高考数学复习知识与能力测试题(五)

河北省衡水市2024高三冲刺（高考数学）人教版能力评测(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题为了解学生每天的体育活动时间，某市教育部门对全市高中学生进行调查，随机抽取1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组.对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为（）A．43.5分钟B．45.5分钟C．47.5分钟D．49.5分钟第(2)题设集合，，则（）A．B．C．D．第(3)题为了解某中学学生假期中每天自主学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取高一学生40人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生60人，其每天学习时间均值为9小时，方差为0.8，抽取高三学生100人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学生每天学习时间的方差为（）A．1.4B．1.45C．1.5D．1.55第(4)题0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（）A．B．C．D．第(5)题在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，P是上底面A1B1C1D1内一点，若AP∥平面BDEF，则线段AP长度的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]第(6)题设双曲线的左、右焦点分别为点，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，的面积为，且，若双曲线C的实轴长为4，则双曲线C的方程为（）A．B．C．D．第(7)题若实数，满足，且，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．第(8)题设等比数列的前n项和为，首项，且，已知，若存在正整数，使得、、成等差数列，则的最小值为（）A．16B．12C．8D．6二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知随机变量，且，则（）A．B．C．D．第(2)题下列说法正确的是（）A．命题“”的否定是“”B ．“”是“”的充分不必要条件C．若函数的定义域为，则函数的定义域为D．记为函数图象上的任意两点，则第(3)题年中国经济在疫情阻击战的基础上实现了正增长，国内生产总值首次突破百万亿大关．根据中国统计局官网提供的数据，年年中国国内生产总值（单位：亿元）的条形图和国内生产总值年增长率（）的折线图如图，根据该图，下列结论正确的是（）A．年国内生产总值年增长率最大B．年国内生产总值年增长率最大C．这年国内生产总值年增长率不断减小D．这年国内生产总值逐年增长三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题正三棱柱的底面边长为6，侧棱长为6.，分别为棱，上靠近，的三等分点，则三棱锥的体积为______，其外接球的表面积为______.第(2)题已知函数是上的奇函数，则实数______．第(3)题若m，，，，则_____________．（请用一个排列数来表示）四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，其中.(1)求曲线与曲线的交点的极坐标；(2)直线与曲线，分别交于M，N两点（异于极点O），P为上的动点，求面积的最大值.第(2)题已知函数，若的解集为.(1)求实数的值；(2)已知均为正数，且满足，求证：.第(3)题已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且．(1)求椭圆C的方程；(2)若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点．①证明：直线CD过椭圆右焦点；②椭圆的左焦点为，求的内切圆的最大面积．第(4)题在中，角A、B、C所对的边分别为，已知，，，角A为锐角．(1)求与的值；(2)求的值及三角形面积．第(5)题如图，在几何体中，平面底面，四边形是正方形，，是的中点，且，.（1）证明：；（2）若，求几何体的体积.。

2007年高考数学知识与能力测试题（一）（文 科）第一部分 选择题（共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1、设集合{}{}4|N 0)1(|2<<-=x x x x x M ＝，，则（ ）. A 、φ=⋂N M B 、M N M =⋂ C 、M N M =⋃ D 、R N M =⋃ 2、化简ii +-13＝（ ）.A 、i 21+-B 、i 21-C 、i 21+D 、i 21--3、等差数列{}为则中，593,19,7a a a a n ==（ ）. A 、13 B 、12 C 、11 D 、104、原命题：“设2,,ac b a R c b a 则若、、>∈＞bc 2”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个.A 、0B 、1C 、2D 、45、设,)cos 21,31(),43,(sin x b x a ==→-→-且→-→-b a //，则锐角α为（ ）A 、6π B 、4π C 、3πD 、π1256、如图1，该程序运行后输出的结果为（ ）A 、1B 、2C 、4D 、16(图1)7、一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ）A 、π8B 、π6C 、π4D 、π8、若焦点在x 轴上的椭圆 1222=+m y x 的离心率为21，则m=（ ）. A 、23 B 、3 C 、38 D 、329、不等式组⎩⎨⎧≤≤-≥+--+210)1)(1(x y x y x 所表示的平面区域是（ ）A 、一个三角形B 、一个梯形C 、直角三角形D 、等腰直角三角形10、已知 则实数　时均有 当 且a x f x a x x f a a x ,21)()1,1(,)(,102<-∈-=≠>的取值范围是（ ）A 、[)∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛，，221 0B 、(]4,11,41 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ C 、(]2 11,21， ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ D 、[)∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛， 441,0第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11、函数)0(1ln >+=x x y 的反函数为 12、定义运算=⊕--=⊕6cos6sin,22ππ则b ab a b a13、设n m 、是两条不同的直线，βα、是两个不同的平面，下面给出四个命题；①若n m n m //,////,//　则　且 βαβα； ②若n m n m ⊥⊥⊥⊥　则　且 ,,βαβα ③若n m n m ⊥⊥　则　且 ,////,βαβα ④若ββαβα⊥⊥=⊥n m n m 则　且 ,, 其中真命题的序号是14、▲选做题：在下面两道题中选做一题，两道题都选的只计算前一题的得分。

高中数学拓展模块综合测试卷5及答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）。

1.下列说法正确的是( )A ．平面α和平面β只有一个公共点B ．两两相交的三条直线必共面C ．不共面的四点中，任何三点不共线D ．有三个公共点的两平面必重合2.在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 （ ）A ．17 B ．27 C ．37 D ．473.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得 到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a , b 的值分别（ ）A ．0.27,78 B.0.27,83 C ．2.7,78 D ．2.7,835.从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ）A ．12513B ．12516 C ．12518 D ．125196.在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于（ ）A ．72B ．83 C ．73D ．2897.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列四对截面中彼此平行的一对截面是 ( )A ．平面A 1BC 1和平面ACD 1B ．平面BDC 1和平面B 1D 1C C ．平面B 1D 1D 和平面BDA 1 D ．平面ADC 1和平面AD 1C8.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.459.甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3:1的比分获胜的概率为( )A .827B .6481C .49D .8910.如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许重复，则填入A 方格的数字大于B 方格的数字的概率为( )ABA.12B.14C.34D.38二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）。

高考数学复习考点知识与结论专题讲解第5讲函数的单调性通关一、函数单调性的定义及几何意义图像描述自左向右看，图像是下降的自左向右看，图像是上升的要点诠释(1)函数单调性的实质是函数值的变化与自变量的变化是否一致，一致则为增函数，不一致则为减函数.(2)函数单调性“数”的表现是函数值的增大与减小，“形”的表现是函数图像的上升与下降⊆.(3)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N M(4)一个函数在不同的区间可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“”连接.(5)增(减)函数定义中,x x的三个特征：12①任意性；②有大小，即12x x <或12x x >； ③同属于一个单调区间.通关二、函数的最值结论一、定义法证明函数单调性【例1】已知函数()f x 对任意实数,x y 均有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时()0f x >.试判断()f x 的单调性，并说明理由.【解析】设12,x x R ∈且12x x <，则210x x ->，故()210f x x ->.所以()()()()()()()212111211210f x f x f x x x f x f x x f x f x x -=-+-=-+=->⎡⎤⎣⎦.所以()()12f x f x <.故()f x 在(),-∞+∞上为增函数.【变式】已知给定函数()f x 对于任意正数,x y 都有()()()f xy f x f y =⋅，且()0f x ≠，当1x >时()1f x <.试判断()f x 在()0,+∞上的单调性，并说明理由.【解析】对于()0,x ∈+∞有()20f x ff⎡⎤==≥⎣⎦，又()0f x ≠，所以()0f x >.设()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()()2211211211111x x f x f f x f x x x x f f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===< ⎪⎝⎭，所以 ()()12f x f x >. 故()f x 在(0,)+∞上为减函数.结论二、函数单调性的正向与逆向理解1. 正向结论:若 ()y f x = 在给定区间上是增函数,则当 12x x < 时, ()()12f x f x <; 当 12x x > 时, ()()12f x f x >;2. 逆向结论:若 ()y f x = 在给定区间上是增函数,则当 ()()12f x f x < 时, 12x x <; 当 ()()12f x f x > 时, 12x x >.【例2】已知()f x 在区间(,)-∞+∞上是增函数, ,a b ∈R 且0a b +…,则下列表达正确的是（）. A. ()()[()()]f a f b f a f b +-+… B.()()()()f a f b f a f b +-+-…C. ()()[()()]f a f b f a f b +-+…D.()()()()f a f b f a f b +-+-…【答案】B【解析】0a b +…可转化为a b -…和b a -…，因为()f x 在区间(,)-∞+∞上是增函数, 所以()()f a f b -…且()()f b f a -…,根据同向不等式相加性质得()()f a f b +…()()f a f b -+-. 故选B.【变式】已知()y f x =是定义在(2,2)-上的增函数,若(1)(12)f m f m -<-,则m 的取值范围是_________. 【答案】12,23I ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】由已知可得122112223m m m -<-<-<⇒-<<，故m 的取值范围是12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭.结论三、单调性结论设 1212,[,],x x a b x x ∈≠ 那么 ()()()()()1212121200f x f x x x f x f x x x -⎡⎤-->⇔>⇔⎣⎦-()f x 在[,]a b 上是增函数; ()()()()()1212121200()f x f x x x f x f x f x x x -⎡⎤--<⇔<⇔⎣⎦- 在[,]a b 上是减函数.【例3】定义在R 上的函数()f x 满足:对任意的()1212,[0,)x x x x ∈+∞≠, 有()()21210f x f x x x -<-,则（）. A.(3)(2)(4)f f f << B.(1)(2)(3)f f f <<C. (2)(1)(3)f f f -<<D. (3)(1)(0)f f f <<【答案】D【解析】因为对任意的()1212,[0,)x x x x ∈+∞≠,有()()21210f x f x x x -<-, 所以函数()f x 在[0,)+∞上是减函数, 因为013<<, 所以(3)(1)(0)f f f <<. 故选 D.【变式】已知函数32()2f x x x mx =-++,若对任意12,x x ∈R , 均满足()()121x x f x⎡--⎣()20f x ⎤>⎦,则实数m 的取值范围是__________.【答案】1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦可知()f x 在R 上为增函数, 所以()0f x '…在R 上恒成立,而2()32f x x x m '=-+, 所以4120m ∆=-…, 即13m …. 故m 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.结论四、单调性性质若函数()f x 在区间I 上具有单词性,则在区间I 上具有以下性质:1. ()f x 与()(f x c c +为常数 )具有相同的单调性.2. 当()f x 非负时, ()f x具有相同的单调性.3. ()f x 与()a f x ⋅在0a > 时具有相同的单调性,在0a <时具有相反的单调性.4. 当()f x 恒不为0时,函数()f x 与1()f x 单调性相反. 【例4】已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 则()f x （）.A. 是偶函数,且在R 上是增函数B. 是奇函数,且在R 上是增函数C. 是偶函数,且在R 上是减函数D. 是奇函数,且在R 上是减函数【答案】B【解析】1()3333xxx x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, 所以()33()x xf x f x --=-=-, 即函数()f x 为奇函数,以函数3xy =为增函数, 13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数,故函数1()33xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为增函数. 故选 B.【变式】若函数1()2ax f x x +=+在(2,)-+∞上为增函数,则实数a 的取值范围为__________. 【答案】1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】解法一：112()22ax af x a x x +-==+++. 任取122x x -<<, 则()()12f x f x a -=+()()21121212121212121211(12)(12)22222222x x a a a a a a a x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫------+=-=--=- ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭因为122x x -<<, 所以122120,20,0x x x x +>+>->, 以()()2112022x x x x ->++. 已知函数在(2,)-+∞上单调递增, 故()()120f x f x -<, 所以120a -<, 解得12a >.所以a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.解法二：112()22ax a f x a x x +-==+++, 因为12x +在(2,)-+∞上单调递减, 1()2ax f x x +=+在(2,)-+∞上单调递增, 所以120a -<, 解得12a >.所以a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 结论五、单调性求最值1. 若函数在闭区间[,]a b 上是增函数,则()f x 在[,]a b 上的最小值为()f a , 最大值为()f b ；2. 若函数在闭区间[,]a b 上是减函数,则()f x 在[,]a b 上的最小值为()f b ,最大值为()f a . 【例5】函数()2()log 31x f x =+的值域为（）.A.(0,)+∞B.[0,)+∞C.(1,)+∞D. [1,)+∞【答案】 A【解析】根据对数函数的定义可知, 310x +>恒成立,解得x ∈R . 因此, 该函数的定义域为R , 原函数()2()log 31x f x =+是由对数函数2log y t =和31x t =+组合成的复合函数. 由复合函数的单调性定义(同增异减) 知道,原函数在定义域R 上是单调递增的. 根据指数函数的性质可知,30x >, 所以,311x +>,所以()22()log 31log 10x f x =+>=. 故选A.【变式】已知函数3()2sin (0,0)x f x ax b x a b =++>>, 若[0,1]x ∈时,()f x 的最大值为3 ,则[1,0)x ∈-时,()f x 的最小值是__________.【答案】12-【解析】因为32,,sin xy y x y x ===在区间[1,1]-上均为单调递增函数, 又0,a b >> 0 , 所以3()2sin x f x ax b x =++在区间[1,1]-上为单调递增函数. 当[0,1]x ∈时, ()f x 的最大值为3(1)21sin13,sin11f a b a b =+⋅+=+=; 当[1,0)x ∈-时,()f x 的最小值为1311(1)2(1)sin(1)(sin1)22f a b a b --=+⋅-+-=-+=-.。

数学，不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言，因此基于问题情境下的数列问题在高考中正逐步成为热点，通过具体的问题背景或新的定义，考查数列在问题情境中的应用，以此来检验学生的核心价值、学科素养、关键能力、必备知识．常用的解题思路是审题、建立数列模型、研究模型、解决实际问题，即一是理解题意，分清条件和结论，理清数量关系；二是把文字语言、新情景转化为熟悉的数学语言；三是构建相应的数学模型，利用已学的数列知识、解题的方法和技巧求解．类型一数学文化中的数列问题数学文化题一般是从中华优秀传统文化中挖掘素材，将传统文化与高中数学知识有机结合，有效考查阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力．解题时要对试题所提供的数学文化信息进行整理和分析，从中构建等差数列或等比数列模型．例1(1)(2023·湖南永州第一次高考适应性考试)如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程．九连环把玩时按照一定的程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为a n(n≤9，n∈N*)，已知a1＝1，a2＝1，按规则有a n＝a n－1＋2a n－2＋1(n≥3，n∈N*)，则解下第4个圆环最少需要移动的次数为()A．4B．7C．16D．31答案B解析由题意，a1＝1，a2＝1，a n＝a n－1＋2a n－2＋1(n≥3，n∈N*)，解下第4个圆环，则n＝4，即a4＝a3＋2a2＋1，而a3＝a2＋2a1＋1＝1＋2＋1＝4，则a4＝4＋2＋1＝7.故选B.(2)(2024·湖北鄂州模拟)天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，……，依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，……，依此类推.1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命，这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”.1949年新中国成立，请推算新中国成立的年份为()A ．己丑年B ．己酉年C ．丙寅年D ．甲寅年答案A解析根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1911年到1949年经过38年，且1911年为“辛亥”年，以1911年的天干和地支分别为首项，则38＝3×10＋8，则1949年的天干为己，38＝12×3＋2，则1949年的地支为丑，所以1949年为己丑年．故选A.运用所学的等差数列、等比数列知识去求解古代著名的数学问题，解答时准确理解用古文语言给出的数学问题的含义是解答好本类试题的关键，熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式及求和公式，既是基础又是有力保障．1．(2023·江西南昌莲塘第一中学高三二模)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列{a n }的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记b n ＝(－1)n ·a n ，n ∈N *，则数列{b n }的前20项和是()A ．110B ．100C ．90D ．80答案A解析观察此数列可知，当n 为偶数时，a n ＝n 22，当n 为奇数时，a n ＝n 2－12，因为b n ＝(－1)n ·a nn 为奇数，，所以数列{b n }的前20项和为(0＋2)＋(－4＋8)＋(－12＋18)＋…＋－192－12＋2＋4＋6＋…＋20＝10×（2＋20）2＝110.故选A.类型二实际生活中的数列问题数列知识可以用来解决实际生活中较为普遍的很多问题，在解决一些关于利息计算、产值增长、银行存款等问题时常常会用到等比数列的相关知识．例2(1)某人从2015年起，每年1月1日到银行新存入5万元(一年定期)，若年利率为2.5%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2025年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为(单位：万元．参考数据：1.0259≈1.25，1.02510≈1.28，1.02511≈1.31)()A ．51B ．57C ．6.4D ．6.55答案B解析由题意，2015年存的5万元共存了10年，本息和为5(1＋0.025)10万元，2016年存的5万元共存了9年，本息和为5(1＋0.025)9万元，…，2024年存的5万元共存了1年，本息和为5(1＋0.025)万元，所以到2025年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为5(1＋0.025)10＋5(1＋0.025)9＋…＋5(1＋0.025)＝5×1.025×（1.02510－1）1.025－1≈5×1.025×（1.28－1）0.025＝57.4≈57万元．(2)(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA ′，BB ′，CC ′，DD ′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中DD 1，CC 1，BB 1，AA 1是举，OD 1，DC 1，CB 1，BA 1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD 1OD 1＝0.5，CC1DC 1＝k 1，BB 1CB 1＝k 2，AA1BA 1＝k 3.已知k 1，k 2，k 3成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则k 3＝()A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.9答案D解析设OD 1＝DC 1＝CB 1＝BA 1＝1，则DD 1＝0.5，CC 1＝k 1，BB 1＝k 2，AA 1＝k 3，依题意，有k 3－0.2＝k 1，k 3－0.1＝k 2，且DD 1＋CC 1＋BB 1＋AA 1OD 1＋DC 1＋CB 1＋BA 1＝0.725，所以0.5＋3k 3－0.34＝0.725，故k 3＝0.9.故选D.(3)(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造卫星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{b n }：b 1＝1＋1a 1，b 2＝1＋1a 1＋1a 2，b 3＝1＋1a 1＋1a 2＋1a 3，…，以此类推，其中a k ∈N *(k ＝1，2，…)，则()A ．b 1＜b 5B ．b 3＜b 8C ．b 6＜b 2D ．b 4＜b 7答案D解析解法一：当n 取奇数时，由已知b 1＝1＋1a 1，b 3＝1＋1a 1＋1a 2＋1a 3，因为1a 1>1a 1＋1a 2＋1a 3，所以b 1>b 3，同理可得b 3>b 5，b 5>b 7，…，于是可得b 1>b 3>b 5>b 7>…，故A 不正确．当n 取偶数时，由已知b 2＝1＋1a 1＋1a 2，b 4＝1＋1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4，因为1a 2>1a 2＋1a 3＋1a 4，所以b 2<b 4，同理可得b 4<b 6，b 6<b 8，…，于是可得b 2<b 4<b 6<b 8<…，故C 不正确．因为1a 1>1a 1＋1a 2，所以b 1>b 2，同理可得b 3>b 4，b 5>b 6，b 7>b 8，又b 3>b 7，所以b 3>b 8，故B 不正确．故选D.解法二(取特殊值)：取a k ＝1，于是有b 1＝2，b 2＝32，b 3＝53，b 4＝85，b 5＝138，b 6＝2113，b 7＝3421，b 8＝5534.于是得b 1＞b 5，b 3＞b 8，b 6＞b 2.故选D.求解数列实际问题的注意事项(1)审题、抓住数量关系、建立数学模型，注意问题是求什么(n ，a n ，S n )．(2)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．(3)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n 计算准确．(4)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．2．(2024·焦作模拟)直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为2000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12%，则该公司需经过________年其年投入资金开始超过7000万元．(参考数据：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845)()A ．14B ．13C ．12D ．11答案C解析设该公司经过n 年投入的资金为a n 万元，则a 1＝2000×1.12，由题意可知，数列{a n }是以2000×1.12为首项，1.12为公比的等比数列，所以a n ＝2000×1.12n ，由a n ＝2000×1.12n >7000可得n >log 1.1272＝lg 7－lg 2lg 1.12≈11.1，因此该公司需经过12年其年投入资金开始超过7000万元．故选C.3．(2023·北京高考)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{a n }，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a 1＝1，a 5＝12，a 9＝192，则a 7＝________；数列{a n }所有项的和为________．答案48384解析解法一：设前3项的公差为d ，后7项的公比为q (q >0)，则q 4＝a 9a 5＝19212＝16，且q >0，可得q ＝2，则a 3＝a5q 2＝3，即1＋2d ＝3，可得d ＝1，a 7＝a 3q 4＝48，a 1＋a 2＋…＋a 9＝1＋2＋3＋3×2＋…＋3×26＝3＋3×（1－27）1－2＝384.解法二：因为当3≤n ≤7时，{a n }为等比数列，则a 27＝a 5a 9＝12×192＝482，且a n >0，所以a 7＝48.又a 25＝a 3a 7，则a 3＝a 25a 7＝3.设后7项的公比为q (q >0)，则q 2＝a5a 3＝4，解得q ＝2，可得a 1＋a 2＋a 3＝3（a 1＋a 3）2＝6，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝a 3－a 9q 1－q ＝3－192×21－2＝381，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＝6＋381－a 3＝384.4．(2021·新高考Ⅰ卷)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm×12dm 的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm ，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S 1＝240dm 2，对折2次共可以得到5dm×12dm ，10dm×6dm ，20dm×3dm 三种规格的图形，它们的面积之和S 2＝180dm 2，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n 次，那么∑nk ＝1S k ＝________dm 2.答案5解析对折3次可以得到52dm×12dm ，5dm×6dm ，10dm×3dm ，20dm×32dm ，共四种规格的图形，它们的面积之和为S 3＝4×30＝120dm 2.对折4次可以得到54dm×12dm ，52dm×6dm ，5dm×3dm ，10dm×32dm ，20dm×34dm ，共五种规格的图形，它们的面积之和为S 4＝5×15＝75dm 2.对折n 次有n ＋1种规格的图形，且S n ＝2402n (n ＋1)，因此∑nk ＝1S k ＝240·＋322＋….12∑n k ＝1S k ＝240·＋323＋…＋n 2n ＋，因此12∑n k ＝1S k ＝＋122＋123＋…＋12n －所以∑n k ＝1S k ＝dm 2.类型三数列中的新定义问题新定义主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新定义，这样有助于对新定义的透彻理解．若新定义是运算法则，直接按照运算法则计算即可；若新定义是性质，要判断性质的适用性，能否利用定义外延，也可用特殊值排除等方法．例3(1)(多选)(2023·广东佛山调研)“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，…，这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，…，则下列说法中正确的是()A ．“提丢斯数列”是等比数列B ．“提丢斯数列”的第99项为3×297＋410C ．“提丢斯数列”的前31项和为3×23010＋12110D ．“提丢斯数列”中，不超过300的有11项答案BCD解析对于A ，0.70.4≠10.7，所以“提丢斯数列”不是等比数列，故A 错误；对于B ，设“提丢斯数列”为数列{a n }，当n ≥2时，a n ＝3×2n －2＋410，所以a 99＝3×297＋410，故B 正确；对于C ，“提丢斯数列”的前31项和为0.4＋310×(1＋21＋22＋…＋229)＋410×30＝3×23010＋12110，故C 正确；对于D ，由a n ＝3×2n －2＋410≤300，得n ≤11，所以“提丢斯数列”中，不超过300的有11项，故D正确．故选BCD.(2)(多选)(2024·雅礼中学月考)记〈x 〉表示与实数x 最接近的整数x ＝a ＋12，a ∈Z ，则取〈x 〉＝{a n }的通项公式为a n ＝1〈n 〉(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，设k ＝〈n 〉，则下列结论正确的是()A ．n ＝k －12B ．n <k ＋12C ．n ≥k 2－k ＋1D ．S 2024<90答案BCD解析由题意，〈x 〉表示与实数x 最接近的整数且k ＝〈n 〉，当n ＝1时，可得n ＝1，则k＝〈n 〉＝1，k －12＝12≠1，A 不正确；易得|n －〈n 〉|<12即|n －k |<12，所以－12<n －k <12，故n <k ＋12成立，B 正确；由B 项分析知k －12<n <k ＋12，易知k ≥1，故对k －12<n <k ＋12两边平方得k 2－k ＋14<n <k 2＋k ＋14，因为n ∈N *且k 2－k ＋14不是整数，且k 2－k ＋1是大于k 2－k＋14的最小整数，所以n ≥k 2－k ＋1成立，C 正确；当n ＝1，2时，〈n 〉＝1，此时a 1＝a 2＝1；当n ＝3，4，5，6时，〈n 〉＝2，此时a 3＝a 4＝a 5＝a 6＝12；当n ＝7，8，9，10，11，12时，〈n 〉＝3，此时a 7＝a 8＝…＝a 12＝13；当n ＝13，14，…，20时，〈n 〉＝4，此时a 13＝a 14＝…＝a 20＝14；…，所以数列{a n }中有2个1，4个12，6个13，8个14，…，又2，4，6，8，…构成首项为2，公差为2的等差数列{b n }，其前n 项和T n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)，而2024＝44×(44＋1)＋44，所以S 2024＝1×2＋12×4＋13×6＋…＋144×88＋145×44＝2×44＋4445＝88＋4445<90，D 正确．故选BCD.数列新定义问题的解题策略策略一读懂定义，理解新定义数列的含义策略二特殊分析，比如先对n ＝1，2，3，…的情况进行讨论策略三通过特殊情况寻找新定义的数列的规律及性质，以及新定义数列与已知数列(如等差与等比数列)的关系，仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案策略四联系等差数列与等比数列知识，将新定义数列问题转化为熟悉的知识进行求解5．(多选)(2023·山东日照模拟)若正整数m ，n 只有1为公约数，则称m ，n 互质．对于正整数k ，φ(k )是不大于k 的正整数中与k 互质的数的个数，函数φ(k )以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数．例如：φ(2)＝1，φ(3)＝2，φ(6)＝2，φ(8)＝4.已知欧拉函数是积性函数，即如果m ，n 互质，那么φ(mn )＝φ(m )φ(n )，例如：φ(6)＝φ(2)φ(3)，则()A ．φ(5)＝φ(8)B ．数列{φ(2n )}是等比数列C ．数列{φ(6n )}不是递增数列D n 项和小于1825答案ABD解析φ(5)＝4，φ(8)＝4，∴φ(5)＝φ(8)，A 正确；∵2为质数，∴在不超过2n 的正整数中，所有偶数的个数为2n －1，∴φ(2n )＝2n －2n －1＝2n －1，为等比数列，B 正确；∵与3n 互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，3n －2，3n －1，共有(3－1)·3n －1＝2·3n －1个，∴φ(3n )＝2·3n－1，又φ(6n )＝φ(2n )φ(3n )＝2·6n －1，∴数列{φ(6n )}是递增数列，C 错误；φ(6n )＝2·6n －1，的前n 项和为S n ，则S n ＝12×60＋22×61＋…＋n 2×6n －1，16S n ＝12×61＋22×62＋…＋n2×6n ，两式相减得56S n ＝12×60＋12×61＋12×62＋…＋12×6n －1－n 2×6n ＝12×1－16－n 2×6n ＝35－35×6n －n 2×6n ，∴S n ＝1825－1825×6n －3n 5×6n ＜1825，∴n 项和小于1825，D 正确．故选ABD.。

第3讲 圆锥曲线中的综合问题专题强化训练1．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．(1，＋∞)C ．(1，2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：选C.由题意可得，2k －1>2－k >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>2－k ，2－k >0，解得1<k <2，故选C. 2．(2019·浙江高考冲刺卷)已知F 为抛物线4y 2＝x 的焦点，点A ，B 都是抛物线上的点且位于x 轴的两侧，若OA →·OB →＝15(O 为原点)，则△ABO 和△AFO 的面积之和的最小值为( )A.18B.52C.54D.652 解析：选D.设直线AB 的方程为：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 与x 轴的交点为M (m ，0)，⎩⎪⎨⎪⎧4y 2＝x x ＝ty ＋m ，可得4y 2－ty －m ＝0， 根据根与系数的关系有y 1·y 2＝－m4，因为OA →·OB →＝15，所以x 1·x 2＋y 1·y 2＝15，从而16(y 1·y 2)2＋y 1·y 2－15＝0， 因为点A ，B 位于x 轴的两侧， 所以y 1·y 2＝－1，故m ＝4.不妨令点A 在x 轴上方，则y 1＞0，如图所示．又F (116，0)， 所以S △ABO ＋S △AFO ＝12×4×(y 1－y 2)＋12×116y 1＝6532y 1＋2y 1≥265y 132×2y 1＝652， 当且仅当6532y 1＝2y 1，即y 1＝86565时，取“＝”号，所以△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是652，故选D.3．(2019·绍兴市柯桥区高考数学二模)已知l 是经过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点F 且与实轴垂直的直线，A ，B 是双曲线C 的两个顶点，若在l 上存在一点P ，使∠APB ＝60°，则双曲线的离心率的最大值为( )A.233B. 3 C ．2 D ．3 解析：选A.设双曲线的焦点F (c ，0)，直线l ：x ＝c ， 可设点P (c ，n )，A (－a ，0)，B (a ，0)， 由两直线的夹角公式可得tan ∠APB ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k PA－k PB1＋k PA ·k PB＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n c ＋a －n c －a 1＋n 2c 2－a 2＝2a |n |n 2＋（c 2－a 2）＝2a|n |＋c 2－a 2|n |＝tan 60°＝3，由|n |＋c 2－a 2|n |≥2|n |·c 2－a 2|n |＝2c 2－a 2，可得3≤a c 2－a2，化简可得3c 2≤4a 2，即c ≤233a ，即有e ＝c a ≤233.当且仅当n ＝±c 2－a 2，即P (c ，±c 2－a 2)，离心率取得最大值233.故选A.4．(2019·福州质量检测)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若射线y ＝2(x －1)(x ≤1)与C ，l 分别交于P ，Q 两点，则|PQ ||PF |＝( )A. 2 B ．2 C. 5 D ．5解析：选C.由题意知，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1，0)，准线l ：x ＝－1与x 轴的交点为F 1.过点P 作直线l 的垂线，垂足为P 1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝2（x －1），x ≤1，得点Q 的坐标为(－1，－4)，所以|FQ |＝2 5.又|PF |＝|PP 1|，所以|PQ ||PF |＝|PQ ||PP 1|＝|QF ||FF 1|＝252＝5，故选C.5．(2019·鄞州中学期中)已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)与双曲线C 2：x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两曲线的一个公共点，且PF 1⊥PF 2，e 1，e 2分别是两曲线C 1，C 2的离心率，则9e 21＋e 22的最小值是( )A ．4B ．6C ．8D ．16解析：选C.设焦距为2c ，椭圆长轴长为2a 1，双曲线实轴长为2a 2，取椭圆与双曲线在一象限内的交点为P ，由椭圆和双曲线的定义分别有|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1①，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2②，因为PF 1⊥PF 2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2③，①2＋②2，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22④，将④代入③得a 21＋a 22＝2c 2，则9e 21＋e 22＝9c 2a 21＋c 2a 22＝5＋9a 222a 21＋a 212a 22≥8，故9e 21＋e 22的最小值为8.6．(2019·金华十校二模)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为42，虚轴的一个端点与抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点重合，直线y ＝kx －1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p ＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A.抛物线x 2＝2py 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以可得b ＝p2，因为2a ＝42⇒a ＝22，所以双曲线的方程为x 28－4y 2p 2＝1，可求得渐近线方程为y ＝±p 42x ，不妨设y ＝kx －1与y ＝p42x 平行，则有k ＝p 42.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝p 42x －1x 2＝2py⇒x 2－p 222x ＋2p ＝0，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2222－8p ＝0，解得p ＝4.7．(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知椭圆的方程为x 29＋y 24＝1，过椭圆中心的直线交椭圆于A ，B 两点，F 2是椭圆右焦点，则△ABF 2的周长的最小值为________，△ABF 2的面积的最大值为________．解析：连接AF 1，BF 1，则由椭圆的中心对称性可得C △ABF 2＝AF 2＋BF 2＋AB ＝AF 1＋AF 2＋AB ＝6＋AB ≥6＋4＝10，S △ABF 2＝S △AF 1F 2≤12·25·2＝2 5.答案：10 2 58．(2019·东阳二中改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，经过原点的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，若|PQ |＝a ，AP ⊥PQ ，则椭圆C 的离心率为________．解析：不妨设点P 在第一象限，O 为坐标原点，由对称性可得|OP |＝|PQ |2＝a2，因为AP ⊥PQ ，所以在Rt △POA 中，cos ∠POA ＝|OP ||OA |＝12，故∠POA ＝60°，易得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，3a 4，代入椭圆方程得116＋3a 216b 2＝1，故a 2＝5b 2＝5(a 2－c 2)，所以椭圆C 的离心率e ＝255. 答案：2559．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1，F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围是________．解析：设椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，则2c ＝|PF 2|＝2a －10，2m ＝10－2c ，所以a ＝c ＋5，m ＝5－c ，所以e 1e 2＝c c ＋5×c 5－c ＝c 225－c 2＝125c2－1，又由三角形的性质知2c ＋2c >10，由已知2c <10，c <5，所以52<c <5，1<25c 2<4，0<25c 2－1<3，所以e 1e 2＝125c2－1>13.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 10．(2019·杭州市高考数学二模)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A ，B 在抛物线上，且∠AFB ＝120°，过弦AB 中点M 作准线l 的垂线，垂足为M 1，则|MM 1||AB |的最大值为________．解析：设|AF |＝a ，|BF |＝b ，连接AF 、BF ， 由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |， 在梯形ABPQ 中，2|MM 1|＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b . 由余弦定理得，|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ， 配方得，|AB |2＝(a ＋b )2－ab ，又因为ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，所以(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－14(a ＋b )2＝34(a ＋b )2，得到|AB |≥32(a ＋b )． 所以|MM 1||AB |≤12（a ＋b ）32（a ＋b ）＝33，即|MM 1||AB |的最大值为33. 答案：3311．(2019·衢州市教学质量检测)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为22，左焦点F (－1，0)，若过点B (－2b ，0)的直线与椭圆交于M ，N 两点．(1)求椭圆G 的标准方程； (2)求证：∠MFB ＋∠NFB ＝π； (3)求△FMN 面积S 的最大值．解：(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为22，焦距为2，即2a ＝22，2c ＝2，所以2b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：∠MFB ＋∠NFB ＝π，即证：k MF ＋k NF ＝0， 设直线方程MN 为y ＝k (x ＋2)，代入椭圆方程得： (1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－2＝0， 其中Δ＞0，所以k 2＜12.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝ －8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k2， k MF ＋k NF ＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝k （x 1＋2）x 1＋1＋k （x 2＋2）x 2＋1＝k [2＋x 1＋x 2＋2（x 1＋1）（x 2＋1）]＝0.故∠MFB ＋∠NFB ＝π.(3)S ＝12·FB |y 1－y 2|＝12|k ||x 1－x 2|＝128（1－2k 2）k2（1＋2k 2）2.令t ＝1＋2k 2， 则S ＝2－t 2＋3t －22t2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342＋18，当k 2＝16(满足k 2＜12)时，S 的最大值为24.12．(2019·浙江金华十校第二期调研)已知抛物线C ：y ＝x 2，点P (0，2)，A ，B 是抛物线上两个动点，点P 到直线AB 的距离为1.(1)若直线AB 的倾斜角为π3，求直线AB 的方程；(2)求|AB |的最小值．解：(1)设直线AB 的方程：y ＝3x ＋m ，则|m －2|1＋()32＝1，所以m ＝0或m ＝4，所以直线AB 的方程为y ＝3x 或y ＝3x ＋4. (2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，则|m －2|1＋k2＝1，所以k 2＋1＝(m －2)2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m y ＝x 2，得x 2－kx －m ＝0，所以x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－m ， 所以|AB |2＝()1＋k 2[()x 1＋x 22－4x 1x 2]＝()1＋k 2()k 2＋4m ＝()m －22()m 2＋3，记f (m )＝()m －22(m 2＋3)，所以f ′(m )＝2(m －2)(2m 2－2m ＋3)，又k 2＋1＝()m －22≥1，所以m ≤1或m ≥3，当m ∈(]－∞，1时，f ′(m )＜0，f (m )单调递减，当m ∈[)3，＋∞时，f ′(m )＞0，f (m )单调递增，f (m )min ＝f (1)＝4，所以|AB |min ＝2.13.(2019·宁波市高考模拟)已知椭圆方程为x 24＋y 2＝1，圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2.(1)求椭圆上动点P 与圆心C 距离的最小值；(2)如图，直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且与圆C 相切于点M ，若满足M 为线段AB 中点的直线l 有4条，求半径r 的取值范围．解：(1)设P (x ，y )，|PC |＝（x －1）2＋y 2＝34x 2－2x ＋2＝34（x －43）2＋23， 由－2≤x ≤2，当x ＝43时，|PC |min ＝63.(2)当直线AB 斜率不存在且与圆C 相切时，M 在x 轴上，故满足条件的直线有2条； 当直线AB 斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0),由⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 21＝1x224＋y 22＝1，整理得：y 1－y 2x 1－x 2＝－14×x 1＋x 2y 1＋y 2，则k AB ＝－x 04y 0，k MC ＝y 0x 0－1，k MC ×k AB ＝－1，则k MC ×k AB ＝－x 04y 0×y 0x 0－1＝－1，解得：x 0＝43，由M 在椭圆内部，则x 204＋y 20＜1，解得：y 20＜59，由：r 2＝(x 0－1)2＋y 20＝19＋y 20，所以19＜r 2＜23，解得：13＜r ＜63.所以半径r 的取值范围为(13，63) .14．(2019·严州中学月考改编)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为35，P (m ，0)为C 的长轴上的一个动点，过P 点且斜率为45的直线l 交C 于A ，B 两点．当m ＝0时，PA →·PB →＝－412.(1)求椭圆C 的方程；(2)证明：|PA |2＋|PB |2为定值． 解：(1)因为离心率为35，所以b a ＝45.当m ＝0时，l 的方程为y ＝45x ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1并整理得x 2＝a 22.设A (x 0，y 0)，则B (－x 0，－y 0)， PA →·PB →＝－x 20－y 20＝－4125x 20＝－4125·a 22. 又因为PA →·PB →＝－412，所以a 2＝25，b 2＝16，椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)证明：将l 的方程为x ＝54y ＋m ，代入x 225＋y216＝1，并整理得25y 2＋20my ＋8(m 2－25)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|PA |2＝(x 1－m )2＋y 21＝4116y 21，同理|PB |2＝4116y 22.则|PA |2＋|PB |2＝4116(y 21＋y 22)＝4116[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＝4116·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 52－16（m 2－25）25＝41.所以|PA |2＋|PB |2为定值．15.(2019·温州十五校联合体联考)如图，已知抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)，直线l 与抛物线C 1相交于A 、B 两点，且当倾斜角为60°的直线l 经过抛物线C 1的焦点F 时，有|AB |＝13.(1)求抛物线C 1的方程； (2)已知圆C 2：(x －1)2＋y 2＝116，是否存在倾斜角不为90°的直线l ，使得线段AB 被圆C 2截成三等分？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)当倾斜角为60°的直线l 经过抛物线C 1的焦点F 时，直线l 的方程为y ＝3(x－p2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －p 2）y 2＝2px ，即3x 2－5px ＋34p 2＝0， 所以|AB |＝5p 3＋p ＝13，即p ＝18，所以抛物线C 1的方程是y 2＝14x .(2)假设存在直线l ，使得线段AB 被圆C 2截成三等分，令直线l 交圆C 2于C ，D ，设直线l 的方程为x ＝my ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，线段AB 与线段CD 的中点重合且有|AB |＝3|CD |，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧4y 2＝x x ＝my ＋b ，即4y 2－my －b ＝0，所以y 1＋y 2＝m 4，y 1y 2＝－b 4，x 1＋x 2＝m 24＋2b ，所以线段AB 中点的坐标M 为(m 28＋b ，m 8)，即线段CD 的中点为(m 28＋b ，m8)，又圆C 2的圆心为C 2(1，0)，所以k MC 2＝m8m 28＋b －1＝－m ，所以m 2＋8b －7＝0，即b ＝78－m28，又因为|AB |＝1＋m 2·m 216＋b ＝141＋m 2·14－m 2，因为圆心C 2(1，0)到直线l 的距离d ＝|1－b |1＋m 2，圆C 2的半径为14， 所以3|CD |＝6116－（1－b ）21＋m 2＝343－m 2(m 2＜3)， 所以m 4－22m 2＋13＝0，即m 2＝11±63， 所以m ＝±11－63，b ＝33－24，以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”首先要做到以下两点：1、先把教材上的知识点、理论看明白。

高考数学复习各地数列模拟测试题及解析一、有关通项问题1、利用11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项．（北师大版第23页习题5）数列{}n a 的前n 项和21n S n =+．（1）试写出数列的前5项；（2）数列{}n a 是等差数列吗？（3）你能写出数列{}n a 的通项公式吗？变式题1、（2005湖北卷）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，求数列}{n a 的通项公式； 解：（1）：当;2,111===S a n 时,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 变式题2、（2005北京卷）数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113n n a S +=，n =1，2，3，……，求a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式．解：（I ）由a 1=1，113n n a S +=，n=1，2，3，……，得 211111333a S a ===，3212114()339a S a a ==+=，431231116()3327a S a a a ==++=， 由1111()33n n n n n a a S S a +--=-=（n ≥2），得143n n a a +=（n ≥2），又a 2=31，所以a n =214()33n -(n ≥2),∴ 数列{a n }的通项公式为21114()233n n n a n -=⎧⎪=⎨⎪⎩≥变式题3、（2005山东卷）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈，证明数列{}1n a +是等比数列．解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+ 故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而1121n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列；2、解方程求通项：（北师大版第19页习题3）在等差数列{}n a 中，（1）已知812148,168,S S a d ==求和；（2）已知658810,5,a S a S ==求和；(3)已知3151740,a a S +=求.变式题1、{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 分析：本题考查等差数列的通项公式，运用公式直接求出. 解：1(1)13(1)2005n a a n d n =+-=+-=，解得669n =，选C点评：等差等比数列的通项公式和前n 项和的公式是数列中的基础知识，必须牢固掌握.而这些公式也可视作方程，利用方程思想解决问题.3、待定系数求通项：（人教版第38页习题4）写出下列数列{}n a 的前5项：（1）111,41(1).2n n a a a n -==+>变式题1、（2006年福建卷）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ 求数列{}n a 的通项公式； 解：*121(),n n a a n N +=+∈112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列．12.n n a ∴+=即 *21().n n a n N =-∈4、由前几项猜想通项：（北师大版第10页习题1）根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.（1） （4）（7）（ ） （ ）变式题1、（深圳理科一模）．如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为n a ，则6a = ；345991111a a a a +++⋅⋅⋅+＝ .解：由图可得：22(1)n a n n n n n =+-=+，所以642a =；又211111(1)1n a n n n n n n ===-+++ 所以345991111a a a a +++⋅⋅⋅+=1111111197()()()3445991003100300-+-++-=-=变式题2、（北师大版第11页习题2）观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是（ ），其通项公式为 . A ．40个 B ．45个 C ．50个 D ．55个解：由题意可得：设{}n a 为n 条直线的交点个数，则21a =，1(1),(3)n n a a n n -=+-≥，因为11n n a a n --=-，由累加法可求得：(1)12(1)2n n n a n -=+++-=，所以10109452a ⨯==，选B.2条直线相交，最多有1个交点3条直线相交，最多有3个交点4条直线相交，最多有6个交点二、有关等差、等比数列性质问题1、（北师大版第35页习题3）一个等比数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为（ ）A ．83B ．108C ．75D ．63变式题1、一个等差数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为 。

河北省衡水市2024高三冲刺（高考数学）人教版能力评测(巩固卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知一个玻璃酒杯盛酒部分的轴截面是抛物线，其通径长为1，现有一个半径为的玻璃球放入该玻璃酒杯中，要使得该玻璃球接触到杯底（盛酒部分），则的取值范围是（）A．B．C．D．第(2)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(3)题已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．第(4)题实数，，满足：，则的范围是（）A．B．C．D．第(5)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(6)题已知等比数列的公比，前6项和，则（）A．B．C．16D．32第(7)题某网店对今年11月11日9时到15时的销售情况进行统计，销售额频率分步直方图如图所示，已知11时到13时的销售为5万元.则9时到11时的销售额为（）A．1.5万元B．2万元C．2.5万元D．3万元第(8)题过圆上的两点分别作圆的切线，若两切线的交点恰好在直线上，则的最小值为（）A．B．3C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图，设E，F别是正方体的棱CD的两个动点，点E在F的左边，且，，点P在线段上运动，则下列说法正确的是（）A．⊥平面B．三棱锥的体积为定值C．点到平面的距离为D．直线与直线所成角的余弦值的最大值为第(2)题如图，已知正方体的棱长为4，，，分别为，，的中点，则下列结论中正确的有（）A．直线与直线垂直B．点与点到平面的距离相等C．直线与平面平行D．平面截正方体所得的截面面积为18第(3)题抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（）A．事件A与事件B互为对立事件B．事件A与事件B相互独立C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知直线与曲线和均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为___________.第(2)题已知数列的各项均为正数，为其前n项和，，.令，则数列的前25项和是___________.第(3)题请写出满足条件：对任意实数，且成立的一个函数解析式___________.(答案不唯一)四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题记等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.第(2)题在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：与椭圆C2：，且椭圆C2过椭圆C1的焦点，过点的直线l与椭圆C 1交于A，B两点，与椭圆C2交于C，D两点.(1)求椭圆C1的标准方程；(2)若存在直线l，使得，求t的取值范围.第(3)题2020年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作、9:40~10:00记作，10:00~10:20记作，10:20~10:40记作，例如：10点04分，记作时刻64.(1)估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列；(3)根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布，其中可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.假如4日全天共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.附：若随机变量T服从正态分布，则，，.第(4)题如图，三棱柱是所有棱长均为2的直三棱柱，分别为棱和棱的中点．(1)求证：面面；(2)求二面角的余弦值大小．第(5)题设函数，．（1）若在上仅有一个零点，求a的取值范围；（2）若，试讨论方程在上的根的个数．。

第四篇 概率与统计专题05 与数列相结合的概率综合问题常见考点考点一 与数列相结合问题典例1．某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券“的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行20轮游戏． （1）当进行完3轮游戏时，总分为X ，求X 的期望；（2）若累计得分为i 的概率为i p ，（初始得分为0分，01p =）． ①证明数列{}1i i p p --，（i ＝1，2，…，19）是等比数列； ②求活动参与者得到纪念品的概率．【答案】（1）5；（2）①证明见解析；②1922153⎡⎤⎛⎫⨯+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．【解析】 【分析】（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为13，获得2分的概率为23，而每轮游戏的结果互相独立，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为Y ，所以13,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，6X Y =-，即可求出X 的期望；（2）①根据累计得分为i 的概率为i p ，分两种情形讨论得分情况，从而得到递推式2121(2,3,,19)33i i i P P P i --=+=⋯，再根据构造法即可证出数列{}1i i p p --是等比数列； ②根据①可求出12()3ii i p p --=-，再根据累加法即可求出(2,3,,19)i p i =⋯，然后由20182P 3P =从而解出． 【详解】（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为13，获得2分的概率为23，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为Y ，所以13,3YB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3312,0,1,2,333k kk P Y k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而()236X Y Y Y =+-=-，即随机变量X 可能取值为3，4，5，6，311(3)327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，223122(4)339P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，213124(5)339P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，328(6)327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．∴X 的分布列为： X 3456P 1272949827E （X ）＝12483456279927⨯+⨯+⨯+⨯＝5． （2）①证明：n ＝1，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过2点，113P =，则1023P P -=-，累计得分为i 分的情况有两种： （Ⅰ）i ＝（i ﹣2）＋2，即累计得i ﹣2分，又掷骰子点数超过2点，其概率为223i P -， （Ⅰ）累计得分为i ﹣1分，又掷骰子点数没超过2点，得1分，其概率为113i P -， ∴2121(2,3,,19)33i i i P P P i --=+=⋯，∴()11223i i i i P P P P ----=--，（i ＝2，3，•••，19），∴数列{}1i i p p --，（i ＝1，2，…，19）是首项为﹣23，公比为﹣23的等比数列． ②∵数列{}1i i p p --，（i ＝1，2，…，19）是首项为﹣23，公比为﹣23的等比数列，∴12()3ii i p p --=-，∴1023p p -=-，22123P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，•••，123ii i p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 各式相加，得：022153ii p p ⎡⎤⎛⎫-=-⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，∴132232155353i i i p +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⨯-=⨯--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，（i ＝1，2，•••，19），∴活动参与者得到纪念品的概率为：1919201822222P 1135353P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯--=⨯+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．【点睛】本题第一问解题关键是明确得1分的次数为Y 服从二项分布，从而找到所求变量X 与Y 的关系，列出分布列，求得期望；第二问①主要是递推式的建立，分析判断如何得到i 分的情况，进而得到212133i i i P P P --=+，利用数列知识即可证出，②借由①的结论，求出(2,3,,19)i p i =⋯，分析可知20182P 3P =，从而解出．变式1-1．某商场调研了一年来日销售额的情况，日销售额ξ（万元）服从正态分布(10,4)N ．为了增加营业收入，该商场开展“游戏赢奖券”促销活动，购物满300元可以参加1次游戏，游戏规则如下：有一张共10格的方格子图，依次编号为第1格、第2格、第3格、……、第10格，游戏开始时“跳子”在第1格，顾客抛掷一枚均匀的硬币，若出现正面，则“跳子”前进2格（从第k 格到第k +2格），若出现反面，则“跳子”前进1格（从第k 格到第k +1格），当“跳子”前进到第9格或者第10格时，游戏结束．“跳子”落在第9格可以得到20元奖券，“跳子”落在第10格可以得到50元奖券．（1）根据调研情况计算该商场日销售额在8万元到14万元之间的概率；（参考数据：若随机变量服从正态分布2(,)N μσ，则0.68()27P μσξμσ-<<+≈，(22)0.9545P μσμσ-<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<<+≈．）（2）记“跳子”前进到第n 格（1≤n ≤10）的概率为n P ，证明：{}1n n P P --（2≤n ≤9）是等比数列；（3）求某一位顾客参加一次这样的游戏获得奖券金额的期望． 【答案】（1）0．8186；（2）证明见解析；（3）期望为3835128元． 【解析】（1）由ξ服从正态分布(10,4)N 可得(22)()(814)(22)2P P P P μσμσμσμσξμσμσ-<+--<+<<≈-<+-；（2）计算出11P =、212P =，“跳子”前进到第(39)n n 格的情况得到211122n n n P P P --=+，可得112(1)2n n n n P P P P ----=--化简可得答案；（3）设某一位顾客参加一次这样的游戏获得奖券金额为Χ元，则Χ的值可取20和50，求出对应的概率可列出分布列求出期望. 【详解】（1）由ξ服从正态分布(10,4)N 可得： ∴0.95450.6827(814)0.95450.81862P ξ-<<≈-=．（2）“跳子”开始在第1 格为必然事件，11P =．第一次掷硬币出现反面，“跳子”移到第2格，其概率为12，即212P =，“跳子”前进到第(39)n n 格的情况是下面两种，而且只有两种： ①“跳子”先到第2n -格，又掷出正面，其概率为212n P -， ②“跳子”先到第1n -格，又掷出反面，其概率为112n P -， ∴211122n n n P P P --=+， ∴112(1)2n n n n P P P P ----=--，∵21102P P -=-≠， ∵10n n P P --≠(29)n ，∴11212n n n n P P P P ----=--(39)n ， ∴当29n 时，数列1{}n n P P --是等比数列，首项为2112P P -=-，公比为12-． （3）设某一位顾客参加一次这样的游戏获得奖券金额为Χ元，则Χ的值可取20和50，由（2）可知1112n n n P P --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭(29)n ，∴12122111111()()()1222n n n n n n n P P P P P P P P -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯⋯+-+=-+-+⋯⋯+-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11212113212nn⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭(29)n ，11P =也适合， ∴9992121171113232256P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=+=⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，88108112111851()1223232256P P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫==⨯--=-=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦．Χ的分布列为： Χ 2050P 17125685256则Χ的期望为()17185767038352050256256256128E X =⨯+⨯==（元）. 【点睛】本题考查了正态分布、随机变量的分布列，关键点是证明数列1{}n n P P --是等比数列、求出X 所有可能取值对应的概率，考查了学生分析问题、解决问题的能力，是一道综合题．变式1-2．2020年春天随着疫情的有效控制，高三学生开始返校复课学习.为了减少学生就餐时的聚集排队时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供A 、B 两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A 类套餐的概率为23、选择B 类套餐的概率为13．而前一天选择了A 类套餐第二天选择A 类套餐的概率为14、选择B 套餐的概率为34；前一天选择B 类套餐第二天选择A 类套餐的概率为12、选择B 类套餐的概率也是12，如此往复．记某同学第n 天选择A 类套餐的概率为n P ．（1）证明数列25n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n P 的通项公式；（2）记高三某宿舍的3名同学在复课第二天选择A 类套餐的人数为X ，求X 的分布列并求()E X ；（3）为了贯彻五育并举的教育方针，培养学生的劳动意识，一个月后学校组织学生利用课余时间参加志愿者服务活动，其中有20位学生负责为全体同学分发套餐．如果你是组长，如何安排分发A 、B 套餐的同学的人数呢，说明理由．【答案】（1）证明见解析，21615154nn P ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭；（2）分布列见解析，1；（3）A 套餐的8人， B 套餐的12人；理由见解析． 【解析】 【分析】（1）依题意得()111142n n n P P P +=⨯+-⨯，根据递推关系即可证明25n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，利用等比数列通项公式求得25n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项，即可求得{}n P 的通项公式；（2）依题意求得第二天选择A 、B 类套餐的概率，列出X 的可能取值，结合二项分布求得分布列与数学期望；（3）由{}n P 的通项公式得3025P ≈，根据总人数即可求得分发A 、B 套餐的同学的人数． 【详解】（1）依题意，()111142n n n P P P +=⨯+-⨯，则1212(1,)545n n P P n n N +⎛⎫-=--≥∈ ⎪⎝⎭.当1n =时，可得124515P -=， ∴数列25n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为415公比为14-的等比数列.21615154nn P ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭.（2）第二天选择A 类套餐的概率2111134323A P =⨯+⨯=； 第二天选择B 类套餐的概率2311234323B P =⨯+⨯=， ∴3人在第二天的有X 个人选择A 套餐，X 的所有可能取值为0、1、2、3，有3312()(0,1,2,3)33k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴X 的分布列为X123P8274929127故8421()01231279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）由（1）知：21615154nn P ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，∴3025P ≈，即第30次以后购买A 套餐的概率约为25. 则22085⨯=，20812-=∴负责A 套餐的8人，负责B 套餐的12人. 【点睛】 思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）变式1-3．安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是25%､选择餐厅乙就餐的概率为75%，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是50%､选择餐厅甲就餐的概率也为50%，如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是23，择餐厅乙就餐的概率是13，记某同学第n 天选择甲餐厅就餐的概率为n P .（1）记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X ，求X 的分布列，并求E (X )； （2）请写出1n P +与(*)n P n N ∈的递推关系；（3）求数列{}n P 的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队合作精神，学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作，根据上述数据，如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由. 【答案】（1）分布列答案见解析，()1E X =； （2）()*11142n n P P n N +=-+∈； （3）分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数8人和12人，理由见解析. 【解析】（1）依题意可得13,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭，进而可得分布列和期望； （2）由()111142n n n P P P +=⨯+-⨯可得结果； （3）由（2）求得n P ，且2()5n P n →→+∞，由此可得分配方案. 【详解】（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率2111134323A P =⨯+⨯=，某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率2311234323B P =⨯+⨯=，3∴位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为X ，则13,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ()()33120,1,2,333kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，X ∴的分布列为X 0123P8274929127故()1313E X ⨯==.（2）依题意，()111142n n n P P P +=⨯+-⨯，即1*11()42n n P P n N +=-+∈.（3）由（2）知1*11()42n n P P n N +=-+∈，则()*1212545n n P P n N +⎛⎫-=--∈ ⎪⎝⎭当1n =时，可得1222453515P -=-=， ∴数列25n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为415公比为14-的等比数列.12155441n n P -⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎭，即21615154nn P ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭.2()5n P n ∴→+∞→， 所以，分配到餐厅甲的志愿者人数为22085⨯=，分配到餐厅乙的志愿者人数为【点睛】关键点点睛：第（1）问的关键点是：探究得到13,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭；后两问的关键点是得到递推关系1*11()42n n P P n N +=-+∈.典例2．为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得1-分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为12，乙每次踢球命中的概率为23，且各次踢球互不影响．（1）经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的数学期望；（2）若经过n 轮踢球，用i p 表示经过第i 轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．①求1p ，2p ，3p ；②规定00p =，且有11i i i p Ap Bp +-=+，请根据①中1p ，2p ，3p 的值求出A 、B ，并求出数列{}n p 的通项公式．【答案】（1）16-；（2）①116p =，2736p =，343216p =；②6177A B ==，，11156n n P ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）X 的可能取值为1-，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列与期望；（2）①116p =，经过2轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是2轮甲各得1分，二是2轮中有1轮甲得0分，有1轮甲得1分，由此能求出2p ．经过3轮投球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分．由此能求出3p ．②推导出11i i i p Ap Bp +-=+，将012317430,,,636216p p p p ====，代入得，116177i i i p p p +-=+，推导出1{}n n p p --是首项与公比都是16的等比数列，由此能求出结果． 【详解】（1）记一轮踢球，甲命中为事件A ，乙命中为事件B ，A ，B 相互独立． 由题意()12P A =，()23P B =，甲的得分X 的可能取值为1-，0，1．()()()()12112331P AB P A P B P X =-⎛⎫===-⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()1212111232203P X P AB P AB P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==+=+=．()()()()12112136P X P AB P A P B ==⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭=⨯，∴X 的分布列为：X1-1P131216()11111013266E X =-⨯+⨯+⨯=-．（2）①由（1）116p =，()()()()()()201101p P X P X P X P X P X ==⋅=+==+=1111172662636⎛⎫=⨯+⨯+= ⎪⎝⎭． 经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分．∴32222123333111111143C C C 6626263216p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯⨯+⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ②∵规定00p =，且有11i i i p Ap Bp +-=+，∴1202316717A p Ap Bp p Ap Bp B ⎧⎧=⎪⎪=+⎪⎪⇒⎨⎨=+⎪⎪=⎪⎪⎩⎩代入得：116177i i i p p p +-=+，∴()1116i i i i p p p p +--=-，∴数列{}1n n p p --是等比数列，公比为16q =，首项为1016p p -=，∴116nn n p p -⎛⎫-= ⎪⎝⎭．∴()()()11121011111166656n n n n n n n n P p p p p p p ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=++⋅⋅⋅+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【点睛】关键点睛：利用待定系数法得到116177i i i p p p +-=+后，紧扣等比数列定义是解决问题的关键.变式2-1．为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为13，答错的概率为23.（1）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）若甲在回答过程中出现在第()2i i ≥个等级的概率为i P ，证明：{}1i i P P --为等比数列.【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：203；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）首先确定X 的所有可能取值5,6,7,8,9,10X =，根据概率公式分别求出对应发生的概率，列出分布列，即可求出数学期望；（2）根据已知的关系，求出1i P +与i P ，1i P -的关系式112133i i i P P P +-=+，再通过化简和等比数列的定义求解即可. 【详解】解：（1）依题意可得，5,6,7,8,9,10X =，55552232(5)33243P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4445212180(6)53333243P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，32352180(7)33243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()23252140833243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()4152110933243P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()50511103243P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则X 的分布列如表所示.X5678910P322438024380243402431024312433280804010120()56789102432432432432432433E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）处于第1i 个等级有两种情况： 由第i 等级到第1i 等级，其概率为23i P ； 由第1i -等级到第1i 等级，其概率为113i P -； 所以112133i i i P P P +-=+，所以()1113i i i i P P P P +--=--，即1113i i i i P P P P+--=--. 所以数列{}1i i P P --为等比数列. 【点睛】本题考查概率公式､随机变量的分布列及数学期望，考查运算求解能力､数据处理能力，考查数学运算､逻辑推理核心素养.其中第二问解题的关键在于寻找1i P +与i P ，1i P -的关系式，即：()1121233i i i P P P i +-=+≥，进而根据等比数列的定义证明.变式2-2．为抢占市场，特斯拉电动车近期进行了一系列优惠促销方案.要保证品质兼优，特斯拉上海工厂在车辆出厂前抽取100辆Model 3型汽车作为样本进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代替).（2）根据大量的测试数据，可以认为Model 3这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布()2,N μσ，经计算第（1）问中样本标准差s 的近似值为50.用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，现从生产线下任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.（3）为迅速抢占市场举行促销活动，特斯拉销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送车模”活动，客户可根据拋掷硬币的结果，指挥车模在方格图上行进，若车模最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券6万元；若最终停在“赠送车模”方格时，则可获得车模一个.已知硬币出现正､反面的概率都是0.5，方格图上标有第0格､第1格､第2格､……､第20格.车模开始在第0格，客户每掷一次硬币，车模向前移动一次.若掷出正面，车模向前移动一格(从k 到k +1)，若掷出反面，车模向前移动两格(从k 到k +2)，直到移到第19格(幸运之神)或第20格(赠送车模)时游戏结束.设车模移到第()119n n ≤≤格的概率为n P ，试证明{}()1,2n n P P n --≥是等比数列；若有6人玩游戏，每人参与一次，求这6人获得优惠券总金额的期望值(结果精确到1万元).参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<+≈≤()()220.9544,330.9973P P μσξμσμσξμσ-<≤+≈-<≤+≈【答案】（1）300(千米)；（2）0.8186；（3）证明见解析，优惠券总金额的期望24万元. 【解析】（1）利用频率分布直方图能估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值． （2）X 服从正态分布2(300,50)N ，由此能求出它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率．（3）遥控车开始在第0格为必然事件，01P =，第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为12，即112P =．遥控车移到第(219)n n ≤≤格的情况是下列两种，而且也只有两种．①遥控车先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -，②遥控车先到第1n -格，又掷出正面，其概率为112n P -，从而112(1)2n n n n P P P P ----=--，进而能证明当219≤≤n 时，数列{}1n n P P --是公比为12-的等比数列，由此能求出结果． 【详解】（1）0.002502050.004502550.00950305x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.004503550.00150405300+⨯⨯+⨯⨯=（千米）（2）因为X 服从正态分布2(300,50)N 所以0.95440.6827(250400)0.95440.81862P X -<≤≈-=（3）第一次掷硬币出现正面，车模从第0格移到第一格，其概率为1,2即112P =移动到第二格有两类情况211132224P =⨯+=.车模移到第n (319n ≤≤)格的情况是下列两种，而且也只有两种.①车模先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P - ②车模先到第1n -格，又掷出正面，其概率为112n P - 所以211122n n n P P P --=+，1121()2n n n n P P P P ---∴-=--，∴当319n ≤≤时，数列1{}n n P P --是公比为12-的等比数列.2312132111,,222P P P P P ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，经验证2n =也满足.1{}n n P P -∴-是公比为12-的等比数列.231213211111,,,2222nn n P P P P P P P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=--=-⋅⋅⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 以上各式相加，得231111222nn P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即23111112222nn P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11132n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦121132n n P +⎡⎤⎛⎫∴=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(2,,19n =⋅⋅⋅)，经检验1n =时也符合. 121132n n P +⎡⎤⎛⎫∴=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，1,2,,19n =⋅⋅⋅ ∴获得优惠券的概率219021132P ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦获得车模的概率1920181111232P P ⎡⎤⎛⎫==+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦设参与游戏的6人获得优惠券的有X 人，由题可知20216,132XB ⎛⎫⎡⎤⎛⎫ ⎪--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭ ∴X 的期望2020211()61=41322E X ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯----⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设优惠卷总金额为Y 万元，6Y X ∴=∴优惠券总金额的期望2020()(6)624111124224E Y E X ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫----≈⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==⨯=万元【点睛】关键点睛：由于频率分布直方图中是没有样本数据的，平均值等于每个小长方形面积乘每组横坐标的中点，然后相加求和，且所有矩形的面积之和为1.变式2-3．某校园格局呈现四排八栋分布，学生从高一入学到高三毕业需踏着层层台阶登攀，这其中寓意着学校对学生的期盼与激励．现假设台阶标有第0，1，2，…，50级，有一位同学抛掷一枚均匀质地的骰子进行登攀台阶游戏，这位同学开始时位于第0级，若掷出偶数点，则向上一步登一级台阶，若掷出奇数点，则向上一步登两级台阶，直到登上第49级（成功）或第50级（失败），游戏结束．设()X n 为登攀至第n 级的步数(150)n ≤≤，这位同学登到第n 级的概率为n P ． （I ）求(3)X 的分布列与数学期望；（Ⅰ）证明：{}1(249)n n P P n --≤≤为等比数列． 【答案】（Ⅰ）分布列见解析，115；（Ⅰ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意，(3)X 登至第3级的基本事件{3次偶数，1次奇数1次偶数}，即(3)X 可能取值为2，3，每次掷奇数、偶数的概率都为12，根据二项分布，并结合古典概型求概率，写出分布列并出求期望；（Ⅰ）从第2n -级登至第n 级的概率为12，从第1n -级登至第n 级的概率为12，由条件概率及概率加法公式得()1212n n n P P P --=+并整理，又0111,2P P ==即可证等比数列. 【详解】（Ⅰ）由定义知，(3)X 可能取值为2，3．根据条件概率计算公式得：1112113121114222((3)2)551118222C P X C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，31131211128((3)3)551118222P X C ⎛⎫ ⎪⎝⎭====⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (3)X ∴的分布列为 (3)X23P4515∴4111((3))23555E X =⨯+⨯=． （Ⅰ）证明：由题意，()1212n n n P P P --=+，则()1121(249)2n n n n P P P P n ----=--≤≤； 又1011=122P P --=-， ∴数列{}1(149)n n P P n --≤≤是首项、公比均为12-的等比数列． 【点睛】 关键点点睛：（1）由登至第n 级的各个基本事件都是独立试验，应用二项分布公式求概率，再由概率加法公式，结合古典概率求登至第n 级概率；（2）理解登至第n 级可以从第2n -级或第1n -级一次性完成，结合概率加法公式确定12,,n n n P P P --的关系式.巩固练习练习一 与数列相结合问题1．某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为13，每步上两个台阶的概率为23，为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n 个台阶的概率为n P ，其中*N n ∈，且998n ≤.(1)若甲走3步时所得分数为X ，求X 的概率分布； (2)证明：数列{}1n n P P +-是等比数列；(3)求甲在登山过程中，恰好登上第99级台阶的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2)证明见解析(3)983425153⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）考虑甲走3步时,是一步上一个台阶还是一步上两个台阶,从而写出X 的所有可能取值，求出每一个值对应的概率，即可得X 的分布列；（2）由题意可得到递推式211233n n n P P P ++=+，构造数列，从而证明结论；（3）利用（2）的结论，采用累加求和，结合等比数列的前n 项和公式，求得答案. (1)由题意可得X 的所有可能取值为3，4，5，6，()3113327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2132124339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭， ()2232145339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()3286327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，∴X 的分布列为：X 3456P 1272949827(2)证明：由题可得211233n n n P P P ++=+，∴()21123n n n n P P P P +++-=--，∵113P =，22217339P ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴21409P P -=≠， ∴数列{}1n n P P +-是以49为首项，23-为公比的等比数列. (3)由（2）可得()()()9999989897211P P P P P P P P =-+-+⋅⋅⋅+-+984219312313⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++983425153⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭. 2．近年来，新能源汽车产业大规模发展，某汽车产品自生产并投人市场以来，受到多位消费者质疑其电池产品质量，汽车厂家提供甲､乙两家第三方检测机构对产品进行质量检测，邀请多位车主进行选择，每位车主只能挑选一家.若选择甲机构记1分，若选择乙机构记2分，每位车主选择两个机构的概率相等，且相互独立. (1)若参加的车主有3人，记总得分为X ，求X 的分布列与数学期望；(2)若有()n n *∈N 位车主，记总得分恰好为n 分的概率为{}n a ，求数列{}n a 的通项公式；(3)在（2）的条件下，汽车厂商决定总得分为99分或100分时就停止计分，若总得为99分就选甲机构，总得分为100分就选乙机构，请分析这种方案是否合理. 【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：92；(2)1211362n n a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；(3)这方案不合理，分析答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，随机变量X 的可能取值有3，4，5，6.分别求得随机变量取每一值时的概率得其分布列，由数学期望公式可求得答案；（2）依题意，总得分恰好为n 分时，得不到n 分的情况是先得（1n -）分，再得，概率为112n a -，即有1112n n a a --=，由此可求得答案； （3）由（2）求得99a ，100a ，比较可得结论. (1)解：由题意可知，随机变量X 的可能取值有3，4，5，6.311(3)28P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，31313(4)C 28P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，32313(5)C 28P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，311(6)28P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.∴随机变量X 的分布列如下表所示： X 3 456P 18383818∴13319()345688882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. (2)解：依题意，总得分恰好为n 分时，得不到n 分的情况是先得（1n -）分，再得2分，概率为112n a -，∴1112n n a a --=，即1212323n n a a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.又112a =，12136a -=-，∴1211362n n a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即1211362n n a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(3)解：因为989921123623a ⎛⎫=-- ⎪<⎝⎭，9910021123623a ⎛⎫=-- ⎪>⎝⎭，∴10099a a >，∴选择乙机构的概率大于甲机构，这方案不合理.3．武汉又称江城，它不仅有深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，还有众多名胜古迹与旅游景点，其中黄鹤楼与东湖被称为武汉的两张名片.为合理配置旅游资源，现对某日已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不继续游玩东湖记1分，继续游玩东湖记2分，每位游客游玩东湖的概率均为12，游客是否游玩东湖相互独立. （1）若从游客中随机抽取m 人，记总分恰为m 分的概率为m A ，求数列{}m A 的前10项和；（2）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的游客的累计得分恰为n 分的概率为n B ，探讨n B 与1n B -之间的关系，并求数列{}n B 的通项公式.【答案】（1）10231024；（2）1112n n B B -=-+，211332nn B ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）由题意求出m A ，利用等比数列求和即可；（2）根据概率关系可得1112n n B B -=-+，构造等比数列求通项公式即可. 【详解】（1）总分恰为m 分的概率为12mm A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴数列{}m A 是首项为12，公比为12的等比数列，则其前10项和10101111023221102412S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-. （2）已调查过的游客的累计得分恰为n 分的概率为n B ，得不到n 分的情况只有先得1n -分，再得2分，概率为112n B -，112B =.∴1112n n B B --=，即1112n n B B -=-+， ∴1212323n n B B -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.∴数列23n B ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16-，公比为12-的等比数列，∴(1)211211362332n nn B -⎛⎫⎛⎫=--=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 4．某植物学家培养出一种观赏性植物，会开出红花或黄花，已知该植物第一代开红花和黄花的概率都是12，从第二代开始，若上一代开红花，则这一代开红花的概率是13，开黄花的概率是23，若上一代开黄花，则这一代开红花的概率是35，开黄花的概率是25，记第n 代开红花的概率是n p ，第n 代开黄花的概率为n q ， （1）求2p ；（2）试求数列{}n p ()n N +∈的通项公式；（3）第n (),2n N n +∈≥代开哪种颜色的花的概率更大. 【答案】（1）2715p =；（2）1415n n p p -=-；（3）第n 代开黄花的概率更大.【解析】 【分析】（1）由2111335p p q =+计算；（2）由关系式113(1)35n n n p p p +=+-可得919n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，从而求得n p ； （3）由n p 的表达式可得12n p ≤，从而112n n q p =-≥，从而可得结论． 【详解】解（1）第二代开红花包含两个互斥事件，即第一代开红花后第二代也开红花，第一代开黄花而第二代开红花， 故由112p =，得：()2111371.3515p p p =⋅+-⋅=（2）由题意可知，第n 代开红花的概率与第1n -代的开花的情况相关，故有()11113413515n n n n p p p p ---=⋅+-⋅=-35+则有1949191519n n p p -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 由于191911921938p -=-=， 所以数列919n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以138为首项，415-为公比的等比数列. 所以1914193815n n p -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，所以1914193815n n p -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭（3）由（2）1914193815n n p -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭91119382≤+=， 故有当n N +∈时，12n p ≤，因此第n 代开黄花的概率更大.5．有一对夫妻打算购房，对本城市30个楼盘的均价进行了统计，得到如下频数分布表：均价X （单位：千元） [)4,5 [)5,6[)6,7[)7,8[)8,9[]9,10频数22111041（1）若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，现任取一个楼盘的均价X ，假定()2~,X N μσ，求均价恰在8.12千元到9.24千元之间的概率；（2）经过一番比较，这对夫妻选定了一个自己满意的楼盘，恰巧该楼盘推出了趣味蹦台阶送忧惠活动，由两个客户配合完成该活动，在一个口袋中有大小材质均相同的红球40个，黑球20个，客户甲可随机从口袋中取出一个球，取后放回，若取出的是红球，则客户乙向上蹦两个台阶，若取出的是黑球，则客户乙向上蹦一个台阶，直到客户乙蹦上第5个台阶（每平方米优惠0.3千元）或第6个台阶（每平方米优惠3千元）时（活动开始时的位置记为第0个台阶），游戏结束.①设客户乙站到第()06,n n n N ≤≤∈个台阶的概率为n P ，证明：当15n ≤≤时，数列{}1n n P P --是等比数列；②若不参加蹦台阶活动，则直接每平方米优惠1.4千元，为了获得更大的优惠幅度，请问该对夫妻是否应参与蹦台阶活动.参考数据： 1.25 1.12，520.133⎛⎫= ⎪⎝⎭.若()2~,X N μσ，则()0.68P μσξμσ-<≤+≈，()220.95P μσξμσ-<≤+≈，()330.997P μσξμσ-<≤+≈.【答案】（1）0.135；（2）①证明见解析；②应参与. 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表计算均值与方差，得()~7,1.25X N ，然后由对称性和特定区间的概率得出结论；（2）①由已知01P =，113P =，而2n ≥时，即客户到第n 人台阶分为两种情况：一是从第1n -个台阶跳一级过来，另一个是从第2n -个台阶跳2级过来，由此可得n P 递推关系，变形后可证题设结论；②利用①求得n P ，计算参加活动的期望值560.33P P +与1.4比较可得． 【详解】 （1）221110414.55.56.57.58.59.57303030303030x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 22222221110(4.57)(5.57)(6.57)(7.57)30303030s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯2241(8.57)(9.57) 1.253030+-⨯+-⨯=.因为7x μ==，2 1.25s =， 1.12s σ==，所以()~7,1.25X N . 所以0.950.68(8.129.24)0.1352P X -<≤≈=. （2）①证明：客户开始游戏时在第0个台阶为必然事件，故01P =，客户甲第一次摸得黑球，客户乙迈上第一个台阶，其概率为13，故113P =. 客户乙迈入第()25n n ≤≤个台阶的情况为下列两种，而且也只有两种. 一是客户乙先到第2n -格，客户甲又摸出红球，其概率为223n P -； 二是客户乙先到第1n -格，客户甲又摸出黑球，其概率为113n P -， 所以121233n n n P P P --=+，则()11223n n n n P P P P ----=--.所以当15n ≤≤时，数列{}1n n P P --是首项为1023P P -=-，公比为23-的等比数列. ②由①知，当15n ≤≤时，123nn n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()()()010211n n n P P P P P P P P --=-+-++-232222221333353n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 整理得322553nn P ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以553220.548553P ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，且56422220.4523553P P ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭.设这对夫妻参与游戏获得优惠的期望为每平方米Y 千元， 则56()0.330.30.54830.452 1.5204E Y P P =⋅+⋅=⨯+⨯=（千元）.。