北京市通州区2015届高三模拟考试(一)数学文试题及答案

2015届高三“一模”数学模拟试卷（1）（满分150分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知函数1()y f x -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -= ．2．若集合2214x A x y ⎧⎫⎪⎪=-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}1B x x =≥，则A B = ． 3．函数lg 3y x =-的定义域是．4．已知行列式cos sin 21x x =-，(0,)2x π∈，则x = ．5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3050S =，5030S =，则80S = ． 6．函数log (3)1a y x =+-(0a >且1)a ≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为 ． 7．设等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若*2()31n n S n n N T n =∈+，则54a b = ． 8．2310(133)x x x +++展开式中系数最大的项是 ．9．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的4个数字之和为23的概率为 ．10．已知tan ,tan αβ是关于x 的方程2(23)(2)0mx m x m +-+-=(0)m ≠的两根，则tan()αβ+的最小值为．11．若不等式(0)x a ≥>的解集为[,]m n ，且2m n a -=，则a 的取值集合为 ．12．如图，若从点O 所作的两条射线,OM ON 上分别有点12,M M 与点12,N N ，则三角形面积之比21212211ON ON OM OM S S N OM N OM ⋅=∆∆，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线,OP OQ 和OR 上， 分别有点12,P P ，点12,Q Q 和点12,R R ，则类似的结论 为 ．13．圆锥的底面半径为cm 5 ，高为12cm ，则圆锥的内接圆柱全面积的最大值为 ．14．已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实根，现有四个命题： ① 方程[()]f f x x =也一定没有实数根；② 若0a >，则不等式[()]f f x x >对一切x R ∈恒成立； ③ 若0a <，则必存在实数0x 使不等式00[()]f f x x >成立； ④ 若0a b c ++=，则不等式[()]f f x x <对一切x R ∈成立； 其中是真命题的有 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．15． “arcsin 1x ≥”是“arccos 1x ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．248211111lim(1)(1)(1)(1)...(1)22222n n →∞+++++=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417．设(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)B ，点P 是线段AB 上的一个动点，AP AB λ=，若OP AB PA PB ⋅≥⋅，则实数λ的取值范围是（ ）A ．112λ≤≤ B ．112λ-≤≤C ．1122λ≤≤+D ．1122λ-≤≤+18．若对于满足13t -≤≤的一切实数t ，不等式222(3)(3)0x t t x t t -+-+->恒成立，则x 的取值范围为（ ） A ．(,2)(9,)-∞-+∞ B ．(,2)(7,)-∞-+∞ C ．(,4)(9,)-∞-+∞D ．(,4)(7,)-∞-+∞三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题6分．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+．（1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程；（2）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．20．（本题满分12分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题6分．设虚数12,z z 满足212z z =．（1）若12,z z 又是一个实系数一元二次方程的两个根，求12,z z ；（2）若11z mi =+(0,m i >为虚数单位)，1z ≤23z ω=+，求ω的取值范围．21．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题7分，第2小题7分．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知AC BC =，D 为AB 的中点，平面111A B C ⊥平面11ABB A ，且异面直线1BC 与1AB 互相垂直． （1）求证：1AB ⊥平面1ACD ；（2）若1CC 与平面11ABB A 的距离为1，115AC AB =， 求三棱锥1A ACD -体积．7分．已知函数()f x 的图象在[,]a b 上连续不断，定义：若存在最小正整数k ，使 得()()f x k x a ≤-对任意[,]x a b ∈恒成立，则称函数()f x 为[,]a b 上的 “k 函数”. （1）已知函数()2f x x m =+是[1,2]上的“1函数”，求m 的取值范围； （2）已知函数()3f x x m =+是[1,2]上的“2函数”，求m 的取值范围；（3）已知函数221,[1,0)()1,[0,1),[1,4]x x f x x x x ⎧-∈-⎪=∈⎨⎪∈⎩，试判断()f x 是否为[1,4]-上的“k 函数”，若是，求出对应的k ； 若不是，请说明理由．8分．数列{},{}n n a b 满足：11,a a b b ==，且当2k ≥时，,k k a b 满足如下条件： 当1102k k a b --+≥时，111,2k k k k k a ba ab ---+==， 当1102k k a b --+<时，111,2k k k k k a ba b b ---+==。

北京市西城区2015年高三一模试卷数学（文科）2015.4一、选择题：1.设集合0,1{}A =，集合{|}B x x a =>，若A B =∅，则实数a 的范围是（ ）（A ）1a ≤ （B ）1a ≥ （C ）0a ≥ （D ）0a ≤【难度】1【考点】集合的运算【答案】B【解析】故选B2．复数z 满足i 3i z ⋅=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限【难度】1【考点】复数综合运算【答案】C【解析】令z a bi =+，则2()3a bi i ai bi b ai i +⋅=+=-+=-所以1,3a b =-=-，即1(3)z i =-+-故选C3．关于函数3()log ()f x x =-和()3x g x -=，下列说法中正确的是（ ）（A ）都是奇函数 （B ）都是偶函数（C ）函数()f x 的值域为R （D ）函数()g x 的值域为R【难度】1【考点】函数综合【答案】C【解析】3()log ()f x x =-的值域为R ，是非奇非偶函数；()3x g x -=的值域为(0,)+∞，是非奇非偶函数；故选C4. 执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的n 的值为______.（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7【难度】2【考点】算法和程序框图【答案】B【解析】该程序执行过程如下：3x =，1n =，不满足条件100x >，进入循环体；9x =，2n =，不满足条件100x >，进入循环体；27x =，3n =，不满足条件100x >，进入循环体；81x =，4n =，不满足条件100x >，进入循环体；324x =，5n =，满足条件100x >，跳出循环体；输出5n =，结束。

故选B5. 设,P Q 分别为直线0x y -=和圆22(6)2x y +-=上的点，则||PQ 的最小值为（）（A ）22 （B ）32 （C ）42 （D ）4【难度】2【考点】直线与圆的位置关系【答案】A【解析】圆心(0,6)到直线0x y -=的距离为322所以，||PQ 的最小值为22故选A6．设函数()f x 的定义域为R ，则“x ∀∈R ，(1)()f x f x +>”是“函数()f x 为增函数”的（）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【难度】2【考点】充分条件与必要条件【答案】B【解析】故选B7． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ）（A）7（B）152（C）233（D）476【难度】2【考点】空间几何体的三视图与直观图【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体是一个棱长为2的正方体去掉一个三棱锥去掉部分的体积为：111111326 V=⨯⨯⨯⨯=所以，该几何体的体积为：147 22266 V=⨯⨯-=故选D8. 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（）（A）2枝玫瑰的价格高（B）3枝康乃馨的价格高（C）价格相同（D）不确定【难度】3【考点】二元一次不等式【组】表示的平面区域【答案】A【解析】设玫瑰的价格为x 元，康乃馨的价格为y 元，由题意得：63244420x y x y +>⎧⎨+<⎩，作出该平面区域为：由图可知不等式组表示的区域位于直线230x y -=的右侧，即满足230x y ->，所以23x y >，即2只玫瑰的价格高故选A二、填空题：9. 已知平面向量,a b 满足(1,1)=-a ，()()+⊥-a b a b ，那么|b |= ____.【难度】1【考点】数量积的应用 2【解析】设(,)b x y =，由题意得：(1,1)a b x y +=+-+， (1,1)a b x y -=---因为()()+⊥-a b a b ，所以()()0a b a b +⋅-=即22(1)(1)(1)(1)20x x y y x y +-+-+--=--=即222x y +=，所以，2b x y =+=10．函数22()sin cos f x x x =-的最小正周期是____.【难度】1【考点】三角函数综合【答案】π【解析】2222()sin cos (cos sin )cos 2f x x x x x x =-=--=-22T ππ==，故答案为π 11．在区间[2,1]-上随机取一个实数x ，则x 使不等式1|1|x -≤成立的概率为____.【难度】2【考点】几何概型【答案】13【解析】1|1|x -≤⇔111x -≤-≤⇔02x ≤≤在区间[2,1]-上随机取一个实数x ，满足不等式1|1|x -≤的部分是[0,1]故所求概率为13故答案为1312．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点是抛物线28y x =的焦点，且双曲线 C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为____；渐近线方程是____.【难度】2【考点】圆锥曲线综合【答案】2213y x -=; y = 【解析】抛物线28y x =的焦点为：()2,0，所以，2224a b c +==（1） 由2c e a ==得：222224c a b a a+==（2）， 由（1）（2）解得：21a =，23b =故双曲线方程为：2213y x -=，渐近线方程为：3y x =± 故答案为2213y x -=;3y x =± 13. 设函数20,1,()4,0.x x x f x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪-<⎩则[(1)]f f -=____；函数()f x 的极小值是____.【难度】2【考点】分段函数，抽象函数与复合函数【答案】103;2 【解析】10[(1)](3)3f f f -==， 函数图像如图：故函数()f x 的极小值是(1)2f =故答案为103;2 14. 某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件. 制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异. 现有甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求)，甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表：则组委会定做该工艺品的费用总和最低为 元.【难度】3【考点】线性规划【答案】4900【解析】设甲厂生产一等奖奖品x 个，则乙厂生产一等奖奖品3x -个，设甲厂生产一等奖奖品y 个，则乙厂生产一等奖奖品6y -个，且满足条件：030604,x y x y x N y N**≤≤⎧⎪≤≤⎪⎨≤+≤⎪⎪∈∈⎩ 则费用总和500800(3)400600(6)z x x y y =+-++-3002006000x y =--+即30020060000x y z +-+= 即32600100z x y +-+= 作出可行域如图：由图可知，最优解为(3,1)A ，此时min 3003200160004900z =-⨯-⨯+=（元）故答案为4900三、解答题：15．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，且4AD DC =.（Ⅰ）求BD 的长；（Ⅱ）求sin CBD ∠的值.【难度】3【考点】解斜三角形【答案】见解析【解析】（Ⅰ）解：因为 90=∠ABC ，4=AB ，3=BC ， 所以3cos 5C =，4sin 5C =，5=AC ， 又因为DC AD 4=，所以4=AD ，1=DC .在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅ 223323123155=+-⨯⨯⨯=，所以 5104=BD . （Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin CD BD CBD C=∠， 所以154sin 5CBD=∠， 所以sin CDB ∠=16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32a =，57S a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；（Ⅱ）若444,,m n a a a ++（*,m n ∈N ）成等比数列，求n 的最小值．【难度】3【考点】数列综合应用【答案】见解析【解析】（Ⅰ）解：设公差为d ， 由题意，得11122,15546,2a d a d a d +=⎧⎪⎨+⨯⨯=+⎪⎩ 解得12a =-，2d =，所以2(1)224n a n n =-+-⨯=-，212(1)232n S n n n n n =-+-⨯=-． （Ⅱ）解：因为444,,m n a a a ++成等比数列，所以2444m n a a a ++=，即2(24)4(24)m n +=+， 化简，得21(2)22n m =+-， 考察函数21()(2)22f x x =+-，知()f x 在(0,)+∞上单调递增， 又因为5(1)2f =，(2)6f =，*n ∈N ， 所以当2m =时，n 有最小值6．17．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，//EF AD ，平面ADEF ⊥平面ABCD ，且2BC EF =,AE AF =，点G 是EF 的中点.（Ⅰ）证明：AG ⊥CD ；（Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且13AMMC =，求证：GM //平面ABF ；（Ⅲ）已知空间中有一点O 到,,,,A B C D G 五点的距离相等，请指出点O 的位置. (只需写出结论)【难度】3【考点】立体几何综合【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明：因为AE AF =，点G 是EF 的中点，所以 AG EF ⊥. 又因为 //EF AD ，所以 AG AD ⊥.因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，AG ⊂平面ADEF ，所以 AG ⊥平面ABCD . 因为 CD ⊂平面ABCD ，所以 AG ⊥CD .（Ⅱ）证明：如图，过点M 作MN //BC ，且交AB 于点N ，连结NF ，因为 13AMMC =，所以14MNAMBC AC ==，因为 2BC EF =，点G 是EF 的中点，所以 4BC GF =，又因为 //EF AD ，四边形ABCD 为正方形，=.所以GF//MN，GF MNGM FN.所以四边形GFNM是平行四边形. 所以//又因为GM⊄平面ABF，FN⊂平面ABF，所以GM//平面ABF.（Ⅲ）解：点O为线段GC的中点.18．2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；（Ⅱ）已知选出的120人中有6名学生，且这6人乘坐地铁的票价情形恰好与按票价从这．．．．．120人中分层抽．．．．．样．所选的结果相同，现从这6人中随机选出2人，求这2人的票价和恰好为8元的概率； （Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．(只需写出结论)【难度】3【考点】概率综合【答案】见解析【解析】（Ⅰ）解：记事件A 为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， 由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人）.所以票价小于5元的有6040100+=（人）．故120人中票价小于5元的频率是10051206=． 所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率5()=6P A ． （Ⅱ）解：记事件B 为“这2人的票价和恰好为8元”，由统计图，得120人中票价为3元、4元、5元的人数比为60:40:203:2:1=，则6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人）. 记票价为3元的同学为,,a b c ，票价为4元的同学为,d e ，票价为5元的同学为f ，从这6人中随机选出2人，所有可能的选出结果共有15种，它们是：(,),(,)c a b a ,(,),(,),(,),(,),(,),d e f c d a a a b b(,),e b (,),(,),(,),(,),(,)f d e f e b c c c d (,),(,)f f d e .19．设点F 为椭圆2222 1(0)x y E a b a b +=>>：的右焦点，点3(1,)2P 在椭圆E 上，已知椭圆E 的离心率为12. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过右焦点F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，记ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积为t ，求t的最大值.【难度】4【考点】圆锥曲线综合【答案】见解析【解析】（Ⅰ）解：设22b a c -=，由题意，得21=a c ， 所以 2a c =，b =. 则椭圆方程为 2222143x y c c+=， 又点)23,1(P 在椭圆上，所以 2213144c c+=，解得21c =， 故椭圆方程为 22143x y +=. （Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，右焦点(1,0)F ，设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由 22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ， 得 2222(34)84120k x k x k +-+-=.由题意，可知0>∆，则有 2221438k k x x +=+，212241234k x x k -=+， 所以直线PA 的斜率11321PAy k x -=-，直线PB 的斜率22321PB y k x -=-， 所以PA PB t k k k =⨯⨯ 1212332211y y k x x --=⨯⨯-- 12121233[(1)][(1)]22()1k x k x k x x x x --⨯--=⨯-++2121212121239[()1](2)24()1k x x xx k x x k x x x x -++-+-+=⨯-++ 122121239(2)24[]()1k x x k k x x x x -+-+=+⨯-++ 233()44k k k k =--⨯=--. 即 22339()4864t k k k =--=-++， 所以当38k =-时，ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积t 有最大值964. 20．设*n ∈N ，函数ln ()n x f x x =，函数e ()xn g x x =，(0,)x ∈+∞. （Ⅰ）判断函数()f x 在区间(0,)+∞上是否为单调函数，并说明理由； （Ⅱ）若当1n =时，对任意的12,(0,)x x ∈+∞， 都有12()()g x f x t ≤≤成立，求实数t 的取值范围；（Ⅲ）当2n >时，若存在直线l y t =：（t ∈R ），使得曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线l 的两侧，写出n 的所有可能取值. (只需写出结论)【难度】4【考点】导数的综合运用【答案】见解析【解析】（Ⅰ）解：结论：函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. 求导，得 11ln ()n n x f x x+-'=， 令 ()0f x '=，解得1e n x =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以函数()f x 在区间1(0,e )n 上为单调递增，区间1(e ,)n+∞上为单调递减. 所以函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. （Ⅱ）解：当1n =时，函数ln ()x f x x=，e ()x g x x =，0x >. 由题意，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞， 都有12()()g x f x t ≤≤恒成立， 只需当(0,)x ∈+∞时，max min ()()g f x t x ≤≤.因为 21ln ()x f x x-'=.令()0f x '=，解得e x =. 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以max 1()(e)ef x f ==. 又因为2e (1)()x x g x x -'=. 令 ()0g x '=，解得1x =.当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：所以min ()(1)e g x g ==.综上所述，得1e et ≤≤.（Ⅲ）解：满足条件的n 的取值集合为{3,4}.。

2015北京高考数学各区一模试题汇编--解析几何--目录Always a new start 项目及名称页码42长度与韦达定理的弦长与面积问题45多出一两条直线的中点与垂直问题50考察图像与方程的单动点消元问题53利用斜率与向量的定点与定值问题58以上四类常规问题的答案弦长与面积问题19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(2,0)F ，离心率为3．过焦点F的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 中点为D ，O 为坐标原点，过O ，D 的直线 交椭圆于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求四边形AMBN 面积的最大值．19．（本小题满分14分）设1F ，2F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a b ya x E 的左、右焦点，点)23,1(P 在椭圆E 上，且点P 和1F 关于点)43,0(C 对称.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.19.（本小题满分14分）已知椭圆223412.C x y +=：（I ）求椭圆C 的离心率；（II ）设椭圆C 上在第二象限的点P 的横坐标为1-，过点P 的直线12,l l 与椭圆C 的另一交点分别为,A B .且12,l l 的斜率互为相反数，,A B 两点关于坐标原点O 的对称点分别为,M N ,求四边形ABMN 的面积的最大值.中点与垂直问题（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的两个焦点分别为12(2,0),(2,0)F F-，离心率为3．过焦点2F的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于,A B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于,M N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形12MF NF为矩形时，求直线l的方程．19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，右顶点A 是抛物线28y x =的焦点．直线l ：(1)y k x =-与椭圆C 相交于P ，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如果AM AP AQ =+u u u u r u u u r u u u r，点M 关于直线l 的对称点N 在y 轴上，求k 的值．（19）（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>过点(0,1)-，且离心率e =.（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）是否存在菱形ABCD ，同时满足下列三个条件：①点A 在直线2y =上；②点B ，C ，D 在椭圆M 上； ③直线BD 的斜率等于1.如果存在，求出A 点坐标；如果不存在，说明理由.19．（本小题满分14分）设1F ，2F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a b ya x E 的左、右焦点，点)23,1(P 在椭圆E 上，且点P 和1F 关于点)43,0(C 对称.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.19.(本小题满分14分) 已知椭圆22:416C x y +=. (I)求椭圆C 的离心率;(II)设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆2212x y +=的位置关系.单动点消元问题已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，M为椭圆上任意一点且△12MF F 的周长等于6． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）以M 为圆心，1MF 为半径作圆M ，当圆M 与直线 l 4x =：有公共点时，求△12MF F 面积的最大值．19．（本小题满分14分）已知椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>离心率2e=，短轴长为．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线P A，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．在平面直角坐标系中xOy 中，动点E 到定点(1,0)的距离与它到直线1x =-的距离相等．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设动直线:l y kx b =+与曲线C 相切于点P ，与直线1x =-相交于点Q ．证明：以PQ 为直径的圆恒过x 轴上某定点．定点与定值问题已知椭圆W ：12222=+by a x )0(>>b a 的离心率为21，Q 是椭圆上的任意一点，且点Q 到椭圆左右焦点1F ，2F 的距离和为4． （Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）经过点()1,0且互相垂直的直线1l 、2l 分别与椭圆交于A 、B 和C 、D 两点（A 、B 、C 、D 都不与椭圆的顶点重合），E 、F 分别是线段AB 、CD 的中点，O 为坐标原点，若OE k 、OF k 分别是直线OE 、OF 的斜率，求证：OE OF k k ⋅为定值．动点),(y x P 到定点)0,1(F 的距离与它到定直线4:=x l 的距离之比为21. (Ⅰ) 求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ） 已知定点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(4,)Q t 在直线l 上，作直线AQ 与轨迹C 的另一个交点为M ,作直线BQ 与轨迹C 的另一个交点为N ，证明：,,M N F 三点共线.（19）（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>过点(0,1)A -，且离心率2e =.（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称,求k 的所有取值构成的集合S ，并证明对于k S ∀∈，BC 的中点恒在一条定直线上.19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a ay b x 的离心率2e =，短轴的右端点为B ， M（1，0）为线段OB 的中点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点M 任意作一条直线与椭圆C 相交于两点P ，Q 试问在x 轴上是否存在定点N ，使得∠PNM =∠QNM ？ 若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．19．（本小题满分14分）设点F为椭圆22221(0)x yE a ba b+=>>：的右焦点，点3(1,)2P在椭圆E上，已知椭圆E的离心率为1 2 .（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设过右焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，记ABP∆三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值.2015北京高考数学 各区一模试题汇编--解析几何 答案--弦长与面积问题19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a bc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b ， 故椭圆的方程为22162x y +=． …….4分（Ⅱ）当直线l 斜率不存在时,A B的坐标分别为，(2,，||MN =， 四边形AMBN 面积为1||||42AMBN S MN AB =⋅=． 当直线l 斜率存在时，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ，则四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+． 由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 则21221213k x x k +=+，212212613k x x k -=+， 所以||AB==．因为121224(4)13ky y k x x k-+=+-=+， 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++． 当0k ¹时，直线OD 方程为30x ky +=， 由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得333,x ky =-232213y k =+． 所以121||()2AMBN S AB d d =+12=====当0k =时，四边形AMBN面积的最大值AMBN S =综上四边形AMBN面积的最大值为． …………………………14分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由点)23,1(P 和1F 关于点)43,0(C 对称，得1(1,0)F -， ………… 1分所以椭圆E 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ， ……………… 2分 由椭圆定义，得 122||||4a PF PF=+=.所以 2a =，b == ……………… 4分故椭圆E 的方程为13422=+y x . ……………… 5分 （II ）解：结论：存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分. ……… 6分 理由如下：由题可知直线l ，直线PQ 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，直线PQ 的方程为3(1)2y k x -=-. ……… 7分 由 221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ， 得2222(34)84120k x k x k +-+-=， ……………… 8分 由题意，可知0∆> ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ……………… 9分 由221,433(1),2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩消去y ,得2222(34)(812)41230k x k k x k k +--+--=， 由0∆>，可知12k ≠-，设),(33y x Q ，又)23,1(P ，则223431281k k k x +-=+，2234331241kk k x +--=⋅. ……………… 10分 若四边形PABQ 的对角线互相平分，则PB 与AQ 的中点重合， 所以212231+=+x x x ，即3211x x x -=-， ……………… 11分 故2212123()4(1)x x x x x +-=-. ……………… 12分所以 2222222284124123()4(1)343434k k k k k k k ----⋅=-+++. 解得 34k =. 所以直线l 为3430x y --=时， 四边形PABQ 的对角线互相平分. …… 14分 （注：利用四边形PABQ 为平行四边形，则有||||PQ AB =，也可解决问题）19.解：（I ）由题意，椭圆C 的标准方程为221.43x y += 所以224,3,a b ==从而222 1.c a b =-= 因此，2, 1.a c ==故椭圆C 的离心率1.2c e a ==..... ...........................................4分 （II ）由题意可知，点P 的坐标为3(1,).2-设1l 的方程为3(1).2y k x =++则2l 的方程为3(1).2y k x =-++........................................5分由223(1)23412y k x x y ⎧=++⎪⎨⎪+=⎩得2222(43)(812)41230.k x k k x k k +++++-= 由于1x =-是此方程的一个解.所以此方程的另一解22412343A k k x k +-=-+ 同理22412343B k k x k --=-+............... ...........................................7分故直线AB 的斜率为33(1)(1)22B A B A ABB A B Ak x k x y y k x x x x -++-+--==-- 22286(2)143.24243k k k k k -+-++==-+ ........... ...........................................9分设直线AB 的方程为1.2y x m =-+由22123412y x m x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得2230x mxm -+-=所以||AB ==又原点O 到直线AB 的距离为d =所以OAB ∆的面积12OAB S ∆==22(4)22m m +-≤⋅= 当且仅当224m m =-，即22,2m m ==±时.OAB ∆的面积达到最大. ............... ...........................................13分由题意可知，四边形ABMN 为平行四边形,所以，四边形ABMN 的面积4OAB S S ∆=≤故四边形ABMN 面积的最大值为 ............... ...........................................14分中点与垂直问题（19）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b = 故椭圆的方程为22162x y +=． ……… 5分 （Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 所以21221213k x x k +=+．因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+，所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++． 因此直线OD 方程为30x ky +=()0k ¹．由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+，333x ky =-． 因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ⋅=u u u u r u u u u r，即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=．所以223340x y --=．所以222(91)4013k k +-=+．解得3k =±．故直线l的方程为(2)3y x =±-． ……… 14分19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）抛物线28y x =，所以焦点坐标为(2,0)，即(2,0)A ， 所以2a =．又因为2c e a ==，所以c = 所以2221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2214x y +=． ……………………4分 （Ⅱ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，因为AM AP AQ =+u u u u r u u u r u u u r，(2,0)A ，所以11(2,)AP x y =-u u u r，22(2,)AQ x y =-u u u r ，所以1212(4,+)AM AP AQ x x y y =+=+-u u u u r u u u r u u u r，所以()12122,M x x y y +-+．由2214(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(41)8440k x k x k +-+-=（判别式0∆>）， 得2122282224141k x x k k -+-=-=++，121222(2)4+1ky y k x x k -+=+-=， 即2222(,)4141k M k k --++． 设3(0,)N y ， 则MN 中点坐标为3221(,)41412y kk k --+++， 因为M ，N 关于直线l 对称，所以MN 的中点在直线l 上，所以3221(1)41241k y k k k --+=-++，解得32y k =-，即(0,2)N k -． 由于M ，N 关于直线l 对称，所以M ，N 所在直线与直线l 垂直，所以 222(2)4112041kk k k k ---+⋅=---+，解得k = ……………………14分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由题意得：2221,.b caa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩………………3分解得：223,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以 椭圆M 的方程为2213x y +=. ………………4分 （Ⅱ）不存在满足题意的菱形ABCD ，理由如下： ………………5分 假设存在满足题意的菱形ABCD .设直线BD 的方程为y x m =+，11(,)B x y ，22(,)D x y ，线段BD 的中点00(,)Q x y ，点(,2)A t . ………………6分由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得224230y my m -+-=. ………………8分 由()()2221630m m ∆=--> ，解得22m -<<. ………………9分因为 122my y +=， 所以 12024y y my +==. ………………11分因为 四边形ABCD 为菱形， 所以 Q 是AC 的中点.所以 C 点的纵坐标022212C my y =-=-<-. ………………12分 因为 点C 在椭圆M 上，所以 1C y ≥-.这与1C y <-矛盾. ………………13分所以 不存在满足题意的菱形ABCD .19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由点)23,1(P 和1F 关于点)43,0(C 对称，得1(1,0)F -， ………… 1分所以椭圆E 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ， ……………… 2分 由椭圆定义，得 122||||4a PFPF =+=.所以 2a =，b == ……………… 4分故椭圆E 的方程为13422=+y x . ……………… 5分 （II ）解：结论：存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分. ……… 6分 理由如下：由题可知直线l ，直线PQ 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，直线PQ 的方程为3(1)2y k x -=-. ……… 7分 由 221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ， 得2222(34)84120k x k x k +-+-=， ……………… 8分 由题意，可知0∆> ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ……………… 9分 由221,433(1),2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩消去y ,得2222(34)(812)41230k x k k x k k +--+--=，由0∆>，可知12k ≠-，设),(33y x Q ，又)23,1(P ，则223431281k k k x +-=+，2234331241k k k x +--=⋅. ……………… 10分 若四边形PABQ 的对角线互相平分，则PB 与AQ 的中点重合， 所以212231+=+x x x ，即3211x x x -=-， ……………… 11分 故2212123()4(1)x x x x x +-=-. ……………… 12分所以 2222222284124123()4(1)343434k k k k k k k----⋅=-+++. 解得 34k =. 所以直线l 为3430x y --=时， 四边形PABQ 的对角线互相平分. …… 14分 （注：利用四边形PABQ 为平行四边形，则有||||PQ AB =，也可解决问题）19.解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为221164x y +=, 所以2222216,4,12从而a b c a b ===-=,因此4,a c ==故椭圆C 的离心率c e a == ............... ...........................................4分 (II)由221,416y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()22148120k x kx ++-=, 由题意可知0∆>. ............... ...........................................5分 设点,E F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为(),M M x y , 则1224214M x x k x k +==-+,1221214M y y y k+==+................ .....................................7分因为BEF ∆是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形, 所以BM EF ⊥,因此BM 的斜率1BM k k=-. ............... ...........................................8分 又点B 的坐标为()0,2-,所以222122381440414M BM M y k k k k x k k++++===---+,............... ....................................10分 即()238104k k k k+-=-≠, 亦即218k =,所以4k =±, ............... ...........................................12分故EF的方程为440y -+=. ............... ...........................................13分又圆2212x y +=的圆心()0,0O 到直线EF的距离为32d ==>, 所以直线EF 与圆相离................ ...........................................14分单动点消元问题解：（Ⅰ）由已知离心率12c e a ==， 又△12MF F 的周长等于226a c +=， 解得2a =，1c =．所以23b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………………..5分（Ⅱ）设点M 的坐标为00(,)x y ，则2200143x y +=．由于圆M 与l 有公共点，所以M 到l 的距离04x -小于或等于圆的半径r ． 因为2222100(+1)r MF x y ==+，所以222000(4)(1)x x y -≤++，即20010150y x +-≥．又因为22003(1)4x y =-，所以20033101504x x -+-≥． 整理得200340+480x x -≤，解得04123x ≤≤．又022x -<< ，所以0423x ≤<．所以00y <≤． 因为△12MF F 面积01201=2y F F y =，当0y =12MF F ………………..13分（Ⅰ）由短轴长为，得b = ………………1分由2c e a ===，得224,2a b ==．∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………4分 （Ⅱ）以MN为直径的圆过定点(F ． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分 【或通过求得圆心00202(0,)4x y O x '-，0204||4y r x =-得到圆的方程】 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ∵220042x y -=-，∴22220x x y y y ++-=， ………………12分 令0y =，则220x -=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． …………14分解：（Ⅰ）设动点E 的坐标为(,)x y ．由抛物线定义知，动点E 的轨迹为以(1,0)为焦点，1x =-为准线抛物线．所以动点E 的轨迹C 的方程为：24y x =． ……………4分（Ⅱ）设直线l 的方程为：y kx b =+．（显然0k ≠）由 24,,y x y kx b ⎧=⎨=+⎩得2440ky y b -+=．因为直线l 与抛物线相切， 所以16160kb ∆=-=，1b k=．所以直线l 的方程为1y kx k=+． 令1x =-，得1y k k=-+， 所以1(1,)Q k k--+．设切点坐标00(,)P x y ，则200440ky y k -+=，解得212(,)P k k． 设(,0)M m ，则2121()(1)()MQ MP m m k k k k⋅=---+-+u u u u r u u u r2222122m m m k k k=-+-++-． 21(1)(2)m m k=---． 当1m =时，0MQ MP ⋅=u u u u r u u u r．所以以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点(1,0)M ． ……………13分定点与定值问题解：（Ⅰ）∵点Q 到椭圆左右焦点的距离和为4. ∴24a =，2a =.又12c e a ==，∴1c =，2223b a c =-=. ∴椭圆W 的标准方程为：22143x y +=…………………5分 （Ⅱ）∵直线1l 、2l 经过点(0,1)且互相垂直，又A 、B 、C 、D 都不与椭圆的顶点重合 ∴设1l ：1y kx =+，2l ：11y x k=-+；点11(,)A x y 、22(,)B x y 、(,)E E E x y 、(,)F F F x y 由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)880k x kx ++-= ∵点(0,1)在椭圆内，∴△0>∴122834kx x k +=-+，∴1224234Ex x kx k +==-+，23134E E y kx k =+=+ ∴34E OE E y k x k==- 同理33144()F OF Fy kk x K ==-=-∴916OE OFk k ⋅=-…………………14分19．（本小题共14分）解： (Ⅰ)由题意得21|4|)1(22=-+-x y x ， ………………2分化简并整理，得 13422=+y x . 所以动点),(y x P 的轨迹C 的方程为椭圆13422=+y x . ………………5分 （Ⅱ）当0=t 时，点B M 与重合，点A N 与重合，,,M N F 三点共线. ………7分当0≠t 时根据题意：:(2),:(2)62tt QA y x QB y x =+=-由()2214326x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消元得：2223(2)1209t x x ++-=整理得：2222(27)441080t x t x t +++-=该方程有一根为2,x =-另一根为M x ,根据韦达定理，222241085422,2727M M t t x x t t ---==++由()2214322x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 消元得：2223(2)120x t x +--= 整理得：2222(3)44120t x t x t +-+-=该方程有一根为2,x =另一根为N x ,根据韦达定理，2222412262,33N N t t x x t t --==++当M N x x =时，由222254226273t t t t --=++得：29,t =1M N x x ==，,,M N F 三点共线； 当M N x x ¹时，218(2)627M M t ty x t =+=+，26(2)23N N t t y x t -=-=+22221862754219127M MFM t y t t k t x t t +===----+；2222663261913N NFN t y t t k t x t t -+===----+ NF MF K k =，,,M N F 三点共线.综上，命题恒成立. ………………14分19.（本小题共14分）解: （Ⅰ）因为椭圆C ：22162x y +=所以焦点(2,0)F ，离心率3e =……………………4分 （Ⅱ）直线l ：y kx m =+(0)k ≠过点F ，所以2m k =-，所以l ：(2)y k x =-．由2236(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(31)121260.k x k x k +-+-=（依题意 0∆>）． 设 11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则21221231k x x k +=+，2122126.31k x x k -=+ ．因为点P 关于x 轴的对称点为P '，则11(,)P x y '-． 所以，直线P Q '的方程可以设为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，2111211211212x y x y x y x y x x y y y y -+=+=++211212(2)(2)(4)kx x kx x k x x -+-=+-12121222()(4)x x x x x x -+=+-2222221261222313112(4)31k k k k k k --++=-+ 3=． 所以直线P Q '过x 轴上定点(3,0)． ……………………14分19.（本小题共14分）解: （Ⅰ）因为椭圆C ：22162x y +=所以焦点(2,0)F ，离心率e =……………………4分 （Ⅱ）直线l ：y kx m =+(0)k ≠过点F ，所以2m k =-，所以l ：(2)y k x =-．由2236(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(31)121260.k x k x k +-+-=（依题意 0∆>）．设 11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则21221231k x x k +=+，2122126.31k x x k -=+ ． 因为点P 关于x 轴的对称点为P '，则11(,)P x y '-． 所以，直线P Q '的方程可以设为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，2111211211212x y x y x y x y x x y y y y -+=+=++211212(2)(2)(4)kx x kx x k x x -+-=+-12121222()(4)x x x x x x -+=+-2222221261222313112(4)31k k k k k k --++=-+ 3=． 所以直线P Q '过x 轴上定点(3,0)． ……………………14分（19）（共13分）解：（Ⅰ）因为 椭圆M 过点(0,1)A -，所以 1b =.………………1分 因为 222 c e a b c a ===+， 所以 2a =.所以 椭圆M 的方程为22 1.4x y += ………………3分（Ⅱ）方法一： 依题意得0k ≠.因为 椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称，所以 直线BC 与直线1y kx =-垂直，且线段BC 的中点在直线1y kx =-上. 设直线BC 的方程为11221,(,),(,)y x t B x y C x y k=-+. 由221,44y x t k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得 22222(4)8440k x ktx k t k +-+-=. ………………5分由2222222222644(4)(44)16(4)0k t k k t k k k t k ∆=-+-=-+>，得22240k t k --<.（*） 因为 12284ktx x k +=+， ………………7分 所以 BC 的中点坐标为2224(,)44kt k tk k ++.又线段BC 的中点在直线1y kx =-上，所以 2224144k t ktk k k =-++.所以 22314k t k =+. ………………9分代入（*），得2k <-或2k >. 所以{|S k k k =<>或. ………………11分 因为 22143k t k =+，所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分方法二：因为 点(0,1)A -在直线1y kx =-上，且,B C 关于直线1y kx =-对称， 所以 AB AC =，且0k ≠.设1122(,),(,)B x y C x y （12y y ≠），BC 的中点为000(,)(0)x y x ≠.则22221122(1)(1)x y x y ++=++. ………………6分又,B C 在椭圆M 上，所以 2222112244,44x y x y =-=-.所以 2222112244(1)44(1)y y y y -++=-++. 化简，得 2212123()2()y y y y -=-.所以 120123y y y +==. ………………9分 又因为 BC 的中点在直线1y kx =-上， 所以 001y kx =-. 所以 043x k=. 由221,413x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得3x =±所以403k <<，或403k <<，即k <，或k >. 所以{|}22S k k k =<->,或. ………………12分 所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分19．（本小题共14分）（Ⅰ）由题意知, 2b =…………………1分由2e =a = …………………3分 椭圆方程为22148x y +=． …………………4分 （Ⅱ）若存在满足条件的点N ，坐标为（t ，0），其中t 为常数. 由题意直线PQ 的斜率不为0，直线PQ 的方程可设为：1x my =+,()m R ∈ …………………5分 设1122(,),(,)P x y Q x y ,联立221,148x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：22(12)460m y my ++-=, …………………7分221624(12)0m m ∆=++>恒成立，所以12122246,1212m y +y =y y =m m --++ ……8分 由PNM QNM ∠=∠知：+0PN QN k k = …………………9分1212,PN QN y yk k x t x t==--， 即12120y y x t x t +=--，即121211y y my t my t=-+-+-， …………………10分 展开整理得12122(1)()0my y t y y +-+=， 即222(6)4(1)0,1212m m t m m ---+=++ …………………12分即(4)0m t -=，又m 不恒为0，=4t ∴.故满足条件的点N 存在，坐标为(40),……14分（Ⅰ）解：设22b a c -=，由题意，得21=a c ， 所以 2a c =，b =. …………………2分则椭圆方程为 2222143x y c c+=， 又点)23,1(P 在椭圆上， 所以2213144c c+=，解得21c =， 故椭圆方程为 22143x y +=. ………………… 5分 （Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，右焦点(1,0)F ， ………………… 6分 设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， …… 7分由 22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得 2222(34)84120k x k x k +-+-=. ………………… 8分由题意，可知0>∆，则有 2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， …… 9分 所以直线PA 的斜率11321PAy k x -=-，直线PB 的斜率22321PB y k x -=-， …… 10分 所以PA PB t k k k =⨯⨯1212332211y y k x x --=⨯⨯-- 12121233[(1)][(1)]22()1k x k x k x x x x --⨯--=⨯-++2121212121239[()1](2)24()1k x x x x k x x k x x x x -++-+-+=⨯-++122121239(2)24[]()1k x x k k x x x x -+-+=+⨯-++ 233()44k k k k =--⨯=--. ………………… 12分 即 22339()4864t k k k =--=-++， 所以当38k =-时，ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积t 有最大值964. …14分。

BvCBD +qv+qBA BB通州区2015年高三年级模拟考试（一）理综物理试卷2015年4月本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共12页。

第Ⅰ卷1页至4页，第Ⅱ卷5页至12页。

满分300分。

考试时间150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上．．．．．．．．．．．，在试卷上作答无效。

可能用到的相对原子质量：N —14 O —16 Ag —108第Ⅰ卷 （选择题 每题6分 共120分）注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、学校、考号填写清楚并认真填涂考号下方的涂点。

2. 答题时，用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑，以盖住框内字母为准，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案。

请在下列各题的四个选项中选出唯一．．符合题目要求的选项。

一、选择题13．物理学发展史上，有一位科学家开创了实验与逻辑推理相结合的科学研究方法，并研究了落体运动的规律，这位科学家是A ．伽利略B ．安培C ．库仑D ．焦耳14．物体由大量分子组成，下列说法正确的是 A ．分子热运动越剧烈，物体内每个分子的动能越大 B ．分子间引力总是随着分子间的距离减小而减小 C ．物体的内能跟物体的温度和体积有关D ．只有外界对物体做功才能增加物体的内能15．如图所示的四幅图中，正确标明了带正电的粒子所受洛伦兹力f 方向的是16．一束由两种频率不同的单色光从空气射入玻璃三棱镜后，出射光分成a 、b 两束，如图所示，则a 、b 两束光A ．垂直穿过同一块平板玻璃，a 光所用的时间比b 光长B ．从同种介质射入真空发生全反射时，a 光临界角比b 光的大C ．分别通过同一双缝干涉装置，b 光形成的相邻亮条纹间距小D ．若照射同一金属都能发生光电效应，b 光照射时逸出的光电子最大初动能大 17．在科学技术研究中，关于原子定态、原子核变化的过程中，下列说法正确的是 A ．采用物理或化学方法可以有效地改变放射性元素的半衰期 B ．由玻尔理论知道氢原子从激发态跃迁到基态时会放出光子 C ．从高空对地面进行遥感摄影是利用紫外线良好的穿透能力-D ．原子核所含核子单独存在时的总质量小于该原子核的质量18．如图所示，一列简谐横波在介质中沿水平方向传播，实线是在t 1=0时波的图像，虚线是在t 2=0.5 s 时波的图像，已知介质中质点P 在0～0.5s 的时间内通过的路程为10cm 。

2015北京市通州区高三（一模）数学（文）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={1，3，m}，且B⊆A，那么实数m的值是（）A．2 B．4 C．2或4 D．1或32．（5分）已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．2b﹣2a＞0 B．b2﹣a2＞0 C．|b|＞|a| D．2a＞2b3．（5分）已知某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出的结果是（）A．B．0 C．D．﹣14．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N分别是A1B1，BB1的中点，过M，N，C1的截面截正方体所得的几何体，如图所示，那么该几何体的侧视图是（）A．B．C．D．5．（5分）设a=﹣1，b=2log3m，那么“a=b”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）将函数f（x）=sin（x+）的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是（）A．B．C．D．7．（5分）在正方形ABCD中，已知AB=3，E是CD中点，那么等于（）A．B．6 C．D．8．（5分）李江同学在某商场运动品专柜买一件运动服，获100元的代金券一张，此代金券可以用于购买指定的价格分别为18元、30元、39元的3款运动袜，规定代金券必须一次性用完，且剩余额不能兑换成现金．李江同学不想再添现金，使代金券的利用率超过95%，不同的选择方式的种数是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．9．（5分）复数z=（2﹣i）2在复平面内对应的点在第象限．10．（5分）某同学7次考试的分数的茎叶图如图所示，这名同学7次考试的分数的平均数是86，那么m= ．11．（5分）圆心为（﹣1，2），且与y轴相切的圆的方程是．12．（5分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为，，离心率为，那么双曲线C的渐近线方程是；若点P为双曲线C右支上一点，则|PF1|﹣|PF2|= ．13．（5分）如图，阴影部分（包括边界）为平面区域D，若点P（x，y）在区域D内，则z=x+2y的最小值是；x，y满足的约束条件是．14．（5分）已知函数f（x）=在区间（﹣∞，2]上至少有2个零点，那么实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c=5，，△ABC的面积是．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求sinA的值．16．（13分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行．但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司在160名乘客中进行随机抽样，共抽取20人进行调查反馈，将他们的候车时间作为样本分成4组，如表所示（单位：分钟）：组别候车时间人数1 [0，5） 22 [5，10） 43 [10，15）84 [15，20） 6（Ⅰ）估计这160名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（Ⅱ）若从上表第1组、第2组的6人中选2人进行问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．17．（13分）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=2，且a1，a3，a11成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和T n．18．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠BAD=90°，．（Ⅰ）求证：CC1⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BCC1⊥平面BDC1；（Ⅲ）在线段C1D1上是否存在一点P，使AP∥平面BDC1．若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．19．（13分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点是，上顶点是B，且|BF|=2．过点P（0，﹣1）的直线l与椭圆C交于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若，求直线l的方程．20．（14分）已知函数f（x）=x﹣lnx﹣1，g（x）=﹣mx+mf（x）（m∈R）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求g（x）的单调区间；（Ⅲ）当1＜m＜3时，x∈（1，e）求证：g（x）＞﹣（1+ln3）．数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．【解答】∵集合A={1，2，3，4}，B={1，3，m}，且B⊆A，∴m∈A，且m≠1，m≠3，∴m=2或m=4．故选C．2．【解答】∵a＞b＞0，∴2a＞2b，a2＞b2，|b|＜|a|，2a＞2b，因此A，B，C不正确，D正确；故选：D．3．【解答】模拟执行程序框图，可得a=2，i=1不满足条件i＞4，a=，i=2不满足条件i＞4，a=1，i=3不满足条件i＞4，a=，i=4不满足条件i＞4，a=0，i=5满足条件i＞4，退出循环，输出a的值为0．故选：B．4．【解答】根据题意，得；该几何体的侧视图是点A、D、D1、A1在平面BCC1B1上的投影，且NC1是被挡住的线段，应为虚线；∴符合条件的是B选项．故选：B．5．【解答】若a=b，则2log3m=﹣1，解得，当时，b=2log3m=2log3=log3=﹣1，此时a=b，即“a=b”是“”的充要条件，故选：C6．【解答】将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=sin（），由=+kπ，即+2kπ，k∈Z，∴当k=0时，函数的对称轴为，故选：D．7．【解答】如图，=．故选C．8．【解答】设3款运动袜分别为x，y，z个，则18x+30y+39z＞95，x=0，y=2，z=1或x=1，y=0，z=2或x=2，y=2，z=0，故不同的选择方式的种数是3种，故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．9．【解答】z=（2﹣i）2 =4﹣4i+i2=4﹣4i﹣1=3﹣4i．∴复数z=（2﹣i）2在复平面内对应的点的坐标为（3，﹣4），在第四象限．故答案为：四．10．【解答】由题意，这名同学7次考试的分数是78，84，85，85，88，89，90+m，它们的平均数是=86，解得m=3；故答案为：3．11．【解答】∵圆心C的坐标为（﹣1，2），且所求圆与y轴相切，∴圆的半径r=|﹣1|=1，则所求圆的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=1．故答案为：（x+1）2+（y﹣2）2=1．12．【解答】因为两个焦点分别为，，离心率为，所以c=，a=4，则b2=c2﹣a2=4，即b=2，所以双曲线C的渐近线方程；由双曲线的定义得，|PF1|﹣|PF2|=2a=8，故答案为：；8．13．【解答】如图，化目标函数z=x+2y为，由图可知，当直线过A（﹣1，0）时直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1．由图可知，满足可行域的约束条件为．故答案为：﹣1，．14．【解答】∵函数f（x）=在区间（﹣∞，2]上至少有2个零点，且f（x）=ax﹣3最多有1个零点，故ax2+3x+1=0一定有解，若a=0，则f（x）=仅有一个零点﹣，故不成立；故△=9﹣4a≥0，故a≤，又∵x≤0时，f（x）=ax2+3x+1，且f（0）=1＞0，故a＞0，故当0＜a＜时，f（x）=ax2+3x+1在（﹣∞，0]上有两个零点，当a=时，f（x）=ax2+3x+1在（﹣∞，0]上有﹣个零点，此时x﹣3=0，解得，x=；综上所述，实数a的取值范围是，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．【解答】（Ⅰ）因为△ABC的面积是，c=5，，所以=．即=．所以a=3．…（5分）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得．所以b=7．…（9分）（Ⅱ）由正弦定理．所以．…（13分）16．【解答】（Ⅰ）由随机抽样的特点和题中数表可得160×=48．∴估计这160名乘客中候车时间少于10分钟的人数是48人；（Ⅱ）由数表可得第1组有2人，分别记为A1，A2，第2组有4人，分别记为B1，B2，B3，B4，∴6人中选2人共有（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4）共15种情况，且每种情况出现的可能性相同，其中抽到的2人恰好来自不同组的有（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4）共8种情况．∴抽到的2人恰好来自不同组的概率是P=17．【解答】（Ⅰ）因为数列{a n}是等差数列，设公差为d，所以a3=a1+2d=2+2d．a11=2+10d．…（2分）因为a1，a3，a11成等比数列，所以．…（3分）即（2+2d）2=2×（2+10d）．所以d2﹣3d=0．所以d=0，或d=3．…（4分）因为d≠0，所以d=3．…（5分）所以a n=2+3（n﹣1）=3n﹣1．…（6分）（Ⅱ）因为，所以．…（7分）所以T n=b1+b2+…+b n==…（10分）==．所以数列{b n}的前n项和．…（13分）18．【解答】（Ⅰ）因为AA1⊥底面ABCD，所以CC1⊥底面ABCD，因为BD⊆底面ABCD，所以CC1⊥BD．…（4分）（Ⅱ）因为底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠BAD=90°，．所以不妨设AB=1，所以AD=1，CD=2．所以，．所以在△BCD中，BD2+BC2=CD2．所以∠CBD=90°．所以BD⊥BC．又因为CC1⊥BD．所以BD⊥平面BCC1．因为BD⊆平面BDC1，所以平面BCC1⊥平面BDC1．…（9分）（Ⅲ）取线段C1D1的中点为点P，连结AP，所以C1P∥CD，且．因为AB∥DC，．所以C1P∥AB，且C1P=AB．所以四边形ABC1P是平行四边形．所以AP∥BC1．又因为BC1⊆平面BDC1，AP⊄平面BDC1，所以AP∥平面BDC1．所以在线段C1D1上存在一点P，使AP∥平面BDC1，且点P是C1D1的中点．…（14分）19．【解答】（Ⅰ）因为椭圆C的左焦点是，且|B 1F1|=2，所以，a=2．所以由a2=b2+c2，得b2=2．所以椭圆C的标准方程是．…（4分）（Ⅱ）若直线l的斜率不存在，显然不成立．…（5分）若直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，所以直线l的方程是y=kx﹣1．联立方程组消去y，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0．…（6分）设点M（x1，y1），N（x2，y2），所以，．…（7分）因为，所以x1=﹣3x2．…（10分）所以，．所以．所以．所以．…（12分）所以直线l的方程是x﹣2y+2=0，或x+2y﹣2=0．…（13分）20．【解答】（Ⅰ）因为f（x）=x﹣lnx﹣1，所以．所以f（1）=0，f′（1）=0．所以切线方程是y=0．…（3分）（Ⅱ）因为f（x）=x﹣lnx﹣1，，所以．所以．…（4分）①当m≤0时，g′（x）＞0．所以g（x）的单调递增区间是（0，+∞），无单减递增区间．…（5分）②当m＞0时，令g′（x）＞0，得；令g′（x）＜0，得．…（7分）所以g（x）的单调递增区间是，单减递增区间是．…（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当1＜m＜3，x∈（1，e），g（x）的导数和函数值变化情况如下图xg′（x）﹣0 +g（x）递减极小值递增所以g（x）的最小值是．…（10分）令．所以．因为1＜m＜3，所以lnm＞0．所以h′（m）＜0．所以h（m）在（1，3）上单调递减．…（12分）所以．所以当1＜m＜3，x∈（1，e）时，．综上所述，当1＜m＜3，x∈（1，e）时，．…（14分）。

主视图侧视图通州区2014—2015学年度高三摸底考试数学（文）试卷 2015年1月第Ⅰ卷 （选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{|11}A x x =-<<，()0{|2}B x x x ≤=+，那么A B 等于A ．(),1-∞B ．(]1,0-C ．(1,)-+∞D ．[2,1)-2．计算21ii-的结果是 A ．1i -+ B ．1i --C ．1i +D ．1i -3．已知抛物线()220y px p =>的焦点F 到其准线的距离是2，那么p 等于 A ．1B ．2C ．3D ．44．已知幂函数()αf x x =的图象经过点(，那么()()1215g f g f +等于 A ．12-B ．1C ．12D ．25．执行右图所示的程序框图．若输入的n 的值为2，则输出的k 的值是 A ．2B ．3C ．4D ．56．下列判断：①若():0R p x x ≥∈，()1:2R q x x x+≥∈，则p q ∧是真命题； ②若:p a c b c +>+，:q a b >，(),,R a b c ∈，则p 是q 的充分必要条件； ③若:0p x ∀≤，20x>，则0:0p x ⌝∃>，020x ≤．其中正确的是A ．①②B ．②③C ．②D ．③7A ．5 B．7 C ．7 D ．98．设函数()f x 是定义在R 的奇函数，且当0x <时，()2f xx =. 若对任意[],2x k k ∈+，不等式()()3f x k f x +≤恒成立，则()2log g k k =的最小值是A ．2B ．12C ．12-D ．2-第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上． 9．某校为了解高一学生12月份的阅 读情况，抽查并统计了100名同学的某一 周阅读时间，绘制了频率分布直方图 （如图所示），那么这100名学生中阅 读时间在[]8,12小时内的人数为__．10．已知向量=(1,2)a ，=(,2)m b ，且⋅a 11．已知x ，y 满足不等式0,20,0,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩那么2z x y =+的最大值是__.12．在△ABC 中，已知1AB =，BC =23A π=，那么sin _________.B = 13．已知圆C 的方程是2240x y x F +-+=，且圆C 与直线1y x =+相切，那么F＝ .14．如图，C ，D 是两个校区的所在地，C ，D 到一条公路AB 的垂直距离分别是2km CA =，4km DB =，AB 两端之间的距离是6km .某移动公司将在AB 之间找到一点M ，在M 处建造一个信号塔，使得M 对C ，D的张角与M 对C ，A 的张角相等（即CMD CMA ∠=∠），那么点M 到点A 的距离是_____.DBMC A三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本题满分13分）已知函数2()2sin cos 2cos 1f x x x x =--． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值．16．（本题满分13分）已知某中学高三文科学生参加数学和地理的水平测试，抽取50人进行测试，测试成绩结果如下表：测试成绩分为良好、及格、不及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如表中数学成绩为及格的共有109221++=人.（Ⅰ）若在该样本中，数学成绩的良好率是40％，求a ，b 的值；（Ⅱ）在地理成绩为及格的学生中，若4a ≥，3b ≥，求数学成绩良好人数比及格的人数多的概率.17．（本题满分13分）已知等差数列{}n a 的公差是2，前n 项和22n S pn n =+，N .n *∈（Ⅰ）求p 的值及数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在等比数列{}n b 中，222b a =-，332b a =+，数列{}n b 前n 项和是n T ，求证：数列12n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列.18．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，AC ，BD 交于点O ，PO ABCD ⊥平面，PA AB =，E ，F ，G 分别是PO ，AD ，AB 的中点．（Ⅰ）求证：FG ∥平面PBD ； （Ⅱ）求证：PC BD ⊥； （Ⅲ）求证：PC EFG ⊥平面．19.（本题满分13分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴长是2，离心率是3（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）点M 是椭圆C 上异于其顶点的任意一点，点M 关于原点的对称点是点N ，点P 是直线30x y +-=上的一点，且△PMN 是等边三角形，求直线MN 的方程． 20．（本题满分14分）已知函数()21ln 2f x x x ax =--()R a ∈，在1x =时取得极值. （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若方程()32f x x b =-+在区间[]1,3上有两个不等实数根，求实数b 取值范围．（Ⅲ）若函数()()2h x f x x =-，利用()h x 的图象性质，证明：()()2222223(12)ln 12N .n n n *+++>⋅⋅⋅∈OE GF D CBAP高三数学（文科）摸底考试参考答案2015年1月一．选择题：二．填空题：9.38 10. 1 11. 412.13. 12- 14. 23三．解答题：15．（本小题13分）解：（Ⅰ）因为()22sin cos 2cos 1f x x x x =--，所以()sin 2cos22f x x x =--2 2.4x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ………… 3分所以最小正周期是2.2T ππ== …………… 5分 对称轴方程是2,42x k k Z πππ-=+∈，即3,.82k x k Z ππ=+∈ ………… 7分 （Ⅱ）因为02x π≤≤，所以32.444x πππ-≤-≤…………… 9分 所以242x ππ-=，即38x π=时， …………… 11分()f x 2， ………… 13分16．（本题13分）解： (Ⅰ)因为数学成绩的良好率是40﹪，所以450.4.50a ++= 所以11.a = 所以 4.b = ……………… 4分 (Ⅱ)由题意可知15a b +=，且4a ≥，3b ≥，所以满足条件的(),a b 有()4,11，()5,10，()6,9，()7,8，()8,7，()9,6，()10,5，()11,4，()12,3共9组，且每组出现的可能性相同. ……… 9分其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数多的有()10,5，()11,4，()12,3共3组. ………… 12分所以数学成绩为优秀的人数比及格的人数多的概率是1.3……… 13分 17．（本小题13分）（Ⅰ）因为22n S pn n =+，所以112a S p ==+，24 4.S p =+所以112a S p ==+，124 4.a a p +=+所以23 2.a p =+ ……… 4分 因为数列{}n a 是等差数列，且公差是2，所以212a a -=，即112a S p ==+ 所以.1p = …………… 5分 所以()3122 1.n a n n =+-⋅=+ ………………… 6分（Ⅱ）因为222b a =-，332b a =+，所以23b =，39.b =所以1 1.b = …… 8分 因为数列{}n b 是等比数列，所以公比 3.q =所以13113.1322n n n T -==⋅-- ……………… 10分 所以1111322311322n n n n T T +++⋅==+⋅， 且11322T +=，所以数列12n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为3的等比数列. ………… 13分18．（本小题14分）证明：：（Ⅰ）因为点F ，G 分别是AD ，AB 的中点，所以//.FG BD 因为BD ⊂平面PBD ，FG ⊄平面PBD ， 所以FG //平面.PBD ……… 4分 （Ⅱ）因为四边形ABCD 是正方形，所以.BD AC ⊥ 因为PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面PBD ，所以.BD PO ⊥ 因为ACPO O =,所以BD ⊥平面.PAC所以.PC BD ⊥ ………… 8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知BD PC ⊥，且//FG BD ，所以.FG PC ⊥ 设AO 与FG 的交点为H ，连结EH ，因为点E ，H 分别是PO ，AO 的中点，所以//.EH PA 设PA a =，由题意得PC a =，.AC =所以在PAC ∆中，222.PA PC AC +=所以PAC ∆是直角三角形. 所以.PA PC ⊥所以.EH PC ⊥因为FGEH H =,所以PC ⊥平面.EFG … 14分19．（本小题13分） 解：（Ⅰ）因为椭圆的短轴长是2，所以 1.b = …… 1分所以c a = 所以222.3c a =所以由222a b c =+得2 3.a =所以椭圆C 的标准方程是22 1.3x y += …………… 3分 （Ⅱ）设直线MN 的方程是.y kx = k 显然存在.联立方程组22,1,3y kx x y =⎧⎪⎨++⎪⎩ 所以()2213 3.k x += 设点()11,M x y，所以1x =所以11y kx ==……… 5分所以OM == …………………… 6分 因为OP MN ⊥， 所以直线OP 的方程是1.y x k=-联立方程组1,30,y x k x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩所以1 1.k x k -⎛⎫= ⎪⎝⎭设点()22,P x y ，所以23.1k x k =- 所以23.1y k =-- ……… 8分所以OP ==………………… 9分因为PMN ∆是等边三角形，所以OP OM ==…11分 所以2220.k k +=所以1k =-，0.k =因为0k =不合题意，舍去. 所以 1.k =-直线MN 的方程是.y x =- ……… 13分 20．（本题14分）解：（Ⅰ）因为函数21()ln 2f x x x ax =--()0x >， 所以()1.f x x a x'=-- ……………… 1分 因为()f x 在1x =时取得极值，所以()10f '=，即110.a --= 所以0.a = ……………… 2分所以()21.x f x x-'= 令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >；所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减. ………… 3分 （Ⅱ）设()()32g x f x x b =+-，所以()213ln 22g x x x x b =-+-()0.x > 所以()213232.22x x g x x x x-++'=-+=……………… 4分 令()0g x '>，得02x <<；令()0g x '<，得2x >； 所以()g x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减.所以()g x 在()1,2上单调递增，在()2,3上单调递减. ………………… 5分 因为方程()32f x x b =-+在区间[]1,3上有两个不等实数根，所以有()()()10,20,30,g g g ≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩ ……… 7分即10,ln 210,ln 30,b b b -≤⎧⎪+->⎨⎪-≤⎩解得ln 3ln 2 1.b ≤<+ 所以b 的取值范围是[)ln3,ln 21.+ …………………… 8分 （Ⅲ）因为()()2h x f x x =-， 所以()()23ln 0.2h x x x x =-> 所以()()211330.x h x x x x x -'=-=>因为()0h x '<，所以x > 所以()h x 在[)1,+∞上单调递减. …………………… 9分 因为()3102h =-<，所以当1x ≥时，()0.h x <所以()23ln 0.2h x x x =-< 所以23ln .2x x <……… 10分 令()x n n N *=∈，作和，所以()2223ln1ln 2ln 12.2n n +++<+++ … 12分所以()()2222ln 12312.n n ⋅⋅⋅<+++所以()()()222222312ln 12.n n n N *+++>⋅⋅⋅∈ ………… 14分。

2015北京高考数学 各区一模试题汇编--解析几何 答案--弦长与面积问题19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a bc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b ， 故椭圆的方程为22162x y +=． …….4分（Ⅱ）当直线l 斜率不存在时,A B的坐标分别为，(2,，||MN =， 四边形AMBN 面积为1||||42AMBN S MN AB =⋅=． 当直线l 斜率存在时，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ，则四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+． 由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 则21221213k x x k +=+，212212613k x x k -=+， 所以||AB==．因为121224(4)13ky y k x x k-+=+-=+， 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++． 当0k ¹时，直线OD 方程为30x ky +=， 由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得333,x ky =-232213y k =+． 所以121||()2AMBN S AB d d =+12=====当0k =时，四边形AMBN面积的最大值AMBN S =综上四边形AMBN面积的最大值为． …………………………14分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由点)23,1(P 和1F 关于点)43,0(C 对称，得1(1,0)F -， ………… 1分所以椭圆E 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ， ……………… 2分 由椭圆定义，得 122||||4a PF PF =+=.所以 2a =，b = ……………… 4分故椭圆E 的方程为13422=+y x . ……………… 5分 （II ）解：结论：存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分. ……… 6分 理由如下：由题可知直线l ，直线PQ 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，直线PQ 的方程为3(1)2y k x -=-. ……… 7分 由 221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ， 得2222(34)84120k x k x k +-+-=， ……………… 8分 由题意，可知0∆> ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ……………… 9分 由221,433(1),2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩消去y ,得2222(34)(812)41230k x k k x k k +--+--=， 由0∆>，可知12k ≠-，设),(33y x Q ，又)23,1(P ，则223431281k k k x +-=+，2234331241kk k x +--=⋅. ……………… 10分 若四边形PABQ 的对角线互相平分，则PB 与AQ 的中点重合， 所以212231+=+x x x ，即3211x x x -=-， ……………… 11分 故2212123()4(1)x x x x x +-=-. ……………… 12分所以 2222222284124123()4(1)343434k k k k k k k ----⋅=-+++. 解得 34k =. 所以直线l 为3430x y --=时， 四边形PABQ 的对角线互相平分. …… 14分 （注：利用四边形PABQ 为平行四边形，则有||||PQ AB =，也可解决问题）19.解：（I ）由题意，椭圆C 的标准方程为221.43x y += 所以224,3,a b ==从而222 1.c a b =-= 因此，2, 1.a c ==故椭圆C 的离心率1.2c e a ==..... ...........................................4分 （II ）由题意可知，点P 的坐标为3(1,).2-设1l 的方程为3(1).2y k x =++则2l 的方程为3(1).2y k x =-++........................................5分由223(1)23412y k x x y ⎧=++⎪⎨⎪+=⎩得2222(43)(812)41230.k x k k x k k +++++-= 由于1x =-是此方程的一个解.所以此方程的另一解22412343A k k x k +-=-+ 同理22412343B k k x k --=-+............... ...........................................7分故直线AB 的斜率为33(1)(1)22B A B A ABB A B Ak x k x y y k x x x x -++-+--==-- 22286(2)143.24243k k k k k -+-++==-+ ........... ...........................................9分设直线AB 的方程为1.2y x m =-+由22123412y x m x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得2230x mxm -+-=所以||AB ==又原点O 到直线AB 的距离为d =所以OAB ∆的面积12OAB S ∆==22(4)22m m +-≤⋅= 当且仅当224m m =-，即22,2m m ==±时.OAB ∆的面积达到最大................ ...........................................13分由题意可知，四边形ABMN 为平行四边形, 所以，四边形ABMN的面积4OAB S S ∆=≤故四边形ABMN面积的最大值为 ............... ...........................................14分中点与垂直问题（19）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222,,3,c c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b = 故椭圆的方程为22162x y +=． ……… 5分 （Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 所以21221213k x x k+=+． 因为121224(4)13ky y k x x k-+=+-=+，所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++． 因此直线OD 方程为30x ky +=()0k ¹．由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+，333x ky =-． 因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ⋅=u u u u r u u u u r，即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=．所以223340x y --=．所以222(91)4013k k +-=+．解得3k =±．故直线l的方程为2)3y x =±-． ……… 14分19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）抛物线28y x =，所以焦点坐标为(2,0)，即(2,0)A ， 所以2a =．又因为2c e a ==，所以c = 所以2221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2214x y +=． ……………………4分 （Ⅱ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，因为AM AP AQ =+u u u u r u u u r u u u r，(2,0)A ，所以11(2,)AP x y =-u u u r，22(2,)AQ x y =-u u u r ，所以1212(4,+)AM AP AQ x x y y =+=+-u u u u r u u u r u u u r，所以()12122,M x x y y +-+．由2214(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(41)8440k x k x k +-+-=（判别式0∆>）， 得2122282224141k x x k k -+-=-=++，121222(2)4+1ky y k x x k -+=+-=， 即2222(,)4141k M k k --++．设3(0,)N y ， 则MN 中点坐标为3221(,)41412y kk k --+++，因为M ，N 关于直线l 对称，所以MN 的中点在直线l 上，所以3221(1)41241k y k k k --+=-++，解得32y k =-，即(0,2)N k -． 由于M ，N 关于直线l 对称，所以M ，N 所在直线与直线l 垂直，所以 222(2)4112041kk k k k ---+⋅=---+，解得k = ……………………14分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由题意得：2221,.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩………………3分解得：223,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以 椭圆M 的方程为2213x y +=. ………………4分 （Ⅱ）不存在满足题意的菱形ABCD ，理由如下： ………………5分 假设存在满足题意的菱形ABCD .设直线BD 的方程为y x m =+，11(,)B x y ，22(,)D x y ，线段BD 的中点00(,)Q x y ，点(,2)A t . ………………6分由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得224230y my m -+-=. ………………8分由()()2221630m m ∆=--> ，解得22m -<<. ………………9分因为 122my y +=， 所以 12024y y my +==. ………………11分因为 四边形ABCD 为菱形， 所以 Q 是AC 的中点.所以 C 点的纵坐标022212C my y =-=-<-. ………………12分 因为 点C 在椭圆M 上，所以 1C y ≥-.这与1C y <-矛盾. ………………13分 所以 不存在满足题意的菱形ABCD .19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由点)23,1(P 和1F 关于点)43,0(C 对称，得1(1,0)F -， ………… 1分所以椭圆E 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ， ……………… 2分 由椭圆定义，得 122||||4a PF PF =+=.所以 2a =，b = ……………… 4分故椭圆E 的方程为13422=+y x . ……………… 5分 （II ）解：结论：存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分. ……… 6分 理由如下：由题可知直线l ，直线PQ 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，直线PQ 的方程为3(1)2y k x -=-. ……… 7分由 221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ， 得2222(34)84120k x k x k +-+-=， ……………… 8分 由题意，可知0∆> ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ……………… 9分 由221,433(1),2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩消去y ,得2222(34)(812)41230k x k k x k k +--+--=， 由0∆>，可知12k ≠-，设),(33y x Q ，又)23,1(P ，则223431281k k k x +-=+，2234331241k k k x +--=⋅. ……………… 10分若四边形PABQ 的对角线互相平分，则PB 与AQ 的中点重合， 所以212231+=+x x x ，即3211x x x -=-， ……………… 11分 故2212123()4(1)x x x x x +-=-. ……………… 12分所以 2222222284124123()4(1)343434k k k k k k k ----⋅=-+++. 解得 34k =. 所以直线l 为3430x y --=时， 四边形PABQ 的对角线互相平分. …… 14分 （注：利用四边形PABQ 为平行四边形，则有||||PQ AB =，也可解决问题）19.解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为221164x y +=,所以2222216,4,12从而a b c a b ===-=,因此4,a c ==故椭圆C的离心率c e a == ............... ...........................................4分 (II)由221,416y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()22148120k x kx ++-=,由题意可知0∆>. ............... ...........................................5分 设点,E F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为(),M M x y , 则1224214M x x k x k +==-+,1221214M y y y k+==+................ .....................................7分因为BEF ∆是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,所以BM EF ⊥, 因此BM 的斜率1BM k k=-. ............... ...........................................8分 又点B 的坐标为()0,2-,所以222122381440414M BM M y k k k k x k k ++++===---+,............... ....................................10分 即()238104k k k k+-=-≠, 亦即218k =,所以k = ............... ...........................................12分故EF的方程为440y -+=. ............... ...........................................13分又圆2212x y +=的圆心()0,0O 到直线EF的距离为32d ==>, 所以直线EF 与圆相离................ ...........................................14分单动点消元问题解：（Ⅰ）由已知离心率12c e a ==， 又△12MF F 的周长等于226a c +=，解得2a =，1c =．所以23b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………………..5分（Ⅱ）设点M 的坐标为00(,)x y ，则2200143x y +=．由于圆M 与l 有公共点，所以M 到l 的距离04x -小于或等于圆的半径r ． 因为2222100(+1)r MF x y ==+，所以222000(4)(1)x x y -≤++，即20010150y x +-≥．又因为22003(1)4x y =-，所以20033101504x x -+-≥．整理得200340+480x x -≤，解得04123x ≤≤．又022x -<< ，所以0423x ≤<．所以003y <≤． 因为△12MF F 面积01201=2y F F y =，当03y =时，△12MF F 面积有最大值3． ………………..13分（Ⅰ）由短轴长为，得b = ………………1分由2c e a a ===，得224,2a b ==． ∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………4分（Ⅱ）以MN 为直径的圆过定点(F ． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=，∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分 【或通过求得圆心00202(0,)4x y O x '-，204||4y r x =-得到圆的方程】 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ∵220042x y -=-，∴22220x x y y y ++-=， ………………12分 令0y =，则220x -=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． …………14分解：（Ⅰ）设动点E 的坐标为(,)x y ．由抛物线定义知，动点E 的轨迹为以(1,0)为焦点，1x =-为准线抛物线．所以动点E 的轨迹C 的方程为：24y x =． ……………4分（Ⅱ）设直线l 的方程为：y kx b =+．（显然0k ≠）由 24,,y x y kx b ⎧=⎨=+⎩得2440ky y b -+=．因为直线l 与抛物线相切， 所以16160kb ∆=-=，1b k =． 所以直线l 的方程为1y kx k=+． 令1x =-，得1y k k=-+， 所以1(1,)Q k k--+．设切点坐标00(,)P x y ，则200440ky y k -+=，解得212(,)P k k． 设(,0)M m ，则2121()(1)()MQ MP m m k k k k⋅=---+-+u u u u r u u u r2222122m m m k k k =-+-++-． 21(1)(2)m m k =---． 当1m =时，0MQ MP ⋅=u u u u r u u u r．所以以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点(1,0)M ． ……………13分定点与定值问题解：（Ⅰ）∵点Q 到椭圆左右焦点的距离和为4. ∴24a =，2a =.又12c e a ==，∴1c =，2223b a c =-=. ∴椭圆W 的标准方程为：22143x y +=…………………5分 （Ⅱ）∵直线1l 、2l 经过点(0,1)且互相垂直，又A 、B 、C 、D 都不与椭圆的顶点重合 ∴设1l ：1y kx =+，2l ：11y x k=-+；点11(,)A x y 、22(,)B x y 、(,)E E E x y 、(,)F F F x y 由221143y kx x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)880k x kx ++-= ∵点(0,1)在椭圆内，∴△0>∴122834kx x k +=-+，∴1224234Ex x kx k+==-+，23134E E y kx k =+=+∴34E OE E y k x k==- 同理33144()F OF Fy kk x K ==-=-∴916OE OFk k ⋅=-…………………14分2015房山一模理科19题 19．（本小题共14分）解： (Ⅰ)由题意得21|4|)1(22=-+-x y x ， ………………2分化简并整理，得 13422=+y x . 所以动点),(y x P 的轨迹C 的方程为椭圆13422=+y x . ………………5分 （Ⅱ）当0=t 时，点B M 与重合，点A N 与重合，,,M N F 三点共线. ………7分当0≠t 时根据题意：:(2),:(2)62tt QA y x QB y x =+=-由()2214326x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消元得：2223(2)1209t x x ++-=整理得：2222(27)441080t x t x t +++-=该方程有一根为2,x =-另一根为M x ,根据韦达定理，222241085422,2727M M t t x x t t ---==++由()2214322x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 消元得：2223(2)120x t x +--= 整理得：2222(3)44120t x t x t +-+-=该方程有一根为2,x =另一根为N x ,根据韦达定理，2222412262,33N N t t x x t t --==++当M N x x =时，由222254226273t t t t --=++得：29,t =1M N x x ==，,,M N F 三点共线； 当M N x x ¹时，218(2)627M M t t y x t =+=+，26(2)23N N t ty x t -=-=+22221862754219127M MFM t y t t k t x t t +===----+；2222663261913N NFN t y t t k t x t t -+===----+ NF MF K k =，,,M N F 三点共线.综上，命题恒成立. ………………14分19.（本小题共14分）解: （Ⅰ）因为椭圆C ：22162x y += 所以焦点(2,0)F ，离心率e =……………………4分 （Ⅱ）直线l ：y kx m =+(0)k ≠过点F ，所以2m k =-，所以l ：(2)y k x =-．由2236(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(31)121260.k x k x k +-+-=（依题意 0∆>）． 设 11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则21221231k x x k +=+，2122126.31k x x k -=+ ．因为点P 关于x 轴的对称点为P '，则11(,)P x y '-． 所以，直线P Q '的方程可以设为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，2111211211212x y x y x y x y x x y y y y -+=+=++211212(2)(2)(4)kx x kx x k x x -+-=+-12121222()(4)x x x x x x -+=+-2222221261222313112(4)31k k k k k k --++=-+ 3=． 所以直线P Q '过x 轴上定点(3,0)． ……………………14分19.（本小题共14分）解: （Ⅰ）因为椭圆C ：22162x y +=所以焦点(2,0)F ，离心率3e =……………………4分 （Ⅱ）直线l ：y kx m =+(0)k ≠过点F ，所以2m k =-，所以l ：(2)y k x =-．由2236(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(31)121260.k x k x k +-+-=（依题意 0∆>）． 设 11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则21221231k x x k +=+，2122126.31k x x k -=+ ．因为点P 关于x 轴的对称点为P '，则11(,)P x y '-． 所以，直线P Q '的方程可以设为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，2111211211212x y x y x y x y x x y y y y -+=+=++211212(2)(2)(4)kx x kx x k x x -+-=+-12121222()(4)x x x x x x -+=+-2222221261222313112(4)31k k k k k k --++=-+ 3=．所以直线P Q '过x 轴上定点(3,0)． ……………………14分（19）（共13分）解：（Ⅰ）因为 椭圆M 过点(0,1)A -，所以 1b =.………………1分 因为 222 c e a b c a ===+， 所以 2a =.所以 椭圆M 的方程为22 1.4x y += ………………3分（Ⅱ）方法一： 依题意得0k ≠.因为 椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称，所以 直线BC 与直线1y kx =-垂直，且线段BC 的中点在直线1y kx =-上. 设直线BC 的方程为11221,(,),(,)y x t B x y C x y k=-+. 由221,44y x t k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得 22222(4)8440k x ktx k t k +-+-=. ………………5分由2222222222644(4)(44)16(4)0k t k k t k k k t k ∆=-+-=-+>， 得22240k t k --<.（*） 因为 12284ktx x k +=+， ………………7分 所以 BC 的中点坐标为2224(,)44kt k tk k ++.又线段BC 的中点在直线1y kx =-上，所以 2224144k t ktk k k =-++.所以 22314k t k =+. ………………9分代入（*），得2k <-或2k >. 所以{|}22S k k k =<->,或. ………………11分 因为 22143k t k =+，所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分方法二：因为 点(0,1)A -在直线1y kx =-上，且,B C 关于直线1y kx =-对称， 所以 AB AC =，且0k ≠.设1122(,),(,)B x y C x y （12y y ≠），BC 的中点为000(,)(0)x y x ≠.则22221122(1)(1)x y x y ++=++. ………………6分又,B C 在椭圆M 上，所以 2222112244,44x y x y =-=-.所以 2222112244(1)44(1)y y y y -++=-++. 化简，得 2212123()2()y y y y -=-.所以 120123y y y +==. ………………9分 又因为 BC 的中点在直线1y kx =-上， 所以 001y kx =-. 所以 043x k=. 由221,413x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得3x =±所以403k <<，或403k <<，即k <，或k >. 所以{|}22S k k k =<->,或. ………………12分 所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分19．（本小题共14分）（Ⅰ）由题意知, 2b =…………………1分由2e =a = …………………3分 椭圆方程为22148x y +=． …………………4分 （Ⅱ）若存在满足条件的点N ，坐标为（t ，0），其中t 为常数. 由题意直线PQ 的斜率不为0，直线PQ 的方程可设为：1x my =+,()m R ∈ …………………5分 设1122(,),(,)P x y Q x y ,联立221,148x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：22(12)460m y my ++-=, …………………7分221624(12)0m m ∆=++>恒成立，所以12122246,1212m y +y =y y =m m --++ ……8分 由PNM QNM ∠=∠知：+0PN QN k k = …………………9分1212,PN QN y yk k x t x t==--， 即12120y y x t x t +=--，即121211y y my t my t=-+-+-， …………………10分 展开整理得12122(1)()0my y t y y +-+=，即222(6)4(1)0,1212m m t m m ---+=++ …………………12分即(4)0m t -=，又m 不恒为0，=4t ∴.故满足条件的点N 存在，坐标为(40),……14分（Ⅰ）解：设22b a c -=，由题意，得21=a c ， 所以 2a c =，b =. …………………2分则椭圆方程为 2222143x y c c+=， 又点)23,1(P 在椭圆上， 所以2213144c c+=，解得21c =， 故椭圆方程为 22143x y +=. ………………… 5分 （Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，右焦点(1,0)F ， ………………… 6分 设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， …… 7分由 22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得 2222(34)84120k x k x k +-+-=. ………………… 8分由题意，可知0>∆，则有 2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， …… 9分 所以直线PA 的斜率11321PAy k x -=-，直线PB 的斜率22321PB y k x -=-， …… 10分 所以PA PB t k k k =⨯⨯1212332211y y k x x --=⨯⨯--最新整理. 12121233[(1)][(1)]22()1k x k x k x x x x --⨯--=⨯-++ 2121212121239[()1](2)24()1k x x x x k x x k x x x x -++-+-+=⨯-++122121239(2)24[]()1k x x k k x x x x -+-+=+⨯-++ 233()44k k k k =--⨯=--. ………………… 12分 即 22339()4864t k k k =--=-++， 所以当38k =-时，ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积t 有最大值964. …14分。