概率教材习题解

习题解答习题5.11．设样本值如下：15， 20， 32， 26， 37， 18， 19， 43计算样本均值、样本方差、2阶样本矩及2阶样本中心矩．解 由样本均值的计算公式，有()8111152032263718194326.2588i i x x ===⨯+++++++=∑由样本方差的计算公式，有()28211102.2181i i s x x==-=-∑由2阶样本矩的计算公式，有82211778.58i i a x ===∑由2阶样本中心矩的计算公式，有()2821189.448i i b x x==-=∑2. 设总体~(12,4)X N ，125(,,,)X X X 是来自总体X 的样本，求概率12345{m a x (,,,,)12}P X X X X X >. 解 12345{m a x (,,,,)12}P X X X X X > []551311(0) 1()232=-Φ=-=3. 设总体X ～ P （λ），X 是容量为n 的样本的均值，求 ()E X 和 ()D X . 解 因总体X ～ P （λ），故有(),()E X D X λλ==，于是()()E X E X λ==()()D X D X n nλ== 4. 某保险公司记录的6n =起火灾事故的损失数据如下（单位：万元）：1.86, 0.75, 3.21，2.45， 1.98, 4.12. 求该样本的经验分布函数.解 将样本观测值排序可得：0.751.86 1.982.453.21<<<<< 则经验分布函数为60, 0.751, 0.75 1.8661, 1.86 1.9831(), 1.98 2.4522, 2.45 3.2135, 3.21 4.1261, 4.12x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪⎪≤<⎪⎪≥⎩5．求标准正态分布的上侧0.01分位数和上侧0.48分位数 .解 由题知，X ～ (0,1)N ，求X 的上侧α分位数. 即求u α使满足{}P X u αα>=得{}1P X u αα≤=-即()1u ααΦ=-取0.01α=，查标准正态分布表得上侧0.01分位数为0.012.33u u α==取0.48α=，查标准正态分布表得上侧0.48分位数为0.480.05u u α==习题5.21.设总体~(8,36)X N ，129(,,,)X X X 是取自总体X 的样本，X 是样本均值，求{|7|2}P X -< ．解 因~(8,36)X N ，且样本容量9n =，故36~(8,), ~(8,4)9X N X N 即 ，于是 9858{|7|2}{59}()()22P X P X ---<=<<=Φ-Φ (0.5)( 1.5)(0.5)(1.5)10.69150.933210.6247=Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-=2.设 2~(9)X χ ，求λ使其满足()0.95P X λ<=解 由()0.95P X λ<=，得()0.05P X λ≥=，因为2~(9)X χ，所以查表可得20.05(9)16.919λχ==3. 设总体~(0,1X N ，1210(,,,)X X X 是取自总体X 的样本，求2221210()E X X X +++ 及2221210()D X X X +++ .解 由总体~(0,1)X N 可知~(0,1) (1,2,,10)i X N i = ，且1210,,,X X X 相互独立，于是22221210()~(10)X X X χ+++故有2221210()10E X X X +++= 2221210()21020D X X X +++=⨯=4. 设总体X ～ N （20 ，3），从中独立地抽取容量分别为10和15的两个样本，求它们的样本均值之差的绝对值大于0.3的概率．解 设这两个样本分别为1210,,,X X X 和1215,,,Y Y Y ， 则对样本均值有101110i i X X ==∑ ～15131(20,),1015i i N Y Y ==∑～3(20,)15N依定理 X Y -～1(0,)2N ，所以{}0.3P X Y P ⎫->=>1P ⎫=-≤1=-ΦΦ（1210.6744⎡⎤=-Φ-=⎢⎥⎣⎦(查标准正态分布表可得)5.设X ～ t (12) ，(1) 求 a 使得()0.05P X a <=；（2）求 b 使得()0.99P X b >= 解 （1）由()0.05P X a <=利用t 分布的对称性可得()0.05P X a >-=，查表可得0.05(12) 1.7823 1.7823a t a -==⇒=-（2）由()0.99P X b >=得()0.01P X b ≤=，又由t 分布的对称性可得()0.01P X b >-=于是0.01(12) 2.6810 2.6810b t b -==⇒=-6.设~(8,12)X F ，求 λ 使得()0.01P X λ<=.解 由()0.01P X λ<= 得 ()0.99P X λ>=，于是查表可得0.990.0111(8,12)0.176(12,8) 5.67f f λ====习题5.31．设总体X ～ N （μ ，4），（X 1 ，X 2 ，… ，X 16）为其样本，2S 为样本方差，求： （1） P ()666.62<S ； （2） P ()865.4279.22<<S ． 解 因为()221n S σ-～()21n χ-所以本题中2154S ～()215χ 则 (1) {}(){}22215156.666 6.6661524.997544P S P S P χ⎧⎫<=<⨯=<⎨⎬⎩⎭(){}211524.997510.050.95P χ=-≥=-=(2) {}221515152.279 4.865 2.279 4.865444P S P S ⎧⎫<<=⨯<<⨯⎨⎬⎩⎭(){}28.546251518.24375P χ=<<(){}(){}22158.546251518.24375P P χχ=>-≥0.900.250.6=-= 2. 总体2~(0,)X N σ，1225(,,,)X X X 是总体X 的样本，2X S 和分别是样本均值和样本方差，求λ，使5()0.99XP Sλ<=. 解 根据抽样分布定理知5~(24)X Xt S = 又由5()0.99XP Sλ<=得 5()0.01XP Sλ>= 故查表可得0.01(24) 2.4922t λ==3．设总体X ～ N （30 ，64），为使样本均值大于28的概率不小于0.9 ，样本容量n 至少应是多少？解 因为X ～(30,64)N ， 所以样本均值X .～64(30,)N n因此X ()0,1N ， 故{}{}28128P X P X >=-≤1X P ⎧⎫=-≤1⎛=-Φ ⎝0.9=Φ≥1.29≥，解得 27n ≥，所以n 至少应取27.*4．设总体X ～ N )16(1，μ 与总体Y ～ N )36(2，μ 相互独立，（X 1 ，X 2 ，… ，X 13）和（Y 1 ，Y 2 ，… ，Y 10）分别为来自总体X 和总体Y 的样本．试求两总体样本方差之比落入区间（0.159 ，1.058）内的概率．解 因为()221n S σ-～()21n χ-，所以本题中211216S ～()222912,36S χ～()29χ又因为21212222121291694936S S F S S ==～()12,9F从而221122229990.159 1.0580.159 1.058444S S P P S S ⎧⎫⎧⎫<<=⨯<<⨯⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭(){}0.3577512,92.3805P F =<< 0.85=（查F 分布表*5. 设从两个正态总体~(4,1)~(6,1)X N Y N 和中分别独立地抽取两个样本1219(,,,)X X X 和1216(,,,)Y Y Y ，样本方差分别为2212S S 和.求λ，使2122()0.05S P S λ<=.解 根据抽样分布定理可知2122~(18,15)S F S 又由2122()0.05S P S λ<=可得2122()0.95S P S λ>=，于是查表可得0.950.0511(18,15)0.44(15,18) 2.27f f λ====*6．设总体X 与总体Y 相互独立，且都服从正态分布N （0 ，9），（X 1 ，X 2 ，… ，X 9）和（Y 1 ，Y 2 ，… ，Y 9）分别为来自总体X 和Y 的样本．试证明统计量T =∑∑==91291i ii iYX服从自由度为9的t 分布．证明 由正态分布的性质及样本的独立性知91ii X=∑～2(0,9)N得9119i i X =∑～(0,1)N 又因为i Y ～(0,9) (1,2,,9)N i =所以()22222291212913339Y Y Y Y Y Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ～()29χ 由于两个总体X 和Y 是相互独立的，所以其相应的样本也是相互独立的，故 9119i i X =∑与92119i i Y =∑也相互独立，于是由t 分布的定义知991ii XX T ==∑∑ ～ ()9t综合练习五一、填空题1．设总体X 的一组样本观测值为1.4 ，2.3 ，1.8 ，3.4 ，2.7则样本均值 x= ( 2.32 ) ，样本方差 2s = ( 0.607 ) ．2．设总体X 服从正态分布N （2 ，5），（X 1 ，X 2 ，… ，X 10）为其样本，则样本均值X 的分布为 ( 122N ⎛⎫⎪⎝⎭， )．3．设总体X 服从具有n 个自由度的2χ 分布，（X 1 ，X 2 ，… ，X n ）为其样本，X为样本均值，则有 ()( )E X n = ，()( 2 )D X = ．4．设总体X ～ N （μ ，2σ），（X 1 ，X 2 ，… ，X n ）为其样本，X 、2S 分别为样本均值和样本方差，则有 X ～( 2N n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭， )，22)1(σS n - ～( 2(1)n χ- )，nSX μ- ～( t (n － 1) )．5．设总体X ～ N （1 ，4），（X 1 ，X 2 ，… ，X 5）为其样本，令T = 2543221)2()(X X X b X X a --+-则当a = (81 ) 、1()24b =时有T ～ 2χ(2) ． 二、选择题1．设总体X ～ N （μ ，1），其中 μ 为未知参数，若（X 1 ，X 2 ，… ，X n ）为来自总体X 的样本，则下列样本函数中( (b ) ) 不是统计量．(a )∑=ni i X1；(b )∑=-ni iX12)(μ ；(c) X 1 X 2 … X n ； (d )∑=ni i X12．2．设总体X ～ N （2 ，4），（X 1 ，X 2 ，… ，X 9）为其样本，X 为样本均值，则下列统计量中服从标准正态分布的是( (c ) )．(a ) X ； (b))2(43-X ； (c ))2(23-X ； (d ) )2(29-X ． 3．设总体X ～ N （0 ，1），（X 1 ，X 2 ，… ，X 5）为其样本，令T = 2543221)(2)(3X X X X X +++则有T ～ ( (b ) ) ．(a ) t (5) ； (b ) F (1 ，1) ； (c ) F (2 ，3) ； (d ) F (3 ，2) ． 4．设总体X ～ N ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410，，（X 1 ，X 2 ，… ，X 5）为其样本，令T=则有T ～( (d ) )．(a ) t (1) ； (b ) t (2) ； (c ) t (3) ； (d ) t (4) ． 5．设总体X ～ N （0 ，1），（X 1 ，X 2 ，… ，X n ）为其样本，X 、2S 分别是样本均值和样本标准差，则 ( (c ) ) ．(a ) n X ～ N （0 ，1）： (b ) X ～ N （0 ，1）； (c )∑=ni i X 12 ～ 2χ(n ) ； (d )SX～ t (n － 1) ． 6．设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则 ( (c ) ) ．(a ) Y X + 服从正态分布； (b ) 22Y X + 服从 2χ 分布；(c ) 2X 和 2Y 都服从 2χ 分布； (d )22Y X 服从F 分布．三、解答题1．设总体~(2,16)X N ，12(,,,)n X X X 是总体X 的样本，令2211ni i A X n ==∑，求2A 的数学期望2()E A .解 因为~(2,16)X N ，所以~(2,16) (1,2,,)i X N i n = ，则有 22()()()16420i i i E X D X E X =+=+= 于是22111()()2020n i i E A E X n n n===⨯⨯=∑2．设总体~(15,9),X N ，129(,,,)X X X 是总体X 的样本，X 是样本均值，.求常数c ，使()0.95.P X c ≤=解 根据抽样分布定理可知~(15,1)X N 又由()0.95P X c ≤=可得15()()0.951c P X c -≤=Φ= 查表可得15 1.645c -=，于是得16.645c =3.设一组数据20.5，15.5，30.2，20.5，18.6, 21.3，18.6，23.4来自于总体,X 求经验分布函数.解 将样本观测值排序可得：15.518.618.620.520.521.32<=<=<<< 则由定义可得经验分布函数为80, 15.51, 15.518.683, 18.620.585(), 20.521.386, 21.323.487, 23.430.081, 30.2x x x F x x x x x ≤⎧⎪⎪≤<⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪⎪≤<⎪⎪≥⎩4．设总体X ～ N （0 ，4），（X 1 ，X 2 ，… ，X 9）为其样本．求系数a 、b 、c ，使得T = 298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a ++++++++服从 2χ 分布，并求其自由度．解 由于129,,,X X X 相互独立且来自总体X ～(0,4)N ，则由正态分布的线性运算性质有12X X +～(0,8)N ，345X X X ++～(0,12)N ，6789X X X X +++～(0,16)N于是，由2χ分布与正态分布的关系，有()()()22212345678981216X X X X X X X X X T ++++++=++ 服从2χ（3）分布，因此111,,81216a b c ===，自由度为3。

第一章 随机事件及其概率1．解：（1）{}67,5,4,3,2=S （2）{} ,4,3,2=S （3）{} ,,,TTH TH H S =（4）{}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S = 2．解：81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ∴ )()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+=)()()(AB P B P B A P -==838121=-=87811)(1)(=-=-=AB P AB P)])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB ⊂ 218185=-=3．解：用A 表示事件“取到的三位数不包含数字1”2518900998900)(191918=⨯⨯==C C C A P4、解：用A 表示事件“取到的三位数是奇数”，用B 表示事件“取到的三位数大于330”(1) 455443)(2515141413⨯⨯⨯⨯==A C C C C A P =0.48 2） 455421452)(251514122512⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=A C C C A C B P =0.48 5、解：用A 表示事件“4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球”，用B 表示事件“4只中至少有2只红球”， 用C 表示事件“4只中没有只白球”（1）412131425)(C C C C A P ==495120=338（2）4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= 或16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P （3）99749535)(41247===C C C P 6．解：用A 表示事件“某一特定的销售点得到k 张提货单”nkn k n MM C A P --=)1()( 7、解：用A 表示事件“3只球至少有1只配对”，用B 表示事件“没有配对”（1）3212313)(=⨯⨯+=A P 或321231121)(=⨯⨯⨯⨯-=A P（2）31123112)(=⨯⨯⨯⨯=B P 8、解 1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P （1）313.01.0)()()(===B P AB P B A P ，515.01.0)()()(===A P AB P A B P 7.01.03.05.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P )()()()()()]([)(B A P AB P B A P AB A P B A P B A A P B A A P ===757.05.0== 717.01.0)()()()])([()(====B A P AB P B A P B A AB P B A AB P1)()()()]([)(===AB P AB P AB P AB A P AB A P（2）设{}次取到白球第i A i = 4,3,2,1=i则)()()()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P = 0408.020592840124135127116==⨯⨯⨯=9、解： 用A 表示事件“取到的两只球中至少有1只红球”，用B 表示事件“两只都是红球”方法1 651)(2422=-=C C A P ，61)(2422==C C B P ，61)()(==B P AB P516561)()()(===A P AB P A B P方法2 在减缩样本空间中计算 51)(=A B P 10、解：A 表示事件“一病人以为自己得了癌症”，用B 表示事件“病人确实得了癌症” 由已知得，%40)(%,10)(%,45)(%,5)(====B A P B A P B A P AB P （1）B A AB B A AB A 与,=互斥5.045.005.0)()()()(=+=+==∴B A P AB P B A AB P A P同理 15.01.005.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P （2）1.05.005.0)()()(===A P AB P A B P（3）2.05.01.0)()()(,5.05.01)(1)(====-=-=A P B A P A B P A P A P（4）17985.045.0)()()(,85.015.01)(1)(====-=-=B P B A P B A P B P B P（5）3115.005.0)()()(===B P AB P B A P11、解：用A 表示事件“任取6张，排列结果为ginger ”92401)(61113131222==A A A A A A P 12、解：用A 表示事件“A 该种疾病具有症状”，用B 表示事件“B 该种疾病具有症状” 由已知2.0)(=B A P 3.0)(=B A P 1.0)(=AB P （1）,B A AB B A B A S =且B A AB B A B A ,,,互斥()6.01.03.02.0)()()(=++=++=∴AB P B A P B A P B A P 4.06.01)(1)()(=-=-==B A P B A P B A P()()()4.0)(1=---=AB P B A P B A P B A P（2）()()()6.01.03.02.0)(=++=++=AB P B A P B A P AB B A B A P（3）B A AB B =， B A AB ,互斥4.03.01.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P)()()(])[()(B P AB P B P B AB P B AB P ==414.01.0== 13、解：用i A 表示事件“讯号由第i 条通讯线输入”，,4,3,2,1=i B 表示“讯号无误差地被接受” ;2.0)(,1.0)(,3.0)(,4.0)(4321====A P A P A P A P9998.0)(1=A B P ，9999.0)(2=A B P ，,9997.0)(3=A B P 9996.0)(4=A B P 由全概率公式得 9996.02.09997.01.09999.03.09998.04.0)()()(41⨯+⨯+⨯+⨯==∑=ii iA B P A P B P99978.0=14、解：用A 表示事件“确实患有关节炎的人”，用B 表示事件“检验患有关节炎的人”由已知 1.0)(=A P ，85.0)(=A B P ，04.0)(=A B P ， 则 9.0)(=A P ，15.0)(=A B P ，96.0)(=A B P ， 由贝叶斯公式得15、解：用A 表示事件“程序交与打字机A 打字”，B 表示事件“程序交与打字机B 打字”，C 表示事件“程序交与打字机C 打字”；D 表示事件“程序因计算机发生故障被打坏”由已知得 6.0)(=A P ，3.0)(=B P ，1.0)(=C P ；01.0)(=A D P ，05.0)(=B D P ，04.0)(=C D P由贝叶斯公式得 )()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P A D P A P D A P ++=24.025604.01.005.03.001.06.001.06.0==⨯+⨯+⨯⨯=)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P B D P B P D B P ++=6.05304.01.005.03.001.06.005.03.0==⨯+⨯+⨯⨯=)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P C D P C P D A P ++=16.025604.01.005.03.001.06.004.01.0==⨯+⨯+⨯⨯=16、解：用A 表示事件“收到可信讯息”，B 表示事件“由密码钥匙传送讯息”由已知得 95.0)(=A P ，05.0)(=A P ，1)(=A B P ，001.0)(=A B P由贝叶斯公式得999947.0001.005.0195.0195.0)()()()()()()(≈⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P17、解：用A 表示事件“第一次得H ”，B 表示事件“第二次得H ”，C 表示事件“两次得同一面”则 ,21)(,21)(==B P A P ,21211)(2=+=C P ,4121)(2==AB P ,4121)(2==BC P ,4121)(2==AC P)()()(),()()(),()()(C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ===∴ C B A ,,∴两两独立而41)(=ABC P ，)()()()(C P B P A P ABC P ≠ C B A ,,∴不是相互独立的18、解：用A 表示事件“运动员A 进球”，B 表示事件“运动员B 进球”，C 表示事件“运动员C 进球”，由已知得 5.0)(=A P ，7.0)(=B P ，6.0)(=C P 则 5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，4.0)(=C P（1）{})(C B A C B A C B A P P =恰有一人进球)()()(C B A P C B A P C B A P ++= （C B A C B A C B A ,,互斥）)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 相互独立）C B A ,,( 29.06.03.05.04.07.05.04.03.05.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（2）{})(C B A BC A C AB P P =恰有二人进球)()()(C B A P BC A P C AB P ++= （C B A BC A C AB ,,互斥）)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 相互独立）C B A ,,(44.06.03.05.06.07.05.04.07.05.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= （3）{})(C B A P P =至少有一人进球 )(1C B A P -= )(1C B A P -=)()()(1C P B P A P -= 相互独立）C B A ,,( 4.03.05.01⨯⨯-= 94.0=19、解：用i A 表示事件“第i 个供血者具有+-RH A 血型”， ,3,2,1=iB 表示事件“病人得救”,4321321211A A A A A A A A A A B =4321321211,,,A A A A A A A A A A 互斥，i A （ ,3,2,1=i ）相互独立 ()()(1P A P B P +=∴+)21A A )()(4321321A A A A P A A A P +8704.04.06.04.06.04.06.04.032=⨯+⨯+⨯+=20、解：设i A 表示事件“可靠元件i ” i=1,2,3,4,5 ，B 表示事件“系统可靠”由已知得p A P i =)(1,2,3,4,5)(i = 54321,,,,A A A A A 相互独立 方法1：54321A A A A A B =)()(54321A A A A A P B P =∴()()()()()()542154332154321A A A A P A A A P A A A P A A P A P A A P ---++=()54321A A A A A P +543322p p p p p p p +---++= ()相互独立54321,,,,A A A A A543222p p p p p +--+=方法2：)(1)(54321A A A A A P B P -=)()()(154321A A P A P A A P -= ()相互独立54321,,,,A A A A A ()()]1][1)][(1[154321A A P A P A A P ----=()()()]1][1)][()(1[154321A P A P A P A P A P ----= ()相互独立54321,,,,A A A A A ()()()221111p p p ----= 543222p p p p p +--+= 21、解：用A 表示事件“真含有杂质”,用B 表示事件“次检验认为不含有杂质次检验认为含有杂质次检验中有123”由已知得 4.0)(=A P ，6.0)(=A P ，2.08.0)(223⨯⨯=C A B P ，9.01.0)(223⨯⨯=C A B P由贝叶斯公式得9.01.06.02.08.04.02.08.04.0)()()()()()()(223223223⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+=C C C A B P A P A B P A P A B P A P B A P 905.016981536==。

概率统计第一章教材习题选解习题1-21．已知B A ⊂，()4.0=A P ，()6.0=B P .求：（1）()A P ，()B P ；（2）()AB P ；（3）()B A P +；（4）()B A P ；（5）()B A P ⋅，()A B P .解：（1）()()6.01=-=A P A P ，()()4.01=-=B P B P ；（2）()()4.0====⊂A P AB P B A ；（3）()()6.0====+⊂B P B A P B A ；（4）()()()()()()2.0=-=-=-=A P B P AB P B P A B P B A P ；（5）()()()()4.011=-=+-=+=⋅B P B A P B A P B A P ，()()()0=-=AB P A P A B P .2．设B A ,是两事件，且()6.0=A P ，()7.0=B P .问分别在什么条件下，()AB P 取得最大值和最小值？最大值和最小值各为多少？解：因为()()()()B A P B P A P AB P +-+=，所以要使()AB P 最大，只要()B A P +最小；要使()AB P 最小，只要()B A P +最大. 而()B A A +⊆，()B A B +⊆，则()()B A P A P +≤，()()B A P B P +≤.于是B A ⊃或A B ⊃.又因为()()A P B P <，则B A ⊃不合题意.故，当A B ⊃时，()()()()()()()()6.0==-+=+-+=A P B P B P A P B A P B P A P AB P 最大；当Ω=+B A 时，()B A P +最大，()()()()3.0=+-+=B A P B P A P AB P 最小.3．已知B A ,是二事件，且()5.0=A P ， ()7.0=B P ，()8.0=+B A P .试求()A B P -与()B A P -. 解：因为()()()()4.0=+-+=B A P B P A P AB P ，所以()()()3.0=-=-AB P B P A B P , ()()()1.0=-=-AB P A P B A P .4．已知()()41==B P A P ，()21=C P ，()81=AB P ，()()0==CA P BC P .试求C B A ,,中有一个发生的概率. 解：()()()()()()()()ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=++因为()()()0==CA B P CA P ABC P ，而ABC AC ⊇，所以()()0=≥ABC P AC P ，即()0=AC P . 故，()()()()()()()()ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=++()()()()()87=-++=++AB P C P B P A P C B A P . 5．书架上有一部五卷册的文集，求各册自左至右或自右至左排成自然顺序的概率. 解：设A 表示“一部五卷册的文集，各册自左至右或自右至左排成自然顺序”，则()601!5!2==A P . 6．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有一件次品的概率.解：设A 表示“任取3件产品，求其中恰有一件次品”，则()3929935024515==C C C A P . 7．n 个朋友随机地围绕圆桌就座，求其中两人一定坐在一起（即座位相邻）的概率.解：首先必须搞清楚，这是一个环状排列问题.这种排列是无首尾之分的，而我们所熟悉的是线状排列问题.环状排列一种，相当于线状排列n 种.设A 表示“n 个朋友随机地围绕圆桌就座，其中甲，乙两人一定坐在一起”，则按线状排列时，首先考虑将甲，乙两人排在一起，有!2种排法，然后把这两人视为一个元素，再与其它的()1-n 的元素作全排列，共有()!1!2-n 种，而对应的环状排列有()()1!1!2--n n 种，于是()()()12!1!1!2-=--=n n n n n A P . 8．某油漆公司发出17桶油漆，其中白油漆10桶，黑油漆4桶，红油漆3桶，在搬运过程中所有的标签脱落，交货人随机地将这些油漆发给顾客，问一个订货为4桶白油漆，3桶黑油漆和2桶红油漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？解：设A 表示“能按所订颜色如数得到订货”，则()24312529172334410==C C C C A P . 9．设有N 件产品，其中M 件次品，今从中任取n 件，（1）求其中恰有()()n M k k ,m in ≤件次品的概率；（2）求其中至少有两件次品的概率.解：（1）设A 为“从N 件产品中任取n 件，其中恰有()()n M k k ,m in ≤件次品”，则()n Nk n M N k M C C C A P --=. （2）设B 为“从N 件产品中任取n 件，其中至少有两件次品”，则考虑逆事件的概率有：()()B P B P -=1，其中：B 表示“从N 件产品中任取n 件，其中次品件数不多于两件”.于是，()()n N n M N M n M N M C C C C C B P B P 11011---+-=-=. 10．将一枚骰子重复地掷n 次，试求掷出的最大点数为5的概率.解：设k A “n 次投掷中恰有k 次掷出5点，且其他各次小于5点”，则所求概率为：()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++--0222112164616461646161n n n n n n n n n C C C A A A P ΛΛ. 点评：本题不管是直接计算还是从对立事件着手都是困难的，但利用减法公式是简洁的. 设A “最大点数为5”，B “最大点数不超过5”，C “最大点数不超过4”，则B C ⊂，且C B A -=，于是()()()()n nn n n n n C P B P C B P A P 6456465-=-=-=-=. 11．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率.解：设甲乙两船到达的时刻为y x ,，则(){}240;240,≤≤≤≤=Ωy x y x .(){}y x x y y x A +≥+≥=21,或.显然，()11521013=A P . 点评：若甲船先到，则乙船必须晚到一小时x y +≥1；若乙船先到，则甲船必须晚两小时到达y x +≥2.12．（91数1-3）随机地向半圆a x ax y (202-<<为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，试求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率.解：.1212cos 20402πθπθπ+===⎰⎰a D rdr d a S S P 半圆 点评：此题求面积时可用定积分或二重积分.习题1-31．已知()3.0=A P ，()4.0=B P ，()5.0=B A P ，求条件概率()B A B P +. 解：()()()()()()()()()()()()B A P B P A P AB P B A P B P A P B B P AB P B A P B B AB P B A B P --+=-++=++=+1 因为()()()()5.0=-=-=AB P A P B A P B A P ，所以()()()B A P A P AB P -=. 故，()B A B P +()()()()()()()()()4111=--+-=--+=B A P B P A P B A P A P B A P B P A P AB P . 2．已知()5.0=A P ，()6.0=B P ，()8.0=A B P ，求()AB P 及()B A P ⋅.解：()()()4.0==A B P A P AB P ； ()()()()()()3.011=+--=+-=+=⋅AB P B P A P B A P B A P B A P . 3．某种动物由出生活到20岁的概率为8.0，活到25岁的概率为4.0，这种动物已经活到20岁，再活到25岁的概率是多少？解：设A “这种动物由出生活到20岁”，B “这种动物由出生活到25岁”，则A B ⊂， 故所求概率为：()()()()()218.04.0====A PB P A P AB P A B P .4．掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（分别用条件概率的定义计算和条件概率的含义（即用缩减后的样本空间）计算）.解法（一）：设A 表示“两颗骰子的点数之和为7”，B 表示“其中有一颗为1点”，则所求概率为：()()()31666222===A P AB P A B P . 解法（二）：考虑缩减后的样本空间（即两颗骰子的点数之和为7）：()()()()()(){}4,3,5,2,6,1,3,4,2,5,1,6=Ω，()(){}6,1,1,6=A ，故()31=A P . 点评：缩减后的样本空间只含有6个基本事件，而原样本空间含有36个基本事件.5．某人有一笔资金，他投入基金的概率为58.0，购买股票的概率为28.0，两项同时都投资的概率为19.0，（1）已知他已经投入基金，再购买股票的概率是多少？（2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？解：设A “投入基金”，B “购买股票”，则()58.0=A P ，()28.0=B P ，()19.0=AB P ，于是，已知他已经投入基金，再购买股票的概率是：()()()581958.019.0===A P AB P A B P . 已知他已购买股票，再投入基金的概率是：()()()281928.019.0===B P AB P B A P . 6．袋中有r 只红球，t 只白球，每次从袋中任取一只球，观察颜色后放回，并再放入a 只与取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率（此题为波利亚模型，它是一个包含了许多重要的随机现象的模型，请读者思考一下，什么样的现象可以归结于这一模型）.解：设()4,3,2,1=i A i 表示“第i 次取到红球”，则所求概率为：()4321A A A A P ⋅⋅⋅()()()()()()a t r a t r a t r t r a t a r rt 32+++++++++=. 7．已知10只产品中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样.求下列事件的概率：（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只正品，一只次品. 解：设21,A A 分别表示“第1，2次取的是正品”，则（1）()()()45289710812121=⋅==A A P A P A A P . （2）()()()4519110212121=⋅==⋅A A P A P A A P . （3）()()()()()()()12112121212121A A P A P A A P A P A A P A A P A A A A P +=+=+45169810292108=⋅+⋅=. 8．已知()3.0=A P ，()5.0=B P ，()15.0=AB P ，验证()()B P A B P =，()()B P A B P =，()()A P B A P =，()()A P B A P =. 证明：()()()()B P A P AB P A B P ===5.0；()()()()()()()()A P AB P B P A P A B P A P A B P A B P --=--==11 ()B P ==-=5.07.015.05.0.同理可证其他. 9．第一个盒子中有5只红球，4只白球；第二个盒子中有4只红球，5只白球.先从第一个盒子中任取2只球放入第二个盒子中去，然后从第二个盒子中任取一球，求取到白球的概率.解：设1B “从第一只盒子中取得2 只红球”，2B “从第一只盒子中取得2 只白球”，3B “从第一只盒子中取得一只红球，一只白球”，A “从第二只盒子中取到一只白球”. 由全概率公式得：()()()9953116951176111518531=⨯+⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P . 10．某产品主要由三个厂家供货. 甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总数的%15，%80，%5.其次品率分别为02.0，01.0，03.0. 试计算：（1）从这批产品中任取一件是合格品的概率；（2）已知从这批产品中随机地取出的一件是不合格品，问这件产品由哪家生产的可能性大？解：设1B ，2B ，3B 分别表示“任取一件产品是甲，乙，丙厂生产的”，A 表示“从这批产品中任取一件是合格品”则()()()0125.003.005.001.08.002.015.031=⨯+⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P .11．将两信息分别编码为X 和Y 后传送出去，接收站接收时，X 被误收作Y 的概率为02.0，而Y 被误收作X 的概率为01.0.信息X 与信息Y 传送的频繁程度之比为1:2.若接收站收到的信息是X ，问原发信息也是X 的概率是多少？解：设A “发出信号X ”，B “收到信号X ”，则由Bayes 公式可知：()()()()()()()19719601.03198.03298.032=⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P . 12．设有两箱同类零件，第一箱内装有50件，其中10件是一等品；第二箱内装有30件，其中18件是一等品，现从两箱中任选一箱，然后从该箱中依次随机地取出两个零件（取出的零件不放回），试求：（1）第一次取出的零件是一等品的概率；（2）在第一次取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率.解：设21,A A 分别表示“第一，二次取得一等品”，21,B B 分别表示“取到第一箱，第二箱中的零件”.（1）由全概率公式得：()()()4.02130182*********=⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P . （2）由全概率公式得：4856.0=.习题1-41．设()7.0=A P ，()8.0=B P ，()8.0=A B P .问事件A 与B 是否相互独立？解：因为()()()56.0==A B P A P AB P ，而()()56.0=B P A P ，即()()()B P A P AB P =，所以事件A 与B 是相互独立的.2．设C B A ,,是三个互相独立的随机事件，且()10<<C P ，问AC 与C 是否相互独立？ 解：因为()()()()()()01>-==+⋅=+=⋅C P C P C C A P C A C P C AC P ， ()()()[]()()()[]()C P C P A P C P AC P C P AC P C B A -=====-=11,,独立，所以当()0=A P 时，()()()()C P C P AC P C AC P ==⋅，故AC 与C 是相互独立的.否则，AC 与C 是不相互独立的. 点评：因为C AC ⊂，所以C AC ⊃，从而()()C P C AC P =⋅.3．已知()a A P =，()3.0=B P ，()7.0=+B A P .（1）若事件A 与B 互不相容，求a ；（2）若事件A 与B 相互独立，求a .解：（1）若事件A 与B 互不相容，则()()()()A B P B P A P B A P -+=+ ()()()()()()()()()AB P A P AB P B P B P A P A B P B P A P +-=+-+-=--+=11，因为A 与B 互不相容，所以()0=AB P ，从而()()3.0117.0=⇒-=-==+a a A P B A P .（2）若事件A 与B 相互独立，则()()()()A B P B P A P B A P -+=+ ()()()B P A P A P +-=1，从而()()()()a a B P A P A P B A P 3.0117.0+-=+-==+，故73=a . 4．设A 与B 相互独立，且()α=A P ，()β=B P ，求下列事件的概率：（1）()B A P +；（2）()B A P +；（3）()B A P +. 解：（1）()αββα-+=-+=+)()()()(B P A P B P A P B A P ；（2）()()()B A P B P A P B A P -+=+)(，当A 与B 相互独立时，A 与B 也是独立的，则 αββ+-=1；（3）()()()()()αβ-=-=-==+111B P A P AB P AB P B A P . 5．已知事件A 与B 相互独立，且()91=⋅B A P ，()()B A P B A P =，求()A P ，()B P . 解：()()()()()()()()AB P B P AB P A P A B P B A P B A P B A P -=-⇔-=-⇔= ()()B P A P =⇔，从而有()()B P A P =. 当事件A 与B 相互独立时，事件A 与B 也独立，则()()()9191=⇔=⋅B P A P B A P ，于是()()31==B P A P ，()()32==B P A P .6．三个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为51，31，41，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率为多少？解：设C B A ,,分别表示“甲，乙，丙能独立地译出此密码”，则()()()()()()4332541111⨯⨯-=-=⋅⋅-=++-=++C P B P A P C B A P C B A P C B A P 53=.7．对同一目标进行三次独立射击，第一次、第二次、第三次射击的命中率分别是7.0,5.0,4.0，求：（1）在这三次射击中，恰好有一次击中目标的概率；（2）在这三次射击中，至少有一次命中目标的概率.解：设C B A ,,分别表示“第一，二，三次射击时命中目标”.（1）()()()()()()()()()()C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A C B A C B A P ++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.（2）()()()()()()C P B P A P C B A P C B A P C B A P -=⋅⋅-=++-=++11191.03.05.06.01=⨯⨯-=.8．一个元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性，设4个独立工作的元件4,3,2,1，求这一系统的可靠性.解：设i A 表示“第i 个元件可靠”)4,3,2,1(=i ，则所求概率为：()()()413214321A A A A A P A A A A P +=+ ()()()432141321432141321p p p p p p p p p A A A A P A A P A A A P -+=-+=.9．设第一只盒子中装有3只兰球，2只绿球，2只白球；第二个盒子中装有2只兰球，3只绿球，4只白球，独立地分别在两个盒子中各取一只球.（1）求至少有一只兰球的概率；（2）求有一只兰球，一只白球的概率；（3）已知至少有一只兰球，求有一只兰球一只白球的概率.解：设111,,C B A 分别表示“从第一只盒子中取出的球为兰，绿，白色的”，设222,,C B A 分别表示“从第二只盒子中取出的球为兰，绿，白色的”.（1）()()()()()959774111121212121=⨯-=-=⋅-=+-=+A P A P A A P A A P A A P ;（2）()()()()()()()212121212121A P C P C P A P A C P C A P A C C A P +=+=+631692729473=⨯+⨯=. （3）()()()()()21212121212121A A P A A A C C A P A A A C C A P +++=++，因为()()212121A A A C C A +⊂+，所以()()()()2121212121A C C A P A A A C C A P +=++.故，()()()()()()()3121212121212121212121=++=+++=++A A P A C C A P A A P A A A C C A P A A A C C A P .10．（先下手为强）甲、乙两人射击水平相当，于是约定比赛规则：双方对同一目标轮流射击，若一方失利，另一方可以继续射击，直到有人命中目标为止.命中一方为该轮的获胜者.你以为先射击者是否一定沾光？为什么？解：设i A 表示“第i 次射击时命中目标”()Λ,2,1=i ，B 表示“甲获胜”，假设由甲先发第一枪，又设甲，乙两人每次射击时的命中率为p ，未命中的概率为q ，则1=+q p .qq p +=-=1112，于是乙获胜的概率为：()()q qB P B P +=-=11.因为10<<q ，故()()B P B P >.即，先下手为强.第一章总习题1．填空题（1）假设B A ,是两个随机事件，且B A AB ⋅=，则()=+B A ，()=AB ；解：()()Ω=+⇔+=+++⇔B A B A B B A A .Φ=Φ⋅=⇔⋅⋅=⇔⋅=A AB B B A ABB B A AB .（2）假设B A ,是任意两个事件，则()()()()[]()=++++B A B A B A B A P .解：()()()()[]()()()()[]B A B A B A B A P B A B A B A B A P ++++=++++()()[]()0=Φ=++=P B B A B B A P .2．选择题（1）设8.0)(=A P ，7.0)(=B P ，()8.0=B A P ，则下列结论正确的是().（A ）事件A 与事件B 相互独立；（B ）事件A 与事件B 互逆； （C ）A B ⊃；（D ）())()(B P A P B A P +=+.解：因为()56.0)()(==B A P B P AB P ，而56.0)()(=B P A P ，即)()()(B P A P AB P =，所以事件A 与事件B 相互独立，选（A ）.（2）设B A ,为两个互逆的事件，且0)(>A P ，0)(>B P ，则下列结论正确的是().（A ）()0>A B P ；（B ）())(A P B A P =；（C ）()0=B A P ；（D ）)()()(B P A P AB P =. 解：因为B A ,为两个互逆的事件，所以当事件B 发生时，事件A 是不会以生的，故()0=B A P .选（C ）.（3）设1)(0<<A P ，1)(0<<B P ，()()1=+B A P B A P ，则下列结论正确的是().（A ）事件A 与事件B 互不相容；（B ）事件A 与事件B 互逆；（C ）事件A 与事件B 不互相独立；（D ）事件A 与事件B 互相独立.解：因为()()()()()()()()()()1111=-++⇔=⋅+⇔=+B P BA PB P AB P BP B A P B P AB P B A P B A P )()()(B P A P AB P =，所以事件A 与事件B 互相独立.选（D ）.3．从五双不同的鞋子中任取四只，求取得的四只鞋子中至少有两只配成一双的概率.解：此题考虑逆事件求解比较方便，即取得的四只鞋子中不能配成一双.设A 表示“取得的四只鞋子中至少有两只配成一双”，则()4101212124511)(C C C C C A P A P -=-= 2113=. 4．（找次品问题）盒中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只进行测试，直到4只次品晶体管都找到为止，求第4次品晶体管在第五次测试中被发现的概率.解：设i A 表示“第i 次找到次品晶体管”()5,4,3,2,1=i ，则所求概率为：1052617283941064=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯⨯=.5．（讨论奖金分配的公平性问题）在一次羽毛球比赛中，设立奖金1000元.比赛规定：谁先胜三盘，谁获得全部奖金.设甲、乙两人的球技相当，现已打了三盘，甲2胜1负.由于特殊原因必须中止比赛.问这1000元应如何分配才算公平?解：应以预期获胜的概率为权重来分配这笔奖金，于是求出甲、乙两人获胜的预期概率即可.比赛采取的应是五局三胜制，比赛已打三盘，甲胜两盘，甲若再胜一盘即可获胜. 甲获胜的预期概率为：()()()()43212121544544=⨯+=+=+A P A P A P A A A P . 于是，甲应分得1000元奖金中的750100043=⨯元，乙分得250元.6．4张卡片标着1到4，面朝下放在桌子上，一个自称有透视能力的人将用他超感觉的能力说出卡片上的号码.如果他是冒者而只能随机地猜一下，他至少猜中一个的概率p 是多少？解：由古典概型下概率的定义可知：85!41!40444342414=-=+++=C C C C C p . 7．甲从10,8,6,4,2中任取一个数，乙从9,7,5,3,1中任取一个数，求甲取得的数大于乙取得的数的概率.解：设i A 表示“甲取的数为()10,8,6,4,2=i i ”，k B 表示“乙取的数为()9,7,5,3,1=k k ”，则所求概率为：由于甲、乙取数是相互独立的，则由独立性的性质可知：()()()k i k i B P A P B A P =，且()51=i A P ，()51=k B P ，()9,7,5,3,1;10,8,6,4,2==k i . 以上概率为：5315251=⨯. 8．从数字9,,,3,2,1Λ中可重复地任取n 次，每次取一个数，求n 次所取数的乘积能被10整除的概率.解：n 次取得的数的乘积能被10整除，相当于取得的n 个数中至少有一个是偶数，另一个是5.设A 表示“所取的数是5”，B 表示“所取的数中至少有一个是偶数”，则所求概率为：nnn n 94581-+-=.9．向正方形区域(){}1,1,≤≤=Ωy x y x 中随机地投一个点，如果()y x ,是所投点M 的坐标，试求：（1）02=++y xt t 有两个实根的概率；（2）方程02=++y xt t 有两个正实根的概率.解：（1）设A 表示“02=++y xt t 有两个实根”，02=++y xt t 有两个实根的充要条件是 042≥-y x ， 即(){}04,2≥-=y x y x A .故()24134242102=+=⎰dx x A P .⎝⎛x（2）设B 表示“方程02=++y xt t 有两个正实根”，则方程02=++y xt t 有两个正实根的条件是：042≥-y x ，0>-x ，0>y ，即(){}0,0,04,2><≥-=y x y x y x B .故()48144012==⎰-dx x B P . 10．将四个球任意地放到四个盒子中去，每个盒子中容纳球的个数不限，如果已知前两个球放在不同的盒子中，试求有一个盒子中恰好放有三个球的概率.解：设A 表示“前两个球放在不同的盒子中”，B 表示“有一个盒子中恰好有两个球”，则所求概率为：()()()8114141224121224===C C C C C C C A P AB P A B P .11．设M 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件.（1）在所取的两件产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率；（2）在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是合格品的概率.解：设i A 表示“取出的两件产品中有i 件合格品”，则()22Mi mi m M i C C C A P --=()2,1,0=i . （1）()()()()()()12112222010010100100---=-=+=++=+--m M m C CC C C A A P A P A A P A A A P A A A P MmM M mm M . 或()()()()()()()()()10010010100100A P A P A P A A P A P A A P A A A P A A A P +=+=++=+121211220220---=+=---m M m C C C C C C C C C Mmm M M m m M M mm M . （2）()()()()()()()()1221121211211-+=+=++=+m M mA P A P A P A P A P A A A P A A A P .12．口袋中有20个球，其中两个是红球，现从袋中取球三次，每次取一个，取后不放回，求第三次才取到红球的概率.解：设i A 表示“第i 次取得红球()3,2,1=i ”，则所求概率为：()()()()089.011812119117120118213121321=⨯⨯=⋅=⋅⋅C C C C C C A A A P A A P A P A A A P .13．12个乒乓球全是新的，每次比赛时取出3个用完后放回去.（1）求第三次比赛时取到的三个球都是新球的概率；（2）问在第三次取到的三个球都是新球的条件下，第二次取到几个新球的概率最大？解：设事件i i i C B A ,,分别表示第一、二、三次比赛时取到i 个新球()3,2,1,0=i .（1）由全概率公式，()()()∑==333i i i B C P B P C P .其中：()()3,2,1,0312339==-i C C C B P i i i ，()()3,2,1,0312393==-i C C B C P i i . 故()()()146.03312393123393033≈⋅==∑∑=--=i ii i i i i C C C C C B C P B P C P .（2）容易求得，()70568430=C B P ，()7056151231=C B P ，()7056378032=C B P ，()7056168033=C B P . 故在第三次取到的三个球都是新球的条件下，第二次取到两个新球的概率最大.14．（有关经济的忠告）美国总统常常从经济顾问委员会寻求各种建议.假设有三种不同经济理论的顾问C B A ,,，总统正在考虑采取一项关于工资和价格控制的新政策，并关注这项政策对失业率的影响，每位顾问就这种影响给总统一个个人预测，预测是以失业率将减少、保持不变或上升的概率来给出的，见下表.用字母C B A ,,分别表示顾问C B A ,,的经济理论是正确的事件，根据以往总统与这些顾问一起工作的经验，总统已经形成了关于每位顾问正确的经济理论可能的一个估计，分别为：()61=A P ，()31=B P ，()21=C P .假设总统采取了所提出的新政策，一年后，失业率上升了，总统应如何调整他对其经济顾问的理论的正确的估计？解：设I 表示“失业率上升”，则()()()()()()()C I P C P B I P B P P A I P A P I P ++=3.02.0212.0318.061=⨯+⨯+⨯=.由Bayes 公式得：()()()()943.08.061=⨯==I P A I P A P I A P ， ()()()()923.02.031=⨯==I P B I P B P I B P ，()()()()933.02.021=⨯==I P C I P C P I C P .总统调整他对其经济顾问的理论的正确的估计为：()94=I A P ，()92=I B P ，()93=I C P . 15．设一枚深水炸弹击沉一艘潜水艇的概率为31，击伤的概率为21，击不中的概率为61，并设击伤两次会导致潜水艇下沉，求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率.（提示：先求出击不沉的概率.）解：设A 表示“施放4枚深水炸弹击沉潜水艇”，则()()43344613121616111-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C A P A P .16．设有五个独立工作的元件,5,4,3,2,1（称为桥式系统），试求出该系统的可靠性. 解：设i A 表示“第i 个元件可靠()5,4,3,2,1=i ”，则所求概率为：()()()54325432154321543225224p p p p A A A A A P A A A A A P A A A A P +-+=-+-.17．（下赌注问题）17世纪未，法国的De Mere 爵士与人打赌，在“一颗骰子连续掷四次至少出现一次六点”的情况下他赢了钱，可是在“两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”的情况下却输了钱，从概率论的角度解释这是为什么？5解：应分别求出“一颗骰子连续掷四次至少出现一次六点”和“两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”的概率，比较这两个概率的大小即可作出解释.设A “一颗骰子连续掷四次至少出现一次六点”，B “两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”；再设i A “第i 次抛掷时出现六点()4,3,2,1=i ”，k B “第k 次抛掷时出现双六点”，则()()()()518.0651144321≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A P A P A P A P . 此概率大于5.0，故赢钱的可能性大.()()()491.0363511242421≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=B P B P B P Λ.此概率小于5.0，故赢钱的可能性小.请注意，在“两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”的情形中，当抛掷次数25>n 时，这时的概率大于5.0，且抛掷次数超过25次越多越有利，这是因为136351lim =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n . 18．要验收一批100件的乐器，验收方案如下：自该乐器中随机地取3件测试（设3件乐器的测试是相互独立的），如果3件中至少有一件被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收.设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为95.0，而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为01.0，如果已知这100件乐器中恰好有4件音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少？解：设i H 表示“随机取出的三件乐器中有i 件音色不纯()3,2,1,0=i ”，A 表示“这批乐器被接收”，则()31003960C C H P =，()3100296131C C C H P =，()3100196242C C C H P =，()3100343C C H P =，()()3099.0=H A P ，()()05.099.021⨯=H A P ，()()2205.099.0⨯=H A P ，()()3305.0=H A P . 于是，由全概率公式得：()()()6829.030==∑=i i i H A P H P A P .。

习 题 二（A ）三、解答题1．一颗骰子抛两次，以X 表示两次中所得的最小点数 （1） 试求X 的分布律； (2） 写出X 的分布函数．解: (1)分析:这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种,如果X=1，则表明两次中至少有一点数为1,其余一个1至6点均可，共有1-612⨯C （这里12C 指任选某次点数为1，6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为612⨯C 多算了一次）或1512+⨯C 种，故{}36113615361-611212=+⨯=⨯==C C X P ，其他结果类似可得。

（2)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤=+=+=+=+=<≤=+=+=+=<≤=+=+=<≤=+=<≤=<=6165}5{}4{}3{}2{}1{54 }4{}3{}2{}1{43 }3{}2{}1{32}2{}1{21}1{1 0 )(x x X P X P X P X P X P x X P X P X P X P x X P X P X P x X P X P x X P x x F ，，，，，，，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<≤<=6 165363554 363243 36273236202136111 0 x x x x x x x ，，，，，，，2．某种抽奖活动规则是这样的：袋中放红色球及白色球各5只,抽奖者交纳一元钱后得到一次抽奖的机会，然后从袋中一次取出5只球，若5只球同色,则获奖100元，否则无奖，以X 表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数，求X 的分布律．解:X-199p i1261251261注意，这里X 指的是赢钱数，X 取0—1或100—1,显然{}1261299510===C X P . 3．设随机变量X 的分布律为0;,2,1,0,!}{>===λλ k k ak X P k为常数，试求常数a ．解：因为1!==-∞=∑λλae k ak k,所以λ-=e a .4．设随机变量X 的分布律为X —1 2 3 p i1/41/21/4（1） 求X 的分布函数；(2） 求}21{≤X P ，}2523{≤<X P ,}32{≤≤x P ．解：（1) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤-<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤=+-=<≤--=<=3x 132432141-1x 03x 132}2{}1{21}1{-1x 0)(，，，，，，，，x x x X P X P x X P x F ，（2） {}41121=-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤X p X P 、 {}2122523===⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<X P X P ，{}{}{}{}{}{}43323232==+=====≤≤X P X P X X P X P 。

一、习题详解：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω；(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：()}{;51,4≤≤=Ωj i j i(5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃；(3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃；(5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃；(6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ；(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

第三章习题解1 在一箱子中装有12只开关，其中2 只是次品，在其中任取两次，每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。

定义随机变量X ，Y 如下： 0,1X ⎧=⎨⎩若第一次取出的是正品，，若第一次取出的是次品。

0,Y 1⎧=⎨⎩若第二次取出的是正品，，若第二次取出的是次品。

试分别就（1），（2）两种情况写出X ，Y 的联合分布律。

解 （1）放回抽样由于每次抽取时都是12只开关，第一次取到正品有10种可能，即第一次取到正品的概率为 105{0}126P X ===， 第一次取出的是次品的概率为 21{1}126P X === 同理，第二次取到正品的概率105{0}126P Y ===第二次取到次品的概率为21{1}126P Y ===由乘法公式得X ，Y 的联合分布率为{,}{|}{}{}{}P X i Y j P Y j X i P X i P X i P Y j =========，0,1i =，0,1j =。

具体地有5525{0,0}6636P X Y ===⨯=，515{0,1}6636P X Y ===⨯=， 155{1,0}6636P X Y ===⨯=，111{1,1}6636P X Y ===⨯=用表格的形式表示为（2 5{0}6P X ==，1{1}6P X == 因为第二次抽取时，箱子里只有11只开关，当第一次抽取的是正品，则箱子中有9只正品）。

所以9{0|0}11P Y X ===， 2{1|0}11P Y X === 10{0|1}11P Y X ===， 1{1|1}11P Y X ===则5945{0,0}61166P X Y ===⨯= 5210{0,1}61166P X Y ===⨯=，11010{1,0}61166P X Y ===⨯=，111{1,1}61166P X Y ===⨯= 用表格表示为2 （14只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律。