重庆市2015年高考理科数学试题与答案(word版)

重庆市2015年高考理科数学试题与答案

(word版)

特别提醒：

① 数学试题卷（理工农医类）共4页。满分150分。考试时间120分钟。

② （14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。

一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合1,2,3A，2,3B，则（

（A）A＝B （B）AB∩ （C）ABÜ （D）BAÜ

（2）在等差数列na中，若244,2aa，则6a＝

（A）－1 （B）0 （C）1 （D）6

（3）重庆市2013年各月的平均气温（ºC）数据的茎叶图如下：

则这组数据的中位数是

（A）19 （B）20

（C）21.5 （D）23

（4）“1x”是“12log(2)0x的”

（A）充要条件 （B）充分而不必要条件

（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

（5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

（A）13 （2）23 （3）123 （4）223

（6）若非零向量a，b满足223ab，且()(32)abab，则a与 b的夹角为

（A）4 （B）2 （C）34 （D）

（7）执行如题（7）图所示的程序框图，若输出k值为8，则判断

框内可填入的条件是

（A）34s≤ （B）56s≤

（C）1112s≤ （D）2524s≤

（8）已知直线l：10()xayaR是圆C：

224210xyxy的对称轴，过点A（-4，a）

作圆C的一条切线，切点为B，则AB＝

（A）2 B）42 （C）6 （D）210

（9）若tan2tan5，则3cos()10sin()5＝

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

（10）设双曲线22221xyab（0,0ab）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线

交于B、C两点，过B、C分别作AC、AB的垂线，两垂线交于点D。若D到直线BC的距离小于

22aab，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是

（A）(1,0)(0,1)∪ （B）(,1)(1,)∪

（C）(2,0)(0,2)∪ （D）(,2,)(2,)∪

二、填空题：本大题共6个小题，考生作答第5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在答题卡相应的位置上。

（11）设复数(a,bR)abi的模为3，则()()abiabi＝

（12）351()2xx的展开式中8x的系数是 （用数字作答）

（13）在△ABC中，B＝120º，AB＝2，A的角平分线AD＝3，则AC＝

考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。

（14）如题（14）图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A

作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9

PC＝3，CE：ED＝2：1，则BE＝

（15）已知直线l的参数方程为11xtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为235cos24(0,)44，则直线l与曲线C的交点的极坐标为

（16）若函数()1fxxxa的最小值为5，则实数a＝ 。

三、解答题：本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）

端午节吃粽子是我国的传统习俗。设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。

（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；

（Ⅱ）设x表示取到的豆沙粽个数，求x的分布列与数学期望。

（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）

已知函数2()sin()sin3cos2fxxxx

（Ⅰ）求()fx的最小正周期和最大值；

（Ⅱ）讨论()fx在2,63上的单调性。

（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）

如题（19）图，三菱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝2，D，E分别为线段AB，BC上的点，BC上的点，且CD＝DE＝2，CE＝2EB＝2。

（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD；

（Ⅱ）求二面角A－PD－C的余弦值。

（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问5分）

设函数23()()xxaxfxaRe。

（Ⅰ）若()fx在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；

（Ⅱ）若()fx在3,上为减函数，求a的取值范围。

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

如题（21）图，椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点分别为1F、2F，过2F的直线交椭圆于P、Q两点，且1PQPF。

（Ⅰ）若122PF，222PF，求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若1PFPQ，求椭圆的离心率e。

（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）

在数列na中，13a，2110nnnnaaaa()nN。

（Ⅰ）若0,2，求数列na的通项公式；

（Ⅱ）若0001(,2),1kNkk≥，证明:000112123121kakk

参考答案

一、选择题：

（1）D (2)B (3)B (4)B (5)A

（6）D (7) C (8) C (9) C (10) A

二、填空题：

（11）3 (12)52 (13)6 (14)2 (15)2, （16）-6或4

三、解答题

（17）（本题12份）

解：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典型的概率计算公式有

1111235().3410CCCPAC

（Ⅱ）X的所有可能值为0，1,2，且

378(0),31510CPXC12728(1),31510CCPXC

21128(2),31510CCPXC

综上知，X的分布列为

故7713()0121515155EX（个）。

（18）（本题13分）

解：（Ⅰ）23()sin()sin3coscossin(1cos2)22fxxxxxxx

1333sin2cos2sin(2),22232xxx

因此()fx的最小周期为，最大值为232

（Ⅱ）当2,63x时，02,3x从而

当502,32612xx即时，()fx单调递增，

当02,3x即52123x时，()fx单调递减。

（19）（本题13分）

（Ⅰ）证明：由PC平面ABC，DE平面ABC，故PCDE. 由CE=2，CD=DE=2得CDE 为等腰直角三角形，故CDDE.

由PCCD=C,DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，故DE平面PCD。

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，CDE为等腰直角三角形，4DCE.如答（19）图，过D作DF垂直CE于F，已知DF=FC=FE=1，又已知EB=1，故FB=2.

由2ACB得DF∥AC,23DFFBACBC, 故AC=32 DF=32

以C为坐标原点，分别以,,CACBCP的方向为x轴，y轴，z轴的方向建立空间直角坐标系，则31(0,0,0),(0,0,3),(,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,1,0),(1,1,3),(,1,0)22CPAEDEDDPDA

设平面PAD的法向量为1111(,,)nxyz

由110,0,nDPnDA得1111130102xyzxy，故可取1(2,1,1)n

由（Ⅰ）可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量2n可取为DE,即2(1,1,0)n.

从而法向量1n，2n的夹角的余弦值为

故所求的二面角A-PD-C的余弦值为36.

（20）（本题12分）

解：（Ⅰ）对()fx求导得222(6)(3)3(6)'(),()xxxxxaexaxexaxafxee

因为()fx在0x处取得极值，所以'(0)0f即0a.

当0a时，()fx=22336,'(),xxxxxfxee故33(1),'(1),ffee从而()fx在点（1，(1)f）处的切线方程为33(1),yxee化简得30.xey

（Ⅱ）由（Ⅰ）知23(6)'().xxaxafxe

令2()3(6),gxxaxa

由()0gx解得2212636636,.66aaaaxx

当1xx时，()0gx，即'()0fx，故()fx为减函数；

当12xxx时，()0gx，即'()0fx，故()fx为增函数；

当2xx时，()0gx，即'()0fx，故()fx为减函数；

由()fx在3,上为减函数，知226363,6aax解得9,2a

故a的取值范围为9,.2

（21）（本题12分）

解：（Ⅰ）由椭圆的定义，122(22)(22)=4=2aPFPFa，故