选修1-1课件：3.1.3 导数的几何意义

本 答案 曲线 f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是
专 题
切点，只要求出 k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；
栏 目
而曲线 f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定
开 关
在曲线上，
即使在曲线上也不一定是切点.
填一填 研一研 练一练
研一研·问题探究、课堂更高效
∴y′|x＝1＝2.
∴曲线在点 P(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝2x－1.
3.1.3
填一填 研一研 练一练
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3.1.3
(2)点 P(3,5)不在曲线 y＝x2 上，设切点为(x0，y0)
由(1)知，y′| xx0 ＝2x0， ∴切线方程为 y－y0＝2x0(x－x0)，
从图中可以看出，直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度，这 说明曲线 h(t)在 t1 附近比在 t2 附近下降得缓慢.
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3.1.3
填一填 研一研 练一练
小结 导数与函数图象升降的关系：
若函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数存在且 f′(x0)>0(即切线的斜
本 由 P(3,5)在所求直线上得 5－y0＝2x0(3－x0)
①
专
题 栏
再由 A(x0，y0)在曲线 y＝x2 上得 y0＝x02
②
目 开
联立①，②得，x0＝1 或 x0＝5.
关 从而切点 A 的坐标为(1,1)或(5,25)
当切点为(1,1)时，
切线的斜率为 k1＝2x0＝2， 此时切线方程为 y－1＝2(x－1)，
＝0，则

第三章 §3.1 导 数
3.1.3 导数的几何意义
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
解析 设点 P(x0,2x20＋4x0)，
则 f′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2Δx2＋4Δx0x·Δx＋4Δx＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即 k＝
线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在 切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
∴x0＝2，∴P(2,8＋a). 将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图象中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
f2－f1 跟踪训练 4 (1)已知函数 f(x)在 R 上可导，其部分图象如图所示，设
2－1
＝a，则下列不等式正确的是
则12a－23a·|a3|＝16， 解得a＝±1.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
求切线倾斜角的范围
典例 已知点 P 在曲线 y＝x3－x＋32上，直线 l 为曲线在 P 点处的切线，求直 线 l 的倾斜角的取值范围.

1-x03=3x02(1-x0)，即2x03-3x02+1=0，解得x0=1或
x0=- 1 .
2 3 故所求的切线方程为y-1=3(x-1)或y-1= 4
(x-1)，
即3x-y-2=0或3x-4y+1=0.
题目类型二、求切点的坐标
【技法点拨】
求切点坐标的五个步骤
(1)先设切点坐标(x0,y0)； (2)求导函数f′(x)； (3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)点(x0,y0)在曲线f(x)上，将(x0,y0)代入求y0得切点坐标.
【典例训练】 1.曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1， 则点P0的坐标为( ) （A）（1，0） （C）（2，8） （B）（1，0）和（-1，-4） （D）（2，8）和（-1，-4）
这个概念:（1）提供了求曲线上某点切线的斜率的
一种方法；（2）说明了切线斜率的本质——函数在
x=x0处的导数.
2.“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、 “导数”之间的区别与联系 （1）区别 ①函数在一点处的导数，就是在该点附近的函数 值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是 一个常数，不是变量. ②函数的导数，是对某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数f′(x).
y x
y =tanβ.显然， x 是割线PQ的斜
率.我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,
割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲
线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0
时,割线PQ的斜率称为曲线在点P处ห้องสมุดไป่ตู้切线的斜率.

ห้องสมุดไป่ตู้
例3:证明:(1)可导的偶函数的导函数为奇函数; (2)可导的奇函数的导函数为偶函数. 证:(1)设偶函数f(x),则有f(-x)=f(x).
f ( x x ) f ( x ) 函 数y f ( x )可 导, lim f ( x ). x 0 x f ( x x ) f ( x ) f ( x x ) f ( x ) f ( x ) lim lim x 0 x 0 x x f ( x x ) f ( x ) lim f ( x ). x 0 x
3
P
y |x2 22 4.
x
-2 -1
即点P处的切线的斜率等于4.
O -1 -2
1
2
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
例2:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:
(1) lim
x 0
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x0 h) f ( x0 h) ; ( 2) lim . h 0 x 2h
导数的概念
3.1 导数的几何意义
1.曲线的切线 如图,曲线C是函数y=f(x) y 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+Δ x,y0+Δ y) 为P邻近一点,PQ为C的割线, PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的 倾斜角. 则 : MP x , MQ y, O y tan . x y 表明： 就是割线的斜率 . x
1
y
M
求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤:先利用切线斜率 的定义求出切线的斜率,然后 利用点斜式求切线方程.

(2)两者的联系：在 x＝x0 处的导数 f′(x0)是导函数 f′(x) 在 x＝x0 处的函数值，因此求函数在某一点处的导数.
课堂互动
1.导数几何意义的理解
例题 1 若函数 y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数 y ＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
【思路探究】 (1)导数的几何意义是什么？(2)y＝f(x)的导 函数在区间[a，b]上是增函数，说明 y＝f(x)图象的切线有什么 特点？
重点难点
重点：导数的几何意义，求曲线上过一点处的切线方程． 难点：“以直代曲”的数学思想方法；以及切线定义的理 解——在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理 解．
教学设计
教学建议
为了更好的完成本节课的教学目标，帮助学生理解本节课 内容，突出重点，突破难点，宜设计了如下的教法和学法：
(1)教学设计：探讨教学法，即教师通过问题→诱导→演示 →讨论→探索结果→归纳总结．
【提示】 点 Pn 趋近于点 P 时，割线 PPn 趋近于过点 P 的 切线 PT.
3．第 2 题图中割线 PPn 的斜率 kn＝fxxnn－－xf0x0，当点 Pn 无 限趋近于点 P 时，此斜率与切线 PT 的斜率有何大小关系？
【提示】 kn 无限趋近于切线 PT 的斜率．
1．设点 P(x0，f(x0))，Pn(xn，f(xn))是曲线 y＝f(x)上不同的点， 当点 Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线 f(x)趋近于点 P(x0，f(x0)) 时，割线 PPn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT 称为 过点 P 的 切线 ，且 PT 的斜率 k＝lixn→m x0 fxxnn－－fxx00＝ f′(x0) ．

∴ΔΔxy＝3x02＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.
lim
Δx→0
ΔΔxy＝3x20＋2ax0－9，
7.导数的几何意义理解的误区 [典例] 已知曲线 y＝2x2－7，求曲线过点 P(3,9)的切线方程．
[随堂即时演练]
1．设 f′(x0)＝0，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线 ( )
A．不存在
B．与 x 轴平行或重合
C．与 x 轴垂直
D．与 x 轴斜交
解析：f′(x0)＝0，说明曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为 0， 所以与 x 轴平行或重合． 答案：B
导数几何意义的综合应用
[例 3] 设函数 f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线 y＝f(x)的 斜率最小的切线与直线 12x＋y＝6 平行，求 a 的值．
[解] ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x30＋ax02－9x0－1) ＝(3x20＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
3．1.3 导数的几何意义))(n＝1,2,3，4，…)，P 的坐标为 (x0，y0)，直线 PT 为在点 P 处的切线．
导函数
[提出问题]
已知函数 f(x)＝－x2＋2.
问题 1：如何求 f′(x0)?
提示：f′(x0)＝Δlixm→0
－x0＋Δx2＋2－－x20＋2 Δx
＝Δlixm→0 (－2x0－Δx)＝－2x0.
问题 2：若 x0 是一变量 x，f′(x)是常量吗？
提示：f′(x)＝－2x，说明 f′(x)不是常量，而是关于 x 的
函数．

点(题型三)，都是导数几何意义的直接应用，即切点处的导数值就
是该切线的斜率．
3．已知曲线 C：y＝x3－3x2＋2x，直线 l：y＝kx，且直线 l 与 曲线 C 相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线 l 的方程及切点坐标．
【解析】直线 l 过原点，则 k＝xy00(x0≠0)，由点(x0，y0)在曲线
自主探究
1．能否认为过曲线上一点 P 的切线有且只有一条并且以这点为 切点？
【答案】这种说法不正确．过曲线上一点的切线可能不止一条， 这点也不一定是切点．如图：l1 与 l2 均是曲线的切线且均过 P 点，但 l1 与曲线的切点并非点 P.
2．f′(x0)与 f′(x)的区别是什么？
【答案】f′(x)是函数 f(x)的导函数，简称导数，是对一个区间 而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与 x0，Δx 无 关；f′(x0)表示的是函数 f(x)在 x＝x0 处的导数，是对一个点而言的， 它是一个确定的值，与给定的函数及 x0 的位置有关，而与 Δx 无关．
题型三 求切点坐标 【例 3】 已知曲线 y＝x2 在点 P 处的切线分别满足下列条件， 求 P 点坐标． (1)平行于直线 y＝4x－5； (2)与 x 轴成 135°的倾斜角．
思路点拨：设切点坐标，根据导数的几何意义求切线斜率，然 后利用两直线平行条件求切点坐标．
【解析】
∵f′(x)＝ lim Δx→0
(1)函数在一点处的导数，就是该点的函数值的改变量与相应 自变量的改变量的比值的极限．它是一个数值，不是一个变数．
(2)函数的导数，是对某一区间内任意一点 x 而言的． (3)函数 y＝f(x)在 x0 处的导数，就是导函数 f′(x)在 x＝x0 处的 函数值．

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题型一 题型二 题型三 题型四
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典例透析
导数几何意义的综合应用
【例 3】 已知曲线 C:y=x3.求: (1)曲线 C 上横坐标为 1 的点处的切线方程; (2)(1)中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点? 解:(1)将 x=1 代入曲线 C 的方程,得 y=1, ∴切点为 P(1,1).
0
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典例透析
3.理解导数的几何意义 剖析:函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率.也就是说,曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切 线的斜率是 f'(x0),相应地,切线的方程为 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0). 说明:当 Δx 无限趋近于
������x →0
������
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即 12x-3y-16=0.
(2)在点 P 处的切线方程是 y− 3 = 4(������ − 2),
8
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反思解决这类题,要先求出函数y=f(x)在x0处的导数,即曲线在该点 处切线的斜率,再由直线方程的点斜式便可求出切线方程.应注意 导数的几何意义中所说的点应在曲线上,否则在该点处的导数不是 斜率.
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反思1.导数的几何意义是曲线的切线的斜率,已知切点可以求斜率, 已知斜率也可以求切点,从而可以与解析几何的知识相联系. 2.导数几何意义的综合应用题目的解题关键还是求函数在某点 处的导数,即切线的斜率,注意结合相关知识如函数、方程、不等 式等求解.

即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4)，(3,9)． 所以切线方程分别为y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)． 化简得y＝4x－4，y＝6x－9， 此即是所求的切线方程． 点评 在求曲线过某点的切线方程时，第一要判断该点是否在曲线上，再根 据不同情况求解．
课堂总结 1．函数在某一点处的瞬时变化率即为函数在该点处的导 数． 2．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切 线的斜率，即当d→0时，k＝fx0＋dd－fx0＝f′(x0)． 3．求曲线的切线方程应充分利用导数的几何意义，抓住两 点： (1)切点在曲线上，则在切点处的导数值即为切线的斜率； (2)若已知点不在曲线上时，要设出切点再利用导数几何意义和已 知条件去求.
C．f′(x0)＝2x0
D．f′(x0)＝d＋2x0
答案 C
3．已知函数y＝f(x)图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系 是( )．
A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
答案 A
4．在曲线f(x)＝x2＋x上取一点P(1,2)，则在区间[1,1＋d]上的 平均变化率为________，在点P(1,2)处的导数f′(1)＝________.
当 d→0 时 1－xx＋1 d→1－x12， ∴f′(x)＝1－x12， ∴f′(1)＝1－112＝0.
题型四 利用导数求切线方程 【例4】 已知曲线C：y＝x2. (1)求曲线C在点(1,1)处的切线方程； (2)求过点(1,0)且与曲线C相切的直线的方程；
解 (1)fx＋dd－fx＝x＋dd2－x2＝2x＋d. 当d→0时，2x＋d→2x， ∴f′(x)＝2x，f′(1)＝2 ∴曲线y＝x2在(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.

备课素材
1．导数的几何意义 (1)导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即 k ＝lim f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时 速度． (2)导数与切线的关系：f′(x0)>0 时，切线的倾斜角为锐角；f′(x0)<0 时，切线 的倾斜角为钝角；f′(x0)＝0 时，切线与 x 轴平行．f(x)在 x0 处的导数不存在， 则切线垂直于 x 轴或不存在．
∆������
(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法．
三维目标
2．过程与方法 通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、总结，发现问题，解决问题，从而达 到培养学生的学习能力、思维能力、应用能力和创新能力的目的． 3．情感、态度与价值观 通过在探究过程中渗透逼近和“以直代曲”思想，使学生了解近似与精确间的辩证 关系；通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值．
备课素材
(3)求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以 该点为由点的由线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在曲线上，则设出切 点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点． 2．“函数f(x)在点x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系 (1)“函数在一点处的导数”，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比的 极限，它是一个数值，不是变数．
备课素材
(2)“导函数”：如果函数 f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，就说 f(x)在开区间(a，b)内
可导，这时对于区间(a，b)内每一个确定的值 x0，都对应着一个导数 f′(x0)，这样就在开