江苏省宿迁市高中数学 第1章 计数原理 第10课时 排列组合综合应用(2)导学案(无答案)苏教版选修23

高中数学排列与组合的基本原理和应用排列与组合是高中数学中的重要概念，涉及到各种实际问题的解决方法。

本文将介绍排列与组合的基本原理和其应用。

一、排列的基本原理排列是从一组元素中，按照一定的顺序取出若干元素，然后按照规定的顺序排列的方式。

排列的基本原理是指对于n个不同的元素，取出m个进行排列的方法数公式为：P(n,m) = n!/(n-m)!其中n！表示n的阶乘，表示n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。

以一个简单的例子来说明排列的基本原理。

假设有4个小球，分别用A、B、C、D表示，要求从中取出2个小球，按照一定的顺序排列。

根据排列的基本原理，可以计算出方法数为：P(4,2) = 4!/(4-2)! = 4!/(2!) = 12即从4个小球中取出2个小球排列的方法数为12。

二、组合的基本原理组合是从一组元素中，按照一定的顺序取出若干元素，但不考虑顺序排列的方式。

组合的基本原理是指对于n个不同的元素，取出m个进行组合的方法数公式为：C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)以一个简单的例子来说明组合的基本原理。

假设有4个小球，分别用A、B、C、D表示，要求从中取出2个小球，不考虑顺序。

根据组合的基本原理，可以计算出方法数为：C(4,2) = 4!/(2!*(4-2)!) = 4!/(2!*2!) = 6即从4个小球中取出2个小球组合的方法数为6。

三、排列与组合的应用排列与组合在实际问题中具有广泛的应用，特别是在概率统计、密码学、计算机科学等领域。

1. 概率统计：排列与组合可以用于解决概率统计中的问题，如从一副扑克牌中取出若干张进行排列或组合的方法数，从而计算出某些特定情况的概率。

2. 密码学：排列与组合可以应用于密码学中，如构建密码、解密密码等。

通过排列与组合的方法，可以计算出可能的密码组合数，从而提高密码的安全性。

3. 计算机科学：排列与组合也是计算机科学中的基础概念之一。

在算法设计和数据结构中，排列与组合的方法可以应用于问题求解、排序算法等方面。

排列与组合综合应用(二）一、选择题1.某班上午有五节课，分別安排语文，数学．英语．物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻．且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是()A. 16B. 24C. 8D. 122.将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案的种数为()A. 50B. 80C. 120D. 1403.小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排，若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为()A. 60B. 72C. 84D. 964.安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为()A. 72B. 96C. 120D. 1565.由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有()A. 36个B. 42个C. 48个D. 120个6.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教(每地至少1人)，其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有()种．A. 27B. 30C. 33D. 367.某技术学院安排5个班到3个工厂实习，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，则不同的安排方法共有()A. 60种B. 90种C. 150种D. 240种8.某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中．则他第1次、第2次两次均未命中的概率是()A. 12B. 310C. 14D. 15二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）9.现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有______种．10.用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数，要求数字1，3不相邻，数字2、5相邻，则这样的五位数的个数是______(用数字作答)．11.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有______种．12.某高中高三某班上午安排五门学科(语文，数学，英语，化学，生物)上课，一门学科一节课，要求语文与数学不能相邻，生物不能排在第五节，则不同的排法总数是______．三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）13.我校今年五四表彰了19名的青年标兵，其中A，B，C，D 4名同学要按任意次序排成一排照相，试求下列事件的概率(1)A在边上；(2)A和B在边上；(3)A或B在边上；(4)A和B都不在边上．14.六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲、乙必须相邻；(2)甲、乙不相邻；(3)甲、乙之间恰有两人；(4)甲不站在左端，乙不站在右端．15.从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？(写出计算过程，并用数字作答)(1)甲、乙两人必须跑中间两棒；(2)若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；(3)若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒．16.4男3女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(1)任何两名女生都不相邻，有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？(3)男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？17.6本不同的书，按如下方法分配，各有多少种分法：(1)分给甲、乙、丙3人，每人各得2本；(2)分给甲、乙、丙3人，甲得1本，乙得2本，丙得3本；(3)分给甲、乙、丙3人，其中一人得1本，其中一人得2本，其中一人得3本．18.有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子.问：(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？19.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：(Ⅰ)选其中5人排成一排；(Ⅱ)排成前后两排，前排3人，后排4人；(Ⅲ)全体排成一排，女生必须站在一起；(Ⅳ)全体排成一排，男生互不相邻；(Ⅴ)全体排成一排，甲不站在排头，也不站在排尾。

高中数学知识点总结排列组合问题的计数原理高中数学知识点总结：排列组合问题的计数原理在高中数学中，排列组合是一个重要的知识点，它涉及到一些计数原理和组合技巧。

了解和掌握排列组合的计数原理对于解决各种实际问题以及在数学竞赛中的应用非常有帮助。

本文将对排列组合问题的计数原理进行总结和归纳，希望能帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、排列与组合的概念在开始讨论计数原理之前，我们首先需要了解排列与组合的概念。

排列是指从一组元素中按照一定的顺序选取若干个元素的方式，简单来说就是“有序选择”。

排列问题中，元素的顺序是重要的，即不同的顺序会产生不同的排列结果。

组合是指从一组元素中选取若干个元素的方式，简单来说就是“无序选择”。

组合问题中，元素的顺序不重要，即不同的顺序不会产生不同的组合结果。

二、排列问题的计数原理1. 从n个元素中选取m个元素的排列数（记为P(n, m)）可以用以下公式求解：P(n, m) = n! / (n - m)!其中"!"表示阶乘，即n的阶乘等于n × (n - 1) × (n - 2) × ... × 2 × 1。

2. 当元素可重复使用时，从n个元素中选取m个元素的排列数（记为P'(n, m)）可以用以下公式求解：P'(n, m) = n^m其中"^"表示乘方。

三、组合问题的计数原理从n个元素中选取m个元素的组合数（记为C(n, m)）可以用以下公式求解：C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)四、排列组合问题的应用排列组合的计数原理在实际问题中有着广泛的应用，例如：1. 考虑一个班级有n个学生，其中要选出m个学生参加数学竞赛，那么参赛学生的选择方法就是一个排列问题。

2. 在排列问题的基础上，如果要求被选中的学生必须按照特定的顺序进行比赛，那么可以用排列数来计算不同的比赛顺序总数。

第1章计数原理江苏省宿迁市马陵中学范金泉本章是组合数学的最基础的知识，共包含1. 1两个基本计数原理、1. 2排列、1. 3组合、1. 4计数应用题和1. 5二项式定理五节内容，其中分类加法计数原理、分步乘法计数原理这两个计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具．一、《课程标准》关于《计数原理》的表述及教学要求1．表述：计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具．在本模块中，学生将学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题．2．教学要求：（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理．通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题．（2）排列与组合．通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题．（3）二项式定理．能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．二、《课程标准》与《教学大纲》在要求上的主要变化1．2002年4月由教育部颁布实施的《教学大纲》，将这一部分的教学内容的标题定为《排列、组合、二项式定理》，教学目标规定为：（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．2．对比2003年4月由教育部颁布的《课程标准》，一是章节名称变为《计数原理》，突显了计数原理的基础地位，同时在教学要求上，发生了明显的变化，主要变化有：（1）“计数原理”的要求由“掌握”变为“通过实例，总结出加法计数原理、分步乘法计数原理”；（2）“排列、组合”的要求也由“理解排列、组合的意义”变为“通过实例，理解排列、组合的概念”，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．（3）关于“排列数、组合数”，则由“掌握排列数计算公式，掌握组合数计算公式和组合数的性质”变为“能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式”．（4）“二项式定理”由“掌握二项式定理和二项展开式的性质”变为“能用计数原理证明二项式定理”，省去了“二项展开式的性质”，并给出了参考例题1．以上变化，主要是为了防止教学过程中“人为地加深难度，对知识点进行深挖”．（5）教学课时也有所变化，《教学大纲》规定为18课时，而《课程标准》规定为14课时，减少了学时数．三、《江苏省普通高考数学学科考试说明》中“计数原理”部分的考试范围与要求层次四、江苏高考考题《计数原理》作为选修内容，只能出现在江苏省普通高考数学试卷的附加题部分，由于这一部分内容的考点较多，故涉及排列、组合、二项式定理的考题仅在2008年江苏省普通高考数学试卷中出现，为第23题（真题如下）：请先阅读：在等式cos2x ＝2cos 2x －1（x ∈R ）的两边求导，得：（cos2x ）'＝（2cos 2x －1）'，由求导法则，得（－sin2x ）·2＝4cos x ·（－sin x ），化简得等式：sin2x ＝2cos x ·sin x ．（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1＋x ）n ＝122C C C C n n n n n n x x x ++++ （x ∈R ，整数n ≥2），证明：n [（1＋x ）n -1－1]＝12C nk k n k k x-=∑． （2）对于正整数n ≥3，求证：（i ）1(1)C n k k n k k =-∑＝0；（ii ）21(1)C n k k n k k =-∑＝0；（iii ）10121C 11n nk n k k n +=-=++∑． 本题重在考查二项式定理，并融入了导数的内容！（1）证明：在等式（1＋x ）n ＝0122C C C C n n n n n n x x x ++++两边求导得：n （1＋x ）n -1＝12321C 2C 3C C n n n n n n x x n x -++++＝n ＋12C nk k n k k x -=∑， 故n [（1＋x ）n -1－1]＝12C n k k n k k x-=∑． （2） （i ）在等式n （1＋x ）n -1＝12321C 2C 3C C n n n n n n x x n x -++++中，令x＝－1，则有0＝12321C 2C (1)3C (1)C (1)n n n n n n n -+⋅-+⋅-++⋅-两边同乘以－1得，0＝12233C (1)2C (1)3C (1)C (1)n n n n n n n ⋅-+⋅-+⋅-++⋅-＝1(1)C n k k n k k =-∑．即1(1)C n k k n k k =-∑＝0． （ii ）对等式n （1＋x ）n -1＝12321C 2C 3C C n n n n n n x x n x -++++再求导，得n （n －1）（1＋x ）n -2＝23221C 32C (1)C n n n n n x n n x -⨯⋅+⨯⋅++⋅-⋅． 令x ＝－1，则有0＝23221C 32C (1)(1)C (1)n n n n n n n -⨯⋅+⨯⋅⋅-++⋅-⋅⋅-．两边乘以(－1)2，得0＝223321C (1)32C (1)(1)C (1)n n n n n n n ⨯⋅⋅-+⨯⋅⋅-++⋅-⋅⋅- ＝1223310C (1)21C (1)32C (1)(1)C (1)nn n n n n n n ⨯⋅⋅-+⨯⋅⋅-+⨯⋅⋅-++⋅-⋅⋅-＝1(1)C (1)n kk n k k k =--∑＝21(1)C n k k nk k =-∑－1(1)C nk kn k k =-∑． 由（i ）得21(1)C nk kn k k =-∑＝0．（iii ）因为11!!C 11!()!(1)!()!k n n n k k k n k k n k =⋅=++⋅-+⋅- ＝111(1)!1(1)!1C 1(1)!()!1(1)![(1)(1))!1kn n n n k n k n k n k n ++++⋅=⋅=++⋅-++⋅+-++ 所以1111111110011121C C (C C C )1111n n n k k n n n n n n k k k n n n +++++++==-==+++=++++∑∑． 五、江苏省数学学科关于《计数原理》的教学建议1．分类计数原理和分步计数原理是处理计数问题的两种基本思想方法．教学中应引导学生根据计数原理分析、处理问题，而不是机械地套用公式．通过对实际问题的分析，确定解决该问题是需要分类，还是需要分步，再选用相应的公式计算．在本章的教学中，应注意控制题目的难度，避免繁琐的、技巧性过高的计数问题．2．在解决问题时，要让学生正确理解“完成一件事”的具体含义是什么，怎样才算“完成”，以及采用何种方式“完成”．3．解决计数应用问题的关键是设计完成一件事的过程，教学中要引导学生合理设计完成这件事的过程．4．解决本章的应用题，方法灵活多样，教学中要引导学生多方向地思考，选择最佳方案，使一些较复杂的问题得到简化．5．在教学中，可通过试验、画简图等方法帮助学生将问题直观化，进而寻求解题途径．在计数问题中，由于结果的正确性往往难以直接验证，因而可以用多种不同的方法求解来加以验证．本章教学约需14课时，具体分配如下：六、本章教学中应注意的几个问题1．教材开篇在列举一些贴近生活的典型实例的基础上，用明确的语言指出了两个计数原理与加法、乘法运算之间的关系，并提出“不通过一个一个地数而确定这个数”的问题，从而使学生体会学习计数原理的必要性．由于两个计数原理的这种基础地位，并且在应用它们解决问题时具有很大的灵活性，是训练学生推理技能的好素材.面对一个复杂的计数问题时，通过分类或分步将它分解为若干个简单计数问题，在解决这些简单问题的基础上，将它们整合起来而得到原问题的答案，可以达到以简驭繁、化难为易的效果．2．“完成一件事情”是一个比较抽象的词汇，它比学生熟悉的“完成一件工作”、“完成一项工程”……的含义要广泛得多，教学中应当结合实例让学生辨析．例如：“从甲地到乙地”、“从甲地经丙地再到乙地”、“从中任取一本书”、“从中任取数学书、语文书各一本”、“从1～9这九个数字中任取两个组成没有重复数字的两位数”等等，这些都是原理中所说的“完成一件事情”．排列、组合中的“确定一个满足条件的排列”、“确定一个满足条件的组合”也是指“完成一件事情”．建议在概念和例题的教学中，都要求学生先思考并说出要完成的一件事情是什么．在实际应用中，学生容易把“完成一件事情”与“计算完成这件事情的方法总数”混同．例如，在分析“从1～9这九个数字中任取两个，共可组成多少没有重复数字的两位数？”时，学生容易把要完成的事情理解成为“求满足条件的两位数的个数”．教学时应当注意利用简单实例引导学生消除这种误解．只有准确理解了什么叫“完成一件事情”，才能进一步分析可以用什么方法完成，是否需要分类或分步完成，这样才能确定到底应该用哪个计数原理．3．排列与组合的区别就是是否有“一定顺序”，为了让学生理解其含义，要结合实例进行认真分析．例如，学生熟悉的排队问题中，“从前到后”、“从左到右”、都是“一定顺序”；安排工作时“上午在前下午在后”也是“一定顺序”；“从1～9这九个数字中选三个不同数字组成三位数”中，“一定顺序”可以规定为“百十个”等等．最后要使学生明确，若干个元素按照一定的顺序排成一列，元素不同或元素相同但顺序不同的排列都是不同的排列，即当且仅当两个排列的元素和顺序都相同时才是同一个排列．4．关于“一个排列”与“排列数”、“一个组合”与“组合数”的区别与联系，不应抽象地解释与强调，而应多通过实例引导学生分析．5．关于组合数公式的推导，不要急于求成，而要通过具体的实例加以引导．例如课本是通过从a ，b ，c 三个元素中每次取出两个元素给出的，在此基础上，又通过表1-3-1给出了从四个元素中每次取出三个的组合数与排列数的对比，进一步引导学生理解组合与组合数的计算，以及组合数与排列数的关系．6．一题多解．在计数问题中，由于结果的正确性往往难以直接验证，因而可以用多种不同的方法求解来加以验证．7．二项式定理是本章的重点内容，二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思路是“先猜后证”．与以往教科书比较，猜想不是通过对n b a )(+中n 取1，2，3，4的展开式的形式特征的分析而归纳得出，而是直接应用两个计数原理对2)(b a +展开式的项的特征进行分析．这个分析过程不仅使学生对二项式的展开式与两个计数原理之间的内在联系获得认识的基础，而且也为证明猜想提供了基本思路．在二项式定理的推导中，学生自觉地联系到两个计数原理是不容易的．为此，教科书安排了如下过程：1．在“情境问题”中给出了2)(b a +,3)(b a +,4)(b a +的展开式，导出了n b a )(+的展开式问题；2．详细写出用多项式乘法法则得到2)a+，3)(ba+的展开式的过程，并从(b两个计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项数以及项的形式；3．用组合知识分析n(+的展开式中应有的项，以及每一个项的构成原由，a)b得出系数的计数方法，从而得出n(+的展开式．a)b从上述安排可以看到，得到二项式定理的猜想及其证明方法的核心就是应用两个计数原理．总之，计数问题是解决计数问题的最基本、最重要的方法，是根据实际问题的需要而提出的，教学中，不把那些人为编制的计数难题、需要特殊技巧的计数问题纳入课堂，而计算机程序设计中程序模块命名、字符编码、程序测试路径，以及核糖核酸分子、汽车牌照号码等计数问题，涉及大量的物理、生物、计算机的专业知识，体现了学科之间的渗透，同时体现了问题的时代特征，虽然这些例题背景复杂，所蕴含的数学知识却相对简单，可以根据学生的实际情况，补充一些例题，以增强学生思维的灵活性和发散性，提高学生分析问题和解决问题的能力．参考文献：1．中华人民共和国教育部，《普通高中数学课程标准》；2．江苏省教育厅，《江苏省普通高中数学课程标准教学要求》；3．江苏省教育厅，《2008年江苏省高考数学科考试说明》与《2011江苏高考数学科考试说明》．。

第7课时 组合（2）【教学目标】1.理解并掌握组合数的两个重要性质；会用组合数公式及其性质进行计算、求值；2.能运用组合知识分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。

【问题情境】1．排列、排列数，组合、组合数的概念.2．排列数公式；组合数公式:3(1)从a ,b,c,d,e 五个元素中取出三个元素,共有多少种不同的取法?(2)从a ,b,c,d,e 五个元素中取出两个元素,共有多少种不同的取法?(3)以上两种取法的种数相等吗? (4)由以上练习得出组合数的性质:4．一个口袋里有大小相同的7个白球(有不同的编号)和1个黑球.(1)从口袋里取出3个球,共有多少种不同的取法?(2)从口袋里取出3个球,使其中含一个黑球,共有多少种不同的取法?(3)从口袋里取出3个球,使其中不含黑球,共有多少种不同的取法?(4)以上3个组合数有什么关系?你能由此得出什么结论?组合数的两个重要性质：______________________________________________________________________【合作探究】例1．1)满足方程414t t C C =的t=_______；2)满足方程725225+=x x C C 的x=_________ 3)69584737C C C C +++= ________；4)39310411C C C =________；5)212211310810C C C C +++=_______；6)2100242322C C C C +⊕⊕⊕+++= ________； 7）2100252423A A A A +⊕⊕⊕+++=________.例2．在歌手大奖赛的文化素质测试中,选手需要从5个试题中任意选答3题,问:(1)有几种不同的选题方法?(2)若有一道题是必答题,有几种不同的选题方法?(3)若其中有一题不选,有几种不同的选题方法?例3．在100件产品中,有98件合格品,2件不合格品.从这100件产品中任意抽出3件，问：(1)共有多少种不同的抽取方法?(2)抽出的3件产品中恰有一件是不合格品的抽法有多少种?(3)抽取的3件产品中至少有一件是不合格品的抽法有多少种?思考:抽取的3件产品中至多有一件是不合格品的抽法有多少种?例4.a,b,c,d,e,f 共6人排成一排，其中a 必须排在b 的右边(不一定相邻),c 必须排在d 的左边(不一定相邻) ,不同的排法共有多少种?【学以致用】1.1）4850C =________________；399299C C +=________________；2）若56n n C C =，则n=________________，10n C =________________2.有不同的语文书7本, 不同的数学书5本，不同的英语书3本，(1)从中选出不同种类的书2本,共有多少种不同的选法?(2)从中选出相同种类的书2本,共有多少种不同的选法?3.从12人中选5人参加数学竞赛,按下列要求,有多少种不同的选法?(1)A 、B 、C 三人必须入选.(2)A 、B 、C 三人不能入选.(3)A 、B 、C 三人只能一人入选.(4)A 、B 、C 三人至少一人入选.(5)A 、B 、C 三人至多一人入选.4.设集合A {1,2,3,...10}=,B 是A 的三元子集 ,且至少有两个元素是偶数，这样的集合B 共有多少个?5.由1,1,1,2,2,3,3,4这八个数字卡片能组成多少个不同的八位数？第31课时 组合（2）【基础训练】1.某科技小组有6名同学，现从中选出3人，至少有1名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为________.2.若1231313C C x x +-=,则x =________. 3.若7781C C C n n n +=+,则n =________.4.从2,3,5,7中任取两个数，一个作为分母，另一个作为分子，能得到分数_____个，能得到真分数_____个.5.从0,1,2,3,5,7中，每次取出3个数，有_____种不同的取法；每次取出3个数相乘，可以得到_____个不同的积.6.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有_____种.【思考应用】7.在5,6,7,8，…，99这些自然数中，每次取两个不同的数相乘，使其积为7的倍数，这样的取法有多少种？8.若四面体的一个顶点为A，从其余顶点和各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面内，则不同的取法有多少种？9.4个互不相同的红球和6个互不相同的白球放入袋中，现从袋中取出4个球，取出1个红球记2分，取出1个白球记1分.若取出4个球的总分不低于5分，则有多少种不同的取法？10.在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人既能当钳工又能当车工.现在从11人中选出4人当车工，4人当钳工，有多少种不同的选法？【拓展提升】11.公路上有编号为1,2,3，…，8，9的9只路灯，为了节约用电，可以把其中的3只关掉，但不能关掉相邻的2只，也不能关掉两端的路灯，那么有多少种不同的关灯方法？12.有编号为1,2,3,4的4张不同的卡片，按照下列方案处理，各有多少种不同的方法？（1）甲得2张，乙得2张；（2）平均分成2堆，每堆2张.。

1.2 排列(二)五分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.将5辆车停在5个车位上,其中A 车不停在一号车位上,B 车要停在二号车位上.不同的停车方案有 ( )A.6种B.18种C.24种D.78种 答案：B解析：N=3313A A =18(种).2.用1,2,3三个数字,可组成无重复数字的正整数共( )A.6个B.27个C.15个D.9个 答案：C解析：利用1,2,3可组成数字不重复的一位,二位,三位正整数,于是有N=332313A A A ++=15(个).3.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同的插法的种数为( )A.42B.30C.20D.12 答案：A解析：分两类:①两个新节目相邻的插法有622A 种;②两个新节目不相邻的插法有26A 种,故N=6×2+6×5=42.或者直接采用插空法:N=1716A A •=42.4.3个男生和2个女生排成一排,若两端不能排女生,则共有____________种不同的排法. 答案：36解析：男生排在两端有23A 种排法,其余位置有33A 种排法.故共有23A ·33A =36种排法. 十分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.一个人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为( )A.2544A A B.25A C.44A D.4488A A -答案：B解析：命中4枪,恰好有3枪连在一起的“三枪”看作一个整体(一个元素)，第4枪看作一个元素,共两个元素.打不中的四枪间,连同前后共5个空,任选两个空插入,有25A 种. 2.将1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有( )A.6种B.9种C.11种D.23种 答案：B有3种情况,总共3×3=9种.3.某工程队有6项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是______________.(用数字作答) 答案：12解析：工程甲、工程乙、工程丙、工程丁的顺序已确定且丙丁相邻，则只需将剩下的2个工程安排好，即24A =12.4.由数字0,1,2,3,4,5可以组成____________个没有重复数字且能被5整除的六位数. 答案：216解析：分两类：末位数字是0的有55A =120（个），末位数字是5的有4414A A =96（个）. 总共120+96=216(个).5.一天课表中,6节课要安排3门理科,3门文科,要使文,理科间排,不同的排课方法有_________种;要使数学与物理连排,化学不得与数学,物理连排,不同的排课方法有___________种. 答案：72 144解析：要使文理科间排,有两种情况:文科排1,3,5,理科排2,4,6或理科排1,3,5,文科排2,4,6,共有33333333A A A A •+•=72.数学与物理连排，则把数学、物理当作一个元素，化学不得与数学、物理连排，用插空法得：2433A A •·2=144.6.在3 000至8 000中有多少个无重复数字的奇数?解法一:分两类:首位数字是3,5,7的四位奇数有281413A A A ••=672（个）；首位数字是4，6的四位奇数有281512A A A ••=560（个）.故满足条件的数共有672+560=1 232(个).解法二:若允许首末位数字相同,则末位可取1,3,5,7,9五个数字,首位可取3~7五个数,于是3 000~8 000中的奇数有281515A A A 个;其中首末位数字相同的情况是3**3,5**5,7**7,共有13A 28A 个.于是共有:28A ×5×5-13A ·28A =1 400-168=1 232（个）满足题设条件的数.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.从5位同学中选派4位同学在星期五,星期六,星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六,星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有( )A.40种B.60种C.100种D.120种 答案：B解析：先从5人中选2人安排在星期五,再从剩下的3人中选1人安排在星期六,从最后02人中选1人安排在星期日.121325C C C =60.2.若n∈N *,n<20,则(20-n)·(21-n)…(29-n)·(30-n)等于( )A.1020A B.1120n A - C.1030n A - D.1130n A -答案：D解析：mn A =n(n-1)…(n -m+1), 故原式=1130n A -.3.不等式21-n A -n≤0的解是( )A.n=3B.n=2C.n=2或n=3D.n=1或n=2或n=3 答案：A解析：∵n -1≥2,又(n-1)(n-2)≤n, ∴n=3.4.200件产品中有197件合格品，3件次品，现从中任意抽出5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ）A.219733319723C C C C +种B.319723C C -种 C.51975200C A -种 D.4197135200C C C -种答案：A解析：有两件次品的抽法为233197C C ,有三件次品的抽法为332197C C ,共有232197233197C C C C +种.5.由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数中,若百位数字最大,万位数字比千位数字小,个位数字比十位数字小,这样的五位数的个数为（ ）A.12B.8C.6D.4 答案：C解析：百位数字量大,所以安排5,剩余的4个空位,安排1,2,3,4,全排列有44A 个,但要求万位数字比千位数字小,即这两个位置大小次序一定,属于定序问题,所以应去掉对顺序的安排22A ;同理个位、十位也要去掉对顺序的安排22A ，所以这样的五位数的个数共有222244A A A =6个.6.有8本互不相同的书,其中数学书3本,外文书2本,其他书3本.将这些书排成一排放在书架上,那么数学书恰好排在一起,外文书也恰好排在一起的排法共有___________种. 答案：1 440解析：先排数学有33A 种排法; 再排外语有22A 种排法;将数学,外语看成整体与其他书全排有55A 种排法. ∴N=33A ·22A ·55A 1 440(种).7.由四个不同数字1,4,5,x(x≠0)组成没有重复数字的四位数,所有这些四位数的各位数字之和为288,求x 的值.解：因为1,4,5,x 四个数字互不相同,故在排成的四位数中,1在千位上,百位上,十位上,个位数字上分别出现33A 次,故所有的1的和为1×4×33A =24.同理可知，所有4的和共有4×4×33A =96,所有5的和共有5×4×33A 120,所有x 的和共有x·433A =24x.由题设得24+96+120+24x=288,解得x=2.8.用1,2,3,4,5五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数是多少?解:满足要求的五位数分为三类:偶奇偶奇奇:221312A A A ••； 奇偶奇偶奇:221213A A A ••；奇奇偶奇偶:221312A A A ••；共有3221312A A A ••=36（个）.9.从-1、0、1、2、3中选三个（不重复）数字组成二次函数y=ax 2+bx+c 的系数. (1)开口向上且不过原点的不同抛物线有几条?(2)与x 轴正、负半轴均有交点的不同抛物线有几条？ (3)与x 轴负半轴至少有一个交点的不同抛物线有几条?解:(1)a>0且c≠0,共有131313A A A ••=27种.(2)只需ac<0,故-1必须排除,有221313A A A ••=18种.(3)可分为三类:第一类与x 轴正、负半轴均有交点的直线共有18条,第二类过原点且与x 轴负半轴有一个交点,此时,c=0,ab>0,共有23A =6条.第三类,与x 轴负半轴有两个交点,则必须满足⎩⎨⎧≥-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><-≥∆同号a 、、b、ac b ac a b040002 即b=3,a 、c 在1、2中取，有2条，由分类计数原理可得有26条. 10.4名男生和3名女生并坐一排,分别回答下列问题. (1)男生必须排在一起的坐法有多少种? (2)女生互不相邻的坐法有多少种?(3)男生相邻,女生也相邻的坐法有多少种? (4)女生顺序已定的坐法有多少种?解:(1)从整体出发,将4名男生看成一个“大元素”与3名女生进行全排列，有44A 种排法，而“大元素”内部又有44A 种排法，故共有44A ·44A =576种坐法.(2)先将4名男生排好,有44A 种排法,然后在男生之间隔出的五个空档中插入3名女生,故有44A ·33A =1 440种坐法.(3)N=44A ·33A ·22A =288种坐法.(4)N=473377A A A =840种坐法.。

第9 课时计数应用题【教学目标】1. 强化综合运用两个计数原理解决计数问题的能力。

2. 能运用排列组合知识分析实际问题，提高分析问题和解决问题的能力。

【基础练习】1. _________________________________________________ 将 3 名同学安排到2个工厂去实习,共有_____________________________________________ 种不同的分配方案.2. ________________________________________用0到9这10个数字,可组成个没有重复数字的四位偶数.3. __________________________ 一个小组共有组长2人,组员7人,现在要求选出5人参加一项活动,要求这5人中至少一名组长,共有种不同的选法.【合作探究】例1．高二（1）班有30名男生，20名女生。

从50名学生中选3名男生、2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共有多少种不同的选法？例2． 2 名女生、 4 名男生排成一排，问：（1）2 名女生相邻的不同排法共有多少种？（2）2 名女生不相邻的不同排法共有多少种？（3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？变式：七个家庭一起外出旅游，若其中四家分别是一个男孩，三家分别是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。

（1）一共用多少种站法？（2）甲站在正中间的排法有几种？（3）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？（4）甲只能排头或排尾，共有几种排法？（5）甲不站排头，乙不站排尾，共有多少种排法？（6）若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？（7）若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法？8) 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？9) 若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？10) 若其中的 A 小孩必须站在 B 小孩的左边，有多少种不同的排法？例3．从0,1,2 ，...,9 这10 个数字中选出 5 个不同的数字组成五位数，其中大于13000 的共有多少个？例 4 六本不同的书, 按下列条件, 各有多少种不同的分法?(1) 分给甲、乙、丙三人，每人 2 本；(2) 分成三份，每份 2 本；(3) 分成三份，一份 1 本，一份 2 本，一份 3 本；(4) 分给甲、乙、丙三人, 一人 1 本, 一人 2 本, 一人 3 本；(5) 分给甲、乙、丙三人，每人至少 1 本.【学以致用】1.用数字0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的数(1) 有多少个五位数(2) 有多少个五位数的奇数(3) 有多少个大于31250 的五位数？2.从 6 双不同的颜色的鞋子中任取4只，其中恰有两只可以配成一双鞋子的取法有多少种？3.按下列条件, 各有多少种不同的送书方法(1)5 本不同的书送给 6 个人.(2)5本不同的书送给6 个人, 每人最多 1 本(3)6本不同的书送给5人.(4)6本不同的书送给5 人, 每人最少 1 本.(5)3本相同的书送给5 人, 每人最多 1 本.(6)3本相同的书送给5人.4. 有一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对位置不变，再添入3个节目，那么共有多少种不同的安排方法？5. 有一张节目表上原有6个节目,如果保持这些节目的相对位置不变,再添入3个节目,共有多少种不同的安排方法？第9 课时排列组合应用问题( 1 )【基础训练】1. 如果有20 个代表出席一次会议，每位代表与其他代表握一次手，那么一共握手_________次.2.200 件产品中有3件是不合格品，现从中任意抽取5件，其中至少有 2 件是不合格品的抽法的种数为 __________________________ （列出算式）.3. 若从一个小组中选出正、副组长各1人与选出 4 名学生代表的选法种数之比为2:13 ，则这个小组的人数是 ________ .4. 以正六边形的顶点为顶点的直角三角形共有_______ 个.5. 若不同的5种商品在货架上排成一排，其中a,b两种必修排在一起，而c,d两种不能排在一起，则不同的排法种数共有 _____ 种.6.6 个男生和 4 个女生排成一排，若女生既不相邻又不能在两端，则有_____ 种不同的排法.【思考应用】7.7 人站成一排，下列情况中各有多少种不同的站法？（1）甲站在正中间，乙站在排头，丙站在排尾；（2）甲站在乙得右边（不一定相邻）；（3）甲、乙、丙三人中任何两人均不相邻.8. 用数字0,1,2,3,4,5 可以组成多少个比4032 大且没有重复数字的四位数？9. 要举办一台文艺晚会，现从高一年级的4个文艺节目中选出2个，高二年级的 5 个文艺节目中选出3个，高三年级的3个文艺节目中选出 2 个编制节目，问：有多少种不同的演出顺序？10. 在DAOB的OA边上有4个异于0点的点，以这10个点（含0点）为顶点，能得到多少个不同的三角形？【拓展提升】11. 有8 名师范大学毕业生被分配到A,B,C,D 这 4 所中学任教，每校 2 人，其中甲、乙两人不得分配到A中学去，问：不同的分配方法有多少种？12. 空间7 个点最多能确定多少对异面直线？。