专题讲座一范围与最值问题

中考复习专题——最值问题最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，“最值”问题大都归于两类基本模型：Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为五种情况：（1）连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； （2）归于“两点之间的连线中，线段最短”。

凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。

（3）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。

(4) 定圆中的所有弦中，直径最长。

(5)点到圆的最短及最长距离典型例题分析：一、一次函数类型例1．（2014河南省，21，10分）某商店销售10台A 型和20台B 型电脑的利润为4000元，销售20台A 型和10台B 型电脑的利润为3500元. （1）求每台A 型电脑和B 型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍.设购进A 型电脑x 台，这100台电脑的销售总利润为y 元.①求y 关于x 的函数关系式；②该商店购进A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A 型电脑出厂价下调m （0<m <100）元，且限定商店最多购进A 型电脑70台. 若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案. 【答案】解：（1）设每台A 型电脑的销售利润为a 元，每台B 型电脑的销售利润为b 元，则有10204000,20103500.a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得100,150.a b =⎧⎨=⎩即每台A 型电脑的销售利润为100元，每台B 型电脑的销售利润为150元.…………………………………4分 （2）①根据题意得 100150(100y x x =+-，即5015000y x =-+. …………5分②根据题意得 100x -≤2x ，解得x ≥1333.∵5015000y x =-+中，500-<，∴y 随x 的增大而减小. ∵x 为正整数，∴当34x =时，y 取得最大值，此时10066x -=.即商店购进A 型电脑34台，B 型电脑66台，才能使销售总利润最大. …7分 （3）根据题意得 (100)150(100)y m x x =++-，即(50)15000y m x =-+.1333≤x ≤70. ①当050m <<时，500m -<，y 随x 的增大而减小.∴当x =34时，y 取得最大值.即商店购进34台A 型电脑和66台B 型电脑才能获得最大利润；………8分 ②当50m =时，500m -=，15000y =.即商店购进A 型电脑数量满足133703x ≤≤的整数时，均获得最大利润；……………………………………………9分③当50100m <<时，500m ->，y 随x 的增大而增大.∴70x =时，y 取得最大值.即商店购进70台A 型电脑和30台B 型电脑才能获得最大利润. ……10分变式1．（2013贵州黔东南，23，12）某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y （个）与甲品牌文具盒的数量x （个）之间的函数关系如图所示．当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元．（1）根据图像，求y 与x 之问的函数关系式； （2）求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价； （3）若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元．问该超市有几种进货方案？哪种方案能使获利最大？最大获利为多少元？【答案】（1）解：由图像可设y 与x 之问的函数关系式为y =kx ＋b ，因为点（50,250），（200,100），∴50250200100k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1300k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 之问的函数关系式为y =－x ＋300；（2）设甲品牌的文具盒进货单价为m 元，则乙品牌的文具盒进货单价为2m 元，∵当x =120时，y =180，∴120m ＋180×2m =7200，解得m =15，2m =30，答：甲品牌的文具盒进货单价为15元，乙品牌的文具盒进货单价为30元；（3）设甲进a 个，乙进（－a +300）个，根据题意得()()153********493001795a a a a +-+⎧⎪⎨+-+⎪⎩≤≥，解得180≤a ≤181，∴整数a ,=180或181，∴该超市有两种种进货方案：方案①甲进180个，乙进120个；方案②甲进181个，乙进119个，∵总获利w = 4a ＋9（－a +300）=2700−5a ，∵−5＜0，∴w 随着a 增大而减小，故a =180时w 最大，w 最大=2700−5×180=1800元．答：方案①获利最大，最大获利为1800元．变式2（2013年许昌市第二次模拟考试21）.某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息: 信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是50元；信息2：甲商品零售单价比进货单价多10元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少10元． 信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了190元．请根据以上信息，解答下列问题： （1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?（2）该商店平均每天卖出甲商品50件和乙商品30件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降1元，这两种商品每天可各多销售10件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m 元. 在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？答案. 解：（1）设甲商品的进货单价是x 元，乙商品的进货单价是y 元．根据题意，得{50190)102(2)10(3=+=-++y x y x解得{2030==x y答：甲商品的进货单价是20元，乙商品的进货单价是30元．（2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s 元，则715)5.5(20110022020)1030)(20()1050)(10(22+--=++-=+-++-=m m m m m m m s∴当m =5.5时，s 有最大值，最大值为715．答：当m 定为5.5时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是715元．二、二次函数求最值例2（2012四川自贡）正方形ABCD 的边长为1cm ，M 、N 分别是BC ．CD 上两个动点，且始终保持AM ⊥MN ，当BM= cm 时，四边形ABCN 的面积最大，最大面积为 cm 2．【答案】12，58。

第2课时 范围、最值问题【例1】 最小值为3－ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若在x 轴上存在一点E ，使∠AEB ＝90°，求直线l 的斜率k 的取值范围．[解] (1)设椭圆的半焦距长为c ，则由题设有⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，a －c ＝3－2，解得a ＝3，c ＝2，∴b 2＝1，故椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1.(2)由已知可得，以AB 为直径的圆与x 轴有公共点． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点为M (x 0，y 0)，将直线l ：y ＝kx ＋2代入y 23＋x 2＝1，得(3＋k 2)x 2＋4kx ＋1＝0，Δ＝12k 2－12，x 1＋x 2＝－4k 3＋k 2，x 1x 2＝13＋k 2. ∴x 0＝x 1＋x 22＝－2k 3＋k 2，y 0＝kx 0＋2＝63＋k 2， |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 212k 2－123＋k 2＝23k 4－13＋k 2，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝12k 2－12＞0，63＋k 2≤12|AB |，解得k 4≥13， 即k ≥413或k ≤－413.(2019·临沂摸底考试)已知点F 为椭圆E ：x a 2＋y b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同两点A ，B ，若λ|PM |2＝|P A |·|PB |，求实数λ的取值范围．[解] (1)由题意得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 为x 24c 2＋y 23c2＝1.由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝c 2，x 4＋y 2＝1得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.∵直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，∴Δ＝4－4(4－3c 2)＝0⇒c 2＝1，∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得M ⎝⎛⎭⎫1，32，∵直线x 4＋y 2＝1与y 轴交于P (0,2)，∴|PM |2＝54， 当直线l 与x 轴垂直时，|P A |·|PB |＝(2＋3)(2－3)＝1，∴由λ|PM |2＝|P A |·|PB |⇒λ＝45，当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，3x 2＋4y 2－12＝0⇒(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0， 依题意得x 1x 2＝43＋4k2，且Δ＝48(4k 2－1)＞0，∴k 2＞14， ∴|P A |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝54λ， ∴λ＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋4k 2，∵k 2＞14，∴45＜λ＜1，综上所述，λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫45，1.►考法1 【例2】 在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．22[双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋(－1)2＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22.] ►考法2 建立函数关系利用基本不等式或二次函数求最值【例3】 已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．[解] (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1.所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0. 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.►考法3 建立函数关系利用导数求最值问题【例4】 (2017·浙江高考)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．[解] (1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎨⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1).因为|P A |＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1， 所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3，因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎛⎭⎫－1，1上单调递增，⎛⎫1，1上单调递减，因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716.(2019·邢台模拟)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．[解] (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b .由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，①将AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，②由①②得m ＜－63或m ＞63. 故m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－63∪⎝ ⎛⎭⎪⎫63，＋∞. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则t 2∈⎝⎛⎭⎫032.则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12， 且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，等号成立，此时满足t 2∈⎝⎛⎭⎫0，32.故△AOB 面积的最大值为22.(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．[解] (1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1. 因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5. 设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16. 解得⎩⎨⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎨⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.课后限时集训(五十) (建议用时：60分钟) A 组 基础达标1. (2019·泉州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点A 在C 上，若|AO |＝|AF |＝32.(1)求C 的方程；(2)设直线l 与C 交于P ，Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值．[解] (1)∵点A 在抛物线C 上，|AO |＝|AF |＝32，∴p 4＋p 2＝32，∴p ＝2，∴C 的方程为x 2＝4y .(2)设直线方程为y ＝kx ＋b ，代入抛物线方程，可得x 2－4kx －4b ＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，∴y 1＋y 2＝4k 2＋2b ， ∵线段PQ 的中点的纵坐标为1，∴2k 2＋b ＝1，△OPQ 的面积S ＝12·b ·16k 2＋16b ＝b 2＋2b ＝2·b 3＋b 2(0＜b ≤1)， 设y ＝b 3＋b 2，y ′＝3b 2＋2b ＞0，故函数单调递增， ∴b ＝1时，△OPQ 的面积的最大值为2.2．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．[解] (1)依题意知F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.①因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.②联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24.所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB .因为2S △AOB ＝2·12·|OF |·|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝41＋m 2， 所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.3．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值．[解] (1)由题意知3a 2＋14b 2＝1，又a 2－b 2a ＝32，解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.①设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1， 又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2.①则有x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k 2＝t . 将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.② 由①②可知0＜t ≤1，因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t .故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由①知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.B 组 能力提升 1．(2019·南昌市调研测试卷)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且过点(2，－2)．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆焦点的直线l 与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范围．[解] (1)椭圆C ：y 2a 2＋x2b 2＝1(a >b >0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0,2)，2a ＝2＋0＋2＋(2＋2)2＝42，所以a ＝22，b ＝2，即椭圆C 的方程是y 28＋x 24＝1.(2)若直线l 垂直于x 轴，则点E (0,22)，F (0，－22)，OE →·OF →＝－8. 若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋2， 点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，将直线l 的方程代入椭圆C 的方程得到(2＋k 2)x 2＋4kx －4＝0，则x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，x 1x 2＝－42＋k 2， 所以OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ＝－4－4k 22＋k 2＋－8k 22＋k 2＋4＝202＋k 2－8， 因为0<202＋k2≤10，所以－8<OE →·OF →≤2， 综上所述，OE →·OF →的取值范围是[－8,2]．2．(2019·南宁模拟)已知点P (0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的左右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.(1)求E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于MN 以为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围．[解] (1)由题意题意△ABP 是等腰直角三角形，a ＝2，B (2,0)，设Q (x 0，y 0)，由PQ →＝32QB →，则⎩⎨⎧x 0＝65，y 0＝－45，代入椭圆方程，解得b 2＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在，方程为y ＝kx －2，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0， 由直线l 与E 有两个不同的交点，则Δ＞0，即(－16k )2－4×12×(1＋4k 2)＞0，解得k 2＞34，由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2，由坐标原点O 位于MN 为直径的圆外， 则OM →·ON →＞0，即x 1x 2＋y 1y 2＞0，则x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2)＝(1＋k 2)x 1x 2－2k ×(x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)121＋4k 2－2k ×16k 1＋4k2＋4＞0，解得k 2＜4， 综上可知：34＜k 2＜4，解得32＜k ＜2或－2＜k ＜－32，∴直线l 斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 3．已知椭圆的中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．(1)若ED →＝6DF →，求k 的值；(2)求四边形AEBF 面积的最大值．[解] (1)由题设条件可得，椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB 的方程为x ＋2y －2＝0.设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＝4，解得x 2＝－x 1＝21＋4k 2.① 由ED →＝6DF →，得(x 0－x 1，k (x 0－x 1))＝6(x 2－x 0，k (x 2－x 0))，即x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，∴x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2.由D 在AB 上，得x 0＋2kx 0－2＝0，∴x 0＝21＋2k.∴21＋2k ＝1071＋4k2，化简，得24k 2－25k ＋6＝0， 解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式可知，点E ，F 到AB 的距离分别为d 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2(1＋2k ＋1＋4k 2)5(1＋4k 2)，d 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2(1＋2k －1＋4k 2)5(1＋4k 2)， 又|AB |＝22＋12＝5，∴四边形AEBF 的面积为S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝12×5×4(1＋2k )5(1＋4k 2)＝2(1＋2k )1＋4k2＝21＋4k 2＋4k1＋4k 2＝21＋4k1＋4k 2＝21＋44k ＋1k ≤21＋424k ·1k＝22，当且仅当4k ＝1k (k >0)，即k ＝12时，等号成立． 故四边形AEBF 面积的最大值为2 2.第2课时范围、最值问题【例1】(C上的点到一个焦点的距离的最小值为3－ 2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若在x轴上存在一点E，使∠AEB＝90°，求直线l的斜率k的取值范围．(2019·临沂摸底考试)已知点F 为椭圆E ：x a 2＋y b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同两点A ，B ，若λ|PM |2＝|P A |·|PB |，求实数λ的取值范围．►考法1 【例2】 在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．►考法2 建立函数关系利用基本不等式或二次函数求最值【例3】 已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．►考法3 建立函数关系利用导数求最值问题【例4】 (·浙江高考)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．(2019·邢台模拟)已知椭圆x22＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋12对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．(全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．课后限时集训(五十)(建议用时：60分钟)A 组 基础达标1. (2019·泉州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点A 在C 上，若|AO |＝|AF |＝32.(1)求C 的方程；(2)设直线l 与C 交于P ，Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值．2．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．3．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值．B 组 能力提升 1．(2019·南昌市调研测试卷)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且过点(2，－2)． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆焦点的直线l 与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范围．2．(2019·南宁模拟)已知点P (0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的左右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.(1)求E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于MN 以为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围．3．已知椭圆的中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．(1)若ED →＝6DF →，求k 的值；(2)求四边形AEBF 面积的最大值．。