第2章习题课直线、平面平行与垂直分析

直线、平面垂直的性质【学习目标】1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题．【要点梳理】要点一、直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：,l m l m αα⊥⊂⇒⊥图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言：,//l m l m αα⊥⊥⇒图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．要点二、平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．2．平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．要点三、垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．垂直间的关系可按下面的口诀记忆：线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清．平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件．面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝．先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见．借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线．两线垂直同一面，相互平行共伸展，两面垂直同一线，一面平行另一面．要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间．【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）．（1）若a，b都平行于平面α，求证：AB⊥α；（2）若a，b分别垂直于平面α，β，且cαβ=，求证：AB∥c．【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥α，可先证明线与线的平行．（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB ∥c．证明：（1）如图（1），在α内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面α的交线为a＇，设直线b与点P确定的平面与平面α的交线为b＇．∵a∥α，b∥α，∴a∥a＇，b∥b＇．又∵AB⊥α，AB⊥b，∴AB⊥a＇，AB⊥b＇，∴AB⊥α．（2）如图，过B作BB＇⊥α，则AB⊥BB＇．又∵AB⊥b，∴AB垂直于由b和BB＇确定的平面．∵b⊥β，∴b⊥c，∵BB＇⊥α，∴BB＇⊥c．∴c也垂直于由BB＇和b确定的平面．故c∥AB．【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线BB＇，构造出平面，即由相交直线b与BB＇确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明．举一反三：【变式1】设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【答案】B【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．高清：空间的线面垂直398999 例3例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：AE⊥CD；（2）证明：PD⊥平面ABE．【思路点拨】（1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE；（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由 AB ⊥PD 可得 PD⊥面ABE。

2021-2022年高中数学第2章平面解析几何初步2.1.3两条直线的平行与垂直课堂精练苏教版必修1．下列说法：①若直线l1与l2的斜率相等，则l1∥l2；②若直线l1∥l2，则两直线的斜率相等；③若直线l1，l2的斜率均不存在，则l1∥l2；④若两直线的斜率不相等，则两直线不平行；⑤若直线l1∥l2，且l1的斜率不存在，那么l2的斜率也不存在．其中正确的个数是__________．2．与直线垂直的直线的倾斜角为__________．3．已知{(x，y)|ax＋y＋b＝0}∩{(x，y)|x＋ay＋1＝0}＝∅，则a，b所满足的条件是__________．4．已知两点M(2,2)，N(5，－2)，点P在x轴上，且∠MPN＝90°，则P点坐标为__________．5．已知直线l的倾斜角为45°，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝__________.6．(1)菱形ABCD的两对角线所在直线的方程分别为(m＋1)x＋y－2＝0和3mx＋(m＋1) y －4＝0，则m的值为__________．(2)直线x＋3y－7＝0和kx－y－2＝0与x轴、y轴正向所围成的四边形有外接圆，则k 的值为__________．7．(1)过原点作直线l的垂线，若垂足为A(－2,3)，求直线l的方程．(2)三角形三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)，求AB边上的高所在的直线方程．(3)光线从点M(－2,3)射到x轴上一点P(1,0)后被x轴反射，求反射光线所在的直线方程．8．求与直线4x－3y＋5＝0垂直，且与两坐标轴围成的三角形周长为10的直线方程．9.已知A，B，C，D按逆时针方向排列，A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形．1．2 ①③中的直线可能重合，②中的直线l1，l2的斜率可能不存在，④⑤正确．2．60°由直线x＋y－1＝0得，得，即，所以α＝60°.3．当a＝1时，b≠1；当a＝－1时，b≠－1 由题意，知直线ax＋y＋b＝0与x＋ay＋1＝0平行，∴有a2－1＝0.∴a＝±1.当a＝1时，b≠1；当a＝－1时，b≠－1.4．(1,0)，(6,0) 设P坐标为(x,0)，则k PM·k PN＝－1，即，∴x＝1或x＝6.∴P(1,0)，P(6,0)．5．8 l的斜率为k＝tan 45°＝1，∴kl1＝－1，.∴a＝6.由l1∥l2，∴，b＝2.∴a＋b＝6＋2＝8.6．(1)或－1 (2)3 (1)∵菱形的对角线互相垂直，∴两条直线的方程的系数满足(m＋1)·3m＋1·(m＋1)＝0，即3m2＋4m＋1＝0.解得m＝－1或(2)∵四边形有外接圆，∴由圆内接四边形的内对角互补知两已知直线互相垂直．∴1·k＋3·(－1)＝0，即k＝3.7.解： (1)如图，∵，且OA⊥l，∴l 的斜率为. 于是l 的方程为． 整理得2x －3y ＋13＝0.(2)∵，∴与AB 垂直的直线的斜率为，故方程为2x ＋7y ＋m ＝0的形式，代入点C 坐标得m ＝－21.(也可由点斜式求，由，得2x ＋7y －21＝0.)∴AB 边上的高所在的直线方程为2x ＋7y－21＝0.(3)如图，由条件可知M 点关于x 轴的对称点M ′(－2，－3)在反射光线所在的直线上． ∴反射光线的斜率为.∴反射光线所在的直线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 8．解：设所求直线方程为3x ＋4y ＋b ＝0， 令x ＝0，得，即A ；令y ＝0，得，即. 又∵三角形周长为10，即OA ＋OB ＋AB ＝10，∴1043b b -+-=.解之得b ＝±10，故所求直线方程为3x ＋4y ＋10＝0或3x ＋4y －10＝0.9.解：由直角梯形的知识知，若ABCD 为直角梯形，则必有一边垂直于与它相邻的两边，且这一边与它相对的边不平行，因此可设出点D (x ，y )，将各边斜率表示出来之后，建立斜率之间的关系即可．设所求点D 的坐标为(x ，y )，如图所示，由于k AB ＝3，k BC ＝0，∴k AB ·k BC ＝0≠－1，即AB 与BC 不垂直，故AB ，BC 都不可作为直角梯形的直角腰． (1)若CD 是直角梯形的直角腰，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD ， ∵k BC ＝0，∴CD 的斜率不存在，从而有x ＝3.又k AD ＝0，∴，即y ＝3，此时AB 与CD 不平行，故所求点D 的坐标为(3,3)．(2)若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD，∵，，又由于AD⊥AB，∴又AB∥CD，∴，解上述两式可得18595xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩此时AD与BC不平行．综上，可知使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标为(3,3)或.25616 6410 搐34100 8534 蔴32398 7E8E 纎a30443 76EB 盫~29550 736E 獮31952 7CD0 糐 30528 7740 着21151 529F 功-LD'。

高中数学第2章平面解析几何初步2_1-2_1.3两条直线的平行与垂直练习苏教版必修22.1.3 两条直线的平行与垂直A 组基础巩固1．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1，0)．故所求直线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.答案：A2．已知?ABCD 的三个顶点的坐标分别是A (0，1)，B (1，0)，C (4，3)，则顶点D 的坐标为( )A ．(3，4)B ．(4，3)C ．(3，1)D ．(3，8)解析：设D (m ，n )，由题意得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以0－11－0＝3－n4－m ，n －1m －0＝3－04－1.解得m ＝3，n ＝4，所以点D 的坐标为(3，4)．答案：A3．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝( )A ．－1B ．1 C.12 D ．－12解析：由两直线垂直，得12×? ????－2m ＝－1，解得m ＝1.答案：B4．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是()A ．y ＝12x ＋4 B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4解析：因为直线y ＝2x ＋1的斜率为2，所以与其垂直的直线的斜率是－12.所以直线的斜截式方程为y ＝－12x ＋4.答案：D5．以A (－1，1)，B (2，－1)，C (1，4)为顶点的三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形解析：k AB ＝－1－12＋1＝－23，k AC ＝4－11＋1＝32，所以k AB ·k AC ＝－1.所以AB ⊥AC ，∠A 为直角．答案：C6．已知过点A (－2，m )和B (m ，4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为________．解析：k AB ＝4－m m ＋2，因为过AB 的直线与2x ＋y －1＝0平行，所以4－m m ＋2 ＝－2，解得m ＝－8. 答案：－87．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋5＝0平行，则k ＝________．解析：因为l 1∥l 2，所以－2(k －3)－2(4－k )(k －3)＝0，解得k ＝3或k ＝5.经检验k ＝3或k ＝5时，l 1∥l 2.答案：3或58．已知点A (－4，2)，B (6，－4)，C (12，6)，D (2，12)，下面四个结论中正确的是________(填序号)．①AB ∥CD; ②AB ⊥AD; ③AB ⊥BD; ④AC ⊥BD .解析：由题意得k AB ＝－35，k AD ＝53，k CD ＝－35，k AC ＝14，k B D ＝－4，所以k AB ＝k CD ，k AB ·k AD ＝－1，k AC ·k BD ＝－1.所以AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AC ⊥BD ，①②④正确．又k AB ·k BD ≠－1，所以③错误．答案：①②④9．已知直线l 1经过点A (－2，0)和点B (1，3a )，直线l 2经过点M (0，－1)和点N (a ，－2a )，若l 1⊥l 2，试确定实数a 的值．解：(1)当直线l 1，l 2的斜率都存在，即a ≠0时，直线l 1，l 2的斜率分别是k 1＝a ，k 2＝1－2a a. 因为l 1⊥l 2，所以a ·1－2a a＝－1.所以a ＝1. (2)当a ＝0时，k 1＝0，k 2不存在，此时l 1⊥l 2.综合(1)(2)知，若l 1⊥l 2，则实数a 的值为1或0.10．若已知直线l 1上的点满足ax ＋2y ＋6＝0，直线l 2上的点满足x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0(a ≠0)，当a 为何值时：(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解：k 1＝－a 2，k 2＝－1a －1. (1)l 1∥l 2时，k 1＝k 2，即－a 2＝－1a －1，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，l 1的方程为2x ＋2y ＋6＝0，即x ＋y ＋3＝0，l 2的方程为x ＋y ＋3＝0，则l 1与l 2重合．所以a ＝－1.(2)l 1⊥l 2时，由k 1k 2＝－1，得? ????－a 2? ??－1a －1＝－1，解得a ＝23. 综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2；a ＝23时，l 1⊥l 2. B 级能力提升11．在直角坐标平面内有两个点A (4，2)，B (1，－2)，在x 轴上有点C ，使∠ACB ＝90°，则点C 的坐标是________．解析：设C (x 0，0)，由AC ⊥BC ，得0－2x 0－4·0＋2x 0－1＝－1，所以x 0＝0或x 0＝5.答案：(0，0)或(5，0)12．若点A (1，2)在直线l 上的射影为B (－1，4)，则直线l 的方程是________________．解析：因为AB ⊥l ，k AB ＝4－2－1－1＝－1，所以k l ＝1. 又l 过点B ，所以l ：y －4＝x ＋1，即直线l 的方程为x －y ＋5＝0.答案：x －y ＋5＝013．已知两点A (2，0)，B (3，4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，且O ，A ，B ，C 四点共圆，那么y 的值是________．解析：由题意知，AB ⊥BC ，所以k AB ·k BC ＝－1，即4－03－2·4－y 3－0＝－1，解得y ＝194. 答案：194 14．过点A ? ??0，73与B (7，0)的直线l 1与过点(2，1)，(3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个过原点的圆，则实数k 为________．解析：若l 1和l 2与坐标轴围成的四边形内接于一个过原点的圆，则l 1⊥l 2，而kl 1＝73－7＝－13，kl 2＝k ＋1－13－2＝k .而kl 1·kl 2＝－1，得k ＝3. 答案：315．已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 1，l 2和两坐标轴围成的梯形的面积是4，求l 2的方程．解：因为l 1∥l 2，所以设l 2的方程为x ＋y －m ＝0.设l 1与x 轴，y 轴分别交于点A ，D ，l 2与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，易得：A (1，0)，D (0，1)，B (m ，0)，C (0，m )．又l 2在l 1的上方，所以m ＞0. S 梯形＝S Rt △OBC －S Rt △OAD ，所以4＝12m ·m －12×1×1. 所以m 2＝9，m ＝3. 故l 2的方程是x ＋y －3＝0.。

直线与平面、平面与平面垂直的性质( 复习课 )【常考题型】题型一、线面、面面垂直的综合问题【例 1】如图，已知直线a⊥ α，直线 b⊥ β，且 AB⊥ a，AB⊥ b，平面α∩β＝ c.求证： AB∥ c.[ 证明 ]如图，过点 B 作直线 a′ ∥a， a′与 b 确立的平面设为γ.由于 a′ ∥a，AB⊥a，所以 AB ⊥a′，又 AB⊥b， a′∩ b＝ B，所以 AB ⊥γ.由于 b⊥β， c? β，所以 b⊥c.①由于 a⊥α， c? α，所以 a⊥c，又 a′ ∥a，所以 a′ ⊥c.②由①②可得c⊥γ，又 AB⊥γ，所以 AB∥c.【类题通法】判断线线、线面的平行或垂直关系，一般要利用判断定理和性质定理，有时也能够放到特殊的几何体中(如正方体、长方体等)而后再判断它们的地点关系．【对点训练】1.如下图：平面α，β，直线a，且α⊥ β，α∩ β＝AB，a∥ α，a⊥ AB.求证： a⊥ β.证明：∵a∥α，过 a 作平面γ交α于 a′，则 a∥a′∵a⊥AB ，∴a′ ⊥AB.∵α⊥β，α∩β＝ AB，∴a′ ⊥β，∴a⊥β.题型二、求点到面的距离 【例2】 已知△ABC ， AC ＝BC ＝1， AB ＝2，又已知S 是△ ABC所在平面外一点，SA＝ SB ＝ 2， SC ＝5，点P 是 SC 的中点，求点P 到平面ABC的距离．[ 解] 法一： 如下图，连结 PA ， PB.易知△SAC ，△ACB 是直角三角形，所以 SA ⊥AC ，BC ⊥AC.取 AB 、 AC 的中点 E 、F ，连结 PF ， EF ，PE ，则 EF ∥BC ，PF ∥SA.所以 EF ⊥AC ， PF ⊥AC.由于 PF ∩ EF ＝F ，所以 AC ⊥平面 PEF.又 PE? 平面 PEF ，所以 PE ⊥AC.易证△SAC ≌△SBC.由于 P 是 SC 的中点，所以 PA ＝PB .而 E 是 AB 的中点，所以 PE ⊥AB .由于 AB ∩ AC ＝A ，所以 PE ⊥平面 ABC.进而 PE 的长就是点 P 到平面 ABC 的距离．151 2在 Rt △AEP 中， AP ＝2SC ＝ 2 ，AE ＝2AB ＝ 2 ，225 1 3所以 PE ＝ AP －AE ＝4－ 2＝ 2 ， 即点 P 到平面 ABC 的距离为3 2.法二： 如下图，过 A 作 AE ∥BC ，过 B 作 BF ∥AC ，交 AE 于点 D ，则四边形 ACBD 为正方形．连结 SD.由于 AC ⊥SA ， AC ⊥AD ， SA ∩ AD ＝ A ，所以 AC ⊥平面 SDA.所以 AC ⊥SD.又由题意，可知BC ⊥SB.由于 BC ⊥BD ，SB ∩ BD ＝ B ，所以 BC ⊥平面SDB ，所以 BC ⊥SD.又 BC ∩ AC ＝C ，于是 SD ⊥平面 ACBD .所以 SD 的长为点 S到平面 ABC 的距离．在 Rt△SDA 中易得 SD＝SA2－AD 2＝ 22－ 12＝ 3.由于 P 为 SC 的中点，故点P 到平面 ABC 的距离为13 2SD＝2 .【类题通法】求点到面的距离的重点是确立过点与平面垂直的线段．可经过外形进行转变，转变为易于求解的点，等体积法也是求点到平面的距离的常用方法．【对点训练】2.如下图，正四棱柱 ABCD － A1B1C1D1中，底面边长为 2 2，侧棱长为 4， E， F 分别为棱 AB ，BC 的中点， EF∩ BD ＝G.(1)求证：平面 B1EF⊥平面 BDD 1B1；(2)求点 D1到平面 B1EF 的距离．解：证明： (1)连结 AC.∵正四棱柱 ABCD － A1B1C1D1的底面是正方形，∴AC⊥BD .又 AC ⊥DD 1，且 BD ∩DD 1＝ D，故 AC⊥平面 BDD 1B1，∵E， F 分别为棱 AB， BC 的中点，故EF ∥AC，∴EF⊥平面 BDD 1B1，∴平面 B1EF ⊥平面 BDD 1B1.(2)解题流程：题型三、折叠问题【例 3】如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中点，沿 DE 将△ ADE 折起．(1)假如二面角 A－ DE －C 是直二面角，求证： AB＝AC ；(2) 假如 AB＝ AC，求证：平面ADE ⊥平面 BCDE .[证明 ] (1)过点 A 作 AM ⊥DE 于点 M，则 AM ⊥平面 BCDE ，∴AM ⊥BC.又 AD＝ AE，∴M 是 DE 的中点．取BC 中点 N，连结 MN ， AN，则 MN ⊥BC.又 AM ⊥BC，AM∩ MN＝M，∴BC⊥平面 AMN ，∴AN⊥BC.又∵N 是 BC 中点，∴AB＝ AC.(2)取 BC 的中点 N，连结 AN.∵AB＝ AC，∴AN⊥BC.取 DE 的中点 M，连结 MN ， AM，∴MN ⊥BC.又 AN∩MN＝N，∴BC⊥平面 AMN ，∴AM ⊥BC.又 M 是 DE 的中点， AD＝ AE，∴AM⊥DE .又∵DE 与 BC 是平面 BCDE 内的订交直线，∴AM ⊥平面 BCDE .∵AM ? 平面 ADE ，∴平面 ADE ⊥平面 BCDE .【类题通法】解决折叠问题的策略(1) 抓住折叠前后的变量与不变量．一般状况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“ 越过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这种问题的重点．(2) 在解题时认真审察从平面图形到立体图形的几何特点的变化状况．注意相应的点、直线、平面间的地点关系，线段的长度，角度的变化状况．【对点训练】3．如下图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AD ＝2AB＝ 2a，BD ＝ 3a， AC∩ BD＝ E，将其沿对角线 BD 折成直二面角．求证： (1) AB⊥平面 BCD ；(2) 平面 ACD ⊥平面 ABD .证明： (1) 在△ABD 中， AB＝ a，AD ＝ 2a， BD ＝3a，222∴AB ＋BD ＝AD ，∴∠ABD ＝ 90°，∴AB⊥BD.又∵平面 ABD ⊥平面 BCD ，平面 ABD ∩平面 BCD ＝BD ，AB? 平面 ABD，∴AB⊥平面 BCD .(2)∵折叠前四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB⊥BD ，∴CD ⊥BD .∵AB⊥平面 BCD ，∴AB⊥CD .又∵AB∩ BD＝B，∴CD ⊥平面 ABD.又∵CD ? 平面 ACD，∴平面 ACD ⊥平面 ABD .【练习反应】1．如下图，三棱锥P，A，B 是定点，则动点P－ABC 的底面在平面C 运动形成的图形是(α上，且)AC ⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点A．一条线段B．一条直线分析：选 D∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC?平面PAC，且平面PAC∩平面 PBC ＝∴AC⊥平面 PBC.又∵BC? 平面 PBC ，∴AC ⊥BC，∴∠ACB＝ 90°，∴动点 C 运动形成的图形是以AB 为直径的圆，除掉 A 和 B 两点，应选 D.2．在三棱锥P— ABC 中，平面 PAC⊥平面角形， PC＝ 4，M 是 AB 边上的一动点，则PM ABC，∠ PCA ＝ 90°，△ ABC 是边长为 4 的正三的最小值为 ()A．23B．27C．43D．47分析：选B连结CM ，则由题意PC⊥平面 ABC，可得PC⊥CM ，所以 PM＝PC 2＋CM 2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC 中，当CM ⊥AB 时CM有最小值，此时有CM＝4×32 ＝23，所以 PM 的最小值为 2 7.3．若组成教室墙角的三个墙面记为α，β，γ，交线记为BA，BC，BD ，教室内一点墙面α，β，γ的距离分别为 3 m， 4 m,1 m ，则 P 与墙角 B 的距离为 ________ m.P 到三分析：过点P 向各个面作垂线，组成以BP为体对角线的长方体．|BP|＝32＋ 42＋ 1＝26.答案：264．如下图，平面α⊥平面β， A∈ α， B∈ β， AA′⊥ A′ B′， BB′⊥ A′ B′，且 AA′＝ 3， BB′＝ 4，A′ B′＝ 2，则三棱锥 A— A′ BB′的体积 V＝ ________.分析：由题意 AA1⊥面A′ BB′，BB′ ⊥面A′ B′A，则三棱锥 A—A′ BB′中，AA′为高，底面△A′ BB′为 Rt△.∴V A－′BB′ ＝1△′BB′＝1×3×1× 2×4＝ 4.AA′ ·S323答案： 45．如图，已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ.α∩ γ＝ a，β∩γ＝b，且 a∥b，求证：α∥ β.证明：在平面γ内作直线c⊥a.∵α⊥γ，α∩ γ＝ a，∴c⊥α.∵a∥b，∴c⊥b.又∵β⊥γ，β∩ γ＝ b，∴c⊥β，∴α∥β.你曾落的泪，最都会成阳光，照亮脚下的路。

直线、平面平行与垂直习题课进．2平面平行与垂直的判定及性质进行有关的证明．能熟练应用直线、．1【课时目标】一步体会化归思想在证明中的应用． a 表示平面．γ、β、α表示直线，c、b、 ) 符号语言(性质定理) 符号语言(判定定理位置关系 b ∥a⇒________________，α∥a α∥a⇒________且 b ∥a 直线与平面平行________________，且α∥b，α∥a b ∥a⇒________________，β∥α平面与平面平行⇒β∥α________________，且b⊥l ，a⊥l ________ ⇒α⊥b，α⊥a 直线与平面垂直α⊥l⇒____________ ，a＝α∩β，β⊥α， α ⊥a 平面与平面垂直 β⊥α⇒ β⊥b ⇒ 一、选择题、M ．不同直线 1 ．给出下列命题：β、α和不同平面n n ∥m β∥∥ ；n β∥M ⇒；β⇒∥m α⊂mβ⊥αα⊂m ．β⊥M ⇒④ 异面；n ，M ⇒∥m β⊂n (其中假命题的个数为) C 1 ．B0 ．A3 ．D 2 ．平行于同一平面的两个平面平(2)平行于同一直线的两个平面平行；(1)．下列命题中：2(4)垂直于同一直线的两直线平行；(3)行；垂直于同一平面的两直线平行．其中正确命题的) (个数有 1 ．B4 ．A3 ．D 2 ．C α表示直线，b、a．若3) (表示平面，下列命题中正确的个数为；α∥b⇒b⊥a，α⊥a；②b⊥a⇒α∥b，α⊥a① ．α⊥b⇒b⊥a，α∥a③ 1 ．A0 ．D 3 ．C 2 ．B 垂α平行；②存在无数条直线与平面α：①存在无数条直线与平面P．过平面外一点4其中真命题的垂直，α④有且只有一条直线与平面平行；α③有且只有一条直线与平面直；(个数是) ．C 2 ．B 1 ．A4 ．D 3 及其边界上运动，并BBCC在侧面P中，点DCBA－ABCD．如图所示，正方体5111111 ) (的轨迹是P，则动点BD⊥AP且总是保持1 C B．线段A1 BC．线段B1的中点连成的线段CC的中点与BB．C11的中点连成的线段CB的中点与BC．D11、PB、PA．已知三条相交于一点的线段6⊥面PH 外，ABC在平面P两两垂直，点PC ) (的ABC是△H，则垂足H于ABC ．重心D ．垂心C ．内心B ．外心A 二、填空题，则二面角2＝BC，3＝AC＝AB的三个侧面分别与底面全等，且ABC－D．三棱锥7 ．________的大小为D－BC－A，在”正交线面对“．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个8”正交线面对“由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的一个正方体中，的个数是．________在该正方体PAC的中点，则△BD为P中，DCBA －ABCD．如图所示，在正方体911111 ) 填序号(．________各个面上的射影可能是。

习题课 直线、平面平行与垂直【课时目标】 1．能熟练应用直线、平面平行与垂直的判定及性质进行有关的证明．2．进一步体会化归思想在证明中的应用．a 、b 、c 表示直线，α、β、γ表示平面． 位置关系 判定定理(符号语言) 性质定理(符号语言)直线与平面平行 a ∥b 且________⇒a ∥αa ∥α，________________⇒a ∥b 平面与平面平行a ∥α，b ∥α，且________________⇒α∥βα∥β，________________⇒a ∥b直线与平面垂直l ⊥a ，l ⊥b ，且________________⇒l ⊥α a ⊥α，b ⊥α⇒________ 平面与平面垂直 a ⊥α，⇒α⊥βα⊥β，α∩β＝a ，____________⇒b ⊥β一、选择题1．不同直线M 、n 和不同平面α、β．给出下列命题：①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βm ⊂α⇒M ∥β； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ∥β⇒n ∥β； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂β⇒M ，n 异面； ④⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥α⇒M ⊥β． 其中假命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．32．下列命题中：(1)平行于同一直线的两个平面平行；(2)平行于同一平面的两个平面平行；(3)垂直于同一直线的两直线平行；(4)垂直于同一平面的两直线平行．其中正确命题的个数有( )A ．4B ．1C ．2D ．33．若a 、b 表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为( ) ①a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b ；②a ⊥α，a ⊥b ⇒b ∥α； ③a ∥α，a ⊥b ⇒b ⊥α．A ．1B ．2C ．3D ．04．过平面外一点P ：①存在无数条直线与平面α平行；②存在无数条直线与平面α垂直；③有且只有一条直线与平面α平行；④有且只有一条直线与平面α垂直，其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．45．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A．线段B1CB．线段BC1C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段6．已知三条相交于一点的线段P A、PB、PC两两垂直，点P在平面ABC外，PH⊥面ABC于H，则垂足H是△ABC的()A．外心B．内心C．垂心D．重心二、填空题7．三棱锥D－ABC的三个侧面分别与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则二面角A－BC－D的大小为________．8．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是________．(填序号)三、解答题10．如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M 是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．11．如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B．(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；(2)设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，求A1DDC1的值．能力提升12．四棱锥P—ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图：(1)根据图中的信息，在四棱锥P—ABCD的侧面、底面和棱中，请把符合要求的结论填写在空格处(每空只要求填一种)：①一对互相垂直的异面直线________；②一对互相垂直的平面________；③一对互相垂直的直线和平面________；(2)四棱锥P—ABCD的表面积为________．13．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求四面体B－DEF的体积．转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为即利用线线平行(垂直)，证明线面平行(垂直)或证明面面平行(垂直)；反过来，又利用面面平行(垂直)，证明线面平行(垂直)或证明线线平行(垂直)，甚至平行与垂直之间的转化．这样，来来往往，就如同运用“四渡赤水”的战略战术，达到了出奇制胜的目的．习题课直线、平面平行与垂直答案知识梳理a⊄α，b⊂αa⊂β，α∩β＝b a⊂β，b⊂β，a∩b＝Pα∩γ＝a，β∩γ＝b a⊂α，b⊂α，a∩b＝P a∥b a⊂βb⊥a，b⊂α作业设计1．D[命题①正确，面面平行的性质；命题②不正确，也可能n⊂β；命题③不正确，如果m、n有一条是α、β的交线，则m、n共面；命题④不正确，m与β的关系不确定．] 2．C[(2)和(4)对．]3．A[①正确．]4．B[①④正确．]5．A[连接AC，AB1，B1C，∵BD⊥AC，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，∴AC⊥面BDD1，∴AC⊥BD1，同理可证BD1⊥B1C，∴BD1⊥面AB1C．∴P∈B1C时，始终AP⊥BD1，选A．]6．C[如图所示，由已知可得PA⊥面PBC，PA⊥BC，又PH⊥BC，∴BC⊥面APH，BC⊥AH．同理证得CH⊥AB，∴H为垂心．]7．90°解析由题意画出图形，数据如图，取BC 的中点E ，连接AE 、DE ，易知∠AED 为二面角A —BC —D 的平面角． 可求得AE ＝DE ＝2，由此得AE 2＋DE 2＝AD 2． 故∠AED ＝90°． 8．36解析 正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．9．①④10．证明 (1)如图所示，取EC 的中点F ，连接DF ，∵EC ⊥平面ABC ， ∴EC ⊥BC ，又由已知得DF ∥BC ，∴DF ⊥EC ．在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，∵EF ＝12EC ＝BD ，FD ＝BC ＝AB ，∴Rt △EFD ≌Rt △DBA ， 故ED ＝DA ．(2)取CA 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN 綊12EC ，∴MN ∥BD ，∴N 在平面BDM 内，∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN ．又CA ⊥BN ， ∴BN ⊥平面ECA ，BN ⊂平面MNBD ， ∴平面MNBD ⊥平面ECA ． 即平面BDM ⊥平面ECA ．(3)∵BD 綊12EC ，MN 綊12EC ，∴BD 綊MN ，∴MNBD 为平行四边形，∴DM ∥BN ，∵BN ⊥平面ECA ，∴DM ⊥平面ECA ，又DM ⊂平面DEA ， ∴平面DEA ⊥平面ECA ．11．(1)证明 因为侧面BCC 1B 1是菱形，所以B 1C ⊥BC 1．又B 1C ⊥A 1B ，且A 1B ∩BC 1＝B ，所以B 1C ⊥平面A 1BC 1．又B 1C ⊂平面AB 1C ，所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1．(2)解 设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线． 因为A 1B ∥平面B 1CD ，所以A 1B ∥DE ． 又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点， 即A 1D DC 1＝1． 12．(1)①PA ⊥BC(或PA ⊥CD 或AB ⊥PD) ②平面PAB ⊥平面ABCD(或平面PAD ⊥平面ABCD 或平面PAB ⊥平面PAD 或平面PCD ⊥平面PAD 或平面PBC ⊥平面PAB) ③PA ⊥平面ABCD(或AB ⊥平面PAD 或CD ⊥平面PAD 或AD ⊥平面PAB 或BC ⊥平面PAB)(2)2a 2＋2a 2解析 (2)依题意：正方形的面积是a 2，S △PAB ＝S △PAD ＝12a 2．又PB ＝PD ＝2a ，∴S △PBC ＝S △PCD ＝22a 2．所以四棱锥P —ABCD 的表面积是S ＝2a 2＋2a 2． 13．(1)证明 如图，设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点．连接EG ，GH ，由于H 为BC 的中点，故GH 綊12AB ．又EF 綊12AB ，∴EF 綊GH ．∴四边形EFHG 为平行四边形．∴EG ∥FH ．而EG ⊂平面EDB ，FH ⊄平面EDB ，∴FH ∥平面EDB ．(2)证明 由四边形ABCD 为正方形，得AB ⊥BC ． 又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC ．而EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC ． ∴EF ⊥FH ．∴AB ⊥FH ．又BF ＝FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC ． ∴FH ⊥平面ABCD ．∴FH ⊥AC ．又FH ∥EG ，∴AC ⊥EG ．又AC ⊥BD ，EG ∩BD ＝G ， ∴AC ⊥平面EDB ．(3)解 ∵EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°∴BF ⊥平面CDEF ． ∴BF 为四面体B －DEF 的高． 又BC ＝AB ＝2，∴BF ＝FC ＝2．V B －DEF ＝13×12×1×2×2＝13．。