一点的极限与连续性。
多元函数的极限定义为函数在某一点的邻域内的函数值趋于某一值的趋势。
而连续性则表示函数在某一点的左右极限存在且相等。
三、偏导数偏导数是多元函数微分学的基础概念，用于研究多元函数在某一点的变化率。
偏导数可分为一阶偏导数和二阶偏导数。
一阶偏导数表示函数在某一点的沿某一方向的变化率，而二阶偏导数表示函数在某一点的沿某一方向的曲率。
四、全微分全微分是多元函数微分学的另一个重要概念，用于研究多元函数在某一点的整体变化率。
全微分可以用于求解多元函数的泰勒公式，以及多元函数在某一点的隐函数定理与微分中值定理。
五、多元函数的泰勒公式多元函数的泰勒公式是多元微积分学中的一种重要公式，用于表示多元函数在某一点的近似值。
泰勒公式可以将多元函数展开为一个无穷级数，从而便于研究函数的性质。
六、隐函数定理与微分中值定理隐函数定理是多元微积分学中的一个重要定理，用于研究多元函数的隐函数。
微分中值定理则表示多元函数在某一点的平均变化率等于函数在该区间内某一点处的瞬时变化率。
七、多元函数的极值与最值问题多元函数的极值与最值问题是多元微积分学中的一个重要问题，研究如何求解多元函数在某一区域内的最大值与最小值。
这个问题可以通过求解多元函数的偏导数方程组来解决。
八、多元函数的曲线拟合与参数估计多元函数的曲线拟合与参数估计是多元微积分学中的一个重要应用，用于研究如何用多元函数来表示一组数据。
多元函数的全微分和偏导数.
注 (1) z f ( x, y) 在点( x0 , y0 )可微反映的是函数在点
( x0 , y0 ) 具有这样的性质:
“在点( x0 , y0 ) 全增量可以用自变量增量的线性函数近似” (2) z f ( x, y)在点( x0 , y0 )微分dz是 z f ( x, y)在点
[1 x 6 1 x 4] 11 x 8x 8 lim lim x 0 x 0 x x
2 2
1 3(2 y) 2 y 2 11 z lim 7 y (1, 2) x0 y
1 y 2
lim 又 y 0 sin
不存在, 故
不存在 注 分段函数求偏导数时,要分在分段点和非分段点考虑,
分段点通常采用定义去求.
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(三)可导与连续 函数在某点各偏导数都存在,但在该点不一定连续. xy , x2 y2 0 2 显然 z f ( x, y ) x y 2 例 0 , x2 y2 0
为函数 z f ( x, y )在 ( x0 , y0 ) 处对 y 的偏增量。
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定义 8.3.2 设函数 z f ( x, y ) 在点( x0 , y0 )的某邻域内极限
存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 )对 x 的偏导数， 记为 同样可定义对 y 的偏导数:
的二阶偏导数 .按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数:
z ( z ) f ( x, y ); xx x x 2 x
2
2 z z ( ) f x y ( x, y ) x y y x
高中数学备课教案多元函数的偏导数与全微分的计算
高中数学备课教案多元函数的偏导数与全微分的计算高中数学备课教案：多元函数的偏导数与全微分的计算一、引言在微积分中，多元函数的偏导数与全微分是重要的概念和计算方法。
它们在解决实际问题和优化函数时起着关键作用。
本教案将重点介绍多元函数的偏导数和全微分的计算方法，以帮助学生深入理解和掌握这一内容。
二、多元函数的偏导数2.1 一元函数的导数回顾我们首先回顾一下一元函数的导数概念。
对于函数 $y = f(x)$，其在点 $x_0$ 处的导数 $f(x_0)$ 定义为：$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$2.2 多元函数的偏导数定义对于多元函数 $z = f(x, y)$，我们可以将其变为一元函数的形式来定义偏导数。
偏导数是指在某一点上，对其中一个自变量求导时，将其他自变量视为常数。
具体地，对于函数 $z = f(x, y)$，其关于 $x$ 的偏导数记作 $\frac{\partial z}{\partial x}$，表示在点 $(x, y)$ 处，将 $y$ 视为常数，对 $x$ 求导。
$$\frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}$$同样地，我们可以定义关于 $y$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial y}$。
偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，需要注意将其他自变量视为常数。
2.3 偏导数的求解示例现在我们通过一个实例来计算多元函数的偏导数。
考虑函数 $z =x^2 + 2xy + y^2$，计算其关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数。
对于 $\frac{\partial z}{\partial x}$，我们将 $y$ 视为常数，所以可以直接对 $x$ 求导。
多元函数微积分学 6.3偏导数与全微分
=1+ 2×0.04 + 0×0.02 =1.08.
24
2. 全微分的运算公式 设二元函数 u(x,y) , v(x,y) 均可微 , 则 ((v(x,y) ≠0)), 也可微 且 也可微,
d( ku)
(k为常数 为常数), 为常数
(k为常数), (k为常数), 为常数
= du ± dv, = vdu + udv,
26
f (x, y),
处连续. 即 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处连续
17
定理4 (充分条件) 若函数
∂z ∂z 的偏导数 , ∂x ∂y 在 (x, y) 连 , 则函数在该点可微分 点 续 则函数在该点可微分. 证 ∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)
∂u =− sin( x2 − y2 − ez ) ⋅ (−2 y) = 2 y sin( x2 − y2 − ez ) ∂y
∂z 2 2 z z z 2 2 z u = −sin( x − y − e ) ⋅ (−e ) = e sin( x − y − e ) ∂z
10
2. 二元函数偏导数的几何意义
∂f ; z′ x ∂ x (x0 , y0 )
( x0 , y0 )
;
f1′(x0, y0 ) .
2
同样可定义对 y 的偏导数
f (x0, y0 + ∆y ) − f (x0, y0 ) f y′(x0, y0 ) = lim ∆ y→0 ∆y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数 也简称为 则该偏导数称为偏导函数 偏导函数, 偏导数 , 记为
多元函数微分学总结
`第八章 多元函数微分学8.1基本知识点要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。
3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法.7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。
8.了解二元函数的二阶泰勒公式.9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
8.2基本题型及解题思路分析题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。
（1）基本概念①二元函数极限的定义：设()(,)f P f xy =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若∃常数A ，对于∀0ε>，总∃0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作000(,)(,)lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。
②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。
多元函数微分学解题技巧
f (u, v )对u, v求完偏导后仍然是 u, v的函数 .
2.全微分形式不变性
z f (u, v ), u ( x, y), v ( x, y)有连续偏导数，
z z 则dz dx dy x y
z z dz du dv u v
3.隐函数求导法
2 2 ( x y ) ( 1 ) lim ( x y ) e 练习 求 ( x , y )( , )
=0
x2 y 1 xy
1 cos(xy) 1 ( 2) lim 2 2 ( x , y )( 0 , 0 ) x y 2
1 (3) lim (1 ) ( x , y )( , ) x
答案： 2a
x y 2 2 tan ( x y ), ( x,y) (0,0) 2 2 例11 设f ( x , y ) x y 0, ( x,y) (0,0) 证 明f ( x , y )在 点(0,0)处 可 微 , 并 求df ( x , y ) |( 0 , 0 ) .
多元函数微分学
一、重极限、连续、偏导数、全微分 （概念，理论） 二、偏导数与全微分的计算 三、方向导数和梯度 四、应用（极值、切线、切平面）
一、重极限、连续、偏导数、全微分 （概念，理论）
1．重极限
0 y y0
lim f ( x, y) A ( x, y) ( x0 , y0 ) 是以“任意方式” x x
f x ( 0,0)不存在，f y ( 0,0) 0
例13. 设 z e z 则 x 例14
x
2 y 0 z x f ( x 2 y),且当 时,
.
(e x e ( x 2 y ) 2( x 2 y ))
2.全微分形式不变性
z f (u, v ), u ( x, y), v ( x, y)有连续偏导数，
z z 则dz dx dy x y
z z dz du dv u v
3.隐函数求导法
2 2 ( x y ) ( 1 ) lim ( x y ) e 练习 求 ( x , y )( , )
=0
x2 y 1 xy
1 cos(xy) 1 ( 2) lim 2 2 ( x , y )( 0 , 0 ) x y 2
1 (3) lim (1 ) ( x , y )( , ) x
答案： 2a
x y 2 2 tan ( x y ), ( x,y) (0,0) 2 2 例11 设f ( x , y ) x y 0, ( x,y) (0,0) 证 明f ( x , y )在 点(0,0)处 可 微 , 并 求df ( x , y ) |( 0 , 0 ) .
多元函数微分学
一、重极限、连续、偏导数、全微分 （概念，理论） 二、偏导数与全微分的计算 三、方向导数和梯度 四、应用（极值、切线、切平面）
一、重极限、连续、偏导数、全微分 （概念，理论）
1．重极限
0 y y0
lim f ( x, y) A ( x, y) ( x0 , y0 ) 是以“任意方式” x x
f x ( 0,0)不存在，f y ( 0,0) 0
例13. 设 z e z 则 x 例14
x
2 y 0 z x f ( x 2 y),且当 时,
.
(e x e ( x 2 y ) 2( x 2 y ))
导数-微分-偏导数-偏微分-全微分
导数-微分-偏导数-偏微分-全微分在⼀些数学公式的推导中，常会遇到d / ∂ / δ \ Δ 等符号。
它们背后分别代表的数学含义？增量设变量u从它的⼀个初值u1变到终值u2，终值与初值的差u2−u1就叫做变量u的增量，记作 Δu，即Δu=u2−u1增量 Δu可以是正的，也可以是负的。
应该注意到：记号 Δu 并不表⽰某个量 Δ 与变量 u 的乘积，⽽是⼀个整体不可分割的记号。
举例：现在假定函数y=f(x) 在点x0的某⼀个邻域内是有定义的。
当⾃变量x在这个邻域内从x0变到x0+Δx时，函数值（或因变量）f(x) 相应地从f(x0) 变到f(x0+Δx)，因此，函数值（或因变量）f(x) 的对应增量为Δy=f(x0+Δx)−f(x0)习惯上也称 Δy为函数的增量。
由此，可以定义函数的连续性，如下：设函数y=f(x) 在点x0) 的某⼀个邻域内有定义，如果limΔx→0Δy=limΔx→0[f(x0+Δx)−f(x0)]=0，那么就称函数y=f(x) 在点x0连续。
导数导数的定义：设函数y=f(x) 在点x0的某个邻域内有定义，当⾃变量x在x0处取得增量 Δx（点x0+Δx仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量 Δy=f(x0+Δx)−f(x0)；如果 Δy与 Δx之⽐当 Δx→0 时的极限存在，那么称函数y=f(x) 在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x) 在点x0处的导数，记为f′(x) ，即f′(x)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx,也可记作y′|x=x0，$$\frac{dy}{dx}|_{x = x_0}$ 或df(x)dx|x=x0。
可以看出，导数等于增量 Δy和增量 Δx⽐值的极限。
函数的微分微分的定义：设函数y=f(x) 在某区间内有定义，x0及x0+Δx在这个区间内，如果函数的增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)可表⽰为Δy=AΔx+o(Δx)其中，A是不依赖于 Δx的常数，那么，称函数y=f(x) 在点x0是可微的，⽽AΔx叫做函数y=f(x) 在点x0相应于⾃变量增量 Δx的微分，即dy=AΔx注：函数f(x) 在点x0可微的充要条件是函数f(x) 在点x0可导。
多元函数微分学-3 (4月14日)
主讲人： 王秀玲
z z 定理2 定理 (充分条件) 若函数 的偏导数 , x y 在 (x, y) 连 , 则函数在该点可微分. 点 续 证：z = f (x + x, y + y) f (x, y)
= [ f (x + x, y + y) f (x, y + y)] +[ f (x, y + y) f (x, y)]
证:令 F(x, y) = f (x0 + x, y0 + y) f (x0 + x, y0 ) 令
φ (x) = f (x, y0 + y) f (x, y0 ) ψ ( y) = f (x0 + x, y) f (x0, y)
则 F(x, y) =φ (x0 + x) φ (x0 )
= [ f x (x0 +θ1 x, y0 + y) f x (x0 +θ1 x, y0 ) ]x
主讲人： 王秀玲
例1. 求函数 z = e z 解: = ex+2y x
x+2y
2 z x+2y =e 2 x 2 2 z z x+2y = 4ex+2y 2e = 2 yx y 3 2 z z = ( ) = 2ex+2y yx2 x yx 2 z 2 z 注意:此处 注意 = , 但这一结论并不总成立. xy yx
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数:
2 z z z z ( )= = f x y (x, y) ( ) = 2 = f xx (x, y); y x xy x x x z 2z z 2z ( )= = f yx (x, y); ( ) = 2 = f y y (x, y) x y yx y y y
多元函数微分学
d
面,点P为切点.
定理3 曲面z f (x, y)在点P(x0, y0, f (x0, y0))存在 不平行于z轴的切平面的充要条件是函数 f 在点 P0(x0, y0)可微. 定理3说明若函数 f 在(x0, y0)可微, 则曲面z f (x, y) 在点P(x0, y0, z0)处的切平面方程为 z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ). 过切点P与切平面垂直的直线称为曲面在点P的 法线. 由切平面方程知道, 法线的方向数是
1
z f ( x, y )
S
S1
R2
P1
1
1
y y0 曲线P0 N z f ( x, y) x x0 曲线P0 R z f ( x, y)
P1 S1 P1 R2 R2 S1 z P1 R2 Q1 R1 dy y M 0
0
M ( x0 dx, y0 dy)
f x
x
tan
M0
偏导与连续的关系.
例 讨论函数
x 2 y 2 , xy 0 f ( x, y) , xy 0 1,
在(0,0)点的偏导数及连续性.
二、 可微性与全微分
定义 设函数 z = f (x, y)在点P0(x0, y0)的某邻域U (P0) 内有定义, 对于U (P0)中的点P(x, y) (x0 x, y0 y), 若函数 f 在P0处的全增量z可表示为: z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0) Ax By o(), 其中A, B是仅与点P0有关的常数, (1)
d f |(x0, y0) fx(x0, y0)· fy(x0, y0)· dx dy.
面,点P为切点.
定理3 曲面z f (x, y)在点P(x0, y0, f (x0, y0))存在 不平行于z轴的切平面的充要条件是函数 f 在点 P0(x0, y0)可微. 定理3说明若函数 f 在(x0, y0)可微, 则曲面z f (x, y) 在点P(x0, y0, z0)处的切平面方程为 z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ). 过切点P与切平面垂直的直线称为曲面在点P的 法线. 由切平面方程知道, 法线的方向数是
1
z f ( x, y )
S
S1
R2
P1
1
1
y y0 曲线P0 N z f ( x, y) x x0 曲线P0 R z f ( x, y)
P1 S1 P1 R2 R2 S1 z P1 R2 Q1 R1 dy y M 0
0
M ( x0 dx, y0 dy)
f x
x
tan
M0
偏导与连续的关系.
例 讨论函数
x 2 y 2 , xy 0 f ( x, y) , xy 0 1,
在(0,0)点的偏导数及连续性.
二、 可微性与全微分
定义 设函数 z = f (x, y)在点P0(x0, y0)的某邻域U (P0) 内有定义, 对于U (P0)中的点P(x, y) (x0 x, y0 y), 若函数 f 在P0处的全增量z可表示为: z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0) Ax By o(), 其中A, B是仅与点P0有关的常数, (1)
d f |(x0, y0) fx(x0, y0)· fy(x0, y0)· dx dy.
全微分和偏导数
全微分和偏导数是微积分中的重要概念。
它们分别用来描述函数在某一点处的变化和变化率，具有广泛的应用。
本文将从基本概念入手，逐步探讨的性质和应用。
微分的概念可以追溯到17世纪，牛顿和莱布尼茨是微积分的奠基人。
在微分学中，微分是函数在某一点处的近似线性变化的表示。
全微分是一种更加精确的描述，它在数学上可以通过偏导数来表示。
首先，我们来介绍偏导数。
偏导数是多元函数对各个自变量的导数。
对于一个多元函数而言，存在多个自变量，而偏导数只考虑其中一个自变量的变化对函数值的影响。
以二元函数为例，如果函数z=f(x,y)，则f对x的偏导数记作∂f/∂x，表示函数在不改变y的情况下，对x的变化的敏感程度。
偏导数的求法与普通导数类似，只是要将其他自变量视为常数进行计算。
例如，对于函数z=3x^2+2y，其对x的偏导数为∂z/∂x=6x，对y的偏导数为∂z/∂y=2。
偏导数可以看作是函数在某一方向上的变化率，例如∂z/∂x表示函数在x方向上的变化率。
全微分提供了更加精确的描述函数变化的工具。
全微分是函数的线性逼近。
对于函数z=f(x,y)，全微分为dz=∂z/∂x*dx+∂z/∂y*dy。
其中dx和dy分别表示自变量x 和y的变化量。
全微分可以理解为函数值的增量与自变量的增量的线性组合，它描述了函数在某一点的变化情况。
全微分可以进一步扩展到多元函数的情况。
对于函数z=f(x_1,x_2,...,x_n)，其全微分为dz=∂z/∂x_1*dx_1+∂z/∂x_2*dx_2+...+∂z/∂x_n*dx_n。
全微分在物理学、经济学和工程学等领域具有广泛应用。
例如在物理学中，全微分可以用来描述物理量之间的关系。
在经济学中，全微分可以用来分析边际效应和弹性等概念。
在工程学中，全微分可以用于设计优化和系统控制等问题。
是微积分中相互关联的概念。
全微分提供了更加精确的函数变化描述，而偏导数表示了函数在某一方向上的变化率。
它们在研究函数的性质、优化问题和建立数学模型等方面有着重要的作用。
多元函数的微分与全微分
多元函数的微分与全微分在微积分中，多元函数是指具有多个自变量的函数。
在研究多元函数的性质时，微分和全微分是两个重要的概念。
本文将介绍多元函数的微分和全微分的概念，并对其进行详细解释。
一、多元函数的微分多元函数的微分可以理解为对函数的微小变化的近似表示。
对于一个具有 n 个自变量的函数 f(x₁, x₂, ..., xₙ)，其微分可以表示为：df = ∂f/∂x₁ dx₁ + ∂f/∂x₂ dx₂ + ... + ∂f/∂xₙ dxₙ其中，∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, ..., ∂f/∂xₙ 分别是函数 f 对自变量 x₁, x₂, ..., xₙ 的偏导数。
dx₁, dx₂, ..., dxₙ 分别是自变量 x₁, x₂, ..., xₙ 的微小变化量。
多元函数的微分可以看作是函数在某一点上的切线在各个方向上的变化率的线性组合。
微分在数值计算、优化问题以及在物理学等领域都具有广泛的应用。
二、多元函数的全微分当多元函数的各个自变量均发生微小变化时，函数值的变化可以用全微分来描述。
全微分可以看作是微分的推广，它不再仅仅依赖于各个自变量的微小变化，还包括函数本身对自变量的变化的响应。
对于一个具有 n 个自变量的函数 f(x₁, x₂, ..., xₙ)，其全微分可以表示为：df = (∂f/∂x₁) dx₁ + (∂f/∂x₂) dx₂ + ... + (∂f/∂xₙ) dxₙ= (∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, ..., ∂f/∂xₙ) · (dx₁, dx₂, ..., dxₙ)ᵀ其中，(∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, ..., ∂f/∂xₙ) 是函数 f 在给定点的梯度向量，(dx₁, dx₂, ..., dxₙ)ᵀ是自变量的变化向量的转置。
全微分可以看作是函数值的变化与自变量变化的关系，通过计算梯度向量和自变量变化向量的内积得到。
全微分在最优化问题、求解方程组以及微分几何等领域有着重要应用。
多元函数的偏导数与全微分
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 x 0 x 此极限为函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处对 x 的
偏导数，记为
z f ， ，z x x0 x x0 x x x y y y y
一、偏导数的概念 二、偏导数的计算 三、全微分的概念与应用
1、偏导数的定义及其计算法
定义 1 设函数 z f ( x , y )在点 ( x0 , y0 ) 的某一 邻域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增 量 x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ，
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全
微分存在，
定理２（充分条件）
z z 导数 、 都存在，且在点( x , y )可微分．
上述两个定理也完全适用于三元及三元以上的多 元函数.
如果函数 z f ( x , y )的偏
x z arctan 例 5 计算函数 y 的全微分.
f ( x, y ) 可以证明，对本例中的函数f (x,y), ( x , ylim ) ( 0 , 0 ) 不存在，因此它在原点不连续,但在原点的两个偏 函数都存在，这一点和一元函数是不同的.在一元 函数中，我们证明了函数可导则一定连续。
2、高阶偏导数
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
x2 y2 0
2 2
.
x y 0
f x (0,0) f y (0,0) 0
x y z [ f x (0,0) x f y (0,0) y ] , 2 2 ( x ) ( y )
(0,0) ， 如果考虑点 P ( x , y ) 沿着直线y x 趋近于
偏导数与全微分的关系
偏导数与全微分的关系偏导数和全微分是微积分学中基本的概念，它们之间有着密切的关系。
在科学研究和工程应用中，这两个概念经常被用来求解复杂的问题。
本文将探讨偏导数和全微分之间的关系，以及它们在实际应用中的意义。
一、偏导数的定义和意义在微积分学中，偏导数是指在函数多元的情况下，对其中一个自变量求导，而把其他自变量看作常数的导数。
例如，对于函数$f(x,y)$，它的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 表示在 $y$ 固定的情况下， $f$ 相对于 $x$ 的变化量。
同样地，$\frac{\partialf}{\partial y}$ 表示在 $x$ 固定的情况下，$f$ 相对于 $y$ 的变化量。
偏导数在物理学和工程学中有着广泛的应用。
例如，偏导数可以用来求出某个物理量相对于时间的变化率，从而可以计算出这个物理量在不同时间点的取值。
在工程学中，偏导数可以用来计算出某个个体参数对系统的影响，从而帮助调节系统，以使其工作在最佳状态。
二、全微分的定义和意义全微分是指在函数多元的情况下，对于自变量的微小变化，函数值相对于自变量的变化量。
其数学表达式为：$$df=\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y$$其中 $\Delta x,\Delta y$ 为自变量的微小变化量，$\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}$ 分别表示函数 $f(x,y)$ 关于 $x,y$ 的偏导数。
全微分可以用来描述函数在某个点处的变化趋势。
例如，对于函数 $f(x,y)$，在某个点 $(x_0,y_0)$ 处的全微分 $df(x_0,y_0)$，可以用来描述函数 $f$ 在这个点处的斜率，从而反映函数在这个点的变化趋势。
多元函数微分学偏导数与全微分
fx 1
x x2 y2
fy 1
y x2 y2
f y (0,2)
fx (0,1) 1, f y (0,2) 0
例2. u zxy 求偏导数
u x
z xy (ln
z) y
u y
z xy (ln z)x
u xyz xy1
z
例3.
f
(x,
y)
求 2z , 2z
yx xy
z x
1
1 ( y )2
(
y x2
)
y , x2 y2
x
z y
1 1 ( y)2
1 x
x x2
y2
,
x
2z yx
y2 x2 (x2 y2)2
2z xy
例6. z x3 y2 3xy3 xy 1
x2
y2 z2
,
u z
3xy2 z 2
sin
x2 y2 z2
2xy2 (x2
y2 ) cos
x2
z2
y2
2.
z
x sin
y x
cos
y x
,求
2z y 2
,
2z xy
z cos y 1 sin y ,
y
xx x
2z y 2
1 x
sin
y x
求 2z , 2z , 2z , 2z , 3z
x2 yx xy y 2 x3
z 3x2 y2 3y3 y, z 2x3 y 9xy2 x
(完整word版)(整理)数学分析教案(华东师大版)第十七章多元函数微分学
第十七章多元函数微分学教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。
教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。
教学时数：18学时§1 可微性一．可微性与全微分：1．可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 时.2．全微分:例1 考查函数在点处的可微性 . P107例1二.偏导数:1.偏导数的定义、记法:2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1.3.求偏导数:例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 .例5. 求偏导数.例6. 求偏导数.例7. 求偏导数, 并求.例8. 求和.解=,=.例9证明函数在点连续, 并求和.证. 在点连续 .,不存在 .三.可微条件:1.必要条件:Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微, 和存在, 且. ( 证) 由于, 微分记为.定理1给出了计算可微函数全微分的方法.两个偏导数存在是可微的必要条件, 但不充分.例10考查函数在原点的可微性 . [1]P110 例5 .2.充分条件:Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在, 且和在点处连续 . 则函数在点可微 . ( 证) P111 Th 3 若在点处连续, 点存在,则函数在点可微 .证.即在点可微 .要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 .例11验证函数在点可微, 但和在点处不连续 . (简证,留为作业)证因此, 即,在点可微, . 但时, 有,沿方向不存在, 沿方向极限不存在; 又时,,因此, 不存在, 在点处不连续. 由关于和对称,也在点处不连续 .四.中值定理:Th 4 设函数在点的某邻域内存在偏导数 . 若属于该邻域, 则存在和, , 使得. ( 证) 例12设在区域D内. 证明在D内.五.连续、偏导数存在及可微之间的关系：六.可微性的几何意义与应用：1．可微性的几何意义：切平面的定义. P113.Th 5 曲面在点存在不平行于轴的切平面的充要条件是函数在点可微 . ( 证略)2. 切平面的求法: 设函数在点可微，则曲面在点处的切平面方程为（其中），法线方向数为，法线方程为.例13试求抛物面在点处的切平面方程和法线方程 . P115例63. 作近似计算和误差估计: 与一元函数对照, 原理 .例14 求的近似值. P115例7例15 应用公式计算某三角形面积 . 现测得,. 若测量的误差为的误差为. 求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. P116.§2 复合函数微分法简介二元复合函数: .以下列三种情况介绍复合线路图;, ;.一.链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例.Th 设函数在点D可微, 函数在点可微, 则复合函数在点可微, 且,. ( 证) P118称这一公式为链导公式 . 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘”或“并联加，串联乘”）来概括 .对所谓“外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情况，用“并联加，串联乘”的原则可写出相应的链导公式.链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数 . 但对外函数的可微性假设不能减弱.对外元, 内元, 有，.外元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数.例1. 求和. P120例1例2, . 求和.例3, 求和.例4设函数可微 ..求、和.例5用链导公式计算下列一元函数的导数:ⅰ> ; ⅱ> . P121例4例6设函数可微. 在极坐标变换下, 证明. P120例2 例7设函数可微, . 求证.二.复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 .例8. 利用全微分形式不变性求, 并由此导出和.P122 例5§3 方向导数和梯度一．方向导数：1．方向导数的定义：定义设三元函数在点的某邻域内有定义 .为从点出发的射线 . 为上且含于内的任一点, 以表示与两点间的距离 . 若极限存在, 则称此极限为函数在点沿方向的方向导数, 记为或、.对二元函数在点, 可仿此定义方向导数 .易见, 、和是三元函数在点分别沿轴正向、轴正向和轴正向的方向导数 .例1=. 求在点处沿方向的方向导数,其中ⅰ>为方向; ⅱ>为从点到点的方向.解ⅰ>为方向的射线为. 即. ,.因此,ⅱ>从点到点的方向的方向数为方向的射线为., ;.因此,2. 方向导数的计算:Th 若函数在点可微, 则在点处沿任一方向的方向导数都存在, 且++,其中、和为的方向余弦. ( 证) P125 对二元函数, +, 其中和是的方向角.註由++==, , , , , 可见, 为向量, , 在方向上的投影.例2 ( 上述例1 )解ⅰ>的方向余弦为=, =, =.=1 , =, =.因此, =++=.ⅱ>的方向余弦为=, =, =. 因此, =.可微是方向导数存在的充分条件, 但不必要 .例3 P126 .二. 梯度( 陡度):1. 梯度的定义: , , .|= .易见, 对可微函数, 方向导数是梯度在该方向上的投影.2. 梯度的几何意义: 对可微函数, 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为|.其中是与夹角. 可见时取最大值, 在的反方向取最小值 .3. 梯度的运算:ⅰ> .ⅱ>(+) = +.ⅲ> () = +.ⅳ> .ⅴ> () = .证ⅳ> , ..§4 Taylor公式和极值问题一、高阶偏导数:1.高阶偏导数的定义、记法：例9 求二阶偏导数和. P128例1 例10 . 求二阶偏导数. P128例2 2.关于混合偏导数: P129—131.3.求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数: 公式, P131-132例11 . 求和. P132例34. 验证或化简偏微分方程:例12 . 证明+ . ( Laplace方程) 例13 将方程变为极坐标形式.解., , , ., ;因此, .方程化简为.例14试确定和, 利用线性变换将方程化为.解, .=+++==+2+.=+++==++.=++.因此,+ (+ . 令, 或或……, 此时方程化简为.二．中值定理和泰肋公式：凸区域 .Th 1 设二元函数在凸区域D 上连续, 在D的所有内点处可微 . 则对D内任意两点 D , 存在, 使.证令.系若函数在区域D上存在偏导数, 且, 则是D上的常值函数.二. Taylor公式:Th 2 (Taylor公式) 若函数在点的某邻域内有直到阶连续偏导数, 则对内任一点,存在相应的, 使证P134例1 求函数在点的Taylor公式( 到二阶为止) . 并用它计算P135—136例4 .三. 极值问题:1. 极值的定义: 注意只在内点定义极值.例2 P136例52．极值的必要条件：与一元函数比较 .Th 3 设为函数的极值点 . 则当和存在时, 有=. ( 证)函数的驻点、不可导点，函数的可疑点 .3. 极值的充分条件:代数准备: 给出二元( 实)二次型. 其矩阵为.ⅰ> 是正定的,顺序主子式全,是半正定的,顺序主子式全;ⅱ> 是负定的,, 其中为阶顺序主子式.是半负定的, .ⅲ> < 0时, 是不定的.充分条件的讨论: 设函数在点某邻域有二阶连续偏导数 . 由Taylor公式, 有++ .令, , , 则当为驻点时, 有.其中.可见式的符号由二次型完全决定.称该二次型的矩阵为函数的Hesse矩阵. 于是由上述代数准备, 有ⅰ> , 为( 严格) 极小值点;ⅱ> , 为( 严格) 极大值点;ⅲ> 时, 不是极值点;ⅳ> 时, 可能是极值点, 也可能不是极值点 .综上, 有以下定理 .Th 4 设函数在点的某邻域内有连续的二阶偏导数, 是驻点 . 则ⅰ> 时, 为极小值点;ⅱ> 时, 为极大值点;ⅲ> 时, 不是极值点;ⅳ> 时, 可能是极值点, 也可能不是极值点 .例3—7 P138—140 例6—10 .四．函数的最值：例8 求函数在域D = 上的最值 .解令解得驻点为. .在边界上, , 驻点为, ;在边界上, , 没有驻点;在边界上, , 驻点为, .又.于是,..[]。
高等数学c教材各章内容
高等数学c教材各章內容高等数学C教材各章内容高等数学C教材是大学数学专业必修课程之一，也是学习数学的基础。
它包含了多个章节，每个章节都涵盖了不同的数学概念和技巧。
下面将对高等数学C教材的各章内容进行介绍。
第一章导数与微分第一章主要介绍了导数与微分的概念和运算法则。
学习这一章的内容，我们可以了解到导数的几何意义和物理意义，可以计算各种类型函数的导数，掌握求导的基本规则，并能够利用导数解决实际问题。
第二章微分中值定理与导数的应用第二章主要讲解了微分中值定理和导数的应用。
通过学习这一章，我们可以了解到拉格朗日中值定理、柯西中值定理等微分中值定理的具体表述和应用场景。
在导数的应用方面，我们可以学习如何利用导数求函数的极值和最值，计算函数的曲率，解决相关最优化问题等。
第三章不定积分第三章主要介绍了不定积分的概念和性质，以及常见的求不定积分的方法。
学习这一章的内容，我们可以了解到不定积分的定义和基本性质，学会使用基本积分公式和换元积分法求解不定积分，还可以了解到分部积分法和有理函数的积分等特殊方法。
第四章定积分第四章主要讲解了定积分的概念、性质和计算方法。
通过学习这一章，我们可以了解到定积分的几何和物理意义，学习使用定积分求解曲线下面积、弧长、旋转体的体积等问题。
此外，我们还可以学习到变上限积分法、定积分的一些性质和常用公式。
第五章定积分的应用第五章主要介绍了定积分在几何、物理、概率等方面的应用。
在这一章节，我们可以学习到如何利用定积分计算平面曲线的弧长、曲率、曲边梯形的面积、球体的体积等问题。
同时，我们还可以了解到定积分在统计和概率领域中的应用。
第六章常微分方程第六章主要讲解了常微分方程的基本概念和解法。
通过学习这一章的内容，我们可以了解到常微分方程的基本定义、分类和初等解法。
此外，我们还可以学习到一阶线性微分方程、可降阶的高阶微分方程等特殊类型方程的解法，以及利用常微分方程解决相关实际问题的方法。
第七章多元函数微分学第七章主要介绍了多元函数的概念、偏导数和全微分等内容。
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(证明略)
在点(0,0)处可微,但偏导数不连续.
以上所有的全微分定义及定理都可以推广到二元以上
例6.求 z e xy 在(2,1)点的全微分
z ye xy , x
z xexy y
z y
x 2 y 1
z x
x2 y 1
e2 ,
2e 2 ,
dz e2 dx 2e2 dy
f ( x0 x, y0 , z0 ) f ( x0 , y0 , z0 ) f x ( x0 , y0 , z0 ) lim x 0 x
Hale Waihona Puke (3).由偏导数定义,一元函数的求导法则可用于求偏导数. 例如:求 f x 时,只要将y视为常数,求 f(x,y)关于 x 的导数.
2 2 f ( x , y ) x y x y 例1.
z [ f x (0,0)x f y (0,0)y]
xy (x) (y)
2 2
( ).( 0)
定理2(可微的充分条件) 若函数 z=f(x,y) 的偏导数在点 (x,y) 连续,则函数在该点可微. 注意:反之不然. 例如:
1 2 2 2 2 ( x y ) sin , x y 0 2 2 f ( x, y) x y 2 2 0 , x y 0
( x ) 2 ( y ) 2
dz A x B y 称为 z=f(x,y) 在点(x,y) 的全微分
注: (1).若函数在区域D内处处可微分,则称它在D内可微分.
(2).可微分一定连续.
x 0 y 0
lim z lim [ A x B y ( )] 0
x 0 y 0
(3).全微分特征: 全微分是自变量增量的线性函数; 全微分与全增量之差是比 高阶的无穷小 ( 0)
四. 全微分与偏导数的关系 定理1(可微的必要条件) 若函数 z=f(x,y) 在点(x,y)可微分,则称它在该点的偏导数必 存在,且 z z
dz x x y y
注: (1).与一元函数类似: dz
z z dx dy x y
(2).此定理反之不然,这是与一元函数的区别.
xy 2 2 , x y 0 例如: f ( x, y) 2 2 x y 0, x2 y2 0 f x (0,0) f y (0,0) 0 但是函数在(0,0)不可微.
例7.求 u x sin
y e yz 的全微分 2 u u u 1 y 1, ye yz cos ze yz , x z y 2 2 1 y du dx ( cos ze yz )dy ye yz dz 2 2
注意一元函数与多元函数各种状态之间的区别 一元函数: 可导 连续 多元函数: 可微
类似的定义三阶以上偏导数
定理
若 z=f(x,y)的二阶混合偏导数 f xy , f yx 在(x,y)连续, 则 f xy f yx (适用于三阶以上)
例5.
y z arctan x
2 z 2 z , 求 yx xy y z 1 y , ( 2 ) 2 2 y x y x 1 ( ) 2 x x x z 1 1 , 2 2 y x y y 1 ( ) 2 x x
z f ( x x, y y) f ( x, y)
全增量
2.定义:
如果 z=f(x,y) 在点 (x,y) 的全增量
z f ( x x, y y) f ( x, y) 可以表示为 z A x B y ( )
仅与x,y有关 则称 z=f(x,y) 在点 (x,y) 可微分
z 2 x 3 y 9 xy 2 x y
2 z 3 2 x 18xy 2 y
2 z 2 6 xy x 2
2 z 2z 2 2 6x y 9 y 1 yx xy
3 z 2 6 y x 3
三. 全微分的概念 1.全增量: 设 z=f(x,y) 在点P(x,y) 的某邻域内有定义,
f y ( x0 , y0 ) 表示曲面z=f(x,y)与平面 x x0 的交线L在点 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))处的切线 M 0Ty 对y 轴的斜率t an
二.高阶偏导数
二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f x , f y 仍为 x, y 的函数.
它们的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数.
可微
偏导数连续
可偏导
连续
练习
x2 y 2 u u u 1. u xy z sin ,求 , , 2 z x y z
2 3
2 2 2 2 u x y x y 2 2 y 2 z 3 sin 2 x y z cos , 2 2 x z z u x2 y2 x2 y2 3 3 2 xyz sin 2 xy z cos , 2 2 y z z 2 2 2 2 u x y x y 2 2 2 3xy 2 z 2 sin 2 xy ( x y ) cos 2 z z z2
精品课件！
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x 3. z y , 求 dz
x u z x y x u z y y
z z 1
z
1 zx , y y y x xz x , 2 y2 y y
求 f x (0,1)
y x2 y 2
f y (0,2)
fx 1
x x2 y 2
f y 1
f x (0,1) 1,
f y (0,2) 0
例2.
u z xy 求偏导数 u u u xy xy z (ln z) y z (ln z) x xyz xy1 x z y xy 2 2 , x y 0 2 2 例3. f ( x, y) x y 求 f x (0,0) f y (0,0) 2 2 0 , x y 0 f (0 x,0) f (0,0) 分段点处偏导 0 f x (0,0) lim x 0 x 数要用定义求 f (0,0 y) f (0,0) f y (0,0) lim 0 y 0 y
2 z y 2 x2 2z 2 2 2 yx ( x y ) xy
例6. z x3 y 2 3xy3 xy 1
2 z 2 z 2 z 2 z 3 z 求 2, , , , 3 2 x yx xy y x
z 3x 2 y 2 3 y 3 y, x
z 2 z ( ) z xx f xx ; 2 x x x
z 2 z ( ) z xy f xy ; y x xy z z ( ) z yx f yx ; x y yx
2
混合偏导数
z 2 z ( ) z yy f yy . 2 y y y
y y 2 z 2 z 2. z x sin cos , 求 2 , x x y xy
z y 1 y cos sin , y x x x 2z 1 y 1 y sin 2 cos , 2 y x x x x z y y y y y sin cos 2 sin , x x x x x x 2z y y 1 y y y 2 sin 2 sin 3 cos . xy x x x x x x
例4. f ( x, y) | x | | y |
y 0
在(0,0)点是否连续?是否有偏导数?
lim f ( x, y) 0 f (0,0) 故在(0,0)点连续. x 0
由定义易知在(0,0)点偏导数不存在.
注意: 对于一元函数,可导必连续.而对于多元函数,从以上 两例可看出函数连续与偏导数存在没有必然的联系. 2. 偏导数的几何意义 f x ( x0 , y0 ) 表示曲面z=f(x,y)与平面 y y0 的交线L在点 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))处的切线 M 0Tx 对x 轴的斜率tan
z 1
z 1
z 1
u x x ln . z y y dz zx y y
z 1
dx
xz x 2 y y
z 1
x x dy ln dz . y y
z
第二节 偏导数与全微分
一.偏导数
1.偏导数的定义
定义 设z=f(x,y) 在点( x0 , y0 )的某邻域内有定义,当y固定在 y0 时, 得一元函数 f ( x, y0 ) , z f f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) lim f x ( x0 , y0 ) x 0 x x ( x0 , y0 ) x ( x0 , y0 ) z=f(x,y)在点 ( x0 , y0 )处对x的偏导数 类似的, z=f(x,y)在点( x0 , y0 )处对y的偏导数 z f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) lim y 0 y y
f y ( x0 , y 0 )
( x0 , y 0 )
注:(1).若二元函数z=f(x,y)在D内每一点都有偏导数,则此偏 导数也是 x,y 的函数--------偏导函数. z f z f f x , f y , zx , z y ,...... , , , ,...... x x y y (2).二元函数偏导数定义可以推广到更多元. 例如: u=f(x,y,z)
在点(0,0)处可微,但偏导数不连续.
以上所有的全微分定义及定理都可以推广到二元以上
例6.求 z e xy 在(2,1)点的全微分
z ye xy , x
z xexy y
z y
x 2 y 1
z x
x2 y 1
e2 ,
2e 2 ,
dz e2 dx 2e2 dy
f ( x0 x, y0 , z0 ) f ( x0 , y0 , z0 ) f x ( x0 , y0 , z0 ) lim x 0 x
Hale Waihona Puke (3).由偏导数定义,一元函数的求导法则可用于求偏导数. 例如:求 f x 时,只要将y视为常数,求 f(x,y)关于 x 的导数.
2 2 f ( x , y ) x y x y 例1.
z [ f x (0,0)x f y (0,0)y]
xy (x) (y)
2 2
( ).( 0)
定理2(可微的充分条件) 若函数 z=f(x,y) 的偏导数在点 (x,y) 连续,则函数在该点可微. 注意:反之不然. 例如:
1 2 2 2 2 ( x y ) sin , x y 0 2 2 f ( x, y) x y 2 2 0 , x y 0
( x ) 2 ( y ) 2
dz A x B y 称为 z=f(x,y) 在点(x,y) 的全微分
注: (1).若函数在区域D内处处可微分,则称它在D内可微分.
(2).可微分一定连续.
x 0 y 0
lim z lim [ A x B y ( )] 0
x 0 y 0
(3).全微分特征: 全微分是自变量增量的线性函数; 全微分与全增量之差是比 高阶的无穷小 ( 0)
四. 全微分与偏导数的关系 定理1(可微的必要条件) 若函数 z=f(x,y) 在点(x,y)可微分,则称它在该点的偏导数必 存在,且 z z
dz x x y y
注: (1).与一元函数类似: dz
z z dx dy x y
(2).此定理反之不然,这是与一元函数的区别.
xy 2 2 , x y 0 例如: f ( x, y) 2 2 x y 0, x2 y2 0 f x (0,0) f y (0,0) 0 但是函数在(0,0)不可微.
例7.求 u x sin
y e yz 的全微分 2 u u u 1 y 1, ye yz cos ze yz , x z y 2 2 1 y du dx ( cos ze yz )dy ye yz dz 2 2
注意一元函数与多元函数各种状态之间的区别 一元函数: 可导 连续 多元函数: 可微
类似的定义三阶以上偏导数
定理
若 z=f(x,y)的二阶混合偏导数 f xy , f yx 在(x,y)连续, 则 f xy f yx (适用于三阶以上)
例5.
y z arctan x
2 z 2 z , 求 yx xy y z 1 y , ( 2 ) 2 2 y x y x 1 ( ) 2 x x x z 1 1 , 2 2 y x y y 1 ( ) 2 x x
z f ( x x, y y) f ( x, y)
全增量
2.定义:
如果 z=f(x,y) 在点 (x,y) 的全增量
z f ( x x, y y) f ( x, y) 可以表示为 z A x B y ( )
仅与x,y有关 则称 z=f(x,y) 在点 (x,y) 可微分
z 2 x 3 y 9 xy 2 x y
2 z 3 2 x 18xy 2 y
2 z 2 6 xy x 2
2 z 2z 2 2 6x y 9 y 1 yx xy
3 z 2 6 y x 3
三. 全微分的概念 1.全增量: 设 z=f(x,y) 在点P(x,y) 的某邻域内有定义,
f y ( x0 , y0 ) 表示曲面z=f(x,y)与平面 x x0 的交线L在点 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))处的切线 M 0Ty 对y 轴的斜率t an
二.高阶偏导数
二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f x , f y 仍为 x, y 的函数.
它们的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数.
可微
偏导数连续
可偏导
连续
练习
x2 y 2 u u u 1. u xy z sin ,求 , , 2 z x y z
2 3
2 2 2 2 u x y x y 2 2 y 2 z 3 sin 2 x y z cos , 2 2 x z z u x2 y2 x2 y2 3 3 2 xyz sin 2 xy z cos , 2 2 y z z 2 2 2 2 u x y x y 2 2 2 3xy 2 z 2 sin 2 xy ( x y ) cos 2 z z z2
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x 3. z y , 求 dz
x u z x y x u z y y
z z 1
z
1 zx , y y y x xz x , 2 y2 y y
求 f x (0,1)
y x2 y 2
f y (0,2)
fx 1
x x2 y 2
f y 1
f x (0,1) 1,
f y (0,2) 0
例2.
u z xy 求偏导数 u u u xy xy z (ln z) y z (ln z) x xyz xy1 x z y xy 2 2 , x y 0 2 2 例3. f ( x, y) x y 求 f x (0,0) f y (0,0) 2 2 0 , x y 0 f (0 x,0) f (0,0) 分段点处偏导 0 f x (0,0) lim x 0 x 数要用定义求 f (0,0 y) f (0,0) f y (0,0) lim 0 y 0 y
2 z y 2 x2 2z 2 2 2 yx ( x y ) xy
例6. z x3 y 2 3xy3 xy 1
2 z 2 z 2 z 2 z 3 z 求 2, , , , 3 2 x yx xy y x
z 3x 2 y 2 3 y 3 y, x
z 2 z ( ) z xx f xx ; 2 x x x
z 2 z ( ) z xy f xy ; y x xy z z ( ) z yx f yx ; x y yx
2
混合偏导数
z 2 z ( ) z yy f yy . 2 y y y
y y 2 z 2 z 2. z x sin cos , 求 2 , x x y xy
z y 1 y cos sin , y x x x 2z 1 y 1 y sin 2 cos , 2 y x x x x z y y y y y sin cos 2 sin , x x x x x x 2z y y 1 y y y 2 sin 2 sin 3 cos . xy x x x x x x
例4. f ( x, y) | x | | y |
y 0
在(0,0)点是否连续?是否有偏导数?
lim f ( x, y) 0 f (0,0) 故在(0,0)点连续. x 0
由定义易知在(0,0)点偏导数不存在.
注意: 对于一元函数,可导必连续.而对于多元函数,从以上 两例可看出函数连续与偏导数存在没有必然的联系. 2. 偏导数的几何意义 f x ( x0 , y0 ) 表示曲面z=f(x,y)与平面 y y0 的交线L在点 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))处的切线 M 0Tx 对x 轴的斜率tan
z 1
z 1
z 1
u x x ln . z y y dz zx y y
z 1
dx
xz x 2 y y
z 1
x x dy ln dz . y y
z
第二节 偏导数与全微分
一.偏导数
1.偏导数的定义
定义 设z=f(x,y) 在点( x0 , y0 )的某邻域内有定义,当y固定在 y0 时, 得一元函数 f ( x, y0 ) , z f f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) lim f x ( x0 , y0 ) x 0 x x ( x0 , y0 ) x ( x0 , y0 ) z=f(x,y)在点 ( x0 , y0 )处对x的偏导数 类似的, z=f(x,y)在点( x0 , y0 )处对y的偏导数 z f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) lim y 0 y y
f y ( x0 , y 0 )
( x0 , y 0 )
注:(1).若二元函数z=f(x,y)在D内每一点都有偏导数,则此偏 导数也是 x,y 的函数--------偏导函数. z f z f f x , f y , zx , z y ,...... , , , ,...... x x y y (2).二元函数偏导数定义可以推广到更多元. 例如: u=f(x,y,z)