2023-2024学年山东省临沂市高一(上)期末数学试卷【答案版】

第1页（共14页） 2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

1．设集合A＝{x∈N||x|≤2}，B＝{x∈R|1﹣x≥0}，则A∩B＝（ ）

A．{0，1} B．{x|﹣2≤x≤1} C．{1，2} D．{x|0≤x≤1}

2．命题“∀x∈R，3x

﹣x≥0”的否定是（ ）

A．“∀x∈R，3x

﹣x≤0” B．“∀x∈R，3x

﹣x＜0”

C．“∃x∈R，3x

﹣x≤0” D．“∃x∈R，3x

﹣x＜0”

3．函数𝐷(𝑥)={1，

𝑥∈𝑄

0，

𝑥∈∁

𝑅𝑄被称为狄利克雷函数，则𝐷(𝐷(

√

2))=（ ）

A．2 B．

√2 C．1 D．0

4．已知函数f（x）＝（m﹣2）xm

为幂函数，若函数g（x）＝lgx+x﹣m，则g（x）的零点所在区间为（ ）

A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）

5．函数𝑦=6𝑥

𝑥2

+1的图象大致为（ ）

A． B．

C． D．

6．“a≥2”是“函数f（x）＝ln（x2

﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书

画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流．如图，该折扇扇面画的外弧长为51，内弧长为21，且

该扇面所在扇形的圆心角约为135°，则该扇面画的面积约为（ ）（π≈3）

A．960 B．480 C．320 D．240

第2页（共14页） 8．已知89

＜710

，设a＝log

87，b＝log

98，c＝0.9，则（ ）

A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a

二、选择题：本共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

9．已知函数𝑓(𝑥)=𝑡𝑎𝑛(𝑥+𝜋3)，则（ ）

A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）的定义域为{𝑥|𝑥≠𝜋6+𝑘𝜋，

𝑘∈𝑍}

C．f（x）是增函数 D．𝑓(𝜋4)＜

𝑓(𝜋3)

10．已知关于x的一元二次不等式ax2

+bx+c≥0的解集为{x|x≤﹣2或x≥1}，则（ ）

A．b＞0且c＜0 B．4a+2b+c＝0

C．不等式bx+c＞0的解集为{x|x＞2} D．不等式cx2

﹣bx+a＜0的解集为{𝑥|−1＜

𝑥＜1

2}

11．若正实数a，b满足a+2b＝2，则（ ）

A．1

𝑎+2

𝑏有最小值9 B．ab有最大值1

2

C．2a

+4b

的最小值是4 D．a2

+b2

的最小值是2

5

12．已知函数f（x），假如存在实数λ，使得f（x+λ）+λf（x）＝0对任意的实数x恒成立，称f（x）满足

性质R（λ），则下列说法正确的是（ ）

A．若f（x）满足性质R（2），且f（0）＝2，则f（2）＝﹣4

B．若f（x）＝sinπx，则f（x）不满足性质R（λ）

C．若f（x）＝ax

（a＞1）满足性质R（λ），则λ＜0

D．若f（x）满足性质𝑅(−1

2)，且𝑥∈[0，1

2)时，𝑓(𝑥)=1

1−2𝑥，则当𝑥∈[3

2，

2)时，𝑓(𝑥)=4

2−𝑥

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．集合A＝{﹣3，m}，B＝{m2

+4m，﹣1}，且A＝B，则实数m＝ ．

14．已知α∈（0，π），且𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼=713，则sinα﹣cosα＝ ．

15．冰箱，空调等家用电器使用了氟化物，氛化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量Q呈指数

函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式𝑄=𝑄

0𝑒−0.0025𝑡

，其中Q

0是臭氧的初始量，

e是自然对数的底数，e＝2.71828⋯，试估计 年以后将会有一半的臭氧消失．（ln2≈0.69）

16．已知函数𝑓(𝑥)={𝑥−3，

𝑥≥𝑎

𝑥2

−2𝑥，

𝑥＜

𝑎，当a＝2时，不等式f（x）＜0的解集是 ，若f（x）恰

有2个零点，则a的取值范围是 ． 第3页（共14页） 四、解答题：本题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）计算：

（1）𝑒𝑙𝑛3

−(𝑠𝑖𝑛1)0

+(827)−23+𝑙𝑜𝑔

3√

274

；

（2）（lg5）2

+lg2×lg5+lg2+（log

52+log

252）×log

85．

18．（12分）已知α为第二象限角，且终边与单位圆O相交于点𝑃(−√5

5，

𝑦)．

（1）求tanα的值；

（2）求𝑐𝑜𝑠(2𝜋−𝛼)+3𝑐𝑜𝑠(7

2𝜋−𝛼)

𝑠𝑖𝑛(9𝜋

2

+𝛼)−𝑠𝑖𝑛(𝛼−𝜋)的值．

19．（12分）已知函数f（x）＝2cos（ωx﹣φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为4π，且图象经过点（0，

1）．

（1）求f（x）的单调递减区间；

（2）当x∈[0，2π]时，求f（x）的最值以及取得最值时x的值．

20．（12分）已知函数𝑓(𝑥)=𝑎−2

2𝑥

+1(𝑎∈𝑅)为奇函数．

（1）求a，判断f（x）的单调性，并用定义证明；

（2）若不等式𝑓(2𝑘𝑥2

)+𝑓(𝑘𝑥−38)＜

0恒成立，求实数k的取值范围．

21．（12分）某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一座八边形的休闲场所．如图，

它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为100平方米的十字形地域．计

划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米a元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺彩

色水磨石地坪，造价为每平方米105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为每平方米

40元．

（1）设AD长为x米，总造价为S元，求S关于x的函数解析式；

（2）若市面上花坛造价每平方米1000到3000元不等，该小区投入到该休闲场所的资金最多29500元，

问花坛造价最多投入每平方米多少元？

第4页（共14页） 22．（12分）已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔

2(1+𝑎⋅2𝑥

)．

（1）若f（1）＝1，求不等式f（x）≤2的解集；

（2）若函数y＝f（x）+x有两个零点，求a的取值范围；

（3）设a＞0，若对任意t∈[﹣1，0]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的和不大于log

23，

求a的取值范围．

第5页（共14页） 2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

1．设集合A＝{x∈N||x|≤2}，B＝{x∈R|1﹣x≥0}，则A∩B＝（ ）

A．{0，1} B．{x|﹣2≤x≤1} C．{1，2} D．{x|0≤x≤1}

解：由题意可得A＝{0，1，2}，B＝{x|x≤1}，所以A∩B＝{0，1}，故A正确．

故选：A．

2．命题“∀x∈R，3x

﹣x≥0”的否定是（ ）

A．“∀x∈R，3x

﹣x≤0” B．“∀x∈R，3x

﹣x＜0”

C．“∃x∈R，3x

﹣x≤0” D．“∃x∈R，3x

﹣x＜0”

解：根据题意，命题“∀x∈R，3x

﹣x≥0”的否定是“∃x∈R，3x

﹣x＜0”．

故选：D．

3．函数𝐷(𝑥)={1，

𝑥∈𝑄

0，

𝑥∈∁

𝑅𝑄被称为狄利克雷函数，则𝐷(𝐷(

√

2))=（ ）

A．2 B．

√2 C．1 D．0

解：由题意可知

√2∉𝑄，

0∈𝑄⇒𝐷(

√2)=0，∴𝐷(𝐷(

√2))=𝐷(0)=1．

故选：C．

4．已知函数f（x）＝（m﹣2）xm

为幂函数，若函数g（x）＝lgx+x﹣m，则g（x）的零点所在区间为（ ）

A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）

解：由f（x）＝（m﹣2）xm

为幂函数，所以m﹣2＝1，得m＝3，所以g（x）＝lgx+x﹣3，

对A：当x→0时，g（x）→﹣∞，g（1）＝﹣2，故A错误；

对B：g（1）＝﹣2，g（2）＝lg2﹣1＜0，故B错误；

对C：g（2）＝lg2﹣1＜0，g（3）＝lg3＞0，故C正确；

对D：g（3）＝lg3＞0，g（4）＝lg4+1＞0，故D错误．

故选：C．

5．函数𝑦=6𝑥

𝑥2

+1的图象大致为（ ）

A． B．