1 专题14 导数在研究函数中的应用（二）
学一学------基础知识结论
1.可导函数的极值
（1）极值的概念：设函数)(xf在点0x附近有定义，且若对0x附近的所有的点都有)()(0xfxf（或)()(0xfxf），则称)(0xf为函数的一个极大（小）值，称0x为极大（小）值点.
（2）求可导函数)(xf极值的步骤:
①求导数)(xf。求方程0)(xf的根. ②求方程0)(/xf的根.③检验)(xf在方程0)(xf的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数)(xfy在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数)(xfy在这个根处取得极小值.
温馨提醒：在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数)(xf取值为0的点称为函数)(xf的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数||xy在点0x处有极小值)0(f=0，可是这里的)0(f根本不存在，所以点0x不是)(xf的驻点.
(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数3)(xxf的导数23)(xxf，在点0x处有0)0(f，即点0x是3)(xxf的驻点，但从)(xf在,上为增函数可知，点0x不是)(xf的极值点.
(2) 求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.
2.函数的最大值和最小值
（1）设)(xfy是定义在区间ba,上的函数，)(xfy在),(ba内有导数，求函数)(xfy在ba,上的最大值与最小值，可分两步进行.
2 ①求)(xfy在),(ba内的极值.
②将)(xfy在各极值点的极值与)(af、)(bf比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
（2）若函数)(xf在ba,上单调增加，则)(af为函数的最小值，)(bf为函数的最大值；若函数)(xf在ba,上单调递减，则)(af为函数的最大值，)(bf为函数的最小值.
导数与函数零点问题解题方法归纳
导函数零点问题
一、方法综述
导数是研究函数性质的有力工具，其核心是由导数值的正负确定函数的单调性。应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究$f(x)$的单调性，往往需要解方程$f'(x)=0$。若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题。
二、解题策略
类型一：察“言”观“色”，“猜”出零点
例1】【2020·福建南平期末】
已知函数$f(x)=x+ax+\frac{1}{e^{2x}}$ 1）讨论$f(x)$的单调性；
2）若函数$g(x)=x+\frac{1}{e^{-mx}-1}$在$[-1,+\infty)$有两个零点，求$m$的取值范围。
分析】
1）首先求出函数的导函数因式分解为$f'(x)=(x+a+1)(x+1)e^{-2x}$，再对参数$a$分类讨论可得：
①当$a=0$时，$f'(x)=(x+1)e^{-2x}$，当且仅当$x=-1$时，等号成立。故$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$为增函数。
②当$a>0$时，$-10$得$x-1$，由$f'(x)<0$得$-a-1
③当$aa+1$，由$f'(x)>0$得$x>-a-1$或$x<-1$，由$f'(x)<0$得$-1
综上，当$a=0$时，$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$为增函数；当$a>0$时，$f(x)$在$(-\infty,-a-1)$，$(-1,+\infty)$为增函数，在$-a-1,-1$为减函数；当$a<0$时，$f(x)$在$(-\infty,-1)$，$-a-1,+\infty$为增函数，在$-1,-a-1$为减函数。
2）依题意可得$g'(x)=(x+1)e^{x-m}$，当$m\leq1$时，$g(x)$在定义域上单调递增，不满足条件；当$m>1$时，由(1)得$g'(x)$在$[-1,+\infty)$为增函数，因为$g'(x)=1-m$，$g(-1)=g(0)=0$，故$g(x)$在$(-\infty,-1)$，$(0,+\infty)$为增函数，在$[-1,0]$为减函数；当$1
导数与函数的零点问题解析
在数学中，导数和函数的零点是非常重要的概念和问题。导数可以描述函数的变化率，而函数的零点则表示函数在某一点上取值为零的情况。在本文中，我们将对导数与函数的零点进行详细的解析和讨论。
一、导数的定义与作用
导数是描述函数变化率的指标，可以用来衡量函数在某一点上的斜率或变化速度。它定义为函数在某一点上的极限，即导数等于函数在该点处的切线斜率。
对于一个函数f(x)，它在点x处的导数可以通过以下公式计算得出：
f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h
导数的概念对于理解函数的性质和行为非常重要，它可以帮助我们分析函数的增减性、凸凹性以及局部极值等特征。通过导数，我们可以得出函数在各个点的斜率，从而推断函数的曲线形状和趋势。
二、函数的零点与解析
函数的零点是指函数在某个点上的取值为零的情况。换句话说，函数的零点是使得函数等于零的自变量的值。寻找函数的零点在数学和实际问题中都具有重要的意义。
为了找到函数的零点，我们可以利用导数的概念和性质进行分析。根据导数的定义，我们知道当函数在某一点的导数为零时，函数在该点可能存在极值或拐点。因此，我们可以采用导数为零的点作为起点，通过求解函数的导数方程来找到函数的零点。
具体而言，我们可以按照以下步骤来解析函数的零点问题：
1. 找到函数的导数方程。
2. 求解导数方程，得到导数为零的所有解。
3. 使用解析工具或数值逼近法，确定解的精确值或近似值。
4. 检验解是否满足函数为零的条件。
通过以上步骤，我们可以较为准确地求解函数的零点，从而揭示函数的性质和特征。函数的零点问题在数学、经济、物理等领域具有广泛的应用，如寻找方程的根、求解最优化问题等。
三、解析与数值求解的比较
在解析函数的零点问题时，我们依赖于函数的导数和解析工具的应用。通过解析方法可以获得函数零点的精确解，这对于研究函数的性质和行为非常重要。然而，对于一些复杂的函数和方程，解析求解可能变得非常困难甚至不可能。
第二章 导数与微分
数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学.
微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一.
恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）.
积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容.
第一节 导数概念
从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生：
(1) 求变速运动的瞬时速度；
(2) 求曲线上一点处的切线；
(3) 求最大值和最小值.
这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念.
内容分布图示
★ 引言 ★ 变速直线运动的瞬时速度
★ 平面曲线的切线 ★ 导数的定义 ★ 几点说明
★ 利用定义求导数与求极限（例1、例2） ★ 例3
★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7
★ 左右导数 ★ 例8 ★ 例9
