河北衡水中学高考一轮复习数学学案 第一章集合与常用逻辑用语

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1．3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[知识梳理]1．简单的逻辑联结词(1）命题中的或、且、非叫做逻辑联结词．（2)概念用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,得到复合命题“p且q"，记作p∧q;用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”,记作p∨q；对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作綈p.（3）命题p∧q，p∨q,綈p的真假判断p qp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真(4）命题的否定与否命题的区别①定义：命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定，即命题“若p，则q"的否定为“若p，则綈q”，而否命题为“若綈p，则綈q”．②与原命题的真假关系：命题的否定的真假与原命题的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．2．全称量词和存在量词3．全称命题和特称命题4．复合命题的否定（1)“綈p"的否定是“p”;（2）“p∨q"的否定是“(綈p)∧(綈q）”；（3）“p∧q"的否定是“（綈p）∨（綈q）”．［诊断自测]1．概念思辨（1）若p∧q为真，则p∨q必为真；反之,若p∨q为真，则p∧q必为真．（）（2)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．（）（3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．（）(4)∃x0∈M，p(x0）与∀x∈M,綈p(x)的真假性相反．( )答案（1）×(2)×(3）√(4）√2．教材衍化(1)（选修A1－1P26T2）命题“∀x>0,都有x2－x＋3≤0”的否定是( )A．∃x〉0，使得x2－x＋3≤0B．∃x>0,使得x2－x＋3>0C．∀x〉0，都有x2－x＋3〉0D．∀x≤0，都有x2－x＋3〉0答案B解析命题“∀x>0,都有x2－x＋3≤0”的否定是：∃x〉0，使得x2－x ＋3〉0.故选B.(2)(选修A1－1P28T1)已知命题p:∃x∈R，x－2〉lg x，命题q：∀x∈R，x2>0，则( ）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧(綈q）是真命题D．命题p∨(綈q）是假命题答案C解析由于x＝10时,x－2＝8，lg x＝lg 10＝1，故命题p为真命题,令x＝0,则x2＝0,故命题q为假命题,依据复合命题真假性的判断法则，得到命题p∨q是真命题，命题p∧q 是假命题,綈q是真命题，进而得到命题p∧（綈q)是真命题，命题p∨（綈q)是真命题．故选C.3．小题热身(1）(2015·浙江高考)命题“∀n∈N＊，f(n）∈N＊且f（n）≤n”的否定形式是( ）A．∀n∈N*，f(n）∉N＊且f（n)〉nB．∀n∈N*，f(n)∉N＊或f(n)>nC．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f（n0)〉n0D．∃n0∈N＊,f（n0)∉N*或f(n0)>n0答案D解析“f(n）∈N＊且f(n）≤n”的否定为“f(n）∉N*或f(n)〉n”，全称命题的否定为特称命题．故选D。

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式第1讲 集合及其运算链教材·夯基固本 激活思维 1. D 2. A 3.ABD【解析】 因为x 2－3x ＋2≤0，所以1≤x ≤2，所以A ＝{x |1≤x ≤2}．因为2<2x ≤8，所以1<x ≤3，所以B ＝{x |1<x ≤3}，所以A∪B ＝{x |1≤x ≤3}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或x >3}，(∁R B )∪(∁R A )＝{x |x ≤1或x >2}．4.4【解析】因为集合A 必须含有元素5，元素1和3不确定，所以集合A 的本质是{1,3}的所有子集与元素5组成的集合，共4个．5.7【解析】A ＝{x∈Z |－1≤x ≤4}＝{－1,0,1,2,3,4}，B ＝{x |1<x <e 2}，所以A ∩B ＝{2,3,4}，所以A ∩B 的真子集的个数为23－1＝7.知识聚焦1. (1) 确定性 互异性 无序性2. 2n 2n －1 4. U A 研题型·融会贯通 分类解析【答案】 (1) D (2) B (3) A 【题组·高频强化】 1. C 2. C3. C【解析】 由题意知A ∩B 中的元素满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ＝8，且x ，y ∈N *，所以满足条件的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，故A ∩B 中元素的个数为4.故选C.4.B【解析】由x 2－4≤0，得A ＝{x |－2≤x ≤2}．由2x ＋a ≤0，得B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≤－a 2.因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2.故选B.5. B【解析】 由图可知，阴影区域为∁U (A∪B )．由题知A ∪B ＝{1,3,5}，U ＝{1,3,5,7}，则由补集的概念知，∁U (A ∪B )＝{7}．故选B.(1) 【答案】 {1，－1} 【解析】若集合{x |x 2＋2kx ＋1＝0}中有且仅有一个元素，则方程x 2＋2kx ＋1＝0有且只有一个实数根，即Δ＝(2k )2－4＝0，解得k ＝±1，所以k 的取值集合是{1，－1}．(2) 【答案】 －1 【解析】因为A ∩B 中只有一个元素，又a ≠0且a ≠2.若a ＝1，则a 2－a ＝0，不满足题意；若a ≠1，显然a 2－a ≠0，故a 2－a ＝2或a 2－a ＝a ，解得a ＝－1.综上，a ＝－1.(3) 【答案】 [0，＋∞) ∅ 【解析】由题知集合A 是函数y ＝x 2的定义域，即A ＝R ，集合B 是函数y ＝x 2的值域，即B ＝[0，＋∞)，所以A ∩B ＝[0，＋∞)，集合C 是函数y ＝x 2的图象上的点集，故A ∩C ＝∅.(1) 【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，14 【解析】 当k ＝0时，A ＝{－1}，符合题意；当k ≠0时，若集合A 只有一个元素，由一元二次方程判别式Δ＝1－4k ＝0，得k ＝14.综上，当k ＝0或k ＝14时，集合{x |kx 2＋x ＋1＝0}中有且只有一个元素．(2) 【答案】 －2或1 【解析】因为集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－1，a2－2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，a2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.(1) 【答案】 D【解析】 当B ＝∅时，a ＝0，此时B ⊆A .当B ≠∅时，则a ≠0，所以B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝－1a . 又B ⊆A ，所以－1a∈A ，所以a ＝±1.综上可知，实数a 的所有可能取值的集合为{－1,0,1}． (2) 【答案】 [2,3]【解析】 由A ∩B ＝B 知，B ⊆A .(例3(2))又B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3，则实数m 的取值范围为[2,3]．【答案】 B【解析】 由log 2(x －1)<1，得0<x －1<2，所以A ＝(1,3)． 由|x －a |<2得a －2<x <a ＋2，即B ＝(a －2，a ＋2)． 因为A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤1，a ＋2≥3，解得1≤a ≤3.所以实数a 的取值范围为[1,3]．【解答】 (1) 由题知⎩⎪⎨⎪⎧x<0，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －3<1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x<1，解得－2<x <0或0≤x <1， 所以A ＝{x |－2<x <1}． (2) 因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .(ⅰ) 当B ＝∅时，2a >a ＋1，所以a >1满足题意；(ⅱ) 当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋1，2a>－2，a ＋1<1，解得－1<a <0.综上，a ∈(－1,0)∪(1，＋∞)． 课堂评价1. BCD 【解析】 对于选项A ，因为xy >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x>0，y>0或⎩⎪⎨⎪⎧x<0，y<0，所以集合{(x ，y )|xy >0}表示直角坐标平面内第一、三象限的点的集合，故A 正确；对于选项B ，方程|x －2|＋|y ＋2|＝0的解集为{(2，－2)}，故B 错误； 对于选项C ，集合{(x ，y )|y ＝1－x }表示直线y ＝1－x 上的点， 集合{x |y ＝1－x }表示函数y ＝1－x 中x 的取值范围，故集合{(x ，y )|y ＝1－x }与{x |y ＝1－x }不相等，故C 错误；对于选项D ，A ＝{x ∈Z |－1≤x ≤1}＝{－1,0,1}，所以－1.1∉A ，故D 错误． 2. ABC3. B 【解析】 由x 2－3x －4>0得x <－1或x >4， 所以集合A ＝{x |x <－1或x >4}．由x 2－3mx ＋2m 2<0(m >0)得m <x <2m ， 所以集合B ＝{x |m ＜x ＜2m }． 又B ⊆A ，所以2m ≤－1(舍去)或m ≥4. 故实数m 的取值范围是[4，＋∞)． 4. [2 020，＋∞)【解析】 由x 2－2 021x ＋2 020<0，解得1<x <2020，故A ＝{x |1<x <2 020}．又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 020.(第4题)5.(－∞，2]【解析】当a >1时，A ＝(－∞，1]∪[a ，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，当且仅当a －1≤1时，A ∪B ＝R ，故1<a ≤2；当a ＝1时，A ＝R ，B ＝{x |x ≥0}，A ∪B ＝R ，满足题意；当a <1时，A ＝(－∞，a ]∪[1，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，又因为a －1<a ，所以A ∪B ＝R ，故a <1满足题意．综上可知a ∈(－∞，2]．第2讲 充分条件、必要条件、充要条件链教材·夯基固本 激活思维 1. A 2. B 3. BCD【解析】由x 2－x －2<0，解得－1<x <2，所以(－1，2)(－2，a )，所以a ≥2，所以实数a 的值可以是2,3,4.4. [－2,1] 【解析】 因为綈p ：x ≤－1或x ≥3，綈q ：x ≤m －2或x ≥m ＋5，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤－1，m ＋5≥3，且等号不能同时取到，解得－2≤m ≤1.5. 充要 必要 【解析】 因为q ⇒s ⇒r ⇒q ，所以r 是q 的充要条件．又q ⇒s ⇒r ⇒p ，所以p 是q 的必要条件．知识聚焦1. (1) 充分 必要 非充分 非必要 (2) ①充分不必要 ②必要不充分 ③充要 ④既不充分也不必要研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 A【解析】 因为1x >1，所以x ∈(0,1)．因为e x －1<1，所以x <1，所以“1x >1”是“e x －1<1”的充分不必要条件．(2) 【答案】 A 【解析】当a >0，b >0时，得4≥a ＋b ≥2ab ，即ab ≤4，充分性成立；当a ＝4，b ＝1时，满足ab ≤4，但a ＋b ＝5>4，不满足a ＋b ≤4，必要性不成立．故“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件．【题组·高频强化】 1. A 【解析】 由a 2>a 得a >1或a <0，据此可知“a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件．故选A.2.B【解析】由2－x ≥0，得x ≤2；由|x －1|≤1，得－1≤x －1≤1，即0≤x ≤2.所以“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要不充分条件．故选B.3.C【解析】当存在k∈Z ，使得α＝k π＋(－1)k β时，若k 为偶数，则sin α＝sin(k π＋β)＝sin β；若k 为奇数，则sin α＝sin(k π－β)＝sin[(k －1)π＋π－β]＝sin(π－β)＝sin β.当sin α＝sin β时，α＝β＋2m π或α＋β＝π＋2m π，m ∈Z ，即α＝k π＋(－1)k β(k ＝2m )或α＝k π＋(－1)k β(k ＝2m ＋1)，亦即存在k ∈Z ，使得α＝k π＋(－1)k β，所以“存在k∈Z ，使得α＝k π＋(－1)k β”是“sin α＝sin β”的充要条件．故选C.4. B【解析】 依题意知m ，n ，l 是空间不过同一点的三条直线，当m ，n ，l 在同一平面内时，可能m ∥n∥l ，故不一定得出m ，n ，l 两两相交．当m ，n ，l 两两相交时，设m ∩n ＝A ，m ∩l ＝B ，n ∩l ＝C ，可知m ，n 确定一个平面α，而B ∈m ⊂α，C ∈n ⊂α，可知直线BC 即l ，l ⊂α，所以m ，n ，l 在同一平面内．综上所述，“m ，n ，l 在同一平面内”是“m ，n ，l 两两相交”的必要不充分条件．故选B.(1) 【答案】 (－∞，－2]∪[2，＋∞) 【解析】由y ＝x ＋1x在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1上单调递减，在(1,2)上单调递增，得2≤y <52，所以A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎪2≤y<52. 由x ＋m 2≥6，得x ≥6－m 2，所以B ＝{x |x ≥6－m 2}． 因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件， 所以A B ，所以6－m 2≤2，解得m ≥2或m ≤－2， 故实数m 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (2) 【答案】 (2，＋∞)【解析】 A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪12<2x<8，x ∈R＝{x |－1<x <3}， 因为x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， 所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.(1) 【答案】 (0,2]【解析】 由|2x ＋1|<m (m >0)，得－m <2x ＋1<m ，所以－m ＋12<x <m －12，且－m ＋12<0.由x －12x －1>0，得x <12或x >1. 因为p 是q 的充分不必要条件， 所以m －12≤12，所以0<m ≤2.(2) 【答案】 (0,2]【解析】 由题可得p ：x >3或x <－1，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0，[x －(1－a )]·[x －(1＋a )]≥0， 因为a ＞0，所以1－a ＜1＋a ，解得x ≥1＋a 或x ≤1－a . 因为q 是p 的必要不充分条件， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≤3，1－a ≥－1，a>0，解得0＜a ≤2.【解答】 因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，所以m ≠0. 又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都有实根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0，解得m ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－54，1. 因为两方程的根都是整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m∈Z ，4m ∈Z ，4m2－4m －5∈Z ，所以m 为4的约数．又因为m ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－54，1，所以m ＝－1或1. 当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根不是整数；当m ＝1时，两方程的根均为整数．所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1. 课堂评价 1. A 2. A【解析】 “∀x ∈[－1,1]，|x |＜a 恒成立”等价于“∀x ∈[－1，1]，a ＞|x |max ”，所以a ＞1.故充要条件为a ＞1.3. A 【解析】 因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (|x |)． 又y ＝f (x )在[0，＋∞)上单调递增，若a >|b |，则f (a )>f (|b |)＝f (b )，即充分性成立； 若f (a )>f (b )，则等价于f (|a |)>f (|b |)，即|a |>|b |， 即a >|b |或a <－|b |，故必要性不成立．则“a >|b |”是“f (a )>f (b )”的充分不必要条件． 4. ABC【解析】 对于选项A ，由 A ∩B ＝A ，可得A ⊆B . 由 A ⊆B可得A ∩B ＝A ，故A 满足条件．对于选项B ，由∁S A ⊇∁S B 可得A ⊆B ，由A ⊆B 可得∁S A ⊇∁S B ，故∁S A ⊇∁S B 是A ⊆B 的充要条件，故B 满足条件．对于选项C ，由∁S B ∩A ＝∅，可得A ⊆B ，由A ⊆B 可得∁S B ∩A ＝∅，故∁S B ∩A ＝∅是A ⊆B 的充要条件，故C 满足条件．对于选项D ，由∁S A ∩B ＝∅，可得B ⊆A ，不能推出A ⊆B ，故∁S A ∩B ＝∅不是A ⊆B 的充要条件，故D 不满足条件．故选ABC.5.(－∞，0]【解析】由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2－x －6≤1，得x 2－x －6≥0，解得x ≤－2或x ≥3，则A ＝{x |x ≤－2或x ≥3}．由log 3(x ＋a )≥1，得x ＋a ≥3，即x ≥3－a ，则B ＝{x |x ≥3－a }．由题意知B A ，所以3－a ≥3，解得a ≤0.第3讲 全称量词和存在量词链教材·夯基固本 激活思维 1. C 2. B 3.(－∞，2)【解析】设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x＋1，x ∈[0，＋∞)，若p 为真命题，则a ＜f (x )max ＝f (0)＝2.4. (－∞，2] 【解析】 若“∃x 0∈(0，＋∞)，λx ＞x 2＋1”是假命题，则“∀x ∈(0，＋∞)，λx ≤x 2＋1”是真命题，所以当x ∈(0，＋∞)时，λ≤x ＋1x恒成立．又x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”，所以实数λ的取值范围是(－∞，2]． 5.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤54，2【解析】当命题p 为真命题时，x 2＋x ＋a >1恒成立，即x 2＋x ＋a －1>0恒成立，所以Δ＝1－4(a －1)<0，解得a >54.当命题q 为真命题时，2a ≤(2x 0)max ，x 0∈[－2,2]，所以a ≤2.故54<a ≤2，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤54，2. 知识聚焦1. 全体 全称量词 ∀x ∈M ，p (x )2. 部分 ∃ 存在量词 ∃x 0∈M ，p (x 0)3. ∃x ∈M ，綈p (x )4. 不是 不一定是 不都是 小于或等于 大于或等于 或 一个也没有 至多有n －1个 至少有两个 存在一个x 不成立研题型·融会贯通 分类解析【解答】 (1) 綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，假命题．(2) 綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3) 綈r ：所有的实数都有平方根，假命题．(4) 綈s ：存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除，假命题．(1) 【答案】 C(2) 【答案】 ∀x ∈R ，x 2－x ＋1≠0 (1) 【答案】 (－∞，－2] 【解析】由命题p 为真，得a ≤0.由命题q 为真，得Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≤－2或a ≥1，所以a≤－2.(2) 【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪⎪a ≤52【解析】 若命题p ：∃x ∈[2,3]，x 2－ax ＋1<0为假命题，则“∀x ∈[2，3]，x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x ”为真命题．令g (x )＝x ＋1x ，易知g (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ∈[2,3]时，g (x )∈[g (2)，g (3)]．又∀x ∈[2,3]，a ≤x ＋1x恒成立等价于∀x ∈[2,3]，a ≤g (x )min ，而g (x )min ＝g (2)＝52，所以“∀x ∈[2,3]，x 2－ax ＋1≥0”为真命题时，a ≤52.(1) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫56，＋∞ 【解析】由“∀x∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方，故Δ＝25－4×152a <0，解得a >56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫56，＋∞. (2) 【答案】 (－2，－1]【解析】 由命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0为真命题，可得m ≤－1；由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立为真命题，得Δ＝m 2－4<0，可得－2<m <2.综上，m ∈(－2，－1]．【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫14，＋∞ ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞ 【解析】 ①当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，对任意x 1∈[0,3]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)等价于f (x 1)min ≥g (x 2)min ，即0≥14－m ，所以m ≥14.②当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，对任意x 1∈[0,3]，任意x 2∈[1,2]，有f (x 1)≥g (x 2)等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max ，即0≥12－m ，所以m ≥12.【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞ 【解析】 依题意知对x 1∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，1，x 2∈[2,3]，f (x 1)max ≤g (x 2)max . 因为f (x )＝x ＋4x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，1上是减函数， 所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝172.又g (x )＝2x ＋a 在[2,3]上是增函数，所以g (x )max ＝8＋a ， 因此172≤8＋a ，则a ≥12.课堂评价 1. ABC 2. D3. A 【解析】 因为命题“∃x ∈[1,2]，x 2＋ln x －a ≤0”为假命题，所以当x ∈[1,2]时，x 2＋ln x ＞a 恒成立，只需a ＜(x 2＋ln x )min ，x ∈[1，2]．又函数y ＝x 2＋ln x 在[1,2]上单调递增，所以当x ＝1时，y min ＝1，所以a ＜1.故选A.4. B 【解析】 由题可知，命题“∀x ∈R ，(k 2－1)x 2＋4(1－k )x ＋3>0”是真命题． 当k 2－1＝0，得k ＝1或k ＝－1.若k ＝1，则原不等式为3>0，恒成立，符合题意；若k ＝－1，则原不等式为8x ＋3>0，不恒成立，不符合题意． 当k 2－1≠0时，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧k2－1>0，16(1－k )2－4(k 2－1)×3<0，即⎩⎨⎧(k ＋1)(k －1)>0，(k －1)(k －7)<0，解得1<k <7. 综上所述，实数k 的取值范围为{k |1≤k <7}． 5.(－3，＋∞) 【解析】 假设∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0.设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3.因为假设成立，所以a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，＋∞)．第4讲 不等式的性质、一元二次不等式链教材·夯基固本 激活思维 1. AC 2.ACD【解析】由1a<1b<0，得a <0，b <0且a >b ，所以a ＋b <0，ab >0，A 正确；|a |<|b |，B 错误；a 3>b 3，C 正确；因为函数y ＝2x 在R 上单调递增，故D 正确．故选ACD.3. ABD4. －112 7125.(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】由x 2－2x ＋k 2－2>0，得k 2>－x 2＋2x ＋2.设f (x )＝－x 2＋2x ＋2＝－(x －1)2＋3，当x ≥2时，f (x )max ＝2，则k 2>f (x )max ＝2，所以k >2或k <－2.知识聚焦2. {x |x <x 1或x >x 2} R {x |x 1<x <x 2} ∅ ∅ 研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 AC【解析】 因为1a ＜1b ＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以B 错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln4＞0，所以D 错误．因为1a <1b<0，所以a ＋b <0，但ab >0，所以1a ＋b <1ab ，A 正确；a －1a －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b －1b ＝a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －1b ＝a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b －a ab ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1ab ，因为1a<1b <0，所以0>a >b ，所以a －b >0,1＋1ab>0，所以a －1a－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b －1b >0，所以a －1a >b －1b ，C 正确． (2) 【答案】 B 【解析】 p －q ＝b2a ＋a2b －a －b＝b2－a2a ＋a2－b2b ＝(b 2－a 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －1b ＝(b 2－a 2)(b －a )ab ＝(b －a )2(b ＋a )ab ， 因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0. 若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ； 若a ≠b ，则p －q <0，故p <q . 综上，p ≤q .故选B. (3) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π，π8 【解析】 设2α－β＝m (α＋β)＋n (α－β)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝32，即2α－β＝12(α＋β)＋32(α－β)．因为π<α＋β<5π4，－π<α－β<－π3，所以π2<12(α＋β)<5π8，－3π2<32(α－β)<－π2，所以－π<12(α＋β)＋32(α－β)<π8，即－π<2α－β<π8，所以2α－β的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π，π8. 【题组·高频强化】 1.A【解析】 若a >b ，则a ＋c >b ＋c ，故B 错；设a ＝3，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则ac <bd ，a c<bd，所以C ，D 错，故选A. 2.C【解析】因为a ＋b ＋c ＝0，且a ＜b ＜c ，所以a ＜0，c ＞0.因为b ＜c ，a ＜0，所以ab ＞ac ，所以B 不成立；因为a ＜b ，c ＞0，所以ac ＜bc ，所以C 成立；当b ＝0时，A ，D 都不成立．故选C.3. BD4. ABC 【解析】 取a ＝13，b ＝12，可知A ，B ，C 错误．因为0<a <b <1，所以b －a∈(0,1)，所以lg(b －a )<0，故D 正确．故选ABC.5.(－4,2) (1,18)【解析】因为－1<x <4,2<y <3，所以－3<－y <－2，所以－4<x －y <2.因为－3<3x <12,4<2y <6，所以1<3x ＋2y <18.【解答】(1)原不等式转化为6x 2＋5x －1>0，因为方程6x 2＋5x －1＝0的解为x 1＝16，x 2＝－1，所以根据二次函数y ＝6x 2＋5x －1的图象可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x<－1或x>16.(2) 若a ＝0，原不等式转化为－x ＋1<0，即x >1. 若a <0，原不等式转化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)>0， 此时对应方程⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)＝0的两个根为x 1＝1a ，x 2＝1， 所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x<1a 或x>1.若a >0，原不等式转化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)<0， 此时对应方程⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)＝0的两个根为x 1＝1a ，x 2＝1. 当1a＝1，即a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当1a >1，即0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1<x<1a ；当1a <1，即a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1a <x<1. 综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}； 当a <0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x<1a 或x>1；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1<x<1a ；当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1a <x<1.【解答】 (1) 由不等式x －3x >－2，可得x >2或x <1.由x>2，得x >4；由x<1，得x <1且x ≥0，即0≤x <1.所以不等式的解集为{x |x >4或0≤x <1}．(2)原不等式转化为(x －a )(x －a 2)<0.当a 2>a ，即a >1时，不等式的解集为{x |a <x <a 2}；当a 2<a ，即0<a <1时，不等式的解集为{x |a 2<x <a }；当a 2＝a ，即a ＝1时，不等式的解集为∅.(1) 【答案】 [0,4] 【解析】当a ＝0时，原不等式变为1≥0，恒成立，符合题意；当a ≠0时，由ax 2－ax ＋1≥0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝a2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，实数a 的取值范围为[0,4]．(2) 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞ 【解析】 方法一：当a ＝0时，原不等式可化为x <0，易知不合题意；当a ≠0时，令f (x )＝ax 2－x ＋a ，要满足题意，需⎩⎪⎨⎪⎧a>0，12a ≤1，f (1)≥0或⎩⎪⎨⎪⎧a>0，12a>1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a >0，解得a ≥12，所以a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞. 方法二：ax 2－x ＋a >0⇔ax 2＋a >x ⇔a >x x2＋1，因为x ∈(1，＋∞)时，x x2＋1＝1x ＋1x<12，所以a ≥12. (3) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1＋72，1＋32 【解析】已知不等式可化为(x 2－1)m ＋(1－2x )<0.设f (m )＝(x 2－1)m ＋(1－2x )，这是一个关于m 的一次函数(或常数函数)，从图象上看，要使f (m )<0在－2≤m ≤2时恒成立，其等价条件是⎩⎨⎧f (2)＝2(x 2－1)＋(1－2x )<0，f (－2)＝－2(x 2－1)＋(1－2x )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x2－2x －1<0，2x2＋2x －3>0，解得－1＋72<x <1＋32，所以实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1＋72，1＋32. 【解答】 (1) 因为当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 所以Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， 解得－6≤a ≤2，所以实数a 的取值范围是[－6,2]．(2) 由题意，可转化为x 2＋ax ＋3－a ≥0在x ∈[－2,2]上恒成立， 则(x 2＋ax ＋3－a )min ≥0(x ∈[－2,2])． 令g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，x ∈[－2,2]， 函数图象的对称轴方程为x ＝－a2.当－a 2<－2，即a >4时，g (x )min ＝g (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73，舍去；当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，g (x )min ＝g⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 2＝－a24－a ＋3≥0，解得－6≤a ≤2，所以－4≤a ≤2；当－a2>2，即a <－4时，g (x )min ＝g (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，所以－7≤a <－4.综上，满足条件的实数a 的取值范围是[－7,2]． (3) 令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立， 只需⎩⎪⎨⎪⎧h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x2＋4x ＋3≥0，x2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋6， 所以实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．课堂评价 1.C【解析】 (特值法)取a ＝－2，b ＝－1，n ＝0，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；C 项，|b||a|<|b|＋1|a|＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，因为a <b <0，所以|b |<|a |成立，故选C. 2. C3. ABCD 【解析】 关于实数x 的一元二次不等式a (x －a )(x ＋1)>0，则a ≠0. 当a ＝－1时，原不等式的解集为∅，故A 正确；当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1)∪(a ，＋∞)，故D 正确； 当－1＜a ＜0时，原不等式的解集为(－1，a )，故B 正确； 当a ＜－1时，原不等式的解集为(a ，－1)，故C 正确． 4.BCD【解析】对于A ，因为2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，所以由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x>1或x <－12，所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x>1或x<－12，故A 错误；对于B ，因为－6x 2－x ＋2≤0，所以6x 2＋x －2≥0， 所以(2x －1)(3x ＋2)≥0，所以x ≥12或x ≤－23，故B 正确；对于C ，由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根，所以－7×(－1)＝21a，所以a ＝3，经检验符合题意，故C 正确； 对于D ，依题意知q,1是方程x 2＋px －2＝0的两个根，则q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，故D 正确．故选BCD.5.－3【解析】因为函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b (a ，b∈R )的值域为(－∞，0]，所以Δ＝0，即a 2＋4b ＝0，所以b ＝－14a 2.又关于x 的不等式f (x )＞c －1的解集为(m －4，m )，所以方程f (x )＝c －1的两根分别为m －4，m ，即方程－x 2＋ax －14a 2＝c －1的两根分别为m －4，m .又方程－x 2＋ax －14a 2＝c －1的根为x ＝a2±1－c ，所以两根之差为21－c ＝m －(m －4)＝4，解得c ＝－3.第5讲 基本不等式链教材·夯基固本 激活思维1. C 【解析】 因为x >0，y >0，所以x ＋y 2≥xy ，即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时取等号，故(xy )max ＝81. 2. D【解析】 因为1x ＋3y ＝1，所以x ＋3y ＝(x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋3y ＝10＋3y x ＋3x y ≥10＋23y x ·3x y ＝16，当且仅当3y x ＝3x y 且1x ＋3y＝1，即x ＝y ＝4时取等号，故选D. 3.BD【解析】A 不正确，因为a ，b 不满足同号，故不能用基本不等式；B 正确，因为lg x 和lg y 一定是正实数，故可用基本不等式；C 不正确，因为x 和4x 不是正实数，故不能直接利用基本不等式；D 正确，因为 2x 和2－x 都是正实数，且2x ≠1,2－x ≠1，故2x ＋2－x >22x ·2－x ＝2成立，故D 正确．故选BD.4. 5 【解析】 令t ＝sin x ∈(0,1]，由y ＝t ＋4t 在(0,1]上单调递减，得y min ＝1＋41＝5.5. 1【解析】 因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时取等号，故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.知识聚焦1. (1) a ＞0，b ＞02. (1) x ＝y 2p (2) x ＝yp24研题型·融会贯通 分类解析【解答】 (1) 当a ＝0时，xy ＝x ＋4y ，两边同除以xy 得1y＋4x＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1y ＋4x ＝x y ＋4y x ＋1＋4≥2x y ·4y x ＋5＝9，当且仅当xy＝4y x，即x ＝6，y ＝3时取“＝”，即当a ＝0时，x ＋y 的最小值为9.(2) 当a ＝5时，xy ＝x ＋4y ＋5≥24xy ＋5＝4xy ＋5，即有(xy )2－4xy －5＝(xy －5)(xy ＋1)≥0， 所以xy ≥5，即xy ≥25，当且仅当x ＝4y ，即x ＝10，y ＝52时取“＝”，即当a ＝5时，xy 的最小值为25. 【题组·高频强化】 1.20【解析】 因为log 5x ＋log 5y ＝2，所以x 和y 均为正数，由指数和对数的关系可得xy ＝52＝25，所以x ＋4y ≥2x ·4y＝20，当且仅当x ＝4y ，即x ＝10且y ＝52时等号成立，所以x ＋4y 的最小值是20.2. 45 【解析】 因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以y ≠0且x 2＝1－y45y2，所以x 2＋y 2＝1－y45y2＋y 2＝15y2＋4y25≥215y2·4y25＝45，当且仅当15y2＝4y25，即x 2＝310，y 2＝12时取等号，所以x 2＋y 2的最小值为45.3. 5＋26 【解析】 因为x ＋y ＝1，所以x ＋2xy ＝x ＋2(x ＋y )xy ＝3x ＋2y xy ＝2x ＋3y＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋3y (x ＋y )＝2y x ＋3x y ＋5≥5＋26，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＝3x y ，x ＋y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2，y ＝3－6时取等号．4. 6 【解析】 方法一(换元消元法)： 由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x >0，y >0， 所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋3y 22， 当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号， 即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0， 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 方法二(代入消元法)：由x ＋3y ＋xy ＝9，x ＞0，y ＞0，得x ＝9－3y1＋y ，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y (1＋y )1＋y ＝9＋3y21＋y ＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y ＝3(1＋y )＋121＋y－6≥23(1＋y )·121＋y －6＝12－6＝6， 当且仅当3(1＋y )＝121＋y，即y ＝1，x ＝3时取等号，所以x ＋3y 的最小值为6.5. 94 【解析】 1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋1＋4b ＋1·(a ＋1)＋(b ＋1)4 ＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4(a ＋1)b ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2b ＋1a ＋1·4(a ＋1)b ＋1＝94，当且仅当b ＋1a ＋1＝4(a ＋1)b ＋1，即a ＝13，b ＝53时取等号，所以1a ＋1＋4b ＋1的最小值为94.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，174 【解析】 对于正实数x ，y ，由x ＋y ＋4＝2xy ， 得x ＋y ＋4＝2xy ≤(x ＋y )22，解得x ＋y ≥4.不等式x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0可化为(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令t ＝x ＋y (t ≥4)，则该不等式可化为t 2－at ＋1≥0，即a ≤t ＋1t 对于任意的t ≥4恒成立．令u (t )＝t ＋1t(t ≥4)，则u ′(t )＝1－1t2＝t2－1t2>0对于任意的t ≥4恒成立，从而函数u (t )＝t ＋1t(t ≥4)为单调增函数，所以u (t )min ＝u (4)＝4＋14＝174，所以a ≤174.(1) 【答案】 4【解析】 原不等式变形为k (x －1)＋4x －1＋k ≥12， 则原问题转化成不等式k (x －1)＋4x －1≥12－k 在(1，＋∞)上恒成立，所以只需12－k ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤k (x －1)＋4x －1min 即可．根据均值定理可知，k (x －1)＋4x －1≥2k (x －1)·4x －1＝4k ，当且仅当k (x －1)＝4x －1时等号成立，所以只需12－k ≤4k 成立，即(k＋6)(k －2)≥0，所以k ≥4，即k min ＝4.(2) 【答案】 (－∞，22]【解析】 因为x >y >0，且xy ＝1，所以由x 2＋y 2≥a (x －y )， 得a ≤x2＋y2x －y.又x2＋y2x －y＝(x －y )2＋2xyx －y ＝x －y ＋2x －y≥2(x －y )·2x －y＝22，所以a ≤22.【解答】 (1) 设休闲区的宽为a m ，则长为ax m ， 由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x.则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20) ＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160＝8010⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋5x ＋4 160(x ＞1)． (2) 由(1)知， S (x )＝8010⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋5x ＋4 160 ≥8010×22x ×5x ＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760， 当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100 m ，宽40 m.【解答】 (1) 设污水处理池的宽为x m ，则长为162x m ，总造价y ＝400×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋2×162x ＋248×2x ＋80×162 ＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋100x ＋12 960 ≥1 296×2x ×100x＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时取等号，所以当污水处理池的长为16.2 m ，宽为10 m 时总造价最低，最低为38 880元． (2) 由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<162x ≤16，所以818≤x ≤16.设g (x )＝x ＋100x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫818≤x ≤16，则g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤818，16上是增函数， 所以当x ＝818时，g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即y min ＝1 296×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫818＋80081＋12 960＝38 882(元)． 所以当污水处理池的长为16 m ，宽为818 m 时总造价最低，最低为38 882元．课堂评价 1.BCD【解析】不等式a ＋b ≥2ab 恒成立的条件是a ≥0，b ≥0，故A 不正确；当a 为负数时，不等式a ＋1a≤2成立，故B 正确；由基本不等式可知C 正确；2x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋1y (x ＋2y )＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝12，y ＝14时取等号，故D 正确． 2. ABD 【解析】 若m ，n ＞0，m ＋n ＝2，则1m ＋2n ＝12(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m ＋2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3＋n m ＋2m n ≥3＋222，当且仅当n ＝2m ＝4－22时等号成立，A 正确．m ＋n ＝2≥2mn ，解得mn ≤1，所以mn 2≤12，(m＋n )2＝m ＋n ＋2mn ≤4，即m ＋n ≤2，B 正确，C 错误．m 2＋n 2≥(m ＋n )22＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，D 正确．故选ABD.3. (－1,4) 【解析】 由正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，则x ＋y4＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋4y ＝2＋4x y ＋y 4x≥2＋24x y ·y4x＝4，当且仅当y ＝4x ＝8时取等号，所以x ＋y 4的最小值为4.由x＋y4>m2－3m恒成立，可得m2－3m<4，解得m∈(－1,4)．4. 4 【解析】因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab＝1，所以12a＋12b＋8a＋b＝b2ab＋a2ab＋8a＋b＝a＋b2＋8a＋b≥2a＋b2·8a＋b＝4，当且仅当a＋b＝4时取等号，结合ab＝1，解得a＝2－3，b＝2＋3或a＝2＋3，b＝2－3时等号成立．5. 2105【解析】因为4x2＋y2＋xy＝1，所以(2x＋y)2－3xy＝1，即(2x＋y)2－32·2xy＝1，所以(2x＋y)2－32·⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x＋y22≤1，解得(2x＋y)2≤85，即2x＋y≤2105。

学习资料第一节集合的概念及其运算授课提示：对应学生用书第1页[基础梳理]1．集合的相关概念(1）集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．（2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈，不属于，记为∉．(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4）五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋或N＊Z Q R 2。

集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素相同A⊆B且B⊆A⇔A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B或B⊇A真子集A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素A B或B A空集空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集∅⊆A∅B（B≠∅）3.集合的基本运算并集交集补集图形表示符号表示A∪B＝{x｜x∈A或x∈B｝A∩B＝{x|x∈A且x∈B}∁U A＝{x｜x∈U且x∉A}1．集合的运算性质（1)并集的性质:A∪∅＝A；A∪A＝A;A∪B＝B∪A;A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅;A∩A＝A;A∩B＝B∩A;A∩B＝A⇔A⊆B.（3）补集的性质:A∪（∁U A)＝U；A∩(∁U A）＝∅;∁U（∁U A)＝A；∁U（A∩B)＝(∁U A)∪（∁U B)；∁U（A∪B）＝(∁U A）∩(∁U B)．2．集合的子集个数若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个．3．两个防范（1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解．(2）在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性．[四基自测]1．(基础点：元素与集合的关系)若集合A＝{x∈N|x≤错误!｝，a＝2错误!，则下面结论中正确的是（)A．{a｝⊆A B．a⊆AC．｛a｝∈A D．a∉A答案：D2．(基础点：补集运算）已知集合A＝｛x｜x2－16＜0｝，则∁R A＝（）A．{x|x≥±4} B．{x|－4＜x＜4}C．{x｜－4≤x≤4｝D．{x|x≥4}∪｛x|x≤－4｝答案：D3．(易错点：定义不透)已知集合A＝{0,1,2｝，集合B满足A∪B＝｛0，1，2｝，则集合B 有________个．答案：84．(易错点:交集运算）已知集合M＝｛x∈N|－4<x<2｝,N＝｛x｜x2－x－6<0｝,则M∩N＝________．答案：｛0，1｝授课提示：对应学生用书第2页考点一集合的概念挖掘1求集合元素的个数/ 自主练透[例1］（1）（2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)｜x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A 中元素的个数为()A．9B．8C．5 D．4[解析]将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即（－1，－1），（－1，0）,(－1，1），（0，－1），(0,0)，(0，1),(1，－1)，（1，0)，（1,1）,共有9个．故选A.［答案］ A(2)设集合A＝{1，2，3}，B＝｛4，5｝，M＝{x｜x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3 B．4C．5 D．6［解析]a∈{1,2，3},b∈{4,5}，则M＝{5，6,7,8},即M中元素的个数为4，故选B.[答案］ B[破题技法］与集合中的元素有关的问题的求解策略(1)确定集合中的元素是什么．（2）看这些元素满足什么限制条件．(3）注意元素的三个特性,特别是互异性．挖掘2利用元素特性求参数/ 互动探究[例2]设集合A＝｛x|(x－a）2〈1｝，且2∈A,3∉A，则实数a的取值范围为________．［解析]由题意得错误!解得错误!结合数轴得1〈a≤2。

【2019最新】精选高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1时间：45分钟基础组1.[2016·衡水二中期末]已知命题p：函数y＝e|x－1|的图象关于直线x＝1对称，q：函数y＝cos的图象关于点对称，则下列命题中的真命题为( )A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∨(綈q)答案A解析由函数y＝e|x－1|的图象可知图象关于直线x＝1对称，所以命题p正确；y＝cos＝0，所以函数y＝cos的图象关于点对称，所以命题q正确，p∧q为真命题．故选A. 2．[2016·武邑中学猜题]已知命题p：抛物线y＝2x2的准线方程是y＝－，命题q：若函数f(x＋1)为偶函数，则f(x)的图象关于x＝1对称，则下列命题是真命题的是( )A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q答案D解析抛物线y＝2x2，即x2＝y的准线方程是y＝－；当函数f(x＋1)为偶函数时，函数f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称(注：将函数f(x)的图象向左平移一个单位长度可得到函数f(x＋1)的图象)，因此命题p是假命题，q是真命题，p∧q，p∧(綈q)，(綈p)∧(綈q)都是假命题，p∨q是真命题．故选D. 3．[2016·冀州中学仿真]设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称．则下列的判断正确的是( )A．p为真B．綈q为假D．p∨q为真C．p∧q为假答案C解析函数y＝sin2x的最小正周期为＝π，命题p为假．函数y＝cosx的图象关于x＝kπ(k∈Z)对称，命题q为假，故选C.4．[2016·武邑中学预测]给定下列三个命题：p1：函数y＝ax＋x(a>0，且a≠1)在R上为增函数；p2：∃a，b∈R，a2－ab＋b2<0；p3：cosα＝cosβ成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k∈Z)．则下列命题中的真命题为( )B．p2∧p3A．p1∨p2 C．p1∨(綈p3) D．(綈p2)∧p3答案D解析对于p1：令y＝f(x)，当a＝时，f(0)＝0＋0＝1，f(－1)＝－1－1＝1，所以p1为假命题；对于p2：a2－ab＋b2＝2＋b2≥0，所以p2为假命题；对于p3：由α＝2kπ＋β(k∈Z)可得cosα＝cosβ，但由cosα＝cosβ不能得α＝2kπ＋β(k∈Z)，所以p3是真命题，所以(綈p2)∧p3为真命题，故选D.5．[2016·衡水二中模拟]下列结论正确的个数是( )①命题p：“∃x0∈R，x－2≥0”的否定为綈p：“∀x∈R，x2－2<0”；②若綈p是q的必要条件，则p是綈q的充分条件；③“M>N”是“M>N”的充分不必要条件．B．1A．0D．3C．2答案C解析对于①，易知①是正确的；对于②，由“綈p是q的必要条件”知，q可推知綈p，则p可推知綈q(注：互为逆否的两个命题的真假性一致)，因此p是綈q 的充分条件，②正确；对于③，由M>N不能得到M>N，因此③是错误的．故选C. 6．[2016·枣强中学期末]已知命题p：∃x∈(－∞，0)，2x<3x，命题q：∀x∈(0,1)，log2x<0，则下列命题为真命题的是( ) A．p∧q B．p∨(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)答案C解析由指数函数的图象与性质可知，命题p是假命题，由对数函数的图象与性质可知，命题q是真命题，则命题“p∧q”为假命题，命题“p∨(綈q)”为假命题，命题“(綈p)∧q”为真命题，命题“p∧(綈q)”为假命题，故选C. 7．[2016·衡水二中仿真]若命题“∃x0∈R，使得x＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是( )B．[－6，－2]A．[2,6]D．(－6，－2)C．(2,6)答案A解析由题意知，“∀x∈R使得x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，则Δ≤0，即m2－4(2m－3)≤0，所以2≤m≤6，故选A.8．[2016·枣强中学期中]已知命题p：∀x2>x1,2x2>2x1，则綈p是( )B．∃x2>x1,2 x2≤2 x1A．∀x2>x1,2 x2≤2 x1D．∃x2>x1,2 x2<2 x1C．∀x2>x1,2 x2<2 x1答案B解析全称命题的否定为特称命题，因此∀x2>x1,2x2>2x1的否定为∃x2>x1,2x2≤2 x1.9．[2016·衡水二中热身]给出下列结论：①命题“若綈p，则q”的逆否命题是“若p，则綈q”；②命题“∃n∈N*，n2＋3n能被10整除”的否定是“∀n∈N*，n2＋3n都不能被10整除”；③命题“∀x∈R，x2＋2x＋3>0”的否定是“∃x∈R，x2＋2x＋3<0”．其中结论正确的是________．答案②解析由于逆否命题是把原命题否定了的结论作条件，否定了的条件作结论得到的命题，故①不正确；特称命题的否定是全称命题，故②正确；虽然全称命题的否定是特称命题，但对结论的否定错误，故③不正确．所以只有②正确，故填②. 10．[2016·武邑中学期末]已知命题p：∃x∈R，使tanx＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}．下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．其中正确的是________．(填所有正确命题的序号)答案①②③④解析命题p：∃x∈R，使tanx＝1正确，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}也正确，∴①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．11. [2016·衡水二中预测]已知命题p ：|x －1|＋|x ＋1|≥3a 恒成立，命题q ：y ＝(2a －1)x 为减函数，若“p 且q”为真命题，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23 解析 由绝对值不等式得|x －1|＋|x ＋1|≥|(x－1)－(x ＋1)|＝2，当且仅当－1≤x≤1时等号成立，即|x －1|＋|x ＋1|的最小值为 2.若不等式|x －1|＋|x ＋1|≥3a 恒成立，则3a≤2，即a≤.若函数y ＝(2a －1)x 为减函数，则0<2a －1<1，即<a<1，由“p 且q”为真命题知命题p 、q 均为真命题，因此有即<a≤，故a 的取值范围是.12．[2016·枣强中学月考]已知命题p ：存在实数x ，使得不等式x2＋2ax ＋a≤0成立．若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．答案 0<a<1解析 若命题p 是假命题，则不存在实数x ，使得不等式x2＋2ax ＋a≤0成立，即对于任意的实数x ，不等式x2＋2ax ＋a>0恒成立，从而Δ＝4a2－4a<0，得0<a<1.能力组13.[2016·衡水二中猜题]下列说法中，不正确的是( )A ．已知a ，b ，m∈R，命题“若am2<bm2，则a<b”为真命题B ．命题“∃x0∈R，x －x0>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”C ．命题“p 或q”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．“x>3”是“x>2”的充分不必要条件答案 C解析 由am2<bm2可知m2>0，故可推出a<b ，选项A 正确；特称命题的否定是全称命题，选项B 正确；由于x>3能推出x>2，但是x>2不能推出x>3，故选项D 正确；p∨q 是真命题⇔p ，q 中存在真命题，故选项C 错误．故选C.14．[2016·衡水二中一轮检测]下列命题中，真命题是( )A ．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B ．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C ．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D ．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数答案 A解析 由于当m ＝0时，函数f(x)＝x2＋mx ＝x2为偶函数，故“∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数”为真命题，故选A. 15．[2016·冀州中学周测]已知命题p：m∈R，且m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q为假命题，则m的取值范围是________．答案m≤－2或m>－1解析先求p∧q是真命题时m的取值范围，再求其补集．命题p是真命题时，m≤－1，命题q是真命题时，m2－4<0，解得－2<m<2，所以p∧q是真命题时，－2<m≤－1，故p∧q为假命题，则m的取值范围是m≤－2或m>－1.16. [2016·冀州中学热身]已知下列命题：①命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1<3x”；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“(綈p)∧(綈q)为真命题”；③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件；④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是________．答案②解析命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”，故①错误；“p∨q”为假命题说明p假q假，则(綈p)∧(綈q)为真命题，故②正确；a>5⇒a>2，但a>2a>5，故“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，故③错误；因为“若xy＝0，则x＝0或y＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错误．。

第一章集合、常用逻辑用语与不等式第1课时集合[复习要求] 1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系；能用列举法或描述法表示集合.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义.3.理解并会求并集、交集、补集；能用Venn(韦恩)图表示集合的关系与运算．集合的基本概念(1)集合的概念：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)；(2)集合中元素的三个特性：确定性、无序性、互异性；(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋(或N*)Z Q R集合的基本关系(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B；(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．集合的基本运算(1)交集：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；(2)并集：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；(3)补集：若U为全集，A⊆U，则∁U A＝{x|x∈U且x∉A}．集合的常用运算性质(1)A∩∅＝∅；A∩A＝A；(2)A∪∅＝A；A∪A＝A；(3)A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A；(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B；A⊆B⇔(∁U A)⊇(∁U B)⇔A∩(∁U B)＝∅；(5)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；(6)如图所示，用集合A ，B 表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A ∩B ；A ∩(∁U B)；B ∩(∁U A)；∁U (A ∪B)或(∁U B)∩(∁U A)；(7)card(A ∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A ∩B)．1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．(1)集合{x ∈N |x 3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}．(2){x|y ＝x 2}＝{y|y ＝x 2}＝{(x ，y)|y ＝x 2}．(3)若5∈{1，m ＋2，m 2＋4}，则m 的取值集合为{1，－1，3}．(4)若P ∩M ＝P ∩N ＝A ，则A ⊆M ∩N.(5)设U ＝R ，A ＝{x|lgx<1}，则∁U A ＝{x|lgx ≥1}＝{x|x ≥10}．答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×解析 (1)由于－1∉N ，故(1)错．(2)中{x|y ＝x 2}＝R ，{y|y ＝x 2}＝{y|y ≥0}＝[0，＋∞)，以上两集合为数集，{(x ，y)|y ＝x 2}表示抛物线y ＝x 2上所有点的集合，故(2)错．(3)当m ＝－1时，m ＋2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，故(3)错．(4)正确．(5)中A ＝{x|0<x<10}，∁U A ＝{x|x ≤0或x ≥10}．故(5)错．2．(课本习题改编)若x ∈R ，则x 2＋1＝0的解集A ＝________；不等式x 2≤0的解集B ＝________；0与A 的关系为________；A 与B 的关系为________．答案 ∅ {0} 0∉A A ⊆B(或填A B)3．(2020·课标全国Ⅱ)已知集合U ＝{－2，－1，0，1，2，3}，A ＝{－1，0，1}，B ＝{1，2}，则∁U (A ∪B)＝( )A ．{－2，3}B ．{－2，2，3}C ．{－2，－1，0，3}D ．{－2，－1，0，2，3}答案 A解析 由题意，得A ∪B ＝{－1，0，1，2}，则∁U (A ∪B)＝{－2，3}．故选A.4．(1)(2021·衡水中学调研卷)已知集合A ＝{x ∈Z |x 2－2x －3≤0}，B ＝{y|y ＝2x }，则A ∩B 的子集的个数为________．(2)已知集合M ＝{x|x －a ＝0}，N ＝{x|ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________． 答案 (1)8 (2)0或1或－15．(2020·《高考调研》原创题)已知全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N |0≤x ≤9}，若集合B ＝{1，3，5，7}，则A ∩(∁U B)＝________．答案 {0，2，4，6，8，9}解析 由题意知集合A 中至少包含0，2，4，6，8，9几个元素，而∁U B ＝{0，2，4，6，8，9}，∴A ∩(∁U B)＝{0，2，4，6，8，9}．题型一 集合的基本概念例1 (1)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2，k ∈Z ，则A 与B 之间的关系是( )A ．A ＝BB ．A BC ．B AD ．无法比较【解析】 方法一(列举法)：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫…，－12，12，32，52，72，…， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫…，－12，0，12，1，32，2，52，3，72，…. 显然A B.方法二(描述法)：集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k ＋12，k ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2，k ∈Z ，2k ＋1可以表示任意奇数，k 可以表示任意整数，故A B. 【答案】 B(2)(2021·重庆八中摸底考试)设集合M ＝{y|y ＝2cosx ，x ∈[0，5]}，N ＝{x|y ＝log 2(x －1)}，则M ∩N ＝( )A ．{x|1<x ≤5}B ．{x|－1<x ≤0}C ．{x|－2≤x ≤0}D ．{x|1<x ≤2}【解析】 ∵M ＝{y|y ＝2cosx ，x ∈[0，5]}＝{y|－2≤y ≤2}，N ＝{x|y ＝log 2(x －1)}＝{x|x>1}，∴M ∩N ＝{y|－2≤y ≤2}∩{x|x>1}＝{x|1<x ≤2}．【答案】 D(3)集合A ＝{1，0，x}，B ＝{|x|，y ，lg(xy)}，且A ＝B ，则x ，y 的值分别为________．【解析】 ∵x ，y 均不能为0，∴lg(xy)＝0，故xy ＝1.又∵x ≠1，∴y ≠1，从而y ＝1x，且|x|＝1，故x ＝y ＝－1. 【答案】 －1，－1状元笔记由本例讲透集合的基础知识(1)由本例(1)讲清：列举法与描述法及它们之间的相互转换，并通过此题使学生深刻理解元素与集合，集合与集合之间的关系，并共同总结此类题的解法．(2)本例(2)的难点是对集合M ，N 的识别：M 是函数y ＝2cosx 的值域，N 是函数y ＝log 2(x －1)的定义域．(3)由本例(3)深刻理解集合中元素的互异性的应用．思考题1 (1)给出以下四个命题：①{(x ，y)|x ＝1或y ＝2}＝{1，2}；②{x|x ＝3k ＋1，k ∈Z }＝{x|x ＝3k －2，k ∈Z }；③由英文单词“apple ”中的所有字母组成的集合有15个真子集；④设2 021∈{x ，x 2，x 2}，则满足条件的所有x 组成的集合的真子集的个数为3. 其中正确的命题是________．【解析】 ①中左边集合表示横坐标为1或纵坐标为2的所有点组成的集合，即x ＝1或y ＝2两直线上所有点的集合，右边集合表示有两个元素1和2，左、右两集合的元素属性不同．②中3k ＋1，3k －2(k ∈Z )都表示被3除余1的数，正确．易错点在于认为3k ＋1与3k－2中的k 为同一个值，对集合的属性理解错误．③中真子集的个数为24－1＝15.④中x ＝－2 021或x ＝－ 2 021，∴集合为{－2 021，－ 2 021}，∴真子集有22－1＝3(个)．正确．【答案】 ②③④(2)(2020·课标全国Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y)|x ，y ∈N *，y ≥x}，B ＝{(x ，y)|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】 由题意，A ∩B 中的元素满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ＝8，且x ，y ∈N *，由x ＋y ＝8≥2x ，得x ≤4，所以满足x ＋y ＝8的有(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，故A ∩B 中元素的个数为4.故选C.【答案】 C(3)(2020·杭州学军中学月考)集合A ＝{－4，2a －1，a 2}，B ＝{9，a －5，1－a}，若A ∩B ＝{9}，则a ＝( )A ．－3B ．3或－3C ．3D ．3或－3或5【解析】 由A ∩B ＝{9}可知9为集合A 与B 的公共元素，也是唯一公共元素．当2a －1＝9时，解得a ＝5，此时A ＝{－4，9，25}，B ＝{9，0，－4}，不合题意(舍去)； 当a 2＝9时，解得a ＝3或－3.若a ＝3，则A ＝{－4，5，9}，a －5＝1－a ＝－2，集合B 不满足互异性，不合题意(舍去)．若a ＝－3，则A ＝{－4，－7，9}，B ＝{9，－8，4}，符合题意．综上所述，a ＝－3.【答案】 A题型二 集合的基本关系例2 (1)已知集合A ＝{x|(x ＋1)(x －6)≤0}，B ＝{x|m －1≤x ≤2m ＋1}．若A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为________．【解析】 A ＝{x|－1≤x ≤6}．∵A ∩B ＝B ，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，m －1>2m ＋1，即m<－2，符合题意．当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤2m ＋1，m －1≥－1，2m ＋1≤6.解得0≤m ≤52.得m<－2或0≤m ≤52. 【答案】 (－∞，－2)∪⎣⎡⎦⎤0，52 (2)设A ＝{0，－4}，B ＝{x|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，①若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为________；②若A ⊆B ，则实数a 的取值范围为________．【解析】 ①A ＝{0，－4}，当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝8(a ＋1)<0，解得a<－1；当B 为单元素集合时，a ＝－1，此时B ＝{0}符合题意；当B ＝A 时，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2（a ＋1）＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1. 综上可知，a ≤－1或a ＝1.②若A ⊆B ，必有A ＝B ，由①知a ＝1.【答案】 ①(－∞，－1]∪{1} ②{1}状元笔记判断两集合关系的常用方法(1)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系，如本例(2)．(2)数形结合法：利用数轴或Venn 图直观判断，如本例(1)．易错提醒：当B 为A 的子集时，易漏掉B ＝∅的情况而致误．思考题2 (1)已知集合A ＝{1，3，m}，B ＝{1，m}，A ∪B ＝A ，则m ＝________．【解析】 ∵A ＝{1，3，m}，B ＝{1，m}，A ∪B ＝A ，∴m ＝3或m ＝m.∴m ＝3或m ＝0或m ＝1.当m ＝1时，与集合中元素的互异性不符．【答案】 0或3(2)设A ＝{x|x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x|ax －1＝0}．①若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系； ②若B A ，求实数a 组成的集合C.【解析】 ①由x 2－8x ＋15＝0，得x ＝3或x ＝5，∴A ＝{3，5}．若a ＝15，由ax －1＝0，得15x －1＝0，即x ＝5. ∴B ＝{5}．∴B A.②∵A ＝{3，5}，又BA ， 故若B ＝∅，则方程ax －1＝0无解，有a ＝0；若B ≠∅，则a ≠0，由ax －1＝0，得x ＝1a . ∴1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或a ＝15. 故C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15. 【答案】 ①B A ②⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15题型三 集合的基本运算(微专题)微专题1：集合的交、并、补运算例3 (1)(2021·兰州市高三诊断)设集合M ＝{x|x 2－3x －4<0}，N ＝{x|0≤x ≤5}，则M ∩(∁R N)＝( )A ．(0，4]B ．[0，4)C ．[－1，0)D ．(－1，0)【解析】 ∵M ＝{x|x 2－3x －4<0}＝{x|－1<x<4}，N ＝{x|0≤x ≤5}，∴∁R N ＝{x|x<0或x>5}．M ∩(∁R N)＝{x|－1<x<0}．【答案】 D(2)(2021·湖北黄冈重点中学联考)全集U ＝{x|x<10，x ∈N *}，A ⊆U ，B ⊆U ，(∁U B)∩A ＝{1，9}，A ∩B ＝{3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4，6，7}，则A ∪B ＝________．【解析】 由已知条件可得U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，画出Venn 图如图所示．从而A ∪B ＝{1，2，3，5，8，9}．【答案】 {1，2，3，5，8，9} (3)(2021·八省联考)已知M ，N 均为R 的子集，且∁R M ⊆N ，则M ∪(∁R N)＝( )A ．∅B ．MC ．ND ．R【解析】 方法一：如图所示易知答案为B.方法二：特值法． 不妨设∁R M ＝(1，2)，N ＝(0，3)，则M ∪(∁R N)＝M.【答案】 B状元笔记集合运算的基本类型(1)具体集合的运算：高考对集合的考查，多是考查具体集合(给出或可以求出集合的具体元素)的交、并、补运算，如本例(1)，(2)，其解法依然是化简集合、列举法或借助于数轴、韦恩图等．预测明年对于集合的考查仍以此类题为主．(2)抽象集合的运算：本例(3)是考查抽象集合(没有给出具体元素的集合)间的关系判断和运算的问题．解决此类问题的途径有二：一是利用特例法将抽象集合具体化；二是利用韦恩图化抽象为直观．思考题3(1)(2021·湖北八校联考)已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x ≤4，x∈Z}，则A∩B＝()A．(0，2) B．[0，2]C．{0，2} D．{0，1，2}【解析】由已知得A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{0，1，…，16}，所以A∩B＝{0，1，2}．【答案】D(2)(2020·《高考调研》原创题)已知复数集U，f(n)＝i n，(n∈N*)，集合A＝{z|z＝f(n)}，集合B＝N*，则A∩(∁U B)中有________个元素．【解析】A＝{1，－1，i，－i}，∁U B是由复数集中不属于N*的所有数组成的集合，∴A∩(∁U B)＝{－1，i，－i}．【答案】3(3)如图，图形中的阴影部分表示集合()A．(A∪B)∩(B∪C) B．(A∪B)∩(A∪C)C．(A∩B)∪C D．(A∪B)∩C【答案】C微专题2：利用集合的运算求参数例4(1)已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是()A．(0，3) B．(0，1)∪(1，3)C．(0，1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)【解析】因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A，所以a2－3a<0，解得0<a<3.又a≠1，所以实数a的取值范围是(0，1)∪(1，3)．故选B.【答案】B(2)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．(－1，2] B．(2，＋∞)C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞)【答案】D状元笔记(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．思考题4(1)(2020·启东中学模拟)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x >2m }，若A ∩B 有三个元素，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，6)B ．[1，2)C ．[2，4)D ．(2，4]【解析】 ∵A ＝{x ∈Z |－1<x<5}＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |x>m 2}，A ∩B 有三个元素，∴1≤m 2<2，即2≤m<4. 【答案】 C(2)(2020·课标全国Ⅰ，理)设集合A ＝{x|x 2－4≤0}，B ＝{x|2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x|－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4【解析】 求解二次不等x 2－4≤0可得A ＝{x|－2≤x ≤2}，求解一次不等式2x ＋a ≤0可得B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2.因为A ∩B ＝{x|－2≤x ≤1}，所以－a 2＝1，解得a ＝－2.故选B. 【答案】 B1．通过例1～例3的讲解使学生对集合的表示及子、交、并、补运算等基础知识再一次巩固并系统化，体现本书：以“基础知识”为根本、以“通性通法”为重点的宗旨．2．解决集合问题的关键是正确地将集合进行化简求解，一般规律为：(1)若给定的集合是点集(离散型)，用列举法(或结合Venn 图)求解．(2)若给定的集合是不等式的解集(连续型)，用数轴求解．(3)若给定的集合是抽象集合，用Venn 图求解．集合中的创新型问题在知识交汇点处命题的信息迁移题是今后几年高考中的热点题型，解决此类问题，既要有扎实的基本功，又要有创新意识，要迅速阅读理解题意，准确把握新的信息，敢于下笔计算．例1 定义集合的商集运算为A B ＝{x |x ＝m n，m ∈A ，n ∈B}，已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合B A ∪B 中的元素个数为( ) A ．6 B ．7C ．8D ．9【解析】 由题意知，B ＝{0，1，2}，B A ＝{0，12，14，16，1，13 }，则B A∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素． 【答案】 B例2 当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合M ＝{x|ax 2－1＝0，a>0}，N ＝{－12，12，1}，若M 与N “相交”，则a ＝________． 【解析】 M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1a ，1a ，若1a ＝12，则a ＝4，若1a＝1，则a ＝1. 当a ＝4时，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12，此时M ⊆N ，不合题意； 当a ＝1时，M ＝{－1，1}，满足题意．【答案】 1例3 设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，且U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2，4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.(1)若M ＝{2，3，6}，则∁U M 表示的6位字符串为________；(2)已知A ＝{1，3}，B ⊆U ，若集合A ∪B 表示的字符串为101001，则满足条件的集合B 的个数是________．【解析】 (1)由已知，得∁U M ＝{1，4，5}，则∁U M 表示的6位字符串为100110.(2)由题意可知A ∪B ＝{1，3，6}，而A ＝{1，3}，B ⊆U ，则B 可能为{6}，{1，6}，{3，6}，{1，3，6}，故满足条件的集合B 的个数是4.【答案】 (1)100110 (2)4题组层级快练(一)一、单项选择题1．下列各组集合中表示同一集合的是( )A ．M ＝{(3，2)}，N ＝{(2，3)}B ．M ＝{2，3}，N ＝{3，2}C ．M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝1}，N ＝{y|x ＋y ＝1}D ．M ＝{2，3}，N ＝{(2，3)}答案 B2．集合M ＝{x ∈N |x(x ＋2)≤0}的子集个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 ∵M ＝{x ∈N |x(x ＋2)≤0}＝{x ∈N |－2≤x ≤0}＝{0}，∴M 的子集个数为21＝2.选B.3．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Z |32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C 4．(2021·长沙市高三统一考试)若集合M ＝{x ∈R |－3<x<1}，N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}，则M ∩N ＝( )A ．{0}B ．{－1，0}C ．{－1，0，1}D ．{－2，－1，0，1，2}答案 B解析 由题意，得N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}＝{－1，0，1，2}，M ＝{x ∈R |－3<x<1}，则M ∩N ＝{－1，0}．故选B.5．(2021·山东新高考模拟)设集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝2}，B ＝{(x ，y)|y ＝x 2}，则A ∩B ＝( )A ．{(1，1)}B ．{(－2，4)}C ．{(1，1)，(－2，4)}D ．∅答案 C6．(2021·清华附中诊断性测试)已知集合A ＝{x|log 2(x －2)>0}，B ＝{y|y ＝x 2－4x ＋5，x ∈A}，则A ∪B ＝( )A ．[3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(3，＋∞)答案 C解析 ∵log 2(x －2)>0，∴x －2>1，即x>3，∴A ＝(3，＋∞)，∴y ＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1>2，∴B ＝(2，＋∞)，∴A ∪B ＝(2，＋∞)．故选C.7．已知集合A ＝{x ∈N |1<x<log 2k}，集合A 中至少有3个元素，则( )A ．k>8B ．k ≥8C ．k>16D ．k ≥16答案 C解析 因为集合A 中至少有3个元素，所以log 2k>4，所以k>24＝16.故选C.8．(2020·重庆一中月考)已知实数集R ，集合A ＝{x|log 2x<1}，B ＝{x ∈Z |x 2＋4≤5x}，则(∁R A)∩B ＝( )A ．[2，4]B ．{2，3，4}C ．{1，2，3，4}D ．[1，4]答案 B解析 由log 2x<1，解得0<x<2，故A ＝(0，2)，故∁R A ＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，由x 2＋4≤5x ，即x 2－5x ＋4≤0，解得1≤x ≤4，又x ∈Z ，所以B ＝{1，2，3，4}．故(∁R A)∩B ＝{2，3，4}．故选B.9．(2021·郑州质检)已知集合A ＝{x|x>2}，B ＝{x|x<2m ，m ∈R }且A ⊆∁R B ，那么m 的值可以是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 由B ＝{x|x<2m ，m ∈R }，得∁R B ＝{x|x ≥2m ，m ∈R }．因为A ⊆∁R B ，所以2m ≤2，m ≤1.故选A.10．(2021·江淮十校联考)已知集合A ＝{y |y ＝x ＋1x，x ≠0}，集合B ＝{x|x 2－4≤0}，若A ∩B ＝P ，则集合P 的子集个数为( )A ．2B ．4C ．8D ．16答案 B二、多项选择题11．(2021·沧州七校联考)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <7，下列集合中，是A 的子集的是( ) A ．{x|－1<x<1} B ．{x|1<x<3}C ．{x|1<x<2}D ．∅答案 ACD解析 依题意得，A ＝{x|－1<x<log 27}，∵2＝log 24<log 27<log 28＝3，∴选ACD.12．设集合M ＝{x|(x －3)(x ＋2)<0}，N ＝{x|x<3}，则( )A ．M ∩N ＝MB ．M ∪N ＝NC ．M ∩(∁R N)＝∅D ．M ∪N ＝R答案 ABC解析 由题意知，M ＝{x|－2<x<3}，N ＝{x|x<3}，所以M ∩N ＝{x|－2<x<3}＝M ，M ∪N ＝N ，因为∁R N ＝{x|x ≥3}，所以M ∩(∁R N)＝∅.故选ABC.三、填空题与解答题13．(2021·浙江温州二模)集合A ＝{0，|x|}，B ＝{1，0，－1}，若A ⊆B ，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，∁B A ＝________．答案 {0，1} {1，0，－1} {－1}解析 因为A ⊆B ，所以|x|∈B ，又|x|≥0，结合集合中元素的互异性，知|x|＝1，因此A ＝{0，1}，则A ∩B ＝{0，1}，A ∪B ＝{1，0，－1}，∁B A ＝{－1}．14．(1)设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lgx<1}，若A ∩(∁U B)＝{m|m ＝2n ＋1，n ＝0，1，2，3，4}，则集合B ＝________．答案 {2，4，6，8}解析 U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A ∩(∁U B)＝{1，3，5，7，9}，∴B ＝{2，4，6，8}．(2)已知集合A ＝{x|log 2x<1}，B ＝{x|0<x<c}，c>0.若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 A ＝{x|0<x<2}，由数轴分析可得c ≥2.15．已知集合A ＝{x|1<x<3}，集合B ＝{x|2m<x<1－m}．(1)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(2)若A ∩B ＝(1，2)，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．答案 (1)(－∞，－2] (2)－1 (3)[0，＋∞)解析 (1)由A ⊆B ，得⎩⎪⎨⎪⎧1－m>2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(2)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤1，1－m ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12，m ＝－1，∴m ＝－1. (3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意； ②若2m<1－m ，即m<13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m<13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m<13，2m ≥3，得0≤m<13或∅，即0≤m<13. 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．16．已知集合A ＝{x|1<x<k}，集合B ＝{y|y ＝2x －5，x ∈A}，若A ∩B ＝{x|1<x<2}，则实数k 的值为( )A ．5B ．4.5C ．2D ．3.5答案 D解析 B ＝(－3，2k －5)，由A ∩B ＝{x|1<x<2}，知k ＝2或2k －5＝2，因为k ＝2时，2k －5＝－1，A ∩B ＝∅，不合题意，所以k ＝3.5.故选D.17．设f(n)＝2n ＋1(n ∈N )，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ^＝{n ∈N |f(n)∈P}，Q ^＝{n ∈N |f(n)∈Q}，则P ^∩(∁N Q ^)＝( )A ．{0，3}B ．{0}C ．{1，2}D ．{1，2，6，7}答案 B解析 设P 中元素为t ，由方程2n ＋1＝t ，n ∈N ，解得P ^＝{0，1，2}，Q ^＝{1，2，3}，∴P ^∩(∁N Q ^)＝{0}．18．(2018·课标全国Ⅱ，理)已知集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4答案 A解析 方法一：由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1，0，1}，y ∈{－1，0，1}，所以A 中元素的个数为C 31C 31＝9.故选A.方法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图象，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数．故选A.第2课时充分条件与必要条件、全称量词与存在量词[复习要求] 1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．充分条件与必要条件(1)若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件．(2)若q⇒p且p q，则p是q的必要不充分条件．(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件．(4)若p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．全称量词和存在量词(1)全称量词有：一切，每一个，任给，用符号“∀”表示．存在量词有：有些，有一个，对某个，用符号“∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题；“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)，读作：“对任意x属于M，有p(x)成立”．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题(存在性命题)；“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)，读作：“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)1．(课本习题改编)(1)x>0是x(x＋1)>0的________条件．(2)|a|>0是a>0的________条件．(3)α>β是sinα>sinβ的________条件．答案(1)充分不必要(2)必要不充分(3)既不充分也不必要2．(2021·八省联考)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是()A．甲B．乙C．丙D．丁答案A解析(1)若甲是假命题，则乙、丙、丁是真命题，则x1＝3.x2＝－1，符合题意．(2)若乙是假命题，则甲、丙、丁是真命题，则x1＝1.x2＝1，两根不异号，不符合题意．(3)若丙是假命题，则甲、乙、丁是真命题，则两根不异号，不符合题意．(4)若丁是假命题，则甲、乙、丙是真命题，则两根和不为2，不符合题意．故选A.3．(2020·上海春季高考题)“α＝β”是“sin2α＋cos2β＝1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若α＝β，则sin2α＋cos2β＝sin2α＋cos2α＝1，∴“α＝β”是“sin2α＋cos2β＝1”的充分条件；若sin2α＋cos2β＝1，则sin2α＝sin2β，得不出α＝β，∴“α＝β”不是“sin2α＋cos2β＝1”的必要条件，∴“α＝β”是“sin2α＋cos2β＝1”的充分不必要条件．故选A.4．特称命题“存在实数x0，y0，使得x0＋y0>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．答案∃x0，y0∈R，x0＋y0>1∀x，y∈R，x＋y≤1假5．【多选题】下列命题的否定是真命题的是()A．有些实数的绝对值是正数B．所有平行四边形都不是菱形C．∃x∈R，sinx＋cosx＝3D．∀x∈R，|x|＋x2≥0答案BC解析此类题的解法有二：①判断原命题的真假，则其否定与其结论相反．②先写出命题的否定，再判断真假，本题宜用方法①.题型一充分、必要条件的判定例1(1)判断下列各题中，p是q的什么条件？①p：a>b，q：a>b－1；②p：a>b，q：lga>lgb；③p ：a>b ，q ：2a >2b; ④p ：a>b ，q ：a 2>b 2.【解析】 ①p ⇒q ，q ⇒/p ，∴p 是q 的充分不必要条件．②q ⇒p ，p q ，∴p 是q 的必要不充分条件．③p ⇒q ，且q ⇒p ，∴p 是q 的充要条件．④p q ，q p ，∴p 是q 的既不充分也不必要条件．【答案】 ①充分不必要条件 ②必要不充分条件③充要条件 ④既不充分也不必要条件(2)判断下列各题中，p 是q 的什么条件？①在△ABC 中，p ：A>B ，q ：BC>AC ；②p ：x>1，q ：x 2>1；③p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3；④p ：a<b ，q ：a b <1. 【解析】 ①定义法：由三角形中大角对大边可知，若A>B ，则BC>AC ；反之，若BC>AC ，则A>B.因此，p 是q 的充要条件．②方法一(定义法)：由x>1可以推出x 2>1；由x 2>1得x<－1或x>1，不一定有x>1.因此p 是q 的充分不必要条件．方法二(集合法)：p ＝(1，＋∞)，q ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)，∴p ⊆q ，故p 是q 的充分不必要条件．③由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此p 是q 的必要不充分条件．④由于a<b ，当b<0时，a b >1；当b>0时，a b <1，故若a<b ，不一定有a b <1.当b>0，a b<1时，可以推出a<b ；当b<0，a b<1时，可以推出a>b.因此p 是q 的既不充分也不必要条件． 【答案】 ①p 是q 的充要条件 ②p 是q 的充分不必要条件 ③p 是q 的必要不充分条件 ④p 是q 的既不充分也不必要条件(3)设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a|a|＞b|b|”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 方法一：当a>b>0时，a>b ⇔a|a|>b|b|；当a>0>b 时，a>b ⇔a|a|>b|b|；当b<a<0时，a>b ⇔a|a|>b|b|，∴选C.方法二：构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R 上为奇函数．因为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f(x)在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f(a)＞f(b)⇔a|a|＞b|b|.选C.【答案】 C状元笔记判断充分必要条件的步骤(1)弄清条件p 和结论q 分别是什么．(2)尝试p ⇒q ，q ⇒p.(3)可简记为：充分条件是小推大，必要条件是大推小．(4)充要条件可以融入到数学各个分支，题型灵活多变，但万变不离其宗，只要紧扣定义，结合其他知识，便可迎刃而解．思考题1 (1)(2020·天津)设a ∈R ，则“a>1”是“a 2>a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 定义法：由a 2>a 得a>1或a<0，反之，由a>1得a 2>a ，则“a>1”是“a 2>a ”的充分不必要条件．故选A.【答案】 A(2)“1x>1”是“e x －1<1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵1x >1，∴x ∈(0，1)．∵e x －1<1，∴x<1，即x ∈(－∞，1)．∴“1x>1”是“e x －1<1”的充分不必要条件．或用集合法：∵(0，1)(－∞，1)，∴“1x>1”是“e x －1<1”的充分不必要条件． 【答案】 A(3)(2021·衡水中学调研卷)如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cosx ≠cosy ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 “x ≠y ”不能推出“cosx ≠cosy ”，但“cosx ≠cosy ”一定有“x ≠y ”．【答案】 C(4)(2021·合肥一模)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则对实数a ，b ，“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，因此若a>|b|≥0，则f(a)>f(|b|)，即f(a)>f(b)，所以“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充分条件；若f(a)>f(b)，则f(|a|)>f(|b|)，可得|a|>|b|≥0，由于a ，b 的正负不能判断，因此无法得到a>|b|，则“a>|b|”不是“f(a)>f(b)”的必要条件，所以“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充分不必要条件．故选A.【答案】 A题型二 充分、必要条件的应用例2 (1)已知P ＝{x|x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围是________．【解析】 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝{x|－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3，所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]．【答案】 [0，3](2)在(1)中若把条件“若x ∈P 是x ∈S 的必要条件”改为“若x ∈P 是x ∈S 的必要不充分条件”，则m 的取值范围是________．【解析】 方法一：由(1)若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则0≤m ≤3，当m ＝0时，S ＝{1}，满足题意；当m ＝3时，S ＝{x|－2≤x ≤4}满足题意，故m 的取值范围为[0，3]．方法二：若x ∈P 是x ∈S 的必要且充分条件，则P ＝S ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10⇒m 无解， ∴m 的取值范围是[0，3]．【答案】 [0，3]状元笔记本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．思考题2 (1)已知p ：1≤x ≤2，q ：(x －a)(x －a －1)≤0，若p 是q 的充要条件，则实数a 的值为________．【答案】 1(2)已知p ：4x ＋m<0，q ：x 2－x －2>0，若p 是q 的一个充分不必要条件，求m 的取值范围．【解析】 ∵4x ＋m<0，∴x<－m 4，∴p ：x<－m 4. ∵x 2－x －2>0，∴x<－1或x>2，∴q ：x<－1或x>2.∵p ⇒q ，∴－m 4≤－1，∴m ≥4. 即m 的取值范围是[4，＋∞)．【答案】 [4，＋∞)(3)(2021·北京西城区期末)已知函数f(x)＝sin2x ，x ∈[a ，b]，则“b －a ≥π2”是“f(x)的值域为[－1，1]”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 由图可知，若a ＝0，π2<b<3π4，则b －a>π2，但f(x)＝sin2x 的值域不是[－1，1]．反之，因为值域是[－1，1]，说明b －a ≥12T ，而T ＝π.所以b －a ≥π2.【答案】B题型三全(特)称命题及其真假的判断例3指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．(1)若a＞0，且a≠1，则对任意实数x，a x＞0；(2)对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tanx1＜tanx2；(3)∃T∈R，使|sin(x＋T)|＝|sinx|；(4)∃x0∈R，使x02＋1＜0.【解析】(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵a x＞0(a＞0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1＜x2，但tan0＝tanπ，∴命题(2)是假命题．(3)y＝|sinx|是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x∈R，x2＋1＞0，∴命题(4)是假命题．【答案】(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题；(1)(3)是真命题，(2)(4)是假命题状元笔记全(特)称命题真假的判断方法(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．(3)不管是全称命题还是特称命题，当其真假不易判定时，可先判断其否定的真假．思考题3(2021·湖北宜昌一中月考)下列命题中是假命题的是() A．∃x0∈R，log2x0＝0B．∃x0∈R，cosx0＝1C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R，2x>0【解析】因为log21＝0，cos0＝1，所以A，B项均为真命题，因为02＝0，所以C项为假命题，因为2x>0，所以选项D为真命题．【答案】C题型四含量词命题的否定例4写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p1：所有的正方形都是矩形；(2)p2：至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3)p3：∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；(4)p4：∃x0∈{x|x∈Z}，log2x0>0.【解析】(1)綈p1：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．(2)綈p2：所有的整数，都不能被2或5整除，是假命题．(3)綈p3：∃x0∈{x|x是无理数}，x02不是无理数，是真命题．(4)綈p4：∀x∈{x|x∈Z}，log2x≤0，是假命题．【答案】命题的否定见解析，(1)(2)(4)的否定为假命题，(3)的否定为真命题状元笔记(1)全(特)称命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而命题的否定则是直接否定结论即可．(2)常见词语的否定形式有：原语句是都是>至少有一个至多有一个对任意x∈A使p(x)真否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x0∈A使p(x0)假思考题4(1)写出下列命题的否定并判断真假．①p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；②p：每一个非负数的平方都是正数；③p：存在一个三角形，它的内角和大于180°；④p：有的四边形没有外接圆．【解析】①綈p：存在末位数字是0和5的整数不能被5整除，是假命题．②綈p：存在一个非负数的平方不是正数，是真命题．③綈p：任何一个三角形，它的内角和不大于180°，是真命题．④綈p：所有的四边形都有外接圆，是假命题．【答案】命题的否定见解析，①④的否定为假命题，②③的否定为真命题(2)(高考真题·浙江卷)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定是()A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>nB．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>nC．∃n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>nD．∃n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，因此命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定是“∃n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n”．【答案】D1．充分、必要条件的判定方法．(1)定义法．(2)集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；③若A＝B，则p是q的充要条件．2．含一个量词的命题的否定，既要否定量词，又要否定结论．题组层级快练(二)一、单项选择题1．(2021·开封市一模)若a ，b 是非零向量，则“a ·b >0”是“a 与b 的夹角为锐角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 因为a ，b 为非零向量，a ·b >0，所以由向量数量积的定义知，a 与b 的夹角为锐角或a 与b 方向相同；反之，若a 与b 的夹角为锐角，由向量数量积的定义知，a ·b >0成立．故“a ·b >0”是“a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件．故选B.2．(2021·湖南长郡中学模拟)“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A 3．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎨⎧m>1，a>1或⎩⎪⎨⎪⎧m<1，a<1，而log a m>0等价于⎩⎨⎧m>1，a>1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m<1，0<a<1，所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m ＝0，a ＝0时，不能得出log a m>0.故选B.4．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关，黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 设p ：攻破楼兰，q ：返回家乡，由已知綈p ⇒綈q ，得q ⇒p ，故p 是q 的必要条件．5．(2019·北京)设A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 若|AB →＋AC →|>|BC →|，则|AB →＋AC →|2>|BC →|2，AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →>|BC →|2，∵点A ，B ，C 不共线，∴线段AB ，BC ，AC 构成一个三角形ABC ，设内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，则由平面向量的数量积公式及余弦定理可知，c 2＋b 2＋2bc·cosA>c 2＋b 2－2bc·cosA ，∴cosA>0，又A ，B ，C 三点不共线，故AB →与AC →的夹角为锐角．反之，易得当AB →与AC →的夹角为锐角时，|AB →＋AC →|>|BC →|，∴“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的充分必要条件．故选C.6．(2019·浙江)设a>0，b>0，则“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 因为a>0，b>0，所以a ＋b ≥2ab ，由a ＋b ≤4可得2ab ≤4，解得ab ≤4，所以充分性成立；当ab ≤4时，取a ＝8，b ＝13，满足ab ≤4，但a ＋b>4，所以必要性不成立．所以“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件．故选A.7．(2018·北京)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 (定义法)a ，b ，c ，d 是非零实数，若ad ＝bc ，则b a ＝dc，此时a ，b ，c ，d 不一定成等比数列；反之，若a ，b ，c ，d 成等比数列，则a b ＝cd ，所以ad ＝bc ，所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件．故选B.8．命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x >0”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，⎝⎛⎭⎫13x 0<0 B ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ≤0 C ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x <0 D ．∃x 0∈R ，⎝⎛⎭⎫13x 0≤0答案 D解析 全称命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x >0”的否定是把量词“∀”改为“∃”，并把结论进行否定，即把“>”改为“≤”．故选D.9．命题“∃x 0∈∁R Q ，x 03∈Q ”的否定是( ) A ．∃x 0∉∁R Q ，x 03∈Q B ．∃x 0∈∁R Q ，x 03∈Q C ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q 答案 D解析 该特称命题的否定为“∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q ”．10．(2021·湖南邵阳高三大联考)若命题“∃x 0∈R ，x 02＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C ．[－1，2]D ．(－1，2) 答案 C解析 命题的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2mx ＋m ＋2≥0”，该命题为真命题，所以Δ＝4m 2－4(m ＋2)≤0，解得－1≤m ≤2.故选C.11．“m>2”是“关于x 的方程x 2－mx ＋m ＋3＝0的两根都大于1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 设方程x 2－mx ＋m ＋3＝0有两根，两根分别为x 1，x 2，则Δ≥0，且x 1＋x 2＝m ，x 1·x 2＝m ＋3.。

高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1节集合教学案理（含解析）北师大版[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，但存在x∈B，且x∉A，则A B或B A.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算(1)A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；(2)A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；(3)∁U A＝{x|x∈U且x∉A}．[常用结论]1．对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.2．A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．( )(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( )(3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( ) (4)直线y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的交点组成的集合是{1,4}. ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)若集合A ＝{x ∈N |x ≤22}，a ＝2，则下列结论正确的是( ) A ．{a }⊆A B ．a ⊆A C ．{a }∈A D ．a ∉A D [由题意知A ＝{0,1,2}，由a ＝2，知a ∉A .]3．已知集合A ＝{0,1,2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∪B 中的元素个数为( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3C [因为B ＝{0,2,4}，所以A ∪B ＝{0,1,2,4}，元素个数为4，故选C.]4．(教材改编)已知集合A ＝{x |x 2－x －6＜0}，集合B ＝{x |x －1＜0}，则A ∩B ＝________. (－2,1) [∵A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |x －1＜0}＝{x |x ＜1}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}．]5．已知集合A ＝{x 2＋x,4x }，若0∈A ，则x ＝________.－1 [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＝0，4x ≠0或⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝0，x 2＋x ≠0，解得x ＝－1.]集合的基本概念1．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4A [由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1,0,1}，y ∈{－1,0,1}，所以A 中元素的个数为C 13C 13＝9，故选A.]2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C ．0 D ．0或98D [若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根． 当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.]3．已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1 C [由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.][规律方法]1用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合., 2集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题. 集合的基本关系【例1】 (1)(2019·长春质检)已知集合M ＝{0,1}，则满足条件M ∪N ＝M 的集合N 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．(1)D (2)(－∞，1] [(1)由M ∪N ＝M 得N ⊆M ，即找集合M 的子集个数，故满足题意的集合N 有：∅，{0}，{1}，{0,1}，共4个．(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A ，当m ＞0时，B ≠∅，因为A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}＝{x |－1＜x ＜3}． 当B ⊆A 时，有所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .所以0＜m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．] [规律方法]1若B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.,2已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解.已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( )A．A B B．B AC．A⊆B D．B＝AB[由题意知A＝{x|－1≤x≤1}，所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，因此B A.]集合的基本运算►考法1 集合的交、并、补运算【例2】(1)(2019·陕西模拟)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|2x＜4}，则A∪B＝( )A．∅B．{x|x∈R}C．{x|x≤1} D．{x|x＞2}(2)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A＝( ) A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}(1)B(2)D[(1)∵A＝{x|x2－3x＋2≥0}＝{x|x≥2或x≤1}，B＝{x|2x＜4}＝{x|x＜2}．∴A∪B＝R，故选B.(2)法一：因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(∁U B)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，则5∉B(否则5∈A∩B)，从而5∈∁U B，则(∁U B)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理，1∉A,7∉A，故A ＝{3,9}．法二：本题也可以利用Venn图帮助理解，如图所示．]►考法2 利用集合的运算求参数【例3】(1)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于( )A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．1或3(2)已知集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，若M∩N≠∅，则实数a的取值范围是( ) A．[－1,2) B．(－∞，2]C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞)(1)B(2)D[(1)由A∪B＝A，得B⊆A，所以m∈A.因为A＝{1,3，m}，所以m＝m或m＝3，即m＝3或m＝1或m＝0.由集合中元素的互异性知m≠1，故选B.(2)M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，且M∩N≠∅，结合数轴可得a＞－1.][规律方法]解决集合运算问题需注意以下三点：1看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.2看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解.3要借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，并注意端点值的取舍.(1)设集合A＝{x|－1＜x≤2}，B＝{x|x＜0}，则下列结论正确的是( ) A．A∪B＝{x|x＜0}B．(∁R A)∩B＝{x|x＜－1}C．A∩B＝{x|－1＜x＜0}D．A∪(∁R B)＝{x|x≥0}(2)(2019·河北六校联考)设全集U＝R，集合A＝{x|x－1≤0}，集合B＝{x|x2－x－6＜0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A．{x|x＜3} B．{x|－3＜x≤1}C．{x|x＜2} D．{x|－2＜x≤1}(1)C(2)D[(1)由题知，A＝(－1,2]，B＝(－∞，0)，∴A∪B＝(－∞，2]，A∩B＝(－1,0)，(∁R A)∩B＝(－∞，－1]，A∪(∁R B)＝(－1，＋∞)，故选C.(2)依题意得A＝{x|x≤1}，B＝{x|－2＜x＜3}，题图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{x|－2＜x≤1}，故选D.]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁R A＝( )A．{x|－1＜x＜2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}B[法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}，故选B.法二：因为A＝{x|x2－x－2＞0}，所以∁R A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.] 2．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x＜1}，则( )A．A∩B＝{x|x＜0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x＞1} D．A∩B＝∅A[∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}．又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．故选A.]3．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}C[∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.]4．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )A．3 B．2 C．1 D．0B[集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．结合图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B.]5．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z)，则A∪B＝( ) A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}C[因为B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0,1}，又A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．]。

第一章集合与常用逻辑用语知识点最新考纲集合了解集合、元素的含义及其关系．理解集合的表示法．了解集合之间的包含、相等关系．理解全集、空集、子集的含义．会求简单集合间的并集、交集．理解补集的含义并会求补集.命题及其关系、充分条件与必要条件了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的所有元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B，且存在x0∈B，x0∉AA B或B A 相等集合A，B的元素完全A⊆B，A＝B相同B⊆A空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集任意x，x∉∅，∅⊆A ∅3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅．(4)∁U(∁U A)＝A；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( )(3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( )(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( )(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×[教材衍化]1．(必修1P12A 组T3改编)若集合P ＝{x ∈N |x ≤ 2 021}，a ＝22，则( )A ．a ∈PB ．{a }∈PC ．{a }⊆PD ．a ∉P解析：选D.因为a ＝22不是自然数，而集合P 是不大于 2 021的自然数构成的集合，所以a ∉P .故选D.2．(必修1P11例9改编)已知U ＝{α|0°<α<180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则∁U (A ∪B )＝________．答案：{x |x 是直角}3．(必修1P44A 组T5改编)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________．解析：集合A 表示以(0，0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，22，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22，－22，则A ∩B 中有两个元素． 答案：2 [易错纠偏](1)忽视集合中元素的互异性致误； (2)忽视空集的情况致误； (3)忽视区间端点值致误．1．已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________．解析：因为B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，根据集合元素的互异性可知，m ≠1，所以m ＝0或3.答案：0或32．已知集合M ＝{x |x －2＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．解析：易得M ＝{2}．因为M ∩N ＝N ，所以N ⊆M ，所以N ＝∅或N ＝M ，所以a ＝0或a ＝12.答案：0或123．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，(∁R A )∪B ＝________．解析：由已知得A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，所以A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}，A ∪B ＝{x |1＜x ＜4}，(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x ＞2}．答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞) 集合的含义(1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．6D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A ．92B ．98C ．0D ．0或98(3)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________．【解析】 (1)当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0，1，2.故集合B ＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B 中有6个元素． (2)当a ＝0时，显然成立； 当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0， 即a ＝98.(3)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba＝－1，所以a ＝－1，b ＝1. 所以b －a ＝2.【答案】 (1)C (2)D (3)2与集合中的元素有关问题的求解步骤1．(2020·温州八校联考)已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为( )A ．1或－1B ．1或3C ．－1或3D ．1，－1或3解析：选B.因为5∈{1，m ＋2，m 2＋4}，所以m ＋2＝5或m 2＋4＝5，即m ＝3或m ＝±1.当m ＝3时，M ＝{1，5，13}；当m ＝1时，M ＝{1，3，5}；当m ＝－1时，不满足互异性．所以m 的值为3或1.2．已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x ∈Z }，则集合A 中的元素个数为________．解析：因为32－x ∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1，1，3，又因为x ∈Z ，所以x 的值分别为5，3，1，－1，故集合A 中的元素个数为4.答案：4集合的基本关系(1)(2020·浙江省绿色联盟联考)已知A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{2，0，1，8}，C ＝{1，9，3，8}，则集合A 可以为( )A ．{1，8}B ．{2，3}C ．{0}D ．{9}(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．【解析】 (1)因为A ⊆B ，A ⊆C ，所以A ⊆{B ∩C }＝{1，8}，故选A.(2)因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3.【答案】 (1)A (2)(－∞，3]1．(变条件)在本例(2)中，若A ⊆B ，如何求解？解：若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3. 所以m 的取值范围为∅.2．(变条件)若将本例(2)中的集合A 改为A ＝{x |x <－2或x >5}，如何求解？解：因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，即2m －1<m ＋1时，m <2，符合题意． ②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >4或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m <－12.即m >4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．1．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P解析：选C.因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x，x ∈R }＝{y |y >0}，所以∁R P ＝{y |y >1}，所以∁R P ⊆Q ，选C.2．(2020·绍兴调研)设A＝{1，4，2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________．解析：由B⊆A，则x2＝4，或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2；当x2＝2x时，x＝0或x＝2.但当x＝2时，2x＝4，这与集合中元素的互异性相矛盾．故x＝－2或x＝0.答案：－2或03．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x ∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________．解析：由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，所以满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．答案：4集合的基本运算(高频考点)集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域等相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．主要命题角度有：(1)求集合间的交、并、补运算；(2)已知集合的运算结果求参数．角度一求集合间的交、并、补运算(1)(2018·高考浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3}，则∁U A＝( )A．∅B．{1，3}C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}(2)(2019·高考浙江卷)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集∁U A∩B＝( )合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则()A．{－1} B．{0，1}C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，3}(3)(2020·浙江高考模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝________，∁U(A∩B)＝________．【解析】(1)因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，所以∁U A＝{2，4，5}．故选C.(2)由题意可得∁U A＝{－1，3}，则(∁U A)∩B＝{－1}．故选A.(3)因为A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，所以A∪B＝{x|－1<x<3}．又因为A∩B＝{x|1<x<2}，所以∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x≥2}．【答案】(1)C (2)A (3)(－1，3) (－∞，1]∪[2，＋∞)角度二已知集合的运算结果求参数(1)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B ＝{1}，则B＝( )A．{1，－3} B．{1，0}C．{1，3} D．{1，5}(2)(2020·浙江新高考优化卷)已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x<m}．若A∪B＝R，则m的值可以是( )A．－1 B．0C．1 D．2【解析】(1)因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1－4＋m＝0，所以m＝3.由x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.所以B＝{1，3}．经检验符合题意．故选C.(2)因为A∪B＝R，所以m>1.故m的值可以是2，故选D.【答案】(1)C (2)D(1)集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．[提醒] 在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．1．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝( )A．[2，3] B．(－2，3]C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B.由于Q＝{x|x≤－2或x≥2}，∁R Q＝{x|－2＜x＜2}，故得P∪(∁R Q)＝{x|－2＜x≤3}．故选B.2．设全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若∁S A＝{2，3}，则m＝________．解析：因为S＝{1，2，3，4}，∁S A＝{2，3}，所以A＝{1，4}，即1，4是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.答案：4核心素养系列1 数学抽象——集合的新定义问题以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．对于E＝{a1，a2，...，a100}的子集X＝{ai1，ai2，...，ai k}，定义X的“特征数列”为x1，x2，...，x100，其中xi1＝xi2＝...＝xi k ＝1，其余项均为0.例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0， 0(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于________；(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，p i＋p i＋1＝1，1≤i≤99，E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，q j＋q j＋1＋q j＋2＝1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为________．【解析】(1)由已知可得子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为1，0，1，0，1，0，…，0，故其前3项和为2.(2)由已知可得子集P 为{a 1，a 3，…，a 99}，子集Q 为{a 1，a 4，a 7，…，a 100}，则两个子集的公共元素为a 1到a 100以内项数被6除余1的数对应的项，即a 1，a 7，…，a 97，共17项．【答案】 (1)2 (2)17解决集合新定义问题的方法(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．设数集M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －13≤x ≤n }，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________．解析：在数轴上表示出集合M 与N (图略)，可知当m ＝0且n ＝1或n －13＝0且m ＋34＝1时，M ∩N 的“长度”最小．当m ＝0且n ＝1时，M ∩N ＝{x |23≤x ≤34}， 长度为34－23＝112；当n ＝13且m ＝14时，M ∩N ＝{x |14≤x ≤13}， 长度为13－14＝112. 综上，M ∩N 的长度的最小值为112. 答案：112[基础题组练]1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{2，4，6，8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.因为集合A 和集合B 有共同元素2，4，所以A ∩B ＝{2，4}，所以A ∩B 中元素的个数为2.2．(2020·温州十五校联合体联考)已知集合A ＝{}x |e x≤1，B ＝{}x |ln x ≤0，则A ∪B ＝( )A ．(－∞，1]B ．(0，1]C ．[1，e]D ．(0，e]解析：选A.因为A ＝{}x |e x ≤1＝{}x |x ≤0， B ＝{}x |ln x ≤0＝{}x |0＜x ≤1，所以A ∪B ＝(－∞，1]，故选A.3．(2020·宁波高考模拟)已知全集U ＝A ∪B ＝{x ∈Z |0≤x ≤6}，A ∩(∁U B )＝{1，3，5}，则B ＝( )A ．{2，4，6}B ．{1，3，5}C．{0，2，4，6} D．{x∈Z|0≤x≤6}解析：选C.因为全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，A∩(∁U B)＝{1，3，5}，所以B＝{0，2，4，6}，故选C.4．设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )A．{2} B．{1，2，4}C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5}解析：选B.因为A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，所以A∪B＝{1，2，4，6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，所以(A∪B)∩C＝{1，2，4}．故选B.5．(2020·宜春中学、新余一中联考)已知全集为R，集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|2<x<3} B．{x|－1<x≤0}C．{x|0≤x<6} D．{x|x<－1}解析：选C.由x2－5x－6<0，解得－1<x<6，所以A＝{x|－1<x<6}．由2x<1，解得x<0，所以B＝{x|x<0}．又图中阴影部分表示的集合为(∁R B)∩A，因为∁R B＝{x|x≥0}，所以(∁R B)∩A＝{x|0≤x<6}，故选C.6．已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( )A．(0，3) B．(0，1)∪(1，3)C ．(0，1)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选B.因为A ∩B 有4个子集，所以A ∩B 中有2个不同的元素，所以a ∈A ，所以a 2－3a <0，解得0<a <3且a ≠1，即实数a 的取值范围是(0，1)∪(1，3)，故选B.7．设U ＝{x ∈N *|x ＜9}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5，6}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{1，2，3}B ．{4，5，6}C ．{6，7，8}D ．{4，5，6，7，8} 解析：选B.因为U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁U A ＝{4，5，6，7，8}，所以(∁U A )∩B ＝{4，5，6，7，8}∩{3，4，5，6}＝{4，5，6}．故选B.8．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( )A ．{－1，2，3，5}B ．{－1，2，3}C ．{5，－1，2}D ．{2，3，5}解析：选A.由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.此时B ＝{2，3，－1}，所以A ∪B ＝{－1，2，3，5}；当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时不符合题意，舍去． 9．已知集合P ＝{n |n ＝2k －1，k ∈N *，k ≤50}，Q ＝{2，3，5}，则集合T ＝{xy |x ∈P ，y ∈Q }中元素的个数为( )A ．147B ．140C ．130D ．117 解析：选B.由题意得，y 的取值一共有3种情况，当y ＝2时，xy 是偶数，不与y ＝3，y ＝5有相同的元素，当y ＝3，x ＝5，15，25，…，95时，与y ＝5，x ＝3，9，15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140，故选B.10．(2020·温州质检)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2>0}，B ＝{x |x －a ≤0}，若∁U B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞) 解析：选D.因为x 2－3x ＋2>0，所以x >2或x <1.所以A ＝{x |x >2或x <1}，因为B ＝{x |x ≤a }，所以∁U B ＝{x |x >a }．因为∁U B ⊆A ，借助数轴可知a ≥2，故选D.11．集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为________．解析：根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故只能是a ＝4.答案：412．(2020·宁波效实中学模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x≤3}，集合B＝{x|log2(x－2)<1}，则A∪B＝________；A∩(∁U B)＝________．解析：log2(x－2)<1⇒0<x－2<2⇒2<x<4⇒B＝(2，4)，所以A∪B ＝[－1，4)，A∩(∁U B)＝[－1，2]．答案：[－1，4) [－1，2]13．设集合A＝{n|n＝3k－1，k∈Z}，B＝{x||x－1|>3}，则B ＝________，A∩(∁R B)＝________．解析：当k＝－1时，n＝－4；当k＝0时，n＝－1；当k＝1时，n＝2；当k＝2时，n＝5.由|x－1|>3，得x－1>3或x－1<－3，即x>4或x<－2，所以B＝{x|x<－2或x>4}，∁R B＝{x|－2≤x≤4}，A∩(∁R B)＝{－1，2}．答案：{x|x<－2或x>4} {－1，2}14．(2020·浙江省杭州二中高三年级模拟)设全集为R，集合M＝{x∈R|x2－4x＋3>0}，集合N＝{x∈R|2x>4}，则M∩N＝________；∁R(M∩N)＝________．解析：M＝{x∈R|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，N＝{x∈R|2x>4}＝{x|x>2}，所以M∩N＝(3，＋∞)，所以∁R(M∩N)＝(－∞，3]．答案：(3，＋∞)(－∞，3]15．已知集合M＝{x|x2－4x<0}，N＝{x|m＜x＜5}，若M∩N＝{x|3<x<n}，则m＝________，n＝________．解析：由x2－4x<0得0<x<4，所以M＝{x|0<x<4}．又因为N ＝{x|m<x<5}，M∩N＝{x|3<x<n}，所以m＝3，n＝4.答案：3 416．设全集U＝{x∈N*|x≤9}，∁U(A∪B)＝{1，3}，A∩(∁U B)＝{2，4}，则B ＝________．解析：因为全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，由∁U (A ∪B )＝{1，3}，得A ∪B ＝{2，4，5，6，7，8，9}，由A ∩(∁U B )＝{2，4}知，{2，4}⊆A ，{2，4}⊆∁U B .所以B ＝{5，6，7，8，9}．答案：{5，6，7，8，9}17．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________．解析：因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32； ②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1. 综上，可得a 的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1][综合题组练]1．(2020·金华东阳二中高三调研)已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( )A ．A ∪B ＝RB ．A ∪(∁U B )＝RC ．(∁U A )∪B ＝RD ．A ∩(∁U B )＝A 解析：选D.因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >4}，所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D.2．集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{x |x ＜－1或x ≥1}B ．{x |1≤x ≤3或x ＜－1}C ．{x |x ≤－1或x ＞1}D ．{x |1＜x ≤3或x ≤－1}解析：选 B.集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x ＞0}＝{x |x ＜1}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |(x ＋1)(x －3)≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，所以U ＝A ∪B ＝{x |x ≤3}，所以A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1}；所以∁U (A ∩B )＝{x |1≤x ≤3或x ＜－1}．故选B.3．(2020·浙江新高考联盟联考)已知集合A ＝{1，2，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________，∁A B ＝________．解析：由题意，当m ＝2时，A ＝{1，2，2}，B ＝{1，2}，满足B ⊆A ；当m ＝m ，即m ＝0或1时，若m ＝0，则A ＝{1，2，0}，B ＝{1，0}，满足B ⊆A .若m ＝1，则A ＝{1，3，1}，B ＝{1，1}，不满足集合中元素的互异性，所以m ＝1舍去．当m ＝2时，∁A B ＝{2}；当m ＝0时，∁A B ＝{2}．答案：0或2 {2}或{2}4．函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈P ，－x ，x ∈M ，其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，规定f (P )＝{y |y ＝g (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝g (x )，x ∈M }．给出下列四个命题：①若P ∩M ＝∅，则f (P )∩f (M )＝∅；②若P ∩M ≠∅，则f (P )∩f (M )≠∅；③若P ∪M ＝R ，则f (P )∪f (M )＝R ；④若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R .其中命题不正确的有________．解析：①若P ＝{1}，M ＝{－1}，则f (P )＝{1}，f (M )＝{1}，则f (P )∩f (M )≠∅，故①错．②若P ＝{1，2}，M ＝{1}，则f (P )＝{1，2}，f (M )＝{－1}，则f (P )∩f (M )＝∅.故②错．③若P ＝{非负实数}，M ＝{负实数}，则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{正实数}，则f (P )∪f (M )≠R ，故③错．④若P ＝{非负实数}，M ＝{正实数}，则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{负实数}，则f (P )∪f (M )＝R ，故④错．答案：①②③④5．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8，求A ∩B .解：不等式18<2x <8的解为－3<x <3， 所以B ＝(－3，3)．若x ∈A ∩B ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2[x ]＝3－3<x <3， 所以[x ]只可能取值－3，－2，－1，0，1，2.若[x ]≤－2，则x 2＝3＋2[x ]<0，没有实数解；若[x ]＝－1，则x 2＝1，得x ＝－1；若[x ]＝0，则x 2＝3，没有符合条件的解；若[x ]＝1，则x 2＝5，没有符合条件的解；若[x ]＝2，则x 2＝7，有一个符合条件的解，x ＝7. 因此，A ∩B ＝{}－1，7.6．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }．(1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}．(2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意； ②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13. 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。

高考数学一轮复习第一章集合、常用逻辑用语、算法初步及框图考点集训理考点集训(一) 第1讲 集合的含义及运算1．若集合A ＝{x ∈R |y ＝lg(2－x )}，B ＝{y ∈R |y ＝2x －1，x ∈A }，则∁R (A ∩B )＝ A ．R B ．(－∞，0]∪[2，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(－∞，0]2．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，B ＝{x |－a <x ≤a ＋3}．若B ∩A ＝B ，则a 的取值范围为A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－1B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32 C ．(－∞，－1] D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ 3．已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{5，6，7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则集合C 中所含元素的个数为A ．5B ．6C ．12D ．134．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |－1≤x ≤a }，且(A ∪B )⊆(A ∩B )，则实数a ＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n ＝m ＋n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n ＝m ×n .则在此定义下，集合M ＝{(a ，b )|a ※b ＝12，a ∈N *，b ∈N *}中的元素个数是A ．10个B ．15个C ．16个D ．18个6．某校高三(1)班50个学生选择选修模块课程，他们在A ，B ，C 三个模块中进行选择，7．已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，若B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝______________．8．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，求实数a 的取值范围．9．函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的定义域为集合A，函数g(x)＝2x－a(x≤2)的值域为集合B.(1)求集合A，B；(2)若集合A，B满足A∩B＝B，求实数a的取值范围．考点集训(二) 第2讲 常用逻辑用语1．命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是A ．∀x ∉R ，x 2≠xB ．∀x ∈R ，x 2＝xC ．∃x ∉R ，x 2≠xD ．∃x ∈R ，x 2＝x 2．下列命题中为真命题的是A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题 3．下列叙述中正确的是A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β4．设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q ) 5．下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >c b”的逆否命题是真命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p ∧(綈q )是真命题．其中真命题为A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ 6．已知命题p ：“a ＝1”是“|x |＋a|x |≥2”的充要条件；命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0－2>0.则下列命题正确的是________．(填上所有正确命题的序号)①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“(綈p )∧q ”是真命题；③命题“p ∧(綈q )”是真命题；④命题“(綈p )∧(綈q )”是真命题．7．设函数f (x )＝cos(2x ＋φ)，则“f (x )为奇函数”是“φ＝π2”的____________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)8．已知(x ＋1)(2－x )≥0的解集为条件p ，关于x 的不等式x 2＋mx －2m 2－3m －1<0⎝ ⎛⎭⎪⎫m >－23的解集为条件q .(1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围； (2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1（x <－2），x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－2≤x ≤12，（x ∈R ）.5x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >12，(1)求函数f (x )的最小值；(2)已知m ∈R ，命题p ：关于x 的不等式f (x )≥m 2＋2m －2对任意m ∈R 恒成立；q ：函数y ＝(m 2－1)x是增函数．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．考点集训(三) 第3讲 算法初步、框图1．执行如下图所示的程序框图，则输出的s 的值等于A ．13B ．15C ．36D ．492．给出30个数：1，2，4，7，11，16，…，要计算这30个数的和，下图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断①处和执行框②处可以分别填入A．i≤30？和p＝p＋i －1 B．i≤31？和p＝p＋i ＋1C．i≤31？和p＝p＋i D．i≤30？和p＝p＋i3．运行如图所示程序框图，输出的n值为A．2 B．3C．4 D．54．阅读如下图所示的程序框图，则该算法的功能是A．计算数列{2n－1}前5项的和B．计算数列{2n－1}前6项的和C．计算数列{2n－1}前5项的和D．计算数列{2n－1}前6项的和5．以下给出计算2×4×6×…×100的值的四个程序，其中正确的是A．S＝1i＝2DO i＜100S＝S*ii＝i＋1LOOP UNTIL i＜100PRINT SEND B．S＝1i＝2WHILE i＞100S＝S*ii＝i＋1WEND PRINT S ENDC ． S ＝1 i ＝2WHILE i ＜100 S ＝S*i i ＝i ＋1 WEND PRINT SEND D ． S ＝1 i ＝2WHILE i ＜＝100 S ＝S*i i ＝i ＋2 WEND PRINT S END6．一算法的程序框图如右图所示，若输出的y ＝12，则输入的x 可能为A ．－1B ．1C ．1或5D ．－1或17．如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的△ABC 的直观图△A′B′C′，其中A′B′∥y′轴．若A′B′＝B ′C′＝3，设△ABC 的面积为S ，△A ′B ′C ′的面积为S′，记S ＝kS′，执行如图②的框图，则输出r 的值A ．12B ．10C ．9D ．6答 案 题 号 1 238.将下图算法语句(其中常数e)当输入x为3时，输出y的值为输入xIF x≤e THENy＝0.5＋0.5*(x－2)ELSEy＝0.5*xEND IF输出yA．1 B．1.5 C．0.125 D．0.859 1419．球从100 m的高度落下，每次落地后又返跳回原高度的一半，再落下，在第10次落地时，小球共经过多少路程？画出程序框图，并设计程序．第一章 集合、常用逻辑用语、算法初步及框图 第1讲 集合的含义及运算【考点集训】1．B 2.C 3.D 4.A 5.B 6.6 7.0或1或－128．【解析】A ＝{x|x 2＋2x －3>0}＝{x|x>1或x<－3}，函数y ＝f(x)＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a>0，f(－3)＝6a ＋8>0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f(2)≤0且f(3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34，a<43，即34≤a<43.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43. 9．【解析】(1)A ＝{x|x 2－2x －3>0} ＝{x|(x －3)(x ＋1)>0} ＝{x|x<－1或x>3}，B ＝{y|y ＝2x－a ，x ≤2}＝{y|－a<y ≤4－a}． (2)∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ， ∴4－a<－1或－a ≥3，∴a>5或a ≤－3，即a 的取值范围是(－∞，－3]∪(5，＋∞)．第2讲 常用逻辑用语【考点集训】1．D 2.A 3.D 4.A 5.A 6.② 7.必要不充分 8．【解析】(1)设条件p 的解集为集合A ，则A ＝{x|－1≤x ≤2}， 设条件q 的解集为集合B ，则B ＝{x|－2m －1<x<m ＋1}， 若p 是q 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，故有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>2，－2m －1<－1，m>－23，解得m>1.(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则B 是A 的真子集， 故有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2，－2m －1≥－1，m>－23，解得－23<m ≤0.9．【解析】(1)作出函数f(x)的图象，可知函数f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，故f(x)的最小值为f(x)min ＝f(－2)＝1.(2)对于命题p ，m 2＋2m －2≤1，故－3≤m ≤1；对于命题q ，m 2－1>1，故m>2或m<－ 2. 由于“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则①若p 真q 假，则⎩⎨⎧－3≤m ≤1，－2≤m ≤2，解得－2≤m ≤1.②若p 假q 真，则⎩⎨⎧m>1或m<－3m<－2或m>2，解得m<－3或m> 2. 故实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪[－2，1]∪(2，＋∞)． 第3讲 算法初步、框图【考点集训】1．D 2.D 3.D 4.D 5.D 6.A 7.A 8.B 9．【解析】第1次下落的高度h 1＝100 m ；第2次下落的高度h 2＝12h 1＝50 m ；第3次下落的高度h 3＝12h 2＝25 m ；…第10次下落的高度h 10＝12h 9所以递推关系式是h 1＝100，h n ＋1＝12h n (n ＝1，2，3， (9)到第10次落地时，共经过的路程为S ＝h 1＋2h 2＋2h 3＋…＋2h 10＝2(h 1＋h 2＋…＋h 10)－h 1.故可将S 作为累加变量，i 作为计数变量． 程序框图如下根据以上程序框图，可设计程序如下：S ＝0h ＝100 i ＝1WHILE i <＝10 S ＝S ＋2h h ＝h /2 i ＝i ＋1 WENDS ＝S －100 PRINT SEND。

第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算[考纲解读] 1.了解集合的含义．体会元素与集合的关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述具体问题．2．理解集合间的相等与包含关系，会求集合的子集，了解全集与空集的含义．(重点) 3．在理解集合间的交、并、补的含义的基础上，会求两个集合的并集与交集，会求给定子集的补集．(重点、难点)4．能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算．[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的必考内容．预测2021年高考会以考查集合交、并、补的运算为主，结合不等式的解法，求函数的定义域、值域等简单综合命题，试题难度不大，以选择题形式呈现.1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：01确定性、02互异性、03无序性．(2)元素与集合的关系有04属于或05不属于两种，用符号06∈或07∉表示．(3)集合的表示法：08列举法、09描述法、10图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R2．集合间的基本关系(1)基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即假设x∈A，01A⊆B (或02B⊇A)那么x∈B)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中03A B(或04B A)集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集05A＝B(2)结论①空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集，符号表示为∅⊆A，∅B(B≠∅)．②对于任意集合A，A⊆A.③假设A⊆B，B⊆C，那么□06A⊆C.3．集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于A01且属于B的元素组成的集合{x|x∈A，02且x∈B}03A∩B并集属于A04或属于B的元素组成的集合{x|x∈A，05或x∈B}06A∪B补集全集U中07不属于A的元素组成的集合{x|x∈U，且x08∉A}09∁U A4．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔01B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔02A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)03U；A∩(∁U A)04∅；∁U(∁U A)05A；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．(4)假设有限集A 中有n 个元素，那么A 的子集个数为062n 个，非空子集个数为072n－1个，真子集有082n －1个，非空真子集的个数为092n－2个．1．概念辨析(1)假设1∈{x ，x 2}，那么x ＝±1.( )(2){x |y ＝x 2}＝{y |y ＝x 2}＝{(x ，y )|y ＝x 2}．( ) (3){x |x ≥2}＝{t |t ≥2}．( )(4)对于任意两个集合A ，B ，总有(A ∩B )⊆A ，A ⊆(A ∪B )．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．小题热身(1)集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)＝0}，B ＝{x ∈Z |－3＜2x －1≤3}，那么A ∪B ＝( ) A ．{－2,1}B ．{0,1,2}C ．{－2，－1,0,1,2}D ．{－2,0,1,2}答案 D解析 因为A ＝{－2,1}，B ＝{x ∈Z |－1＜x ≤2}＝{0,1,2}，所以A ∪B ＝{－2,0,1,2}． (2)设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，那么A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |0＜x ≤1} B ．{x |0＜x ＜1} C ．{x |1≤x ＜2} D ．{x |0＜x ＜2} 答案 B解析 因为B ＝{x |x ≥1}，所以∁R B ＝{x |x ＜1}．因为A ＝{x |0＜x ＜2}，所以A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}，应选B.(3)集合A ＝{x |x ＝3n ，n ∈N }，B ＝{x |x ＝6m ，m ∈N }，那么A 与B 的关系为________． 答案 BA解析 任取x ∈B ，那么x ＝6m ＝3·2m,2m ∈N ，所以x ∈A ，所以B ⊆A ，又3∈A 但3∉B ，所以B A .(4)集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫8x，y ，B ＝{0，x 2}，且A ＝B ，那么集合A 的子集为_______．答案 ∅，{0}，{4}，{0,4}解析 由题意得8x＝x 2，y ＝0，解得x ＝2，所以A＝{0,4}，其子集为∅，{0}，{4}，{0,4}．题型一集合的基本概念与表示方法1．(2019·厦门一中模拟)设集合M＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，P＝{y|y＝2m，m∈Z}，假设x0∈M，y0∈P，a＝x0＋y0，b＝x0y0，那么( )A．a∈M，b∈P B．a∈P，b∈MC．a∈M，b∈M D．a∈P，b∈P答案 A解析解法一：设x0＝2n＋1，y0＝2k(n，k∈Z)，那么x0＋y0＝2n＋1＋2k＝2(n＋k)＋1∈M，x0y0＝(2n＋1)(2k)＝2(2nk＋k)∈P，故a∈M，b∈P.解法二：由得，集合M是所有奇数构成的集合，集合P是所有偶数构成的集合，根据奇数＋偶数是奇数，奇数×偶数是偶数可知a∈M，b∈P.2．(2018·全国卷Ⅱ)集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，那么A中元素的个数为( )A．9 B．8C．5 D．4答案 A解析∵x2＋y2≤3，∴x2≤3，∵x∈Z，∴x＝－1,0,1，当x＝－1时，y＝－1,0,1；当x＝0时，y＝－1,0,1；当x＝1时，y＝－1,0,1，所以A 中元素共有9个，应选A.3．假设集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，那么实数a＝________.答案0或1解析因为－3∈A，所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3，解得a＝0或a＝－1或a＝1.当a＝0时，A＝{－3，－1，－4}，符合题意；当a＝－1时，2a－1＝a2－4＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，符合题意．综上知a＝0或1.1．用描述法表示集合的两个关键点(1)搞清楚集合中的代表元素是什么．如举例说明1,3是数，举例说明2是有序数对(或平面内的点)．(2)看这些元素满足什么共同特征．如举例说明1，集合M是所有奇数构成的集合，集合P是所有偶数构成的集合．如举例说明2，x，y是整数且满足x2＋y2≤3.2．两个易错点(1)忽视集合中元素的互异性．如举例说明3，求出a值后应注意检验．(2)忽视分类讨论．如举例说明2，要分x＝－1，x＝0和x＝1三种情况讨论，可以保证不重不漏．1．设集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |－x ∈A,1－x ∉A }，那么集合B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 A解析 假设x ∈B ，那么－x ∈A ，所以x 只可能取0，－1，－2，－3.逐一检验可知B ＝{－3}，只有1个元素．2．单元素集合A ＝{x |x 2－(a ＋2)x ＋1＝0}，那么a 等于( ) A ．0 B ．－4 C ．－4或1 D ．－4或0答案 D解析 因为集合A 只有一个元素，所以一元二次方程x 2－(a ＋2)x ＋1＝0有两个相等的实根，所以Δ＝(a ＋2)2－4＝0，解得a ＝－4或0.题型 二 集合间的基本关系1．集合M ＝{x |x ＝3n，n ∈N }，集合N ＝{x |x ＝3n ，n ∈N }，那么集合M 与集合N 的关系为( )A ．M NB ．N MC ．M ＝ND ．MN 且N M答案 D解析 因为1∈M,1∉N ，所以M N ，因为0∈N,0∉M ，所以N M .综上知，M ⃘N 且N ⃘M .2．集合M ＝{|x x ＝k π4＋π4，k ∈Z ，集合N ＝{|x x ＝k π8－π4，k ∈Z ，那么( ) A ．M N B ．N M C ．M ＝N D ．以上都不对答案 A 解析 ∵k π4＋π4＝2k ＋18π，k ∈Z ，k π8－π4＝k －28π，k ∈Z ，∴任取x ∈M ，有x ∈N ，且π8∈N ，但π8∉M ，∴MN .3．集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，假设B ⊆A ，那么实数m 的取值范围为________．答案 (－∞，3]解析 因为B ⊆A ，所以①假设B ＝∅，那么2m －1<m ＋1，此时m <2. ②假设B ≠∅，那么⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3.条件探究 将本例中的集合A 改为“A ＝{x |x <－2或x >5}〞，那么实数m 的取值范围为________．答案 (－∞，2)∪(4，＋∞) 解析 因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，即2m －1<m ＋1时，m <2，符合题意．②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >4或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m <－12，即m >4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．1．判断集合间关系的三种方法列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．如举例说明1结构法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．如举例说明2数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．如举例说明32．根据集合间的关系求参数的策略 (1)注意对集合是否为空集进行分类讨论因为∅⊆A 对任意集合A 都成立．如举例说明3中2m －1<m ＋1时，B ＝∅，B ⊆A 也成立． (2)借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．如举例说明3，当B ≠∅时，由B ⊆A ，借助数轴，列出关于m 的不等式组．(3)注意检验区间端点值，如举例说明3，假设将两个集合改为A ＝{x |－2<x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x <2m －1}，假设B ≠∅，为使B ⊆A ，m 须满足⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m ＋1，m ＋1>－2，2m －1≤5.1．(2020·广州市高三学情调研)集合{x |x 2＋ax ＝0}＝{0,1}，那么实数a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 A解析 由x 2＋ax ＝0，得x (x ＋a )＝0，所以x ＝0或x ＝－a .所以由条件可得－a ＝1，所以a ＝－1.2．集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{x |x ≤a }，假设A ⊆B ，那么实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．a >2 C ．a <0 D ．a ≤0答案 A解析 ∵A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤a }，∴为使A ⊆B ，a 须满足a ≥2. 3．满足{0,1,2}A ⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A 的个数为________．答案 7解析 集合A 除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合A 的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为23－1＝7.题型 三 集合的基本运算角度1 集合的并、交、补运算1．(2019·全国卷Ⅰ)集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，那么M ∩N ＝( )A ．{x |－4<x <3}B ．{x |－4<x <－2}C ．{x |－2<x <2}D ．{x |2<x <3}答案 C解析 由x 2－x －6<0，得(x －3)(x ＋2)<0，解得－2<x <3，即N ＝{x |－2<x <3}，∴M ∩N ＝{x |－2<x <2}．应选C.2．集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg (x －2x 2)}，那么∁R (A ∩B )＝( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 B ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 D解析 因为A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)，B ＝{x |y ＝lg (x －2x 2)}＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 3．(2019·合肥模拟)集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，那么A ∩(∁U B )＝________.答案 {3}解析 因为全集U ＝{1,2,3,4}，且∁U (A ∪B )＝{4}，所以A ∪B ＝{1,2,3}，又B ＝{1,2}，所以A ＝{3}或{1,3}或{3,2}或{1,2,3}，所以A ∩(∁U B )＝{3}．角度2 知集合的运算结果求参数4．集合A ＝{x |x 2－ax ≤0，a ＞0}，B ＝{0,1,2,3}，假设A ∩B 有3个真子集，那么a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．[1,2)C ．(0,2]D ．(0,1)∪(1,2]答案 B解析 因为集合A ＝{x |0≤x ≤a ，a ＞0}，B ＝{0,1,2,3}，假设A ∩B 有3个真子集，那么A ∩B ＝{0,1}，所以1≤a ＜2.所以a 的取值范围是[1,2)．5．设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}，假设(∁U A )∩B ＝∅，那么m ＝________.答案 1或2解析 A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A .x2＋(m＋1)x＋m＝0可化为(x＋1)(x＋m)＝0，当m＝1时，B＝{－1}，符合题意；当m≠1时，B＝{－1，－m}，为使B⊆A成立，须有－m＝－2，即m＝2.综上知m＝1或2.1．求集合交集、并集或补集的步骤2．知集合的运算结果求参数问题的两个关键点(1)分析运算结果并进行恰当转换．如举例说明5中，由(∁U A)∩B＝∅，知B⊆A.(2)化简集合为求参数创造有利条件．如举例说明5中，A＝{－2，－1}．当m＝1时，B＝{－1}；当m≠1时，B＝{－1，－m}．1．(2019·天津高考)设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，那么(A∩C)∪B＝( )A．{2} B．{2,3}C．{－1,2,3} D．{1,2,3,4}答案 D解析∵A∩C＝{－1,1,2,3,5}∩{x∈R|1≤x<3}＝{1,2}，∴(A∩C)∪B＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．应选D.2．(2019·中原名校模拟)集合M＝{y|y＝－x2，x∈R}，N＝{x|x2＋y2＝2，x∈R}，那么M∩N＝( )A．{(－1，－1)，(1，－1)} B．{－1}C．[－1,0] D．[－2，0]答案 D解析由y＝－x2，x∈R得y≤0，所以集合M＝(－∞，0]，由x2＋y2＝2，x∈R得N＝[－2，2]，所以M∩N＝[－2，0]，应选D.3．(2019·辽宁五校模拟)集合P＝{x|x2－2x－8>0}，Q＝{x|x≥a}，P∪Q＝R，那么a的取值范围是( )A．(－2，＋∞) B．(4，＋∞)C．(－∞，－2] D．(－∞，4]答案 C解析集合P＝{x|x2－2x－8>0}＝{x|x<－2或x>4}，Q＝{x|x≥a}，假设P∪Q＝R，那么a≤－2，即a的取值范围是(－∞，－2]．题型四集合的新定义问题设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，且U的子集可表示由0,1组成的6位字符串，如：{2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.(1)假设M＝{2,3,6}，那么∁U M表示的6位字符串为________；(2)A＝{1,3}，B⊆U，假设集合A∪B表示的字符串为101001，那么满足条件的集合B的个数是________．答案(1)100110 (2)4解析(1)由得，∁U M＝{1,4,5}，那么∁U M表示的6位字符串为100110.(2)由题意可知A∪B＝{1,3,6}，而A＝{1,3}，B⊆U，那么B可能为{6}，{1,6}，{3,6}，{1,3,6)，故满足条件的集合B的个数是4.与集合相关的新定义问题的解题思路(1)紧扣“新〞定义：分析新定义的特点，把新定义所表达的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．(2)把握“新〞性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．(3)遵守“新〞法那么：准确把握新定义的运算法那么，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算．如果集合A 满足：假设x ∈A ，那么－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合〞．集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，那么A ∩B ＝________.答案 {0,6}解析 由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6,0,6}，所以A ∩B ＝{0,6}．组 基础关1．设集合P ＝{x |0≤x ≤2}，m ＝3，那么以下关系中正确的选项是( ) A ．m ⊆P B ．m PC ．m ∈PD ．m ∉P答案 D解析 ∵3>2，∴m ∉P .2．全集U ＝R ，那么表示集合M ＝{x |x 2＋3x ＝0}和N ＝{－3,0,3}关系的示意图是( )答案 D解析 因为集合M ＝{－3,0}，N ＝{－3,0,3}，所以M N ，应选D. 3．集合A ＝{x |x ＝3k －1，k ∈Z }，那么以下表示正确的选项是( ) A ．－1∉A B ．－11∈A C ．3k 2－1∈A D ．－34∉A答案 C解析 令k ＝0得x ＝－1，故－1∈A ；令－11＝3k －1，解得k ＝－103∉Z ，故－11∉A ；令－34＝3k －1，解得k ＝－11∈Z ，故－34∈A ；对于3k 2－1，因为k ∈Z 时，k 2∈Z ，所以3k 2－1∈A .应选C.4．(2019·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6>0}，B ＝{x |x －1<0}，那么A ∩B ＝( ) A ．(－∞，1) B ．(－2,1) C ．(－3，－1) D ．(3，＋∞)答案 A解析 A ∩B ＝{x |x 2－5x ＋6>0}∩{x |x －1<0}＝{x |x <2或x >3}∩{x |x <1}＝{x |x <1}．应选A.5．假设集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，那么a 等于( ) A.92 B.98 C ．0 D ．0或98答案 D解析 当a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4×a ×2＝0，解得a ＝98，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，符合题意．综上可知，a ＝0或98. 6．(2020·茂名市摸底)集合M ＝{(x ，y )|y ＝3x 2}，N ＝{(x ，y )|y ＝5x }，那么M ∩N 中元素的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 2，y ＝5x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝253，所以M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253.所以M ∩N 中元素的个数为2.7．设全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈R }，那么图中阴影部分表示的区间是( )A ．[0,1]B ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C ．[－1,2]D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)答案 D解析 A ＝{x |x 2－2x ≤0}＝[0,2]，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈R }＝[－1,1]．图中阴影部分表示∁U (A ∪B )＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．8．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，假设A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，那么a 的值为________． 答案 4解析 因为A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，假设A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，a ＝4，所以a ＝4.9．设集合A ＝{－1,1}，集合B ＝{x |ax ＝1，a ∈R }，那么使得B ⊆A 的a 的所有取值构成的集合是________．答案 {－1,0,1}解析 因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，可知a ＝0，显然成立．②当B ＝{1}时，可得a ＝1，符合题意．③当B ＝{－1}时，可得a ＝－1，符合题意．故满足条件的a 的取值集合是{－1,0,1}．10．a ，b ∈R ，假设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，那么a 2019＋b 2019＝________.答案 －1解析 ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，∴a ≠0.∴b ＝0，a 2＝1，又a ≠1，∴a ＝－1， ∴a2019＋b2019＝－1.组 能力关1．设集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }，那么以下关系中正确的选项是( )A ．M ＝NB ．N ⊆MC ．M ⊆ND ．M ∩N ＝∅答案 A解析 因为集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }＝{x |x ＝(a －2)2＋1，a ∈R }＝{x |x ≥1}，N ＝{y |y ＝(2b ＋1)2＋1，b ∈R }＝{y |y ≥1}．所以M ＝N .2．(2019·衡水模拟)集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜c }，假设A ∪B ＝B ，那么c 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,2]D ．[2，＋∞)答案 D解析 因为集合A ＝{x |log 2x ＜log 22}＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜c }，又由A ∪B ＝B ，得A ⊆B ，所以c ≥2.3．集合A ＝[1，＋∞)，B ＝{|x ∈R 12a ≤x ≤2a －1，假设A ∩B ≠∅，那么实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 A解析 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1.4．假设x ∈A ，那么1x∈A ，就称A 是“伙伴关系〞集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有“伙伴关系〞的集合的个数为( )A ．15B ．16C ．32D ．256答案 A解析 由题意得，满足题意的“伙伴关系〞的集合由以下元素构成：－1，1，12，2，13，3，其中12和2，13和3必须同时出现．所以集合M 的所有非空子集中具有“伙伴关系〞的集合的个数为24－1＝15.5．设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．假设A ∩B ＝B ，那么实数a 的取值范围是________．答案 a ≤－1或a ＝1解析 ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .又A ＝{0，－4}， ∴B 的可能情况有∅，{－4}，{0}，{－4,0}．①假设B ＝∅，那么Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1. ②假设B ＝{－4}，那么a ∈∅. ③假设B ＝{0}，那么a ＝－1. ④假设B ＝{－4,0}，那么a ＝1. 综上可知，a ≤－1或a ＝1. 6．设数集M ＝x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m ≤x ≤m ＋34，N ＝x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度〞，那么集合M ∩N 的长度的最小值为________．答案112解析 由得，当m ＝0且n ＝1或n －13＝0且m ＋34＝1时，M ∩N 的长度最小．当m ＝0且n＝1时，M ∩N ＝x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫23≤x ≤34，其长度为34－23＝112.当m ＝14且n ＝13时，M ∩N ＝x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫14≤x ≤13，其长度为13－14＝112.综上可知，M ∩N 的长度的最小值为112.。

精品教案――集合与简易逻辑一、本章知识结构：二、考点回顾1、集合的含义及其表示法，子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、集合与其它知识的联系，如一元二次不等式、函数的定义域、值域等；3、逻辑联结词的含义，四种命题之间的转化，了解反证法；4、含全称量词与存在量词的命题的转化，并会判断真假，能写出一个命题的否定；5、充分条件，必要条件及充要条件的意义，能判断两个命题的充要关系；6、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。

三、经典例题剖析考点1、集合的概念1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。

如数集{y|y=x 2}，表示非负实数集，点集{(x ，y)|y=x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线；（3）集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}；②描述法。

2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用∈或∉表示；（2）集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A ⊆B 时，称A 是B 的子集；当A ≠⊂B 时，称A 是B 的真子集。

3、解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题4、注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ,则有A =∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论例1、下面四个命题正确的是（A ）10以内的质数集合是{1，3，5，7} （B ）方程x 2－4x ＋4＝0的解集是{2，2}（C ）0与{0}表示同一个集合 （D ）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}解：选（D ），最小的质数是2，不是1，故（A ）错；由集合的定义可知（B ）（C ）都错。

第一章集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念与运算考纲要求1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义，元素与集合的属于关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系及运算．1．集合元素的三个特征：______、______、______.2．元素与集合的关系是____或______关系，用符号____或____表示．3．集合的表示法：______、______、图示法．4．常用数集：自然数集______；正整数集______(或______)；整数集______；有理数集________；实数集____．5．集合的分类：按集合中元素的个数划分，集合可以分为______、______.6．子集、真子集及其性质：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)；若集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，则A B(或B A)；∅⊆A；A⊆A；A⊆B，B⊆C⇒A⊆C．若集合A含有n个元素，则A的子集有____个，A的非空子集有____个，A的非空真子集有____个．7．集合相等：若A⊆B，且____，则A＝B．8．集合的并、交、补运算：并集：A∪B＝____________；交集：A∩B＝__________；补集：∁U A＝__________；U为全集，∁U A表示集合A相对于全集U的补集．9．集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．1．设M＝{x|x≤211}，a＝2 014，则下列关系中正确的是( )．A．a⊆M B．a∉MC．{a}∉M D．{a}⊆M2．(2012山东高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为( )．A．{1,2,4} B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}3．若集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x≥a}，且A∩B≠∅，则实数a的取值范围为( )．A ．a ≤1 B．a ＜1 C ．a ≥1 D．a ＞14．(2012湖北高考)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．45．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为__________． 一、集合的概念【例1－1】若集合A ＝{2,3,4}，B ＝{x |x ＝n ·m ，m ，n ∈A ，m ≠n }，则集合B 的元素个数为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5【例1－2】已知集合A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，且1∈A ，则 2 014a的值为__________．方法提炼1．研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．集合{x |f (x )＝0} {x |f (x )＞0} {x |y ＝f (x )} {y |y ＝f (x )} {(x ，y )|y ＝f (x )}集合的 意义 方程f (x )＝ 0的解集 不等式f (x ) ＞0的解集 函数y ＝f (x ) 的定义域 函数y ＝f (x )的值域函数y ＝f (x )图象上的点集2．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性． 3．空集是一个特殊的集合，要注意正确区分∅，{0}，{∅}三个符号的含义．∅是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{∅}是含有一个元素∅的集合．请做演练巩固提升1二、集合间的基本关系【例2－1】已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，ba，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 014＋b 2 014＝__________.【例2－2】已知集合A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)＜0}，函数y ＝lg2a －xx －a 2＋1的定义域为集合B ．求满足B ⊆A 的实数a 的取值范围．方法提炼1．解决有关集合相等的问题，应利用集合相等的定义，首先分析已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等，有几种情况等，然后列方程(组)，求解，还要注意检验．2．集合A 中元素的个数记为n ，则它的子集的个数为2n ，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.3．通过集合之间的关系，求参数的取值范围，最终是要通过比较区间端点的大小来实现，因此确定两个集合内的元素，成为解决该类问题的关键．由于元素的属性中含有参数，所以分类讨论成为必然，分类讨论时要注意不重不漏．请做演练巩固提升2三、集合的基本运算【例3－1】(2012广东粤西北九校高三联考)设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )．A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．(－∞，－1)∪[0,1)D ．(－∞，－1]∪(0,1)【例3－2】设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}． (1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值； (2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．方法提炼1．集合运算的常用方法(1)集合元素离散时借助Venn 图运算；(2)集合元素连续时借助数轴运算，借助数轴运算时应注意端点值的取舍． 2．常用重要结论 (1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； (2)A ∪B ＝A ⇔A ⊇B ． 3．A ∩B ＝A ∪B ⇔A ＝B ．请做演练巩固提升3,4忽视集合为空集的情况而失误 【典例1】已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若A ∩B ＝B ，则a ＝( )．A ．－12或1 B ．2或－1C ．－2或1或0D ．－12或1或0解析：依题意可得A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ．因为集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}，当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－12；当x ＝1时，a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意，这时a ＝0，故选D ． 答案：D【典例2】若集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A ，则由m 的可取值组成的集合为__________．解析：当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅，满足B ⊆A ； 若B ≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.故m ＜2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}．答案：{m |m ≤3} 答题指导：1．典例1易出现忽略a ＝0的情况，典例2易出现不讨论B ＝∅的情况．2．在解决有关A ∩B ＝∅，A ∪B ＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅是否成立，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．1．已知集合A ＝{2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B ，且log x y ∈N *}，则集合C 中的元素个数是( )．A ．9B ．8C ．3D ．42．(2012课标全国高考)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{x |－1＜x ＜1}，则( )． A ．A B B ．B A C ．A ＝B D ．A ∩B ＝∅3．(2012广东高考)设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,3,5}，则∁U M ＝( )． A ．{2,4,6} B ．{1,3,5} C ．{1,2,4} D ．U4．(2012北京高考)已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2＞0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)＞0}，则A ∩B ＝( )．A ．(－∞，－1)B ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，－23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3 D ．(3，＋∞) 5．(2012山东济宁模拟)设集合P ＝{x |sin x ＝1，x ∈R }，Q ＝{x |cos x ＝－1，x ∈R }，S ＝{x |sin x ＋cos x ＝0，x ∈R }，则( )．A ．P ∩Q ＝SB ．P ∪Q ＝SC ．P ∪Q ∪S ＝RD ．(P ∩Q )⊆S参考答案基础梳理自测 知识梳理1．确定性 互异性 无序性 2．属于 不属于 ∈ ∉ 3．列举法 描述法4．N N *N ＋ Z Q R 5．有限集 无限集6．2n 2n －1 2n－2 7．B ⊆A8．{x |x ∈A ，或x ∈B } {x |x ∈A ，且x ∈B } {x |x ∈U ，且x ∉A } 基础自测1．D 解析：∵2 014＜211＝2 048， ∴{2 014}⊆M ，故选D.2．C 解析：易知∁U A ＝{0,4}， 所以(∁U A )∪B ＝{0,2,4}，故选C.3．B 解析：在数轴上表示出两个集合，可以看到，当a ＜1时，A ∩B ≠∅.故选B. 4．D 解析：由题意可得，A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}．又∵A ⊆C ⊆B ，∴C ＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，故选D.5．1 解析：∵A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，a 2＋4＞3， ∴a ＋2＝3，a ＝1. 考点探究突破【例1－1】B 解析：由题意知，B 中的元素有：2×3＝6,2×4＝8,3×4＝12，因此B ＝{6,8,12}，故选B.【例1－2】1 解析：当a ＋2＝1，即a ＝－1时，(a ＋1)2＝0，a 2＋3a ＋3＝1与a ＋2相同， ∴不符合题意．当(a ＋1)2＝1，即a ＝0或a ＝－2时， ①a ＝0符合要求．②a ＝－2时，a 2＋3a ＋3＝1与(a ＋1)2相同，不符合题意．当a 2＋3a ＋3＝1，即a ＝－2或a ＝－1.①当a ＝－2时，a 2＋3a ＋3＝(a ＋1)2＝1，不符合题意．②当a ＝－1时，a 2＋3a ＋3＝a ＋2＝1，不符合题意． 综上所述，a ＝0.∴2 014a＝1.【例2－1】1 解析：由题意知b ＝0，因此集合化简为{a,0,1}＝{a 2，a,0}，因此a 2＝1，解得a ＝±1.经检验a ＝1不符合集合元素的互异性，故a ＝－1.故a 2 014＋b 2 014＝1.【例2－2】解：由于2a ≤a 2＋1，当2a ＝a 2＋1时，即a ＝1时，函数无意义，∴a ≠1，B ＝{x |2a ＜x ＜a 2＋1}．①当3a ＋1＜2，即a ＜13时，A ＝{x |3a ＋1＜x ＜2}，要使B ⊆A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥3a ＋1，a 2＋1≤2，即a ＝－1.②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫23<x <109，此时不满足B ⊆A ；③当3a ＋1＞2，即a ＞13时，A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}，要使B ⊆A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥2，a 2＋1≤3a ＋1，即1≤a ≤3.又a ≠1，故1＜a ≤3.综上所述，满足B ⊆A 的实数a 的取值范围是{a |1＜a ≤3}∪{a |a ＝－1}．【例3－1】D 解析：因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2＞0}＝{x |－1＜x ＜1}，则u ＝1－x 2∈(0,1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}， A ∪B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1,0]，故题图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)，选D.【例3－2】解：由x 2－3x ＋2＝0， 得x ＝1或x ＝2， 故集合A ＝{1,2}．(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3.当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件， 综上，a 的值为－1或－3. (2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)． ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①当Δ＜0，即a ＜－3时，B ＝∅，满足条件； ②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}，满足条件；③当Δ＞0，即a ＞－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足条件， 则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，矛盾；综上，a 的取值范围是(－∞，－3]．演练巩固提升 1．D2．B 解析：由题意可得，A ＝{x |－1＜x ＜2}，而B ＝{x |－1＜x ＜1}，故B A .3．A 解析：∵M ＝{1,3,5}，U ＝{1,2,3,4,5,6}， ∴∁U M ＝{2,4,6}．4．D 解析：由题意得，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－23，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞3}， 所以A ∩B ＝(3，＋∞)．5．D 解析：方法一：由sin x ＝1得，x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以P ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋π2，k ∈Z ；由cos x ＝－1得，x ＝2k π＋π，k ∈Z ，所以Q ＝{x |x ＝2k π＋π，k ∈Z }； 由sin x ＋cos x ＝0得，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝0，可得x ＋π4＝k π，k ∈Z ，即x ＝k π－π4，k ∈Z ，所以S ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π－π4，k ∈Z .由于P ∩Q ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋π2，k ∈Z ∩{x |x ＝2k π＋π，k ∈Z }＝∅，因此(P ∩Q )⊆S ，所以选项D 正确．方法二：P 表示终边落在y 轴非负半轴上角的集合，Q 表示终边落在x 轴非正半轴上角的集合，故P ∩Q ＝∅，所以选项D 正确．。

第1讲集合◆高考导航·顺风启程◆最新考纲常见题型1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn 图表示集合的关系及运算.多以选择题出现于第1或第2题位置，是高考必考内容，占5分左右．[知识梳理]1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性.(2)元素与集合的两种元素：属于，记为∈；不属于，记为∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.(4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN *或N ＋ZQR2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A 的元素都是集合B 的元素x ∈A ⇒x ∈B A ⊆B 或B ⊇A 真子集合A 是集合B 的子集，且集合B 中A ⊆B ，且∃x 0∈B ，x 0AB 或集至少有一个元素不属于A∉A B A相等集合A ，B 的元素完全相同A ⊆B ，B ⊆A A ＝B 空集不含任何元素的集合，空集是任何集合A 的子集∀x ，x ∉∅，∅⊆A∅3．集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于集合A且属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ，且x ∈B }A ∩B并集属于集合A或属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∪B补集全集U 中不属于集合A 的元素组成的集合{x |x ∈U ，且x ∉A }∁U A[知识感悟]1．集合的运算性质并集的性质：A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A .交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B .补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A .2．判断集合关系的三种方法(1)一一列举观察；(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合关系；(3)数形结合法：利用数轴或Venn 图．3．数形结合思想数轴和Venn 图是进行交、并、补集运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn 图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解题．[知识自测]1．(2016·全国Ⅰ卷)设集合A ＝{1,3,5,7}，B ＝{x |2≤x ≤5}，则A ∩B ＝()A ．{1,3}B ．{3,5}C ．{5,7}D ．{1,7}[解析]集合A 与集合B 的公共元素有3,5，故A ∩B ＝{3,5}，选B.[答案]B2．(2018·江西重点中学联考)已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋5≤0}，B ＝{x |y ＝x －3}，则A ∩B 等于()A ．[1,3]B ．[1,5]C ．[3,5]D ．[1，＋∞)[解析]根据题意，得A ＝{x |x 2－6x ＋5≤0}＝{x |1≤x ≤5}，B ＝{x |y ＝x －3}＝{x |x ≥3}，所以A ∩B ＝{x |3≤x ≤5}＝[3,5]．[答案]C3．已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2017＝______.[解析]由M ＝N ＝1，2n ＝m＝m ，2n ＝1，＝0，＝1＝2，＝2.[答案]－1或0题型一集合的基本概念(基础拿分题——自主练透)(1)(2018·山东省枣庄十六中4月模拟试卷)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，集合M 真子集的个数为()A ．32B ．31C ．16D ．15[解析]由题意集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，a ∈A ，b ∈B ，那么：a 、b 的组合有：(1、4)，(1、5)，(2、4)，(2、5)，(3、4)，(3、5)，∵M ＝{x |x ＝a ＋b }，∴M ＝{5,6,7,8}，集合M 中有4个元素，有24－1＝15个真子集．故选：D.[答案]D(2)已知a ，b ∈R ，ba ，{a 2，a ＋b,0}，则a 2018＋b 2018为()A ．1B ．0C ．－1D ．±1[解析]由已知得a ≠0，则ba ＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2018＋b 2018＝(－1)2018＋02018＝1.[答案]A方法感悟1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．【针对补偿】1．(2018·山西省大同市豪洋中学四模试卷)已知集合A ∈Z |127＜3x ≤B ＝{x ∈N |－2＜x ＜3}，则集合{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }的元素个数为()A ．6B ．7C ．8D ．9[解析]由127＜3x ≤9，即3－3＜3x ≤32，解得－3＜x ≤2，∴A ＝{－2，－1,0,1,2}．B ＝{0,1,2}．∴集合{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }＝{－2，－1，0,1,2，－4,4}的元素个数为7.故选：B.[答案]B2．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________.[解析]由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.[答案]－323．已知P ＝{x |2<x <k ，x ∈N }，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为______．[解析]因为P 中恰有3个元素，所以P ＝{3,4,5}，故k 的取值范围为5<k ≤6.[答案]5<k ≤6题型二集合的基本关系(重点保命题，共同探讨)(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A⊆C ⊆B 的集合C 的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4[解析](1)由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}．所以满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．[答案]D(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为______．[解析]因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2.②若B ≠∅m －1≥m ＋1，＋1≥－2，m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3.[答案]m ≤3方法感悟1．空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．[注意]题目中若有条件B ⊆A ，则应分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论．【针对补偿】4．已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的值为()A.13或－12B ．－13或12C.13或－12或0D ．－13或12或0[解析]由题意知A ＝{2，－3}，当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a ≠0时，ax －1＝0的解为x ＝1a ，由B ⊆A ，可得1a ＝－3或1a ＝2，∴a ＝－13或a ＝12.综上，a 的值为－13或12或0.[答案]D5．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，则c ＝______.[解析]由log 2x ≤2，得0<x ≤4.即A ＝{x |0<x ≤4}，而B ＝(－∞，a )，由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4.[答案]4题型三集合的基本运算(高频考点题，多角突破)集合的基本运算是历年各地高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题．高考对集合运算的考查主要有以下三个命题角度：(1)求集合间的交、并、补运算；(2)已知集合的运算结果求集合；(3)已知集合的运算结果求参数的值(或参数的取值范围)．考向一求交集1．(2017·课标Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为()A．3B．2C．1D．0[解析]集合中的元素为点集，由题意，结合A表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线y＝x上所有的点组成的集合，圆x2＋y2＝1与直线y＝x 相交于两点(1,1)，(－1，－1)，则A∩B中有两个元素．故选B.[答案]B考向二求并集2．(2016·山东卷)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1，＋∞)D．(0，＋∞)[解析]A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，则A∪B＝{x|x>－1}，选C.[答案]C考向三集合的交、并、补的综合运算3．(2018·山东省德州市四月二模)设全集U＝R，集合M＝{x|x2＋x－2＞0}，N＝－1≥(∁U M)∩N＝()A．[－2,0]B．[－2,1]C．[0,1]D．[0,2][解析]M＝{x|x＞1或x＜－2}，∁U M＝{x|－2≤x≤1}，N＝{x|x－1≤－1}＝{x|x≤0}，所以(∁U M)∩N＝{x|－2≤x≤0}，故选A.[答案]A考向四利用集合运算求参数4．已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且A∩B＝B，则实数m 的取值范围为()A．[－1,2)B．[－1,3] C．[2，＋∞)D．[－1，＋∞) [解析]由x2－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}，又A∩B＝B，所以B⊆A.①当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2.②当B≠∅3≤2m－1，＋1≤4，m－1＜m＋1，解得－1≤m＜2.综上，m的取值范围为[－1，＋∞)．[答案]D考向五集合的斜定义问题5．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为() A．77B．49C．45D．30[解析]如图，集合A表示如图所示的所有圆点“○”，集合B表示如图所示的所有圆点“○”＋所有圆点“·”，集合A⊕B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“○”＋所有圆点“·”＋所有圆点“⊙”，共45个，故A⊕B中元素的个数为45.故选C.[答案]C方法感悟集合基本运算的常见题型与破解策略：重点题型破解策略求并集、交集或补集一般是先解方程或不等式化简集合，再由并集、交集或补集的定义求解交、并、补的混合运算先算括号里面的，再按运算的顺序求解利用集合的基本运算求参数的取值(范围)数形结合思想的运用，利用好数轴、Venn图等．集合的定义问题解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义，首先分析定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.【针对补偿】6．(2017·山东)设函数y＝4－x2的定义域A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B ＝()A．(1,2)B．(1,2]C．(－2,1)D．[－2,1)[解析]由4－x2≥0得－2≤x≤2，由1－x＞0得x＜1，故A∩B＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x ＜1}＝{x|－2≤x＜1}，选D.[答案]D7．(2018·山东省青岛市数学一模试卷)已知集合A＝{x||x＋1|≥1}，B＝{x|x≥－1}，则(∁R A)∩B＝()A．[－1,0]B．[－1,0)C．(－2，－1)D．(－2，－1][解析]∵A＝{x||x＋1|≥1}＝{x|x≤－2或x≥0}，∴∁R A＝{x|－2＜x＜0}，又B＝{x|x≥－1}，∴(∁R A)∩B＝[－1,0)．故选：B.[答案]B8．定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x∉B}，若集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于()A．{x|3＜x≤4}B．{x|3≤x≤4}C．{x|3＜x＜4}D．{x|2≤x≤4}[解析]A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2≤x≤4}，由题意知B△A＝{x|x∈B，且x∉A}＝{x|3≤x≤4}．[答案]B◆牛刀小试·成功靠岸◆课堂达标(一)[A基础巩固练]1．(2017·课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x＜1}，则()A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x＞1}D．A∩B＝∅[解析]由3x＜1可得3x＜30，则x＜0，即B＝{x|x＜0}，所以A∩B＝{x|x＜1}∩{x|x＜0}＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}∪{x|x＜0}＝{x|x＜1}．故选A.[答案]A2．(2017·天津)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝()A．{2}B．{1,2,4}C．{1,2,4,6}D．{x∈R|－1≤x≤5}[解析](A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩[－1,5]＝{1,2,4}，选B.[答案]B3．(2018·哈尔滨九中二模)设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则()A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉PC．∃x0∉Q，使得x0∈P D．∃x0∈P，使得x0∉P[解析]∵P∩Q＝P，∴P⊆Q∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选B.[答案]B4．(2018·刑台摸底考试)已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x，0≤x≤4}，则下列关系正确的是()A．A⊆∁R B B．B⊆∁R AC．∁R A⊆∁R B D．A∪B＝R[解析]依题意得B＝{y|0≤y≤2}，因此B⊆A，∁R A⊆∁R B.[答案]C5．(2018·湖北七市(州)协作体联考)已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，Q＝{2,3,5}，则集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为()A．147B．140C．130D．117[解析]由题意得，y的取值一共有3种情况，当y＝2时，xy是偶数，不与y＝3，y＝5时有相同的元素，当y＝3，x＝5,15,25，…，95时，与y＝5，x＝3,9,15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140，故选B.[答案]B6．(2018·山东临沂期中)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2>0}，B ＝{x |x －a ≤0}，若∁U B ⊆A ，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，1)B ．(－∞，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)[解析]∵x 2－3x ＋2>0，∴x >2或x <1.∴A ＝{x |x >2或x <1}，∵B ＝{x |x ≤a }，∴∁U B ＝{x |x >a }．∁U B ⊆A ，借助数轴可知a ≥2，故选D.[答案]D7．已知集合A ＝{x |y ＝x }，B |12<2x <4(∁R A )∩B 等于______．[解析]因为A ＝{x |y ＝x }＝{x |x ≥0}，所以∁RA ＝{x |x <0}．又B |12<2x<4{x |－1<x <2}，所以(∁R A )∩B ＝{x |－1<x <0}．[答案]{x |－1<x <0}8．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________.[解析]当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A .当m ＞0时，∵A ＝{x |－1＜x ＜3}．当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，m ≥－1，≤3，m ＜m .∴0＜m ≤1.综上所述m 的取值范围为(－∞，1]．[答案](－∞，1]9．(2018·南阳月考)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝x 2－2x －3}，B ＝{y |y ＝e x ＋1}，则A ∪B ＝________.[解析]因为A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{y |y ＞1}，所以A ∪B ＝{x |x ＞1或x ≤－1}．[答案](－∞，－1]∪(1，＋∞)10．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．[解]由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]－2＝0，＋2≥3，∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3.因此实数m 的取值范围是{m |m ＞5或m <－3}．[B 能力提升练]1．(2018·湖南衡阳第三次联考)集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥－1}，N ＝{(x ，y )|(x －2)2＋y 2＝r 2，r ＞0}，若M ∩N ≠∅，则r 的取值范围为()A.22，3B.[1，10]C.22，10D.1，102[解析]由条件可得M 的可行域：如图阴影部分，N 则是以P (2,0)为圆心，半径为r 的圆，由M ∩N ＝∅，则当圆与x ＋y ＝1相切时半径最小，如图D 处，则d ＝r ＝22，当过y ＝x ，y ＝－1的交点时最大，此时r ＝10，故选C.[答案]C2．(2018·开封模拟)设集合U ＝R ，A ＝{x |2x (x－2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为()A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}[解析]易知A ＝{x |2x (x－2)<1}＝{x |x (x －2)<0}＝{x |0<x <2}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x >0}＝{x |x <1}，则∁U B ＝{x |x ≥1}，阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B }＝{x |1≤x <2}．[答案]B3．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.[解析]A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}＝{x ∈R |－5＜x ＜1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m ＜1，则B ＝{x |m ＜x ＜2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.[答案]－1；14．已知集合M ＝{1,2,3,4}，集合A 、B 为集合M 的非空子集，若∀x ∈A 、y ∈B ，x <y 恒成立，则称(A ，B )为集合M 的一个“子集对”，则集合M 的“子集对”共有__________________个．[解析]当A ＝{1}时，B 有23－1＝7种情况，当A ＝{2}时，B 有22－1＝3种情况，当A＝{3}时，B 有1种情况，当A ＝{1,2}时，B 有22－1＝3种情况，当A ＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B 均有1种情况，所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋1＋1＋1＝17个．[答案]175．(2018·徐州模拟)已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }．(1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．[解](1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}．(2)由A ⊆B －m >2m ，m ≤1，－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m <1－m ，即m <13时，需<13，－m ≤1<13，m ≥3，得0≤m ＜13或∅，即0≤m <13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．[C 尖子生专练](2018·贵阳市监测考试)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝______.(用列举法表示)[解析]若a 1∈A ，则a 2∈A ，则由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，假设不成立；若a 4∈A ，则a 3∉A ，则a 2∉A ，a 1∉A ，假设不成立，故集合A ＝{a 2，a 3}．[答案]{a 2，a 3}第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件◆高考导航·顺风启程◆最新考纲常见题型1.理解命题的概念．2.了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.多以选择题出现于第1、2题位置、占5分左右.[知识梳理]1．命题概念使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句特点(1)能判断真假；(2)陈述句分类真命题、假命题2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题.在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 成立的对象的集合为A ，q 成立的对象的集合为B p 是q 的充分不必要条件p ⇒q 且q /⇒p A 是B 的真子集集合与充要条件p 是q 的必要不充分条件p /⇒q 且q ⇒p B 是A 的真子集p 是q 的充要条件p ⇔qA ＝B p 是q 的既不充分也不必要条件p /⇒q 且q /⇒pA ，B 互不包含[知识感悟]1．四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假．(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．同时要关注“特例法”的应用．2．命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ，B ⇒A 与綈A ⇒綈B ，A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．[知识自测]1．下列命题中为真命题的是()A ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题B ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2＞0，则x ＞1”的逆否命题[解析]对于A ，其逆命题是若x ＞|y |，则x ＞y ，则真命题，这是因为x ＞|y |≥y ，必有x ＞y .[答案]A2．(2017·天津)设θ∈R ，则“|θ－π12|＜π12”是“sin θ＜12”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]|θ－π12|＜π12⇔0＜θ＜π6⇒sin θ＜12，但θ＝0，sin θ＜12，不满足|θ－π12|＜π12，所以是充分不必要条件，选A.[答案]A3．在下列三个结论中，正确的是________.(写出所有正确结论的序号)①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件；＞0，b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件；③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件．[解析]易知①②正确．对于③，若x＝－1，则x2＝1，充分性不成立，故③错误．[答案]①②题型一四种命题及相互关系(基础拿分题——自主练透)(1)(2018·广东肇庆一模)原命题：“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有()A．0个B．1个C．2个D．4个[解析]原命题：若c＝0则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题：∵ac2＞bc2知c2＞0，由不等式的基本性质得a＞b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴有2个真命题．[答案]C(2)(2018·宿州模拟)下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2－2ax＋a＋3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是()A．③④B．①③C．①②D．②④[解析]对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a＞1时，Δ＝－12a＜0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故选A.[答案]A思维升华1．写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假方法感悟1．写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．【针对补偿】1．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．“若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数”B．“若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数”C．“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”D．“若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数”[解析]由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．[答案]C2．已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数，是真命题”[解析]由f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e x－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．[答案]D题型二充分条件，必要条件的判断(高频考点题、共同探讨)充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形式出现，作为一个重要载体，考查的知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面．高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；(3)与命题的真假性相交汇命题．考向一与不等式有关的题型1．(2018·山西省大同市豪洋中学四模试卷)“m ≤－12”是“∀x ＞0，使得x 2＋12x －32＞m是真命题”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]若∀x ＞0，使得x 2＋12x －32＞m 是真命题，则m ＋12x －，令f (x )＝x 2＋12x －32，则f (x )≥2x 2·12x －32＝1－32＝－12，故m ＜－12，故m ≤－12”是“m ＜－12”的必要不充分条件，故选B.[答案]B考向二与三角有关的题型2．(2018·石家庄一模)若命题p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析]当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时，f (x )＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充分条件；若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以p 是q 的必要条件，故p 是q 的充要条件，故选A.[答案]A考向三与向量有关的题型3．(2018·甘肃省兰州市二模)设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，则“a ⊥b ”是“x ＝2”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]∵a ⊥b ，∴(x －1)(x ＋2)＋x (x －4)＝0，化为：2x 2－3x －2＝0，解得x ＝－12或2.∴“a ⊥b ”是“x ＝2”的必要不充分条件．故选：B.[答案]B考向四与数列有关的题型4．(2018·北京市西城区一模)数列{a n }的通项公式为a n ＝|n －c |(n ∈N *)．则“c ≤1”是“{a n }为递增数列”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]数列{a n }的通项公式为a n ＝|n －c |(n ∈N *)，若“{a n }为递增数列”，则a n ＋1－a n ＝|n ＋1－c |－|n －c |＞0，即(n ＋1－c )2＞(n －c )2，解得c ＜n ＋12，∵n ＋12≥32，∴c ≤1是{a n }为递增数列充分不必要条件，故选A.[答案]A考向五与几何问题有关的题型5．(2016·山东卷)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]若a ，b 相交则α，β一定相交．若α，β相交则不能得出a ，b 相交．故选A.[答案]A考向六与函数有关的题型6．(2018·合肥一模)函数f (x )2x ，x ＞0，x －a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是()A ．a ≤0或a ＞1B ．0＜a ＜12C.12＜a ＜1D ．a ＜0[解析]因为f (x )2x ，x ＞0x －a ，x ≤0有且只有一个零点的充要条件为a ≤0或a ＞1.由选项可知，使“a ≤0或a ＞1”成立的充分条件为选项D.[答案]D方法感悟充分、必要条件判定的常见题型与求解策略：常见题型求解策略与不等式相关的充分必要条件的判断可把不等式之间的关系转化为集合与集合之间的关系，根据集合与充要条件之间的关系进行判断与平面向量相关的充分必要条件的判断该类题型常涉及向量的概念、运算及向量共线、共面的条件，可把问题转化为有关向量之间的推理与三角相关的充分必要条件的判断熟练掌握三角的相关概念、运算公式、三角函数的图象和性质以及正、余弦定理是解决该类问题的关键与数列相关的充分必要条件的判断熟练掌握等差数列与等比数列的定义、性质及数列的单调性、周期性、a n 与S n 的关系与立体几何相关的充分必要条件的判断可把问题转化为线线、线面、面面之间位置关系的判断及性质问题，由此进行恰当判断与解析几何相关的充分必要条件的判断首先理解点与曲线的位置关系，两直线的位置关系，直线与曲线的位置关系，然后弄清题意进行判断提醒：解答充分条件、必要条件的判断题，必须从正、逆两个方面进行判断．【针对补偿】3．(2018·东北三省四市联考)“x ＜2”是“x 2－3x ＋2＜0”成立的()A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]由x 2－3x ＋2＜0，解得1<x <2，因为{x |1<x <2}{x |x <2}，所以“x <2”是“x 2－3x＋2<0”成立的必要不充分条件，故选A.[答案]A4．(2018·广西名校联考)在△ABC 中，命题p ：“B ≠60°”，命题q ：“△ABC 的三个内角A ，B ，C 不成等差数列”，那么p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]命题p ：“B ≠60°”则(A ＋C )－2B ＝π－B －2B ≠0，⇔命题q ：“△ABC 的三个内角A ，B ，C 不成等差数列”，故选C.[答案]C5．(2016·浙江卷)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]由题意知f (x )＝x 2＋bx －b 24，最小值为－b 24.令t ＝x 2＋bx ，则f (f (x ))＝f (t )＝t 2＋bt －b 24，t ≥－b 24，当b <0时，f (f (x ))的最小值为－b 24，所以“b <0”能推出“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”；当b ＝0时，f (f (x ))＝x 4的最小值为0，f (x )的最小值也为0，所以“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”不能推出“b <0”．故选A.[答案]A题型三充分必要条件的应用(重点保分题，共同探讨)(1)(2018·皖北第一次联考)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是()A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1)[解析]∵3x ＋1＜1，∴3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，∴x ＞2或x ＜－1，∵p 是q 的充分不必要条件，∴k ＞2.[答案]B(2)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.[解析]命题p |12≤x ≤命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．綈p 对应的集合A |x ＞1或x 綈q 对应的集合B ＝{x |x ＞a ＋1或x ＜a }．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件．＋1＞1，≤12＋1≥1，＜12，∴0≤a ≤12.故答案为0，12.[答案]0，12方法感悟根据充要条件求解参数范围的注意点1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．【针对补偿】6．已知条件p ：x 2－3x －4≤0；条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是()A．[－1,1]B．[－4,4]C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)[解析]p：－1≤x≤4，q：3－m≤x≤3＋m(m＞0)或3＋m≤x≤3－m(m<0)，＞0，－m≤－1，＋m＞4>0，－m<－1，＋m≥4<0，＋m≤－1，－m＞4＜0，＋m＜－1，－m＞4，解得m≤－4或m≥4，选C.[答案]C7．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是13<x<12，则m的取值范围是______．[解析]由|x－m|<1得m－1<x<m＋1，若13<x<12是|x－m|<1成立的充分不必要条件，－1≤13＋1>12－1<13＋1≥12得－12≤m≤43.[答案]－12，43◆牛刀小试·成功靠岸◆课堂达标(二)[A基础巩固练]1．(2018·山东重点中学模拟)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定[解析]命题p：“正数a的平方不等于0”写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．[答案]B2．(2016·天津卷)设x＞0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件[解析]若x>|y|，则x>y或x>－y，若x>y，当y>0时，x>|y|，当y<0时，不能确定x>|y|.故选C.[答案]C3．(2018·河北保定二模)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1[解析]由题意知，对应方程的Δ＝(－1)2－4m <0，即m >14.结合选项可知，不等式恒成立的一个必要不充分条件是m >0，故选C.[答案]C4．(2018·北京市朝阳区二模)“x ＞0，y ＞0”是“y x ＋xy ≥2”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]“x ＞0，y ＞0”⇔“y x ＋xy≥2”，反之不成立，例如取x ＝y ＝－1.∴x ＞0，y ＞0”是“y x ＋xy≥2”的充分而不必要条件．故选：A.[答案]A5．命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆否命题是()A ．“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠ac ”B ．“若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠ac ”C ．“若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列”D ．“若b 2≠ac ”，则a ，b ，c 不成等比数列[解析]根据原命题与其逆否命题的关系，易得命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆否命题是“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”．[答案]D6．(2018·安徽合肥一模)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A 、B 为两个同高的几何体，p ：A 、B 的体积不相等，q ：A 、B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析]如果A ，B 在等高处的截面积恒相等，则A ，B 的体积相等，因此有p ⇒q ，但q⇒p 不一定成立，把两个相同的锥体放在一个平面上，再把其中一个锥体翻转底向上，顶点在原底面所在平面，虽然在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，故p 是q 的充分不必要条件．故选A.。

1.4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词必备知识预案自诊知识梳理1.简单的逻辑联结词(1)命题中的叫做逻辑联结词.(2)若p表示命题,则 p是命题的否定,命题的否定只否定命题的,而否命题则既否定结论又否定条件.(3)命题p∧q,p∨q, p的真假判断2.全称量词和存在量词3.全称命题和特称命题4.含有一个量词的命题的否定考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若命题p∧q为假命题,则命题p,q都是假命题.()(2)命题“4>6或3>2”是真命题.()(3)若p∧q为真,则p∨q必为真;反之,若p∨q为真,则p∧q必为真.()(4)“梯形的对角线相等”是特称命题.()(5)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”.()2.(2020山东日照一中月考)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A.锐角三角形有一个内角是钝角B.至少有一个实数x,使x2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x,1>2x3.命题“偶函数的图象关于y轴对称”的否定是()A.所有偶函数的图象不关于y轴对称B.存在偶函数的图象关于y轴对称C.存在偶函数的图象不关于y轴对称D.不存在偶函数的图象不关于y轴对称4.(2020“四省八校”质检三,理3)已知命题p:∀x∈R,e x+e-x>2,命题q:∃x0∈R,ln x0=-1,则下列判断正确的是()A.( p)∧q是真命题B.p∨( q)是真命题C.p∧( q)是真命题D.( p)∨( q)是假命题<1,若( q)∧p是真命题,则x的取值范围是.5.已知命题p:x2-5x+4≤0,q:13-x关键能力学案突破考含简单逻辑联结词点的命题的真假〖例1〗(2020全国2,理16,文16)设有下列四个命题: p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.p4:若直线l⊂平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是.①p1∧p4②p1∧p2③ p2∨p3④ p3∨ p4.解题心得若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假,需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假,再依据“p∨q见真即真”“p∧q见假即假”“p与 p真假相反”作出判断即可.对点训练1已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x0∈R,x03=1-x02,则下列命题中为真命题的是()A.p∧qB.( p)∧qC.p∧( q)D.( p)∧( q)考点全称命题、特称命题(多考向探究)考向1全称命题、特称命题真假的判断〖例2〗已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是()A.∀x∈R,f(-x)≠f(x)B.∀x∈R,f(-x)≠-f(x)C.∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0)∈R,f(-x0)≠-f(x0)?又如何判断一个特称命题是真命题?解题心得1.判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个x0,使p(x0)成立.2.不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.对点训练2已知命题p:∃x∈(-∞,0),2x0<3x0;命题q:∀x∈(0,π2),sin x<x,则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧( q)C.( p)∧qD.( p)∧( q)考向2全(特)称命题的否定〖例3〗(1)(2020山东淄博一模,3)设m∈R,命题“存在m>0,使方程x2+x-m=0有实根”的否定是()A.任意m>0,使方程x2+x-m=0无实根B.任意m≤0,使方程x2+x-m=0有实根C.存在m>0,使方程x2+x-m=0无实根D.存在m≤0,使方程x2+x-m=0有实根“实数的平方都是正数”的否定是.(特)称命题进行否定?解题心得1.对全(特)称命题进行否定的方法是改量词,否结论.没有量词的要结合命题的含义加上量词.2.常见词语的否定形式:对点训练3(1)命题“∃x∈(0,+∞),ln x=x-1”的否定是()A.∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1B.∀x∉(0,+∞),ln x=x-1C.∃x∈(0,+∞),ln x≠x-1D.∃x∉(0,+∞),ln x=x-1(2)命题p:“有些三角形是等腰三角形”,则 p是()A.有些三角形不是等腰三角形B.有些等腰三角形不是三角形C.所有三角形都不是等腰三角形D.所有三角形都是等腰三角形考向3由全(特)称命题的真假求参数的范围〖例4〗(1)已知命题p:∀x∈R,log2(x2+x+a)>0恒成立,命题q:∃x0∈〖-2,2〗,2a≤2x0,若命题p∧q为真命题,则实数a的取值范围为.(2)已知f (x )=ln(x 2+1),g (x )=(12)x-m ,若对∀x 1∈〖0,3〗,∃x 2∈〖1,2〗,使得f (x 1)≥g (x 2),则实数m 的取值范围是 .?解题心得以命题真假为依据求参数的取值范围时,首先要对两个简单命题进行化简,然后依据命题“p ∨q ”“p ∧q ”“ p ”的真假,判断出每个简单命题的真假,最后列出含有参数的不等式(组)求解即可.对点训练4(1)已知命题p :“关于x 的方程x 2-4x+a=0有实根”,若 p 为真命题的充分不必要条件为a>3m+1,则实数m 的取值范围是( )A.〖1,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,1〗(2)已知命题“∃x 0∈R ,x 02-mx 0+1<0”是假命题,则实数m 的取值范围是 .1.逻辑联结词“或”“且”“非”对应着集合运算中的“并”“交”“补”.因此,可以借助集合的“并”“交”“补”的意义来求解含“或”“且”“非”的命题的问题.2.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀:p ∨q 见真即真,p ∧q 见假即假,p 与 p 真假相反.3.全称命题(特称命题)的否定是特称命题(全称命题),其真假性与原命题相反.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命题,再对照否定结构去写,否定的规律是“改量词,否结论”.4.判断一个全称命题为真命题,必须对任意一个元素验证p (x )成立;若有一个x 0,使p (x 0)不成立,则这个全称命题为假命题;判断一个特称命题是真命题,只要有一个x 0,使p (x 0)成立即可,否则为假命题.1.命题的否定与否命题的区别:否命题是对原命题“若p ,则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其结论;命题的否定即“非p ”,只是否定命题p 的结论.2.命题的否定包括:(1)对“若p ,则q ”形式的命题的否定;(2)对含有逻辑联结词的命题的否定;(3)对全称命题和特称命题的否定,要特别注意常见词语的否定.1.4 简单的逻辑联结词、 全称量词与存在量词 必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)“且”“或”“非” (2)结论 (3)真 真 假 真 假 真 假 假2.∀ ∃3.∀x ∈M ,p (x ) ∃x 0∈M ,p (x 0)4.∃x 0∈M ,¬p (x 0) ∀x ∈M ,¬p (x )考点自诊1.(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×2.B A 中锐角三角形的内角都是锐角,所以A 是假命题;B 中当x=0时,x 2=0,满足x 2≤0,所以B 既是特称命题又是真命题;C 中因为√2+(-√2)=0不是无理数,所以C 是假命题;D 中对于任意一个负数x ,都有1x<0,不满足1x>2,所以D 是假命题.故选B .3.C “偶函数的图象关于y 轴对称”等价于“所有的偶函数的图象关于y 轴对称”,根据全称命题否定规则,全称量词改写为存在量词,条件不变,否定结论.所以原命题的否定是“存在偶函数的图象不关于y 轴对称”.故选C .4.A 当x=0时,e x +e -x =2,命题p 为假命题;当x 0=1e 时,ln x 0=-1,命题q 为真命题;则(¬p )∧q 是真命题,p ∨(¬q )是假命题,p ∧(¬q )是假命题,(¬p )∨(¬q )是真命题.故选A. 5.〖2,3〗 若p 为真命题,则1≤x ≤4;若q 为真命题,则x<2或x>3.∵(¬q )∧p 为真命题, ∴{1≤x ≤4,2≤x ≤3,∴2≤x ≤3. 关键能力·学案突破例1①③④ ∵p 1,p 4为真命题,p 2,p 3为假命题,∴¬p 2,¬p 3为真命题,∴p 1∧p 4为真命题,p 1∧p 2为假命题,¬p 2∨p 3为真命题,¬p 3∨¬p 4为真命题.故填①③④.对点训练1B 由20=30知,p 为假命题.∴∃x 0∈R ,x 03=1-x 02,即命题q 为真命题.由此可知(¬p )∧q 为真命题.故选B.例2C ∵定义域为R 的函数f (x )不是偶函数,∴∀x ∈R ,f (-x )=f (x )为假命题,∴∃x 0∈R ,f (-x 0)≠f (x 0)为真命题.对点训练2C 因为当x<0时,(23)x>1,即2x >3x ,所以命题p 为假命题,从而¬p 为真命题;因为当x ∈(0,π2)时,x>sin x ,所以命题q 为真命题,所以(¬p )∧q 为真命题.例3(1)A (2)至少有一个实数的平方不是正数 (1)由特称命题的否定是全称命题,知“存在m>0,使方程x 2+x-m=0有实根”的否定是“对任意m>0,方程x 2+x-m=0无实根”.故选A .(2)全称命题的否定是特称命题.“实数的平方都是正数”是全称命题,只是省略了“所有”两字.故其否定是“至少有一个实数的平方不是正数”.对点训练3(1)A (2)C (1)因为已知的是存在量词命题,所以它的否定为全称量词命题,故选A .(2)因命题p :“有些三角形是等腰三角形”是存在量词命题,所以¬p 为全称量词命题,由存在量词命题的否定得命题¬p :“所有三角形都不是等腰三角形”,故选C .例4(1)(54,2] (2)[14,+∞) (1)由题知,命题p :∀x ∈R ,log 2(x 2+x+a )>0恒成立,即x 2+x+a-1>0恒成立,所以Δ=1-4(a-1)<0,解得a>54;命题q :∃x 0∈〖-2,2〗,使得2a ≤2x 0,则a ≤2.当p ∧q 为真命题时,须满足{a >54,a ≤2,故实数a 的取值范围为(54,2]. (2)当x ∈〖0,3〗时,f (x )min =f (0)=0,当x ∈〖1,2〗时,g (x )min =g (2)=14-m ,对∀x 1∈〖0,3〗,∃x 2∈〖1,2〗使得f (x 1)≥g (x 2)等价于f (x )min ≥g (x )min ,得0≥14-m ,所以m ≥14.故m 的取值范围为14,+∞.对点训练4(1)B (2)〖-2,2〗 (1)¬p 为“方程x 2-4x+a=0没有实根”,由¬p 为真命题可得Δ=16-4a<0,解得a>4,由¬p 为真命题的充分不必要条件为a>3m+1,可得3m+1>4,解得m>1,故选B .(2)因为命题“∃x ∈R ,x 2-mx+1<0”是假命题,所以命题“∀x ∈R ,x 2-mx+1≥0”是真命题,所以Δ=m 2-4≤0,解得-2≤m ≤2.故m 的取值范围是〖-2,2〗.。

1 / 10高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版) 专题01 集合与简易逻辑一、选择题1. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知集合{}|10A x x =+>，{}|1B x x =∈≤Z ，则A B =( )A ．{}|011x x ≤+≤B ．{}|11x x -<≤C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【解析】集合{}{}|10|1A x x x x =+>=>-， 集合{}|1B x x =∈≤Z 所以{}{}|110,1B x x A=∈-<≤=Z .故选：C.2. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知命题p ：0[0,)x ∃∈+∞使00420x x k --=，命题q ：()0,x ∀∈+∞，20x k +>，则命题p 成立是命题q 成立的( )条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】C【解析】命题p ：0[0,)x ∃∈+∞使00420x x k --=， 则0042x x k =-，0[0,)x ∈+∞，所以设[)021,x t =∈+∞，则2k t t =-，在[)1,t ∈+∞上单调递增， 所以[)0,k ∈+∞，命题q ：()0,x ∀∈+∞，20x k +>， 可得[)0,k ∈+∞所以命题p 成立是命题q 成立的充要条件. 故选：C.2 / 103. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知集合{}|10A x x =+>，{}|1B x x =∈≤Z ，则A B =( )A ．{}|011x x ≤+≤B ．{}|11x x -<≤C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【解析】集合{}{}|10|1A x x x x =+>=>-， 集合{}|1B x x =∈≤Z 所以{}{}|110,1B x x A=∈-<≤=Z .故选：C.4. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知命题[)0:0,p x ∃∈+∞使00420x x k --=.命题2:(0,),0q x x k ∀∈+∞+>.则命题p 是命题q 的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】C【解析】p :设()42x xf x =-，因为211()42224x x x f x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，得当0x =时，()f x 取最小值0，且0[0,)x ∃∈+∞使00420x x k --=的等价条件为()42x x f x =-在[0,)+∞的值域即为k 的范围，即0k ≥;q ：2(0,),0x x k ∀∈+∞+>的等价条件为0k ≥; 所以，命题p 是命题q 的充要条件. 故选：C5. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】已知集合{0,}M x =，{1,2}N =，若{2}MN =，则M N⋃的子集个数为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】D 【解析】{2}MN =，∴2M ∈即{0,2}M =，∴{}0,1,2MN =，3 / 10∴M N ⋃子集个数为328=个.故选：D.6. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】已知全集U =R ，集合{}2|2A y y x x R ==+∈，，集合(){}lg 1B xy x ==-，则阴影部分所示集合为（ ）A ．[]12，B ．()12，C ．(12]，D ．[12)，【答案】B 【解析】由函数,得到,由函数,得到,即,；全集,则.所以B 选项是正确的．7. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】给出下列五个命题： ①若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题；②命题“0x ∀＞，有1x e ≥”的否定为“00x ∃≤，有01x e ＜”； ③“平面向量a 与b 的夹角为钝角”的充分不必要条件是“•0a b <”； ④在锐角三角形ABC 中，必有sin sin cos cos A B A B +>+； ⑤{}n a 为等差数列，若()*,,,m n p q a a a a m n p q N +=+∈，则m n p q +=+其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】对于①，若p q ∨为真命题，则p 与 q 中至少有一个为真命题， p q ∧ 不一定为真命题，故错误.对于②，命题“:0p x ∀＞，有1x e ≥”,则p ⌝为00x ∃>，有01x e ＜ ,故错误. 对于③， 若 •0a b < 平面向量a ，b 的夹角为可能为π，故错误. 对于④，在锐角三角形ABC 中，必有02A B π<+<,即,22A B B A ππ>->-，所以4 / 10sin cos sin cos A B B A ，>>，所以sin sin cos cos A B A B +>+，故正确；对于⑤，在等差数列{}n a 中，若,n a t t =为常数，则1234a a a a +=+满足，()*,,,m n p q a a a a m n p q N +=+∈，但是1234+=+不成立，即m n p q +=+ 不成立，故错误，故选A.8. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】已知全集{}2,340,{|22}U R A x x x B x x ==--=-≤≤ ，则如图所示的阴影部分所表示的集合为（ ）A ．4{|}2x x -≤<B ．{|2x x ≤或4}x ≥C ．{|21}x x -≤≤-D ．{|12}x x -≤≤ 【答案】D【解析】{}2|340U C A x x x =--≤=[1,4]- ,所以阴影部分所表示的集合为()[1,4][2,2][1,2]U C A B ⋂=-⋂-=- ,选D.9. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】已知 a b c R ∈、、，则“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图象恒在x 轴上方”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】D【解析】当240b ac -<时，函数2()f x ax bx c =++图象与x 轴没有交点，当0a <时，()f x 图像恒在x 轴下方，所以是不充分条件； 当函数2()f x ax bx c =++的图象恒在x 轴上方，5 / 10取0,0a b c ==>，满足要求，此时240b ac -=， 因此不一定能得到240b ac -<，所以是不必要条件； 故选D 项.10. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】已知集合{}|1M x x =≥，()122|2N x y x x ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭，则集合M N =（ ）A ．φB ．(2,)+∞C ．[2,)+∞D ．[1,2]【答案】C 【解析】{0N x x =≤或}2x ≥，[)2,M N ∴=+∞.故选：C11. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】已知集合{}1,0,2,4,5M =-，(){}2|24N x x =-<，则集合M N =（ ）A ．φB ．{}0,2,4C ．{}2D ．{}1,0,2-【答案】C【解析】(){}()224|04N x x =-<=,，∴{}2M N =.故选：C.12. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B ⋂=（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】()1,8A =-，517,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5,82A B ⎛⎫∴⋂= ⎪⎝⎭，()5Z A B ∴⋂=.故选C13. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】命题p ：,x y R ∈，222x y +<，命题q ：,x y R ∈，2x y +<，则p 是q 的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件6 / 10C ．必要充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】222x y +< 表示的范围，用图像来表示就是以(0,0) 2 为半径的圆内；q ：,x y R ∈，2x y +< 表示以()()()()0,2,0,2,2,0,2,0-- 为顶点的菱形；画出图像知道菱形包含了圆形；故p 范围比q 范围小，根据小范围推大范围，得p 是q 的充分非必要条件； 故选A14. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(),0-∞B ．(],0-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】A【解析】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤(){}|ln B x y x a x a ==-⇒>A B A A B ⋂=⇒⊆所以0a < 故答案选A15. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（文)】设集合}{1,2,3M =-，{}22,2N a a =++，且}{3M N ⋂=，则实数a 的值为( )A ．1或-1B ．-1C ．1D ．2【答案】B【解析】∵A ∩B ＝{3}， ∴3∈A 且3∈B ， ∴a +2＝3或a 2+2＝3， 解得：a ＝1或a ＝﹣1，当a ＝1时，a +2＝3，a 2+2＝3，与集合元素互异性矛盾，舍去； 则a ＝﹣1．7 / 1016. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试文科】已知集合{}6A x N x =∈<，{}2,x B y y x A ==∈，则A B 中元素的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】∵{}6A x N x =∈<， ∴{}0,1,2,3,4,5A =， 又{}2,xB y y x A ==∈， ∴{}1,2,4,8,16,32B =， ∴{}1,2,4AB =，有3个元素，故选：C ．17. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】已知集合22(,)|12x A x y y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，21(,)|2B x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则集合A B 中元素的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个【答案】C【解析】根据集合的含义，AB 表示椭圆2212x y +=与抛物线2y 12x =交点，又两曲线的位置关系如下图所示：所以集合A B 中元素的个数为2.8 / 1018. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】已知,m n ∈R ，则“10mn->”是“0m n ->”的（ ）A ．既不充分也不必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．充要条件 【答案】A 【解析】前者：1010m mm n n n->⇒>⇒>>或0m n <<， 后者：0m n m n ->⇒>； 所以“10mn->”是“0m n ->”的既不充分也不必要条件 19. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】设全集为R ，集合{}2|20A x x x =-<，集合{}|1B x x =<，则A B =（ ）A ．()1,1-B ．()1,2-C ．()0,1D ．()0,2【答案】C【解析】()0,2A =，()1,1B =-，所以()0,1A B =，故选：C.20. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第九次调研（理)】已知集合{|02}A x x =<<，12|log 2B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．RB ．{}|02x x <<C ．{}|0x x >D ．1|24x x ⎧<<⎨⎩ 【答案】C9 / 10【解析】因为{}|02A x x =<<，121|log 2|4B x x x x ⎧⎫⎧⎫=<=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，所以{}|0A B x x ⋃=>. 故选：C21. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第七次调研（文)】已知集合()1222M x y x x ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭，{}11N x x =-<<，则MN =（ ）A ．[)0,1B ．()0,1C ．(]1,0-D ．()1,0-【答案】A【解析】(){}[]12222200,2M x y x x x x x ⎧⎫==-=-≥=⎨⎬⎩⎭，{}()111,1N x x =-<<=-，[)0,1MN ∴=.故选：A .22. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期七调（理)】已知集合{}{}10,1A x R x B x Z x =∈+>=∈≤，则A B =（）A ．{}01x x ≤≤ B ．{}11x x -<≤C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【解析】∵集合{}10A x R x =∈+>＝{}1A x x =>-，{}1B x Z x =∈≤＝{1，0，-1，-2，… }，∴{}0,1A B ⋂=． 故选：C ．23. 【河北省衡水中学2019届高三下学期2月月考（理)】若集合{|3},{|2}A x x B x x =<=，则A B =（ ） A ．{|3}x x < B ．{|03}x x ≤< C ．{|03}x x << D ．{}|4x x ≤【答案】B10 / 10【解析】∵{|04}B x x =≤≤，∴{|03}A B x x ⋂=≤<．故选：B ．24. 【河北省衡水中学2019届高三下学期四调（理)】集合{}|23M x x =-<<，(){}5=log 11N x Z x ∈+≤，则=M N ⋂（ ） A ．{}1,2 B ．{}1,2,3 C ．{}1,2,3,4 D ．{}0,1,2【答案】D【解析】集合{}|23M x x =-<<，(){}5=log 11N x Z x ∈+≤，()55log 1log 501514x x x +≤⇒<+≤⇒-<≤.因为x ∈Z ,故{}0,1,2,3,4N =，故得到 M N ⋂={}0,1,2. 故答案为：D.。

核按钮（新课标）高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合及其运算习题理1.集合(1)集合的含义与表示①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．(2)集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．②在具体情境中，了解全集与空集的含义．(3)集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．③能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．2．常用逻辑用语(1)理解命题的概念．(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．(4)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．(5)理解全称量词和存在量词的意义．(6)能正确地对含一个量词的命题进行否定.§1.1 集合及其运算1．集合的基本概念(1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________．(2)集合中元素的三个特性：________，________， ________.(3)集合常用的表示方法：________和________．2．常用数集的符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号3.元素与集合、集合与集合之间的关系(1)元素与集合之间存在两种关系：如果a是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________．(2)集合与集合之间的关系：表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同__________⇔A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素________或________真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素________或________空集空集是任何集合的子集，是任何______的真子集∅⊆A，∅B(B≠∅)结论：集合{a1，a2，…，a n}的子集有______个，非空子集有________个，非空真子集有________个．集合的并集集合的交集集合的补集符号表示若全集为U，则集合A 的补集记为________Venn图表示(阴影部分)意义5.集合运算中常用的结论(1)①A∩B________A；②A∩B________B；③A∩A＝________；④A∩∅＝________；⑤A∩B________B∩A.(2)①A∪B________A; ②A∪B________B；③A∪A＝________；④A∪∅＝________；⑤A∪B________B∪A.(3)①∁U(∁U A)＝________；②∁U U＝________；③∁U∅＝________；④A∩(∁U A)＝____________；⑤A∪(∁U A)＝____________.(4)①A∩B＝A⇔________⇔A∪B＝B；②A∩B＝A∪B⇔____________.(5)记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：card(A∪B)＝____________________________；card[∁U(A∪B)]＝________________________.自查自纠1．(1)元素集合(2)确定性互异性无序性(3)列举法描述法2．N N*(N＋) Z Q R C3．(1)属于a∈A不属于a∉A(2)A⊆B且B⊆A A⊆B B⊇A A B B A非空集合2n2n－1 2n－24．A∪B A∩B∁U A{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A}5．(1)①⊆②⊆③A④∅⑤＝(2)①⊇ ②⊇ ③A ④A ⑤＝ (3)①A ②∅ ③U ④∅ ⑤U (4)①A ⊆B ②A ＝B(5)card(A )＋card(B )－card(A ∩B ) card(U )－card(A )－card(B )＋card(A ∩B )(2015·安徽)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁UB )＝( )A ．{1，2，5，6}B ．{1}C ．{2}D ．{1，2，3，4}解：∵∁U B ＝{1，5，6}，∴A ∩(∁U B )＝{1}．故选B .(2015·陕西)设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( ) A ．[0，1] B ．(0，1] C ．[0，1)D ．(－∞，1]解：∵M ＝{x |x 2＝x }＝{0，1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝{x |0＜x ≤1}，∴M ∪N ＝[0，1]．故选A .(2015·全国Ⅱ)已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)＜0}，则A ∩B ＝( )A ．{－1，0}B ．{0，1}C ．{－1，0，1}D ．{0，1，2}解：由已知得B ＝{x |－2＜x ＜1}，∴A ∩B ＝{－1，0}．故选A .已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________．解：根据x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A ，知集合B ＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)}，有3个元素．故填3.设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________．解：A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，设函数f (x )＝x 2－2ax －1，则其对称轴x ＝a ＞0，由对称性知，若A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数为2，∴f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1＞0， 得34≤a ＜43.故填⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43.类型一 集合的概念(1)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A ．4B ．2C ．0D ．0或4解：由ax 2＋ax ＋1＝0只有一个实数解，可得当a ＝0时，方程无实数解； 当a ≠0时，Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4.故选A .(2)已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3，2m 2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，2m 2＋m ＝3，综上知，m ＝－32.故填－32.【点拨】(1)用描述法表示集合，首先要弄清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．(2)含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．(1)(2015·苏州一模)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *|12x∈Z 中含有的元素个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．12解：令x ＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，代入验证，得x ＝1，2，3，4，6，12时，12x∈Z ，即集合中有6个元素．故选B .(2)已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b ，0}，则a 2 017＋b 2 017＝________.解：由已知得b a＝0及a ≠0，∴b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝－1，∴a2 017＋b2 017＝－1.故填－1.类型二 集合间的关系已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}．(1)若B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)若B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，A ＝B ，求实数m 的取值范围； (3)若B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，A ⊆B ，求实数m 的取值范围． 解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}， (1)若B ⊆A ，则①当B ＝∅，有m ＋1＞2m －1，即m ＜2，此时满足B ⊆A ；②当B ≠∅，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5， 解得m ∈∅，即不存在实数m 使得A ＝B .(3)若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1＞m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得3≤m ≤4.∴m 的取值范围为[3，4]．【点拨】本例主要考查了集合间的关系，“当B ⊆A 时，B 可能为空集”很容易被忽视，要注意这一“陷阱”．集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数； (3)当x ∈R 时，若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)①当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A .②当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5， 可得2≤m ≤3.综上，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}， ∴A 的非空真子集个数为28－2＝254. (3)∵x ∈R ，且A ∩B ＝∅，∴当B ＝∅时，即m ＋1＞2m －1，得m ＜2，满足条件； 当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1＞5，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1＜－2， 解得m ＞4.综上，m 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．类型三 集合的运算(1)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |lg x ≤0}，B ＝{x |2x ≤32}，则A ∪B ＝( )A ．∅ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1 D ．(－∞，1] 解：由题意知，A ＝(0，1]，B ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13， ∴A ∪B ＝(－∞，1]．故选D .(2)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1，2}，则A ∩(∁U B )＝________.解：∵U ＝{1，2，3，4}，∁U (A ∪B )＝{4}，∴A ∪B ＝{1，2，3}．又∵B ＝{1，2}，∴{3}⊆A ⊆{1，2，3}．又∁U B ＝{3，4}，∴A ∩(∁U B )＝{3}．故填{3}．(3)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.解：A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，由B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.故填－1，1.【点拨】(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时需注意端点值的取舍．(2)在解决有关A ∩B ＝∅的问题时，往往忽略空集的情况，一定要先考虑A (或B )＝∅是否成立，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(1)已知集合A ＝{x |y ＝x }，B ＝{x|12<2x<4}，则(∁R A )∩B 等于( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |x <1}D ．{x |－2<x <0}解：∵A ＝{x |y ＝x }＝{x |x ≥0}，∴∁R A ＝{x |x <0}．又B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12<2x <4＝{x |－1<x <2}，∴(∁R A )∩B ＝{x |－1<x <0}．故选B .(2)(2015·唐山模拟)集合M ＝{2，log 3a }，N ＝{a ，b }，若M ∩N ＝{1}，则M ∪N ＝( ) A ．{0，1，2} B ．{0，1，3} C ．{0，2，3}D ．{1，2，3}解：∵M ∩N ＝{1}，∴log 3a ＝1，即a ＝3，∴b ＝1.∴M ＝{2，1}，N ＝{3，1}，M ∪N ＝{1，2，3}．故选D .(3)设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x |1<x <5，x ∈R }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0≤a ≤6}B ．{a |a ≤2或a ≥4}C ．{a |a ≤0或a ≥6}D ．{a |2≤a ≤4}解：|x －a |<1⇔－1<x －a <1⇔a －1<x <a ＋1，由A ∩B ＝∅知，a ＋1≤1或a －1≥5，解得a ≤0或a ≥6.故选C .类型四 Venn 图及其应用设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为：M －P ＝{x |x ∈M ，且x ∉P }，则M －(M －P )等于( )A．P B．M∩P C．M∪P D．M解：作出Venn图．当M∩P≠∅时，由图知，M－P为图中的阴影部分，则M－(M－P)显然是M∩P.当M∩P＝∅时，M－(M－P)＝M－M＝{x|x∈M，且x∉M}＝∅＝M∩P.故选B.【点拨】这是一道信息迁移题，属于应用性开放问题．“M－P”是我们不曾学过的集合运算关系，根据其元素的属性，借助Venn图将问题简单化．已知集合A＝{－1，0，4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是________．解：B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤3，x∈N}＝{0，1，2，3}，图中阴影部分表示的为属于A且不属于B的元素构成的集合，该集合为{－1，4}．故填{－1，4}．类型五和集合有关的创新试题在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2 017∈[2]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解：∵2 017＝403×5＋2，∴2 017∈[2]，结论①正确；－3＝－1×5＋2，∴－3∈[2]，－3∉[3]，结论②不正确；整数可以分为五“类”，这五“类”的并集就是整数集，即Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，结论③正确；若整数a，b属于同一“类”，则a＝5n＋k，b＝5m＋k，a－b＝5(n－m)＋0∈[0]，反之，若a－b∈[0]，则a，b被5除有相同的余数，故a，b属于同一“类”，结论④正确，综上知，①③④正确．故选C.【点拨】(1)以集合语言为背景的新信息题，常见的类型有定义新概念型、定义新运算型及开放型，解决此类信息迁移题的关键是在理解新信息并把它纳入已有的知识体系中，用原来的知识和方法来解决新情境下的问题．(2)正确理解创新定义，分析新定义的表述意义，把新定义所表达的数学本质弄清楚，转化成熟知的数学情境，并能够应用到具体的解题之中，这是解决问题的基础．设S为复数集C的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集，下列命题：①集合S＝{a＋b i|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S ； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)解：①对，当a ，b 为整数时，对任意x ，y ∈S ，x ＋y ，x －y ，xy 的实部与虚部均为整数；②对，当x ＝y 时，0∈S ；③错，当S ＝{0}时，是封闭集，但不是无限集；④错，设S ＝{0}⊆T ，T ＝{0，1}，显然T 不是封闭集．因此，真命题为①②.故填①②.1． 首先要弄清构成集合的元素是什么，如是数集还是点集，要明了集合{x |y ＝f (x )}、{y |y ＝f (x )}、{(x ，y )|y ＝f (x )}三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．5．五个关系式A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，∁U B ⊆∁U A 以及A ∩(∁U B )＝∅是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单．6．正难则反原则对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论不明确、难以从正面入手的涉及集合的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易、化隐为显，从而解决问题．例如：已知A ＝{x |x 2＋x ＋a ≤0}，B ＝{x |x 2－x ＋2a －1＜0}，C ＝{x |a ≤x ≤4a －9}，且A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求a 的取值范围．这个问题的反面即是三个集合全为空集，即⎩⎪⎨⎪⎧1－4a ＜0，1－4（2a －1）≤0，a ＞4a －9，解得58≤a ＜3，从而所求a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ＜58或a ≥3.1．(2015·全国Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6，8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解：A ∩B ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }∩{6，8，10，12，14}＝{8，14}．故选D .2．设集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝( )A ．{0}B ．{0，1}C ．{－1，1}D ．{－1，0，1} 解：∵N ＝{x |0≤x ≤1}，M ＝{－1，0，1}，∴M ∩N ＝{0，1}．故选B .3．(2013·辽宁)已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( )A.()0，1B.(]0，2C.()1，2D.(]1，2解：易知A ＝{}x |1<x <4，∴A ∩B ＝(]1，2.故选D .4．(2013·山东)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9解：由题意知，x －y ＝0，－1，－2，1，2.故B 中元素个数为5，故选C . 5．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8 解：A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个．故选C .6．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：①(－4)＋(－2)＝－6∉A ，不正确；②设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，正确；③令A 1＝{n |n ＝5k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }，则A 1，A 2为闭集合，但A 1∪A 2不是闭集合，不正确．故选B .7．(2014·重庆)设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1，2，3，5，8}，B ＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A )∩B ＝________.解：∵U ＝{1，2，3，…，9，10}，A ＝{1，2，3，5，8}，∴∁U A ＝{4，6，7，9，10}．∴(∁U A )∩B ＝{7，9}．故填{7，9}．8．已知集合S ＝{0，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个．解：由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}这样的集合，共有6个．故填6.9．(2014·天津)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n qn －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }，当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A .解：当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋2x 2＋4x 3，x i ∈M ，i ＝1，2，3}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．10．设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a ＜0}．(1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ；(2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x ≤3， 当a ＝－4时，B ＝{x |－2＜x ＜2}，A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x ＜2，A ∪B ＝{x |－2＜x ≤3}． (2)∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜12或x ＞3， 当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅，即a ＜0时，B ＝{x |－－a ＜x ＜－a }，要使B ⊆∁R A ，只须－a ≤12，解得－14≤a ＜0. 综上可得，实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ≥－14. 11．设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：易知A ＝{0，－4}，若B ⊆A ，则可分以下三种情况：①当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1；②当∅≠B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程 x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系， 得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4（a ＋1）2－4（a 2－1）＞0，－2（a ＋1）＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1.综上所述，a 的取值范围为{}a |a ≤－1或a ＝1.(2015·杭州模拟)已知集合A ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)<0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －2a x －（a 2＋1）＜0.(1)当a ＝2时，求A ∩B ；(2)求使B ⊆A 时实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，A ＝{x |x 2－9x ＋14<0}＝(2，7)， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －4x －5＜0＝(4，5)，∴A ∩B ＝(4，5)．(2)当a ≠1时，B ＝(2a ，a 2＋1)；当a ＝1时，B ＝∅. 又A ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]<0}，①当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝(3a ＋1，2)，要使B ⊆A 成立，只须满足⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥3a＋1，a 2＋1≤2，解得a ＝－1；②当a ＝13时，A ＝∅，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，109，B ⊆A 不成立；③当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝(2，3a ＋1)，要使B ⊆A 成立，只须满足⎩⎪⎨⎪⎧2a≥2，a 2＋1≤3a ＋1，或a ＝1，a ≠1，解得1≤a ≤3.综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值范围为[1，3]∪{－1}．。

1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考纲要求1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2．理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．逻辑联结词：命题中的__________叫做逻辑联结词．2．命题3．命题⌝4(1)短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做________，并用符号____表示．含有全称量词的命题，叫做__________，可用符号简记为__________，它的否定是____________．(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做________，并用符号________表示．含有存在量词的命题，叫做________，可用符号简记为__________，它的否定是____________．1．命题p：x2＋y2＜0；q：x2＋y2≥0.下列命题为假命题的是( )．A．p∨q B．p∧qC．q D．⌝p2．(2012安徽高考)命题“存在实数x，使x＞1”的否定是( )．A．对任意实数x，都有x＞1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤13．(2013山东实验高三一诊)如果命题“⌝(p∨q)”是假命题，则下列命题中正确的是( )．A．p，q均为真命题B．p，q中至少有一个为真命题C．p，q均为假命题D．p，q中至多有一个为真命题4．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则⌝p为( )．A．∃x∈R，sin x≥1B．∀x∈R，sin x≥1C．∃x∈R，sin x＞1D．∀x∈R，sin x＞15．已知p：3－x≤0或3－x＞4；q：5x＋2＜1，则p∧q：__________.一、判断含有逻辑联结词的命题的真假【例1－1】已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(⌝q)”是假命题；③命题“(⌝p)∨q”是真命题；④命题“(⌝p)∨(⌝q)”是假命题．其中正确的是( )．A．②③ B．①②④C．①③④ D．①②③④【例1－2】写出由下列各组命题构成的“p∨q”，“p∧q”，“⌝p”形式的命题，并判断真假．(1)p：1是素数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同；q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等．方法提炼1．判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解，应根据组成各个命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．2．判断命题真假的步骤：确定含有逻辑联结词的命题的构成形式⇒判断其中简单命题的真假⇒根据真值表判断含有逻辑联结词的命题的真假3．与日常生活中的“或、且、非”的对照：逻辑联结词“或”与日常生活用语中的“或”的意义不相同，日常生活中的“或”往往表示“不可兼得”之意，而常用逻辑联结词的“或”允许“兼有”，但不是“一定兼有”；逻辑联结词“且”，与日常生活语言中的“和、与”意义相同，具有“兼有性”；逻辑联结词“非”就是日常生活语言中的“否定”，具有“否定性”．请做演练巩固提升3二、全(特)称命题的否定及真假判断【例2】下列命题中的假命题是( )．A．∀x∈R,2x－1＞0 B．∀x∈N*，(x－1)2＞0C．∃x∈R，lg x＜1 D．∃x∈R，tan x＝2方法提炼1．要判断一个全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对限定集合M中的每一个元素x证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题(即通常所说的举出一个反例)．2．要判定一个特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只要在限定的集合M中至少找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可．否则这一特称命题就是假命题．3．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．要注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．4．要判断“⌝p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p”的真假，p与⌝p的真假相反．2三、与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题【例3】已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，求实数a 的取值范围．方法提炼含有逻辑联结词的命题，要先确定构成命题的一个或两个命题的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．对于不等式恒成立问题与方程的根有关的问题，要多结合函数的图象，常用的方法有分离参数法、判别式法等．请做演练巩固提升4对联结词否定不当致误【典例】“若x ，y ∈R 且x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0”的否命题是( )．A ．若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 全不为0B ．若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0C ．若x ，y ∈R 且x ，y 全为0，则x 2＋y 2＝0D ．若x ，y ∈R 且x ，y 不全为0，则x 2＋y 2≠0错解：原命题的否命题为“若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 全不为0”，故选A ．正解：原命题的否命题为“若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0”．答案：B答题指导：1．对于含有“或”“且”的否定形式要注意在否定语句的同时，也要否定关键词．2．(1)要注意区分命题的否定与否命题，关键是要看清题意，不能想当然．(2)对平时常见的“不都是”、“都是”、“不全是”、“都不是”等字眼要做一下积累和区分，方可保证考试中不犯错误．1．(2012湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )．A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 2．下列命题中，真命题是( )．A ．∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋cos x ≥2B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2＞2x ＋1C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1D ．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x ＞sin x3．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1＞0.下列结论中正确的是( )．A ．命题“p ∧q ”是真命题B ．命题“p ∧(⌝q )”是真命题C ．命题“(⌝p )∧q ”是真命题D ．命题“(⌝p )∨(⌝q )”是假命题4．已知命题p ：∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，cos 2x ＋cos x －m ＝0为真命题，则实数m 的取值范围是__________．5．已知命题p ：曲线x 2a －2－y 26－a＝1为双曲线；命题q ：函数f (x )＝(4－a )x 在R 上是增函数；若命题“p ∨q ”为真，命题“p ∧q ”为假，求实数a 的取值范围．参考答案基础梳理自测知识梳理1．“或”“且”“非”2．真真假真假真假假3．假真4．(1)全称量词“∀”全称命题∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，⌝p(x0) (2)存在量词“∃”特称命题∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，⌝p(x)基础自测1．B 解析：命题p为假，命题q为真，故p∧q为假．2．C 解析：该命题为特称命题，其否定为“对任意实数x，都有x≤1”．3．B 解析：“⌝(p∨q)”是假命题，则命题“p∨q”为真，所以p，q中至少有一个为真命题．4．C 解析：全称命题的否定为特称命题，sin x≤1的否定为sin x＞1，故选C.5．x＜－2或x＞3 解析：由p知x＜－1或x≥3，由q知x ＜－2或x＞3，∴p∧q为x＜－2或x＞3.考点探究突破【例1－1】D 解析：命题p：∃x∈R，使tan x＝1是真命题，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}也是真命题，∴①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(⌝q)”是假命题；③命题“(⌝p)∨q”是真命题；④命题“(⌝p)∨(⌝q)”是假命题，故应选D.【例1－2】解：(1)p∨q：1是素数或是方程x2＋2x－3＝0的根．真命题．p∧q：1既是素数又是方程x2＋2x－3＝0的根．假命题．⌝p：1不是素数．真命题．(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．p∧q：平行四边形的对角线相等且互相垂直．假命题．⌝p：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．(3)p∨q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同或绝对值相等．假命题．p∧q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同且绝对值相等．假命题．⌝p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根符号不相同．真命题．【例2】B 解析：对于∀x ∈R ，x －1∈R ，此时2x －1＞0成立，∴A 是真命题；又∵(x －1)2＞0⇔x ∈R 且x ≠1，而1∈N *， ∴B 是假命题；又∵lg x ＜1⇔0＜x ＜10， ∴C 是真命题；又∵y ＝tan x 的值域为R ， ∴D 是真命题，故选B.【例3】解：由“p ∧q ”是真命题， 则p 为真命题，q 也为真命题．若p 为真命题，a ≤x 2恒成立， ∵x ∈[1,2]，∴a ≤1.若q 为真命题，即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2，综上所求实数a 的取值范围为a ≤－2或a ＝1. 演练巩固提升1．B 解析：该特称命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．2．B 解析：对于选项A ，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，∴此命题是假命题；对于选项B ，x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x ＞3时，(x －1)2－2＞0，∴此命题是真命题；对于选项C ，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＞0，∴x 2＋x ＝－1对任意实数x 都不成立，∴此命题是假命题；对于选项D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，tan x ＜0，sin x ＞0，命题显然是假命题，故选B.3．C 解析：由sin x ＝52＞1，可得命题p 为假；由x 2＋x＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，可得命题q 为真，则命题“p ∧q ”是假命题；命题“p ∧(⌝q )”是假命题；命题“(⌝p )∧q ”是真命题；命题“(⌝p )∨(⌝q )”是真命题．4．[－1,2] 解析：令f (x )＝cos 2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98，由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，于是f (x )∈[－1,2]，因此实数m 的取值范围是[－1,2]．5．解：p 为真时，(a －2)(6－a )＞0，解得2＜a ＜6. q 为真时，4－a ＞1，解得a ＜3.由命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，可知命题p ，q 中一真一假．当p 真，q 假时，得3≤a ＜6. 当p 假，q 真时，得a ≤2.因此实数a 的取值范围是(－∞，2]∪[3,6)．。