11.运动学-点的运动和刚体的基本运动
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刚体运动学的基本原理与公式
刚体运动学的基本原理与公式引言刚体运动学是物理学中一个重要的分支，研究物体在空间中的运动规律。
通过分析刚体的运动，我们可以揭示物体在空间中的位置、速度和加速度等关键信息。
本文将介绍刚体运动学的基本原理和公式，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。
一、刚体的定义与特性刚体是指在运动过程中形状和大小不发生变化的物体。
与之相对，我们称之为非刚体的物体在运动过程中可能发生形变。
刚体的特性包括质量、形状、大小和位置等。
在刚体运动学中，我们主要关注刚体的位置、速度和加速度等运动参数。
二、刚体的运动描述为了描述刚体在运动中的位置和运动状态，我们引入了坐标系和参考点的概念。
坐标系用于确定刚体的位置，而参考点则是确定刚体位置的基准点。
在刚体运动学中，我们通常使用笛卡尔坐标系来描述刚体的运动。
通过选择合适的参考点，我们可以确定刚体的位置矢量。
三、刚体的位移、速度和加速度刚体的位移是指刚体在运动过程中，由一个位置变换到另一个位置的变化量。
刚体的速度是指刚体在单位时间内所发生的位移。
刚体的加速度是指刚体速度的变化率，即单位时间内速度的变化量。
在刚体运动学中，我们可以通过求导数的方法来计算刚体的速度和加速度。
四、刚体运动的基本公式刚体运动学中有一些基本的公式，可以帮助我们计算刚体的运动参数。
其中，最基本的公式是位移公式，即s = v * t，其中s表示位移，v表示速度，t表示时间。
通过这个公式，我们可以计算刚体在给定时间内的位移量。
另外，我们还可以使用速度公式和加速度公式来计算刚体的速度和加速度。
五、刚体运动的特殊情况在刚体运动学中，存在一些特殊的情况，需要特别注意。
例如，当刚体做匀速直线运动时，速度和加速度都是常量。
当刚体做匀加速直线运动时，速度是随时间线性增加的，而加速度是常量。
此外，当刚体做曲线运动时，速度和加速度的方向可能随时间变化。
六、刚体运动学的应用刚体运动学在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在机械工程中，我们可以利用刚体运动学的原理来设计机械装置和机器人。
理论力学--运动学总结
速度瞬心位置的确定总结
瞬时平动
几点注意 1、基点法是速度分析的基本方法；
2、速度投影法 应用起来简单，但必须知道待求速度 点的方位，致命的弱点—是不能求图形的角速度 2、当平面几何简单时，分析速度可采用瞬心法； 瞬心法既可以求某点的速度，也可以求刚体运动 的角速度； 4、确定速度瞬心的速度是该点的绝对运动速度； 5、具体分析时三种方法灵活运用；
（1）刚体的基本运动 平动
v A vB
aA aB
各点的轨迹相同；
可简化为一个点的运动。
定轴转动
v R
a R
an R 2
轮系的传动比：
1 n1 R1 Z 2 i12 2 n2 R2 Z1
各处不打滑时： 接触点有相同的线速度和相同的切向加速度。
（2）刚体的平面运动 1. 定义 任一点到某固定平面的距离保持不变。
B点的加速度分析
D
C
a a 2 a a 2 ae 2 ar 2
n
aa 2 ae 2
O1
30°
ar 2
B
aa 2cos60 aa2cos30 ae 2
n
aa 2
1
30° O2
n
A
a a2 O2 B 2
n 2 aa2 O2 B2
ae2 657mm/ s
2
三、刚体的运动
va=v
vCA
动点：滑块C 动系：固结于AE
u=vA
vr
vC' A
ωAE
分析三种运动
牵连运动：刚体的平面运动
牵连转动
va ( vA vCA ) vr
va cos vCA v A sin
刚体基本运动.ppt
1
运动学
第七章 刚体的简单运动
刚体是由无数的点构成的。本章将研究刚体 的两种简单的运动 — 平移和定轴转动。这 是工程中最常见的运动，也是研究刚体复杂 运动的基础。
§7-1 刚体的平行移动(平移)
由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺 寸大小,又由于刚体是几何形状不变体,所以研究它在空间的 位置就不必一个点一个点地确定,只要根据刚体的各种运动 形式,确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。
（2）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度 a 的方
向与半径间的夹角 都相同。
速度分布图
加速度分布图 16
运动学
例 题 7-2
第七章ห้องสมุดไป่ตู้刚体的简单运动
M O αω
A
滑轮的半径r=0.2 m，可绕 水平轴O转动，轮缘上缠有不可 伸长的细绳，绳的一端挂有物体 A（如图），已知滑轮绕轴O的
转动规律=0.15t3 ，其中t以s计， 以rad计，试求t=2 s时轮缘上M
工程中常用单位还有 n 转/分(r / min)
n与w 的关系为:
w 2πn πn
60 30
11
运动学
第七章 刚体的简单运动
角加速度:
lim
t 0
w
t
dw
dt
d 2
dt 2
单位: rad/s2
如果与w 同号，则为加速转动, 反之则为减速转动
下面讨论两种特殊情况。
（1）匀速转动
当w =常数,为匀速转动时。有 = 0+ w t
6
运动学
第七章 刚体的简单运动
例 题 7- 1
解：
O1 φl
A O
（+）
运动学
第七章 刚体的简单运动
刚体是由无数的点构成的。本章将研究刚体 的两种简单的运动 — 平移和定轴转动。这 是工程中最常见的运动，也是研究刚体复杂 运动的基础。
§7-1 刚体的平行移动(平移)
由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺 寸大小,又由于刚体是几何形状不变体,所以研究它在空间的 位置就不必一个点一个点地确定,只要根据刚体的各种运动 形式,确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。
（2）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度 a 的方
向与半径间的夹角 都相同。
速度分布图
加速度分布图 16
运动学
例 题 7-2
第七章ห้องสมุดไป่ตู้刚体的简单运动
M O αω
A
滑轮的半径r=0.2 m，可绕 水平轴O转动，轮缘上缠有不可 伸长的细绳，绳的一端挂有物体 A（如图），已知滑轮绕轴O的
转动规律=0.15t3 ，其中t以s计， 以rad计，试求t=2 s时轮缘上M
工程中常用单位还有 n 转/分(r / min)
n与w 的关系为:
w 2πn πn
60 30
11
运动学
第七章 刚体的简单运动
角加速度:
lim
t 0
w
t
dw
dt
d 2
dt 2
单位: rad/s2
如果与w 同号，则为加速转动, 反之则为减速转动
下面讨论两种特殊情况。
（1）匀速转动
当w =常数,为匀速转动时。有 = 0+ w t
6
运动学
第七章 刚体的简单运动
例 题 7- 1
解：
O1 φl
A O
（+）
刚体运动的基本原理
刚体运动的基本原理刚体运动是物体在空间中做整体性的运动，不发生形变的运动。
刚体运动的基本原理可以通过以下几个方面来解释：一、质点的运动质点可以看作是质量无限大的一个点，它不发生形变，仅产生平移运动。
质点的平移运动可以用牛顿第一定律来描述，即物体在不受外力作用时将保持静止或者匀速直线运动。
这是因为质点不受力的影响，所以它的速度和位置都不会改变。
二、刚体的自由度刚体在空间中的运动由其自由度决定。
自由度是指刚体能够独立运动的最小数量。
对于一个刚体而言，它的自由度取决于它的维度。
在三维空间中，一个刚体有6个自由度，分别为三个平移自由度和三个转动自由度。
三、刚体的平移运动刚体的平移运动是指它在空间中沿着直线运动，整体上保持不变。
刚体的平移运动可以由质点的运动来描述。
当一个刚体受到一个外力时，该外力会作用在刚体的重心上，使得刚体产生平移运动。
刚体的平移加速度与作用在刚体上的合力成正比，与刚体的质量成反比。
四、刚体的转动运动刚体的转动运动是指它在空间中绕轴线旋转，整体上保持不变。
刚体的转动运动可以由刚体的转动惯量来描述。
转动惯量是刚体旋转惯性的量度，与刚体的质量分布以及轴线的位置有关。
当一个刚体受到一个力矩时，该力矩会使刚体产生转动运动。
刚体的转动加速度与作用在刚体上的合力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
五、刚体的复合运动刚体可以进行平移和转动的复合运动。
当一个刚体受到既有平移又有转动的外力时，刚体既会发生平移运动，也会发生转动运动。
刚体的平移和转动是相互独立的，但它们会同时发生。
六、刚体碰撞的基本原理当两个刚体碰撞时，根据动量守恒定律和动能守恒定律，可以得到碰撞前后刚体的动量和动能之间的关系。
在完全弹性碰撞中，刚体在碰撞过程中既满足动量守恒定律，也满足动能守恒定律。
在非完全弹性碰撞中，刚体在碰撞过程中会发生能量损失，动能不守恒。
总结：刚体运动的基本原理包括质点的运动、刚体的自由度、刚体的平移和转动运动，以及刚体碰撞的原理。
动力学(运动方程)
附录 A 变矢量及矢量 附录 B 物体的质量几何 附录 C 若干均质刚体的转动惯量及
回转半径 习题参考答案
绪论
一、动力学的研究对象 二、学习动力学的目的 三、动力学的研究方法
返回总目录
-1-
绪论
一、动力学的研究对象
动力学是研究物体机械运动一般规律的一门学科。 按照辩证唯物主义的观点，运动是物质存在的形式，是物质的固有属性，它包括宇宙中 发的一切现象和过程——从简单的位置变化直到人的思维活动。机械运动则是所有运动形式 最简单的一种，指的是物体在空间的位置随时间的变化。例如，车辆的行驶，机器的运转 水 的流动，人造卫星和宇宙飞船的运行，建筑物的振动，等等，都是机械运动。 平衡（例如物体相对于地球处于静止的状态）是机械运动的特殊情形 ，自然可由动力 学的理论得出解答。但由于平衡问题的研究有广泛的独立应用，现已成为一门单独的学科— —静力学，故本书不作论述。 动力学研究的内容是远小于光速的宏观物体的机械运动，它以伽利略和牛顿总结的基本 定律为基础，属于古典力学的范畴。至于速度接近于光速的物体和基本粒子的运动，则必须 用相对论和量子力学的观点才能完善地予以解释。这固然说明古典力学有局限性，但是，经 过长期的实践证明，不仅在一般工程中，就是在一些尖端科学技术（如火箭、宇宙航行等） 中所考察的物体都是宏观物体，运动速度也都远远小于光速，用古典力学来解决，不仅方便 而且能够保证足够的精确性，所以古典力学至今仍有很大的实用意义，并且还在不断地发展。 研究物体机械运动的普遍规律涉及到物体运动的变化，作用于物体的力以及物体的质量 等，因此，动力学问题比静力学问题更为复杂。为便于“循序渐进，由浅入深”地学习，本 第一章至第五章介绍了运动学的知识，具体内容包括点和刚体在空间的位置的确定以及位 随时间变化的规律；点的运动轨迹；点和刚体运动的速度、加速度等。从第六章起再进一步 研究物体的运动的变化与作用在物体上的力之间的关系，从而建立物体机械运动的普遍规 律。
回转半径 习题参考答案
绪论
一、动力学的研究对象 二、学习动力学的目的 三、动力学的研究方法
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绪论
一、动力学的研究对象
动力学是研究物体机械运动一般规律的一门学科。 按照辩证唯物主义的观点，运动是物质存在的形式，是物质的固有属性，它包括宇宙中 发的一切现象和过程——从简单的位置变化直到人的思维活动。机械运动则是所有运动形式 最简单的一种，指的是物体在空间的位置随时间的变化。例如，车辆的行驶，机器的运转 水 的流动，人造卫星和宇宙飞船的运行，建筑物的振动，等等，都是机械运动。 平衡（例如物体相对于地球处于静止的状态）是机械运动的特殊情形 ，自然可由动力 学的理论得出解答。但由于平衡问题的研究有广泛的独立应用，现已成为一门单独的学科— —静力学，故本书不作论述。 动力学研究的内容是远小于光速的宏观物体的机械运动，它以伽利略和牛顿总结的基本 定律为基础，属于古典力学的范畴。至于速度接近于光速的物体和基本粒子的运动，则必须 用相对论和量子力学的观点才能完善地予以解释。这固然说明古典力学有局限性，但是，经 过长期的实践证明，不仅在一般工程中，就是在一些尖端科学技术（如火箭、宇宙航行等） 中所考察的物体都是宏观物体，运动速度也都远远小于光速，用古典力学来解决，不仅方便 而且能够保证足够的精确性，所以古典力学至今仍有很大的实用意义，并且还在不断地发展。 研究物体机械运动的普遍规律涉及到物体运动的变化，作用于物体的力以及物体的质量 等，因此，动力学问题比静力学问题更为复杂。为便于“循序渐进，由浅入深”地学习，本 第一章至第五章介绍了运动学的知识，具体内容包括点和刚体在空间的位置的确定以及位 随时间变化的规律；点的运动轨迹；点和刚体运动的速度、加速度等。从第六章起再进一步 研究物体的运动的变化与作用在物体上的力之间的关系，从而建立物体机械运动的普遍规 律。
刚体运动的基本原理与动力学分析
刚体运动的基本原理与动力学分析刚体运动是物理学中的重要概念，研究刚体的基本原理和动力学分析对于理解力学运动规律具有重要意义。
本文将从刚体的定义、刚体运动的基本原理，以及刚体的动力学分析等方面展开论述。
一、刚体的定义刚体是指在力的作用下，保持形状和体积不变的物体。
刚体的特点是不易变形，内部各点之间的相对位置保持不变。
二、刚体运动的基本原理1. 平动和转动刚体运动可以分为平动和转动两种形式。
平动是指刚体上所有点按照相同方向和相同距离运动，转动是指刚体绕着某个轴旋转。
2. 受力和力矩刚体的运动受到外力的作用，外力可以分为接触力和非接触力。
接触力是指物体之间直接接触施加的力，非接触力是指物体间通过场的相互作用施加的力，如重力和电磁力等。
另外，刚体的转动还受到力矩的影响。
力矩是由作用力与力臂的乘积，用来描述力对刚体的转动效果。
力矩的方向由右手定则确定，大小等于力的大小与力臂的长度之积。
3. 刚体的运动学方程刚体的运动学方程描述了刚体在运动过程中各个部分的位置、速度和加速度之间的关系。
根据牛顿第二定律和运动学关系可以得到刚体的运动学方程。
三、刚体的动力学分析1. 平动的动力学分析刚体的平动运动可以通过牛顿第二定律进行动力学分析。
根据牛顿第二定律可知，刚体所受的合外力等于刚体的质量与加速度的乘积。
2. 转动的动力学分析刚体的转动运动需要通过力矩和转动惯量进行动力学分析。
根据牛顿第二定律可知，刚体所受的合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积。
此外，刚体的角动量和动能也是进行动力学分析的重要物理量。
角动量等于刚体的转动惯量与角速度的乘积，动能等于刚体的转动惯量与角速度的平方的乘积的一半。
四、刚体运动的应用刚体运动的研究在工程、医学等领域有广泛应用。
例如在机械工程中，对机械零件的运动进行分析可以用于设计和优化机械结构；在生物医学中，对人体骨骼系统的运动学和动力学分析可以用于疾病的诊断和康复治疗。
总结：刚体运动的基本原理和动力学分析是研究力学运动规律中的重要内容。
理论力学运动学知识点总结
理论力学运动学知识点总结第一篇：理论力学运动学知识点总结运动学重要知识点一、刚体的简单运动知识点总结1.刚体运动的最简单形式为平行移动和绕定轴转动。
2.刚体平行移动。
·刚体内任一直线段在运动过程中，始终与它的最初位置平行，此种运动称为刚体平行移动，或平移。
·刚体作平移时，刚体内各点的轨迹形状完全相同，各点的轨迹可能是直线，也可能是曲线。
·刚体作平移时，在同一瞬时刚体内各点的速度和加速度大小、方向都相同。
3.刚体绕定轴转动。
• 刚体运动时，其中有两点保持不动，此运动称为刚体绕定轴转动，或转动。
• 刚体的转动方程φ=f(t)表示刚体的位置随时间的变化规律。
• 角速度ω表示刚体转动快慢程度和转向，是代数量，以用矢量表示。
，当α与ω。
角速度也可• 角加速度表示角速度对时间的变化率，是代数量，同号时，刚体作匀加速转动；当α 与ω异号时，刚体作匀减速转动。
角加速度也可以用矢量表示。
• 绕定轴转动刚体上点的速度、加速度与角速度、角加速度的关系：。
速度、加速度的代数值为。
• 传动比。
一、点的运动合成知识点总结1.点的绝对运动为点的牵连运动和相对运动的合成结果。
• 绝对运动：动点相对于定参考系的运动；• 相对运动：动点相对于动参考系的运动；• 牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动。
2.点的速度合成定理。
• 绝对速度：动点相对于定参考系运动的速度；• 相对速度：动点相对于动参考系运动的速度；• 牵连速度：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的速度。
3.点的加速度合成定理。
• 绝对加速度：动点相对于定参考系运动的加速度；• 相对加速度：动点相对于动参考系运动的加速度；• 牵连加速度：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的加速度；• 科氏加速度：牵连运动为转动时，牵连运动和相对运动相互影响而出现的一项附加的加速度。
• 当动参考系作平移或 = 0，或与平行时，= 0。
理力练习题12(1)
静力学1-11．图示ACD 杆与BC 杆，在C 点处用光滑铰链连接，A 、B 均为固定铰支座。
若以整体为研究对象，以下四个受力图中哪一个是正确的。
1-15．图示梁AD ，A 端为固定端，B 处由一无重直杆支撑。
以下四图中哪一个是其正确的受力图。
1-17．图示三角梯架，A 为固定铰支座，B 为滚轴支座，C 为铰链。
以下所取研究对象的受力图，哪一个是正确的？2-12. 图示机构中各杆的自重均忽略不计。
其中各杆哪些是二力构件？(A) O A 是二力构件。
(B) A BC 是二力构件。
(C) B E 是二力构件。
(D) C D 是二力构件。
2-2. 以下四个图所示的力三角形，哪一个图表示力矢R 是F 1和F 2两力矢的合力矢量2-3. 以下四个图所示的是一由F 1 、F 2 、F 3 三个力所组成的平面汇交力系的力三角形，哪一个图表示此汇交力系是平衡的2-11. 图示直杆重量不计，两端分别以铰链与一可在光滑的水平和垂直滑槽内滑动的滑块A和B 连接，若在细杆的中点C 作用一力P>0。
下列四图的作用力中，哪一个可使细杆处于平衡？F 1 F 2 R (A)F 1 F 2R (B)F 1 F 2 R (C)F 1 R F 2(D)F 1 F 2 F 3(A)F 1 F 2 F 3 (B)F 1F 2 F 3 (C)F 1 F 2 F 3 (D)点的运动学7-8点沿下图所示的轨迹作减速曲线运动，以下四种它的速度和加速度的组合，哪一种是可能的7-3点沿其轨迹运动时(A) 若aτ ≡ 0、，a n ≠ 0则点作变速曲线运动；(B)若a τ = 常量、a n ≠ 0，则点作匀变速曲线运动； (C) 若a τ ≠ 0、a n ≡ 0，则点作变速曲线运动；若a τ ≠ 0、a n ≡ 0，则点作匀速直线运动。
刚体的基本运动8-7.一直角形杆件绕定轴转动，在图示瞬时其转动的角速度为ω，角加速度为ε，它们的方向如图所示。
刚体的知识点总结
刚体的知识点总结一、刚体的概念刚体是物理学中的一个重要概念，它是指在运动或静止过程中，形状和大小不发生改变的物体。
刚体具有以下特点：1. 刚体的分子结构相对固定，对外力的变形能力非常小。
2. 刚体受到外力作用时，其内部分子之间的相对位置发生微小变化，但整体上保持不变。
3. 刚体在变形后会恢复原状，即使外力作用消失后也会保持所受外力时的状态。
刚体的概念在物理学中有重要的应用，在力学、动力学、静力学等领域都有广泛的应用。
二、刚体的基本性质1. 自由度刚体在运动过程中具有自由度的概念，即刚体在空间中的自由度是指其可以围绕固定坐标系的运动方式。
2. 平移运动刚体在空间中可以进行平移运动，即整个刚体的位置随时间发生变化，但其形状和大小保持不变。
3. 旋转运动刚体在空间中也可以进行旋转运动，即围绕某一固定点或者固定轴进行旋转运动，这种运动称为刚体的自由旋转。
4. 刚体的定点定轴运动刚体在空间中也可以进行以某一固定点为中心或者以某一固定轴为旋转轴的运动，这种运动称为刚体的定点定轴运动。
5. 定点定轴自由度刚体在空间中具有三个定点定轴自由度，即刚体的位置可以变化，且可以绕三个固定轴进行旋转运动。
6. 刚体的平移自由度刚体在空间中具有三个平移自由度，即刚体在空间中可以相对于三个坐标轴进行平移运动。
7. 刚体的旋转自由度刚体在空间中具有三个旋转自由度，即刚体在空间中可以绕三个坐标轴进行旋转运动。
以上是刚体的基本性质，了解这些性质有助于我们在物理学研究中更深入地理解刚体的运动规律。
三、刚体的运动学分析1. 刚体的速度刚体在空间中的运动状态可以用速度来描述，刚体的速度分为线速度和角速度。
线速度是描述刚体中任一点的速度，通常用矢量来表示，可以用向量表示。
角速度则是描述刚体的旋转运动状态，通常用矢量来表示，可以用向量表示。
2. 刚体的加速度刚体在运动中会受到外力的影响，导致其速度发生变化，这种速度变化的率就是刚体的加速度。
刚体力学的基本性质与运动分析
刚体力学的基本性质与运动分析刚体力学是物理学中的一个重要分支，研究物体的运动和力学性质。
它假设物体是刚性的，即不会发生形变。
在刚体力学中，有一些基本性质和运动分析方法，本文将对这些内容进行探讨。
一、刚体的基本性质刚体是指在力的作用下不会发生形变的物体。
它的基本性质有三个：质点性、形状不变性和刚性。
质点性是指刚体可以看作一个质点，即物体的大小和形状对其运动没有影响。
这意味着刚体的运动可以通过描述质心的运动来表示。
形状不变性是指刚体在运动过程中，其形状保持不变。
无论刚体如何运动，其各个部分之间的距离和角度都保持不变。
刚性是指刚体内部各个点之间的相对位置保持不变。
这意味着刚体的任意两点之间的距离和角度在运动过程中保持不变。
二、刚体的运动分析方法在刚体力学中，有几种常用的运动分析方法，包括平动、转动和复合运动。
平动是指刚体的各个部分在同一时间内以相同的速度和方向运动。
在平动中，刚体的质心和各个部分的速度和加速度都相同。
转动是指刚体绕某个轴线旋转。
在转动中，刚体的各个部分围绕轴线旋转，但质心保持静止。
复合运动是指刚体同时进行平动和转动。
在复合运动中，刚体的质心同时进行平动，而各个部分围绕质心旋转。
为了描述刚体的运动，我们可以使用刚体的运动学方程和动力学方程。
运动学方程描述了刚体的位置、速度和加速度之间的关系，而动力学方程描述了刚体的受力和运动之间的关系。
在运动分析中，我们还可以使用刚体的转动惯量和角动量来描述刚体的运动特性。
转动惯量是刚体对转动的惯性度量，它与刚体的质量和形状有关。
角动量是刚体的旋转运动的物理量，它与刚体的转动惯量和角速度有关。
三、刚体力学的应用刚体力学在工程和科学研究中有广泛的应用。
在工程中，刚体力学可以用于分析建筑物和桥梁的结构强度和稳定性。
它还可以用于设计机械装置和运动控制系统。
在科学研究中，刚体力学可以用于研究天体运动和分析地震运动。
它还可以用于研究分子和原子的运动和相互作用。
总之，刚体力学是物理学中的一个重要分支，研究物体的运动和力学性质。
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∧
8
3. 点的加速度
d vy d v d vx d vz a = i+ j+ k = dt dt dt dt d2 x d2 y d2 z i+ j+ k = axi + ay j + azk = 2 2 2 dt dt dt
∴a = a + a + a
2 x 2 y
2 z
ax cos( a , i ) = a
dx = ω (l + a ) sin ωt vx = dt dy vy = = ω (l a ) cos ωt dt
11
速度的大小为
2 2 v = vx + vy =ω (l + a)2 sin2 ωt + (l a)2 cos2 ωt =ω l 2 + a2 2alcos2ωt
速度的方向余弦为
22
点的运动学问题一般解题步骤为： 点的运动学问题一般解题步骤为： 1)．根据题意，确定研究对象，并将其抽象为动点； 2)．分析动点的运动情况，并根据其特点选择恰当的解题方 法。当动点轨迹可按题意直接确定时，采用自然坐标法；当动 点轨迹不可确定时，采用直角坐标法； 3)．在具体求解时，常会遇到两种情况：一种是运动方程、 速度、加速度都是待求的未知参数，此时应先按题意建立运动 方程，可将动点的坐标用时间t表出，一但运动方程已建立，就 可用函数求导的方法按速度、加速度与运动方程之间的关系求 出其速度、加速度；另一种是已知动点的加速度或速度，要求 出动点的运动方程，此时可根据运动方程、速度、加速度之间 的关系，通过积分的方法来确定。
16
由图可知
| τ |=| τ' τ |= 2 | τ | sin = 2 sin 2 2 当 t → 0时，s → 0， → sin 2 2
| τ |= 1，于是， τ ≈
τ ∴ lim | |= lim t→0 s t→0 2 sin sin 2 = lim ( 2 ) = d = 1 t→0 s s ds ρ 2 2
12
加速度的大小为
2 2 2 2 a = ax +ay =ω2 (l +a)2 cosωt +(l a)2 sin ωt
=ω2 l2 +a2 +2alcos ωt 2
加速度的方向余弦为
ax l + a） ω t （ cos cos(a，i) = = a l 2 + a 2 + 2al cos 2ω t ay l a） ω t （ sin cos(a，j) = = a l 2 + a 2 + 2al cos 2ω t
AB的中点由铰链连接，规尺两端A、B可分别沿互相垂直的两 直槽滑动。已知OC的转角为 、速度和加速度。 解 首先建立M点的运动方程，为
= ωt，ω
常量，OC＝AC＝BC
＝l，CM＝a，如图所示。试求规尺上M点的运动方程、轨迹
此，取直角坐标系Oxy ， 如图所示。 任一瞬时动点的位置可用x、y表示为
19
vx cos(v，i ) = = sin 2ω t v vy cos(v，j ) = = cos 2ω t v
弧坐标法： 弧坐标法 动点M的运动轨迹是圆弧，在轨迹上取水平直径的端点O2 为弧坐标的原点，并规定O2点的上方为正，则任一瞬时动点M 的位置可用弧坐标S表示，显然
s = Rθ = 2 R = 2 Rωt
ρ
= 4 Rω 2
21
[例3] 动点A沿图示作匀加速度圆周运动。已知圆周半径为பைடு நூலகம்例 R，初速度为零。若点的全加速度与切线间的夹角为 α ，并 以
β 角表示点走过的圆弧S所对应的圆心角，
试证明：tg α = 2 β 。 证明：设动点A自原点A0沿圆弧运动。 证明 由题意知：
1 2 ∵ S = aτ t ，V = aτ t； 2 V 2 (aτ t ) 2 2S ∴ an = = = aτ R R R an 2S 2 Rβ tg α = = = = 2β aτ R R
14
自然轴系 2.点的速度 点的速度
r r S v = lim = lim ( ) t→ 0 t t → 0 S t S r dS dr = lim lim = t→ 0 t t→ 0 S dt dS dS = τ = vτ 15 dt
3.点的加速度
① 切向加速度 aτ ——表示速度大小的变化 ② 法向加速度
dv v 即n= a n， a = aτ + an = ∴ τ+ n ρ dt ρ |aτ | 2 2 a= aτ +an , α=arctg an 17
v2
[例2] 如图所示，固定圆圈的半径为R，摇杆O1A绕O1轴以匀 例 角速度 摇杆和圆圈上。运动开始时， 速度和加速度。 直角坐标法： 解 直角坐标法
6
一、矢量法
1.点的运动方程 .
r = OM = r (t )
3.点的速度 3.点的速度
r dr v = lim = = r t→ 0 t dt
3.点的加速度
v dv d 2 r a = lim = = =r 2 t→0 t dt dt
7
二、直角坐标法
1.点的运动方程 1.点的运动方程
x = R cos 2ωt y = R sin 2ωt
18
将运动方程分别对时间求一阶导数和二阶导数，分别 可得速度和加速度在直角坐标轴上的投影：
dx = 2 Rω sin 2ωt dt dy vy = = 2 Rω cos 2ωt dt 速度的大小为 vx =
2 2 v = vx + vy = 2Rω
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刚体的简单运动
[例] 是指刚体的平行 移动和定轴转动。 移动和定轴转动。
简单运动
刚体的平行移动和定轴转动是刚体最简单的两种运动形式， 也是研究复杂运动的基础。下面，我们首先研究刚体的平行移 动，然后再讨论刚体的定轴转动。
24
§11.2
刚体的平行移动
由于研究对象是刚体，所以运动中要考虑其本身形状和尺 寸大小，又由于刚体是几何形状不变体，所以研究它在空间的 位置就不必一个点一个点地确定，只要根据刚体的各种运动形 式，确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。
OB作定轴转动，CD作平动 作定轴转动，
AB、凸轮均作平动
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[例]
AB在运动中方向和大小始 终不变。 它的轨迹
可以是直线 可以是曲线
一.刚体平动的定义 刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持方向不变。 由A、B 两点的运动方程式 rA = rA( t), rB = rB (t) 而
r B = r A + r AB
d rB d d rA d rAB ∴ vB = = ( rA + rAB ) = = v A (∵ = 0) dt dt dt dt d 2 rB d2 d 2 rA 同理 : a B = = 2 ( rA + rAB ) = = aA 2 2 dt dt dt
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二.刚体平动的特点 刚体平动时，在同一瞬时，刚体上各点的速度相同，各点 的加速度也相同。因此，研究刚体的平动时，只需分析刚体上 任意一点的运动，即可确定刚体上其余各点的运动状态。 即：平动刚体的运动，可以简化为一个点的运动。 平动刚体的运动，可以简化为一个点的运动。 [例1] 荡木用两条等长的钢索平 例 行吊起，如图所示。钢索长为l， O1O2＝AB。当荡木摆动时，钢索 的摆动规律为 = 0 sin π t ，其 4 中t 为时间。试求荡木中点M的速 度、加速度的表达式。
这就是小环M以弧坐标表示的运动方程。 将弧坐标表示的运动方程分别对时间求一阶和二阶导数， 可得速度与切向加速度的大小为
ds v= = 2 Rω dt d2 s aτ = 2 = 0 dt
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因为切向加速度等于零，故全加速度即为法向加速度，其 大小为：
an =
v
2
即，速度的大小为 2 Rω ，方向与 τ 相同(与矢径 r 垂直)。 加速度大小为 4 Rω 2 ，方向指向圆心(与矢径r反向)。 以上两种方法求得的结果完全相同。由于运动轨迹已知， 因而用自然法求解显然更加方便。
vx l + a） ω t （ sin cos(v，i ) = = v l 2 + a 2 2al cos 2ω t vy （l a） ω t cos cos(v，j ) = = v l 2 + a 2 2al cos 2ω t M点的加速度在坐标轴上的投影为
d vx ax = = ω 2 (l + a ) cos ωt dt d vy ay = = ω 2 (l a) sin ωt dt
ω 转动， = ωt 。轴固定在圆周上，小环M同时套在
= 0 ，摇杆O1A在水平位置。试
分别用直角坐标法和自然法写出小环M的运动方程，并求出其
以圆心O为原点建立直角坐标系， O 如图所示。任一瞬时动点M的位置 用坐标 x、y表示。由于 圆心角
= ωt，而
θ = 2 = 2ωt ，于是以直角
坐标表示的小环M的运动方程为
dv d dv d τ d2 s dτ a= = (vτ ) = τ + v = 2 τ+ v dt dt dt dt dt dt
dv d2 s aτ = τ = 2 τ dt dt
a n ——表示速度方向的变化
an = v τ τ s dτ = v lim = v lim ( ) t →0 t t →0 s t dt τ = v 2 lim t →0 s s d s (lim = = v) t →0 t dt
1
目
录
第11章 11章 第12章 12章 第13章 13章
点的运动学和刚体的基本运动 点的合成运动 刚体的平面运动
2