高中数学基础强化天天练必修1第32练 函数与方程(二分法)

4.5.2用二分法求方程的近似解一、单选题1．用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算f (0.64)<0，f (0.72)>0，f (0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（ ） A ．0.9B ．0.7C ．0.5D ．0.42．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次计算，得f (0)<0，f (0.5)>0，第二次应计算f (x 1)，则x 1等于（ ） A ．1B ．－1C ．0.25D ．0.753．设函数3()48f x x x =+-，用二分法求方程3480x x +-=近似解的过程中，计算得到()10f <，()30f >，则方程的近似解落在区间（ ） A ．()1,1.5 B ．()1.5,2 C ．()2,2.5D ．()2.5,34．已知函数()22log 6f x x x =--，用二分法求()f x 的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（ ）A ．()1,2B ．()2,2.5C ．()2.5,3D ．()3,3.55．一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有效，而低于500mg 病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：1g20.301=，1g30.4771=，答案采取四舍五入精确到0.1h ） A ．2.3小时B ．3.5小时C ．5.6小时D ．8.8小时二、多选题6．用二分法求函数()232xf x x =+-在区间[]0,2上的零点近似值取区间中点1，则（ ） A ．下一个存在零点的区间为()0,1B ．下一个存在零点的区间为()1,2C ．要达到精确度1的要求，应该接着计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭D ．要达到精确度1的要求，应该接着计算32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭7．以下函数图象中，能用二分法求函数零点的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A ．1.25B ．1.4375C ．1.40625D ．1.42199．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点的近似值的是（ ）A ．y =2x+1B ．y =1010x x x x -+≥⎧⎨+<⎩，，，C ．y =12x 2+4x +8D ．y =|x |10．若函数()f x 的图像在R 上连续不断，且满足(0)0f <，(1)0f >，(2)0f >，则下列说法错误的是（ ） A ．()f x 在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点 B ．()f x 在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点 C ．()f x 在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点 D ．()f x 在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点三、填空题11．为了求函数()237x f x x =+-的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x 和函数()f x 的部分对应值，如下表所示：12．已知函数()322f x x x =--，()()120f f ⋅<，用二分法逐次计算时，若0x 是[]1,2的中点，则()0f x =________.四、解答题13．用二分法求24x x +=在[1]2，内的近似解(精确度为0.2).参考数据：14．判断函数()321f x x =-的零点个数，并用二分法求零点的近似值．(精确度0.1)15．为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是2m （m 为正整数）．将这2m 个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，则将这些人平均分成两组，每组12m -个人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直至确定所有的感染者． 例如，当待检测的总人数为8，且标记为“x ”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用下图表示．从图中可以看出，需要经过4轮共n 次检测后，才能确定标记为“x ”的人是唯一感染者．（1）写出n 的值；（2）若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮共9次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值；（3）若待检测的总人数为102，且其中不超过2人感染，写出采用“二分检测方案”所需总检测次数的最大值．参考答案1．B 【分析】利用二分法求函数零点的近似值的条件及方法分析判断即得. 【详解】依题意，函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.70.68,()0.72∈，且满足|0.72-0.68|<0.1， 所以所求的符合条件的近似值为0.7. 故选：B 2．C 【分析】根据二分法的原理，直接求解即可. 【详解】第一次计算，得f (0)<0，f (0.5)>0，可知零点在()0,0.5之间， 所以第二次计算f (x 1)，则x 1＝00.52+＝0.25. 故选：C 3．A 【分析】根据二分法求方程的近似解的过程，由条件先求得()20f >，再求32f ⎛⎫⎪⎝⎭的符号，只须找到满足()()0f a f b <即可【详解】取12x =，因为()24828260f =⨯+-=>，所以方程近似解()01,2x ∈， 取232x =，因为3273f 4870282⎛⎫=⨯+-=> ⎪⎝⎭，所以方程近似解031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：A. 4．C 【分析】根据函数解析式，结合二次函数与对数函数单调性，分别判断ABD 都不正确，再结合零点存在性定理，即可得出结果. 【详解】因为函数()22log 6f x x x =--在()0,∞+上显然是连续函数，2yx 和2log 6y x =+在()0,∞+上都是增函数，当()1,2x ∈时，2222246log 16log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()1,2x ∈上恒成立； 当()2,2.5x ∈时，22222.5 6.257log 26log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()2,2.5x ∈上也恒成立；当()3,3.5x ∈时，222239log 3.56log 6x x >=>+>+，所以()22log 60f x x x =-->在()3,3.5x ∈上恒成立，又22(2.5) 2.5log 2.560f =--<，2(3)9log 360f =-->，根据函数零点存在性定理，可得()f x 的其中一个零点的初始区间可为()2.5,3. 故选：C. 【点睛】 方法点睛：判断零点所在区间的一般方法：先根据题中条件，判断函数在所给区间是连续函数，再由零点存在性定理，即可得出结果. 5．A 【分析】药在血液中以每小时20%的比例衰减，根据指数函数模型列方程或不等式求解． 【详解】设从现在起经过x 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效． 则25000.81500x ⨯=，0.80.6x =，lg 0.8lg 0.6x =，lg 0.8lg 0.6x =，6lglg 0.6lg 2lg310.3010.4771110 2.38lg 0.83lg 2130.3011lg 10x +-+-====≈-⨯-．故选：A ． 6．AC 【分析】根据二分法求零点的步骤，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】因为()0020210f =+-=-<，()222620f =+->，()112320f =+->，所以()()010f f <，所以下一个存在零点的区间为()0,1，故A 正确，B 错误； 要达到精确度1的要求，应该接着计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭，故C 正确，D 错误.故选：AC ． 7．ABC 【分析】根据利用二分法无法求不变号的零点问题确定选项. 【详解】D 选项虽然有零点，但是在零点左右两侧函数值符号都相同， 因此不能用二分法求零点，而A ，B ，C 选项符合利用二分法求函数零点的条件． 故选：ABC ． 【点睛】本题考查了零点判定定理的应用和二分法求解函数的零点．属于容易题. 8．BCD 【分析】由根的存在性定理判断根的较小区间，从而求近似解． 【详解】解：由表格可得，函数32()22f x x x x =+--的两点在(1.375,1.4375)之间， 符合条件的有BCD. 故选：BCD ． 9．CD 【分析】根据二分法定义，只有零点两侧函数值异号才可用二分法求近似值． 【详解】对于选项C ，y =12x 2+4x +8=12(x +4)2≥0，故不能用二分法求零点的近似值. 对于选项D ，y =|x |≥0，故不能用二分法求零点的近似值. 易知选项A ，B 有零点，且可用二分法求零点的近似值. 故选：CD ． 10．ABD 【分析】根据()f x 的图像在R 上连续不断，()00f <，()10f >，()20f >，结合零点存在定理，判断出在区间()0,1和()1,2上零点存在的情况，得到答案． 【详解】由题知()()010f f ⋅<，所以根据函数零点存在定理可得()f x 在区间()0,1上一定有零点， 又()()120f f ⋅>，无法判断()f x 在区间()1,2上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点． 故选：ABD ． 11．1.4 【分析】根据函数零点存在定理、用二分法求方程的近似解的相关知识，代值求解即可. 【详解】由题表知()()1.375 1.43750f f ⋅<，且1.4375 1.3750.06250.1-=<， 所以方程的一个近似解可取为1.4， 故答案为：1.4. 12． 1.625-. 【分析】先求出0x 的值，再代入解析式即可求解. 【详解】因为0x 是[]1,2的中点，所以0 1.5x =，所以()()30 1.5 1.52 1.52 1.625f x f ==-⨯-=-，故答案为： 1.625-. 13．1.375 【分析】本题直接用二分法求方程的近似解即可. 【详解】解：令()24xf x x =+-，则()12140f =+-<，()222240f =+->，∵24x x +=在[1]2，内的近似解可取为1.375. 14．0.75 【分析】首先由()()010f f ⋅<结合()f x 的单调性可知()f x 有且只有一个零点()00,1x ∈，再利用取区间中点的方法利用零点存在性定理将零点所在区间逐渐减半，直到满足精确度即可. 【详解】因为()321f x x =-，所以()010f =-<，()12110f =-=>因为()()010f f ⋅<，所以()f x 在区间()0,1内有零点，因为()321f x x =-在R 上为增函数，所以()f x 有且只有一个零点()00,1x ∈，取区间()0,1的中点10.5x =，()30.520.510.750f =⨯-=-<，所以()()0.510f f ⋅<，可得()00.5,1x ∈，取区间()0.5,1的中点20.75x =，()30.7520.7510.156250f =⨯-=-<，所以()()0.7510f f ⋅<，可得()00.75,1x ∈，取区间()0.75,1的中点30.875x =，()30.87520.87510.33980f =⨯-=>，所以()()0.750.8750f f ⋅<，可得()00.75,0.875x ∈，取区间()0.75,0.875的中点40.8125x =，()30.812520.812510.07280f =⨯-=>，所以()()0.750.81250f f ⋅<，可得()00.75,0.8125x ∈， 因为0.81250.750.06250.1-=<，所以()321f x x =-零点的近似值可取为0.75.15．（1）7n =；（2）感染者人数可能的取值为2，3，4；（3）39． 【分析】（1）由图可计算得到n的取值；（2）当经过4轮共9次检测后确定所有感染者，只需第3轮对两组都进行检查，由此所有可能的结果；（3）当所需检测次数最大时，需有2名感染者，并在第2轮检测时分居两组当中，从而将问题转化为待检测人数为92的组，每组1个感染者，共需的检测次数，由此可计算求得结果.【详解】（1）由题意知：第1轮需检测1次；第2轮需检测2次；第3轮需检测2次；第4轮需检测2次；12227∴=+++=；n（2）由（1）可知：若只有1个感染者，则只需7次检测即可；经过4轮共9次检测查出所有感染者，比只有1个感染者多2次检测，则只需第3轮时，对两组都都进行检查，即对最后4个人进行检查，可能结果如下图所示：∴感染者人数可能的取值为2，3，4.（3）若没有感染者，则只需1次检测即可；+⨯=次检测即可；若只有1个感染者，则只需121021若有2个感染者，若要检测次数最多，则第2轮检测时，2个感染者不位于同一组中；+⨯=次检测；∴此时两组共此时相当于两个待检测人数均为92的组，每组1个感染者，此时每组需要12919⨯=次检测；需21938∴若有2个感染者，且检测次数最多，共需38139+=次检测.综上所述：所需总检测次数的最大值为39.。

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第三章 3.1 3.1.2 用二分法求方程的近似解1．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是( )A．若x0∈［a，b］且满足f(x0）＝0，则x0是f（x）的一个零点B．若x0是f(x)在［a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值C．函数f(x）的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f（x)的零点D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解解析：使用“二分法”必须满足“二分法"的使用条件,B不正确;f(x）＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．答案：A2．用二分法求函数f（x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是（）A．[－2,1］B．[－1，0]C．［0,1] D．［1，2]解析：∵f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，f（－2)·f(1)＜0，故可取[－2，1]作为初始区间,用二分法逐次计算．答案：A3．用二分法求函数f（x）＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：( ）A．1。

第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.2用二分法求方程的近似解根底过关练题组一用二分法求方程近似解的条件1.(2021湖北黄冈中学高一月考)求以下函数的零点,可以采用二分法的是()A.f(x)=x4B.f(x)=x3+√x3C.f(x)=-e x-x2D.f(x)=|2x-3|2.(2021成都锦江校级月考)用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+x-1在区间[0,1]上的零点,要求精确度为0.01时,所需二分区间的次数最少为()3.函数f(x)的图象如图,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(),4,4,4,34.假设用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,那么结束计算的条件是.题组二用二分法求方程近似解的过程5.(2021江苏如东高级中学高一上阶段性测试)利用二分法求方程log3x=3-x的近似解,可以取的一个区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)6.(2021湖北武汉期末)用二分法求函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时,依次计算得到如下数据:f(1)=-2,f(1.5)=0.625,f(1.25)≈-0.984,f(1.375)≈-0.260,关于下一步的说法正确的选项是()A.已经到达精确度的要求,可以取1.4作为近似值B.已经到达精确度的要求,可以取1.375作为近似值C.没有到达精确度的要求,应该接着计算f(1.4375)D.没有到达精确度的要求,应该接着计算f(1.3125)7.(2021广东普宁期末)用二分法求函数f(x)=ln(2x+6)+2-3x的零点时,用计算器得到下表:x1.00 1.25 1.375 1.50f(x) 1.079 4 0.191 8 -0.3604-0.9989那么由表中数据,可得到函数的一个零点的近似值(精确度为0.1)为() 55758.证明2x+x=4在区间[1,2]内有解.设f(x)=2x+x-4,x∈[1,2],填写下表,并求方程的近似解(精确度为0.2).区间区间中点值x n f(x n)的值(1,2)x1=f(x1)≈0.328(1,1.5)x2=1.25f(x2)≈(1.25,1.5)x3=1.375f(x3)≈-0.031题组三二分法的应用9.在一个风雨交加的夜里,从某水库闸门到防洪指挥所的线路发生了故障,这是一条长为10km的线路,设计一个能迅速查出故障所在的方案,并求出维修线路的工人师傅至多检测几次就能找出故障地点所在区域(精确到100m范围内).10.函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实数根.答案全解全析第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.2用二分法求方程的近似解根底过关练1.B f(x)=x4不是单调函数,且f(x)≥0恒成立,所以不能用二分法求零点;f(x)=x3+√x3是单调函数,且f(x)∈R,所以能用二分法求零点;f(x)=-e x-x2不是单调函数,且f(x)≤0恒成立,所以不能用二分法求零点;f(x)=|2x-3|不是单调函数,且f(x)≥0恒成立,所以不能用二分法求零点.应选B.2.B根据题意,原来区间[0,1]的长度为1,每经过一次二分法操作,区间,长度变为原来的一半,那么经过n(n∈N*)次操作后,区间的长度变为12n 令1<0.01,可得n≥7.应选B.2n3.D题中图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;零点左、右函数值异号的有3个,所以可以用二分法求解的个数为3,应选D.4.答案b-a<0.001解析精确度为0.001,即|a-b|<0.001,又b>a,∴b-a<0.001.5.C方程log3x=3-x可化为log3x+x-3=0,设f(x)=log3x+x-3,那么f(1)=-2<0,f(2)=log32-1<0,f(3)=log33=1>0,又f(x)是增函数,所以f(x)的零点在(2,3)内,应选C.6.C由二分法知,方程x3+x2-2x-2=0的一个正零点在区间(1.375,1.5)内,但|1.5-1.375|=0.125>0.1,没有到达精确度的要求,所以应该接着计算f(1.4375).应选C.7.B由题表知f(1.00)·f(1.50)<0,所以函数f(x)在区间(1.00,1.50)内有零点x0,取区间(1.00,1.50)的中点1.25,由题表知f(1.25)·f(1.50)<0,所以x0∈(1.25,1.50),再取区间(1.25,1.50)的中点1.375,由题表知f(1.25)·f(1.375)<0,所以x0∈(1.25,1.375),再取区间(1.25,1.375)的中点1.3125,可知区间(1.25,1.3125)和(1.3125,1.375)中必有一个存在f(x)的零点,且区间长度为0.0625<0.1,满足精确度要求.因此函数的一个零点的近似值可取为1.3125.应选B.8.解析易知f(x)在定义域上单调递增,由于f(1)=2+1-4=-1<0,f(2)=22+2-4=2>0,所以方程2x+x-4=0在区间[1,2]内有唯一解.利用二分法求值得到下表:区间区间中点值x nf(x n)的值(1,2)x1=1.5f(x1)≈0.328 (1,1.5)x2=1.25f(x2)≈-0.372(1.25,1.5)x3=1.375f(x3)≈-0.031因为|1.375-1.5|=0.125<0.2,所以方程的近似解所在区间为[1.375,1.5],所以2x+x=4在区间[1,2]内的近似解可取为1.375.9.信息提取①线路长为10km;②精确到100m范围内.数学建模以查找线路故障点为情境,构建二分法的实际应用模型.解析根据实际问题,抽象出模型,如图.工人师傅首先从中点C检测,用随身带的设备向两端测试,假设发现AC段正常,那么可知故障在BC段;再从线段BC的中点D检测,假设发现BD段正常,可见故障在CD段;再从CD段的中点E检测;……,由此类推,每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,可以算出经过n次检测,所剩线路的长度为100002n m,令100002n≤100,即2n ≥100,又26=64,27=128,故至多检测7次就能找出故障地点所在区域. 10.证明∵f (1)>0,∴f (1)=3a +2b +c >0, 即3(a +b +c )-b -2c >0. ∵a +b +c =0, ∴a =-b -c ,-b -2c >0,∴-b -c >c ,即a >c. ∵f (0)>0,∴f (0)=c >0,∴a >0.取区间[0,1]的中点12,那么f (12)=34a +b +c =34a +(-a )=-14a <0. ∵f (0)>0,f (1)>0,∴函数f (x )在区间(0,12)和(12,1)上各有一个零点. 又f (x )为二次函数,最多有两个零点, ∴f (x )=0在[0,1]内有两个实数根.。

3.1.2 用二分法求方程的近似解(建议用时：40分钟)一、选择题1．下面关于二分法的叙述中，正确的是( )A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D．只能用二分法求函数的零点【答案】B[用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A 错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误，故选B.]2．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程可得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解所在区间为( )A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)C．(1.5,2) D．不能确定【答案】A[由于f(1.25)·f(1.5)<0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)．]3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A．1.25 B．1.375C．1.42 D．1.5【答案】C[由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.437 5,1.406 25)之间．结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.] 4．用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为( )A．(0,1) B．(0,2)C．(2,3) D．(2,4)【答案】B[因为f(0)＝20＋0－7＝－6<0，f (4)＝24＋12－7>0，f (2)＝22＋6－7>0，所以f (0)f (2)<0，所以零点在区间(0,2)．]5．在用“二分法”求函数f (x )零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( ) A ．[1,4] B ．[－2,1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，52 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1【答案】D [∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52，⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4.] 二、填空题6．已知函数f (x )＝x 3－2x －2，f (1)·f (2)<0，用二分法逐次计算时，若x 0是[1,2]的中点，则f (x 0)＝________.【答案】－1.625 [由题意，x 0＝1.5，f (x 0)＝f (1.5)＝－1.625.]7．在用二分法求方程f (x )＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.687 5)<0，即得出方程的一个近似解为________．(精确度为0.1)【答案】0．687 5 [∵f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.687 5)<0， ∴方程的解在(0.687 5,0.75)上，而|0.75－0.687 5|<0.1. ∴方程的一个近似解为0.687 5.]8．已知图象连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________． 【答案】4 [设等分的最少次数为n ，则由0.12n <0.01，得2n>10，∴n 的最小值为4.]三、解答题9．用二分法求函数f (x )＝x 3－3的一个正零点．(精确度为0.01)【答案】由于f (1)＝－2<0，f (2)＝5>0，因此可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：零点．10．用二分法求方程x 2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)【答案】令f (x )＝x 2－5，因为f (2.2)＝－0.16<0，f (2.4)＝0.76>0，所以f (2.2)·f (2.4)<0， 即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x 0，取区间(2.2,2.4)的中点x 1＝2.3，f (2.3)＝0.29，因为f (2.2)·f (2.3)<0，所以x 0∈(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x 2＝2.25，f (2.25)＝0.062 5，因为f (2.2)·f (2.25)<0， 所以x 0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1， 所以原方程的近似正解可取为2.25.1．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是( ) A ．f (x )＝3x －1 B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝ln x【答案】C [对于选项C 而言，令|x |＝0，得x ＝0，即函数f (x )＝|x |存在零点，但当x >0时，f (x )>0；当x <0时，f (x )>0，所以f (x )＝|x |的函数值非负，即函数f (x )＝|x |有零点，但零点两侧函数值同号，所以不能用二分法求零点的近似值．]2．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算，f (0.64)＜0，f (0.72)＞0，f (0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( ) A ．0.68 B ．0.72 C ．0.7D ．0.6【答案】C [已知f (0.64)＜0，f (0.72)＞0，则函数f (x )的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝12(0.64＋0.72)，且f (0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．]3．用二分法求函数f (x )＝3x－x －4的一个零点，其参考数据如下：【答案】1.562 5 [f (1.562 5)＝0.003>0，f (1.556 2)＝－0.029<0，方程3x－x －4＝0的一个近似解在(1.556 2，1.562 5)上，且满足精确度为0.01，所以所求近似解可取为1.562 5.]4．某同学在借助计算器求“方程lg x ＝2－x 的近似解(精确度为0.1)”时，设f (x )＝lg x ＋x －2，算得f (1)<0，f (2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x 的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x ≈1.8.那么他再取的x 的4个值依次是________．【答案】1．5,1.75,1.875,1.812 5 [第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)．]5．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在区间[0,1]内有两个实根. 【答案】 ∵f (1)>0，∴3a ＋2b ＋c >0， 即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0.∵a ＋b ＋c ＝0，∴－b －2c >0，则－b －c >c ，即a >c . ∵f (0)>0，∴c >0，则a >0. 在区间[0,1]内选取二等分点12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0.∵f (0)>0，f (1)>0，∴函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上各有一个零点． 又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．。

3.1.2 用二分法求方程的近似解[课时作业] [A 组 基础巩固]1．下列图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )答案：B2．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )A ．ε越大，零点的精确度越高B ．ε越大，零点的精确度越低C ．重复计算次数就是εD ．重复计算次数与ε无关答案：B3．用二分法求函数f (x )＝x 3＋5的零点可以取的初始区间是( )A ．[－2, 1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[1,2]解析：f (－2)＝－3<0，f (1)＝6>0逐次验证得出初始区间为A.答案：A4．定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的曲线，已知函数f (x )在区间(a ，b )上有一个零点x 0，且f (a )·f (b )<0，用二分法求x 0时，当f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝0时，则函数f (x )的零点是( )A ．(a ，b )外的点B ．x ＝a ＋b 2C ．区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2或⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内的任意一个实数D ．x ＝a 或x ＝b答案：B5．设f (x )＝3x＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中，计算得到f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定解析：∵f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则由f(1.25)·f(1.5)<0可知方程根落在(1.25,1.5)上．答案：B 6．用二分法研究函数f(x)＝x2＋6x－2的零点时，第一次经过计算f(0)<0，f(0.5)>0可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．解析：由零点的存在性可知，x0∈(0,0.5)，取该区间的中点0.52＝0.25，∴第二次应计算f(0.25)．答案：(0,0.5) f(0.25)7．求方程log3x＋x＝3的解所在区间是________．解析：构造函数f(x)＝log3x＋x－3，找出函数零点所在的初始区间，∵f(2)<0，f(3)>0，∴x0∈(2,3)．答案：(2,3) 8．若方程x3－x＋1＝0在区间(a，b)(a，b是整数，且b－a＝1)上有一根，则a＋b＝________.解析：设f(x)＝x3－x＋1，则f(－2)＝－5＜0，f(－1)＝1＞0可得a＝－2，b＝－1，∴a＋b＝－3.答案：－39．求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解．(精确度0.1)解析：设f(x)＝2x3＋3x－3，∵f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，∴函数在(0,1)内存在零点，即方程在(0,1)内有实数解，取(0,1)作为初始区间，利用二分法逐次计算，列表如下：由于|0.687 5－0.75|0.75.10．求32的近似值．(精确到0.01)解析：设x＝32，则x3－2＝0，令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是32的近似值．由于f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：由于|1.265 63∴这个区间的两个端点的近似值都可以作为函数f(x)零点的近似值，即32的近似值是1.26.[B组能力提升]1.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )A．4,4B．3,4C．5,4D．4,3解析：图象与x轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.答案：D 2．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2 009)<0，f(2 010)<0，f(2 011)>0，下列叙述正确的是( )A．函数f(x)在(2 010,2 011)内不存在零点B．函数f(x)在(2 009,2 010)内不存在零点C．函数f(x)在(2 010,2 011)内存在零点，并且仅有一个D．函数在(2 009,2 010)内可能存在零点解析：f(2 009)·f(2 010)>0，只能说在(2 009，2 010)内可能存在零点，也可能不存在零点．f(2 010)·f(2 011)<0，说明在(2 010,2 011)内至少有一个零点，不能说是唯一，故答案选D.答案：D3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的对应值表：①函数f(x)在区间(－1,0)内有零点；②函数f(x)在区间(2,3)内有零点；③函数f(x)在区间(5,6)内有零点；④函数f(x)在区间(－1,7)内有三个零点．解析：f(－1)·f(0)<0，f(2)·f(3)<0，f(5)·f(6)<0，又f(x)的图象连续不断，所以函数f(x)在(－1,0)，(2,3)，(5,6)三个区间上均有零点，但不能断定有几个零点，故①②③正确，④不正确．答案：①②③4．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：解析：注意到f(1.556 2)＝－0.029和f(1.562 5)＝0.003，显然f(1.556 2)f(1.562 5)＜0，故区间的端点四舍五入可得1.56.答案：1.565．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在位置？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子.10 km长，大约有200多根电线杆子呢！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？解析：如图所示：可利用二分法的原理进行查找．设闸房和指挥部所在地分别为A ，B ，他首先从AB 的中点C 处查，用随身带的电话机向两端测试时，发现AC 段正常，断定故障在BC 段；再到BC 段中点D 处来查，这次发现BD 段正常，可见故障在CD 段；再到CD 中点E 处来查，这样每查一次，就可以把待查的线路长缩减一半，故经过7次查找，就可以把故障可能发生的范围缩小到50 m ～100 m 左右，即一两根电线杆附近．6．已知函数f (x )＝3x ＋x －2x ＋1，方程f (x )＝0在(－1，＋∞)内是否有根？若有根，有几个？请你用二分法求出方程f (x )＝0根的近似值．(精确度0.01)解析：方程f (x )＝0在(－1，＋∞)内有根，f (x )＝3x ＋x －2x ＋1＝3x ＋1－3x ＋1，当x ∈(－1，＋∞)时，函数f (x )为增函数， 所以若方程f (x )＝0有根，则最多有一个根．∵f (0)＝－1<0，f (1)＝52>0，所以取(0,1)为初始区间，用二分法逐步计算，列出下表：所以x ＝0.281 25.(实际上[0.273 437 5,0.281 25]内的任意一个值均可以．)。

3.1.2用二分法求方程的近似解一、选择题1．下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）A ．32)(+=x x fB ． 62ln )(-+=x x x fC ． 12)(2+-=x x x fD ． 12)(-=x x f2．用二分法求方程0833=-+x x 在)2,1(∈x 内近似解，可得方程的根落在区间（）A ．)25.1,1(B ． )5.1,25.1(C ．)2,5.1(D ． 不能确定3．函数5)(2-=x x f 的正零点的近似值（精确度为1.0）是（ ）A ．0.2B ．1.2C ．2.2D ．3.24．方程521=+-x x 的根所在的区间（ ）A ．)1,0(B ． )2,1(C ．)3,2(D ．)4,3(5．用二分法研究函数13)(3-+=x x x f的零点，第一次经过计算0)0(<f ,0)5.0(>f ,可得其中一个零点∈0x ，第二次应计算 ，以上横线应填的内容为（ ）A ．)25.0(),5.0,0(fB ．)25.0(),1,0(fC ．)25.0(),1,5.0(fD ． )125.0(),5.0,0(f二、填空题6．在用二分法求方程0)(=x f 在区间]1,0[ 上的近似解时，经计算0)625.0(<f ， 0)6875.0(,0)75.0(<>f f ，即可得出方程的一个近似解为 （精确度为0.1）．7．用二分法求方程052=-x在区间)3,2( 的近似值至少经过 次二分后精确度能达到1.0．8．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间),(n n b a 上，当m b a n n <-||时，函数的零点近似值与真实零点的误差最大不超过 ．三、解答题9．证明方程632x x -=在区间]2,1[内有唯一一个实数解，并求出这个实数解（精确度为1.0）． 10．用二分法求函数)(x f y =在区间 )4,2(上的近似解，验证0)4()2(<⋅f f ，给定精确度0.01ε=，取区间)4,2(的中点31=x ，计算得0)()2(1<⋅x f f ，则此时零点0x 所在的区间是什么？11．求函数22)(23--+=x x x x f 的一个正实数零点（精确度为1.0）．3.1.2用二分法求方程的近似解1．C 解析：因为0)1()(2≥-=x x f ，所以不能用二分法求零点，故选C ．2．B 3．C4．C 解析：令52)(1-+=-x x f x ，则01)2(<-=f ，02)3(>=f ，则选C ．5．A6．75.0或6875.07． 4 解析：1.0223<-n ，得4≥n ， 所以至少经过 4次即可．8．m9．证明：设函数()236xf x x =+-， Q 01)1(<-=f ，04)2(>=f ，又Q )(x f 是增函数，所以函数()236xf x x =+-在区间]2,1[内有唯一的零点，则方程632x x -=在区间]2,1[内有唯一一个实数解，设该解为0x ，则0[1,2]x ∈，取1 1.5x =，033.1)5.1(>=f ，0)5.1()1(<f f ，所以0(1,1.5)x ∈,取2 1.25x =，0128.0)25.1(>=f ，0)25.1()1(<f f ，所以0(1,1.25)x ∈,取3 1.125x =，044.0)125.1(<-=f ， 0)25.1()125.1(<f f ，所以0(1.125,1.25)x ∈，取4 1.1875x =，016.0)1875.1(<-=f ，0)25.1()1875.1(<f f 则0(1.1875,1.25)x ∈. Q 1.00625.0|1875.125.1|<=-∴1875.1可以作为这个方程的实数解．10．解：因为0)4()2(<f f ， 0)3()2(<f f ，所以0)4()3(>f f ，所以0(2,3)x ∈．11．4375.1 （方法与第9题相同）。

[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()A．x1B．x2C．x3D．x4解析：观察图象可知：零点x3的附近两边的函数值都为负值，所以零点x3不能用二分法求出．答案：C2．下列关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的叙述中，正确的个数为()①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．A．0 B．1C．3 D．4解析：①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，所以x 0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，故①错误；②由于x0两侧函数值不一定异号，故②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，故③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，故④错误．故选A.答案：A3．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为()A．(0,0.5)，f(0.125) B．(0.5,1)，f(0.875)C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.25)[能力提升](20分钟，40分)11．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,3)内近似解的过程中取区间中点x0＝2，那么下一个有根区间为() A．(1,2) B．(2,3)C．(1,2)或(2,3) D．不能确定解析：因为f(1)＝31＋3×1－8＝－2<0，f(3)＝33＋3×3－8＝28>0，f(2)＝32＋3×2－8＝7>0，所以f(1)f(2)<0，所以f(x)＝0的下一个有根的区间为(1,2)．答案：A12．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．解析：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚放在天平上，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币；若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．答案：413．求出函数F(x)＝x5－x－1的零点所在的大致区间．解析：函数F(x)＝x5－x－1的零点即方程x5－x－1＝0的根．由方程x5－x－1＝0，得x5＝x＋1.令f(x)＝x5，g(x)＝x＋1.。

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高中数学必修一基础强化天天练
第32练函数与方程（二分法）
目标：根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；理解“逼近”的数学思想方法.
一、填空题
1．已知函数f(x)＝x3＋x2－2x－2，f(1)·f(2)<0，用二分法逐次计算时，若x
是[1,2]的中点，则f(x0)＝________.
【答案】0.625
【解析】由题意知f(x0)＝f(1＋2
2
)＝f(1.5)，代入解析式易计算得0.625.
2．下列图象与x轴均有交点，其中能用二分法求函数零点的是________．(填序号)
【答案】②③④
【解析】由①中的图象可知，不存在一个区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，即
①中的零点不是变号零点，不符合二分法的定义．
3．若函数()27
x
f x x
=+-在区间()()
,1
k k k Z
+∈上存在零点，则k的值等于_________。

【答案】2。