天津市第一中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

天津一中2015－2016－2高二年级

数学学科期中质量调查试卷（理科）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．

第Ⅰ卷 为 第1页，第Ⅱ卷 2至 3页．考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效。祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷

一．选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知 i是虚数单位，复数7＋i3＋4i＝( )

A．1－i B．－1＋i

C.1725＋3125i D．－177＋257i

2． 已知3|2:|xp，5:xq，则p是q成立的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知函数1)6()(23xaaxxxf有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( )

A．21a B．63a C．3a或6a D．1a或2a

4. 已知32()26(fxxxmm为常数）在]2,2[上有最大值3，那么此函数在]2,2[上的最小值

为 （ ）

A．-37 B．-29 C．-5 D．-11

5．设函数)(xf的导函数为)('xf，且)1(2)('2fxxxf．则)0('f等于( )

A．0 B．－4 C．－2 D．2

6．点P是曲线xxyln2上任意一点, 则点P到直线2yx的距离的最小值是（ ）

A． １ B． 2 C． ２ D． 22

7．设函数,tan2cos33sin)(23xxxf其中∈0，5π12，则导数)1('f的取值范围是( )

A．[－2,2] B．[2，3] C．[3，2] D．[2，2]

8．若数列{an}是等差数列，则数列{nb}bn＝a1＋a2＋…＋ann也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为( )

A．ncccdnn21 B．ncccdnn21

C．nnnnnnncccd21 D．nd＝nc1·c2·…·cn

9．设函数()fx在R上可导，其导函数为()fx，且函数(1)()yxfx的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）

A．函数()fx有极大值(2)f和极小值(1)f

B．函数()fx有极大值(2)f和极小值(1)f

C．函数()fx有极大值(2)f和极小值(2)f

D．函数()fx有极大值(2)f和极小值(2)f

10．已知函数,13)(23xaxxf若)(xf存在唯一的零点0x，且00x，则a的取值范围是( )

A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)

C．(－∞，－2) D．(－∞，－1)

天津一中2015-2016-2高二年级

数学学科期中质量调查试卷答题纸

第Ⅱ卷（理科）

二．填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11．由曲线1)2(2xy，横坐标轴及直线5,3xx围成的图形的面积等于__________．323

12. 函数2cosyxx在区间]2,0[上的最大值是 。36

13.若,)cos(sin20mdxxmx则实数.________m12

14.已知函数f(x)=2lnx+错误！未找到引用源。(a>0).若当x∈(0，+∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是 . [e，+∞)

15．若数列{}an的通项公式an＝1（n＋1）2(n∈N*)，记f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)＝________．n＋22n＋2

16．定义：如果函数)(xfy在区间],[ba上存在21,xx)(21bxxa，满足

abafbfxf)()()(1'，abafbfxf)()()(2',则称函数)(xfy在区间],[ba上是一个双中值函数，已知函数axxxf2331)(是区间],0[a上的双中值函数，则实数a的取值范围是________．（，3）

三．解答题：本大题共4小题共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.已知函数f(x)=x2+2alnx，a∈R.

(1)若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为1，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程.

(2)若函数g(x)=错误！未找到引用源。+f(x)在[1，2]上是减函数，求a的取值范围.

【解题指南】(1)f′(x)=2x+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，由f′(2)=1，能求出a，再求出f(1)，f′(1)，由点斜式写出切线方程.

(2)由g(x)=错误！未找到引用源。+x2+2alnx得g′(x)=-错误！未找到引用源。+2x+错误！未找到引用源。，建立新函数，求出其最小值，解出即可.

【解析】(1)f′(x)=2x+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，

由已知f′(2)=1，解得a=-3.

所以f(x)=x2-6lnx，f′(x)=2x-错误！未找到引用源。，

因为f′(1)=-4，f(1)=1，

所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y-1=-4(x-1)，即4x+y-5=0.

(2)由g(x)=错误！未找到引用源。+x2+2alnx得g′(x)=-错误！未找到引用源。+2x+错误！未找到引用源。，

因为函数g(x)为[1，2]上的单调减函数，

则g′(x)≤0在[1，2]上恒成立，即-错误！未找到引用源。+2x+错误！未找到引用源。≤0在[1，2]上恒成立.

即a≤错误！未找到引用源。-x2在[1，2]上恒成立.

令h(x)=错误！未找到引用源。-x2，

在[1，2]上h′(x)=-错误！未找到引用源。-2x=-错误！未找到引用源。<0，

所以h(x)在[1，2]上为减函数，h(x)min=h(2)=-错误！未找到引用源。，所以a≤-错误！未找到引用源。.

18．已知()ln,(0,]fxaxxxe,其中e是自然常数，aR。

（I）当a=1时，求()fx的单调区间和极值；

（II）是否存在实数a，使()fx的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。

19.已知函数f(x)=错误！未找到引用源。x3-x，数列{an}满足条件：a1≥1，an+1≥f′(an+1).

（Ⅰ）试猜想na与12n的大小关系；

（Ⅱ）借助（Ⅰ）的猜想试比较错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。与1的大小，并说明理由.

【解析】因为f′(x)=x2-1，an+1≥f′(an+1)，

所以an+1≥(an+1)2-1.

因为函数g(x)=(x+1)2-1=x2+2x在区间[1，+∞)上单调递增，于是由a1≥1，得a2≥(a1+1)2-1≥22-1，进而得

a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1，

由此猜想：an≥2n-1.

用数学归纳法证明这个猜想：

①当n=1时，a1≥21-1=1结论成立；

②假设当n=k(k≥1，k∈N+)时结论成立，

即ak≥2k-1，则

当n=k+1时，由g(x)=(x+1)2-1在区间[1，+∞)上单调递增知，ak+1≥(ak+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1，即n=k+1时，结论也成立.

由①②知，对任意n∈N+，都有an≥2n-1.

即1+an≥2n，

所以错误！未找到引用源。≤错误！未找到引用源。，

所以错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。≤错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。=1-错误！未找到引用源。<1.

20．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=+x，m∈R令F（x）=f（x）+g（x）．

（Ⅰ）当m=时，求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值；

（Ⅲ）若m=﹣2，正实数x1，x2满足F（x1）+F（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2．

考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．

专题： 函数的性质及应用；导数的综合应用．

分析： （1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；

（2）不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，应先求导数，研究函数的单调性，然后求函数的最值；

（3）联系函数的F（x）的单调性，然后证明即可．注意对函数的构造．

解答： 解：（1）．

由f′（x）＞0得1﹣x2＞0又x＞0，所以0＜x＜1．所以f（x）的单增区间为（0，1）．

（2）令x+1．

所以=．

当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是递增函数，

又因为G（1）=﹣．

所以关于x的不等式G（x）≤mx﹣1不能恒成立．

当m＞0时，．

令G′（x）=0得x=，所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．

因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．

故函数G（x）的最大值为．

令h（m）=，因为h（1）=，h（2）=．

又因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，所以当m≥2时，h（m）＜0．

所以整数m的最小值为2．

（3）当m=﹣2时，F（x）=lnx+x2+x，x＞0．

由F（x1）+F（x2）+x1x2=0，即．

化简得．

令t=x1x2，则由φ（t）=t﹣lnt得φ′（t）=．

可知φ′（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥φ（1）=1．

所以，即成立．

点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，不等式恒成立问题转化为函数最值问题来解的方法．属于中档题，难度不大．