2019高考数学一轮复习第七章不等式7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划练习理

2019年高考数学一轮复习第七章不等式7.2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题真题演练集训理新人教A 版1．[xx·山东卷]若变量x ，y满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12答案：C设P (x ，y )为平面区域内任意一点，则x 2＋y 2表示|OP |2.显然，当点P 与点A 重合时，x 2＋y 2取得最大值，由⎩⎨⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，故A (3，－1)．所以x 2＋y 2的最大值为32＋(－1)2＝10.故选C.2．[xx·北京卷]若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5答案：C解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，故当目标函数z ＝2x ＋y 经过点A (1,2)时，z 取得最大值，z max ＝2×1＋2＝4.故选C.3．[xx·陕西卷]某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元 C ．17万元 D ．18万元答案：D解析：设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图中阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18(万元)．4．[xx·新课标全国卷Ⅰ]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 3答案：C解析：作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －2y ＝4，得交点A (2，－1)．目标函数的斜率k ＝－12>－1，观察直线x ＋y ＝1与直线x ＋2y ＝0的倾斜程度，可知u ＝x ＋2y 过点A 时取得最小值0⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＝－x 2＋u 2，u2表示纵截距.结合题意知p 1，p 2正确．5．[xx·新课标全国卷Ⅲ]若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．答案：32解析：约束条件对应的平面区域是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，(0,1)和(－2，－1)为顶点的三角形，当目标函数y ＝－x ＋z 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，z 取得最大值32. 课外拓展阅读 非线性目标函数最值的求解类型1 斜率型非线性规划问题的最值(值域) 目标函数形式一般为z ＝ay ＋bcx ＋d(ac ≠0)，求解步骤为 (1)需先弄清其几何意义，z ＝a c ·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c 表示的是可行域内的点(x ，y )与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－dc ，－b a 所连直线的斜率的a c倍．(2)数形结合，确定定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c ，－b a ，观察可行域的范围．(3)确定可行域内的点(x ，y )，看(x ，y )取何值时，斜率最大(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最大值)；(x ，y )取何值时，斜率最小(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最小值)；通常在三角形或四边形的边界交点处取得最值．[典例1] 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≥0，x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，则f (x ，y )＝x ＋2y2x ＋y的取值范围是________．[思路分析][解析]作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，f (x ，y )＝x ＋2y2x ＋y＝1＋2·y x2＋y x.令y x ＝k ，则g (k )＝1＋2k 2＋k ＝2－32＋k. 而k ＝yx表示可行域内的点P (x ，y )与坐标原点O 的连线的斜率，观察图形可知，k OA ≤k ≤k OB ， 而k OA ＝1－03－0＝13，k OB ＝3－01－0＝3，所以13≤k ≤3，即57≤f (x ，y )≤75. [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤57，75类型2 距离型非线性规划问题的最值(值域)1．目标函数形式为z ＝(x －a )2＋(y －b )2时，求解步骤为： (1)其表示的是可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )之间的距离的平方． (2)数形结合，确定定点(a ，b )，观察可行域的范围．(3)确定可行域内的点(x ，y )，看(x ，y )取何值时，距离最大(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最大值)；(x ，y )取何值时，距离最小(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最小值)；通常在三角形、四边形的边界交点处或定点(a ，b )到可行域边界直线的垂足处取得．2．目标函数形如z ＝|Ax ＋By ＋C |时，一般步骤为： (1)将z ＝|Ax ＋By ＋C |＝A 2＋B 2·|Ax ＋By ＋C |A 2＋B 2，问题转化为求可行域内的点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍的最值．(2)确定可行域，通过数形结合的方法求出所求的最值．[典例2] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝(x ＋1)2＋y 2的最大值为( )A ．80B ．4 5C ．25 D.172[思路分析] 作出可行域→结合目标函数的几何意义：两点间距离的平方→数形结合，求得z 的最大值[解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x ＋1)2＋y 2可看作点(x ，y )到点P (－1,0)的距离的平方，由图可知，可行域内的点A 到点P (－1,0)的距离最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＋5＝0，得点A 的坐标为(3,8)，代入z ＝(x ＋1)2＋y 2，得z max ＝(3＋1)2＋82＝80. [答案] A[典例3]实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．[思路分析][解析] 解法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5， 即其几何意义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得点B 的坐标为(7,9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大， 此时z max ＝21.解法二：由图可知，阴影区域内的点都在直线x ＋2y －4＝0的上方，显然此时有x ＋2y －4>0，于是目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，即转化为简单的线性规划问题，显然当直线经过点B 时，目标函数取得最大值，z max ＝21.[答案] 21 技巧点拨解决这类问题时，需充分把握好目标函数的几何意义，在几何意义的基础上加以处理．318377C5D籝3728091A0醠z 2w; P21290532A匪V<。

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§7。

3 二元一次不等式(组）与简单的线性规划考纲解读分析解读 1.多考查线性目标函数的最值问题，兼顾面积、距离、斜率等问题.2。

能用线性规划的方法解决重要的实际问题，使收到的效益最大，耗费的人力、物力资源最少等。

3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考查与平面区域有关的范围、距离等问题以及线性规划问题，分值约为5分，属中低档题.五年高考考点一平面区域问题1。

(2016山东，4,5分）若变量x,y满足则x2+y2的最大值是( ）A.4 B。

9 C。

10 D.12答案C2。

(2016浙江,3,5分)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影。

由区域中的点在直线x+y—2=0上的投影构成的线段记为AB，则｜AB|=（）A。

2 B.4 C.3 D。

6答案C3.（2014课标Ⅰ,9，5分）不等式组的解集记为D.有下面四个命题:p1:∀（x，y)∈D,x+2y≥-2，p2：∃（x,y)∈D,x+2y≥2,p3：∀(x,y)∈D,x+2y≤3，p4：∃(x,y）∈D,x+2y≤—1.其中的真命题是( )A。

p2,p3B。

p1，p2 C.p1，p4 D.p1，p3答案B4.(2015课标Ⅰ，15，5分)若x,y满足约束条件则的最大值为。

7.3二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式 表示区域Ax ＋By ＋C ＞0 直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线 Ax ＋By ＋C ≥0 包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2．线性规划中的基本概念名称 意义约束条件 由变量x ，y 组成的不等式(组)线性约束条件由x ，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数 关于x ，y 的函数解析式，如z ＝2x ＋3y 等 线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有． 『试一试』1．如图所示的平面区域(阴影部分)满足的不等式是______．『答案』x ＋y －1>02．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是________．『解析』作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x －3y 过点C 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，∴z min ＝2×3－3×4＝－6. 『答案』－61．确定二元一次不等式表示平面区域的方法二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x 0，y 0)作为测试点来进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧． 2．求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值的方法将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．(1)当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值；(2)当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．『练一练』(2014·南京一模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ≥0，x ≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．『解析』作出可行域，如图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点(－1,1)时，z 取得最小值－1.『答案』－1考点一二元一次不等式(组)表示平面区域1.由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，y ≥0，y ≤x －1所确定的平面区域的面积等于________.『解析』作出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分，可知其面积为2.『答案』22．(2014·苏锡常镇调研)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，0＜x ≤3，y ＞1x所表示的平面区域内的所有格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取3个点，则该3点恰能作为一个三角形的三个顶点的概率为________．『解析』当x ＝1时，1＜y ≤1，此时无解；当x ＝2时，12＜y ≤2，此时y ＝1,2；当x ＝3时，13＜y ≤3，此时y ＝1,2,3.所以在可行域中共有5个格点，从中任取3个点共计10种方法．若在直线x ＝2上取一点，则在直线x ＝3上三个点中取两个，此时有2×3＝6(种)；若在直线x ＝2上取两点，则直线x ＝3上三个点中取一个，此时有3种，故所求概率为910.『答案』9103．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．『解析』两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0.由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0，又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域．『答案』⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0『备课札记』『类题通法』二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．考点二求目标函数的最值线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题角度有：1求线性目标函数的最值； 2求非线性目标的最值； 3求线性规划中的参数.角度一 求线性目标函数的最值1．(1)(2014·徐州摸底)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤2，0≤y ≤3，则z ＝2x －y 的最大值是________．『解析』在平面直角坐标系中作出满足条件的可行域，如图，即等腰直角三角形ABC ，其中A (5,3)，B (2,0)，C (－1,3)，过原点O 作直线l 0：y ＝2x ，将l 0平移至点A 时，可取最大值，即z max ＝2×5－3＝7.『答案』7(2)(2013·南京、盐城一模)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y的最大值为________．『解析』画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)．由图可知，y ＝－23x ＋z3，过点(4,6)时，z 取得最大值，为26.『答案』26角度二 求非线性目标的最值2．(1)(2014·苏北四市二调)在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤22y －x ≥1下，x －12＋y 2的最小值为________．『解析』画出线性约束条件下的可行域(如图阴影部分)，所求的22(1)x y -+的几何意义就是点(1,0)与阴影部分内的点之间的距离，其最小值为点(1,0)到直线x －2y ＋1＝0的距离，可求得22(1)x y -+的最小值为2212011(2)-⨯++-＝255. 『答案』255(2)(2014·南通一模)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则z ＝y x －xy的取值范围是________．『解析』作出可行域(如图阴影部分)，则区域内的点与原点连线的斜率取值范围是⎣⎡⎦⎤13，2.令t ＝y x ，则z ＝t －1t ，根据函数z ＝t －1t在t ∈⎣⎡⎦⎤13，2上单调递增，得z ∈⎣⎡⎦⎤－83，32.『答案』⎣⎡⎦⎤－83，32 角度三 求线性规划中的参数3．(1)(2013·苏北三市调研)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ＋1，x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是113，则实数k ＝________.『解析』由题意得当k ＜－1时满足题意，此时该不等式组表示的平面区域如下图所示，平移直线2x ＋y ＝0经过点P 时，目标函数z ＝2x ＋y 取得最大值，是113，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x ＋y ＋k ＝0，得⎩⎨⎧x ＝－k ＋13，y ＝1－2k3，即点P ⎝⎛⎭⎫－k ＋13，1－2k 3， 所以2⎝⎛⎭⎫－k ＋13＋1－2k 3＝113，解得k ＝－3.『答案』－3(2)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y －8≤0，x ≤3.若点⎝⎛⎭⎫3，52是使ax －y 取得最小值的唯一的可行解，则实数a 的取值范围为________．『解析』记z ＝ax －y ，注意到当x ＝0时，y ＝－z ，即直线z ＝ax －y 在y 轴上的截距是－z .在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，满足题意的实数a 的取值范围为a <－12.『答案』⎝⎛⎭⎫－∞，－12 『备课札记』 『类题通法』1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2.(3)斜率型：形如z ＝y －bx －a .注意：转化的等价性及几何意义．考点三线性规划的实际应用『典例』 某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为________元．『解析』 设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，y －x ≤7，y ＋x ≤21，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．『答案』 36 800『备课札记』 『类题通法』求解线性规划应用题的注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式． 『针对训练』某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是________元．『解析』设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，z ＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A (4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值，最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元．『答案』2 800『课堂练通考点』1．(2014·扬州期末)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥4，2x ＋y ≤5，则z ＝2x －y 的最大值是________．『解析』由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥4，2x ＋y ≤5，可以画出可行域如下图阴影部分所示，故当直线经过点A (2,1)时，目标函数z ＝2x －y 的最大值为3.『答案』32．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0，表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为________．『解析』注意到直线kx －y ＝0恒过原点，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合题意得直线kx －y ＝0与直线x ＋y －4＝0垂直时满足题意，于是有k ×(－1)＝－1，由此解得k ＝1. 『答案』13．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA ·OP的最大值为________． 『解析』如图作可行域，z ＝OA ·OP ＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2. 『答案』24．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a－b 的值是________． 『解析』约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)为顶点的四边形区域，检验四个顶点的坐标可知，当x ＝4，y ＝4时，a ＝z max ＝5×4－4＝16；当x ＝8，y ＝0时，b ＝z min ＝5×0－8＝－8，∴a －b ＝24. 『答案』245．(2013·安徽高考)若非负变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋2y ≤4，则x ＋y 的最大值为________．『解析』画出可行域是如下图所示的四边形OABC 的边界及内部，令z ＝x ＋y ，易知当直线y ＝－x ＋z 经过点C (4,0)时，直线在y 轴上截距最大，目标函数z 取得最大值，即z max ＝4.『答案』46．(2013·北京高考)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．『解析』作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，d ＝|2×1－0|22＋1＝255，故最小距离为255.『答案』255。