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第二篇积分变换1拉普拉斯变换

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拉普拉斯变换 (1)

拉普拉斯变换 (1)

傅里叶变换的概念
1．傅里叶级数 定理8.1 设 fT (t ) 是以 T 为周期的实函数,且在
T T 2 , 2 T T 2 , 2
上满足狄氏条件，即在一个周期
上满足：
（1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限个极值点.
则在连续点处有
a0 f T (t ) (an cos nw0 t bn sin nw0 t ) 2 n1
3.微分性质
(1)导函数的像函数
设 L( f (t )) F ( s), 则有 L( f (t )) sF ( s) f (0)
'
对于高阶导数有
L( f (t )) s F ( s) s
( n) n
n1
f (0) s
n 2
f (0)
( n1)
'
f
(0)
此性质可用来求解微分方程组的初值问题
2 2
4.积分性质 (1)积分的像函数
设L( f (t )) F ( s)，则有
L(
t 0
1 f ( t )dt) F ( s ) s
一般地, 有
L( dt dt
0 0 t t t 0
1 f ( t )dt) n F ( s ) s
(2)像函数的积分
设L( f (t )) F ( s)，则有
sint st 0 t e dt arc cot s sint 如果令 s 0，则有 0 dt t 2

例题启示：
在拉 普拉斯 变换 及其一 些性 质中取 为某 些 特定 值，可以 用来求 些函 一 数的广 义积 分.


0

第二篇积分变换1拉普拉斯变换

第二篇积分变换1拉普拉斯变换
m 1

j
rR cos j rR sin
rR cos
u e du ( rR cos j v ) m d v
m
u
s
m 1

rR sin
0
e
( rR cos j v )
1 m 1 |s|

rR |sin |
0
|e
rR cos
m ( rR cos j v) | d v
tf (t ) e d t
st 0


这就表明, F(s)在Re(s) > c内是可微的. 根据复变函数的解析函数理论可知, F(s)在Re(s) > c内是解析的.
14
G-函数(gamma函数)简介, 在工程中经 常应用的G-函数定义为 利用分部积分公式可证明
Γ (m) e t
u
e

rR cos
u
r cos m
R
e 0
s
m 1


t e dt
t
G (m 1)
s
m 1
19
虚轴
B
C

O
1
s
m 1
D
1

v A
u e du
m
u
t (实轴)
1
m 1

BC
u e du
m
u
s s s 1 m u G (m 1) R m1 u e d u m 1 0 s s e 0
F ( s)


0
f (t ) e st d t
在半平面Re(s )>c上一定存在, 右端的积分在 Re(s)c1>c上绝对收敛而且一致收敛, 并且在 Re(s)>c的半平面内, f(s)为解析函数.

积分变换 ppt课件

积分变换 ppt课件

16
可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,
这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数
的强度.
d (t)
1
O
t
d-函数有性质：
d d (t)f(t)dtf(0)及 (tt0)f(t)dtf(t0).
（ ft为 连 续 函 数 ）
可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个
函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电
流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记
成d-函数:
d
t
0
t 0 t 0
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量,
例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技
பைடு நூலகம்
术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的
F() f(t)eitdt 1 eitdt eit 1
1
i
1
1 eiei 2sin
i
f(t)21
F()eitd1
F()costd
0
102s incostd20sin costd
9
例 2求 指 数 衰 减 函 数 f(t) e 0 ,t,
t0的 傅 氏 变 换 及 其 t0
积 分 表 达 式 ,其 中 0.
如果成立
F(w) f(t)ejwdt t
f(t)1 F(w)ejwdt w
2
并称F(ω)为f (t)的象函数
或付里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象 原函数或付里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
8
例1
求矩形脉冲函数

复变函数与积分变换———拉普拉斯变换ppt

复变函数与积分变换———拉普拉斯变换ppt

对并返回结果 F ( s )。
(2) f = ilaplace (F ) 对函数 F ( s ) 进行 Laplace 逆变换， 对并返回结果 f ( t )。
22
3t 例 求函数 f ( t ) t e sin 2t
的 Laplace 变换。
解 Matlab 程序
clear; syms t; f = t*exp(3*t)*sin(2*t); F = laplace(f)；
若L[f(t)]=F(s), 则有
F (s) L t f (t ) (2.6)
一般地有
F ( n ) (s) L [(t )n f (t )] (2.7)
利用(2.6) 式
【例2.3】求L[tsinkt]
2ks (答案: 2 2 2 ) (s k )
目录 上页 下页 返回 结束
2 a 2 s 【例3.5】求 L s( s2 a2 )2 t cos at
1
1 【例3.6】求 L1 ( s1)( s2)( s 3)
1 1 1 1 t 1 2t 1 3t 1 6 15 10 L s 1 s 2 s 3 e e e 6 15 10
注:书上对例4,例5,例6的计算是用“查表”的方法作 的.
目录 上页 下页 返回 结束
* 三、利用 Matlab 实现 Laplace 变换
在数学软件 Matlab 的符号演算工具箱中，提供了专用函数 来进行 Laplace 变换与 Laplace 逆变换。 (1) F = laplace (f ) 对函数 f ( t ) 进行 Laplace 变换，
输出 F=atan(1/s)
其中， atan 为反正切函数。

积分变换_(Laplace)课件与习题

积分变换_(Laplace)课件与习题
5
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
8
例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
；
smL
t m
1 s
m!
L
t m
1 s m1
m!
(Re(s) 0).
26
练习： 求 f (t) cost 的Laplace变换.
解 因为
参见上节例3, 与这里方法不同
f (0) 1, f (0) 0, f (t) 2cost,
根据 微分性质 和线性性质
[2 cost] s2 [cost] sf (0) f (0),
对正整数n, 有
L[f
2
(n)
[(ct )o]sstn]F(
s2
s)
[scnos1
t] s,
f (0)
f (n1)(0).
所以
特[c别os地，t] 当sf2

复变函数与积分变换：第二节拉普拉斯变换的性质

复变函数与积分变换：第二节拉普拉斯变换的性质

即得 [ f (t)] sF (s) f (0) .
三、微分性质
1. 导数的象函数 性质 [ f (t)] sF (s) f (0);
一般地，有 [ f (n) (t )] snF (s) sn1 f (0) sn2 f (0) f (n1)(0).
其中， f (k) (0) 应理解为 lim f (k)(t ). t0
Laplace 变换的这一性质非常重要，可用来求解微分 方程(组)的初值问题。
三、微分性质
2. 象函数的导数
性质 F(s) [ t f (t ) ];
一般地，有 F (n) (s) (1)n [ t n f (t ) ].
证明 由 F (s) f (t )estd t 有 0
F (s) d f (t )estd t [ f (t )est ]d t
20
1 (t cos t sin t) . 2
三微分性质象函数的导数性质3224已知再由象函数的导数性质有性质证明积分的象函数性质一般地有再由积分性质得根据微分性质有性质证明启示在laplace变换及其性质中如果取s为某些特定的值就可以用来求一些函数的广义积分
一、线性性质与相似性质 二、延迟性质与位移性质 三、微分性质 四、积分性质 五、周期函数的像函数 六、卷积与卷积定理
Laplace 变换的性质
在下面给出的基本性质中，所涉及到的函数的 Laplace 变换均假定存在，它们的增长指数均假定为 c。且
F(s) [ f (t)], G(s) [ g(t)].
对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等) 的次序交换问题，均不另作说明。
一、线性性质与相似性质
1. 线性性质 性质
F2 (s) ,
左边

第二章拉氏变换的数学方法

第二章拉氏变换的数学方法拉普拉斯变换（Laplace transform）是一种积分变换方法，用于求解线性常系数微分方程组的初值问题。

它是法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）于18世纪末发展起来的。

拉普拉斯变换在工程和物理学中有着广泛的应用，特别是在控制系统分析和信号处理中。

拉普拉斯变换将一个时间函数f(t)（t为实数）转换为一个复变函数F(s)（s为复数），可以表达为：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] f(t) e^(-st) dt其中，s是复平面上的一个复数，而e^(-st)为拉普拉斯变换的核函数。

拉普拉斯变换的定义域是右半平面Re(s) > 0，当Re(s)=0时，定义域为共轭虚轴Im(s)=0。

这是为了保证积分的绝对收敛性。

拉普拉斯变换有许多基本的性质和定理，其中包括线性性、平移性、尺度性、微分性等。

利用这些性质，我们可以对不同类型的函数进行拉普拉斯变换，从而求解常系数线性微分方程组的初值问题。

在应用拉普拉斯变换求解微分方程组时，首先将微分方程转化为代数方程。

假设我们要求解一个线性常系数微分方程组：a0y^(n) + a1y^(n-1) + ... + an-1y' + any = f(t)其中，a0, a1, ..., an 为常数，y^(n)表示y的n阶导数，f(t)为所给激励函数。

对微分方程两边同时进行拉普拉斯变换，根据拉普拉斯变换的性质和核函数的定义，将方程转化为代数方程：[a0s^nY(s) - a0s^(n-1)y(0) - a0s^(n-2)y'(0) - ... - a0y^(n-1)(0)] + [a1s^(n-1)Y(s) - a1s^(n-2)y(0) - a1s^(n-3)y'(0) - ... - a1y^(n-2)(0)] + ... + [an-1sY(s) - an-1y(0) - an-2y'(0) - ... - y(0)] + [anY(s) - y(0)] = F(s)其中，Y(s)为未知函数y(t)的拉普拉斯变换，y(0),y'(0),...,y^(n-1)(0)为初始值条件，F(s)为激励函数f(t)的拉普拉斯变换。

拉普拉斯变换


拉普拉斯变换, 能够把微分方程变成一个代数方程. 我是例子！
y − y = e−t, t > 0 y(0) = 1, y (0) = 0. 对上式做拉普拉斯变换, 令 Y = L[y(t)], 则
p2Y − py(0) − y (0) − Y =
1 .
p+1
利用初值条件，整理得到
p2 + p + 1
可以写成 ∞
a(n)xn = A(x).
(1.5)
n=0
这样, 上式实际上给出了一个对应关系, 或者叫变换
a(n) A(x).
(1.6)
看两个简单的例子:
a(n) = 1 1
a(n) = n!
1
A(x) =
,
1−x
A(x) = ex.
|x| < 1,
如果我们不是考虑一个整标函数 a(n), 而是一个连续的函数 f (t), 那么对应
∞
L[f (t)] = f (t)e−ptdt.
0
注意到，由分部积分方法可得到
∞
∞
f (t)e−ptdt = p f (t)e−ptdt − f (0) = pL[f (t)] − f (0),
0
0
2
即 那么
L[f (t)] = pL[f (t)] − f (0).
L[f (t)] = pL[(f (t)) ] = pL[f (t)]−f (0) = p(pL[f (t)]−f (0))−f (0) = p2L[f (t)]−pf (0)−f (0).
最后考虑 tn 的拉普拉斯变换
L[tn] =
∞
tne−ptdt
=
1 −
0
p

积分变换--拉普拉斯变换

1 st 0 e dt s e 1 L [u( t )] 所以， s
st 0
1 s
例2. 求函数 f ( t ) e （k为常数）的Laplace变换。
kt
解： L [e ]
kt

kt e 0
e
st
dt
( s k ) t e dt 0
1, t 0 例1. 求单位阶跃函数 u(t ) 的Laplace变换. 0 , t 0
解： L[u( t )] e st dt
0

由于

0
e
st
dt e Re( s )t dt
0


( e a bi e a )
st
当Re(s) 0时, 上式收敛,于是 0 e dt收敛, 而且
1
F1 ( s ) F2 ( s ) f 1 (t ) f 2 (t )
0
证明： L f 1 ( t ) f 2 ( t )
f 1 (t ) f 2 (t )e st d t
f 2 (t ) e st d t
f 1 ( t ) e d t
拉氏变换的性质
一.拉氏变换的性质 二.拉氏逆变换 三.卷积
一.拉氏变换的性质
1. 线性性质 2. 微分性质 3. 积分性质 4. 位移性质 5. 延迟性质 6. 相似性质
1. 线性性质
设 L f 1 ( t ) F1 ( s ) , L f 2 ( t ) F2 ( s ) , , 是常数, 则 L f 1 ( t ) f 2 ( t ) F1 ( s ) F2 ( s ) L

拉普拉斯变换


三、一些常用函数的拉普拉斯变换
公式
1 1. L[u (t )] = (Re p > 0) p 1 − pb L[u (t − b)] = e (Re p > 0) p 1 at 2. L[e ] = (Re p > Re a ) p−a a 3. L[sin at ] = (Re p > Im a ) 2 2 p +a p L[cos at ] = 2 (Re p > Im a ) 2 p +a
(2) L[t sin t ]
5. 积分性
F ( p) L[ f (t )] = F ( p ) ⇒ L[ ∫0 f (u )du ] = , p ∞ f (t ) ∞ −1 若 ∫p F ( ρ )d ρ 存在 ⇒ = L [ ∫p F ( ρ )d ρ ] t f (t ) ∞ ⇔ L[ ] = ∫p F ( ρ )d ρ t
p →∞
f (0) = lim f (t )= lim pF ( p).
t →0 p →∞
终值定理 若 L[ f (t )] = F ( p ), L[ f ′(t )]与 lim f (t )
t →+∞
存在，则
f (+∞) = lim f (t )= lim pF ( p).
t →+∞ p →0
基本公式
+∞
1 α + i∞ pt ==== ∫α −i∞ F ( p)e dp = f (t )(t > 0) dp = idw 2π i
p =α + iw
二、求拉氏逆变换的方法
1、公式+性质法： 2、留数法：（p181定理）
f (t ) = L [ F ( p )] = ∑ Re s[ F ( p)e , pk ]
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所以 d M st et 0 d s f (t ) e d t 0 Mt e d t e 2



由此可见, 上式右端的积分在半平面 Re(s) c1> c内也是绝对收敛且一致收 敛, 从而微分与积分可以交换
13
因此得 d d st F ( s) f ( t ) e d t ds ds 0 d st [ f (t ) e ] d t 0 ds
t 0
t 0

m 1
d t , 0 m
m t 0
G(m 1) e t d t t de
m
t e
m
t 0
e d t e mt
t m t 0 0 t t 0


m 1
dt
mG(m) 而且G(1) e d t e
1 st sin k t e dt sin k t de 0 s 0 1 st st e sin k t k e cos k tdt 0 0 s k s t e cos k tdt 0 s k st st 2 e cos k t k e sin k tdt 0 0 s
26
1 当 m 2
时
1 2
令x = u2，我们有
1 x u 2 G x e dx 2 e du , 0 2 0
这就得
1 u 2 v 2 G 2 e du 2 e dv 2 0 0 2
0
1
15
因此如m为正整数G(m 1) m!
例2.4 求幂函数f(t)=tm (常数m>1)的拉氏积 分 m st

0
t e dt
为求此积分, 若令st =u, s为右半平面内任一复 数, 则得到复数的积分变量u（u为复数）. 因 此, 可先考虑积分

R
0
t e dt
F ( s)


0
f (t ) e st d t
在半平面Re(s )>c上一定存在, 右端的积分在 Re(s)c1>c上绝对收敛而且一致收敛, 并且在 Re(s)>c的半平面内, f(s)为解析函数.
10
Mect f(t) M
O
t
11
证 由条件2可知, 对于任何t 值(0 t < ), 有 |f (t) est|=|f (t)|ebt Me(bc)t, Re(s)=b, 若令bc e>0 (即b c +e =c1>c), 则 |f(t)est|Meet. 所以
m st
sR
0
u u d u e s s u e du
m u
m

1 s
j
m 1 0

sR
再设s re ,

2

2
16
积分路线是OB直线段, B对应着 sR=rRcos+jrRsin, A对应着rRcos, 取一 很小正数e, 则C对应se=recos+jresin, D对应recos. 考察R, e的情况. 虚轴
u
e

rR cos
u
r cos m
R
e 0
s
m 1


t e dt
t
G (m 1)
s
m 1
19
虚轴
B
C

O
1
s
m 1
D
1

v A
u e du
m
u
t (实轴)
1
m 1

BC
u e du
m
u

s s s 1 m u G (m 1) R m1 u e d u m 1 0 s s e 0
第二篇
第 2章
内容要点
积分变换
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的概念
拉普拉斯逆变换 拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯变换的应用
1
教学要求


正确理解拉普拉斯变换的概念，知道拉氏变换的 存在定理，会求一些常用函数的拉普拉斯变换， 正确理解拉氏变换的线性、微分、积分、位移及 延迟性质，了解初值定理与终值定理以及它们在 计算拉氏变换中的应用。会用部分分式的方法及 查表的方法求拉氏逆变换。掌握拉氏变换的卷积 性质，会利用这一性质求一些函数的拉氏逆变换。 会用拉普拉斯变换方法求解线性微分方程及微分 方程组。 重点：拉普拉斯变换的概念、性质、应用。 难点拉普拉斯变换存在定理的证明。
B
C

O
D

v
A
t (实轴)
17
虚轴
B
C

O
1
s
m 1
D
u

v A
t (实轴)
根据柯西积分定理, 有
1 u e d u sm DABCD
m

DA

AB BC
CD
0
18
虚轴
B C

O
1 s
m 1
D
m

1 s 1
m 1
A
v
t (实轴)
u e du
m

DA
u e du
m 1

j
rR cos j rR sin
rR cos
u e du ( rR cos j v ) m d v
m
u
s
m 1

rR sin
0
e
( rR cos j v )
1 m 1 |s|

rR |sin |
0
|e
rR cos
m ( rR cos j v) | d v
（其中α为任意复数） 解 根据定义，


0
e e dt e
t
st 0

s t
dt ,
当 s 时，该积分收敛，且


0
e
s t
1 dt , s
7
例2.3 求正弦函数 f (t ) sin k t 解
st
(k R) 的复频函数



0
f (t ) e
st
dt M e dt
e t 0

M
e
根据含参量广义积分的性质可知, 在 Re(s) c1 > c上拉氏变换的积分不仅绝 对收敛而且一致收敛.
12
在下式的积分号内对s求导, 则
d st st 0 d s f (t ) e d t 0 tf (t ) e d t st ( b c )t et 而 | tf (t ) e | Mt e Mt e
4
2.1.1 拉普拉斯积分
1. 拉普拉斯积分的概念
若时间函数 f(t) 在 t > 0 有定义，则 f(t) 的 拉普拉斯积分的含复参变量s的广义积分为
F ( s) f (t )e st dt
0
复频函数
复频率
可以预见，上述积分是收敛的。
5
例2.1 求单位阶跃函数的拉普拉斯积分
e e 0 0 即 0 0
CD
25
故 1 m t 1 m u t e d t m 1 u e d u 0 m 1 0 0 s s 1 m u 1 m t 即 m 1 u e d u m 1 t e d t 0 0 s s G(m 1) s m 1 G(m 1) m st 0 t e d t s m1 (Re( s) 0) m! m st 当m为正整数时, t e d t m 1 (Re( s ) 0) 0 s
2
2.1 拉普拉斯变换的概念
由上章可知，需进行傅氏变换的函数应满足傅氏积分 存在定理的两个条件，即(1)在任一有限区间上满足狄利克 雷条件；(2)在无限区间 (, )上绝对可积．而傅氏变换 存在两个缺点． 缺点 1 ：条件 (2) 过强．在实际应用中，许多函数不能 满足条件(2)． [案例]单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等，虽满足狄 利克雷条件，但非绝对可积．因此，对这些函数就不能进行 古典意义下的傅氏变换．尽管在上一节里，通过引入δ 函数， 在广义下对非绝对可积函数进行了傅氏变换，但δ 函数使用 很不方便.
22
1 m 1 |s|

rR |sin |
0
|e
rR cos
m ( rR cos j v) | d v m 2
1 m 1 |s|

rR |sin |
0
e
rR cos
2 ( r R cos v ) dv 2 2 2
23
2 令 v rR cos tan , d v rR cos sec d | | 1 rR cos m 1 m2 ( rR cos ) sec d 上式 m 1 0 e |s| | | 1 rR cos m 1 m2 ( rR cos ) sec d m 1 e 0 |s|
st
1 1 1 s 2 2 2 s jk s jk s k
(Re( s) Re( s) .对实的k这表示 Re( s) 0 ）9
2. 拉普拉斯积分存在定理
定理2.1 若函数f(t)满足: 1, 在t 0的任一有限区间上分段连续 2, 当t时, f(t)的增长速度不超过某一指数 函数, 即存在常数M >0及c0, 使得 |f(t)| M ect, 0t< 则f(t)的拉普拉斯积分